求方程组的解典型例题
10.4列方程组解应用题
10.4列方程组解应用题第一篇：10.4列方程组解应用题10.4列方程组解应用题（3）学习目标：1.培养学生利用现实情境抽象数学模型的能力；2.能够运用三元一次方程组解决实际问题。
重点：利用现实情境找出等量关系，抽象出数学模型.难点：利用现实情境找出等量关系，抽象出数学模型.教学过程：【温故知新】列二元一次方程组解应用题的一般步骤是：（1）申请题意，找出问题中的已知量和未知量，明确问题中的全部关系；（2）选设适当的，确定用以列方程的两个主要的关系；（3）用已知数或含有未知数的代数式，表示主要相等关系的有关数量；（4）根据主要的相等关系列出；（5）解这个，并写出答案。
【探索新知】例6：一个三位数，三位数字之和为12，个位数字是百位数字与十位数字之和的2倍，百位数字是十位数字的3倍，求这个三位数.(1)请小组讨论找出这个题目的等量关系，分别是：；；.(2)若设这个三位数的个位数字是x，十位数字是y,百位数字是z，则根据题意可列方程组为：（3）写出这个题目的解答过程.例7:先欣赏古代数学问题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。
问上、中、下禾实一秉各几何.”意为：今有上等黍3捆，中等黍2捆，下等黍1捆，共打出黍米39斗；又有上等黍2捆，中等黍3捆，下等黍1捆，共打出黍米34斗；再有上等黍2捆，中等黍2捆，下等黍3捆，共打出黍米26斗.问每捆上、中、下黍各能打出黍米多少斗?此题的等量关系是：；；.此题的解答过程为:【巩固提升】小亮、小莹和大刚每人面前各放有一堆栗子.小亮将自己面前的栗子分出一些给另外二人后，这二人的栗子数各增加1倍.接着小莹又将自己面前的栗子分一些给小亮和大刚，小亮和大刚的栗子数都增加了1倍.然后，大刚又分给另外二人一些栗子，使小亮和小莹面前的栗子数也都增加1倍.这时，他们三人面前的栗子竟然都是24颗.你知道他们三人面前原来有多少颗栗子吗？【课堂小结】尽情谈谈你这节课的收获吧！【达标检测】1.甲、乙、丙三数中，乙数是甲数的2倍，丙数是甲数2.5倍，丙数比甲数多6.甲、乙、丙三数分别是.2.三角形周长为21cm,最长边比其他两边之和少5cm，最短边比其两边之差多5cm.求它的三边长.设最短边为x,最长边为z,另一边为y，可列三元一次方程组.3.（中国古代问题）今有2匹马、3头牛和4只羊,它们各自的总价都不满10000文钱(古时的货币单位)。
二元一次方程组的典型例题
2二元一次方程组的典型例题例1解方程组 2x +5y = -21,x + 3y = 8 ・分析 我们已经掌握一元一次方程的解法，那么要解二元一次方程组，就应设法 将其转化为一元一次方程，为此，就要考虑将一个方程中的某个未知数用含另一 个未知数的代数式表示.方程(2)中x 的系数是1,因此，可以先将方程(2)变形为 用含y 的代数式表示x ,再代入方程(1)求解•这种方法叫“代入消元法”. 解：由(2)，得x=8-3y . ⑶ 把⑶代入(1)，得： 2(8-3y)+5y=-21, 16-6y+5y=-21, -y=-37，所以 y=37.把y = 代入⑶，得K = s-3X 37, x = -103.所以方程组的解是= -103, [? = 37.点评 如果方程组中没有系数是1的未知数，那么就选择系数最简单的未知数来 变形.把⑶代入(2),得範;乃)_8y = 10, 24 + 21y-16y = 20,5y = -4,所以y =把厂冷代入⑶，得40-28 10例戈解方程组飞-8y = 10.分析此方程组里没有一个未知数的系数是 简单，可选择它来变形. 解：由(1)，得 2x=8+7y ，⑴ (2)1,但方程⑴中x 的系数是2，比较所以方程组的解是分析 本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单.经 过观察发现，若将两个方程相加，得出一个 x , y 的系数都是100、常数项是200的方程，而此方程与方程组中的(1)和(2)都同解.这样，就使问题变得比较简单 了. 解：(1)+(2)，得 100x+100y=200,所以x=2-y 把⑷代入(1)，得 53(2-y)+47y=112, 106-53y+47y=112, -6y=6，所以 y=-1.把y = T 代入(4) *得農=2 - (T) = 3.所以原方程组的解是分析 经观察发现，(1)和(2)中x 的系数都是6,若将两方程相减，便可消去 x ， 只剩关于y 的方程，问题便很容易解决、这种方法叫“加减消元法”.解：(1)-(2)，得 12y=-36,所以 y=_3.把 y=-3 代入(2),得：6x-5X (-3)=17, 6x=2,所以:方程组的解是点评 若方程组中两个方程同一未知数的系数相等，贝U 用减法消元；若同一未知 数的系数互为相反数，则用加法消元；若同一未知数的系数有倍数关系， 或完全 不相等，则可设法将系数的绝对值转化为原系数绝对值的最小公倍数， 然后再用 加减法消元.在进行加减特别是进行减法运算时，一定要正确处理好符号.例3解方程组53x+47y = 112s47x + 53y = 88 ・ (1)⑵ 例4解方程组6x+7y=-19f 6z - 5y = 17.x+y=2解这个方程组.由(3)，得(1)例5解方程组比- 6y = 33分析 方程组中，相同未知数的系数没有一样的，也没有互为相反数的•但不难 将未知数y 的系数绝对值转化为12(4与6的最小公倍数)，然后将两个方程相加 便消去了 y .