线性规划大M法或两阶段法-文档资料
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线性规划之大M法和两阶段法
0 x4
0
于是：
x2 x2
3/1 6/3
x2
min3/1,6 / 3
如果x2的系数列变成P2’=（-1，0）T,则用非 基变量表示基变量的表达式就变成；
x1 3 x2 x3 x4 0
x5
6
0x2
6x3
x4
0
可行性自然满足,最小比值原则失效,意即x2的值 可以任意增大→原线性规划无“有限最优解”。
举例：用非基变量表示基变量的表达式
x1 3 x2 x3 x4
x5
6 3x2
6x3
x4
代表两个约束条件：
3x1x2 x26x3x3
x4 x4
x5
3
6
x2对应的系数列向量P2=（1，3）T， 设：当前的换入变量是 X2，按最小比
值原则确定换出变量：
要求：
x1 x5
3 6
x2 x3 x4 3x2 6x3
x1
x2 x3
9
x3
1
剩余变量和人 工变量：
x1, x2, x3 0
MaxZ 3x1 x3 My1 My2
x1 x2 x3 x4 4
s.t
.
2 x1 x2 x3 x5 3x2 x3 y2 9
y1
1
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , y1 , y2 0
0 0 -2 0 1/4
1 0 0 1/4 0 0 0 -2 1/2 1 0 1 1/2 -1/8 0
0 0 -3/2 -1/8 0
从最优表可知: 该LP的
最优解是X*=(4,2,0,0,4)T 相应的目标函数最优值是Zmax=14
二、单纯形法进一步讨论
运筹学基础-线性规划(3)
minZ= 10x1 +8x2 +7 x3 2x1 + x2 ≥ 6 S.t. x1 + x2 + x3 ≥ 4 x1 , x2 , x3≥0
化线性规划模型为标准型
maxZ’= －10x1－ 8x2 － 7x3 +0x4－Mx5 +0x6－Mx7 2x1 + x2 － x4 + x5 = 6 x 1 + x 2 + x 3 － x 6 + x 7= 4 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ≥0
Cj CB 0 0 XB
标准化
Max z=2x1+4x2+ 0x3+ 0x4+ 0x5+ 0x6 2x1+2x2 + x3 =12 x1+2x2+ x4 =8 4x1 +x5 =16 4x2 +x6=12 x1, …, x6≥0
2 4 x2 0 x3 0 x4 0 x5 0 x6 x1
b
12 8 16 12 0
线性规划
～
0 0 -Z -Z’
1 0 0 -10
1/2 1/2 0 -8
0 1 0 -7
-1/2 1/2 0 0
1/2 -1/2 -1
0 -1 0
0 1 -1
3 1
0
σj<0
第一阶段规划最优
0 1 -1
～
0
0 -Z’
1
0 0 1 0 0
1/2 1/2 1/2
0 1 0
0
1 0 -1 2 -1
-1/2
9
线性规划
接上表
0
0
《管理运筹学》02-4两阶段法和大m法
大M法的优势与局限性
优势
大M法能够处理大规模的整数规划问题，且计算过程相对简单，容易实现。
局限性
大M法只能求得问题的近似解，而非最优解，且当M值选取不合适时，可能导致求解结果偏离最优解 较远。同时，对于一些特殊问题，如非线性、非凸等问题，大M法可能无法得到满意的结果。
04
大M法实施步骤
确定问题与目标
局限性
两阶段法需要花费更多的计算时间和资源，因为需要进行多次迭 代和优化。此外，两阶段法对于初始解的选择比较敏感，如果初 始解不好，可能会导致算法陷入局部最优解，而非全局最优解。
02
两阶段法实施步骤
阶段一：问题建模与求解
80%
确定问题目标
明确问题的目标，并将其转化为 可量化的数学模型。
100%
建立数学模型
两阶段法案例
总结词
两阶段法是一种常见的求解线性规划问题的方法，通过将问题分解为两个阶段进行求解， 可以找到最优解。
详细描述
在第一阶段，两阶段法首先确定一个初始解，然后通过迭代不断改进这个解，直到满足 一定的收敛条件。在第二阶段，两阶段法使用一种称为对偶单纯形法的方法来求解子问
题，最终得到最优解。
大M法案例
输出求解结果，包括最优解、最优值等。
分析结果与决策
结果分析
对求解结果进行分析，包括最优解的合理性、最优值的可行性等。
制定决策方案
根据分析结果，制定相应的决策方案，包括最优解的实施方案、次 优解的备选方案等。
方案评估与选择
对制定的决策方案进行评估和选择，确保方案符合实际需求和可行 性。
05
案例分析
