高中数学第三章导数及其应用3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课件新人教B版选修1_
1
1.函数y=f(x)=x的导数的意义是什么? 剖析:y'=1表示函数y=x的图象上每一点处的切线的斜率都为1.若 y=x表示路程关于时间的函数,则y'=1可以解释为某物体作瞬时速 度为1的匀速运动.
2.如何理解函数y=f(x)=x2的导数? 剖析:y'=2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化,另一方面,从导数作为函数在一点的 瞬时变化率来看,y'=2x表明:当x<0时,随着x的增加,函数y=x2减少得 越来越慢;当x>0时,随着x的增加,函数y=x2增加得越来越快.若y=x2 表示路程关于时间的函数,则y'=2x可以解释为某物体作变速运动, 它在时刻x的瞬时速度为2x.
x)'= (x>0).
1 ������
(5)(sin x)'=cos x;(cos x)'=-sin x. 名师点拨(1)xn(n为自然数)与xμ(μ为有理数,μ≠0,x>0)可以归为一 类函数来记忆导数公式.只是要注意n为负数时的运算技巧,先变形, 再求导. (2)logax与ln x等求导公式较难记忆,可以相互间作比较,如ln 1 1 (ln x ) '= = x=logex,则 ;对logax求导,只需把上式e换为a. ������ln e ������ (3)指数函数y=ax与幂函数求导易出错,比如,对y=2x与y=x2求导, 可专门记忆y=ax的求导公式.(2x)'=2xln 2,(x2)'=2x.
3.基本初等函数的导数公式 (1)C'=0(C为常数). (2)(xn)'=nxn-1(n为自然数);(xμ)'=μxμ-1(μ为有理数,且μ≠0,x>0). (3)(ax)'=axln a(a>0,a≠1);(ex)'=ex.
(4)(logax)'=
1 (a>0,a≠1,x>0);(ln ������ln������
3.2.1 3.2.2
常数与幂函数的导数 导数公式表
1.能根据导数的定义,求函数y=C,y=x,y=x2,
y= 的导数. ������
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.会使用导数公式表.
1.常数函数的导数 设y=f(x)=C(C为常数),则C'=0. 名师点拨C'=0表示函数y=C的图象上每一点处的切线的斜率为0. 若y=C表示路程关于时间的函数,则y'=0可解释为某物体的瞬时速 度始终为0,即一直处于静止状态. π y= sin 【做一做1】 函数 . 2 的导数为 答案:0
1 1 解 ∵f'(x)= ,∴kl=f'(e)= . ������ e
由题意知所求直线斜率为-e. ∵点P(e,a)在曲线f(x)=ln x上, ∴a=ln e=1. 故所求直线方程为y-1=-e(x-e), 即ex+y-e2-1=0.
题型一
题型二
反思求以曲线上的点为切点的切线方程的方法和步骤: ①求切点处的导数即为切线的斜率; ②由直线方程的点斜式写出切线方程.
【做一做 3】 求下列函数的导数: (1)y= 2; ������ (2)y=4x.
解 (1)y'=- 3;(2)y'=4xln 4.
名师点拨基本初等函数包括常值函数y=C,指数函数y=ax(a>0,且 a≠1),对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0),幂函数y=xα(α∈R),三角函数 等.
5 解 (1)y'= '=(x )'=-5x =- 6; x 3 3 -2 3 5 3 (2)y'=( ������ )'=(������ 5 )'= ������ 5 = 5 ; 5 5 ������2
-5 -6
1 x5
(3)y'=3xln 3; 1 (4)y'= .
x������������2
反思基本初等函数求导的关键:①熟记导数公式表;②根式、分式 求导时,先将其转化为指数式的形式.
1 函数 y=cos 的导数为
答案: 0
π 4
.
.
2 函数 y= x 2 的导数为
答案:
2 33 x
3
3函数y=log3x在x=1处的导数为
1 1 解析: ∵y'= ,∴y'|x=1= . x������������3 ������������3 1 答案: ln3
.
4以曲线y=ex上的点P(0,1)为切点的切线方程为
题型一
题型二
导数公式的应用
【例 2】 求曲线 y=sin x 在点 P
π ,1 2
处的切线方程.
