高中物理 圆锥摆模型全透视(2020年整理).pptx
圆周运动之圆锥摆与火车转弯 课件
[借题发挥] 解决此类问题时，首先要明确火车转弯做的是圆周 运动，其次要找准圆周运动的平面及圆心位置，理解向 心力的来源是物体所受的合外力。
1．铁路转弯处的弯道半径r是由地形决定的。弯道处要求
外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，
还与火车在弯道上的行驶速率v有关。下列说法正确的
例、小球做圆锥摆时细绳长l，与竖直方向成α角，求小 球做匀速圆周运动的角速度ω。
解：小球受力：
竖直向下的重力G 沿绳方向的拉力T
αl
小球的向心力：由T和G的合力提供
T
F合 mg tan
小球做圆周运动的半径 r l sin
由牛顿第二定律： F合 ma m 2r
即：mg tan m2l sin
图2－3－5
物体做匀速圆周运动的向心力是由物体所受的重力和悬
线对它的 拉力的合力提供。
(2)动力学关系：
g
mgtan α ＝mω2r，又 r＝ lsin α ，则 ω＝ lcos α ，
lcos α
g
2π
周期 T＝
g ，所以 cos α＝ ω2l ，由此可知，α 角
度与角速度 ω 和绳长 l 有关，在绳长 l 确定的情况下，角速
度 ω 越大 ，α 越大。
重点诠释 1．求解圆周运动问题的一般步骤 (1)明确研究对象，即明确所研究的是哪一个做圆周运动的 物体。 (2)确定物体做圆周运动的轨道平面，并找出圆心和半径。 (3)确定研究对象在某个位置所处的状态，分析物体的受力 情况，判断哪些力提供向心力。 (4)根据向心力公式列方程求解。
[例1] 有一列重为1 00 t的火车，以72 km/h的速率匀 速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。(g取 10 m/s2)
第六章专题圆锥摆及其临界问题课件高一下学期物理人教版(1)
(3)小球m在轻杆牵引作用下，若小球在竖直平面内不能做完整的圆周运动，则小球结束圆周运动时受力特点是？
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学习新知一: 圆锥摆
小试锋芒
1．如图所示，质量均为m的a、b两小球用不可伸长的等长轻质细线悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为θ，则下列说法正确的是（ ）
谢谢聆听！！
4.5 牛顿运动定律的应用—【新教材】人教版（2019）高中物理必修第一册课件(共19张PPT)
4.5 牛顿运动定律的应用—【新教材】人教版（2019）高中物理必修第一册课件(共19张PPT)
C
AC
BC
新课导入
学习新知二:圆周运动中的圆锥摆临界问题
A. a绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零。
D．由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的芒1,5,112.记得周日收一次改错本
(2)画出小球在最高点时绳上拉力与此时球在最高点速度平方的关系，即 图
(3)小球m在轻绳牵引作用下，若小球在竖直平面内不能做完整的圆周运动，则小球结束圆周运动时受力特点是？
竖直平面内圆周运动杆（不计重力）模型
(1)小球在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动，则小球在最高点的受力特点和相应速度大小？
(2)画出小球在最高点时杆上拉力与此时球在最高点速度平方的关系，即 图
专题：圆锥摆及其临界问题
第六章 圆周运动
学习目标：1、理解分析圆锥摆模型。（重点）2、理解分析圆周运动中的圆锥摆临界问题。（重难点）3、学会应用圆周运动解决生活相似问题，体会科学知识的应用价值。
复习竖直平面内圆周运动绳、杆（不计重力）模型
最新圆锥摆模型全透视
圆锥摆模型全透视一、圆锥摆模型：1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作匀速圆周运动。
2．受力特点：只受两个力：竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力F 。
