精选题库高一 数学选修4-5-1北师大版

选修4-5 第1节
[知能演练]
一、选择题
1．不等式1<|x ＋1|<3的解集为
( )
A ．(0,2)
B ．(－2,0)∪(2,4)
C ．(－4,0)
D ．(－4，－2)∪(0,2)
解法一：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1≥01<x ＋1<3
或⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋1<0－3<x ＋1<－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥－1
0<x <2
或⎩
⎪⎨⎪⎧
x <－1
－4<x <－2⇒0<x <2或－4<x <－2， 故选D 项．
解法二：原不等式等价于－3<x ＋1<－1或1<x ＋1<3，解得：0<x <2或－4<x <－2. 答案：D
2．已知a ，b ∈R ，ab >0，则下列不等式中不正确．．．
的是 ( )
A ．|a ＋b |≥a －b
B ．2ab ≤|a ＋b |
C ．|a ＋b |<|a |＋|b |
D ．|b a ＋a b
|≥2
解析：当ab >0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |. 答案：C
3．如果存在实数x ，使cos α＝x 2＋1
2x
成立，那么实数x 的集合是
( )
A ．{－1,1}
B ．{x |x <0或x ＝1}
C ．{x |x >0或x ＝－1}
D ．{x |x ≤－1或x ≥1}
解析：由|cos α|≤1，所以|x 2＋1
2x
|≤1，
又|x 2＋12x |＝|x |2＋1
2|x |≥1， 所以|x |2＋1
2|x |＝1，
又当且仅当|x |＝1时成立， 即x ＝±1. 答案：A
4．已知不等式|2x －t |＋t －1<0的解集为(－12，1
2
)，则t ＝
( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：∵|2x －t |<1－t ，∴t －1<2x －t <1－t ， 即2t －1<2x <1，t －12<x <1
2，∴t ＝0.
答案：A 二、填空题
5．设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，则ab 2c ＋abc 2的最大值为________． 解析：ab 2c ＋abc 2＝abc (b ＋c )＝1
12(3a )(2b )(2c )
(b ＋c )≤112[3(a ＋b ＋c )4]4＝27
1024.
当且仅当a ＝14，b ＝c ＝3
8时取等号．
答案：
271024
6．如果关于x 的不等式|x －2|＋|x －3|≥a 的解集为R ，则a 的取值范围是________． 解析：|x －2|＋|x －3|≥|(x －2)－(x －3)|＝1，由题意易得a ≤1. 答案：(－∞，1] 三、解答题
7．若log x y ＝－2，求x ＋y 的最小值． 解：由log x y ＝－2得y ＝1
x
2，
而x ＋y ＝x ＋1x 2＝x 2＋x 2＋1x 2≥33x 2·x 2·1x 2＝3314＝3232，当且仅当x 2＝1x 2即x ＝3
2时取等
号．所以x ＋y 的最小值为32
3
2.
8．已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|.
(1)作出函数y ＝f (x )的图象； (2)解不等式|x －8|－|x －4|>2. 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
4， x ≤4－2x ＋12， 4<x ≤8，
－4， x >8
图象如下图所示：
(2)不等式|x －8|－|x －4|>2，即f (x )>2， 由－2x ＋12＝2得x ＝5.
由函数f (x )的图象可知，原不等式的解集为(－∞，5)．
[高考·模拟·预测]
1．已知|x －a |<b 的解集为{x |2<x <4}，则实数a 等于
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：由|x －a |<b 得a －b <x <a ＋b ，
由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧
a －
b ＝2
a ＋
b ＝4，解得a ＝3，b ＝1.
答案：C
2．已知关于x 的不等式|x －2|－|x －5|－k >0的解集为R ，则实数k 的范围是________． 解析：∵||x －2|－|x －5||≤|(x －2)－(x －5)|＝3， ∴－3≤|x －2|－|x －5|≤3，
∴|x －2|－|x －5|>k 的解集是R 时，k <－3. 答案：k <－3
3．不等式|x ＋1|
|x ＋2|
≥1的实数解为________．
解析：|x ＋1|
|x ＋2|≥1⇔⎩
⎪⎨⎪⎧
|x ＋1|≥|x ＋2|，x ＋2≠0
⇔⎩
⎪⎨⎪⎧
(x ＋1)2≥(x ＋2)2
x ＋2≠0， 即⎩
⎪⎨⎪⎧
(x ＋1＋x ＋2)(x ＋1－x －2)≥0，x ≠－2， 解得x ≤－3
2
且x ≠－2.
答案：(－∞，－2)∪(－2，－3
2
]
4．如下图，O 为数轴的原点，A 、B 、M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点．设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离的4倍与C 到B 距离的6倍的和．
(1)将y 表示为x 的函数；
(2)要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？ 解：(1)y ＝4|x －10|＋6|x －20|,0≤x ≤30. (2)依题意，x 满足
⎩
⎪⎨⎪⎧
4|x －10|＋6|x －20|≤70，0≤x ≤30. 解不等式组，其解集为[9,23]． 所以x ∈[9,23]．
5．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；
(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|， 由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3.
①x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3， 即－2x ≥3.
不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
x ≤－1，f (x )≥3的解集为(－∞，－32]．
②当－1<x ≤1时，不等式化为 1－x ＋x ＋1≥3，不可能成立．
不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
－1<x ≤1，
f (x )≥3的解集为Ø.
③当x >1时，不等式化为 x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3.
不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x >1，f (x )≥3
的解集为[3
2，＋∞)．
综上得，f (x )≥3的解集为(－∞，－32]∪[3
2，＋∞)．
(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件． 若a <1，
f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧ －2x ＋a ＋1， x ≤a ，1－a ， a <x <1，
2x －(a ＋1)， x ≥1.
f (x )的最小值为1－a . 若a >1，
f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x ＋a ＋1， x ≤1，a －1， 1<x <a ，
2x －(a ＋1)， x ≥a .
f (x )的最小值为a －1.
所以∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．。