北京大学出版社_4.1向量组及其线性相关性
向量组的线性相关性(3)
(ⅴ) 1= (ⅵ) 结合律：(kl)=k(l) (ⅶ) 数的分配律： (k+l)=k +l (ⅷ) 矩阵的分配律： k(+)=k +k . 所有n维列(行)向量的全体, 对其上所定义的加法和乘数两种运算, 构成了一 个n维线性空间, 或称向量空间.
在解析几何中, 曾引进向量的数量积
定理3.1 正交向量组必线性无关. 证 设1, 2,…, m是正交向量组,有一组数k1, k2,…, km使
k11+k22 + …+kmm=0 用i与上式两边做内积, 得
ki(i, i )=0 由于i≠0, 所以[i, i]>0, 因此, ki＝0 (i＝1, 2,…,m). 所以,向量组1, 2,…, m线性无关.
解 设 =k11+k22+k33 , 即
(2,1,0,1)=(k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)
于是有
kk11kk23
2 1
k2 k3 1
解得: k1=1, k2=2, k3=1. 即 =1223
所以向量可由向量组, 2, 3线性表示.
表示式也可写成
1
(1， 2，3 ) 2 即
1
定义3.2 设有n维向量=(a1,a2,…,an)T, =(b1,b2,…,bn)T, 令
[, ]=a1b1+a2b2+…+anbn 称[, ]为向量与的内积.
内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数. 内积也可以用矩阵运算表 示, 当与都是列向量时, 有
[, ]=T=T 内积具有下列性质(其中, , 为n维向量, k为实数):
为向量和的夹角.
向量组的线性相关性(2)
ar线性
证 用反证法. 若 a1 ,a2 , ar , a r 1线性相关， 则有不全为
k1a1 k2a2
否则 (kr 1 0)
kr 1ar 1 0 其中 kr 不能为零， 1
若 kr 1 0
k1 k2
k1a1 k2a2
ar 1
kr 0
（Ⅰ）
（Ⅱ）
α1α 2
β1β2
αr
βs
若（Ⅰ）中每一个向量都能由向量组（Ⅱ）线性表示，则称 向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示. 若向量组（Ⅰ） 与向量组（Ⅱ）可以互相线性表示，则称 向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价. 向量组之间的等价关系具有以下性质：
① 反身性 ② 对称性 ③ 传递性
例 证
设n维向量组α1 , α 2 , , α n 与e1 ,e2 ,
行 向 量
n
(a1 , a2 ,, an )
α (a1 , a2 , β (b1 , b2 ,
, an ) ai为实数 , bn )
cn )
T
实 向 量
① a b ②维数相同 α β i iFra bibliotek列向量
也可记γ (c1, c2 ,
规定：行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 因 此，n维列向量与 n 维行向量总看成是两个不同的向量
则 (k1 k3 , k1 2k2 3k3 , k1 5k2 6k3 ) 0
1 D1 1 0 2 5 1 3 6
亦即
0
这是关于 k1 , k2 , k3 的齐次方程组
据定 理1.4 有非 零解
即有不全为零的数 k1 , k2 , k3 ，使 从而向量组
k1a1 k2a2 k3a3 0 也可直接求解得 ， k1 1, k2 1, k3 1, 即 a1 + a2 - a3 = 0
4.1 向量组的线性组合及线性相关性
黄凤英 信息科学与计算学院
黄凤英 4.1向量组的线性组合及线性相关性
一、n 维向量与向量组的定义
1. 向量的定义 定义1
n 个有次序的数 a1 , a2 , · · · , an 所组
成的数组称为 n 维向量, 这 n 个数称为该向量的
n 个分量, 第 i 个数 ai 称为第 i 个分量. 分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数 的向量称为复向量. 在这里我们只讨论实向量.
就是一个由四个 3 维列向量 1, 2, 3, 4 构成的
向量组.
黄凤英 4.1向量组的线性组合及线性相关性
3. 矩阵与向量组的关系
对于一个 m×n 矩阵 A = (aij) :
若令
a11 a21 A a m1
a12 a22 am 2
a1n a2 n , amn
黄凤英 4.1向量组的线性组合及线性相关性
定理 1 向量 b 能由向量组a1 , a2 , · · · , am 线性表
示的充要条件是
R(A) =R(A, b),
其中矩阵 A = (a1 , a2 , · · · , am).
黄凤英 4.1向量组的线性组合及线性相关性
进一步，R(A) =R(A, b) = m，则向量 b 能够由 向量组a1 , a2 , · · · , am 线性表示，且表法唯一； 如果 R(A) =R(A, b) < m，则向量 b 能够由向量
黄凤英 4.1向量组的线性组合及线性相关性
定理的比较
本节的定理 1 向量 b 能由向量组a1 , a2 , · · · , am
线性表示的充要条件是 R(A) =R(A, b), 其中矩阵 A = (a1 , a2 , · · · , am).