分析利用导数公式求出该点处的导数,即切线的斜率,再由点斜 式写出切线方程即可.
解 ∵y'=(sin x)'=cos x,∴y'|������ =π =cos =0.
∴所求直线方程为 y-1=0,即 y=1.
2
π 2
题型一
题型二
【例3】 已知点P(e,a)在曲线f(x)=ln x上,直线l是以点P为切点的 切线,求过点P且与直线l垂直的直线的方程.(字母e是一个无理数,是 自然对数的底数) 分析因所求直线与直线l垂直,故其斜率乘积为-1.可利用导数公 式求出直线l的斜率k,从而可得所求直线的斜率;点P在曲线上可求 得a,然后利用点斜式写出所求直线的方程.
.
答案: y=x+1
5已知直线l与直线3x-y+2=0平行,且与曲线y=x3相切,求直线l的方 程. 分析由直线l与直线3x-y+2=0平行,可得kl=3,设切点为(a,b), 则y'|x=a=3a2=3,可得a,即可求出b,从而可求出切线方程. 解设切点为(a,b). ∵y'=3x2,∴kl=y'|x=a=3a2. 又∵直线l与直线3x-y+2=0平行, ∴3a2=3,∴a=±1. 当a=1时,b=1,此时直线l的方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0; 当a=-1时,b=-1,此时直线l的方程为y+1=3(x+1),即3x-y+2=0, ∵该直线为已知直线,故舍去. ∴直线l的方程为3x-y-2=0.
题型一
题型二
利用导数公式求函数的导数 【例1】 求下列函数的导数:
1 5 (1)y= 5;(2)y= ������
x 3 ;(3)y=3x;(4)y=log2x.
分析对于基本初等函数的求导,直接利用导数公式求导.但要注 意把所给函数的关系式转化成能够直接应用公式的基本函数的形 式,以免在求导时发生不必要的错误.
2.几种特殊的幂函数的导数 (1)函数y=x的导数:x'=1. (2)函数y=x2的导数:(x2)'=2x.
(3)函数 y= 的导数: 此式也可写成
1 ������
1 ������
1 ������
'=- 2.
1 ������
'=(x-1)'=-x-2.
名师点拨记住几种特殊幂函数的求导公式,我们就可以直接求一 些简单函数的导数了. 【做一做2】 函数y=x2在x=6处的导数为 . 答案:12
学案4：3.2.1 常数与幂函数的导数-3.2.2 导数公式表
3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表学习目标：1．能利用导数的定义推导函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数，能根据基本初等函数的求导公式，求简单函数的导数．2．通过利用导数定义推导及归纳导数公式的过程，掌握利用导数公式求函数导数的方法． 学习重点：常数函数、幂函数的导数．学习难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到幂函数的求导公式． 学习过程：知能自主梳理：一、基本初等函数的求导公式*11.(),()0;2.()(),();3.()sin ,()cos ;4.()cos ,()sin ;5.(),()ln ;6.(),();17.()log ,();ln 18.()ln ,().n n x x x x a f x c f x f x x n Q f x x f x x f x x f x x f x x f x a f x a x f x e f x e f x x f x x af x x f x x-'=='=∈='=='==-'=='=='=='==若则若则若则若则若则若则若则若则 二、例题讲解例1：求下列函数的导数(1)y ＝x 3；(2)y ＝x x ；(3)y ＝2sin x 2cos x 2； (4)y ＝1x 2.例2：求双曲线y ＝1x 在点(2，12)处的切线方程．例3：求过曲线y ＝sin x 上的点P ⎝⎛⎭⎫π4，22且与在这点处的切线垂直的直线方程． 变式应用：求曲线y ＝cos x 在点A (π6，32)处的切线方程．课堂巩固训练：1．函数f (x )＝0的导数是 ( )A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2．若函数f (x )＝3x ，则f ′(1)等于 () A ．0 B ．－13C ．3 D.133．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( )A.12 B ．－12 C.1eD ．－1e 4．曲线y ＝cos x 在点P (π3，12)处的切线的斜率为____________．5．曲线y ＝xn 在x ＝2处的导数为12，则n 等于____________．6．求曲线y ＝ln x 在x ＝e 2处的切线方程．参考答案学习过程：二、例题讲解例1：解：(1)y ′＝3x 2.(2)y ＝32x ，y ′＝3212x ＝32x . (3)∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x .(4)∵y ＝x －2，∴y ′＝－2x －3＝－2x3 例2：解：∵y ′＝(1x )′＝－1x 2，点(2，12)在双曲线y ＝1x上， ∴双曲线y ＝1x 在点(2，12)处的切线斜率为y ′|x ＝2＝－122＝－14， 由直线方程的点斜式，得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即y ＝－14x ＋1. 例3：解：∵y ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .∴y ′|x ＝π4＝cos π4＝22. ∴经过这点的切线的斜率为22，从而可知适合题意的直线的斜率为－ 2. ∴由点斜式得适合题意的直线方程为y －22＝－2(x －π4)，即2x ＋y －22－24π＝0. 变式应用：解：∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x .y ′|x ＝π6＝－sin π6＝－12，∴k ＝－12. ∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12(x －π6)． 即6x ＋12y －63－π＝0.课堂巩固训练：1．【答案】A【解析】常数函数的导数为0.2．【解析】∵f (x )＝3x ＝13x ，∴f ′(x )＝1323x ， ∴f ′(1)＝13.3．【解析】y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，1， 又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k＝1， ∴1k ＝e ，k ＝1e. 4．【解析】∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32. 5．【答案】36．解：∵y ＝ln x ，y ′＝1x， ∴y ′|x ＝e 2＝1e 2，∴在(e 2,2)处的切线方程为y －2＝1e 2(x －e 2)，即x －e 2y ＋e 2＝0.。