解：⑴X 3,得 9x+12y=48 (3) ⑵ X 2,得 10x-12y=66 (4) (3)+(4)，得19x=114，所以x=6.把x=6代入⑴，得 3X 6+4y=16，4y=-2，点评 将x 的系数都转化为15(3和5的最小公倍数)，比较起来，变y 的系数要 简便些•一是因为变y 的系数乘的数较小，二是因为变 y 的系数后是做加法，而 变x 的系数后要做减法.例6已知x mjn+1y 与-2x nJ y 3m ^^^是同类项，求m 和n 的值.分析 根据同类项的概念，可列出含字母 m 和n 的方程组，从而求出m 和n . 解：因为x m 』+1y 与一2£亍2心是同类项，所以Im - n +1 =n - 1, (1) [3m-2n-5 = L⑵ 解这个方程组.整理，得Jm - 2n + 2 = 0, ⑶ 13m -2n - 6 = 0.(4)⑷-(3)，得2m=8，所以m=4.把m=4代入(3)，得2n=6，所以n=3.所以｛J ；'时宀心为与-2厂汁3是同类项. 例丫己知满足方程组-的心yfi 的和等于2,求|2x + 3y = nim 2 - 2m + 啲值.分析 因为x+y=2，所以x=2-y ，把它代入方程组，便得出含y ，m 的新方程组, 从而求出m .也可用减法将方程组中的 m 消去，从而得出含x ，y 的一个二元一 次方程，根据x+y=2这一条件，求出x 和y ，再去求m . 解：将方程组中的两个方程相减，得 x+2y=2，即 (x+y)+y=2.因为x+y=2，所以2+y=2，所以y=O ,于是得x=2.把x=2, y=0代入2x+3y=m ， 得 m=4.把 m=4 代入 m 2-2m+1，得 m 2-2m+1=42-2X 4+1=9. 例 8 已知 x+2y=2x+y+1=7x-y ，求 2x-y 的值.所以y = 方程组的解是分析已知条件是三个都含有x , y 的连等代数式，这种连等式可看作是二元一 次方程组，这样的方程组可列出三个，我们只要解出其中的一个便可求出 x 和y ， 从而使问题得到解决.解：已知条件可转化为[ir + 2y = 2x+y+ 1,(1) 2x+y+ l = 7x -y, L⑵ 整理这个方程组，得jx-y + l = 0,⑶ \5K -2y -1 = 0.(4) 解这个方程组.由(3)，得x=y-1⑸把⑸代入(4),得 5(y-1)-2y-1=0, 5y-2y=5+1，所以 y=2. 把y=2代入(3)，得x-2+仁0,所以 x=1.把代入古-珀得2x-y=0.二元一次方程组的典型例题元一次方程组复习题例题：1、下列方程是二元一次方程的是()丄1=02、下列各组数值是 x-2y=4方程的解的是()x=23、以"二1为解的二元一次方程的个数是( )(A)有且只有一个 (B)只有两个 (C)有无数个 (D)不会超过100个4、 二元一次方程 3x+2y=7的正整数解的组数是()(A)1 组(B)2 组(C)3 组(D)4 组x = 45、 已知~ 2是二元一次方程 mx+y=10的一个解，则 m 的值为6、 已知 3xm-1-4y2m-n+4=1 是二元一次方程，则 m= ，n= .7、下列方程组中，属于二元一次方程组的是()(A)x2+x+ 仁0(B)2x+3y-1=0 (C)x+y-z=0(D)x+ y\=2(A) W " (B)x = -1:y"x=0(C)姑 _2 (D)「X =4 畀=一x + y = 5(D) A 2"'x + y = 1 -X - 2y = -1 (B) xy = 1 x + y =2 'x + y = 3 (C)Z-2y = -18、已知2ay+5b 和-4a2xb2-4y 是同类项，贝U x= (A) ,y=x =1 9、写一个y = 一2以为解的二元一次方程组: x =1 10、如果y =~2是方程组 'x-y =1 Qx-2y =5的解是 - ay = 5 9的解，则a + b =11、 方程组12、 将下列二元一次方程变形，使其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示: ⑴ 2x-y-3=0 ⑵ x-2y-3=0 ⑶ 2x+5y-13=0 13、用代入法解下利二元一次方程组:y =1 _x ① 3x 2y =5 'x + 2y = 4 ② /-^1 2s 3t = -1 4s —9t =8 14、用加减法解方程组2x -3y = 5 3x +2y = -4 时, F 列变形正确的是（）(A) 6x -9y =5 ©x +4y = -4 (B) 』4x -6y =10、9x+6y = _12 (C) ‘6x -3y = 15 Qx + 2y —12(D)‘2x -6y = 10 、3x + 6y= —12 15、解方程组 13x-6y =25(1) 、27x _4y=19(2)（A ）代入消元法（C ）用（1） 4-（ 2） 6，先消去 你认为下列4种方法中，最简便的是（） （B ）用（1） 27- （ 2） 13,先消去 x （D ）用（1） 2- （2） 3,先消去 ym + 5n = 616、用加减法解下列方程组：①yHx+5y = 21_2x _5y = _11x + y = 26、已知关于x , y 的二元一次方程组y=4a 的解也是方程x- y=2的解，求a 的值。
沪科版七年级数学上册第3章一次方程与方程组单元复习(第5单元)
