复变函数-教学资料 41 39页PPT文档
合集下载
第2章复变函数与解析函数精品PPT课件
①在 z
(分母在 z 0
0不连为续0的)在两z个0 处函连数续f(z;)与g(z)的和,差,积,商
②若函数 hg(z)在点 z 0 处连续，函数 w f(h)
在 h0 g(z0连) 续，则复合函数 wf[g(z)]
在 z 0 处连续（证略）.
例3 求 lim z 1 zi z 2
解: 因为 z 1 在点zi 处连续，故 z2
注:连续的条件:
(1) 在z 0处有定义;
(2) z 0 处的极限值等于该点的函数值.
2)连续充要条件: 定理 函数 f(z) u (x ,y ) i(v x ,y ),在 z0 x0iy0 处连续的充要条件是u(x, y) 和 v(x, y) 都 在点(x0, y0)处连续.
3)连续函数性质:
x2 y2
x2 y2
化为一个复变函数.
解 设 zxiy ，wuiv， 则 wuiv 2xiy x2 y2
将 x 1 (z z) ，y 1 (z z) 以及 x2 y2 zz 得 2 w312i (z0)
2z 2z
二.复变函数的极限与连续性 1.极限:
1)定义 设函数f(z) 在 z 0 的去心邻域内有定义，若对任
2. 可导与连续的关系
若函数wf(z)在点z 0 处可导，则 f (z)在点 z 0 处必
连续.反之不一定.
3.用定义求导的步骤 1)求增量比; 2)求增量比的极限.
例1 求 f ( z) z 2 的导数.
二.解析函数的概念及求导法则
1. 解析函数的定义
1) 点处解析: 如果f(z)不仅在点 z 0处可导,且在点 z 0 的某邻域内的处处可导,则称f(z)在点 z 0处解析;
3)运算法则:类似于实函数极限的运算法则. 例
《复变函数第3讲》课件
THANKS
感谢您的观看
几何意义
复变函数的导数定义为函 数在复平面上的切线的斜 率。
STEP 03
计算方法
通过极限定义，利用实部 和虚部的导数计算复变函 数的导数。
导数表示函数在某一点的 切线斜率，即函数在该点 的变化率。
复数函数的积分
定义
复数函数的积分定义为复平面上的曲线下的面 积。
几何意义
积分表示函数在曲线下的面积，即函数在某个 区间上的增量。
幂级数的性质
幂级数具有很多重要的性质，如 收敛性、可导性、可积性等。这 些性质使得幂级数在数学和物理 中有广泛的应用。
幂级数的应用
幂级数在数学分析、微积分、复 变函数等领域有广泛的应用。例 如，它可以用来求解微分方程、 积分方程，以及研究函数的性质 等。
泰勒级数
泰勒级数的定义
泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，它以一个函数为中心，展开成幂的形式。
复变函数的连续性
定义
如果对于任意给定的正数 ε，存在一个正数 δ，使得当 |z - z0| < δ 时，有 |f(z) - f(z0)| < ε，则称 f(z) 在 z0 处连续。
性质
连续性具有传递性、局部性、可加性、可乘性和复 合性。
判定方法
利用连续性的定义和性质进行判定。
复数函数在无穷远点的极限
柯西积分公式
对于全纯函数，可以通过柯西积分公式计算 其在任意点的值。
全纯函数的积分表示
积分公式
全纯函数的积分表示为沿任意简单闭曲线的积分。
柯西积分定理
对于全纯函数，其沿任意简单闭曲线的积分等于零。
柯西积分公式与全纯函数的积分表示
全纯函数的积分表示可以通过柯西积分公式得到。
复变函数课件章节
复变函数(第四版)课件 章节大纲
汇报人：
目录
添加目录标题
01
复变函数的基本概念
02
复变函数的微积分
03
全纯函数与亚纯函数
