人工变量单纯形法之两阶段单纯形法
第3章09-人工变量法之两阶段法
第3章09人工变量法之两阶段法同学们大家好，今天我们继续来学习，人工变量法这一小节。
现在我们再来看第二个方法——两阶段法。
大M 法和两阶段法实际上各有优缺点，大M 法的原理很清晰，但是在用计算机求解时，对M 只能输入一个很大字长的数字，而模型的参数与M 有可能比较接近，从而可能会在计算过程中发生一些错误。
而两阶段法不需要设定大M ，不会发生这个问题，所以，计算机程序中一般都采用两阶段法。
两阶段法，顾名思义，就是把求解过程分成两个阶段进行。
第一个阶段，在原模型中，引入人工变量，使约束矩阵中有一个单位阵，同时，目标函数是求人工变量的和的最小值。
求解完之后，如果人工变量不取零，那么能证明原模型一定无可行解，反之，如果人工变量是都取零的，那么这个时候实际上也找到了原模型的一个可行基，然后再进一步求出原模型的解。
下面我们通过例3-7进行介绍。
例3-7用两阶段法求解线性规划问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=+≥-+-≤+++-=3,2,1,093124st.3max 3232132131i x x x x x x x x x x x z i 对于这个问题，首先把它化成下面的标准型131234123523max 3421st.390,1,2,,5i z x x x x x x x x x x x x x i =-++++=⎧⎪-+--=⎪⎨+=⎪⎪≥=⎩ 它的约束矩阵中显然没有单位阵，所以，我们下面用两阶段法进行求解。
第一阶段，引入人工变量x 6和x 7，使得约束矩阵中有单位阵，同时，目标函数是求人工变量的和的最小值，也就是，先求解下面的线性规划模型。
67123412356237max 421st.390,1,2,,7j x x x x x x x x x x x x x x x j ω=--+++=⎧⎪-+--+=⎪⎨++=⎪⎪≥=⎩ 用单纯形表法对上面的模型进行求解，先写出A ，b ，C ，111100021101100310001A ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭，419b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()0000011C =--选取初始基B=（P 4，P 6，P 7）=E ，基变量为X B =（x 4，x 6，x 7）T ，C B =（0，-1，-1），467B =P P P =E （，，），TB 467X =x x x （，，），BC =0-1-1（，，）而B -1A ，B -1b ，C-C B B -1A ，-C B B -1b 也都可以求出1B A A -=，1B b b -=，()()111110000000011(0,1,1)21101100310001 2400100B C C B A -⎛⎫ ⎪-=-------- ⎪⎪⎝⎭=--14(0,1,1)1109B C B b -⎛⎫ ⎪-=---= ⎪ ⎪⎝⎭这时就得到了下面的初始单纯形表。
二、两阶段单纯形法
（2）某个人工变量ys还是基变量。这时，显然有 表1-13中第s行等价于如下方程：
bs ys 0
表1-14中，
yi是人工变量 i 对应的检验数 dij是人工变量 i y , y
的系数
yi , j 都非正, 且由于- 显然，所有的检验数 是最优值，故必有 * 0 * (1)若 0 ，则可断言原问题（LP）1没有可行解
假设（LP）1有行解
*
X，则有
AX b, X 0
1．人工变量的引入 设原问题为
( LP)1 :
max Z CX s.t. AX b X 0
引入人工变量
y1 ,, ym
，构造新规划
( LP)II :
max W - y1 - y 2 - - y m s.t. IY+AX b Y 0, X 0
其中
，
Y ( y1 , y2 , ym )
0.25
-0.5 -0.375 -1.5
0
1 0 0
1
0 0 0
0.5
0 0.25 0
0
0 1 0
2
0 4 0
本节课结束! 谢谢!!
