2021新高考数学精选考点专项突破：正弦定理、余弦定理

正弦定理、余弦定理
一、单选题
1、（2020 届山东实验中学高三上期中）在△ABC 中，若
A．1 【答案】A 【解析】余弦定理 得
B．2
C．3
D．4
将各值代入
，则 AC =（
）
解得
或
(舍去)选 A.
2、（2020 年全国 3 卷）7.在△ABC 中，cosC= 2 ，AC=4，BC=3，则 cosB=（ 3
1
A.
9
1
B.
3
C. 1 2
【答案】A
）
2
D.
3
【解析】 在 ABC 中，
，
，
根据余弦定理：
可得
，即 AB 3
由
故
.
故选：A.
3、（2020 届山东省济宁市高三上期末）在 ABC 中,
()
A． 1 2
【答案】C 【解析】
B．1
C． 2
故
，
117
,则 ABC 的面积为
D． 2 2

故选： C
4、（2020 届河北省衡水中学高三下学期一调）在 ABC 中，
是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
【答案】D
【解析】由余弦定理可知
C．钝角三角形 ，
，则 ABC 的形状
D．等边三角形
两式相加，得到
所以
，当且仅当 a b 时，等号成立，
而
所以
，
因为
，所以
所以
，即
，又 a b ，
所以 ABC 是等边三角形，故选 D 项.
5、在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S，且 2S＝（a+b）2﹣c2，则 tanC＝（ ）
A． 3
B． 4
C．
4
3
D． 3 4
【答案】C
【解析】△ABC 中，∵S△ABC
，由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2abcosC，
且 2S＝（a+b）2﹣c2，∴absinC＝（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC）， 整理得 sinC﹣2cosC＝2，∴（sinC﹣2cosC）2＝4．
∴
4，化简可得 3tan2C+4tanC＝0．
∵C∈（0，180°），∴tanC ， 故选：C．
217

6、（2020 届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了
测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点 A 处测得“泉标”顶端的仰角为 ，沿点 A 向北偏东 前
进 100 m 到达点 B，在点 B 处测得“泉标”顶端的仰角为 ，则“泉标”的高度为（ ）
A．50 m
B．100 m
C．120 m
D．150 m
【答案】A
【解析】如图, CD 为“泉标”高度,设高为 米，由题意,
平面 ABD ,
米,
，
．
在
中,
,在
中,
,
在
中,
，,
，
,
由余弦定理可得
解得
或
(舍去),
故选：A.
7、（2020 届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）在
（）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由题意可得，在
中，因为
中，“ ，
所以
，因为
，
所以
，
，
结合三角形内角的条件，故 A,B 同为锐角，因为
所以
，即
，所以
317
，
”是“
为钝角三角形”的
， ，

因此
，所以
是锐角三角形，不是钝角三角形，
所以充分性不满足，
反之，若
是钝角三角形，也推不出“
，故必要性不成立，
所以为既不充分也不必要条件，故选 D.
8、（2020 届山东省潍坊市高三上学期统考）已知△ ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，若
， b 2 ，则△ ABC 面积的最大值是
A．1
B． 3
C． 2
D． 4
【答案】B
【解析】由题意知
，由余弦定理，
，故
，有
，故
故选：B 9、已知
. 中，
，则 的最大值是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】∵ ∴
化为
， ．可得：B 为锐角，C 为钝角．
∴
=-
=
=
≤
= ，当且仅当 tanB=
时取等号．
∴tanA 的最大值是 故选 A
二、多选题
10、（2019 春?市中区校级月考）在
中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是
417