04
复变函数的积分公式 和全纯函数的性质
05
全纯映射和几何函数 论
06
添加章节标题
复变函数的基本 概念
复数及其几何意义
复数：实数与 虚数的组合
复平面：复数 的几何表示
复数的模：表 示复数的大小
全纯函数的性质
全纯函数是复变函数中的重要概念，具有解析性和连续性
全纯函数在复平面上的解析性，即函数在复平面上的任意点处都可以解析
全纯函数的连续性，即函数在复平面上的任意点处都可以连续
全纯函数的性质还包括其解析性和连续性的关系，即全纯函数在复平面上的解析性和连续性是等价 的
最大模原理和柯西积分公式
亚纯函数的展开 和值分布理论
亚纯函数的展开和米塔-列夫勒理论
展开：将亚纯函数分解为幂 级数的形式
米塔-列夫勒理论：研究亚纯 函数展开的性质和规律
亚纯函数：复变函数中的一 种特殊函数
应用：在解析数论、复动力 系统等领域有广泛应用
值分布理论和皮卡定理
值分布理论：研 究函数在复平面 上的值分布规律
皮卡定理：描述 函数在复平面上 的值分布规律
极值性质：全纯 映射的极值性质， 包括最大值和最 小值
泰勒定理：泰勒 定理的证明和应 用，包括泰勒级 数和泰勒展开式
极值定理：极值 定理的证明和应 用，包括极值点 的存在性和唯一 性
泰勒定理的应用： 泰勒定理在复变 函数中的应用， 包括求解微分方 程和积分方程
几何函数论和单叶函数
几何函数论：研究复变函数在几何上的性质，如解析性、单值性、连续性等 单叶函数：复变函数在某一区域内具有唯一确定的值，且该值与自变量一一对应 单叶函数的性质：解析性、单值性、连续性、可微性等 单叶函数的应用：在工程、物理、化学等领域有广泛应用，如流体力学、电磁学、量子力学等
汇报人：
目录
添加目录标题
01
复变函数的基本概念
02
复变函数的微积分
03
全纯函数与亚纯函数
04
复变函数的积分公式 和全纯函数的性质
05
全纯映射和几何函数 论
06
添加章节标题
复变函数的基本 概念
复数及其几何意义
复数：实数与 虚数的组合
复平面：复数 的几何表示
复数的模：表 示复数的大小
全纯函数的性质
全纯函数是复变函数中的重要概念，具有解析性和连续性
全纯函数在复平面上的解析性，即函数在复平面上的任意点处都可以解析
全纯函数的连续性，即函数在复平面上的任意点处都可以连续
全纯函数的性质还包括其解析性和连续性的关系，即全纯函数在复平面上的解析性和连续性是等价 的
最大模原理和柯西积分公式
亚纯函数的展开 和值分布理论
亚纯函数的展开和米塔-列夫勒理论
展开：将亚纯函数分解为幂 级数的形式
米塔-列夫勒理论：研究亚纯 函数展开的性质和规律
亚纯函数：复变函数中的一 种特殊函数
应用：在解析数论、复动力 系统等领域有广泛应用
值分布理论和皮卡定理
值分布理论：研 究函数在复平面 上的值分布规律
皮卡定理：描述 函数在复平面上 的值分布规律
极值性质：全纯 映射的极值性质， 包括最大值和最 小值
泰勒定理：泰勒 定理的证明和应 用，包括泰勒级 数和泰勒展开式
极值定理：极值 定理的证明和应 用，包括极值点 的存在性和唯一 性
泰勒定理的应用： 泰勒定理在复变 函数中的应用， 包括求解微分方 程和积分方程
几何函数论和单叶函数
几何函数论：研究复变函数在几何上的性质，如解析性、单值性、连续性等 单叶函数：复变函数在某一区域内具有唯一确定的值，且该值与自变量一一对应 单叶函数的性质：解析性、单值性、连续性、可微性等 单叶函数的应用：在工程、物理、化学等领域有广泛应用，如流体力学、电磁学、量子力学等
复变函数与积分变换复数与复变函数PPT课件
将它们代入所给的直线方程ax+bx=c，有
化简得
记α=a+ib，β=2c，便得结论.
