电动力学数学基础(复旦整理)

合集下载

电动力学--场论的数学基础

* a b 0
* 0b 0Байду номын сангаас * a b b a
b 为任意矢量
a , b 相互垂直
满足交换律
* * 3、标量积的坐标表示若 a ax i a y j az k ,
(a b ) c a c b c 满足分配律 (a b ) a (b ) 满足结合律
且与 a, b 构成右旋关系。代表两矢量之间的夹角，且 0 c 的大小代表以 a, b 为边的平行四边形面积
a
2、矢量积的性质 a b 0 两矢量平行 * 不满足乘法交换律 a b b a * a (b c ) (a b ) (a c ) * 满足分配律
若函数 x (s, t ) , y (s, t )的偏导数存在，即
x y x y , , , s s t t
在 ( s , t ) 处存在，而函数 z f ( x, y) 在对应于( s , t ) 点的( x , y) 可微，则复合函数 z f [ (t ), (t )] 对于 s , t 的偏导数存在，且
2 2 2 2 1 2 2 1 2 2
cos1 cos 2 cos 1 cos 2 cos 1 cos 2
三、两矢量的矢量积
其大小为： a b sin 1、定义： a b c c 垂直于 a, b 构成平面， c b 方向：乘积
归纳法（从特殊到一般）类比法（从一种特殊到另一种特殊）演绎法（从一般到特殊）
三、电动力学与电磁学研究的区别
电磁学的逻辑体系是：电动力学的逻辑体系是：理论——推演——实际实验——定律——理论以演绎法为主线。以归纳法为主线。理论出发点：各种类型场的方程是以积分的形式出现。 Maxwell方程组(微分形式) Lorentz力公式物质的电磁性质方程。结合具体的空间边值条件、时间初值条件，求解上述偏微分方程组，由此得到具体场的分布函数或演化函数。所得结果的正确性可以经受严格的实验检验。

复旦大学数学学院

复旦大学数学学院学生选课指南选课是大学和中学最大的不同之一，学生在大学学习阶段需要在一定的范围内自己决定学什么课程，这对习惯中小学按学校安排课程学习的学生来说经常会面临选择困境。

从2015年开始，数学学院对教学方案作了较大的调整，主要是增加了学生选课的自由度和灵活度，这自然增加了学生选课的难度，因此学院组织撰写选课指南帮助学生选课，请每个学生在选课之前仔细阅读。

大学数学课程的内容和难度都是中学数学不能比拟的，而且这个内容和难度随着年级的增加以很大的加速度增加，所以除了上课时间外，学生平均需要付出两三倍于上课的时间进一步学习巩固，留有足够多的思考时间对学好数学是非常重要的，不投入相当的时间精力是不可能学好任何一门数学课程的，肤浅地学一门数学是没有什么意义的。

所以我们建议学生一个学期选的数学专业的课程应该在每周15个课时左右（注意是课时，不是学分，课时通常是大于等于学分的），不可超过18个课时。

A．数学学院毕业学分要求：共144学分1. 通识课程：41学分。

2. 大类必修课：18 学分数学分析I，数学分析I，大学物理B（上), 大学物理B (下)。

3. 专业必修课: 24学分数学分析III，高等代数（上), 高等代数(下），解析几何，抽象代数I，拓扑I(内容包括欧氏空间拓扑). 高等数学A(上下)再加数学分析原理可以代替数学分析I,II,III.毕业论文: 4 学分, 按A,B,C,D方式给成绩, 申请A类成绩的学生需教师推荐, 递交论文并答辩.4. 限定必修课：27学分从下面12门课程中选9门(27个学分), 超过9门可以算成专业选修课: 常微分方程，泛函分析, 概率论, 拓扑II, 微分几何，基础力学, 数理方程, 抽象代数II, 复变函数, 实变函数, 数学建模，微分方程数值解.5. 专业选修课: 15 学分, 从培养方案所列选修课程中选(信息与计算专业有课程要求), 通常是5门课程. 包括限定必修课中的课程.6. 任意选修课: 15学分, 可选全校任意课程(包括数学学院专业选修课程). 包括专业选修课中的课程.B．学生选课指导：数学学院的学生需要修的数学课总数大约是：2门大类课程+6门专业必修9门专业限定必修+4门专业选修+4门任意选修+毕业论文，共25门课程加一个毕业论文，平均每个学期3门。