《管理运筹学》02-4两阶段法 和大m法
目
CONTENCT
大M法和两阶段法
1
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
-1
3 2 5M-3 0 1 0 -2 0 1 0 -2
2
-7 -1 -8M+5 -1/3 -7/3 (11/3) 11/3M+7/3 0 0 1 0
-1
（3） 2 5M-1 0 1 0 0 0 (1) 0 0
0
1 0 0
0
0 1 0 0 0 1 0 → 2/3 5/2 →
→
两阶段法
第一阶段：引入辅助问题
max S x5 x6 x7 s.t. x1 x 2 2 x3 x 4 x5 2 2 x1 x 2 3 x3 x 4 x6 6 x1 x3 x3 x 4 x7 7 x j 0, j 1,2, ,7
Cj 段 ↓ -1 1
→ 基 x5
0 b 2
0 P1 （1）
0 P2 -1
0 P3 2
0 P4 -1
-1 P5 1
-1 P6 0
-1 Qi P7 0 2 → 注
-1
-1 Cj-Zj 0
x6
x7 → x1 x6 x7 → x1 x4
6
7 15 2 2 5 7 8/3 2/3
2
1 4 1 0 0 0 1 0
大M法
引入人工变量x5，x6，x7，将原问题化为
max F 2 x1 x 2 x3 x 4 M ( x5 x6 x7 ) s.t. x1 x 2 2 x3 x 4 x5 2 2 x1 x 2 3x3 x 4 x6 6 x1 x3 x3 x 4 x7 7 x j 0, j 1,2,,7
Cj-Zj 0
线性规划-大M法、两阶段法与几种特殊情况
进基变量的相持
出基变量的相持
max
z=
4x1
+2x2
-3x3
+5x4
s.t.
2x1
-x2
+ x3
+2x4
≥50
(1)
3x1
-x3
+2x4
80
(2)
x1
+x2
+x4
= 60
(3)
x1,
x2,
x3,
x4
≥ 0
1-4 线性规划- 大M法、两阶段法及几种特殊情况
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School of Business ECUST
单纯形法
单纯形法的一般思路+例子
单纯形表结构+例子
单纯形法的计算步骤
单纯形法的矩阵描述
大M法
两阶段法
几种特殊情况
无可行解
无界解
多重最优解
1
X3
0
-3 0 2 0 0 -2-M -M
σj
-1 0 1 0 1 -1 0
1
X5
0
0 0 1/2 3/2 0 -1/2-M -3/2-M
2
X5
0
-1 2+2M -M -M 0 0 0
σj
3/1
0 1 0 0 1 0 0
3
X5
0
X1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
3/2
X2
2
1/2/1/2
1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2
1/2
线性规划-大M法、两阶段法与几种特殊情况课件
0 1 001 -1 2+2M -M -M 0
00 00
3 3/1
2 0 -1 1 0 1 -1
1 1/2
-1 1 0 -1 0 0 1
1
-
1 0 0 1 1 0 -1
2 2/1
1+2M 0 -M 2+M 0 0 -2-2M
1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2
1/2
0 1 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2
-Mx7
-Mx8
s.t.
2x1
-x2
+ x3
+2x4
－x5
+x7
=50
(1)
3x1
-x3
+2x4
+x6
= 80
(2)
x1
+x2
+x4
＋x8
= 60
(3)
x1,
x2,
x3,
x4,
x5,
x6,
x7,
x8 ≥ 0
添加人工变量
min z=
4x1
+2x2
-3x3
+5x4
+Mx7
+Mx8
s.t.
2x1
-x2
+ x3
max z= 4x1 +2x2 -3x3 +5x4
s.t.
2x1 -x2 + x3 +2x4 －x5
=50 (1)
3x1
-x3 +2x4
+x6 = 80 (2)
x1 +x2
+x4
x1, x2, x3, x4, x5,
线性规划-大M法、两阶段法与几种特殊情况
x4,
x5,
x6,
x7,
x8 ≥ 0
School of Business ECUST
添加人工变量
min z=
4x1
+2x2
-3x3
+5x4
+Mx7
+Mx8
s.t.