（3）方程|z-i|=|z+2i|表示到点i和-2i的距离相等的点z的轨迹，
即连接复数i和-2i的线段的垂直平分线.
(4) 方程
表示一个圆周.
第31页/共75页
1.1.5无穷远点与扩充复平面 取一个与 相切于坐标原点O的球面S. 过O作与复平面相垂直的直线，该直线 与球面S交于另一点N，O和N分别称为 球面的南极和北极（图1.7）.
第1页/共75页
1.1.1复数域 形如
1.1复数
的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚
部，记作x=Re z，y=lm z；而i(也可记为 )称为纯虚数单位.
当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,Im z≠0时，z称
为纯虚数；特别地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0.
第4页/共75页
1.1.2复平面、复数的模与辐角 由于一个复数z=x+iy可以由有序实数对(x,y)唯一确定，而有序实 数对(x,y)与平面直角坐标系xOy中的点一一对应，因此可以用坐标 为(x,y)的点P来表示复数z=x+iy (图1.1)，此时x轴上的点与实数 对应，称x轴为实轴，y轴上的点（除原点外）与纯虚数对应，称y轴 为虚轴.像这样表示复数的平面称为复平面，或按照表示复数的字母 是z,w,…,而称为z平面、w平面，等等.
图1.5
第21页/共75页
例1.5设n为自然数，证明等式
证明令
，/共75页
1.1.4共轭复数 设复数z=x+iy，称复数x-iy为z的共轭复数，记为 于实轴对称的（图1.6）. 由定义，容易验证下列关系成立：
复变函数 ppt课件
z x iy
其中 i 为虚数单位，满足 i2 1
记号： x Re z , y Im z
若 x 0 ，则称 z iy 为纯虚数。
称复数 x iy 为复数 z x iy 的共轭复数,
记为 z x iy
注：１）两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相等； ２）两个复数之间无法比较大小，除非都是实数。
为arg z，这样，我们有：
Arg z arg z 2k
2020/12/27
15
arg z 与 arctan y 关系如下 x
arctan
y x
,
2
,
当x 0时 当x 0, y 0时
arg
z
2
,
当x 0, y 0时
arctan
y x
＋
,
当x
0,
y
0时
arctan
2020/12/27
4
x
arctan x
1
dx
1
x
(
1
1
)dx
0 1 x2
2i 0 i x i x
[ 1 2i
ln
i i
x x
]0x
1 2i
ln
i i
x x
1 2i
ln1
1 ln i x 2i i x
这样取X =1，得
arctan1 1 ln i 1
4
2i i 1
1 ln( i 1)2 4i i 1
除 法： z z1 z2
z2 z z1 (z2 0)
运算：
2020/12/27
z1 z1z2 z2 z2 z2
(z2 0)
10
容易证明，复数的运算满足分配律、交换律、结合律。 此外，共轭复数具有下列性质：
复变函数优秀课件
y源自z2z1 z2z2
z1
z1
o
x
o
x
z1 z2
z2
6. 复数和差的模的性质
因z1为 z2表示 z1和 z2点 之间 ,故 的距
(1 )z 1 z 2 z 1 z 2 ;
y
z2
z2
z1 z2 z 1
(2 )z 1 z2z 1 z2.
o
z1
x
一对共轭复数z 和 z 在
y
复平面内的位置是关于 o
复数的三角表示式
再利用欧拉公式 eico sisin , 欧拉介绍
复数可以表示成 zrei 复数的指数表示式
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: ( 1 )z 1 2 i; (2 )z s i n ic o ; s
55
(3)z((cco o5 3 ss iissii5 3 n n ))2 3.
,
co5ssin25
sin
3 10
,
故三角表示式为 zco3sisi3 n,
10 10
指数表示式为
z
3 i
e10 .
(3)z((cco o 5 3 ss iissii5 3n n ))2 3.
