葡萄酒的鉴定 2012年数模国赛A题论文

日期： 2012
9 月 10 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2012 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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X i (i 1
p)
酿酒葡萄样品指标
xij (i 1 n; j 1
p)
第 i 个酿酒样品的第 j 个指标值
f i (i 1 n) 第 i 个酿酒样品的综合得分
4.3 第三问符号说明：
xi , i 1, 2
酿酒葡萄的各项理化指标； ， 27：
yi , i 1, 2
, 6： 葡萄酒的各项理化指标；
Y 1.6377 X 3 0.4619 X 5 1.7985 X 6 0.4359 X 7 ，
对于白葡萄酒，我们得到质量与各指标的关系为：
Y1 1.2346X 4 1.0963X 6 0.2528X 8 0.4396X 9 。
由于两个模型的可信度都不是太高， 不能完全用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价 葡萄酒的质量。再加入芳香物质的两个指标后，可信度明显上升，由原来红葡萄 酒的 80.11%、白葡萄酒的 60.70%上升到 96.66%和 72.84%。
关键字 ：t 检验
主成分析法
典型相关分析
多元线性回归
1
一、问题重述
1.1 问题的背景 确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。 每个评酒 员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定 葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和 酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件 1 给 出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件 2 和附件 3 分别给出了该年份这些 葡萄酒和酿酒葡萄的成分数据。 1.2 问题的提出 请尝试建立数学模型讨论下列问题： 1. 分析附件 1 中两组评酒员的评价结果有无显著性差异， 哪一组结果更可信？ 2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。 3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。 4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡 萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？
葡萄酒的评价探讨
摘要
本文分析了两组评酒员评价结果的差异性和结果的可信度， 根据酿酒葡萄的 理化指标和葡萄酒的质量对酿酒葡萄进行了分级， 研究了酿酒葡萄与葡萄酒的理 化指标之间的联系以及酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响。 对于问题一，对两组评酒员对葡萄酒的打分进行 f 检验和双总体 t 检验， 得 到两组评酒员对葡萄酒的评价都无显著差异的结论。 比较两组评酒员对葡萄酒打 分的平均方差， 第一组的方差明显大于第二组， 得到第二组评酒员的结果更可信 的结论。 对于问题二，我们首先运用主成分析法对酿酒葡萄的理化进行指标分析， 选 取主成分，并把主成分按方差贡献率加权求和，得到各酿酒葡萄的得分。再根据 评酒师对葡萄酒的打分得到其对应的酿酒葡萄的得分。最后， 根据这两个得分用 聚类分析法分别得出了红葡萄和白葡萄的质量的等级分类。 对于问题三，采用典型相关分析，讨论酿酒葡萄的理化指标与葡萄酒的理 化指标间的关系。 首先用利用 matlab7.0 软件， 使用典型相关分析的原理和方法， 得到 27 种酒样品的酿酒葡萄和葡萄酒综合指标的典型相关系数、综合指标与各 理化指标的相关系数。 利用综合指标变量与各理化指标变量的函数关系式，找出 其中系数较大的酿酒葡萄理化指标变量 x 和系数较大的葡萄酒理化指标变量 y ， 从而得到 x 与 y 代表的指标变量间的相关性。 对于第四问， 选择酿酒葡萄的得分以及葡萄酒的理化指标 （包括花色苷含量、 丹宁含量、总分含量、酒总黄酮含量、白藜芦醇、DPPH 半抑制体积）这七个影 响因素为自变量， 葡萄酒的质量得分为因变量，用 matlab7.0 软件进行多元线性 回归分析。对于红葡萄酒，我们得到质量与各指标之间的关系为：
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的理化指标与酿酒葡萄的质量之间的关系时， 由于酿酒葡萄的理化指标过多， 数 据量过大，我们采用了主成分析法分析酿酒葡萄的理化指标，选取主成分，并把 主成分按方差贡献率加权求和， 得出各酿酒葡萄的得分指数。 再根据葡萄酒的质 量得出对应的酿酒葡萄的质量得分。 最后将这两个因素综合考虑用聚类分析法进 行对酿酒葡萄进行分级处理。 问题三分析酿酒葡萄与葡萄酒的两组理化指标之间的联系， “联系”仅仅是 一个宽泛的概念， 因此在实际生活中需要将联系转化为有参考价值的数据时，往 往需要利用数学建模的方法对其进行定性与定量的分析。 通常在我们研究变量间 联系时，一般采用一元统计分析、复相关系数统计、典型相关分析。在一元统计 分析中， 用相关系数来衡量两个随机变量之间的线性相关关系； 用复相关系数统 计一个随机变量和多个随机变量的线性或非线性关系。然而， 这些统计方法在研 究两组变量之间的相关关系时却无能为力。 为此， 我们在研究两组变量之间的相 关关系时引入了典型相关分析. 问题四中， 评价葡萄酒的质量影响因素多种多样， 自变量的选择应该从全面 性、重点性、可量化及可控制的原则出发，尽可能包含有效变量、不包含无效变 量。 我们考虑其主要因素有酿酒葡萄得分以及葡萄酒的理化指标 （包括花色苷含 量、丹宁含量、总分含量、酒总黄酮含量、白藜芦醇、DPPH 半抑制体积）。我 们选择这七个影响因素为自变量， 葡萄酒的质量得分为因变量进行多元线性回归 分析。
