高等数学课件--D4_2换元积分法
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高等数学(上) 第3版教学课件4-2换元积分法
其中 C = C1 ln a
（3）
令 x = a sin t
p
（ 0 < t < ），则
2
x2 a2 = a2 (sec2 t 1) = a tan t ，
dx = da sect = a sect tan tdt
代入原式得：
1 dx = a sec t tan t dt = sec tdt = ln sec t + tan t + C
x)
dx
=
sec 2 x + sec x tan x dx
sec x + tan x
=
1
d (sec x + tan x)
sec x + tan x
= ln sec x + tan x + C
类似地，有 （6） csc xdx = ln csc x cot x + C
例 6
求
x2
1
a2
dx
由
x
=
a
sin
t
得，
sin
t
=
x a
，
t
( p
p ,
)
22
于是
t = arcsin x a
为了求 cos t ，可根据 sin t = x
a
用勾股定理求出第三边，于是
cos t = x 2 a 2 a
作辅助三角形（如图），然后
x
a
t
a2 x2
将它们代入上述的积分结果中得：
a 2 x 2 dx = a 2 arcsin x + 1 x a 2 x 2 + C
x2 + a2
2换元积分法-精选文档36页
1sinuC1sin2xC.
2
2
综合上述分析，此题的正确解法如下：
求 co2xsdx.
解 令u2x, 得du2dx, 得dx1du，则有
2
co2xsdx1 2coudsu
1 sin
uC
2
1sin2xC. 2
第一换元积分法 设函u数 (x)可导，若
f(u)duF(u)C,
l|n se xc tax| n C
类似地，还可得到 c s cx d x ln c s cx c o tx C
例8 求下列不定积分
( 1 )
dx x ( 1 2 ln
x)
1 d 2 llx n x n 1 2 d 1 ( 1 2 2 llx n x n ) 1 2 l1 n 2 lx n C
1 1 1＝ 1cot， s a2x2 a2ta2tna2 asetca
dxase2tcdt，
x2 1 a2d xa 1co tase 2td tc sectdt
lnsect tant C.
根据tant x，利用图所示三角可形得， a
而 所以有
d x 1 d u， 2
c o s2 xd x c o su 1 2 d u 1 2 c o su d u
由于 dsinucous，即对新的积 u而分言 s变 i， nu是 量 du
被积函 co数 us的原函数，因此有
12cousdu12sinuC.
再把 u2x代回，得
应用第一换元积分法求不定积分的步骤为
g(x)dxf(x)(x)dx凑 微 分 f(x)d(x)
变 (x 量 )代 换 uf(u)duF (u)C u 还 原 (x)F(x)C
高等数学-4_2换元法
4
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
机动
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结束
例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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结束
例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
D4_2换元法
2. 求
提示:
法1
法2
法3
术喂侵殴漳椒亿铝眶蹬谅蜕惧裙握辅骨搓馒韦户化嗅映攫奄玄航犊责趾哪D4_2换元法D4_2换元法
二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
难求
易求
若所求积分
易求,
则得第二类换元积分法 .
难求，
产讼恫哥款递娠芯勒道钾捞弗蛤母笔刃述涨工贾执囤绝介痉酱资哦邯拙巩D4_2换元法D4_2换元法
陡咨泥姨氮茨沧冗讶憎唾焊俄券宾病器子耸肃琢落芋关谭霸矩芍租尖层炼D4_2换元法D4_2换元法
备用题 1. 求下列积分:
煞鬃袄等秋悍钦恩柯瘟邱野顾姐囚脉跨恤背寨碗妥盂篓驻贱恩赎宽局兹厌D4_2换元法D4_2换元法
2.