电动力学中的数学知识

四、场的微分算符
1、场的概念
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
r 场用一个空间和时间标量场 ( x, y, z, t ) = ( x, t ) r r r 坐标的函数来描述：矢量场 A( x, y, z, t ) = A( x, t )
5
三、电磁理论的发展历史：
1785年发现库仑定律（Coulomb） 1820年发现电流的磁效应（Oersted） 1831年发现电磁感应定律（Faraday） 1865年建立电磁场理论（Maxwell） 1905年建立狭义相对论（Einstein）进入二十世纪后，建立了量子电动力学
6
四、学习电动力学的目的：
定理：在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及矢量场在区域边界上的法线分量， r r A = ρ (x) V r r r 在 V内 × A = ω ( x) AnS = f ( S ) 在 S 面上则该矢量场在区域内是唯一确定的。
26
六、常用定理与公式
4、复合函数
r r 3 a b = ∑
i =1
∑ a b e e = ∑ ∑δ a b
j =1 i j i j i =1 j =1 ij i
3
3
3
j
r r 3 a ×b = ∑
i =1
∑ a b e × e = ∑ ∑ε
j =1 i j i j i =1 j =1
3
3
3
ijk i
a b j ek
12
10）εijkεijk = 6 9）εijkεijr = 2δ kr

第0章电动力学的数学基础

(2)两个矢量的叉乘 ) 两个矢量的叉乘,乘积是一个矢量, 两个矢量的叉乘,乘积是一个矢量,称为矢积或外积. 外积.其大小等于以两矢量为邻边所作平行四边形的面积,方向满足右手螺旋法则. 形的面积,方向满足右手螺旋法则.
a×b
b a
3. 三个矢量的乘积: 三个矢量的乘积
(1)三个矢量的混合积 ) 三个矢量的混合积是一个标量. 三个矢量的混合积是一个标量. 设则 , ,
(2). 散度定义: 定义: 矢量场的散度是一个标量直角坐标系中散度可表示为直角坐标系中散度可表示为
Ax Ay Az div A = + + x y z
散度定理
∫
V
div A dV = ∫ A dS
S
从数学角度建立了面积分和体积分的关系. 数学角度建立了面积分和体积分的关系. 角度建立了从物理角度建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的边界 S 上的场物理角度建立了区域角度建立了之间的关系. 之间的关系.
算符以及梯度, . 算符以及梯度,散度和旋度的表示 (del operator)
直角坐标系中: 直角坐标系中: = i + j+ k x y z
表示梯度,散度和旋度: 用表示梯度,散度和旋度:
grad = ,
算符的性质: 算符的性质:
divA = A,
rotA = × A
矢量性——矢算符按矢量运算规则. 矢量性——矢算符,按矢量运算规则. 矢算符, 微分性——微分运算按求导规则. 微分性——微分运算,按求导规则. 微分运算,
Laplace算符标算符,有的书上记为: 算符, 2—Laplace算符,标算符,有的书上记为:
× (× A) = ( A) 2 A

电动力学数学准备

a1 a2 a (b c ) b1 b2 c1 c2 a3 b3 c3
则
§0.2 数学准备
利用行列式的性质，可以证明以下结论：
a (b c ) b (c a ) c (a b ) a (c b ) b (a c ) c (b a )
（3）积分变换式——高斯定理
（Gauss’s Theorem）
f dS divfdV
S V
它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。
§0.2 数学准备
3. 矢量场的旋度:
（1）概念：设闭合曲线L所围面积为
（Rotation of Vector Field）
A y ( Bx C y By Cx ) A z ( Bz Cx Bx Cz ) X方向分量：
B x ( A y C y A z C z ) C x ( A y B y A z Bz ) B x A x C x C x B x A x Bx ( A C) C x ( A B) 即 [A ( B C)]x [ B( A C ) C ( A B)]x
于有源，散度越大，源的密度越高。
旋度表征的是矢量场的矢量线是否可以是闭合曲线。如果矢量场的旋度处
处为零，则矢量场的矢量线不闭合。
§0.2 数学准备
（2）在直角坐标系中旋度的计算公式：
ex rotf x fx
（3）积分变换式—斯托克斯定理
ey y fy
ez z fz
（Stoke’s Theorem）
b b1i b2 j b3k
a b (a1 b1 )i (a2 b2 ) j (a3 b3 )k