向量组线性相关性
向量组线性相关性在线性代数中，向量组的线性相关性是一个重要的概念。
当我们谈论向量组的线性相关性时，实际上是在探讨这些向量之间是否存在一种线性关系，即是否存在一组实数使得这些向量的线性组合为零向量。
在本文中，我们将深入探讨向量组的线性相关性，包括线性相关性的定义、判定方法以及线性相关性与线性无关性之间的关系。
定义给定一个由n个向量$\\boldsymbol{v}_1, \\boldsymbol{v}_2, \\ldots,\\boldsymbol{v}_n$组成的向量组，如果存在不全为零的实数$k_1, k_2, \\ldots,k_n$，使得$k_1\\boldsymbol{v}_1 + k_2\\boldsymbol{v}_2 + \\ldots +k_n\\boldsymbol{v}_n = \\boldsymbol{0}$，那么这个向量组就被称为线性相关的；否则，这个向量组就被称为线性无关的。
判定方法方法一：行列式判别法对于n个n维向量组成的矩阵$A=[\\boldsymbol{v}_1, \\boldsymbol{v}_2,\\ldots, \\boldsymbol{v}_n]$，如果$\\text{det}(A) = 0$，则这个向量组线性相关；如果$\\text{det}(A) \ eq 0$，则这个向量组线性无关。
方法二：向量组的秩将向量组的向量依次排列成矩阵A的列向量，然后对矩阵A进行行变换化为阶梯形矩阵B，向量组的秩r即为矩阵B的非零行数，如果r=n，则向量组线性无关；如果r<n，则向量组线性相关。
线性相关性与线性无关性的关系线性相关性和线性无关性是一对互补的概念。
线性相关的向量组中至少有一个向量可以被其他向量线性表示，而线性无关的向量组中每个向量都不能被其他向量线性表示。
在实际应用中，线性相关的向量组会造成冗余信息，降低计算效率，而线性无关的向量组则被广泛应用于解方程组、矩阵变换等问题中。
第10讲向量组的线性相关性
第二节 向量组的线性相关性
一、线性相关与线性无关
1.定义：给定向量组 ： 1.定义：给定向量组A：a1,a2,…,am，若存在不 定义 全为零的实数x 全为零的1 0 0 0 例 1 设a1 = , a2 = , b = . 因为 = 2a1-a2 ， 因为b 2 4 0 −1 1 −3
所以 说 向 量 b能 由 向 量 组 a1 , a 2 线 性 表 示 ．
3 例 .设向量a1 = (1 − 1 1 −1)T、a2 = (3 1 1 3)T b1 = (2 0 1 1)T、b2 = (1 1 0 2)T、b3 = (3 − 1 2 0)T， 证明向量组a1、a2与b、b2、b3等价. 1
证明：设A = (a1, a2 )，B = (b , b2 , b3 ) 1 当R( A) = R(B) = R( A| B)时，两向量组等价. 1 3 2 1 3 r4 +r3 1 3 2 1 3 −1 1 0 1 −1 r3+r2 0 4 2 2 2 而( A| B) = r2~r1 0 2 1 1 1 1 110 2 + −1 3 1 2 0 0 4 2 2 2 1 3 2 1 3 r4 −r2 0 2 1 1 1 ~ ，所以R( A) = R(B) = R( A| B) = 2 1 00000 r3 − r2 2 0 0 0 0 0
证明：向量组B被向量组A线性表示，即存在矩阵 C 使得B = AC，即矩阵方程AX = B有解，而该矩 阵方程有解的充要条件是 R( A) = R( A | B ).