学案3：3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表学习目标1.能够由定义根据求导数的三个步骤，推导常数函数与幂函数的导数；2.在教学过程中，注意培养学生归纳、探求规律的能力.学习重点利用前面已学的求导数的三个步骤对常数函数与幂函数进行探究；学习难点用从特殊到一般的规律来探究公式.学习过程例题讲解例1：求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数.例2：已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程．课堂练习1．下列命题中正确的是( )①若f ′(x )＝cos x ，则f (x )＝sin x②若f ′(x )＝0，则f (x )＝1③若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos xA ．①B ．②C ．③D ．①②③2．正弦函数y ＝sin x 上切线斜率等于12的点为( ) A ．(π3，32) B ．(－π3，－32)或(π3，32)C ．(2k π＋π3，32)(k ∈Z ) D ．(2k π－π3，－32)或(2k π＋π3，32)(k ∈Z ) 3．给出下列函数(1)y ＝(sin x )′＋(cos x )′ (2)y ＝(sin x )′＋cos x(3)y ＝sin x ＋(cos x )′ (4)y ＝(sin x )′·(cos x )′其中值域不是[－2，2]的函数有多少个( )A ．1B ．2C ．3D ．44．下列结论正确的是( )A ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin xB ．若y ＝sin x ，则y ′＝－cos xC ．若y ＝1x ，则y ′＝－1x2 D ．若y ＝x ，则y ′＝x 25．已知f (x )＝x 3，则f (x )的斜率为1的切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不能确定6．求曲线y ＝sin x 在点A (π6，12)的切线方程． 7．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值和该切线方程．回顾总结布置作业参考答案：例题讲解例1：解：f ′(x )＝(1x )′＝(12x -)′＝－12112x -- ＝－1232x -＝－12x 3, ∴f ′(1)＝－12×1＝－12, ∴函数f (x )在x ＝1处的导数为－12.例2：解：由f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，令x ＝2－x ，得f (2－x )＝2f (x )－(2－x )2＋8(2－x )－8，即2f (x )－f (2－x )＝x 2＋4x －4，联立f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，得f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，f ′(2)＝4，即所求切线斜率为4，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.课堂练习1．【答案】C【解析】当f (x )＝sin x ＋1时，f ′(x )＝cos x ，当f (x )＝2时，f ′(x )＝0.2．【答案】D【解析】由(sin x )′＝cos x ＝12得x ＝2k π－π3或x ＝2k π＋π3(k ∈Z )． 所以切点坐标为(2k π－π3，－32)或(2k π＋π3，32)(k ∈Z )． 3．【答案】C【解析】(1)y ＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ∈[－2，2]．(2)y ＝(sin x )′＋cos x ＝2cos x ∈[－2,2]．(3)y ＝sin x ＋(cos x )′＝sin x －sin x ＝0.(4)y ＝(sin x )′·(cos x )′＝cos x ·(－sin x )＝－12sin2x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12. 4．【答案】C【解析】∵(cos x )′＝－sin x ，(sin x )′＝cos x ，(x )′＝(x 12)′＝12·x 12－1＝12x ，∴A 、B 、D 均不正确．而⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －1)′＝－1×x －1－1＝－1x 2，故C 正确． 5．【答案】B【解析】设切点为(x 0，x 30)，由(x 3)′＝3x 2得在(x 0，x 30)处的切线斜率为3x 20，由3x 20＝1得x 0＝±33，故切点为⎝⎛⎭⎫33，39或⎝⎛⎭⎫－33，－39，所以有2条． 6．解：∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ，∴y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，∴k ＝32. ∴切线方程为y －12＝32(x －π6)， 化简得63x －12y ＋6－3π＝0.7．解：f ′(x )＝12x ，g ′(x )＝a x (x >0)， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ln x ，12x ＝a x，解得a ＝e 2，x ＝e 2， ∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e )，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e， ∴切线的方程为y －e ＝12e(x －e 2)．。