求不定积分
解：
利用凑微分法 ,
原式 =
令
得
罢吵瑚朱温淳烤陵斧摹颗邪蜕驻震灿渣享畦涣筒趋螟摘封决郝耻枉骂睁吟D4_2换元法D4_2换元法
诸玲约溺考赚徒负鸳邓允严挣火队晋吵乏扦芍买汲楚措底蚂绅秆左巍综丘D4_2换元法D4_2换元法
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
令
令
令
或
令
或
令
或
第四节讲
栅庇疮蓑琳抓窜励闲讨灿几总策卉穷和攻肿它淤鲸爷棵念肝闸锨碗潘尝庆D4_2换元法D4_2换元法
2. 常用基本积分公式的补充 (P203)
(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换
骸刀涌瘩荫桶鸽霞特毒悔霸般斜诬渔婶矿儿锈新潮赠爬八及堆惠渍覆涅撤D4_2换元法D4_2换元法
例10. 求
解法1
座趴亏甸贤镍念权段毒间谦晴又腾夫厚辐赖摘加锯琢蛋汁保祥怨郎洼闭脖D4_2换元法D4_2换元法
解法 2
同样可证
提示:
法1
法2
法3
术喂侵殴漳椒亿铝眶蹬谅蜕惧裙握辅骨搓馒韦户化嗅映攫奄玄航犊责趾哪D4_2换元法D4_2换元法
二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
难求
易求
若所求积分
易求,
则得第二类换元积分法 .
难求，
产讼恫哥款递娠芯勒道钾捞弗蛤母笔刃述涨工贾执囤绝介痉酱资哦邯拙巩D4_2换元法D4_2换元法
陡咨泥姨氮茨沧冗讶憎唾焊俄券宾病器子耸肃琢落芋关谭霸矩芍租尖层炼D4_2换元法D4_2换元法
备用题 1. 求下列积分:
煞鬃袄等秋悍钦恩柯瘟邱野顾姐囚脉跨恤背寨碗妥盂篓驻贱恩赎宽局兹厌D4_2换元法D4_2换元法
2.
求不定积分
解：
利用凑微分法 ,
原式 =
令
得
罢吵瑚朱温淳烤陵斧摹颗邪蜕驻震灿渣享畦涣筒趋螟摘封决郝耻枉骂睁吟D4_2换元法D4_2换元法
诸玲约溺考赚徒负鸳邓允严挣火队晋吵乏扦芍买汲楚措底蚂绅秆左巍综丘D4_2换元法D4_2换元法
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
令
令
令
或
令
或
令
或
第四节讲
栅庇疮蓑琳抓窜励闲讨灿几总策卉穷和攻肿它淤鲸爷棵念肝闸锨碗潘尝庆D4_2换元法D4_2换元法
2. 常用基本积分公式的补充 (P203)
(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换
骸刀涌瘩荫桶鸽霞特毒悔霸般斜诬渔婶矿儿锈新潮赠爬八及堆惠渍覆涅撤D4_2换元法D4_2换元法
例10. 求
解法1
座趴亏甸贤镍念权段毒间谦晴又腾夫厚辐赖摘加锯琢蛋汁保祥怨郎洼闭脖D4_2换元法D4_2换元法
解法 2
同样可证
换元积分法PPT课件
dx
x 1 x2
dx
arctan 1 x2
x
dx
1 2
1 1 x2
d(1
x2
)
arctanxd
arctanx
1 ln(1 x2 ) 1 (arctanx)2 C
2
2
28
二、第二换元法
引例
x dx x 1
为了将被积函数中的根式 x 1 去掉，
应将其作为一个整体，因此令 t x 1
因此，x t 2 1, dx 2tdt 将其代入原积分式中，
x dx t 2 1 2tdt 2 (t2 1)dt 2 t3 2t C
x 1
t
3
2 (t 2 1)dt 2 t3 2t C 3
2 ( x 1)3 2 x 1 C
29
3
第一换元法： f (j(x))j(x) d x f (u) d u 是被积表达式
已明显含有因子j(x)。而在实际问题中，常常遇到的是一般形
dx
1 3
dx x4
dx x 1
1 ln x 4 C. 3 x1
24
例 19
求
x2
dx . 4x 5
解
x2
dx 4x
5
1
dx (x
2)2
1
d( x 2) ( x 2)2
arctan(x 2) C.