两个力的合力，就是摆球作圆周运动的向心力F n ，如图示。
二、常规讨论：1． 向心力和向心加速度：设摆球的质量为m ，摆线长为l ，与竖直方向的夹角为θ，摆球的线速度为v ，角速度为ω，周期为T ，频率为f 。
nn ma F =，θπθπθωθθsin )2(sin )2(sin sin tan 2222l f m l T m l m l v m mg ====，θπθπθωθθsin )2(sin )2(sin sin tan 2222l f l Tl l v g a n =====2． 摆线的拉力：有两种基本思路：当θ角已知时θcos /mg F =，当θ角未知时l f m l Tm l m F F n 222)2()2(sin /ππωθ==== 3． 周期的计算：设悬点到圆周运动圆心的距离为h ，根据向心力公式有ghg l T πθπ2cos 2==，由此可知高度相同的圆锥摆，周期相同，与θ,,l m 无关。
4．动态分析：当角速度ω增大时，根据θωθsin tan 2R m mg =有Rg2cos ωθ=，ω增大，θ增大，向心力增大，回旋半径增大，周期变小。
三、典型实例：例1：将一个半径为R 的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m 的小球贴着碗的内壁在水平面内以角速度ω做匀速圆周运动，如图，求圆周平面距碗底的高度。
若角速度ω增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？解析：本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。
θωθsin tan 2R m mg =，故Rg2cos ωθ=，圆周平面距碗底的高度为2cos ωθgR R R h -=-=。
若角速度ω增大，则有θ增大，高度h 变大，回旋半径变大，向心力变大。
圆锥摆模型全透视
精心整理圆锥摆模型全透视一、圆锥摆模型：1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作匀速圆周运动。
2．受力特点：只受两个力：竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力F 。
两个力的合力，就是摆球作圆周运动的向心力F n ，如图示。
二、常规讨论：1． 向心力和向心加速度：设摆球的质量为m ，摆线长为l度为v ，角速度为ω，周期为T ，频率为f 。
n n ma F =，θπθωθθsin )2(sin sin tan 222l T m l m l v m mg ====θtan g a n =2． ，当θ角未知时F F n sin /θ=3． ghg l T πθπ2cos 2==，由此可知高度相同的圆锥摆，周期相同，与θ,,l m 无关。
4．动态分析：当角速度ω增大时，根据θωθsin tan 2R m mg =有Rg2cos ωθ=，ω增大，θ增大，向心力增大，回旋半径增大，周期变小。
三、典型实例：例1：将一个半径为R 的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m 的小球贴着碗的内壁在水平面内以角速度ω做匀速圆周运动，如图，求圆周平面距碗底的高度。
若角速度ω增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？解析：本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。
θωθsin tan 2R m mg =，故Rg2cos ωθ=，圆周平面距碗底的高度为2cos ωθgR R R h -=-=。
若角速度ω增大，则有θ增大，高度h 变大，回旋半径变大，向心力变大。
点评：例2：圆锥筒内壁的A 处有一质量为m 回旋半径，向心力分别如何变化？解析：小球受两个力mg 、F N ，m mg 2cot ωθ=变，回旋半径r 减小，小球到锥底的高度降低。