第5单元知识点七：二元一次方程组的应用【典型例题】 1、某市举办中学生足球赛，规定胜一场得3分，平一场得1分。
市第二中学足球队比赛11场，没输过一场，共得27分。
问该队胜几场，平几场？2、某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分；市第二中学足球队比赛11场，胜的场次是输的场次的3倍，共得21分。
试问该队胜几场，平几场，输几场？3、甲、乙两人相距4km，以各自的速度同时出发，如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇，试问两人的速度各是多少？4、玻璃厂熔炼玻璃液，原料是石英砂和长石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%，根据化验，石英砂中含二氧化硅99%，长石粉中含二氧化硅67%，试问3.2t原料中，石英砂和长石粉各多少吨？5、某医院利用甲乙两种原料为病人配制营养品。
已知每克甲原料含0.6单位蛋白质和0.08单位铁质，每克乙原料含0.5单位蛋白质和0.04单位铁质，如果病人每餐需34单位蛋白质和4单位铁质，那么每餐甲乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？6、某商场向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元。
每年应付利息3.82万元，甲种贷款年利率是6%，乙种贷款年利率是5%，试问这两种贷款的金额各是多少？7、甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁．”问甲、乙现在各多少岁？8、某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地。
根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦，种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：在现有的条件下，这18位农民应承包多少公顷田地，怎样安排种植才能使所有的农民都有工作，且资金正好够用？知识点八：三元一次方程组及其解法【知识要点】解三元一次方程组的基本思路是通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。
二元一次方程组的应用压轴题十种模型全攻略(解析版) 七年级数学下册
专题06二元一次方程组的应用压轴题十种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一二元一次方程组的应用——年龄问题】 (1)【考点二二元一次方程组的应用——分配问题】 (3)【考点三二元一次方程组的应用——古代问题】 (5)【考点四二元一次方程组的应用——行程问题】 (6)【考点五二元一次方程组的应用——工程问题】 (7)【考点六二元一次方程组的应用——和差倍分问题】 (9)【考点七二元一次方程组的应用——方案问题】 (10)【考点八二元一次方程组的应用——销售、利润问题】 (12)【考点九二元一次方程组的应用——数字问题】 (14)【考点十二元一次方程组的应用——几何问题】 (16)【过关检测】 (17)【典型例题】【考点一二元一次方程组的应用——年龄问题】例题：（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（）A．38岁B．39岁C．40岁D．41岁【答案】C【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可．【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁，但实际上1016338-=（岁），说明十年前妹妹没出生，则妹妹今年的年龄为1040388()--=（岁），我的年龄为6814+=（岁），设妈妈今年的年龄为x 岁，爸爸今年的年龄为y 岁，由题意得：8141011x y y x +++=⎧⎨=+⎩，解得：3940x y =⎧⎨=⎩，即爸爸今年的年龄为40岁，故选：C ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式训练】【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x 岁，爸爸的年龄是y 岁，由题意得：2352(5)8y x y x =+⎧⎨+=++⎩，解得：1033x y =⎧⎨=⎩，答：大头儿子现在的年龄为10岁．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组．【考点二二元一次方程组的应用——分配问题】例题：（2023上·重庆·八年级重庆八中校考期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多．(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车；(2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人．