25
例 20
求
x1
x2
4x
dx. 5
解
x1
x2
4x
dx 5
1 ( x2 4x 5) 1
例 2 求 (4x 5)99 dx.
解 上式与基本积分表中 x dx 1 x 1 C 1
《换元积分法》课件
确定新变量
在原积分中，选择一个易于积分的变量替换 原积分中的变量，以简化积分过程。
选择新变量原则
选择的新变量应使得积分过程更简单、直观，便于 计算。
常见新变量选择
对于形如$int f(x) dx$的积分，常见的新变 量选择有$t = g(x)$或$x = g(t)$，其中 $g(x)$是原函数$f(x)$的可导函数。
要点二
计算简便
通过换元，可以将复杂积分转化为简单积分，降低计算难 度。
换元积分法的优缺点
• 易于理解：换元积分法的原理相对直观， 易于理解。
换元积分法的优缺点
需要选择合适的换元
选择合适的换元是关键，如果选择不当，可能导致计算 过程复杂化。
对初学者有一定难度
换元积分法涉及到变量替换，对初学者来说可能有一定 的学习难度。
新积分计算的注意事项
在计算新积分的过程中，需要注意积分的上下限是否发生变化，以及积分的计算是否正 确。
04
换元积分法的实例
实例一：计算定积分
总结词
换元积分法在计算定积分中的应用
VS
详细描述
通过换元积分法，可以将复杂的定积分转 化为容易计算的定积分，从而简化计算过 程。例如，利用三角换元法将复杂的定积 分转化为简单的定积分。
换元积分法的定义
换元积分法的定义
换元积分法是通过引入新的变量替换原来的变量，将复杂的积分转化为容易积分的积分，从而解决定积分问题的 一种方法。
换元积分法的步骤
首先，根据题目要求，选择适当的变量替换原来的变量；然后，根据新的变量，确定积分上下限；最后，进行定 积分计算。
换元积分法的公式
三角换元公式
确定新积分上下限
上下限变换原则
根据新变量的定义，将原积分的上下 限代入新变量的表达式中，得到新的 积分上下限。
在原积分中，选择一个易于积分的变量替换 原积分中的变量，以简化积分过程。
选择新变量原则
选择的新变量应使得积分过程更简单、直观，便于 计算。
常见新变量选择
对于形如$int f(x) dx$的积分，常见的新变 量选择有$t = g(x)$或$x = g(t)$，其中 $g(x)$是原函数$f(x)$的可导函数。
要点二
计算简便
通过换元，可以将复杂积分转化为简单积分，降低计算难 度。
换元积分法的优缺点
• 易于理解：换元积分法的原理相对直观， 易于理解。
换元积分法的优缺点
需要选择合适的换元
选择合适的换元是关键，如果选择不当，可能导致计算 过程复杂化。
对初学者有一定难度
换元积分法涉及到变量替换，对初学者来说可能有一定 的学习难度。
新积分计算的注意事项
在计算新积分的过程中，需要注意积分的上下限是否发生变化，以及积分的计算是否正 确。
04
换元积分法的实例
实例一：计算定积分
总结词
换元积分法在计算定积分中的应用
VS
详细描述
通过换元积分法，可以将复杂的定积分转 化为容易计算的定积分，从而简化计算过 程。例如，利用三角换元法将复杂的定积 分转化为简单的定积分。
换元积分法的定义
换元积分法的定义
换元积分法是通过引入新的变量替换原来的变量，将复杂的积分转化为容易积分的积分，从而解决定积分问题的 一种方法。
换元积分法的步骤
首先，根据题目要求，选择适当的变量替换原来的变量；然后，根据新的变量，确定积分上下限；最后，进行定 积分计算。
换元积分法的公式
三角换元公式
确定新积分上下限
上下限变换原则
根据新变量的定义，将原积分的上下 限代入新变量的表达式中，得到新的 积分上下限。
第2节换元积分法
或
因为 { F [ ( x )]} f [ ( x )] ( x )
若 f ( u) , ( x )及 ( x )均为连续函数， 且
f (u)du F (u) C
则