电动力学数学预备

它有9个分量AiBj 和9个基ei ej.一般地
(1.7)
AB BA
14
1.矢量和张量代数
u3
e3
e2
u1
e1
u2
•三维空间二阶张量也有9个分量Tij ，它的并矢量形式与矩阵 (matrix)形式分别为
3
T Tij ei e j i, j1
(1.8)
T11 T12 T13
T T21
T22
(1.16)
19
2.矢量和张量分析
（1）算符和2 表示“场”的物理量,一般地是空间坐标（和时间）的连续函
数，也可能有间断点，甚至会有奇点.
温度T 的分布,静电势的分布,都构成标量场.
电流密度J, 电场强度E, 磁感应强度B, 矢势A 的分布,都构成矢量场.
(读“del”) 是对场量作空间一阶偏导数运算的矢量算符. = 2 是二阶齐次偏导数运算的标量算符，即拉普拉斯算符.
1.矢量和张量代数
物理量在空间中的分布构成“场”,亦即场量是空间坐标（以及时间）的函数.例如:
温度分布T (x,y,z,t) ——标量场
流体速度分布v (x,y,z,t)——矢量场电磁场的两个基本场量
电场强度E(x,y,z,t ),磁感应强度B(x,y,z,t ) ——都是矢量场可以用势描写电磁场:
为矢量场A 在P点的旋度A 在en方向的分量.
在直角坐标系中
A ( Az y
Ay z)exຫໍສະໝຸດ ( Ax zAz x
)e
y
( Ay x
Ax y
)e
z
它是矢量.
(2.10)
27
2.矢量和张量分析
如果所有点上均有
A= 0 称A 为无旋场(irrotational field). 例如, 静电场E 就是无旋场,即

电动力学(数学基础)

称为矢量场A( r )在该点的散度(div是divergence的缩写)。
散的度强的弱重程要度性，在当于div，A可用0 表，征表空示间该各点点有矢散量发场通发量散
的正源；当div A 0 ，表示该点有吸收通量的
负源；当div
A
0
，表示该点为无源场。
在直角坐标系中：
divA A Ax Ay Az x y z
例：设u是空间坐标A(xu,)y,z的u函数dA，(u证) 明
Operator
设有一标量函数 r x, y, z
d dx dy dz
x y z
x
i
y
j
z
k
dxi dyj dzk
Gx,
y,
z dl
G
n dl
p
n
dn θ
p dl
p
l
0
方向导数：
l
G n el
G
c
os
n
e
G cos
G
l max
n
引进梯度(Gradient)概念：
６ 0, A 0
证明:
( )
(
)
ex
x
(
)
ey
y
(
)
ez
z
(
)
ex (
x
x
)
ey (
y
y
)
ez (
z
z
)
(ex
x
ey
y
ez
)
z
(ex x
ey y
ez
) z
§0-5 二阶微分算符
Second-order Differentiation Operator