点评：本题区别于例1例3：一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，顶角为600一速圆周运动，绳解析：0230sin 30tan L v m =，求得小球的线速度为小球不做圆锥摆运动，小球受三个力，如图示，用正交分解法解题，在竖直方向mgF F N =+0030sin 30cos ，在水平方向0230sin 30cos 30sin L v m F F N =-，解得mg F 033.1=。
圆锥摆正稿
圆周运动模型——圆锥摆模型1.特点：对于圆锥摆模型，是水平面内的圆周运动，一般涉及水平面内圆周运动是匀速的，需要的向心力水平，圆心在水平面内。
2.基本模型：圆锥摆是一种典型的匀速圆周运动模型，基本的圆锥摆模型和受力情况如图所示，拉力和重力的合力提供球做圆周运动的向心力．F 合＝F n ＝mg tan θ＝m v 2R例1：（基本模型）量为m 的小球，一端固定于O 点。
让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图所示。
当摆线L 与竖直方向的夹角是时，求：(1) 线的拉力F ；(2) 小球运动的角速度；例2：(广东高考)有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图4-3-1所示，长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．例3：（火车弯道）铁路转弯处的弯道半径r 是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h 的设计不仅与r 有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下列表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r 及与之对应的轨道的高度差h.(1)根据表中数据，试导出h 和r 关系的表达式，并求出当r ＝440 m 时，h 的设计值．(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值为L ＝1 435 mm ，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v(以km /h 为单位，结果取整数．当θ很小时，tan θ≈sin θ)．(3)为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速，这就要求火车转弯速率也需要提高．请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施．弯道半径r/m 660 330 220 165 132 110 内、外轨高度差h/mm 50 100 150 200 250 300例4：（双线圆锥摆）如图所示，在竖直的转动轴上，a 、b 两点间距为40 cm ，细线ac 长50 cm ，bc 长30 cm ，在c 点系一质量为m 的小球，在转动轴带着小球转动的过程中，下列说法不正确的是( )A ．转速小时，ac 受拉力，bc 松弛B ．bc 刚好拉直时ac 中拉力为1.25mgC ．bc 拉直后转速增大，ac 拉力不变D ．bc 拉直后转速增大，ac 拉力增大例5：（双线圆锥摆）如图所示，一个质量为m 的小球由两根细绳拴在竖直转轴上的A 、B 两处，AB 间距为L ，A 处绳长为2L ，B 处绳长为L ，两根绳能承受的最大拉力均为2mg ，转轴带动小球转动。
高中物理圆锥摆模型结论
高中物理圆锥摆模型结论
哇塞！高中物理的圆锥摆模型？这可真是个让人又爱又恨的家伙！
咱们先来说说这个圆锥摆模型到底是啥样儿的。
想象一下，有个小球被一根绳子拴着，然后在水平面上转圈圈，就像个快乐的小舞者，这小球运动的轨迹不就形成了一个圆锥的样子嘛！
那这个模型能得出啥结论呢？首先呀，小球受到的向心力可不简单！绳子的拉力在水平方向的分力就提供了这个向心力，难道这还不神奇吗？
比如说，绳子越长，小球转得就越慢，这就好像放风筝，线长了，风筝反而飞得没那么快，难道不是吗？还有啊，小球的质量越大，转起来就越费劲，这跟胖的人跑步更累不是一个道理吗？
再想想，如果绳子的拉力突然变大或者变小，那小球的运动状态不就得乱套啦？这就好比正在跳舞的人，突然被人用力拉了一下或者推了一下，舞步能不乱吗？
