最新人教A版必修5高二数学2.4.1 等比数列 过关习题及答案

过关习题11 等比数列
一、等比数列中基本量的运算
1.已知{a n}是等比数列,a2=2,a5=1
4
,则公比q等于()
A.-1
2B.-2 C.2 D.1
2
答案:D
解析:a5
a2=a1q4
a1q
=q3=
1
4
2
=1
8
,∴q=1
2
.
2.已知等比数列{a n}中,a1=32,公比q=-1
2
,则a6等于()
A.1
B.-1
C.2
D.1
2
答案:B
解析:由题知a6=a1q5=32×-1
25
=-1,故选B.
3.(2015福建宁德五校联考,7)已知等比数列{a n}中,a2+a3
a1+a2=2,a
4
=8,则a
6
=()
A.31
B.32
C.63
D.64 答案:B
解析:设等比数列{a n}的公比为q,
由a2+a3
a1+a2=2,a
4
=8,得
q(a1+a2)
a1+a2
=2,
a1q3=8,
解得
a1=1,
q=2.所以a6=a1q5=25=32.故选B.
4.(2015山东潍坊四县联考,3)已知等差数列{a n}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则
a
2
等于()
A.-4
B.-6
C.-8
D.-10
答案:B
解析:∵等差数列{a n }的公差为2,a 1,a 3,a 4成等比数列,
∴(a 1+4)2=a 1(a 1+6), ∴a 1=-8, ∴a 2=-6.故选B .
5.(2015江西吉安联考,2)已知等比数列{a n }的公比q=-1
3,则a 1+a 3+a 5+a
7
a 2+a 4+a 6+a
8
等于( )
A.-3
B.-1
3
C.3
D.1
3
答案:A
解析:∵等比数列{a n }的公比q=-1
3,
∴a 1+a 3+a 5+a 7a 2+a 4+a 6+a 8
=a 1+a 3+a 5+a
7
(a 1+a 3+a 5+a 7
)q =1
q =-3.故选A . 二、等比中项及应用
6.2+ 3和2- 3的等比中项是 . 答案:±1
解析:设A 为等比中项,则A 2=(2+ - =1,
∴A=±1.
7.已知等比数列{a n }的各项均为正数,它的前三项依次为1,a+1,2a+5,则数列{a n }的通项公式a n = . 答案:3n-1
解析:由题意,知(a+1)2=2a+5,∴a 2=4.
∵{a n }的各项均为正数,∴a+1>0且2a+5>0. ∴a=2.∴a+1=3.∴q=a
+11=3.∴a n =3n-1. 三、等比数列的判定 8.给出下列数列:
①2,2,4,8,16,32,…;
②在数列{a n }中,a 2a 1
=2,a
4
a
3
=2;
③常数列c ,c ,c ,c ,….
其中等比数列的个数为 . 答案:0
解析:①不是等比数列,因为a 2a 1
≠a
3
a
2
;
②不一定是等比数列,因为不知道a 3a 2
的值,即使a
3
a
2
=2,数列{a n }也未必是等比数列;
③不一定是等比数列,当c=0时,数列不是等比数列.故填0. 9.设{a n }是公比为q 的等比数列,设q ≠1,证明数列{a n +1}不是等比数列. 证明:假设{a n +1}是等比数列,则对任意的k ∈N *,
(a k+1+1)2=(a k +1)(a k+2+1),
a k
+12
+2a k+1+1=a k a k+2+a k +a k+2+1, a 12q 2k +2a 1q k =a 1q k-1·a 1q k+1+a 1q k-1+a 1q k+1,
因为a 1≠0,所以2q k =q k-1+q k+1.
因为q ≠0,所以q 2-2q+1=0,解得q=1,这与已知矛盾. 所以假设不成立,故{a n +1}不是等比数列.
(建议用时:30分钟)
1.已知在等比数列{a n }中,a 1+a 3=10,a 4+a 6=5
4,则该等比数列的公比为( )
A.1
4 B.1
2
C.2
D.8
答案:B
解析:因为(a 1+a 3)q 3=a 4+a 6,
所以q
3
=a 4+a 6a 1+a 3
=5
410=18,即q=1
2,选B .
2.若等比数列的首项为9
8,末项为1
3,公比为2
3,则这个数列的项数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6
答案:B
解析:∵a 1=9
8,a n =1
3,q=2
3,∴9
8× 23
n
-1=1
3,则n=4.
3.已知等比数列{a n }中,a 1=3,8a n 2=a n+1·a n+2,则a 3= ( )
A.48
B.12
C.6
D.2
答案:B
解析:设数列{a n }的公比为q ,
则由8a n 2=a n+1a n+2,得8a 12=a 2a 3,即8a 12=a 12q 3
,
∴q=2.∴a 3=a 1q 2=3×4=12.
4.如果-1,a ,b ,c ,-9成等比数列,那么( ) A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9
答案:B
解析:∵-1,a ,b ,c ,-9成等比数列,
∴b 2=(-1)×(-9)=9. 又∵a 2=-1×b=-b ,∴b=-3. 又b 2=ac ,∴a 与c 同号.∴ac=9.
5.已知1既是a 2与b 2的等比中项,又是1
a 与1
b 的等差中项,则a
+b a 2+b 2的值是( )
A .1或1
2 B .1或-1
2 C .1或1
3 D .1或-1
3
答案:D
解析:由题意得,a2b2=(ab)2=1,1
a +1
b
=2,
∴a b=1,
a+b=2或
a b=-1,
a+b=-2.
又a+b
a2+b2=a+b
(a+b)2-2a b
,∴其值为1或-1
3
.
6.设a1=2,数列{1+2a n}是公比为2的等比数列,则a6等于. 答案:79.5
解析:∵1+2a n=(1+2a1)×2n-1,
∴1+2a
6=5×25,∴a
6
=5×32-1
2
=79.5.
7.已知等差数列{a n}的公差d≠0,它的第1,5,17项顺次成等比数列,则这个等比数列的公比是.
答案:3
解析:由已知a52=a1·a17,
∴(a
1+4d)2=a
1
(a1+16d).∴a1=2d.
∴公比q=a5
a1=a1+4d
a1
=6d
2d
=3.
8.某林场的树木每年以25%的增长率增长,则第10年末的树木总量是今年的倍.
答案:1.259
解析:设这个林场今年的树木总量是m,第n年末的树木总量为a n,则
a n+1=a
n
+a
n
×25%=1.25a
n
.
则a n+1
a n
=1.25.
则数列{a n}是公比q=1.25的等比数列.
则a10=a1q9=1.259m.所以a10
a1
=1.259.
9.等比数列的前三项和为168,a2-a5=42,求a5,a7的等比中项.
解:由题意知 a 1+a 1q +a 1q 2
=168, ①a 1q ·
(1-q )(1+q +q 2
)=42,②
②÷①得q (1-q )=42
168, ∴q=1
2. ∴a 1=
168×47=96.
又∵a 6=a 1q 5,
∴a 6=96×1
2
=3,
∴a 5,a 7的等比中项a 6=3.
10.已知数列{a n }满足a 1=7
8,且a n+1=1
2a n +1
3,n ∈N *. (1)求证: a n -2
3 是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式. (1)证明:∵a n+1=1
2a n +1
3,
∴a n+1-23=12a n +13−23=12 a n -2
3 . ∴
a n +1-2
3a n -23
=1
2.
∴ a n -2
3 是首项为5
24,公比为1
2的等比数列. (2)解:∵a n -2
3=5
24× 12 n
-1,
∴a n =5
24× 12 n
-1+2
3.。