北师大版必修4 1.1 周期现象 学案

§1周期现象
美妙音乐显周期
《梁祝》优美动听的旋律，《十面埋伏》的铮铮琵琶声，贝多芬令人激动的交响曲，田野里昆虫啁啾的鸣叫……当沉浸在这些美妙的音乐声中时，你是否想到了它们其实与数学有着密切的联系？
事实上，数学与音乐之间不仅有着密切的联系，而且相互交融形成了一个和谐统一的整体．古希腊时代的毕达哥拉斯(约公元前580～公元前500年)就已经发现了数学与音乐的关系．他注意到如果振动弦的长度可表示成简单的整数之比，这时发出的将是和音，如2︰3(五度和音)或3︰4(四度和音)．
音乐中存在着数学．下面是贝多芬“欢乐颂”的一个片段：
如果以时间为横轴，音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点：
实际上，音乐中的五线谱就相当于一个坐标系，写在五线谱中的音符相当于坐标系中的点，两个相邻点横坐标的差就是前一个音符的音长，而一首乐曲就是一个音高y关于时间x 的函数y＝f(x)．
忽上忽下跳动的音符也是有一定规律可循的．在一首乐曲中常常会有一段音符反复出现，这就是它的主旋律．它表达了该乐曲的主题，从数学上看，乐曲的主旋律就是通过周期性表达的，可以用三角函数来表示．
Q 情景引入
ing jing yin ru
许多天体的运行都有着周期性的规律．太阳系中的八大行星——水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星都是按照一定的周期做自转和绕太阳的公转：地球沿着自转轴自西向东不停地旋转着，它的自转周期为23小时56分4秒，约等于24小时．同时，地球还围绕太阳公转，公转一周要365.25天，为一年．水星的自转周期是58.65天，它在88个地球日里就能绕太阳一周，是太阳系中运动最快的行星．金星公转周期225天，自转周期则要243天．火星的自转和地球十分相似，自转一周的时间为24小时37分．火星上的一昼夜比地球上的一昼夜稍长一点．火星公转一周约为687天，火星的一年约等于地球的两年．木星绕太阳一周大约需要12年，但它的自转速度却是太阳系中最快的，自转周期为9小时50分30秒．土星29年绕太阳一周，自转周期为10小时．天王星的自转周期为17.24小时，公转周期为84.01个地球年．海王星的自转周期约为22小时，公转周期为164.8年．除了上述周期现象外，你还发现了生活中哪些周期现象？
X 新知导学
in zhi dao xue
从周期现象到周期概念
(1)观察钟表，分针指向12的位置，表明是整点时间，经过1个小时，分针回到了原来的位置，我们说分针的运动是周期现象，以__60分钟__为一个周期；时针的运动周期当然是__12小时__.
(2)地球围绕太阳转，地球到太阳的距离y是时间t的周期函数，周期是地球绕太阳旋转__1__圈的时间，即__1年__.在日常生活，生产实践中，许多事物或现象每隔一段时间就会重复出现，这种现象称为周期现象，这个相同的时间间隔就是__周期__.
Y 预习自测u xi zi ce
1．下列变化中不是周期现象的是(D) A．“春去春又回”
B．钟表的分针每小时转一圈
C．天干地支表示年、月、日的时间顺序D．某同学每天上学的时间
[解析]每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又回”是周期现象；分针每隔一小时转一圈，是周期现象；天干地支表示年、月、日是周期现象；该同学上学时间不固定，并不是每隔“一段时间”就会重复一次，因此不是周期现象．
2．某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，那么第2020盆花的颜色是(D)
A．红B．黄
C．紫D．白
[解析]因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，所以以4为一个周期，而2020÷4＝505，为505个周期，所以第2020盆花为白花．
3．有白、黑两种颜色的圆片按以下规律排列．
○○○○●○○○○●○○○○
第100个圆片的颜色是__黑色__.