因 c5 o 为 is s5 i n e 5 i,
c 3 o i s3 s i c n ( 3 o ) i s s 3 i) n e3i, (
x和y分别称为的实部和虚部，分别记作：
xRz,e yIm z
注：复数相等是指它们的实部与虚部分别相等. 如果Imz=0，则z可以看成一个实数； 如果Imz不等于零，那么称z为一个虚数； 如果Imz不等于零，而Rez=0，称z为一个纯虚数.
2.复数的四则运算
复数的四则运算定义为：
z1
z1
o
x
o
x
z1 z2
z2
6. 复数和差的模的性质
因z1为 z2表示 z1和 z2点 之间 ,故 的距
(1 )z 1 z 2 z 1 z 2 ;
y
z2
z2
z1 z2 z 1
(2 )z 1 z2z 1 z2.
o
z1
x
一对共轭复数z 和 z 在
y
复平面内的位置是关于 o
复数的三角表示式
再利用欧拉公式 eico sisin , 欧拉介绍
复数可以表示成 zrei 复数的指数表示式
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: ( 1 )z 1 2 i; (2 )z s i n ic o ; s
55
(3)z((cco o5 3 ss iissii5 3 n n ))2 3.
,
co5ssin25
sin
3 10
,
故三角表示式为 zco3sisi3 n,
10 10
指数表示式为
z
3 i
e10 .
(3)z((cco o 5 3 ss iissii5 3n n ))2 3.
因 c5 o 为 is s5 i n e 5 i,
c 3 o i s3 s i c n ( 3 o ) i s s 3 i) n e3i, (
x和y分别称为的实部和虚部，分别记作：
xRz,e yIm z
注：复数相等是指它们的实部与虚部分别相等. 如果Imz=0，则z可以看成一个实数； 如果Imz不等于零，那么称z为一个虚数； 如果Imz不等于零，而Rez=0，称z为一个纯虚数.
2.复数的四则运算
复数的四则运算定义为：
复变函数课件
2. 映射的概念
如用z平面上的点表示自变量 的值, 而用另一个平面w 如用 平面上的点表示自变量z的值 而用另一个平面 平面上的点表示自变量 的值 平面上的点表示函数w的值 则函数w=f(z)在几何上就 的值, 平面上的点表示函数 的值 则函数 在几何上就 可以看做是把z平面上的一个点集 定义集合)变到 平面上的一个点集G(定义集合 变到w平 可以看做是把 平面上的一个点集 定义集合 变到 平 面上的一个点集G*(函数值集合 的映射 或变换 这个 函数值集合)的 面上的一个点集 函数值集合 映射(或变换). 映射通常简称为由函数 由函数w=f(z)所构成的映射 如果 中 所构成的映射. 映射通常简称为由函数 所构成的映射 如果G中 的点z被映射 的点 被映射w=f(z)映射成 中的点w, 则w称为 的象 映射成G*中的点 称为z的 被映射 映射成 中的点 称为 (映象 而z称为 的原象 映象), 称为w的原象. 映象 称为
§5 复变函数
1. 复变函数的定义
是一个复数z=x+iy的集合 如果有一个确定的 的集合, 定义 设G是一个复数 是一个复数 的集合 法则存在, 按照这一法则, 对于集合G中的每一个复数 中的每一个复数z, 法则存在 按照这一法则 对于集合 中的每一个复数 就有一个或几个复数w=u+iv与之对应 则称复变数 是 与之对应, 就有一个或几个复数 与之对应 则称复变数w是 复变数z的函数 简称复变函数 的函数(简称复变函数), 复变数 的函数 简称复变函数 记作 w=f(z)
.