表1-15 cj 初 始 表 -1 0 0 0 0
y
0 1 0 0
x1
1 2 2 1
x2
（1） 3 3 1
x3
1 0 0 1
x4
0 -1 -1 0 1 6 6 1
3.12 4单纯形法(人工变量法)3.12
一个x12方x程12把中x第去2x二2个x方5x程3直接x加4
4 6
x1 , x一2个, 变x3量,(人x4工, 变x量5 ) 0
规范化
考虑一般问题：
bi > 0 ， i = 1 , … , m
Max Z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn a11 x1 + a12 x2 + …+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n xn = b2 … am1 x1+ am2 x2+…+ amn xn = bm
jm 1 j j
i1 i
i
j m 1 ij j
m
n
m
c b (c c a )x
i1 n i i
jm 1
j
i 1 i ij
j
n
Z (c z )x
0
j 1
j
j
j
n
Z C jx
0
j 1
j
其 Z m c 中 b ,C j c z ,z m c a
一、单纯形法的基本原理
（一）基本变量： 如果变量xj在某一方程中系数为1，而在其它一切方
程中的系数为零，则称xj为该方程中的基本变量。否则 为非基本变量。 （二）基本解：
在典型方程中，设非基本变量为零，求解基本变量 得到的解，称为基本解 。 （三）基本可行解：
基本变量为非负的一组基本解称为基本可行解 。
（２）最优解判别 如果任何一个非基变量的值增加都不能
使目标函数值增加，即所有检验数非正，则 当前的基本可行解就是最优解，计算结束。
单纯形法
cj 基 解
3 5 000 x1 x2 x3 x4 x5
0 x3 8 1 0
5 x2 6 0 1
第 0 x5 12 3 0
二
次
30 -3 0
迭 代
0
x3
4
5 x2 6
00 01
3 x1 4
10
1 00 0 1/2 0 0 -2 1
0 5/2 0 1 2/3 -1/3 0 1/2 0 0 -2/3 1/3
Simplex Method 第二章 单纯形法
SM
第2章 单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想 2.2 单纯形法的计算过程 2.3 人工变量法 2.4 单纯形法补遗
2
第2章 单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想
单纯形法有三种形式： ① 方程组形式 ② 表格形式 ③ 矩阵形式
2.1.1 方程组形式的单纯形法
2x2 0 +1x4 0 = 12 ②
3x1 + 4x2 0 0 +1x5 = 36 ③
条典
⑴ 当前基：m阶排列阵 ⑵ 目标方程中：一切基变量
的系数 σj = 0
满足条典的方程组称为典式(方程组)。 初始基本可行解
排列阵：
每行每列有且仅有一个元素 为1，其余元素全为0 的方阵。
X0 = (0, 0, 8, 12, 36)T z0 = 0
2.3 人工变量法
考虑标准型 (M)： 分别给每个约束方程硬性加入一个非负变量
a11x1 +a12x2+…+a1nxn +xn+1
a12x1 +a22x2+…+a2nxn
+xn+2
… … ………
单纯形法大M法两阶段法
大M法和两阶段法
如果线性规划模型中约束条件系数矩阵中不存在单位向量组，解 题时应先加入人工变量，人工地构成一个单位向量组。 人工变量只起过渡作用，不应影响决策变量的取值。
两种方法可控制人工变量取值使用，尽快地把人工变量减小到零。
• 大M法 • 两阶段法
大 M法
大M单纯形法要求将目标函数中 min z = -3X1 + X2+X3 的人工变量被指定一个很大的 x1 - 2x2 + x3 ≤ 11 目标函数系数（人工变量与松 - 4x1 + x2 +2 x3 ≥ 3 弛剩余变量不同之处）。 - 2x1+ x3 = 1 x1 ，x2 ，x3 ≥ 0
xk进基，xBr离基，用Pk替代PBr得新的可行基B
bi br r＝min{ | aik 0} ark aik
步5.以ark为主元素进行迭代.转步2
新可行解：x=(xB1,…xBr-1,0,xBr+1,…,xBm,0,…， 0,xk,0,…，0)
单纯形法流程图
开始 初始可行基
所有σj≥0？
目录
1 2 3 4 单纯形算法计算步骤 初始可行基的确定 大 M法 两阶段法