1 ... ... 推论 .向量组B b1,b2 , ,bp被向量组A a1,a2, ,am ： ： 线性表示，则 R(B) ≤ R( A)
线性代数--向量组线性相关性
第四章 向量组的线性相关性§4.1 向量及其运算1．向量：个数构成的有序数组, 记作n n a a a ,,,21L ),,,(21n a a a L =α, 称为维行向量．n –– 称为向量i a α的第i 个分量R ∈i a –– 称α为实向量（下面主要讨论实向量） 零向量 )0,,0,0(L =θ；负向量 ),,,()(21n a a a −−−=−L α 2．线性运算：),,,(21n a a a L =α, ),,,(21n b b b L =β相等：若, 称),,2,1(n i b a i i L ==βα=．加法：=+βα),,,(2211n n b a b a b a +++L数乘：),,,(21n ka ka ka k L =α减法：=−βα=−+)(βα),,,(2211n n b a b a b a −−−L 3．算律：),,,(21n a a a L =α,),,,(21n b b b L =β,),,,(21n c c c L =γ(1) αββα+=+ (5) αα=1(2) )()(γβαγβα++=++ (6) αα)()(l k l k =(3) αθα=+ (7) βαβαk k k +=+)((4) θαα=−+)( (8) αααl k l k +=+)(4．列向量：个数构成的有序数组, 记作, n n a a a ,,,21L ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a M 21α或者, 称为维列向量．T 21),,,(n a a a L =αn 零向量： 负向量： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000M θ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=−n a a a M 21)(α 5．内积：设实向量),,,(21n a a a L =α, ),,,(21n b b b L =β, 称 实数n n b a b a b a +++=L 2211],[βα为α与β的内积． 算律：),,,(21n a a a L =α,),,,(21n b b b L =β,),,,(21n c c c L =γ(1) ],[],[αββα=(2) ],[],[βαβαk k = （为常数）k (3) ],[],[],[γβγαγβα+=+(4) θα≠时, 0],[>αα；θα=时, 0],[=αα． (5)],[],[],[2ββααβα⋅≤证(5) R ∈∀t , 由0],[≥++βαβαt t 可得0],[],[2],[2≥++t t βββααα ⇒≤0Δ0],[],[4],[42≤⋅−ββααβα],[],[],[2ββααβα⋅≤⇒6．范数：设实向量α, 称实数],[ααα=为α的范数．性质：(1) θα≠时, 0>α；θα=时, 0=α．(2) αα⋅=k k )R (∈∀k(3) βαβα+≤+(4) βαβα−≤−证(3) ],[],[2],[],[2βββαααβαβαβα++=++=+()2222βαββαα+=++≤7．夹角：设实向量θα≠,θβ≠, 称 βαβαϕ],[arccos= )π0(≤≤ϕ为α与β之间的夹角． 正交：若0],[=βα, 称α与β正交, 记作βα⊥．(1) θα≠,θβ≠时, βα⊥2π=⇔ϕ； (2) θα=或θβ=时, βα⊥有意义, 而ϕ无意义．单位化：若θα≠, 称ααα10=为与α同方向的单位向量．§4.2 向量组的线性相关性1．线性组合：对n 维向量α及m αα,,1L , 若有数组使m k k ,,1L 得m m k k ααα++=L 11, 称α为m αα,,1L 的线性组合,或称α可由m αα,,1L 线性表示．例1 , , , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=1011β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1112β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=1133β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1354β 判断4β可否由321,,βββ线性表示?解 设3322114ββββk k k ++=，比较两端的对应分量可得, 求得一组解为．故 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−321111110311k k k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=135⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡120321k k k 3214120ββββ++=, 即4β可由321,,βββ线性表示．[注] 取另一组解时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡032321k k k 3214032ββββ++=． 2．线性相关：对n 维向量组m αα,,1L , 若有数组不全m k k ,,1L 为0, 使得 θαα=++m m k k L 11, 则称向量组m αα,,1L 线性相关；否则，称为线性无关．线性无关：对维向量组n m αα,,1L , 仅当数组全m k k ,,1L 为0时, 才有 θαα=++m m k k L 11, 称向量组m αα,,1L 线性无关；否则，称为线性相关．[注] 对于单个向量α：若θα=, 则α线性相关；若θα≠, 则α线性无关．例2 判断例1中向量组4321,,,ββββ的线性相关性． 解 设θββββ=+++44332211k k k k , 比较对应分量可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−0001111311053114321k k k k 即0=Ax ．