[解析]白、黑两种颜色的圆片排列成周期性变化，即周期为5，所以第100个圆片的颜色为黑色．
H 互动探究解疑
u dong tan jiu jie yi
命题方向1⇨周期现象的概念及判断
典例1下列现象是周期现象的是__(1)(2)(3)(4)(5)__(填序号)．
(1)地球上一年四季的变化；
(2)钟表的秒针的运动；
(3)某十字路口红绿灯的变换；
(4)月亮的圆缺变化；
(5)地球的自转．
[思路分析]要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会重复出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．
[解析](1)地球上一年分为春、夏、秋、冬四季，每一年都是如此，具有重复性，因而是周期现象．
(2)钟表的秒针每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因而是周期现
象．
(3)十字路口的红绿灯都是按规定的时间交替亮起，具有重复性，因而是周期现象．
(4)月亮的圆缺按“朔—上弦—望—下弦—朔”不断重复，因而是周期现象．
(5)地球的自转每24小时转一圈，并且每一个24小时总是重复前一个24小时的动作，因而是周期现象．
『规律总结』“每间隔一段时间会重复出现的现象称为周期现象．”这里的“一段时间”即为周期现象的周期．
〔跟踪练习1〕钟表的钟摆在摆动时呈什么规律，根据你平时的观察用文字叙述一下．[解析]钟表的钟摆呈周期性变化，它从最低点摆向右，再回到最低点，再摆向左，又回到最低点，完成一个周期．
命题方向2⇨利用散点图研究周期现象中的规律
典例2我们的心跳都是有节奏、有规律的，心脏跳动时，血压在增加或减少．下表是某人在1分钟内血压P(mmHg)与时间t(s)的对应关系表，通过表中数据来研究血压变化的规律.
t/s51015202530
P/mmHg93.35136.6511593.35136.65115
t/s354045505560
P/mmHg93.35136.6511593.35136.65115
(1)
点图；
(2)血压的变化是周期性的吗？
[思路分析]画散点图是分析变量间的关系的有效方法．
[解析](1)作出血压P(mmHg)与时间t(s)的散点图．如下图：
(2)由散点图可以看出，每经过15s，血压就重复出现相同的数值，因此血压是周期性变化的．
『规律总结』一般来说，用散点图探究周期现象的步骤如下：
〔跟踪练习2〕下列是某港口某一天水深y与时间t的对应关系表：
t(h)03691215182124
y(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0
(2)问水深是否是周期性变化的？
[解析](1)散点图：
(2)从散点图可以看出，每经过相同的时间间隔t(12h)，水深就重复出现相同的数值，因此水深是周期性变化的．从图中可以看出，一天内的0～6点，12～18点分别有6个小时水深不低于10m，所以共有12个小时该船可以安全出入．
X 学科核心素养
ue ke he xin su yang周期现象的应用
典例3如图所示，游乐场里的摩天轮匀速旋转，旋转一周需要20分钟，则某游客从摩天轮的最低点上去，25分钟时，他在摩天轮的左侧还是右侧？
[思路分析]根据周期现象及其周期性作出判断．
[解析]旋转一周需要20分钟，则25分钟可旋转一周，还余5分钟，由于摩天轮是按
顺时针方向匀速旋转，在最低点经过10分钟才可到最高点，则游客25分钟时在摩天轮的左侧．
〔跟踪练习3〕弹簧振子相对平衡位置的位移x (cm)与时间t(s)的函数关系如图所示．
(1)求该函数的周期；
(2)当t＝10.5 s时，求弹簧振子相对平衡位置的位移．
[解析](1)由题意知该函数的周期为4s.
(2)设x＝f(t)，由函数的周期为4s可知f(10.5)＝f(2.5＋2×4)＝f(2.5)＝－8，即当t＝10.5s 时，弹簧振子相对平衡位置的位移是－8 cm.
Y
易混易错警示
i hun yi cuo jing shi 对函数周期性的误判
典例4下列函数图像中具有周期性的序号是____________.
[错解](1)(2)(3)(4)
[辨析]判断函数是否具有周期性关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现．错误的原因是没有仔细观察函数图像．
[正解](1)(2)(4)
〔跟踪练习4〕如果一个函数的自变量每增加或减少一个固定的值时，函数值重复出现，函数图像重复出现，这样的函数就应考虑是周期函数，这个固定的值就是函数的一个周期．周期函数的图像应该向左、向右无限延展．在上例中，根据周期函数的部分图像，写出它们的周期．
[解析](1)的周期为2；(2)的周期为2；(4)的周期为2.
K 课堂达标验收
e tan g da biao yan shou
1．下列现象是周期现象的有(D)
①太阳的东升西落
②潮汐现象
③太阳表面的太阳黑子活动
④心脏的收缩与舒张
A．1个B．2个
C．3个D．4个
[解析]上面这4种现象都成周期性的变化，因此都是周期现象．
2．今天是星期一，158天后的那一天是星期__五__.
[解析]每个星期，从星期一、星期二、……、星期日共是7
天，呈现出周期性，故求158被7除的余数．
∵158÷7＝22…4，而今天是星期一，
∴158天后的那一天是星期五．
3．如图是钟摆的示意图，如果不计阻力，可将这个钟摆的运动看作周期运动，它离开平衡位置O点向左运动，5秒后第1次经过P点，再经过2秒第2次经过P点，该钟摆再经过__6__秒第3次经过P点？
[解析]由条件可知3
4个周期是6秒，所以钟摆一个周期是8秒，所以从P点到O点需要1秒，故第3次经过P点需6秒．。