19-20 第3章 3.2 3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表学习目标核心素养1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1 x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．(重点、难点) 通过利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数的学习，提升学生的数学运算素养.1．常数与幂函数的导数原函数导函数f(x)＝C f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2原函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0 f(x)＝x u f′(x)＝ux u－1(x＞0，u≠0) f(x)＝sin x f′(x)＝cos xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln a(a＞0，a≠1) f(x)＝e x f′(x)＝e xf (x )＝log a x f′(x )＝1x ln a (a ＞0，a ≠1，x ＞0)f (x )＝ln xf′(x )＝1x1．下列结论：①(sin x )′＝cos x ；②(x 53)′＝x 23； ③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x .其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个C [∵②(x 53)′＝53x 23；③(log 3x )＝1x ln 3；∴②③错误，故选C.] 2．若函数f (x )＝x ，则f′(1)等于( ) A ．0 B ．－12 C ．12D ．1C [∵f′(x )＝(x )′＝(x12)′＝12x 12－1＝12x，∴f′(1)＝12，故选C.]3．曲线y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22处的切线方程为________．42x －8y ＋2(4－π)＝0 [∵k ＝(sin x )′|x ＝π4＝cos π4＝22，∴切线方程为y －22＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，即42x －8y ＋2(4－π)＝0.]利用导数公式求函数的导数(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3； (4)y ＝2sin x 2cos x2；(5)y ＝log 12x . [思路探究] 先将解析式化为基本初等函数的形式，再利用公式求导． [解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x 11. (2)y ′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2.(4)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x . (5)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.提醒：若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.导数公式的综合应用1．若y ＝c ，y ＝x 和y ＝x 2都表示路程关于时间的函数，则其导数的物理意义是什么？提示：若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的速度始终为0，即物体一直处于静止状态；若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做速度为1的匀速运动；若y ＝x 2表示路程关于时间的函数，则y ′＝2x 可以解释为某物体做变速运动，它在x 时刻的瞬时速度为2x .2．指数函数与对数函数的导数公式各具有什么特点？[提示] (1)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，y ＝e x 的导数是y ＝a x (a >0，a ≠1)导数的特例．(2)对数函数的导数等于x 与底数的自然对数乘积的倒数，y ＝ln x 的导数是y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)导数的特例．【例2】 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由．[思路探究] 先求导数，再根据导数的几何意义求解． [解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，假设存在与直线PQ 垂直的切线． 设切点坐标为(x 0，y 0)，由PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，又切线与PQ 垂直，所以2x 0＝－1，即x 0＝－12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.所以所求切线方程为 y －14＝(－1)()x ＋12， 即4x ＋4y ＋1＝0.1．(变结论)若本例条件不变，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程． [解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ， 设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0. 又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1， 而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1， 即x 0＝12.所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 所以所求切线方程为y －14＝x －12， 即4x －4y －1＝0.2．(变条件)若函数改为y ＝ln x ，试求与直线PQ 平行的切线方程． [解] 设切点为(a ，b )，因为k PQ ＝1， 则由f′(a )＝1a ＝1，得a ＝1， 故b ＝ln 1＝0，则与直线PQ 平行的切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率.(2)切点在切线上.(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.1．思考辨析(1)若函数f (x )＝log 2π，则f′(x )＝1πln 2.