因为未知量的个数是4, 而4rank <A , 所以0=Ax 有非零解, 由定义知4321,,,ββββ线性相关．例3 已知向量组321,,ααα线性无关, 证明向量组211ααβ+=, 322ααβ+=, 133ααβ+= 线性无关．证 设 θβββ=++332211k k k , 则有θααα=+++++332221131)()()(k k k k k k 因为321,,ααα线性无关, 所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k , 即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000110011101321k k k 系数行列式 02110011101≠=, 该齐次方程组只有零解．故321,,βββ线性无关．例4 判断向量组 )0,,0,0,1(1L =e , )0,,0,1,0(2L =e , … ,)1,0,,0,0(L =n e 的线性相关性．解 设 θ=+++n n e k e k e k L 2211, 则有⇒=θ),,,(21n k k k L 只有0,,0,021===n k k k L 故线性无关．n e e e ,,,21L 例5 设向量组m ααα,,,21L 两两正交且非零, 证明该向量组线性无关．证 设 θααα=+++m m k k k L 2211, 两端与i α作内积可得 ],[],[],[],[11i i m m i i i i k k k αθαααααα=++++L L 当j i ≠时, 0],[=j i αα, 于是有⇒=0],[i i i k αα只有0=i k )(θα≠i Q上式对于m i ,,2,1L =都成立, 故m ααα,,,21L 线性无关．3．判定定理定理1 向量组)2(,,,21≥m m αααL 线性相关⇔其中至少有一个向量可由其余1−m 个向量线性表示．证 必要性．已知m ααα,,,21L 线性相关, 则存在m k k k ,,,21L 不全为零, 使得 θααα=+++m m k k k L 2211．不妨 设, 则有 01≠k m m k k k k ααα)()(12121−++−=L ． 充分性．不妨设m m k k ααα++=L 221, 则有θααα=+++−m m k k L 221)1(因为不全为零, 所以m k k ,,,)1(2L −m ααα,,,21L 线性相关．定理2 若向量组m ααα,,,21L 线性无关, βααα,,,,21m L 线性相关, 则β可由m ααα,,,21L 线性表示, 且表示式唯一．证 因为βαα,,,1m L 线性相关, 所以存在数组不k k k m ,,,1L 全为零, 使得 θβαα=+++k k k m m L 11．若, 则 0=k θαα=++m m k k L 11, 从而有0,,01==m k k L 矛盾! 故, 从而有 0≠k m m kk k k ααβ)()(11−++−=L ．下面证明表示式唯一：若 m m k k ααβ++=L 11, m m l l ααβ++=L 11 则有 θαα=−++−m m m l k l k )()(111L因为m ααα,,,21L 线性无关, 所以0,,011=−=−m m l k l k L ⇒m m l k l k ==,,11L 即β的表示式唯一．定理3 r αα,,1L 线性相关⇒)(,,,,,11r m m r r >+ααααL L线性相关．证 因为r αα,,1L 线性相关, 所以存在数组不全为r k k ,,1L 零, 使得 θαα=++r r k k L 11, 即θαααα=++++++m r r r k k 00111L L数组不全为零, 故0,,0,,,1L L r k k m r r αααα,,,,,11L L +线性相关．推论1 含零向量的向量组线性相关．推论2 向量组线性无关⇒任意的部分组线性无关．课后作业：习题四 1, 2, 3, 4, 5定理4 设m i a a a in i i i ,,2,1,),,,(21L L ==α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m A αααM 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a L M M M L L 212222111211 (1) m ααα,,,21L 线性相关m A <⇔rank ；(2) m ααα,,,21L 线性无关m A =⇔rank ．证 设 θααα=+++m m k k k L 2211比较等式两端向量的对应分量可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00021212221212111M M L M M M L L m mn n n m m k k k a a a a a a a a a 即 0T =x A ．由定理3.5可得：m ααα,,,21L 线性相关0T =⇔x A 有非零解m A <⇔T rank m A <⇔rankn m 推论1 在定理4中, 当=时, 有(1) n ααα,,,21L 线性相关0det =⇔A ；(2) n ααα,,,21L 线性无关0det ≠⇔A ．n m 推论2 在定理4中, 当<时, 有(1) m ααα,,,21L 线性相关A ⇔中所有的阶子式；m 0=m D (2) m ααα,,,21L 线性无关⇔A 中至少有一个阶子式m 0≠m D ．推论3 在定理4中, 当时, 必有n m >m ααα,,,21L 线性相关．因为m n A <≤rank , 由定理4(1)即得．推论4 向量组：1T m i a a a ir i i i ,,2,1,),,,(21L L ==α向量组：2T m i a a a a in r i ir i i ,,2,1,),,,,,(1,1L L L ==+β若线性无关, 则线性无关．