这就是说 lim u ( x, y ) = u 0 , lim v( x, y ) = v0
x → x0 y → y0 x → x0 y → y0
充分性: 充分性
《复变函数》课件
设 ①B是 由
C
C1
C
2
C
所
n
围
成
的
有界多连通区域.且B D, ②f (z)在D内解析,则
f (z)dz 0 (1)
n
或
f (z)dz
f (z)dz (2)
c
其中:闭C
D
,
i 1
C1 , C
ci
2 ,
C
是
n
在C的内部
的
简
单
闭曲线(互不包含也不相交), 每一条曲线C及Ci
是逆时针,
C
i
c
c1
ck
f ( z)dz f ( z)dz
此式说c明一个解析c1 函 数沿闭曲线的积分， 不因闭曲线在区域内 作连续变形而改变它 的积分值，只要在变 形过程中曲线不经过 的f(z)的不解析点. —闭路变形原理
D
CCC1 11
C
例2 计 算
2z 1 z2 z dz
: 包 含 圆 周z 1在 内 的
1 z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
由柯西-古萨基本定理有
y
11
C
dz 0,
C1 2 z i
1 1 dz 0,
C1 2 z i
C2
•i
C1
1
11
O
x
dz 0, dz 0,
C2 z
C2 2 z i
• i
22
1
1
1
C
z(z2
dz 1)
C1
dz z
C2
2( z
i)
高校工程数学第5节复变函数教学课件
同理直线 y 的象为:
v 2 4 2 ( 2 u),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
4、反函数定义
假定函数w = f ( z ) 的定义集合为G，函数值集合为 G*，那么G*中的每一个点必将对应着G中的一个 或几个点。 按照函数的定义，在G*上就确定了某一个函数 z=φ(w)，它称为函数w=f(z)的反函数，也称为映射 w=f(z)的逆映射。
u
w1 2 3i
z1 w1 , z2 w2 ,
ABC ABC .
（ 1）
映射
z1 w2
o
如果把z平面和w平面重叠在一起，不 难看出，函数是关于实轴的一个对称 映射，且是全同图形。 一般地，通过映射，z平面上的任一图 形的映象是关于实轴对称的一个全同
图形。
A
§1.5 复变函数
1、复变函数的定义 2、映射的概念 3、典型例题 4、小结与思考
一、复变函数的定义
1、复变函数的定义[定义] 设 Nhomakorabea是一个复数z=x+iy的集合，如果有一个 确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G中 的每一个复数z，就有一个或几个相应的复数 w=u+iv随着而定（与之对应），那么称复变数w 是复变数z的函数（简称复变函数)，记作 w=f(z)
u=u(x,y)，v=v(x,y)
它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数。反之，
如果给定了两个二元实变函数u=u(x,y)和v=v(x,y)，那
么w=u(x,y)+iv(x,y)就构成了z=x+iy的一个复变函数 w=f(z)。
复变函数和实变函数的关系
例如，函数w=z2。令z=x+iy，w=u+iv，那么
复变函数解读课件
幂级数展开式的应用
幂级数展开式在数学、物理、工程等 领域有广泛的应用，如求解微分方程、
研究函数的奇点和极点等。
洛朗兹级数展开式
洛朗兹级数展开式的定义
01
将复变函数表示为洛朗兹函数的无穷级数形式，可以用于研究
函数的局部行为和性质。
洛朗兹级数展开式的收敛性
02
洛朗兹级数展开式在一定条件下收敛，收敛条件决定了函数的
解析函数的性 质
在解析区域内，解析函数具有无限次 可微性，且满足柯西-黎曼条件。
全纯函数的性质
全纯函数
如果一个复数函数在某个区域内有定义，并且在该区域内可微，则称该函数为全纯函数。
全纯函数的性质
全纯函数具有零点孤立性、增长性、最大值最小值定理等性质。
共轭函数与解析函数的判别
共轭函数
如果一个复数函数的共轭复数也满足解析函 数的条件，则称该函数为共轭函数。
复数的性质
复数具有加法、减法、乘法和除法等 运算性质，满足交换律、结合律和分 配律等基本运算规则。
复数的几何意 义
1 2
3
复平面
复数可以用几何图形表示，通常在直角坐标系中，实部表示 为横轴，虚部表示为纵轴，形成一个二维平面称为复平面。