而且，这个圆锥摆模型在实际生活中也有好多应用呢！像游乐场里的旋转飞椅，不就是圆锥摆模型的放大版吗？还有那些杂技演员表演的空中飞人，他们在空中旋转的轨迹，不也能跟圆锥摆模型联系起来吗？
总之，高中物理的圆锥摆模型虽然有点复杂，但是仔细想想，还真是充满了趣味和奥秘。
它不仅能让我们更深入地理解物理知识，还能让我们发现生活中好多有趣的现象都能用它来解释。
所以呀，我们可不能小瞧了这个圆锥摆模型，它可真是个隐藏在物理世界里的小宝藏呢！。
圆锥摆教材解读
圆锥摆教材解读新教材必修二第六章讲述圆周运动知识，圆周运动是高中非常重要的运动，高考对圆锥摆运动考察较多，本章内容涉及圆锥摆知识就有八处之多，那么什么是圆锥摆呢？如图所示：小球在轻质不可伸长的细绳拉力、重力作用下，在水平面上做匀速圆周就是圆锥摆模型，其中小球受的拉力，重力的合力水平指向圆心，提供向心力。
n tan F F mg θ==合=ma合外力产生加速度，做匀速圆周运动的物体加速度又与角速度，线速度、周期、半径等物理量有关系，所以合外力间接决定了描述圆周运动的物理量，那么圆锥摆问题的解题思路是：列合外力与运动量之间的关系方程，进而讨论运动量的大小关系。
22=tan v F mg ma m mr rθω===合 圆锥摆可推广到以下运动：凡是在斜向上的力和重力共同作用下，在水平面内做的匀速圆周，都可归为圆锥摆。
这样归类后，学生对圆锥摆的认识就更广泛了，老师的这种归类总结有利于培养学生建模能力，有利于培养学生的知识迁移能力。
认清圆锥摆后，我们来总结一下圆锥摆的规律：（1）同一根绳拉着物体在不同的水平面做匀速圆周运动，θ角越大，运动的半径越大，运动的线速度越大，角速度越大，周期越短，向心加速度越大。
（2）不同的轻绳拉着物体在同一水平面运动，绳与竖直方向的夹角为如图所示：悬点和圆心距离相等，由公式得：2tan tan mg m h θωθ=，1、2两球运动过程中角速度、周期相同；由公式v=wr 得：线速度v 1>v 2；由公式mg tan θ=ma 得：向心加速度a 1>a 2下面是几个典型的圆锥摆试题，分享给大家。
1．2022年北京冬奥会上，有一项技术动作叫双人螺旋线，如图（a ）所示，以男选手成为轴心，女选手围绕男选手旋转。
将这一情景做如图（b ）所示的抽象：一细线一端系住一小球，另一端固定在一竖直细杆上，小球以一定大小速度随着细杆在水平面内做匀速圆周运动，细线便在空中划出一个圆锥面，这样的模型叫“圆锥摆”。
圆锥摆
h
F向 需 m r
2
mg tan m r
2
F合
θ
g tan r
g tan h tan
mg
在同一水平面不同绳长的圆锥摆
F θ
F向 供 F合 mg tan
h
F向 需 m r
2
mg tan m r
2
F合
θ
mg
g h 结论：在同一水平面的不同圆锥摆 （都做匀速圆周运动），虽然夹角 θ不同，只要圆锥的竖直长度相等， 则物体的ω相同，T 相同
在同一水平面的不同圆锥摆都做匀速圆周运动虽然夹角不同只要圆锥的竖直长度相等则物体的相同t相同在同一水平面不同绳长的圆锥摆tanmgtanmgsintancos结论
R r ( r h)
2
2
O
r-h
O’
h
r
R
F合 m R mg tan
2
R tan r h
R N m R mg θ r h r-h g 2 rh F合 O’
E
θ
D
C B A
g l cos g h
结论：物体做圆锥摆（匀速圆周运动），在g一定时， ω只与圆锥竖直长度h有关，竖直长度越小（飘得越高）， ω越大。 竖直长度相等，ω相等
2
O
h
R
θ
mg
在同一水平面不同绳长的圆锥摆
F θ
F向 供 F合 mg tan
F向 需 m r
2
mg tan m r
2
F合
θ
g tan r
g tan h tan
高中物理 模块要点回眸8 圆锥摆模型及其拓展应用 新人教版必修2