2x1Hale Waihona Puke -x2+ x3
+2x4
－x5
+x7
=50 (1)
3x1
-x3
+2x4
+x6
= 80 (2)
x1
+x2
+x4
＋x8
= 60 (3)
x1,
x2,
x3,
x4,
x5,
x6,
x7,
x8 ≥ 0
School of Business ECUST
4 2 -3 5
0
0 MM
CB XB
[ x1]
x2
x3
x4
x5
x6 x7 x8 b
M [ x7]
2
-1
1
2
-1 0 1 0 50
0 x6
3 0 -1 2
0
1 0 0 80
M x8
1 10
1
0
0 0 1 60
1 0 0 1 1 0 -1
1+2M 0 -M 2+M 0 0 -2-2M
1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2
0 1 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2
0 0 1/2 1/2 1 -1/2 -1/2
0 0 1/2 3/2 0 -1/2-M -3/2-M
大M法和两阶段法
0 0
s1
1/4 0
0 1
0
1 0
1
0 0
x2 5 x1 5
1/8 -5/8 1/8 1/2 -1/2 1/2 1/2 -1/2 3/2 0 -1 -1
w
0
0
0
0
（ w 0, a 2 , a 3 非 基 变 量 。 ）
第二阶段：
m in z 2 x1 3 x 2 1 2 s .t . x1 1 4 x2 s1 4 e2 2 0 10
x1 x1 x 1 , x 2 , s1 , e 2 0
3 x2
2
Step2: 加人工变量并改变目标函数, 得到新的 LP.
N e w L P : m in z 2 x1 3 x 2 M a 2 M a 3 1 2 x1 1 4 x2 s1 e2 a 2 4 36
例3
m in z 2 x 1 3 x 2 1 2 s .t . x1 1 4 x x2 4 36 10
x1 x1 x1 , x 2 0
3 x2
2
第一阶段：
m in w a 2 a 3 1 2 x1 1 4 x2 s1 e2 a 2 4 36
3
[1]
0
0
-1
0 -1
1
0 0
0
1 0
10 ←
46 2
4↑ 0
Cj
CB
0
b
0 x2 0 0
0 s1 1 0
0 e2 0 -1
1
1
xB s1 a2
x1 1/4 -2
a2 a3 0 1
1/4
-
θ
s1
1/4 0
0 1
0
1 0
1
0 0
x2 5 x1 5
1/8 -5/8 1/8 1/2 -1/2 1/2 1/2 -1/2 3/2 0 -1 -1
w
0
0
0
0
（ w 0, a 2 , a 3 非 基 变 量 。 ）
第二阶段：
m in z 2 x1 3 x 2 1 2 s .t . x1 1 4 x2 s1 4 e2 2 0 10
x1 x1 x 1 , x 2 , s1 , e 2 0
3 x2
2
Step2: 加人工变量并改变目标函数, 得到新的 LP.
N e w L P : m in z 2 x1 3 x 2 M a 2 M a 3 1 2 x1 1 4 x2 s1 e2 a 2 4 36
例3
m in z 2 x 1 3 x 2 1 2 s .t . x1 1 4 x x2 4 36 10
x1 x1 x1 , x 2 0
3 x2
2
第一阶段：
m in w a 2 a 3 1 2 x1 1 4 x2 s1 e2 a 2 4 36
3
[1]
0
0
-1
0 -1
1
0 0
0
1 0
10 ←
46 2
4↑ 0
Cj
CB
0
b
0 x2 0 0
0 s1 1 0
0 e2 0 -1
1
1
xB s1 a2
x1 1/4 -2
a2 a3 0 1
1/4
-
θ
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x6
4
-4
x5
10
1
x7
1
2
j
3-2M
x6
3
-6
x5
8
-3
x3 j
1
2 5-6M
x2
3/5 －6/5
x5
31/5 3/5
x3
11/5 －2/5
j
5↑
x2
13
0
x1
31/3
1
x3 j
19/3
0 0
2 x2 3 -1 -2 2+M 5 3 -2 5M↑ 1 0 0 0 1 0 0 0
一、大M法
-1 x3 1 2 1 -1+2M↑ 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
x
1
x2
2x3
x5
10
2
x1
2x2
x3
1
x j 0, j 1,2, ,5
系数矩阵中不存在 单位矩阵，无法建 立初始单纯形表。
6
一、大M法
故人为添加两个单位向量，得到人工变量单
纯形法数学模型：
max
Z
3 x1
2x2
x
－
3
M
x
6
Mx7
4x1 3x2 x3 x4 x6 4
x1
x2
5
一、大M法
例： 用大M法解下列线性规划
max Z 3 x1 2 x2 x3
4x1 3x2 x3 4
x1 x2 2x1
2
2x3 x2
10 x3
1
x1、x
、
2
x
3
0
解：首先将数学模型化为标准形式
max Z 3 x1 2 x2 x3
4x1 3x2 x3 x4 4
-M -M
xx45
6 4
3 -1
x1
x2
-2
x3
-M
x4
-M
x5
比值
3 2 -3 1 0 2 min
1 -2 1 0 1 4
10M 3+4M -1 -2+2M 0
0
3 x1 2 - M x5 2
1 2/3 -1 1/3 0 0 -8/3 22 -1/3 1