点的表示
每个复数$z=a+bi$在复平面上对应一个点$(a,b)$。
连续性的性质
连续性具有传递性、局部性等性质，并且满足中值定理。
一致连续与一致收敛
一致连续是指函数在整个定义域上具有连续性，而一致收敛则是 指函数序列在无穷远点处的极限存在。
一致连续与一致收敛
01
一致连续的定义
如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正数$delta$，使得当两
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
EXxk pk
k1
通过前面的例子可以看到，随机变量的 均值反映了变量取值的平均水平。
如果级数 x k
k 1
p k 不绝对收敛，即
k 1
xk
pk
不收敛，则称随机变量 X 的数学期望不存在。
下面我们举例来说明。
例2 对服从（0—1）分布的随机变量 X ，其 分布列为：
的加权平均。
定义1 设离散型随机变量 X 的分布列为
X x 1 x 2 x k
p k p 1 p 2 p k
如果级数
x k p k 绝对收敛，即 xk pk
k 1
k 1
收敛，则和 xk p k 为随机变量 X 的数学
k 1
期望或均值，记为 EX，即
解 设某购买者得到的奖金数为 X ， 则 X 为一随机变量，其分布列为
X 1500 500 70
3 0.5
0
1 1 1 1 1 22 p k 5 1605 1505 1405 1305 120 1 170
从而 X 的数学期望为
E X 15 5 0 1 16 0 0 5 0 5 1 1 05 0 7 0 5 1 140
0
0
例9 对服从正态分布 N,2 的随机变量
X ,求其数学期望.
解 已知 X 的概率密度为
fx
1
x2
e 22 ,x,,
2
则所求数学期望为:
EX xf xd x
x
ex2 22d,x
2
作变换 t x ，得到
为 f x，如果积分
x
f
xd
x
绝对收敛，即
x
f
xd
x
收敛，则称积分
xf
xd
x
的值为连续型随机变量 X 的数学期望或均值，
记为 EX。即
Ex xfxdx
反之，如果积分
x
f
xd发x 散，则
称随机变量 X 的数学期望不存在。
例7 设 X 服从 a,b区间上的均匀分布，
求 X 的数学期望。 解 已知 X 的概率密度为
1
f
x
b
a
从而
0
, xa,b ，
, 其它.
E x x x fd x b a x b 1 a d x 1 2 a b
正好是a,b区间的中点。
P X 1 p ,P X 0 1 p 。
求 X 的数学期望. 解 由数学期望定义
EXP X11P X00 p11p0p.
例3 设 X~Bn,p ，求 EX.
解 已知二项分布的分布列为
P X k C n k p k 1 p n k , k 0 , 1 , 2 , , n
P ( X x k ) p k k 1 , 2 , ,
Ygx, g 为连续函数
如果级数
gxk pk 收敛，则
k 1
EYEgXgxkpk k1
特别的，离散型随机变量 X只取有限值，
则 gX 的数学期望一定存在。
例8 设 X 服从参数为 的指数分布，求
X 的数学期望。 解 已知 X 的概率密度为
f
x
ex
,
0 ,
x 0, 0,
x 0,
从而
E Xx fxd x xexdx
0
xde x exd x1.
E 2 X 1 3 1 1 1 3 3 5 1
84 8 4
7. 4
例11 设 X 服从参数为 的泊松分布，试
计算 YX2 的数学期望.
解 已知 X 的分布列为：
从而
P Xkke , k0 ,1 ,2,0 ,
第4章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望
4.1.1 离散型随机变量的数学期望 假如甲、乙两选手各向目标靶射击十枪，
二人命中靶子的情况分别为：（单位：环）
甲 9 8 10 8 9 9 8 9 8 9 乙 6 7 9 10 10 9 10 8 9 10
现问，甲、乙二人哪一个命中率更高点？
很显然，通过某一枪的命中情况比较二 人命中率是不合适的，比较容易理解的是通 过二人各自命中环数的平均值来比较。
k!
EYEX2 k2ke k0 k!
k1
k
kk1!e
ek 1 k11k k1 1!
e k 1k1k k 1 1!k 1k k 1 1! ek 2k k2 2!k 1k k1 1!
sinx
1dx0.