电动力学知识概要

• 静电导体系的电场总能：W = 电容系数：Qi = ∑
j
Cij ϕj 1 ∑n qα ϕα （注意ϕα 的物理意义！） 2 α
• 相互作用能：Wint =
• 能量极小――静电平衡： 1. 有约束下平衡态为导体成为等势体――汤姆逊定理 2. 无约束下静电体系没有平衡态――恩肖定理 1 2 ⃗ = 1 ε0 E 2 ⃗ • 导体在电场中受力：f n= σ ⃗ n 2 2ε0
2 ⃗ = ω µ0 ⃗ B er × [p ⃗] 4πcr 2
⃗] µ0 [p ˙ ⃗ ⃗ （等效于公式P = j） 4π r
( ) ⃗ = −⃗ ⃗ E er × cB
⃗, B ⃗, ⃗ 类似平面电磁波（E k 满足右手法则）！ p ⃗ ⃗ →B ⃗ → µ0 m ⃗,E ε0
• 电磁偶极辐射的对称性： • 天线辐射：
•
不同的方法“看到”的东西不一样。
φm =
˜int = m ⃗ e ，在等电流条件下推得 • 与外场“有效相互作用能”：U ⃗ ·B ⃗ =m ⃗ e (⃗ F ⃗ · ∇B r) ⃗e ⃗ τ =m ⃗ ×B
8
第六章
似稳场（准静场）
• 准静场――忽略位移电流=忽略“辐射效应”=忽略“推迟效应” • 似稳条件：ω ≪ ωσ = σc λ ,R≪ ε 2π ∂ (⃗ ⃗) 1 2 (⃗ ⃗) H, E = ∇ H, E ∂t µσc
第二章
电磁场的守恒定律和对称性
) ∫ ∂ ( Wm + udτ = ∂t 1 ⃗ ⃗ E×B µ0 ⃗P · dS ⃗ S
• 能量守恒及转化：
⃗P (⃗ • 能流密度：S r , t) =
1 • 电磁场局域能量密度：u(⃗ r , t) = 2