( ) (2)若函数f (x )＝3x ，则f′(x )＝x ·3x －1.( ) (3)若函数f (x )＝4x ，则f′(x )＝4x 2.( ) [提示] (1)× π为常数． (2)× f′(x )＝3x ln 3. (3)× f′(x )＝－4x 2.2．函数f (x )＝x ，则f′(3)等于( ) A ．36 B ．0 C ．12xD ．32A [∵f′(x )＝12x ，∴f′(3)＝123＝36.]3．设函数f (x )＝log a x ，f′(1)＝－1，则a ＝________. 1e [∵f′(x )＝1x ln a ，∴f′(1)＝1ln a ＝－1，∴a ＝1e.] 4．过曲线y ＝sin x 上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12的切线方程为________．63x －12y －3π＋6＝0 [曲线y ＝sin x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝π6＝cos π6＝32. 所以切线方程为y －12＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即63x －12y －3π＋6＝0.]5．求下列函数的导数：(1)y ＝cos π6；(2)y ＝1x 5；(3)y ＝x 2x ；(4)y ＝lg x ；(5)y ＝5x ；(6)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .[解] (1)y ′＝0. (2)∵y ＝1x 5＝x －5，∴y ′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6. (3)∵y ＝x 2x＝x 32.∵y ′＝(x 32)′＝32x 12＝32x . (4)y ′＝1x ln 10. (5)y ′＝5x ln 5.(6)∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x ．课时分层作业(十七) 常数与幂函数的导数导数公式表(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．已知f (x )＝1x ，则f ′(3)＝( ) A ．－13 B ．－19 C ．19D ．13B [∵f (x )＝1x ，∴f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(3)＝－132＝－19，故选B.] 2．已知f (x )＝ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．0 B ．1e C ．1D ．eB [∵f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，则f ′(e)＝1e ，故选B.] 3．已知f (x )＝x α(α∈Q )，若f ′(－1)＝4，则α等于( ) A ．3 B ．－3 C ．4D ．－4D [∵f (x )＝x α，∴f ′(x )＝αx α－1. ∴f ′(－1)＝α(－1)α－1＝4. ∴α＝－4.]4．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A ．1e B ．－1e C ．－eD ．eD [y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝k x 0，y 0＝e x 0，k ＝e x 0，∴e x 0·x 0＝e x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.]5．若幂函数f (x )＝mx α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，则它在点A 处的切线方程是( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y ＝0C ．4x －4y ＋1＝0D ．4x ＋4y ＋1＝0C [因为函数f (x )＝mx α为幂函数，所以m ＝1.又幂函数f (x )＝x α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，所以α＝12，所以f (x )＝x 12，f ′(x )＝12x ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，所以f (x )的图象在点A 处的切线方程为y －12＝x －14，即4x －4y ＋1＝0.]6．已知函数f (x )＝x m －n (m ，n ∈Q )的导数为f ′(x )＝nx 3，则m ＋n ＝________. 12 [∵f (x )＝x m －n ，∴f ′(x )＝(m －n )x m －n －1， ∴⎩⎨⎧m －n ＝n ，m －n －1＝3，解得m ＝8，n ＝4，∴m ＋n ＝12.] 7．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为________．(1,1) [因为y ′＝e x ，所以曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，y ＝1x (x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率为k 2＝－1m 2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1·k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．]8．函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．21 [∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项a 1＝16，公比q ＝12的等比数列，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.]9．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上点(1,1)处的切线方程；(2)在(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？ [解] (1)因为y ′＝3x 2， 所以切线斜率k ＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0. (2)由⎩⎨⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3， 所以(x －1)(x 2＋x －2)＝0， 所以x 1＝1，x 2＝－2，所以公共点为(1,1)及(－2，－8)，即其他公共点为(－2，－8)． 10．若曲线y ＝x－12在点(a ，a－12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为9，求实数a 的值．[解] ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32， ∴曲线在点(a ，a－12)处的切线的斜率为k ＝－12a －32， ∴切线方程为y －a－12＝－12a －32 (x －a )．令x ＝0，得y ＝32a －12；令y ＝0， 得x ＝3a .由题意知，a >0，该切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×3a ×32a －12＝94a 12＝9，∴a ＝16.[能力提升练]1．设曲线y ＝x 在点(2，2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．22B ．24C ．－2 2D ．2 2D [∵y ＝x ＝x 12，∴y ′＝12x －12＝12x ，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝122，由已知，得－a ＝－22，即a ＝22，故选D.]2．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2 020(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos xA [f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…， f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，所以f 2 020(x )＝f 505×4(x )＝sin x ．]3．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．12log 2e [y ′＝1x ln 2＝1x ·log 2e ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝log 2e ，切线方程为y ＝(x －1)log 2e ，令x ＝0，得y ＝－log 2e ，令y ＝0，得x ＝1，因此所求三角形的面积S ＝12×1×log 2e ＝12log 2e.]4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，ln x ，0＜x ＜1，，f ′(a )＝12，则实数a 的值为________．112或－2 [由题意得 f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2，x ≤0，1x ，0＜x ＜1，若 f ′(a )＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，1a＝12或⎩⎨⎧a ≤0，3a 2＝12，解得a ＝112或a ＝－2.]5．点P是曲线y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．[解]如图，当曲线y＝e x在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P 到直线y＝x的距离最近．则曲线y＝e x在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(e x)′＝e x，所以e x0＝1，得x0＝0，代入y＝e x，得y0＝1，即P(0,1)．由点到直线的距离公式，得最小距离为d＝|－1|2＝22.11/11。
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数
高中数学第三章导数及其应用3.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时提升作业2 新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章导数及其应用3.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时提升作业2 新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式（25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列各式中正确的是( ）A。
（lnx)′=x B。
（cosx)′=sinxC。
(sinx）′=cosx D.（x-8)′=-x—9【解析】选C。
因为（lnx）′=，（cosx)′=—sinx，（x-8)′=-8x-9=—,所以A,B,D均不正确，C正确。
2.若y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是（)A.1 B。
0 C。
2 D.【解析】选D。
因为y′=,所以当x=2时，y′=，故图象在x=2处的切线斜率为.3.（2015·西安高二检测）运动物体的位移s=3t2—2t+1,则此物体在t=10时的瞬时速度为( )A.281B.58 C。
85 D.10【解析】选B。
因为s=3t2-2t+1，所以s′=6t-2.当t=10时,s′=6×10—2=58.即此物体在t=10时的瞬时速度为58。
4。
正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是（)A.∪B。
高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课件
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1x 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
解
y′＝(5
3
x3)′＝ (x5 )
3
3 1
x5
3
2
x5
＝Hale Waihona Puke 3.55
55 x2
(4)y＝2sin 2xcos 2x；
解
∵y＝2sin
x 2cos
2x＝sin x，∴y′＝cos x.
(5)y＝log1 x；
2
解 y′＝(log1 x )′＝ 1 1＝－xln1 2.
2
xln 2
(6)y＝3x.
解 y′＝(3x)′＝3xln 3.