【答案】(1)每名熟练工人和新工人每天分别可以安装10辆和8辆共享单车(2)熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x 辆共享单车，每名新工人每天可以安装y 辆共享单车，根据题意列方程组即可；（2）设熟练工人和新工人各m ，n 人，根据题意列出等式取值即可．【详解】（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x 辆共享单车，每名新工人每天可以安装y 辆共享单车，根据题意，得：234445x y x y +=⎧⎨=⎩，解得108x y =⎧⎨=⎩，答：每名熟练工人和新工人每天分别可以安装10辆和8辆共享单车．（2）解：设熟练工人和新工人各m ，n 人，由题意得：25102583500m n ⨯+⨯=，整理得：5470m n +=，当2m =时，15n =；当6m =时，10n =；当10m =时，5n =；答：熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人；【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．【变式训练】1．（2023下·福建南平·七年级统考期末）“建盏”作为一种茶器，是黑瓷的代表，更是南平的一张名片．“建盏”的焙烧方法目前有两种：“柴烧”和“电烧”，制坯的原料是用当地的红土和白土．已知某种同样规格的建盏，一个柴烧的坯体原料红土需要90克，白土需要60克，一个电烧的坯体原料红土需要75克，白土需要75克．在不考虑破损的情况下，某生产车间在一次生产中恰好用了红土1530克，白土1170克．(1)在这次生产中，“柴烧”和“电烧”建盏各生产多少个？(2)该车间计划购买礼盒，现有两种礼盒可供选择，A 礼盒可装2个建盏，B 礼盒可装6个建盏，若要把本次生产的建盏恰好全部装完，且礼盒装满，有几种购买方案？请说明理由．【答案】(1)“柴烧”建盏生产12个，“电烧”建盏生产6个(2)有四种购买方案，见解析【分析】（1）设这次生产“柴烧”建盏x 个，“电烧”建盏y 个，根据“一个柴烧的坯体原料红土需要90克，白土需要60克，一个电烧的坯体原料红土需要75克，白土需要75克．”再建立方程组解题即可；（2）设A 礼盒购买m 个，B 礼盒购买n 个，根据题意，得2618m n +=，再利用方程的正整数解可得答案．【详解】（1）解：设这次生产“柴烧”建盏x 个，“电烧”建盏y 个，根据题意，得9075153060751170x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组得：126x y =⎧⎨=⎩，答：“柴烧”建盏生产12个，“电烧”建盏生产6个．（2）由（1）可知共生产18个建盏，设A 礼盒购买m 个，B 礼盒购买n 个，根据题意，得2618m n +=，化简得39m n +=，所以93m n =-，因为m ，n 均为非负整数，所以930n -≥，所以3n ≤，且n 为非负整数，所以当30n m ==时，；当23n m ==时，，当16n m ==时，，当09n m ==时，，所以共有四种购买方案．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解问题，理解题意，确定相等关系建立方程或方程组是解本题的关键．【考点三二元一次方程组的应用——古代问题】【变式训练】【考点四二元一次方程组的应用——行程问题】例题：（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时，从乙码头到甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知轮船在静水中的平均速度为27千米/时，求水流的速度和甲、乙码头间的距离？（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度，用二元一次方程组的知识解答）【答案】水流的速度是3千米/时，甲、乙码头间的距离为60千米【分析】本题考查一元一次方程的应用，设水流的速度为x 千米/时，甲、乙码头间的距离为y 千米，则顺流的速度为()27x +千米/时，逆流的速度为()27x -千米/时，根据顺流、逆流时行驶路程相等列方程组，解方程即可．根据题意正确列出方程是解题的关键．【详解】设水流的速度是x 千米/时，甲、乙码头间的距离为y 千米，根据题意得：()()227,2.527,x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得：3,60,x y =⎧⎨=⎩答：水流的速度是3千米/时，甲、乙码头间的距离为60千米.【变式训练】1．（2023下·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）甲乙两地相距240千米，一辆小车和一辆摩托车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1小时20分两车相遇．相遇后，摩托车继续前进，小车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回甲地，小车在返回后半小时追上了摩托车，【考点五二元一次方程组的应用——工程问题】例题：（2023下·云南昆明·七年级校考阶段练习）巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用时20天．