1T 2T 证 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=×m r m A αααM 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=r m m m r r a a a a a a a a a L M M M L L 212222111211 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=×m n m B βββM 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++n m r m r m m n r r n r r a a a a a a a a a a a a L L M M M M L L L L 1,121,222111,1111 线性无关1T m A =⇒rank是A B 的子矩阵m A B =≥⇒rank rank⇒=⇒m B rank 2T 线性无关定理5 划分, 则有[]n m n m A βββαααL M 2121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=×(1) 中某个A ⇒≠0r D A 中“所在的”个行向量线性无关；r D r中“所在的”r 个列向量线性无关．A r D (2) 中所有中任意的r 个行向量线性相关； A A D r ⇒=0 中任意的个列向量线性相关．A r 证 只证“行的情形”：(1) 设位于的行, 作矩阵, 则有r D A r i i ,,1L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=×r i i nr B ααM 1 r i i r B αα,,rank 1L ⇒=线性无关．(2) 任取中个行, 设为行, 作矩阵,A r r i i ,,1L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=×r i i nr B ααM 1 则有r i i r B αα,,rank 1L ⇒<线性相关．[注] 称m ααα,,,21L 为的行向量组A 称n βββ,,,21L 为的列向量组A §4.3 向量组的秩与最大无关组1．向量组的秩：设向量组为T , 若(1) 在T 中有r 个向量r ααα,,,21L 线性无关；(2) 在T 中任意个向量线性相关．1+r （如果有个向量的话）1+r 称r ααα,,,21L 为向量组T 的一个最大线性无关组,称为向量组T 的秩, 记作 秩r r T =)(．[注](1) 向量组中的向量都是零向量时, 其秩为0．(2) 秩r T =)(时, T 中任意个线性无关的向量都是T 的r 一个最大无关组．例如, , , , 的秩为2． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=011α⎥⎦⎤⎢⎣⎡=102α⎥⎦⎤⎢⎣⎡=113α⎥⎦⎤⎢⎣⎡=224α 21,αα线性无关21,αα⇒是一个最大无关组31,αα线性无关31,αα⇒是一个最大无关组定理6 设, 则1rank ≥=×r A n m (1) 的行向量组（列向量组）的秩为；A r (2) 中某个中所在的r 个行向量（列向量）A A D r ⇒≠0r D 是的行向量组（列向量组）的最大无关组．A 证 只证“行的情形”：A r A ⇒=rank 中某个0≠r D , 而中所有 A 01=+r D 定理5中所在的r 个行向量线性无关A ⇒r D 中任意的A 1+r 个行向量线性相关由定义：的行向量组的秩为, 且中所在的r 个行向A r A r D 是的行向量组的最大无关组．A 例6 向量组T ：, , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=2011β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0232β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=1123β, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5324β求T 的一个最大无关组．解 构造矩阵[]4321ββββ=A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=510231202231 求得⇒=2rank A 秩2)(=T矩阵中位于1,2行1,2列的二阶子式A 022031≠= 故21,ββ是T 的一个最大无关组．[注] T 为行向量组时, 可以按行构造矩阵．A 定理7n m n m B A ××,(1) 若, 则“的列”线性相关（线性无关）B A 行→A k c c ,,1L 的充要条件是“B 的列”线性相关（线性无关）； k c c ,,1L (2) 若, 则“的行”线性相关（线性无关）B A 列→A k r r ,,1L 的充要条件是“B 的行”线性相关（线性无关）． k r r ,,1L 证 (1) 划分[]n n m A αααL 21=×, []n n m B βββL 21=× 由可得 B A 行→[][]k k c c c c ββααL L 11行→ 故方程组 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0011M M L k c c x x k αα 与方程组 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0011M M L k c c x x k ββ 同解．于是有 k c c αα,,1L 线性相关011=+ 存在不全为0, 使得⇔k x x ,,1L +k c k c x x αL α 存在不全为0, 使得⇔k x x ,,1L 011=++k c k c x x ββL ⇔k c c ββ,,1L 线性相关同理可证(2)．[注] 通常习惯于用初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵A B ,当阶梯形矩阵B 的秩为时, r B 的非零行中第一个非零元素所在的个列向量是线性无关的．