f [ ( x )] ( x )dx F [ ( x )] C
1/28/2019 6:06 AM
f ( x) f ( x ) f ( x ) [1 ]d x 2 f ( x ) f ( x) f ( x ) f 2 ( x ) f ( x ) f ( x ) [ ]d x 2 f ( x ) f ( x)
1/28/2019 6:06 AM
1 f ( x) 2 f ( x) f ( x) ] C d[ ] [ f ( x ) f ( x ) 2 f ( x )
1 令 u x 3 , 则 xdx du 2 1 1 2 2 x x 3 dx u du 2
2
1 2 1 u C ( x 3) C 3 3
3 2
3 2
1/28/2019 6:06 AM
第5章
不定积分
当运算熟练时， 可以不必将 u 写出来。 例3 求不定积分 解
2 6t 5dt t 3 4 6 dt t t 1 t
1 t2 1 1 dt 6 dt 6 ( t 1)dt 6 1 t 1 t
3t 6t 6ln t 1 C
2
3 3 x 6 6 x 6ln
1/28/2019 6:06 AM
cot xdx ln sin x C
第5章
不定积分
例5
解
dx 求不定积分 2 2 (a 0) a x 1 1 1 dx a 2 x 2 2a ( a x a x )dx 1 1 1 ( dx dx ) 2a a x a x 1 (ln a x ln a x ) C 2a 1 a x ln C 2a a x
因为 { F [ ( x )]} f [ ( x )] ( x )
若 f ( u) , ( x )及 ( x )均为连续函数， 且
f (u)du F (u) C
则
f [ ( x )] ( x )dx F [ ( x )] C
1/28/2019 6:06 AM
f ( x) f ( x ) f ( x ) [1 ]d x 2 f ( x ) f ( x) f ( x ) f 2 ( x ) f ( x ) f ( x ) [ ]d x 2 f ( x ) f ( x)
1/28/2019 6:06 AM
1 f ( x) 2 f ( x) f ( x) ] C d[ ] [ f ( x ) f ( x ) 2 f ( x )
1 令 u x 3 , 则 xdx du 2 1 1 2 2 x x 3 dx u du 2
2
1 2 1 u C ( x 3) C 3 3
3 2
3 2
1/28/2019 6:06 AM
第5章
不定积分
当运算熟练时， 可以不必将 u 写出来。 例3 求不定积分 解
2 6t 5dt t 3 4 6 dt t t 1 t
1 t2 1 1 dt 6 dt 6 ( t 1)dt 6 1 t 1 t
3t 6t 6ln t 1 C
2
3 3 x 6 6 x 6ln
1/28/2019 6:06 AM
cot xdx ln sin x C
第5章
不定积分
例5
解
dx 求不定积分 2 2 (a 0) a x 1 1 1 dx a 2 x 2 2a ( a x a x )dx 1 1 1 ( dx dx ) 2a a x a x 1 (ln a x ln a x ) C 2a 1 a x ln C 2a a x
4-2 换元法1-第一换元法
1 1 − cos x 1 1− u + C. = ln + C = ln 2 1 + cos x 2 1+ u
类似地可推出
∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C .
例20. 求 sec6 xdx. ∫
2 d tan xdx 解: 原式 = ∫ (tan x +1) ⋅ sec 2 2
1 1 1 1 = ∫ du = ln u + C = ln 1 + 2 ln x + C. 2 u 2 2
例9. 求
∫
e3
x
x
dx.