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

ˆ + ez
∂vy ∂vx − ∂x ∂y
x2 + y 2 + z 2 ∂ x2 + y 2 + z 2 ∂ ˆ ˆ ex + ey + ∇r = ∂x ∂y x y z r ˆ ˆ ˆ ˆ ∇r = ex + ey + ez = = = er r r r r ∂
x2 + y 2 + z 2 ˆ ez ∂z
4
Let there be light 4. (cross product, vector product)
ˆ A × B = |A||B| sin θ n A × B = −B × A A × (B + C) = A × B + A × C A×A=0
ˆ ˆ ˆ A = Axex + Ay ey + Az ez e e e A + B = (Ax + Bx)ˆx + (Ay + By )ˆy + (Az + Bz )ˆz A · B = AxBx + Ay By + Az Bz A= A·A= A2 + A2 + A2 x y z
13
Let there be light r ˆ ∇r = = er , r df ∇f (u) = ∇u du d A(u) ∇ × A(u) = (∇u) × du
d A(u) , ∇ · A(u) = (∇u) · du ∇r2 = 2r∇r = 2r 1 1 1 r ˆ ∇ = − 2 ∇r = − 2 er = − 3 r r r r ∂ ∂ ∂ ˆ e e ∇ · r = ex +ˆy +ˆz ∂x ∂y ∂z ∇×r = ˆ ˆ ˆ ex ey ez
C(f g) = g Cf = f Cg ∇ ∇
A f
∇f ∇ALeabharlann C · (f A) = A · (Cf ) = f (C · A)
∇ ∇ ∇ ∇
16
Let there be light
∇ × (f A) = ∇f × (f A) + ∇A × (f A)
∇ 1. ∇ f A 2. ∇ ∇
A f
∇f ∇A
9
Let there be light
§ 1.2
∂T ∂T ∂T ˆ ˆ ˆ ∇T = ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z ∂T ∂T ∂T dx + dy + dz dT = ∂x ∂y ∂z = (∇ T ) · (d l) = |∇T | |d l| cos θ ∇T T
T
10
Let there be light
Let there be light
• § 1.1 • § 1.2 • § 1.3 • § 1.4 • § 1.5 • § 1.6 Dirac delta • § 1.7
2
Let there be light
§ 1.1
v m 1. commutative A+B =B+A associative (A + B) + C = A + (B + C) r q
2
∇2 f
∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f = 2+ 2+ 2 ∂x ∂y ∂z
Laplacian
∂2 ∂2 ∂2 ˆ ˆ ˆ ∇2 A = + 2 + 2 (Axex + Ay ey + Az ez ) 2 ∂x ∂y ∂z ∂ 2Ax ∂ 2Ax ∂ 2Ax ∂ 2Ay ∂ 2Ay ∂ 2Ay ˆ ˆ = ex + ey + + + + 2 2 2 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂ 2Az ∂ 2Az ∂ 2Az ˆ ez + + + Laplacian 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∇2A = (∇2Ax)ˆx + (∇2Ay )ˆy + (∇2Az )ˆz e e e
20
Let there be light
∇(A · B) = ∇A(A · B) + ∇B (A · B)
∇ A 1. ∇ B 2. ∇ B A ∇A ∇B
= B × (∇A × A) + (B · ∇A)A + A × (∇B × B) + (A · ∇B )B
∇
B × (C × A) = C(A · B) − (B · C)A ⇓ C(A · B) = B × (C × A) + (B · C)A C(A · B) = A × (C × B) + (A · C)B
8
A × (B × C) + B × (C × A) + C × (A × B) = 0
Let there be light
ˆ ˆ r = xˆx + y ey + z ez e √ r = |r| = r · r = x2 + y 2 + z 2 ˆ er = r/r
ˆ ˆ ˆ dl ≡ dr = dx ex + dy ey + dz ez R ≡ r − r = (x − x )ˆx + (y − y )ˆy + (z − z )ˆz e e e r ﬁeld point source point r R = |R|= (x − x )2 + (y − y )2 + (z − z )2
=⇒ =⇒ =⇒
∇T ∇·v ∇×v
(gradient) (divergence) (curl)
∂ ∂ ∂ ˆ e e ∇ · v = ex +ˆy +ˆz ∂x ∂y ∂z ∂vx ∂vy ∂vz + + = ∂x ∂y ∂z
ˆ ˆ ˆ · (vxex + vy ey + vz ez )
12
Let there be light
∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z
ˆ ˆ · (xˆx + y ey + z ez ) = 3 e
=0
x
y
z
14
Let there be light
∇
∇ (f + g) = ∇ f + ∇ g ∇ · (A + B) = ∇ · A + ∇ · B ∇ × (A + B) = ∇ × A + ∇ × B k ∇ (kf ) = k ∇ f ∇ · (k A) = k ∇ · A ∇ × (k A) = k ∇ × A
∇ A 1. ∇ B 2. ∇ B A ∇A ∇B
= B · (∇A × A) − A · (∇B × B)
∇
C · (A × B) = B · (C × A) = −A · (C × B)
∇ ∇ ∇ ∇
∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B)
18
Let there be light
∂ ∂ ∂ ˆ e e ∇ × v = ex +ˆy +ˆz ∂x ∂y ∂z = ˆ ˆ ˆ ex ey ez vx vy vz ˆ = ex
∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z
ˆ ˆ ˆ × (vxex + vy ey + vz ez )
∂vz ∂vy − ∂y ∂z
ˆ + ey
∂vx ∂vz − ∂z ∂x
∇ × (A × B) = ∇A × (A × B) + ∇B × (A × B)
∇ A 1. ∇ B 2. ∇ B A ∇A ∇B
= (B · ∇A)A − B(∇A · A) + A(∇B · B) − (A · ∇B )B
∇
C × (A × B) = (B · C)A − B(C · A) = A(C · B) − (A · C)B
6
Let there be light Levi-Civita
1. 2. 3. εijk εmnk = δimδjn − δinδjm =
k
ˆ ˆ ei × ej =
k
ˆ εijk ek
εijk = −εikj δim δin δjm δjn
4. εijk εmjk
j, k
n=j = δimδjj − δij δmj = 3δim − δim = 2δim m=i εijk εijk
∇
∂T ∂T ∂ ∂ ∂ ∂T ˆ ˆ ˆ ˆ ex + ey + ez = ex +ˆy +ˆz e e T ∇T = ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z del ∇ ∂ ∂ ∂ ˆ ∇ = ex +ˆy +ˆz e e ∂x ∂y ∂z
11
Let there be light
Aa A·B A×B
i, j , k
7
5.
= 2δii = 6
Let there be light
1.
(scalar triple product
)
A·(B×C) = B·(C×A) = C·(A×B) A x Ay Az Bx By Bz Cx Cy Cz
A · (B × C) =
2.
(vector triple product) A × (B × C) = (A · C)B − (A · B)C A × (B × C) = (A × B) × C not associative
15
Let there be light f g, A · B, f A, A × B
∇(f g) = ∇f (f g) + ∇g (f g)