r 例如：求例6中向量组T 的一个最大无关组．构造矩阵[]4321ββββ=A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=510231202231⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−→936031202231行B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→000031202231行 ⇒==2rank rank B A 秩2)(=TB 的1,2列线性无关的1,2列线性无关A ⇒21,ββ⇒是T 的一个最大无关组 例7 向量组T ：,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=31111α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=15312α,, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−=21233c α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=c 10624α 求向量组T 的一个最大无关组．解 对矩阵[]4321αααα=A 进行初等行变换可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−−−=c c A 2131015162312311⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−−−−−→67401246041202311c c 行 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−→2900070041202311c c 行B c =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−→2000070041202311行 (1) ：2≠c 4rank rank ==B AB 的1,2,3,4列线性无关的1,2,3,4列线性无关 A ⇒ 故4321,,,αααα是T 的一个最大无关组；(2) ：2=c 3rank rank ==B AB 的1,2,3列线性无关的1,2,3列线性无关 A ⇒ 故321,,ααα是T 的一个最大无关组．[注] 当m ααα,,,21L 为行向量组时, 为列向量组． T T 2T 1,,,mαααL 若矩阵[]T T 2T 1m A αααL = 的列向量组的一个最大无关 组为, 则是行向量组T T ,,1r c c ααL r c c αα,,1L m ααα,,,21L 的 一个最大无关组．课后作业：习题四 7,8 （理解、记忆定理1～7）。
向量组线性相关性
向量组线性相关性向量组线性相关性是数学中一个重要的概念，它可以在许多应用中使用，包括统计和线性代数。
它表明了两个变量是如何相互影响的，并且可以用来解释不同情况下变量之间的线性关系。
因此，了解这个概念对推断变量之间的关系非常重要。
在这篇文章中，我们将详细讨论向量组线性相关性的定义、特性和应用。
首先，我们将介绍什么是向量组，包括它的结构、特性和如何表示。
接下来，我们将讨论线性相关性的定义，它的两个重要特性，即相关系数和回归线。
最后，我们将讨论向量组线性相关性的应用，特别是在统计学中，它可以用来推断和预测数据集之间的关系。
首先，让我们来看看什么是向量组。
它是一组由单位矢量组成的数值，它们被称为标量。
向量组由坐标轴上的点组成，这些点的特性取决于它们的大小和关系。
例如，在二维空间中，每一个矢量都可以用它的横坐标和纵坐标来表示，这两个坐标是矢量的分量。
此外，矢量的大小是按照它们两个坐标的积来表示的，这个大小可以用简单的乘法计算，也可以用更复杂的三角函数计算。
其次，我们来讨论线性相关性。
线性相关性是指在两个变量之间存在线性关系的能力。
它可以用相关系数来表示。
相关系数是一个指标，表示两个变量的相关性。
它的值介于-1和1之间，-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无关。
因此，通过计算相关系数，可以了解两个变量之间的线性关系。
此外，另一个重要的线性相关性特性是回归线。
回归线是一条拟合两个变量之间线性关系的直线，它可以用来推测两个变量之间的关系。
通过画出回归线，可以更清楚地了解两个变量之间的关系，例如它们之间是线性相关还是非线性相关。
最后，我们来看看向量组线性相关性的应用。
它主要应用于统计学，用来推断和预测数据集之间的关系。
它也可以用来了解变量之间的线性依赖性，以及变量的趋势及其变化。
此外，它还可以用来帮助预测未来，因为它可以用来推断不同数据集之间的相关性。
总之，向量组线性相关性是一个非常重要的概念，它可以帮助我们了解变量之间的关系，推断不同数据集之间的关系，以及预测未来。
《线性代数》 向量组的线性相关性精选习题及解答
3
4．基 设 V 为向量空间，如果 r 个向量 a1 , a2 ,L , ar ∈V ，且满足
① a1 , a2 ,L , ar 线性无关； ② V 中任何一向量都可由 a1 , a2 ,L , ar 线性表示，那
5 ． 定 理 2 向 量 组 b1,b2 ,L,bl 能 由 向 量 组 a1, a2,L, am 线 性 表 示 的 充 要 条 件 是
R(a1, a2 ,L, am ) = R(a1,L, am , b1,L, bl ) .
4.2.4 线性方程组的解的结构
1．对齐次线性方程组
AX = 0
⎛ a11
的坐标. 4.2.6 基变换公式与坐标变换公式
1．设向量组 a1, a2 ,L, an 与 b1, b2 ,L, bn 是 V 的两组基，且有
(b1, b2 ,L, bn ) = (a1, a2 ,L, an ) A
其中
⎛ a11 a12 L a1n ⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜
a21 M
a22 M
L
a2n
⎟ ⎟
α1, α2 , α3 线性表示 β .