3 x
2 3 x 解: 原式 = 2 ∫ e d x = ∫ e d(3 x) 3 2 3 x = e +C 3
例10 求
解
∫
x 4 − x arcsin 2 1 1 x dx = ∫ d 2 x 2 x 2 x 4 − x arcsin 1 − arcsin 2 2 2
第二节
第四章 四
换元积分法
一、第一类换元想
∫ f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx = ∫ f [ϕ(x)]d(ϕ(x))
做变量替换 = ϕ(x) u
已知
[∫ f (u)du]u=ϕ ( x)
定理1 定理1
具有原函数， u 可导， 设 f (u) 具有原函数， = ϕ ( x ) 可导，
小结1 小结
• 求不定积分时，首先要与已知的基本积 求不定积分时， 分公式相对比，并利用简单的变量代换， 分公式相对比，并利用简单的变量代换， 把要求的积分化成已知的形式， 把要求的积分化成已知的形式，求出以 再把原来的变量换回。 后，再把原来的变量换回。 • 前5个例子中采用代换 u=ax+b, 个例子中采用代换 du与dx只相差一个常数 du=a dx 。 与 只相差一个常数 • 注意例3，4与例 解法差别。 注意例 ， 与例5解法差别。 与例 解法差别
类似地可推出
∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C .
例20. 求 sec6 xdx. ∫
2 d tan xdx 解: 原式 = ∫ (tan x +1) ⋅ sec 2 2
1 1 1 1 = ∫ du = ln u + C = ln 1 + 2 ln x + C. 2 u 2 2
例9. 求
∫
e3
x
x
dx.
3 x
2 3 x 解: 原式 = 2 ∫ e d x = ∫ e d(3 x) 3 2 3 x = e +C 3
例10 求
解
∫
x 4 − x arcsin 2 1 1 x dx = ∫ d 2 x 2 x 2 x 4 − x arcsin 1 − arcsin 2 2 2
第二节
第四章 四
换元积分法
一、第一类换元想
∫ f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx = ∫ f [ϕ(x)]d(ϕ(x))
做变量替换 = ϕ(x) u
已知
[∫ f (u)du]u=ϕ ( x)
定理1 定理1
具有原函数， u 可导， 设 f (u) 具有原函数， = ϕ ( x ) 可导，
小结1 小结
• 求不定积分时，首先要与已知的基本积 求不定积分时， 分公式相对比，并利用简单的变量代换， 分公式相对比，并利用简单的变量代换， 把要求的积分化成已知的形式， 把要求的积分化成已知的形式，求出以 再把原来的变量换回。 后，再把原来的变量换回。 • 前5个例子中采用代换 u=ax+b, 个例子中采用代换 du与dx只相差一个常数 du=a dx 。 与 只相差一个常数 • 注意例3，4与例 解法差别。 注意例 ， 与例5解法差别。 与例 解法差别
第二换元积分法(代入法)
173换元积分法用的是积分规则[]=-'⎡⎤========⎣⎦⎰⎰()]1()d ()()d ()()x u t f x x f u t u t t G t G ux [代入其中函数()x u t =有反函数1()t u x -=.它与凑微分积分法用的是同一个积分规则，只是“积分的方向”不同(因此，有人把凑微分积分法称为第一换元积分法,而把这里的积分法称为第二换元积分法)。
换元积分法在求某些带有根式的无理函数的原函数时特别有效。
例如(Ⅰ)变成有理函数的积分)若被积函数中含有根式)0(≠a ，就令nb ax t +=[实际上是代入函数)(1b t ax n-=，0≥t ]则t antx n d d 1-=.例13x ⎰ [t t x t t x x t d 2d ),0(,2=≥==](1)12d 2d 11tt t t tt+-==++⎰⎰121d 1t t ⎛⎫=-⎪+⎝⎭⎰[]2ln(1)t t =-+[2ln(1t ⎤+⎦(换回到原来的自变量)例142[2(2)2d (2)t t tx t t tt--+⎰42222d 2t t t tt -=+-⎰，其中被积函数是有理函数假分式，要用多项式除法(见注1)或拼凑法(见注2)，把它变成一个多项式与一个真分式的和，即42222t tt t -=+-2232(1)2t t t tt --+-+-因此，2232(1)d d 2t x t t t t tt -=-+-+-⎰⎰⎰3227(21)33d 3222t ttt t t t +-=-+-+-⎰[分子上的(21)t +是分母的导数]32223d(2)71d 32222(1)(2)ttt t t t t t t t +-=-+-++--+⎰⎰3223711ln 2d 322612ttt t t t t t ⎛⎫=-+-+-+-⎪-+⎝⎭⎰17432237ln 2ln3226ttt t t =-+-+-+(2232x x ++=-+3ln 2x -+7ln6+【注1】多项式除法【注2】拼凑法42223322222(2)222t t t t t t t t t t t t t t -+--==-+-+-+-2222(2)22t t t t tt t t +--+=-+-22222t t t t t t -=-++-22222(2)3232(1)22t t t t t t t t t t t t +--+-=-+=-+-+-+-(Ⅱ)变成三角函数有理式（*）的积分)若被积函数中含有根式22x a -或22a x ±(0>a )，就用“三角替换”消掉它们： ()i 对于22x a -，令)22(sin ππ≤≤-=t t a x 或)0(cos π≤≤=t t a x ；()ii 对于22a x +，令)22(tan ππ<<-=t t a x ；()iii 对于22ax -，令)220(sec πππ<<<<=t t t ax 或。