-6+2M 0 -3-8M/3 1+2M -4M/3-1 0
反之，若经过迭代，不能把人工变量都变 为非基变量，则表明原LP问题无可行解。
大M法或两阶段法
4
一、大M法
若迭代最终得到最优解X* ，而且基变量中不含有人工变量，则X*的 前n个分量就构成原问题的一个最优基本解；否则，原问题无可行解。
若迭代结果是解无界，而且基变量中不含有人工变量， 则原问题也 解无界；否则，原问题无可行解。
+xn+m = bm(≥0)
xn+1, xn+2, … , xn+m 称为人工变量。
初始基本可行解：( 人造基本解 )
X0 = ( 0, 0, … , 0, b1, b2, …, bm )T
n个
(2.1)
3
人工变量法
基本思想：
人造解 X0 不是原LP问题的基本可行解。 但若能通过单纯形法的迭代步骤，将虚拟 的人工变量都替换出去，都变为非基变量（即 人工变量xn+1 = xn+2 = … = xn+m = 0），则X0的 前n个分量就构成原LP问题的一个基本可行解。
1
第八节 单纯形法的进一步讨论
——人工变量
2
人工变量法
考虑标准型 (M)： 分别给每个约束方程硬性加入一个非负变量
a11x1 +a12x2+…+a1nxn +xn+1
a12x1 +a22x2+…+a2nxn
+xn+2
… … ………
am1x1+am2x2+…+amnxn
= b1 (≥0) = b2 (≥0)
3 x1 3 1 -2/3 0 1/6 1/2
-2 x3 1 0 - 4/3 1 -1/6 1/2
-7
0 -5/3
0 -M-5/6 -M-1/2
X* = ( 3, 0, 1 )T, z* = 7
10
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
解的判别：
1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零, 则线性规划具有唯一最优解。
2x3
x5
10
2
x
1
2x2
x3
x7
1
x j 0, j 1,2, ,7
其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值， 可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介 绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。
7
CB -M 0 -M
-M 0 -1
2 0 -1
2 3 -1
cj
3
XB
b
x1
2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零, 则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。
3）无界解判别：某个σk >0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性 规划具有无界解。
4）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并 且存在人工变量时，则表明原线性规划无可行解。
5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。
12
两阶段法
阶段Ⅰ 求解人造极大问题（先将线性规划问题化标准型，并 将其约束条件中加入人工变量，得第一阶段的数学模型）
max w = -xn+1 -xn+2 - … -xn+m 或者 min w = xn+1 +xn+2 + … +xn+m
s.t. ( 2.1 )
人工变量的系数 均为1或-1
因为人工变量
所以
xn+1, xn+2, … , xn+m ≥0
max w ≤0
(1) 若w* < 0，说明人工变量中至少有一个为正（针对max w 来说），表示原问题无可行解，停止计算；
(2) 若w* = 0，且人工变量都变换为非基变量，说明原问题得 到了初始基本可行解，转入阶段Ⅱ：
求解原问题；
13
两阶段法
(3) 若w* = 0，但“基列”存在人工变量，例如该列第l 行的基变 量xBl是人工变量，同时该行的前n个系数al j全都是0，这说明 原问题的该约束方程式多余的，那么删去第l 行及xBl列，类 似情况全都这样删去相应行、列；转入阶段Ⅱ；
11
二、两阶段法
两阶段法是处理人工变量的另一种方法， 这种方法是将加入人工变量后的线性规划 问题分两段来求解。
第一阶段：要判断原线性规划问题是否存在 基本可行解。
第二阶段：将第一阶段的最终计算表中的人 工变量取消，并将第一阶段最终计算表中的 目标函数行的数字换成原问题的目标函数的 数字，继续求解，直到得到最优解。
0
0
-M
x4
x5
x6
-1
0
1
0
1
0
0
0
0
-M
-1
0
1
0
1
0
0
0
1/5
0
3/5
1
－2/5
0
0
0
1
2
1
5/3
0
2/3
-5
-25/3
-M
x7
θi
0
4
0
5
1
1→
3/5 →
8/3 ——
——
→
31/3 ——
8
一、大M法
例 用大M法求解下述LP问题
max z = 3x1 – x2 – 2x3
3x1+ 2x2 – 3x3 = 6
s.t.
x1 – 2x2 + x3 = 4
x1， x2， x3 ≥ 0
解 max z = 3x1 – x2 – 2x3 – Mx4 –Mx5
3x1+ 2x2 – 3x3 +x4 = 6
s.t. x1 – 2x2 + x3 + x5 = 4
x1， x2， x3 ， x4， x5 ≥ 0
9
一、大M法
cj 基 解