0
2
3.二维随机变量函数的数学期望
定理3 （1） 如果 X,Y 是二维离散型随机变
量，其分布列为 P X x i , Y y j p i , j i , j 1 , 2 , ,
gx,y 是关于 x 和 y 的二元连续函数，
351 13 00.551 12 00
1 5106
(1
5005001
07010
0
310000.51000)0
0.0043元
即平均每购一张奖券可能得到的奖金不到半
分钱，但在实际生活中吸引力还是相当大的.
4.1.2 连续型随机变量的数学期望
定义2 设 X 为连续型随机变量，概率密度
则 ZgX,Y的数学期望为:
E Z E g X ,Y g x ,y fx ,y dx . d
例13 设随机变量 X,Y的概率密度为
6xy,
fx,y
0,
0x1,0y21x，
其.他
试计算 EX和 EXY . 解 由定义， EX xfx,ydx.dy
则由数学期望的定义，
EXY xi yj pij i,j1
若
g xi , yj pij
绝对收敛， 则 ZgX,Y
i, j1
的数学期望为
EZEgX,Ygxi,yjpij; i,j1
（2）如果 X,Y 是二维连续型随机变量，概率
密度为 fx,y, gx,y 是关于 x 和 y 的二元连
续函数，若 gx,yfx,ydxd绝y对收敛，
0
15
4.1.4、数学期望的性质
如果 X , Y 是两个随机变量，c 为任意常
数，且 EX,EY 都存在，则数学期望有以
下四条常见的性质。
(1 ) E C C ;
( 2 ) E C C X E X ;
( 3 ) E X Y E X E Y ;
解 已知泊松分布列为：
从而
P Xkke , k0 ,1 ,2 ,
k!
E XkP Xkkke
k0
k0 k!
ek 1k k1 1!ee
例5 设随机变量 X
取值为
xk
1k 2k
k
对应的概率为,PX
量X 的数学期望不存在。
例6 某种奖券销售单位为提高大众购买奖券 的兴趣，采用当众开奖的办法，每张奖券面值 1 元，每 500 万张设若干奖项如下：奖项 特等 一等 二源自 三等 纪念个数 1 10
100 1000 10000
奖品价值（元） 1500 500 70 3 ０.5
试计算每购一张奖券平均能取多少奖金？
EX
t2
e2d t
t2
te2d t
2
2
20 2
即正态分布 N,2的第一个参数 就是
随机变量 X 的均值。
4.1.3 随机变量函数的数学期望 1、离散型随机变量函数的数学期望
定理1 设离散型随机变量 X 的分布列为
解 由于 X 是随机取值的， N 个值分别 是多少无法确定，但由分布列的定义，从理
论上讲N 次取之中有 N 次取到1， N 次取到
3
4
2, 5 N 次取到3，从而所求平均值应为：
12
1N11N25N3
X3
4
12
N
11125325 . 3 4 12 12
可以看到，平均值实际上是以分布概率为权重
例12 已知 X 服从 0,2 上的均匀分布，计算
YsinX的数学期望。
解 已知 X 的概率密度为
f
x
1
2
,
0,
x [0,2 ]，
其它。
则所求 YsinX的数学期望为：
E YE siX n sixn fxdx
2
从平均值来看，乙选手比甲选手命中率更 高些。
如果我们用随机变量的取值表示两选手命 中的环数，则比较二人的命中率实际上是比较 两随机变量平均值的大小。
例1 设某离散型随机变量 X 的分布列为
X
12 3
pk
1
1
5
3
4
12
如果对随机变量连续进行N 次取值，问这 N
个值的平均值应是多少？（假设 N 相当大）
对于甲选手，命中环数的平均值为
98108998989 10
10 1 9 5 8 4 8.（ 7 环,） 10 10 10
对于乙选手，命中环数的平均值为
67910109108910 10
104938171618.（ 8 环 . ） 10 10 10 10 10