第8点 圆锥摆模型及其拓展应用1. 圆锥摆结构和运动模型如图1所示，一根不可伸长的绳，一端固定在O 1点，另一端拴一小球(可视为质点)，给小球一水平初速度，不计空气阻力，小球在水平面内做匀速圆周运动.图12.提供的向心力(1)可认为绳子对小球的拉力和小球的重力的合力提供向心力. (2)也可认为是绳子拉力在水平方向的分量提供向心力. 3. 线速度和绳长的关系(如图2所示)设小球的质量为m ，悬线与竖直方向的夹角为θ，绳长为l ，则小球做圆周运动的半径为r＝l sin θ.由牛顿第二定律得mg tan θ＝m v 2r.所以v ＝gr tan θ＝gl sin θ·tan θ.图24.拓展(1)光滑漏斗上小球的圆周运动.如图3. (2)火车转弯问题.如图4.图3 图4对点例题 长为L 的细线，一端固定于O 点，另一端拴一质量为m 的小球，让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图5所示，摆线与竖直方向的夹角为α，求：图5(1)线的拉力大小；(2)小球运动的线速度的大小； (3)小球运动的周期.解题指导 对小球受力分析如图所示，小球受重力mg 和线的拉力F T 作用，这两个力的合力mg tan α指向圆心，提供向心力，由受力分析可知，细线拉力F T ＝mgcos α.由F n ＝m v 2R＝m ω2R＝m 4π2RT2＝mg tan α，半径R ＝L sin α，得v ＝gL sin 2 αcos α＝gLcos αsin α，T ＝2πL cos αg.答案 见解题指导如图6所示，质量为1 kg 的小球用长为0.5 m 的细线悬挂在O 点，O 点距地面竖直距离为1 m ，如果使小球绕OO ′竖直轴在水平面内做圆周运动，若细线最大承受拉力为12.5 N ，(g ＝10 m/s 2)求：图6(1)当小球的角速度为多大时，细线将断裂； (2)线断裂后小球落地点与悬点的水平距离. 答案 (1)5 rad/s (2)0.6 m解析 (1)当细线承受的拉力恰为最大时，对小球受力分析，如图所示： 竖直方向F T cos θ＝mg ， 解得θ＝37°向心力F 向＝mg tan 37°＝m ω2L sin 37° 解得ω＝5 rad/s.(2)线断裂后，小球做平抛运动，则其平抛运动的初速度为v 0＝ωL sin 37°＝1.5 m/s 竖直方向：y ＝h －L cos 37°＝12gt 2水平方向：x ＝v 0t解得d ＝L 2sin 2θ＋x 2＝0.6 m.。
圆锥摆模型解析版
圆锥摆模型一、模型建构1、圆锥摆问题：小球以一定的大小的速度在水平面内做匀速圆周运动，连接小球的细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”， “圆锥摆”是匀速圆周运动中一个典型的实例，搞清了圆锥摆的有关问题，那么匀速圆周运动中不少常用的分析和处理方法也就基本掌握了。
2、两类问题第一类：有绳圆锥摆小球受到重力G 和悬线上拉力T水平面内做匀速圆周运动，轨道圆心O ，半径r ＝l sin α 沿半径和垂直半径方向建立坐标系 垂直半径方向：T cos α=mg沿半径方向：T sin α=mg tan α=mv 2/r ＝m ω2r解得：ω＝αcos l g讨论：①当悬线长度l 一定时，ω∝αcos 1，当小球角速度ω的增大时，悬线与竖直方向的夹角α增大。
悬绳拉力T =mg/ cos α增大一、解题思路：1、确定研究对象进行受力分析2、找圆心，定半径3、沿半径和垂直半径建立坐标系4、沿两轴方向列方程求解 二、解题方法：牛顿运动定律 三、解题关键点： 1、向心力来源2、各物理量与夹角的关心 四、解题易错点 1、各物理量变化关系半径r＝l sinα增大线速度v=ωr增大②若悬线的长度l和夹角α均不相同，l cosα=h，则ω＝√gh⁄，角速度ω相同，小球到悬点在竖直方向上的距离h就相同。
第二类：无绳圆锥摆小球沿一个倒置的光滑圆锥面的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。
小球在重力G和圆锥面对它的支持力N（相当于圆锥摆中悬线的拉力T）水平面内做匀速圆周运动，轨道圆心O，半径r＝htanθ沿半径和垂直半径方向建立坐标系垂直半径方向：N sinθ=mg沿半径方向：N cosθ=mg /tanα=mv2/r＝mω2r解得：v=√gℎω=tanθ√g h⁄当v增大时，小球所处的高度h就增大半径r＝htanθ增大角速度ω=1tanθ√g h⁄减小弹力N=mg/sinθ不变可得：轨道越高，线速度v越大，角速度ω越小。
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2
gL