A．
，
，
C．
，
，
【答案】．
【解析】：选项 满足
对于选项 ，可求
对于选项 ，由
B．
，
，
D． ， ，
，选项 满足 ，三角形有一解，
，所以 ， 有两解，
，且 ，可得 为锐角，只有一解，三角形只有一解．
故选： 11、在
． 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，下列结论正确的是
A． C． 【答案】 【解析】：由在
B． D．
中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，知：
在 中，由余弦定理得：
，故 正确；
在 中，由正弦定理得：
，
在 中，
，故 正确； ，
由余弦定理得：
，
整理，得
，故 正确；
在 中，由余弦定理得
，
故 错误． 故选： ．
12．在
中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
为非零实数），则下列
结论正确的是 A．当 时， C．当 时， 【答案】 ．
是直角三角形 是钝角三角形
B．当 D．当
时， 时，
是锐角三角形 是钝角三角形
【解析】：对于 ，当 时，
，根据正弦定理不妨设
，
，
，显
517

然
是直角三角形；
对于 ，当 时，
，根据正弦定理不妨设
，
，
，
显然
是等腰三角形，
，
说明 为锐角，故
是锐角三角形；
对于 ，当 时，
，根据正弦定理不妨设
，
，
，
可得 对于 ，当
时，
，说明 为钝角，故
是钝角三角形；
，根据正弦定理不妨设
，
，
，
此时
，不等构成三角形，故命题错误．
故选： ．
13．下列命题中，正确的是
A．在
中，
，
B．在锐角
中，不等式
恒成立
C．在
中，若
，则
必是等腰直角三角形
D．在
中，若
，
，则
必是等边三角形
【答案】
【解析】：对于 ，由
，可得： ，利用正弦定理可得：
，正确；
对于 ，在锐角
中， ，
，
，
，
，
因此不等式
恒成立，正确
对于 ，在
中，由
，利用正弦定理可得：
，
，
，
，
或
，
或
，
是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题， 错误．
对于 ，由于
，
，由余弦定理可得：
，可得
，解得 ，可
得 故选：
，故正确． ．
617

14、（2020 届山东省潍坊市高三上学期统考）在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，
若
，
，
依次成等差数列，则下列结论中不．一．定．成．立．的是（ ）
A． a ， b ， c 依次成等差数列
B． ， ， 依次成等差数列
C． ， ， 依次成等差数列 D． ， ， 依次成等差数列 【答案】ABD
【解析】 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，若
，
，
依次成等差数列，
则：
，
利用
，
整理得：
，
利用正弦和余弦定理得：
，
整理得： 即：
， 依次成等差数列.
此时对等差数列
的每一项取相同的运算得到数列 a ， b ， c 或 ， ， 或 ， ， ，
这些数列一般都不可能是等差数列，除非 a b c ，但题目没有说 ABC 是等边三角形，
故选：ABD.
三、填空题
15、（2020 届江苏省七市第二次调研考试）在 ABC 中，已知
，
【答案】 6
【解析】
，
，即
，
，
，则
，
，则 A 的值是______.
717

，
， A0, ，则
.
故答案为： 6
16、（2020 届江苏省南通市海门中学高三上学期 10 月检测）在 ABC 中，若
，
，
，
则
的值为______.
【答案】 ；
【解析】因为
，
，
由正弦定理可得 a b 即 sin A sin B
故答案为：
， ，解得
17、（2020 届江苏省南通市海门中学高三上学期 10 月检测）在 ABC 中，若
，且
，
则 的值为______.
【答案】 2 ； 2
【解析】因为
，又
由正弦定理得
即
817

故答案为： 2 2
18、（2019 年高考全国Ⅱ卷理数）
的面积为_________．
【答案】
【解析】由余弦定理得
解得
（舍去），
的内角
的对边分别为
.若
，所以
，即
，则 ，
所以
，
19、（2019 年高考浙江卷）在
中，
，则
___________，
【答案】
，7 2 10
【解析】如图，在
中，由正弦定理有：
， AB 4 ，
___________．
，点 在线段 上，若
，而
，
，
，所以
.
.
20、（2020 届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ，
c ，若 CD 是边 AB 上的中线，且
，则
的最小值为__________.
917