《高等数学》教学课件 第4章
〔4-3〕
例1 求 2exdx 。
解
2exdx 2 exdx 2ex C
性质2 两个函数代数和的积分等于它们积分的代数和，即
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
〔4-4〕
例2 求 (2x cos x)dx 。
解
(2x cos x)dx 2xdx cosxdx x2 sin x C
令us100
1
1
0.05 u 2du 0.1u 2 C
回代
1
0.1(s 100)2 C
又因为 Q(0) 0，得 C 1 ，故
1
Q 0.1(s 100)2 1
3
例2 求 (1 2x) dx 。
解 将dx凑成 dx 1 d(1 2x) ，则 2
(1
3
2x) dx
1 2
(1
2x)3
二、不定积分的概念
定义2 如果函数 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，那么表达式 F (x) C
（ C为任意常数）称为 f (x) 的不定积分，记为 f (x)dx ，即
f (x)dx F (x) C
其中“ ”称为积分号，x 称为积分变量，f (x) 称为被积函
数，f (x)dx 称为被积表达式， C 称为积分常数。dx
1 2a
a
1
x
dx
a
1
x
dx
1 ( ln a x ln a x ) C 2a
1 ln a x C. 2a a x
同理有
1
1 xa
dx ln
C
x2 a2 2a x a
例10 求 csc xdx 。
解
csc xdx
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1 dx dx ∴ 原式 = x a x a 2a
d( x a ) 1 d( x a ) xa 2a x a
1 ln x a ln x a 2a
2013-8-9 同济高等数学课件
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( x 1) e x dx xe x dx e x dx
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例15. 求 解: 原式
f ( x) f ( x) f ( x) 1 f ( x) f 2 ( x)
dx
f ( x) f 2 ( x) f ( x) f ( x) dx 2 f ( x) f ( x)
x
x
ln(1 e x ) ln[e x (e x 1)] 两法结果一样
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例10. 求 解法1
cos x d sin x dx 2 cos x 1 sin 2 x
1 1 1 d sin x 2 1 sin x 1 sin x
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dx . 例9. 求 x 1 e 解法1 (1 e x ) e x d(1 e x ) dx dx x x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
解法2
e d(1 e ) dx x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
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2. 求 提示:
法1 法2
法3
(x ) x
10
10
10
1 10
dx
1 d x 10 10
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二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
f [ ( x)] ( x)dx f (u )d u
万 能 凑 幂 法
f (sin x)cos x d x f (cos x)sin x d x
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dsin x dcos x
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6) f (tan x) sec 2 xdx 7) f (e )e dx
x x
dtan x
万能凑幂法
n 1 1 f (xn ) 1 d xn f (x ) x dx n x
n
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f ( x n )x n 1 dx 1 f ( x n ) d x n n
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元
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难求 易求
u (x)
若所求积分 f (u )d u 难求，
f [ ( x)] ( x)dx 易求,
则得第二类换元积分法 .