f′(x)＝__xl_n_a__ 1
f′(x)＝__x_
2 题型探究
PART TWO
题型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
解 y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y＝x14； 解 y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45. (3)y＝5 x3；
导函数 f′(x)＝__0_ f′(x)＝ nxn－1 (n为自然数) f′(x)＝_c_o_s__x_ f′(x)＝－__s_i_n_x__
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝_a_x_ln__a_
f(x)＝ex f(x)＝logax (a>0，a≠1，x>0)
【教学】2020学年高中数学第三章导数及其应用321常数与幂函数的导数322导数公式表教学
【关键字】教学3．2.1 常数与幂函数的导数3．2.2导数公式表[学习目标] 1.理解各个公式的证明过程，进一步理解运用定义求导数的方法.2.掌握常见函数的导数公式.3.灵活运用公式求某些函数的导数．[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？答：(1)计算，并化简；(2)观察当Δx趋近于0时，趋近于哪个定值；(3)趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．[预习导引]12要点一利用导数定义求函数的导数例1 用导数的定义求函数f(x)＝2014x2的导数．解f′(x)＝＝＝＝ (4028x＋2014Δx)＝4028x.规律方法解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤．(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N＋)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用．跟踪演练1 用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．解y′＝＝＝＝ (2x＋a＋Δx)＝2x＋a.要点二利用导数公式求函数的导数例2 求下列函数的导数：(1)y＝sin；(2)y＝5x；(3)y＝；(4)y＝；(5)y＝log3x.解(1)y′＝0；(2)y′＝(5x)′＝5xln5；(3)y′＝(x－3)′＝－3x－4；(4)y′＝()′＝(x)′＝x－＝；(5)y′＝(log3x)′＝.规律方法求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据要解决问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝x8；(2)y ＝()x ；(3)y ＝x ；(4)y ＝logx. 解 (1)y ′＝8x7；(2)y ′＝()xln ＝－()xln2； (3)∵y ＝x ＝x ，∴y ′＝x ； (4) y ′＝＝－.要点三 利用导数公式求曲线的切线方程例3 求过曲线y ＝sinx 上点P 且与过这点的切线笔直的直线方程． 解 ∵y ＝sinx ，∴y ′＝cosx ， 曲线在点P 处的切线斜率是： y ′|x ＝＝cos ＝.∴过点P 且与切线笔直的直线的斜率为－， 故所求的直线方程为y －＝－(x －)， 即2x ＋y －－＝0.规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互笔直的直线(斜率均存在)斜率乘积等于－1是解题的关键．跟踪演练3 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y ＝x2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x2的切线方程．解 ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. ∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)等于( ) A ．0B ．2x C ．6D ．9 答案 C解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( )A.36B ．0C.12x D.32答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.3．f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193B.163C.133D.103 答案 D解析 f ′(x )＝3ax 2＋6x ，f ′(－1)＝3a －6＝4，a ＝103. 4．曲线y ＝e x在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1.∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.1.利用基本初等函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，要认真观察函数的结构特征，积极地进行联想与化归． 2．有些函数可先化简再求导．如求y ＝1－2sin 2x2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
高二人教A版高中数学选修1-3 第三章 导数及其应用3.2 导数的计算
=
28 (1 4)2
=-
6 25
.
因此曲线 y= 2x 在点(2, 4 )处的切线方程为 y- 4 =- 6 (x-2),
x2 1
5
5 25
即 6x+25y-32=0.
答案:(1)6x+25y-32=0
(2)已知曲线 y=5 x ,则过点 P(0,5)且与曲线相切的切线方程为
.
解析:(2)因为点 P(0,5)不在曲线 y=5 x 上,
1
f′(x)= x ln a (a>0,且 a≠1)
1
f′(x)= x
2.导数运算法则
和差的导数 积的导数
商的导数
[f(x)±g(x)]′= f′(x)±g′(x) [f(x)·g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
[ f (x) ]′= f (x)g(x) f (x)g(x)
3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
课标要求:1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=1 的导函数.2.理解导数的
x
四则运算法则.3.掌握几种常见函数的导数公式.4.能够应用导数公式及运
算法则进行求导运算.
自主学习 课堂探究
值为( B )
(A)1-cos 1
(B)1+cos 1 (C)cos 1-1
(D)-1-cos 1
5.(商的导数的应用)设函数f(x)= sin x ,f′(x)为函数f(x)的导函数,则
x
f′(π )=
.
答案:- 1
π
课堂探究
题型一 利用导数公式求函数的导数
高中数学 3.2.13.2.2 常数与幂函数的导数 导数公式表
思考 2 函数 y=x 的导数的几何意义和物理意义分别是指什
么? 提示:y'=1 表示函数 y=x 图象上每一点处的切线斜率都为 1,任一点处
答案:3
4.以曲线 y=ex 上的点 P(0,1)为切点的切线方程为 答案:y=x+1
12345
.
12345
5.已知直线 l 与直线 3x-y+2=0 平行,且与曲线 y=x3 相切,求直线 l 的方程. 分析:由直线 l 与直线 3x-y+2=0 平行,可得 kl=3,设切点为(a,b),则 y'|x=a=3a2=3,可得 a,即可求出 b,从而可求出切线方程. 解:设切点为(a,b).