【答案】 2 3 3
【解析】过点 C 作
,设
，
由三角函数定义得
.
当且仅当
时取等号.
所以
的最小值为 2 3
3
故答案为： 2 3 3
21、（2020 年全国 1 卷）如图，在三棱锥 P–ABC 的平面展开图中，AC=1，
⊥AD，∠CAE=30°，则 cos∠FCB=______________.
，AB⊥AC，AB
【答案】 1 4
1017

【解析】
，
，
，
由勾股定理得
，
同理得
，
，
在
中，
，
，
，
由余弦定理得
，
，
在
中， BC 2，
，
，
由余弦定理得
.
故答案为： 1 . 4
四、解答题
22、（2020 届山东省临沂市高三上期末）在①
，
，②
，
，
③c 2，
三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.：已知 ABC 的内角 A，B，C
的对边分别为 a，b，c，若 a 3 ，______，求 ABC 的面积 S.
【解析】选①∵
，
，∴
，
，
∴
，
由正弦定理得
，
∴
.
1117

选② ∵ ∴由正弦定理得
∵ a 3，∴
∴ ∴ c 4 ，∴
选③∵ c 2 ，
，
.
.又∵
，
，
. ，
∴ 由余弦定理得
，即
，
解得
或 b 2（舍去）.
，
∴ ABC 的面积
.
故答案为：选①为 ；选②为 ；选③为
.
23、（2020 届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ，
c ，已知
.
（1）求角 B 的大小；
（2）若 a 2 ， ，求
【解析】（1）因为
的值.
，根据正弦定理 a b ， sin A sin B
得
，
因为
，所以 sin A 0，
所以
，即
，
1217

整理得
，所以
，
又
，故
.
（2）在 ABC 中， a 2 ， ，
，
由余弦定理得
，
得
，故
.
由正弦定理 a b 得 sin A sin B
，解得
.
因为 a b ，故
，
，
所以
.
所以
.
24、（2020 届山东省枣庄市高三上学期统考） ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a, b, c ，已知
.
（I）求 B；
（II）若
的周长为
的面积.
【答案】（Ⅰ）
(Ⅰ)
【解析】（Ⅰ）
,
，
,
，
.
1317

, .
(Ⅰ)由余弦定理得
，
， ，
，
.
25、（2020 届山东省潍坊市高三上期中）在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ．已知
，c5，
．
（1）求 a ， b 的值：
（2）求 的值．
【解析】
（1）由
，得
，
因为在 ABC 中， sin B 0 ，得
，
由余弦定理
，得
，
因为
，所以
，
解得 a 3，所以 .
（2）由
，得
由正弦定理得
.
26、（2020 年江苏卷）.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
．
1417

（1）求
的值；
（2）在边 BC 上取一点 D，使得
【解析】（1）由余弦定理得
由正弦定理得
（2）由于
，
由于 所以
，所以
，求
. ，所以 ，所以
由于 所以
，所以 .
的值．
，所以
.
.
. .
27、（2020 年全国 2 卷）. ABC 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.
（1）求 A；
（2）若 BC=3，求 ABC 周长的最大值.
【解析】（1）由正弦定理可得：
，
1517

，
，
（2）由余弦定理得：
，
即
.
（当且仅当
时取等号），
，
解得：
（当且仅当
时取等号），
ABC 周长
， ABC 周长的最大值为
.
28、 （2020 届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）在 ABC 中，角 A, B,C 所对边分别为 a, b, c .
已知
.
（1）求角 A 的值；
（2）若
，求
的值.
【解析】（1）在 ABC 中，因为
，
所以
.
结合正弦定理得，
，即
.
因为
，所以
，
所以
.
可得
；
（2）在 ABC 中，因为 A ，则 3
，
.
又因为
，则
.
1617

所以
.
29、（2020 年天津卷）.在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ．已知
（Ⅰ）求角 C 的大小；
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅰ）求
的值．
【解析】（Ⅰ）在 ABC 中，由
及余弦定理得
，
又因为
，所以
；
（Ⅰ）在 ABC 中，由
，
及正弦定理，可得
（Ⅰ）由
知角 A 为锐角，由
进而
所以
，可得 ，
， .
． ；
1717