线性规划的单纯形算法
计算流程
初始基本可行解
N 沿边界找新 的基本可行解
是否最优解或 无限最优解? Y
结束
线性规划解的概念
若A = ( B, N )， 其中B ( P 1, P 2 , …，Pm )可逆，称B为基矩阵 x1 x2 xB 相应地X＝ , x B为基变量，x N为非基变量 xN xn xB 代入约束：(B,N)B-1b-B 1Nx N xN
单纯形法-人工变量法
θ
11 3/2 1
第一阶段求得的结果是ω = 0,最优解是（0,1,1,12,0,0,0）T 一阶段求得的结果是ω 0,最优解是 最优解是（ 12, 一阶段求得的结果是 是原线性规划问题的基可行解。 因人工变量 x6= x7=0，所以 ，所以(0,1,1,12,0)T 是原线性规划问题的基可行解。
第二阶段运算:
例:
max z=3x1+4x2 x1 +x2 ≤40 2x1+x2≤60 x1-x2 =0 x1 ,x2 ≥0
cj→ CB XB b x 3 40 0 x 4 60 0 0 -M x 5 cj - zj 0 0 3 4 0 3 x3 x4 x1 40 60 0 3 x1 1 2 [1] 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 4 x2 1 1 -1 [2] 3 -1 0 x3 1 0 0 0 1 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -1/3 1/3 1/3 -7/3 -M x5 0 -1 1 0
大M法 法
在目标函数中加上惩罚项。 在目标函数中加上惩罚项。
max =3x1-x2-x3-Mx6-Mx7 3 其中M为充分大的正数 为充分大的正数。 其中 为充分大的正数。 = 11 x1 − 2 x2 + x3 + x4 − 4 x + x + 2 x − x5 + x6 =3 1 2 3 x3 + x7 = 1 − 2 x1 + x1 ,L , x7 ≥ 0 只要原问题有可行解， 只要原问题有可行解，随着目标函数向最大化方向的改善 人工变量一定会逐步换出基，从而得到原问题的基可行解， ，人工变量一定会逐步换出基，从而得到原问题的基可行解， 进而得到基最优解。 进而得到基最优解。 反之， 反之，若加了人工变量的问题解后最优解中仍含人工变量 为基变量，便说明原问题无可行解。 的单纯形表格为： 为基变量，便说明原问题无可行解。例8的单纯形表格为： 的单纯形表格为
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一线性规划图解法1.线性规划的标准形式：(1)目标函数最大；约束条件等式；决策变量非负（x≥0）；资源限量非负（b≥0）。
(2)图解法两个变量系数C1、C2，斜率k=-(C1/C2)(3)图解法K≥0时，绝对值越大越靠近Y轴；K≤0时，绝对值越大越靠近Y轴。
(4)阴影区：无论斜率为正或负，小于的部分阴影区都在线的下方。
二单纯形法1.大M法（1）加入人工变量-Mx i…，M无穷大。
（2）最后将人工变量x i替换出去，且σ≤0.2.两阶段法（1）第一阶段：目标函数为max z′=−x i…，得到最终表。
（2）第二阶段：目标函数替换为原目标函数，在最终表里继续计算σ，直到都小于等于0。
3.单纯表特殊情况的解判断（1）最优解中人工变量大于0，线性规划无解。
（2）某次迭代过程，表中有一个σ＞0，且该列系数向量都小于等于0，线性规划无界。
（因为比较比值大小时都是负的）。
（3）某个非基变量σ=0，无穷解。
（4）退化问题：相同的比值，选择下标大者离基。
σk相同，任选一个入基。
4.初等行变换✓某一行（列），乘以一个非零倍数。
✓某一行（列），乘以一个非零倍数，加到另一行（列）。
✓某两行（列），互换。
三单纯形法灵敏度分析1.对偶问题原问题：max z=cx对偶问题：min f=b T yAx≤b A T y≥c TX≥0 y≥0（1）原问题统一为以上标准型，再进行下一步。
（2）原问题第i个约束条件等号，对偶问题i个决策变量无约束。
（3）原问题第i个决策变量无约束，对偶问题第i个约束条件等号。
（4）原问题的对偶价格为对偶问题的最优解。
（参考习题册第7、19题）（5）对偶价格：常数项增加1单位，目标函数值改进的数量。
（6）影子价格：常数项增加1单位，目标函数值增加的数量。
2.灵敏度分析（1）目标函数变量系数C k:将C k直接代入最终表，判断σ是否小于0。