v 0 ，小球做圆锥摆运动，且 3 0
， 设此时绳与竖直方向的夹角为，
则有
v2
mg tan m L sin
解得 60
因此F T
mg cos60 2mg
点评：本题要先判断究竟物体是否属于圆锥摆模型。判断时，先根据临界条件，当圆锥
体刚好对斜面没有压力时，求得小球的线速度为v0 。当 v v 0 时，小球做圆锥摆运动，v v 0
T 2. 摆线的拉力
有 两 种 基 本 思 路 ： 当 角 已 知 时 F mg ； 当 角 未 知 时
T cos
FT
Fn
sin
m 2l
( 2 )2 l m(2f )2 l
T
3. 周期的计算
设悬点到圆周运动圆心的距离为 h，根据向心力公式有T 2 l cos 2 h ，由此可知高
g
g
度相同的圆锥摆周期相同与m、l、无关。
示，一条长为L 的轻绳，一端固定在锥顶O 点，另一端拴一质量为 m 的小球，小球以速率 v 绕圆锥的轴线做水平面内的匀速圆周运动，求：
1 当 v 1 gL 时，绳上的拉力多大？ 6
2 当 v 3 gL 时，绳上的拉力多大？ 2
解析：当小球刚好对圆锥没有压力时
图4
mg
tan
30
m
v2 0
L sin 30
圆锥摆模型全透视
一. 圆锥摆模型 1.结构特点：一根质量和伸长可以不计的细线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面 内做匀速圆周运动。
2. 受力特点：只受两个力即竖直向下的重力 mg 和沿摆线方向的拉力 FT 。两个
力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力 Fn ，如图 1 所示。
二. 常规讨论
图1
1. 向心力和向心加速度
求得小球的线速度
v0
3 gL 6
（1）当 v
1 6
gL
v 0 ，小球不做圆锥摆运动，小球受三个力，如图
5
所示，用正交分解
法解题，在竖直方向
FTcos30 F sNin 30 mg
在水平方向 FTsin 30 F cNos30 m
v2 L sin30
解得 FT1.033mg 图5
2
（2）当 v
图3
于角度不变，故向心力不变，回旋半径 r 减小，小球到锥底的高度降低。
点评：本题区别于例 1，不属于圆锥摆模型，圆锥摆模型是当角速度发生变化时，圆锥摆 顶点保持不变，即摆长不变，本题动态分析的结论和例 1 相反。
例 3. 一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，其顶角为60 ，如图 4 所
时，小球不做圆锥摆运动。
3
【例 2】 一个内壁光滑的圆锥筒绕其竖直轴线以角速度做匀速转动，在圆锥筒内
壁的A 处有一质量为 m 的小球与圆锥筒保持相对静止，在水平面内做匀速圆周运动， 如图 3 所示，在圆锥筒的角速度增大时，小球到锥底的高度，回旋半径，向心力分别 如何变化？
解析：小球受两个力 mg、 FN 作用，向心力mg cot m2r ，角速度增大时，由
设摆球的质量为m，摆线长为 l ，与竖直方向的夹角为，摆球的线速度为v，角速度为
，周期为T，频率为 f 。
v2
Fn man mg tan ml sin
m 2l sin m( 2 )l sin m(2f )2 l sin T
an g tan
v2 2l sin l sin
( 2 )2 l sin (2f )2 l sin
4. 动态分析
根据mg tan m2l sin 有 cos
径增大，周期变小。
g ，当角速度增大时，向心力增大，回旋半
l
三. 典型实例
【例 1】将一个半径为 R 的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为 m 的小
球贴着碗的内壁在水平内以角速度做匀速圆周运动，如图 2 所示，求圆周平半径、向心力如何变化？
1
图2
【解析】本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。
mg tan m2 R sin ， 故
cos g ， 圆 周 平 面 距 碗 底 的 高 度 为 2 R
h R R cos R g 。若角速度增大，则有增大，高度h 变大，回旋半径变大，向
2
心力变大。 【点评】本题形式上不属于圆锥摆模型，但实质却为圆锥摆模型。