解：设 β = x1α1 + x2α2 + x3α3 ，即
求解上述方程组，方程组的增广矩阵为
⎛1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞
⎜⎜1⎟⎟
x1
+
⎜ ⎜
2
⎟ ⎟
x2
+
⎜ ⎜
3 ⎟⎟
x3
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜⎝1⎟⎠ ⎜⎝ 4⎟⎠ ⎜⎝ 9⎟⎠ ⎜⎝ 3⎟⎠
第四章线性方程组与向量组的线性相关性
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 由定理2可知
➢ 定理3 设n元齐次线性方程组 Ax=0，
⑴ R(A)=n 方程组Ax=0有惟一解， 即方程组Ax=0只有零解
A为方阵时，A≠0 ⑵ R(A)<n 方程组Ax=0有无穷多组解，
即方程组Ax=0有非零解 A为方阵时，A=0 ➢ 注：定理1.3及推论1.2自行阅读。
2r2r1 5r2r3
1 0
0 1
1 1
1 0
3 1
0 5 5 0 5
0 0 0 0 0
§1 消元法与线性方程组的相容性
➢ 原方程组可化为
x1 x3 x4 3
x2 x3
1
x3与x4可任意取值， 称为自由未知量
令x3k1,x4k2(k1,k2为任意 ),得 方常 程 组 的数 解
x1 3 k1 k2
向量组可相互线性表示，则称这两个向量组等价。
➢ 性质1若向量组1, 2,…,s可由向量组1, 2,…, t 线性表示，向量组1, 2,…,t 可由向量组1, 2, …,p线性表示，则向量组1, 2,…,s可由向量组 1, 2,…,p线性表示。（传递性）
§2 向量组的线性相关性
➢ 性质2
⑴向量组1, 2,…,s与向量组1, 2,…,s等价； ⑵若向量组1, 2,…,s与向量组1, 2,…,t 等价， 则向量组1, 2,…,t 与向量组1, 2,…,s等价； ⑶若向量组1, 2,…,s与向量组1, 2,…,t 等价， 向量组1, 2,…,t 与向量组1, 2,…,p等价， 则 向量组1, 2,…,s与向量组1, 2,…,p等价。
➢ 例1 用消元法解线性方程组
x1 2x2 3x3 x4 1 3x1 x2 4x3 3x4 8 2x1 x2 x3 2x4 7
4向量组的线性相关性
ｎ维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量，
ｎ维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量，
a1
如：
a2
an
3
2、几种特殊向量 1、元素是实数的向量称为实向量（Real Vector）.
元素是复数的向量称为复向量（Complex Vector）. 2、元素全为零的向量称为零向量（Null Vector）. 3、维数相同的列（行）向量同型. 4、对应分量相等的向量相等.
6
三维向量的全体所组成 的集合 R3 { r ( x , y , z )T x, y, z R }
叫做三维向量空间. n 维向量的全体所组成的 集合
Rn { X ( x1 , x2 , L , xn )T x1 , x2 , L , xn R } 叫做 n 维向量空间 .
7
三、应用举例
向量维数 方程的个数
16
例1.设1 (1, 2, 3, 4, 3)T ,2 (1, 2, 0, 5,1)T ,
3 (2, 4, 3, 19, 6)T ,4 (3, 6, 3, 24, 7)T
试判断1,2 ,3 ,4的线性相关性.
解 : 设k11 k22 k33 k44 0
k1 k2 2k3 3k4 0
推论:设1,2 , ...,s (s 2)是由非零向量组成的 向量组,若每个向量i (2 i s)都不是它 前面向量的线性组合,则1 ,2 , ...,s
线性无关.
从向量组中找尽量多的线性无关向量
21
例2
已知
1 0 2
a1 1,a2 2 ,a3 4 ,
1 5
7
试讨论向量组a1 , a2 , a3 及向量组a1 , a2 的线性 相关性 .
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n维实向量
(1 2i ,2 3i ,, n ( n 1)i )
n维复向量
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维向量的表示方法
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 a ,b, , 等表示，如：
a1 a2 a a n
向量在不同领域的表示含义
向
解析几何
既有大小又有方向的量
量
线性代数
有次序的实数组
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
代数形象： 向量的 坐 标 表 示 式
a T (a1 , a 2 ,, a n )
当n>3时，n维向量不再有几何形象，只是沿用几何术语
向量空间
判断
线性表示
T T T T
解：
通过求系数矩阵 与增广矩阵的秩 来判定该方程解 的情况。
定理1
向量b能由向量组A线性表示的充分必要 条件是矩阵 A ( 1， 2， , m )的秩等于矩阵 B ( 1， 2， , m , b)的秩.
向量b能有能由向量组A线性等价于非齐次线性方程 组有解的问题。
1 1 0 1 0 0
1
1 2
1 2 1 (1 )
2
(1 )(2 ) 0 1由(1 2 )(1 ) 0 , 得 1 0 1 1 1 1 即
局限性：此法只适用于系数矩阵是方阵的情形。
矩阵方程解情况的判定 定理: 线性方程组Ax = b有解的充分必要条件是
R(A)=R(A,b ).
定理 : 矩阵方程AX = B有解的充分必要条件是
R(A )= R(A,B ) .
定理: 设AB =C,则R(C) ≤min{R(A),R (B)}.
第四章
若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的 学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维 的？
向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或同维数的行向 量）所组成的集合叫做向量组．
向量组与矩阵的关系
例
矩阵A (a ij )mn 有n个m维列向量
aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a m 2 a mj a mn m1
1 1 ~1 2
2 1
1 1 1 1
说明：
0
下列初等行 变换成立
1 1 ~ 0 1 1 0 1 1 2
2 3 1
2
1 1 2 ~ 0 1 1 2 0 0 2 2 1 3 2
§1
向量组的线性相关性
向量组及其线性组合
n维向量的概念 定义1
n 个有次序的数 a1 , a 2 , , a n 所组成的数 第i个数a i 称为第i个分量 .