（2）约束方程常数项b：利用如下公式计算新的最终表中b值。
判断b是否非负。
改进的单纯形法迭代计算方法
改进的单纯形法迭代计算方法吴庆丰【摘要】对传统大M法进行改进，若计算检验数的表达式中含有M则只计算含有M的部分，从而简化计算，迭代过程中当人工变量由基变量变为非基变量时，直接去掉人工变量部分的表格然后继续计算，从而再一次降低计算量。
借鉴两阶段法的优点进一步给出了无需给出大M的迭代算法，此法不会破坏目标函数的一致性，而且可以避免传统大M法在利用计算机求解时由于M值的选取不当所导致的计算错误。
%Improved big-M method is presented. If expressions of the calculated test number contain M, the only portion containing M is calculated, and thereby the calculation is simplified. And when artificial variables become nonbasic variables by basic variables in the iterative calculation process, the artificial variables parts of the table can be directly removed and then the calculation is continued. Thus, the amount of computation is again reduced. Taking advantages of two-phase method, an iteration algorithm without giving the big M is further given. This method does not undermine the consistency of the objective function, and the calculation error can be avoided when using traditional big-M method combined with computer to solve, due to the improper selection of the value of M.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2014(000)018【总页数】5页(P59-62,69)【关键词】线性规划;单纯形法;大M法;两阶段法【作者】吴庆丰【作者单位】淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北 235000【正文语种】中文【中图分类】O22单纯形法是求解线性规划的基本方法，许多文献对其不断改进。
运筹学5人工变量及其处理方法
min w = x6 + x7
max w' = − x6 − x7
= 11 x1 − 2 x2 + x3 + x4 − 4 x + x + 2 x − x5 + x6 =3 1 2 3 s.t. + x3 + x7 = 1 − 2 x1 x j ≥ 0 ( j = 1,2,3L7)
计算机计算时，必须对 给出一个具体数值 给出一个具体数值， 计算机计算时，必须对M给出一个具体数值，通常 计算时 取比原问题中最大数据高 最大数据高1~2个数量级的数值。并视 个数量级的数值 取比原问题中最大数据高 个数量级的数值。 求解情况对M作适当调节 作适当调节。 求解情况对 作适当调节。
例：用大M法求解LP 求解LP
两阶段法的第一阶段求解的目的： 两阶段法的第一阶段求解的目的： 目的
1.判断原LP有无可行解。 判断原 有无可行解 有无可行解。 判断 2.若有，则可得原LP的一个初始基本可行解，再 若有，则可得原 的一个初始基本可行解， 的一个初始基本可行解 若有 对原LP进行第二阶段的计算 进行第二阶段的计算。 对原 进行第二阶段的计算。
初始可 行基
B
(0)
= ( p4
p6
p7 ) = I 3
初始基本 可行解
(0
0 0 11 0 3 1)
T
初始单纯形表
[ ]
11 3 2 1
[ ]
/ 1 /
0
人工变量x 已从基变量中换出。 人工变量 6,x7已从基变量中换出。
第二阶段： 第二阶段：
