非线性回归定稿

f (x ) (x−x0) +...+ n! (x−x0) + R (x)
2 0 n n
(n)
R
∴
n
( x) = o (( x − x0) )
n
n ∞ →
0 n
f (x ) f ( x) = ∑ (x−x0) n!
∞ n=0
( n)
例如：下列函数的泰勒级数为：
e
x
=
∞
x x + 2!
令
1 Y= Q
1 X= p
则：Y=a+bx
3.双对数函数 双对数函数 令 Y1=LnY
LnY=a+bLnX
X1=LnX 则：
原函数变为 Y1=a+bX1 注意：双对数函数变量系数的经济含义
b=
dY Y
dX X
为Y对X 的弹性
•例如 •（1）C-D生产函数 •（2）不变替代弹性(CES)生产函数模型
i
↓
b
= i
b i0
i = 1 , 2 ,... p
则：原模型变为多元线性模型
Y
*
= b 1 z 1 + b 2 z 2 + ... + b p
z
p
+ε
估计这个线性模型得一组OLS估计值
( b , b ,..., ˆ ˆ
11 21
ˆ b
p1
)
( b , b ,..., b ) 为初值， 重复第（1） ˆ11 ˆ 21 ˆ p 1 （2）以 步，作另一次 泰勒级数展开，得到另一个线性近 似。利用OLS估计得到另一组参数估计值
2、可以线性化的包含非线性参 数的问题
因为非线性模型的估计远比线性模型复 杂，我们应尽可能采用一些方法——对 数变换和泰勒级数展开等将含有非线性 参数的模型线性化。
二、间接代换法 例如，指数函数 Y=b0X1b1X2b2eu 首先 ，两边取对数得 令 LnY=Lnb0+b1LnX1+b2LnX2+u 然后，
Y = f (X
2.泰勒级数展开法 泰勒级数展开法
1
X
2
...
X
k
; b 1 b 2 ...
b
p
)+u
为非线性函数。
（1）取一组参数初值 勒展开为：
(b , b ,...,b ) 。在该点泰 ˆ10 ˆ20 ˆp0
20
ˆ ˆ Y = f ( X , X ,...X b ,b 2 k;
1 10
,...,b ) + ∑[ ˆ
n 2
x
3
2
1 + 3!
x
3
+ ...
n
x = x − 1 x + 1 x +...+ (−1) x +... ln( + x) = ∑(−1 1 ) n! 2! 3! n!
n−1 n−1 n=1
x = ... sin( x ) = ∑ ( − 1) ( 2 n )!
n −1 n =1
∞
2 n −1
(n)
R
∴
n
( x) = o (( x − x0) )
n
n ∞ →
0 n
f (x ) f ( x) = ∑ (x−x0) n!
∞ n=0
( n)
三、泰勒级数展开方法
1.泰勒级数 f（X）在X=X0处连续可微，则在X0的邻域中 有泰勒公式：
f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + f ′ (x0) 2!
−ρ
+ δ2 L
1 −ρ − ρ
1 −ρ −ρ ln Q = ln A − ln δ1 K + δ2 L + ln u ρ 将右端第二项在ρ = 0处展开泰勒级数，取关于ρ的线性项
(
)
u
)
K 1 ln Q ≈ ln A + δ1 ln K + δ2 ln L − ρ δ1 δ2 ln 2 L
( b , b ,..., ˆ ˆ
12 22
ˆ b
p2
)
（3）如此反复，可以得到一系列
(b , b ,..., b ) ˆ ˆ ˆ
1j 2j pj
j=1 2…...
使其收敛为止，即满足
ˆ b
i j +1
−b ˆ
i j
i j
ˆ b
<δ
注：（1）初值的选择 2）迭代的收敛性 ：（ ） ）
1、解释变量非线性问题
模型中参数是线性的，而其中一个或者多个变 量是非线性时，通过简单的变量置换就可以化 为参数和变量都是线性的模型。例如，需求函 数模型中需求量与价格之间的关系为非线性时
1
Q
令
= α +β
t
1
p
+ ut
t
Q y = α +β x +u
t t t t
y
=
1
xt =
t
1
p
t
直接代换法 1.多项式函数模型
p0 i =1
p
∂f ∂bi
]
bi=bi 0
(bi −b ) + ε ˆ
i0
ε 是级数展开式的高阶项
ˆ ˆ = Y − f ( X , X ,... X b , b Y 2 k;
* 1 10
∂f ,..., b ) + ∑ ˆ p0 ˆ bi 0 20 i = 0 ∂ bi
p
令：
z
i
∂f = ∂ b
非线性经济计量模型
1、解释变量非线性问题 2、可以线性化的包含非线性参数的问题 3、不可线性化的包含非线性参数的问题
问题的提出
现实经济活动并非都可以抽象为线性模 型，所以非线性计量经济学模型在计量 经济学模型中占有重要地位。 关于非线性计量经济学模型的理论—— 依据LS的理论或依据最大似然理论以及 违背随机误差项基本假设的理论——已 经趋于成熟。而且非线性联立方程模型 的理论也趋于成熟。
Yi=b0+b1X+b2X2+…+bkXk 令 Zi=Xi i=1，2…，k
型
则： Yi=b0+b1Z1+b2Z2+…+bkZk 变换为线性模
例如，著名的拉弗曲线描述税率r与税收s之间 的关系 s=a+br+cr2
2.双曲函数模型 双曲函数模型 例如，商品的价格p与需求量Q之间的关系
1 1 = a + b Q p
+ ln u
2
三、泰勒级数展开方法
1.泰勒级数 f（X）在X=X0处连续可微，则在X0的邻域中 有泰勒公式：
f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + f ′ (x0) 2!
f (x ) (x−x0) +...+ n! (x−x0) + R (x)
2 0 n n
Y*=LnY B0= Lnb0 X1*= LnX1 X2*=LnX2 则： Y*=B0+b1X1*+b2X2*+u 为线性模型
（1）C-D生产函数
Q = AK
α
ln Q = ln A + α ln K + β ln L + ln u
Lu
β
（2）不变替代弹性(CES)生产 函数模型
Q=A
(δ K
1