而
1 ������
'=(x-1)'=-x-1-1=-���1���2,故 C 正确.
答案:C
2.若 y=cos23π,则 y'=( )
A.-
3 2
B.-12
C.0
解析:常数函数的导数为 0.
答案:C
12345
D.12
12345
3.曲线 y=xn 在 x=2 处的导数为 12,则 n=
.
解析:因为 y'=nxn-1,所以 y'|x=2=n·2n-1=12,所以 n=3.
三角形的面积为 18,求 a 的值. 思路分析:先求出切线方程,再求出切线在 x 轴、y 轴上的截距,利用三
角形面积公式列方程求 a.
探究一
探究二
解:y'=-12 ������-32(x>0),故在点(a,������-12)处的切线的斜率 k=-12 ������-32,
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的运算 3.2.1
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表课堂探究探究一 利用导数公式求函数的导数利用导数定义求导是求导数的基本方法，但过于烦琐，通常若所求函数符合求导公式，则利用导数公式求导数可简化求导过程，但需要准确记忆公式，恰当选择公式；对于不能直接用公式的类型，关键是将其进行适当变形，转化为可以直接应用公式的基本初等函数形式，如y ＝5x 3可以写成y ＝35x 等，就可以直接使用幂函数的求导公式求导． 【典型例题1】 求下列函数的导数：(1)y ＝x 7； (2)y ＝x x ； (3)y ＝log 3x ； (4)y ＝2sin x 2·cos x 2；(5)y ＝1x 2. 思路分析：对于基本初等函数的求导，直接利用导数公式求导，应注意将所给函数关系式转化为能直接应用公式的形式．解：(1)y ′＝7x 6；(2)因为y ＝x x ＝32x ，所以y ′＝3212x ＝32x ； (3)y ′＝1x ln 3； (4)因为y ＝2sin x 2·cos x 2＝sin x ，所以y ′＝cos x ； (5)因为y ＝1x 2＝x －2，所以y ′＝－2x －3＝－2x3. 探究二 导数的应用利用导数来求曲线在某点处的切线斜率是一种非常有效的方法，它适合于任何可导函数，这就为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，利用切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决．【典型例题2】 若曲线y ＝12x -在点(a ，12a -)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a 的值．思路分析：先求出切线方程，再求出切线在x 轴、y 轴上的截距，利用三角形面积公式列方程求a . 解：y ′＝－1232x -(x ＞0)，故在点(a ，12a -)处的切线的斜率k ＝－1232a -， 所以切线方程为y －12a -＝－1232a - (x －a )，易得切线在x 轴、y 轴上的截距分别为3a ，3212a -， 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×3a ×3212a -＝9412a ＝18. 所以a ＝64.。
高中数学第三章导数及其应用3.2.2函数的和、差、积、商的导数2111数学
探究 活动 (tànjiū)
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思考
(sīkǎo)
已知f (x)，g(x)，怎样求
f (x)g(x)呢？
猜想
(cāixiǎng)
f(x ) g (x )f(x ) g (x )
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证明(zhèngmíng)
f (x) g (x) f (x) g(x).
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内容(nèiróng)总结
1.2.2 函数的和、差、积、商的导数。1.2.2 函数的和、差、积、商的导数。（1）C ＝0（C为常数
(chángshù)）。（2）(xa) ＝axa－1（a为常数(chángshù)）。（3）(ax) ＝αxlna（a＞0，且a≠1）。（4）
No (logax) ＝ logae＝ （a＞0，且a≠1）。2．求下列函数的导数．。法则3
问题3 已知f (x) f ( ) sin x cos x，
2
求f
(
).
4
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回顾(huígù) 小结 函数(hánshù)的和差积商的导数求导法则．
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课外作业
1.课本(kèběn)习题
2.补充：已知点P(1， 1)，点Q(2， 4) 是曲线yx2上两点，求与直线PQ 平行的曲线yx2的切线方程.
练习
(liànxí)
课本(kèběn)P22练习1～5．
小结(xiǎojié)：函数的四则运算的求导法则．
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拓展(tuò zhǎn) 研究
问题 1 (wèntí)
求下列函数的导数：
(1) y x 1； x 1
(2) y sin 4 x cos4 x ；