x1 − 2 x2 + x3 + x4 − 4 x + x + 2 x − x5 1 2 3 s.t. + x3 − 2 x1 x j ≥ 0 ( j = 1,2,3L5)
单纯形法人工变量法
给出第一阶段的数学模型为：
min = x6+x7
x1-2x2+x3+x4
=11
-4 x1+ x2+2x3 -x5 + x6 =3
-2x1 + x3
+ x7 =1
x1，…， x7 0
第一阶段的单纯形表如下：
cj
0
CB XB b
x1
0 x4 11 1 1 x6 3 -4 1 x7 1 -2
6
0 x4 10
3
1 x6 1
0
0 x3 1 -2
0
0 x4 12
3
0 x2 1
0
0 x3 1 -2
00
0
0
00
1
x2
x3
x4
x5
x6
-2
1
1
0
0
1
2
0 -1 1
0
[1] 0 0
0
-1 -3 0 1
0
-2
0
10
0
[1]
0
0 -1 1
0
1
00
0
-1
0
01
0
0
0
1 -2 2
1
0
0 -1 1
0
1
00000 Nhomakorabea01
1
1
x7
0
用两阶段法求下面线性规划问题旳解
Max Z=2x1+ x 2+ x 3 s.t. 4x1+2x2+ 2x 3≥4
2x1+4x2 ≤20 4x1+8x2+ 2x 3≤16
x1，x2，x 3≥0
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我们学会了用单纯性表来求解线性规 划的最优解问题，如下图所示：
XB ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱN b
B
CB
N
CN
b
0
将上表转化为下表即可求解问题。
XB I 0 XN N’ CN’ b b’ Η’
最后我们可得最优解情况： 1、无最优解：一非基向量的检验数σ为正， 且其对应的列向量没有正分量。 2、有最优解：最终可将所有的非基本量的检 验数化为非正数。 即：判断： （a）若σj≤０（j＝１，２，…，n）得到 最解； （b）某个σk>0且aik≤０（i=1，2,…,m） 则线性规划具有无界解。 （c）若存在σk>0且aik (i=1,…,m)不全非 正，则进行换基；
用表1-14表示新线性规划求解过程
表1－14
y1
d11
d m1
ym
x1
xn
a1n
b
d1m a11
b1
d mm
a m1
1
a mn
y1
ym
n
* 0
bm
两阶段单纯形法的步骤： （1）第一阶段：首先将原问题标准化，得到(LP)1 形式，引入必要的人工变量 yi ，构造新的 线性 规划(LP)2 ，并用单纯形法解新规划(LP)2， 得到形如表（1-14）的最优单纯形表。若该表中的 * 0 ，则表明原问题没有可行解，应停止计算； * 0，表明已将原问题的约束方程组变换成了 若 含有标准基的同解方程组，转（2）。
1．人工变量的引入 设原问题为
( LP)1 :
max Z CX s.t. AX b X 0
引入人工变量y1,y2, …,ym ，构造新线性规划
( LP)2 :
max W - y1 - y 2 - … - y m s.t. IY+AX b Y 0, X 0
易知，新线性规划（LP）2 ，具有以下3个 特点： 1、 （LP）2存在可行解，Y=b， X=0 2、 （LP）2 必有最优解。 3、 （LP）2 存在一个标准基。
例子：
max Z=x1+2x2+5x3-3x4 s.t. x1+x2 =3 2x1-2x2-x3 =6 2x1+x2+x3+x4=11 X>=0 这个例子用以前的方法难以求解，没有标 准基，我们可以试想添加变量，将其变成 标准形式。
max W=-y1-y2 s.t. y1+x1+x2 =3 y2+2x1-2x2-x3 =6 2x1+x2+x3+x4=11 X>=0 Y>=0 添加了人工变量，原线性规划与新线性规 划的关系是什么呢？大家可以思考一下。
（2）第二阶段：用第一阶段所得的含标准基的约束 方程组取代原问题的约束方程组，再用单纯形法求解。
The
End!
人工变量单纯形法之两阶段单纯形法 两阶段单纯形法也是一种人工变量法，它的 算法可分为两个阶段：第一阶段，引入人工 变量，构造一个具有标准基的新线性规划， 求解这个新线性规划，其结果有两种可能： 或者将原问题的约束方程组化成具有标准基 的形式，或者提供信息，表明原问题没有可 行解。第二阶段，利用第一阶段所得的标准 基，对原问题求解。