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我们对附件一中的各个评酒员给各种酒的指标打的分数相加之后， 按照酒的 序号分红葡萄酒、白葡萄酒进行排序，见附件 2. 我们对先对第一组的十个评酒员对白葡萄酒的打分总分的一组数据数据进行处 理，把前面处理的数据输入到 SPSS 中，得到的 Q—Q 图，它的 sig 值为 0.449， 大于 0.05，所以所给数据服从正态分布。
五、模型的建立与求解
5.1 问题一的模型建立与求解 5.1.1 评判的方法 双总体 t 检验是检验两个样本平均数与其各自所代表的总体的差异是否显 著。双总体 t 检验又分为两种情况，一是相关样本平均数差异的显著性检验，用 于检验匹配而成的两组被试获得的数据或同组被试在不同条件下所获得的数据 的差异性， 这两种情况组成的样本即为相关样本。 二是独立样本平均数的显著性 检验。各实验处理组之间毫无相关存在，即为独立样本。该检验用于检验两组非 相关样本被试所获得的数据的差异性。 我们即使用独立样本平均数的显著性检验 方法，但是对方法做了一些修改。我们的样本和总体是相同的，直接对总体的显 著性进行检验。 （1）正态分布的检验 在 SPSS 中用 Q—Q 图对所拥有的数据进行正态分布检验 正态分布的 Q-Q 图：在 spss 里的基本统计分析功能里的探索性分析里面可 以通过观察数据的 q-q 图来判断数据是否服从正态分布。 图的横坐标为改变量的 观测值，纵坐标为分位数。若该组数据服从正态分布，则图中的点应该靠近图中 直线。纵坐标为分位数，是根据分布函数公式 F(x)=i/n+1 得出的.i 为把一组数 从小到大排序后第 i 个数据的位置，n 为样本容量。若该数组服从正态分布则其 q-q 图应该与理论的 q-q 图（也就是图中的直线）基本符合。对于理论的标准正 态分布，其 q-q 图为 y=x 直线。非标准正态分布的斜率为样本标准差，截距为样 本均值。同时在 SPSS 软件处理过程中，如果 sig 的值大于 0.05，也说明所给的 数据服从正态分布 （2）方差齐性检验
三、符号说明
4.1 第一问符号说明：
i2 ：第 i 组评酒员对葡萄酒打分的方差；
i ：评酒员对葡萄酒打分的平均得分；
：相关样本的相关系数；
df ：自由度；
t（n-1） 0.05 ：自由度为 n-1 的 p=0.05 的临界值；
2
4.2 第二问符号说明：
n ：酿酒葡萄样品数 p ： 酿酒葡萄样品指标数
二、基本假设
1、假设所有的数据都是可靠的，不包括人为造成的不合理因素。 2、假设数据中的奇异数据和缺省值忽略后对总体信息不会有显著的影响。 3、评酒师对葡萄酒的质量打分能真实的反映葡萄酒质量的好坏。 4、忽略酿酒葡萄和葡萄酒的色泽对酒样品质量的影响。 5、酿酒葡萄的各理化指标，如蛋白质、氨基酸含量在正常范围内越高越好。
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独立小样本是指两个样本容量 n1 和 n2 都小于 30，或者其中一个小于 30 的 两独立样本。在做双总体 t 检验之前要对两组数据进行方差齐性检验。方差齐性 检验是进行假设性检验的前提， 方差齐性检验是对两样本方差是否相同进行的检 验。 假设： 方差齐性检验公式： ， 分子值大于分母值 计算出 F 的值与 F 临界值比较，对总体方差齐性与否做出判断。推断规则： 当 F 的检验结果 F 的实际值小于各自由度水平上的临界值时，则方差齐性，可继 续做独立小样本差异显著性检验。 （3）双总体 t 检验 我们分析数据之后，由于我们既要考虑比零假设好的一方面， 也要考虑比零 假设差的一方面，所以我们选择双侧检验。 零假设： ； ；
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写） ： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ： 所属学校（请填写完整的全名） ： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名) ： 重庆邮电大学 王永强 韩双双 厚玉伟 刘平 年
A 02013
备择假设： 双总体 t 检验公式：
；
t
X1 X 2
2 2 X X 2 X X
1 2 1 2
n 1
在这里， X 1 ， X 2 分别为两样本平均数；
2 2 X ， X 分别为两样本方差；
1 2
为相关样本的相关系数，因为数据是相互独立的所以 为 0。
（4）判断 根据自由度 df=n-1 的值，查 t 值表 t（n-1） 0.05 的值，如果实际计算出来的 t 值 t < t（n-1） 0.05 则接受零假设，拒绝备择假设。否则则拒绝零假设，接受备择 假设。 5.1.2 数据处理与结论 （1）对正态分布的检验