(1)求A、B两工程队分别整治河道多少天？(2)若A工程队整改一米的工费为200元，B工程队整改一米的工费为150元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？【答案】(1)A工程队整治河道5天，B工程队整治河道15天(2)60000元【分析】（1）设A工程队整治河道x天，B工程队整治河道y天，根据A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用时20天完成认为列出方程组进行求解即可；（2）分别求出A、B两个工程队的工费，然后求和即可．【详解】（1）解：设A工程队整治河道x天，B工程队整治河道y天，根据题意得：20 2416360 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：515 xy=⎧⎨=⎩．答：A工程队整治河道5天，B工程队整治河道15天；（2）解：根据题意得：2002451501615⨯⨯+⨯⨯2400036000=+60000(=元)．答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是60000元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组求解是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·湖南邵阳·七年级统考期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独完成需要12天，乙组单独完成需要24天，若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．）【答案】(1)甲单独工作一天应付工资300元，乙单独工作一天应付工资140元(2)由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营，理由见解析【分析】（1）设甲单独工作一天应付工资x元，乙单独工作一天应付工资y元，依题意得：883520 6123480 x yx y+=⎧⎨+=⎩，进行计算即可得；（2）分别算出甲单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，乙单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，甲乙合作完成时需装修的费用和少盈利的钱，进行比较即可得．【详解】（1）解：设甲单独工作一天应付工资x元，乙单独工作一天应付工资y元，依题意得：883520 6123480 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得300140 xy=⎧⎨=⎩，答：设甲单独工作一天应付工资300元，乙单独工作一天应付工资140元．（2）解：甲单独完成：30012200126000⨯+⨯=（元）乙单独完成：14024200248160⨯+⨯=（元）甲、乙两队完成：(300140)820085120+⨯+⨯=（元）512060008160<<，∴由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程，正确计算．【考点六二元一次方程组的应用——和差倍分问题】例题：（2023上·江西九江·八年级统考阶段练习）为落实“五育并举”、提高学生的身体素质，某校在课后服务中大力开展球类运动，现需要购买一批足球、篮球．已知购买1个足球和1个篮球共需140元，购买2个足球和3个篮球共需340元，求足球和篮球的单价．【答案】足球的单价为80元，篮球的单价为60元【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，根据“购买1个足球和1个篮球共需140元；购买2个足球和3个篮球共需340元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求解．【详解】解：设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，依题意得：140 23340 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：8060 xy=⎧⎨=⎩．答：足球的单价为80元，篮球的单价为60元．【变式训练】1．（2023下·河南周口·七年级校联考阶段练习）“绿水青山就是金山银山”，保护环境从日常出行做起．我市实行限行政策后，某天小林在某停车场观察到：该停车场停有三轮车和小轿车两种车型共30辆，已知停车场的车轮总数为110个，求三轮车和小轿车各有多少辆？（请用二元一次方程组解答）【答案】停车场有三轮车10辆，小轿车20辆【分析】设停车场有三轮车x 辆，小轿车y 辆，根据停车场停有三轮车和小轿车两种车型共30辆，停车场的车轮总数为110个，列出方程组进行求解．【详解】解：设停车场有三轮车x 辆，小轿车y 辆．由题意得：3034110x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：1020x y =⎧⎨=⎩；答：停车场有三轮车10辆，小轿车20辆．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组．