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定理2 . 设
是单调可导函数 , 且 具有原函数 , 则有换元公式
其中 t 1 ( x) 是 x (t ) 的反函数 .
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例3. 求
解:
a
dx 1 (
x 2 a)
d( ) 1 (
x 2 a)
x a
想到
du 1 u2
arcsin u C
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f [ ( x)] ( x)dx
f ( ( x))d ( x)
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(直接配元)
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第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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基本思路
设 F (u ) f (u ) , 可导, 则有
dF [ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx F [ ( x)] C F (u ) C
证: 设 f [ (t )] (t ) 的原函数为 (t ) , 令
则
(t ) f [ (t )] (t ) F ( x) [ 1 ( x) ] d d t 1 F (x) f [ (t )] (t ) f (x) d t dx (t ) f ( x) dx F ( x) C [ 1 ( x)] C
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x
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目录 上页 sec x tan x sec 2 x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
例8. 求 sec 6 xdx .
解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d tan x d x sec 2
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
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cos x dx
4 3 2
1 4
( 3 2 cos 2 x 1 cos 4 x) dx 2 2
dx cos 2 x d( 2 x) 1 cos 4 x d(4 x) 8
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例13. 求 解: sin 2 x cos 2 3x [ 1 (sin 4 x sin 2 x)]2 2
[t[ (C)] t ) d1 (tx) 1 ( x ) f ] t t ( t
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例16. 求
解: 令 x a sin t , t ( π , π ) , 则 2 2
a 2 x 2 dx (a 0) .
a 2 x 2 a 2 a 2 sin 2 t a cos t a2 x2 dx a cos t d t a cos t a cos t d t a 2 cos 2 t d t ∴ 原式 2 1 cos 2t 2 t sin 2t a dt a C 2 4 2 x a2 x2 sin 2t 2 sin t cos t 2 a a x 1 a2 arcsin x a 2 x 2 C 2 a 2
f (u )du
u ( x )
u ( x )
第一类换元法 第二类换元法
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一、第一类换元法
定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元
公式
f (u )du
即
u (x)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
1 sin 2 4 x 1 2 sin 4 x sin 2 x 1 sin 2 2 x 4 4 4
∴原式 =
1 (1 cos 8 x) 8
1 4
sin 2 2 x cos 2 x 1 (1 cos 4 x) 8
1 dx 64 cos 8 x d(8 x) 1 1 sin 2 2 x d(sin 2 x) 32 cos 4 x d( 4 x) 2
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例14. 求 解: 原式 =
e
ex
x
1 1 x ( x ) d( x e ) x x e 1 x e
ln x e x ln 1 x e x C x ln x ln 1 x e x C
1 1 x ex x ex 分析: x x x e (1 x e ) x e x (1 x e x )
(也称配元法 , 凑微分法)
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例1. 求
解: 令 u a x b , 则 d u adx , 故 原式 = u
m
1 1 1 m 1 du u C a a m 1
注意换回原变量
注: 当
时
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de
x
1 8) f (ln x) dx x
例6. 求
dln x
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
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例7. 求
e3
x
x
dx .
3 x
2 3 x 解: 原式 = 2 e d x e d(3 x ) 3 2 3 x e C 3
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例2. 求
解:
1 dx 2 x a 1 ( a )2 x 1 令 u , 则 du d x a a 1 1 du arctan u C 2 a a 1 u
1 u2
想到公式 du
arctan u C
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同样可证
csc xdx ln csc x cot x C