组称为n维向量，这n个数称为该向量的 个分量， n
分量全为实数的向量称为实向量
分量全为复数的向量称为复向量.
例如
(1,2,3,, n)
(1 )(2 ) 0 3由(1 2 )(1 ) 0 , 得 -2 0 1 1 2 4 R A R B ,故方程组无解 . B ~ 0 3 3 6 0 0 0 3 （4）当 0,
(1 )(2 ) 0 得 1且 2, 0 2由 0
1 1 B ~ 0 1 1 0 0 2
2 2 1
R A R B 3
方程组有唯一解
12 1 1 x1 , x2 , x3 . 2 2 2
从而求得对应的表达式为
b (1,2 ,3 ) x (3c 2)1 (2c 1)2 c3
定义3
等价可以不同维
设有两个向量组 A : 1 , 2 , , m 及B : 1 , 2 , , s . 若B组中的每个向量都能由 向量组A线性表示，则 称 向量组B能由向量组A线性表示 . 若向量组A与向 量组B能相互线性表示，则称 这两个向量组等价．
例
设有线性方程组 x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 x x x 2 1 2 3
对增广矩阵 B ( A, b) 作初等行变换，
解
当 取何值时，方程有唯一解、无穷解、无解。 法一：
B 1 1
1
1 1
1
T 2
T 1
T i
T m
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 1 , 2 ,, m , 组 构成一个m n矩阵
A ( 1 , 2 ,, m )
m 个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m ,
T T T
T
ax by cz d
T
r ( x, y, z )
n n 3时， 维向量没有直观的几何形象．
R x ( x1 , x 2 ,, x n ) x1 , x 2 ,, x nR
n
T
叫做 n 维向量空间．
x ( x1 , x 2 ,, x n )T a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
B ~ 0 0 0 0 0 0 0 0 R A R B 3, 方程组有无穷多解 .
x1 1 x2 x3 x2 x2 x x 3 3
令x2=c1，x3=c2
其通解为
x1 1 1 1 x2 c1 1 c2 0 0 x 0 0 0 3
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 T T T T 矩阵，通常用 a , b , , 等表示，如：
a T (a1 , a 2 ,, a n )
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； ２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
综上， 1 当 1时, 方程有无穷个解
2) 2, 1
方程唯一解
3) 2,
方程无解
法二 （1）由系数行列式
1
1
1
1
1 1 0 1 1 ( 2)( 1) 2 0 1 1 0 0 2 2
可得
1, 2
1
方程有唯一解
简单检验 的情况
0
具体解，用克拉默法则计算 （2） 当
1 1 1 1 B ~ 0 0 0 0 0 0 0 0
求出通解
（3）当
2
1 1 2 4 B ~ 0 3 3 6 0 0 0 3
方程组无解
定义１
定义2
给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在
元件
一组数1， 2， , m，使 b 1 1 2 2 m m 组件
向量 b 能 则向量b是向量组A的线性组合，这时称 由向量组 A线性表示．
特别的：
的一个线性组合
例1
T T T T
则R(A)=R(B),即向量b能由向量组a1，a2，a3线性表示
上述行最简行，可对应方程（a1,a2,a3)x=b的解， 即可设X3=C,得上述方程的通解为：
3 2 3c 2 x c 2 1 2c 1 1 0 c
1 1 B 2 2 1 1 2 1 1 4 3 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 2 1 0 ~ ~ 3 0 1 2 1 0 1 0 1 2 1 0 0 3 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0
构成一个m n矩阵
1T T 2 B T m
结论：含有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应。
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
定理2
向量组B：1 , b 2 ,, b l 能由向量组A：1 ,a 2 , ,a m 线 a b 性表示的充分必要条件是矩阵 A=(a1 ,a 2 ,,a m ) 的秩 等于矩阵（A，B）的秩。
空
解析几何
点空间：点的集合
间
线性代数
向量空间：向量的集合
( n 3)
坐 标
几何形象： 空间直线、曲线、 空间平面或曲面
系
代数形象： 向量空 间 中 的 平 面
( x, y, z ) ax by cz d r ( x , y , z )
P ( x, y, z )
一 一 对 应
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1 n a2n a in a mn
a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
给定向量组 A : 1 , 2 , , m，对于任何一 组实数 k 1， k 2， , k m向量 ， k1 1 k 2 2 k m m