【考点七二元一次方程组的应用——方案问题】例题：（2023上·山东·八年级期末）现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A 型车和1辆B 型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A 型车和2辆B 型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：：(1)1辆A 型车和1辆B 型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案．【答案】(1)1辆A 型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B 型车载满荔枝一次可运送4吨(2)答案见解析【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．（1）设1辆A 型车载满荔枝一次可运送x 吨，1辆B 型车载满荔枝一次可运送y 吨，根据用2辆A 型车和1辆B 型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A 型车和2辆B 型车载满荔枝一次可运走11吨列出方程组求解即可；（2）根据题意可得3431a b +=，再根据a 、b 均为非负整数解方程即可得到答案．【详解】（1）解：设1辆A 型车载满荔枝一次可运送x 吨，1辆B 型车载满荔枝一次可运送y 吨，【变式训练】1．（2023上·四川达州·八年级校考期末）下列两题任选一道12两班共计有95名学生，他们的体育平均达标率(达到标准的百分率)是60%，如果一班学（1）初二()()生的达标率是40%，二班学生的达标率是78%，那么一、二班人数各是多少人？（2）某单位新盖了一栋楼房，要从相距132米处的自来水主管道处铺设水管，现有8米长的与5米长的两种规格的水管可供选用．①请你设计一种方案，如何选取这两种水管，才能恰好从主管道铺设到这座楼房？这样的方案有几种？②若8米长的水管每根50元，5米长的水管每根35元，选哪种方案最省钱？【答案】（1）一班人数是45人，二班人数是50人；（2）①共有3种选取方案，方案1：选取4根8米长的水管，20根5米长的水管；方案2：选取9根8米长的水管，12根5米长的水管；方案3：选取14根8米长的水管，4根5米长的水管；②选取14根8米长的水管，4根5米长的水管最省钱．【分析】本题主考查了解二元一次方程组以及二元一次方程组的应用.（1）设一班人数是x人，二班人数是y人，根据“初二(1)(2)两班共计有95名学生，且他们的体育平均达标率(达到标准的百分率)是60%”，可列出关于x，y的二元一次方程组解之即可得出结论；（2）①设选取m根8米长的水管，n根5米长的水管，根据需要水管的总长度为132米，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出各选取方案；②利用总价等于单价乘以数量，可求【考点八二元一次方程组的应用——销售、利润问题】【变式训练】【考点九二元一次方程组的应用——数字问题】例题：（2023上·江苏·七年级校考周测）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为13，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的2倍小4，求原来的两位数．【答案】原来的两位数是49．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找到合适的等量关系，列出方程组，是解答本题的关键．根据题意设个位数字为x，十位数字为y，利用已知条件列出二元一次方程组，由此得到答案．【详解】解：根据题意设：个位数字为x，十位数字为y，∴()()13210104x y y x x y +=⎧⎨+-+=⎩，解得：94x y =⎧⎨=⎩，∴原来的两位数为：410949⨯+=，答：原来的两位数是49．【变式训练】1．（2023下·河南南阳·七年级校考阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”那么，你能回答以下问题吗？(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．(2)第一次他们拼成的两位数为45．【分析】（1）设他们取出的两个数字分别为x 、y ．根据题意列方程组求解即可；（2）根据（1）的结果即可求解．【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x 、y ．第一次拼成的两位数为10x y +，第二次拼成的两位数为10y x +．根据题意得：910910x y y x x y +=⎧⎨+-=+⎩①②，由②，得：1y x -=③，+①③得：5y =．把5y =代入①得：4x =，∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．（2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，所以第一次他们拼成的两位数为45．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．【考点十二元一次方程组的应用——几何问题】例题：（2023上·吉林四平·八年级统考期末）如图，在大长方形ABCD 中放入10个相同的小长方形（图中空白部分），若大长方形的周长是104，图中阴影部分的面积是327，设小长方形的长为x ，宽为y ，求一个小长方形的周长和面积分别是多少？【答案】一个小长方形的周长为26，面积为30．【分析】本题考查了二元一次方程组，找到正确的数量关系是解题的关键．由大长方形的周长是104，图中阴影部分的面积是327．列出方程组，可求解．【详解】解：由题意可得：()()()2331043310327x y x y x y x y xy ⎧+++=⎪⎨++-=⎪⎩∴2213109x y x y +=⎧⎨+=⎩()226,30x y xy ∴+==答：一个小长方形的周长为26，面积为30．【变式训练】1．（2023上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？【答案】每块小长方形的长为36厘米，宽为12厘米【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形、结合“大长方形宽为48厘米”列出二元一次方程组求解是解题的关键．【详解】解：设小长方形的长为x 厘米，宽为y 厘米，48x y +=⎩解得：3612x y =⎧⎨=⎩，答：每块小长方形的长为36厘米，宽为12厘米．【过关检测】一、单选题1．（2024下·全国·七年级假期作业）甲、乙两人相距42km ，若两人同时相向而行，可在6h 后相遇；若两人同时同向而行，乙可在14h 后追上甲．设甲的速度为km /h x ，乙的速度为km /h y ，列出的二元一次方程组为（）A ．6642141442x y y x +=⎧⎨=+⎩B ．6642141442x y x y +=⎧⎨=+⎩C ．66421414x y y x +=⎧⎨=⎩D ．6642141442y x x y -=⎧⎨+=⎩【答案】A【解析】略2．（2024上·湖南怀化·九年级校考期末）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是（）A ． 4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩，B ． 4.521y x y x =+⎧⎨=-⎩，C ． 4.50.51y x y x =-⎧⎨=+⎩，D ． 4.521y x y x =-⎧⎨=+⎩，【答案】A 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，根据用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺，可得 4.5y x =+，根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺可得0.51y x =-，据此列出方程组即可．【详解】解：可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，0.51y x =-⎩故选：A ．3．（2024上·陕西宝鸡·八年级统考期末）某校课外小组的学生分组做课外活动，若每组7人，则余下3人：若每组8人，则少5人．设课外小组的人数为x ，应分成的组数为y ，可列方程组（）A ．7385y x y x =+⎧⎨+=⎩B ．7385y x y x +=⎧⎨-=⎩C ．7385y x y x =-⎧⎨=-⎩D ．7385y x y x =+⎧⎨=+⎩【答案】B【分析】本题主要考查了根据实际问题列方程组，审清题意、找准等量关系是解题的关键．设课外小组的人数为x ，应分成的组数为y ，根据等量关系“若每组7人，则余下3人”和“每组8人，则少5人”即可列出方程组．【详解】解：设课外小组的人数为x ，应分成的组数为y ，根据“每组7人，则余下3人；每组8人，则少5人”可得方程组：7385y x y x +=⎧⎨-=⎩．故选B ．4．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高10cm ，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖矮40cm ，则每块墙砖的面积是（）2cm ．A ．425B ．525C ．600D ．800【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．设墙砖的长为cm x ，宽为cm y ，根据等量关系“3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高10cm ，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖矮40cm ”列出二元一次方程组求出x 、y 的值，然后再求面积即可．【详解】解：设墙砖的长为cm x ，宽为cm y ，根据题意得：3102240y x x y -=⎧⎨-=⎩，解得：3515x y =⎧⎨=⎩，所以墙砖的面积为：23515525cm ⨯=．故选：B ．二、填空题【答案】92【分析】本题考查二元一次方程组的应用．根据图中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可求得小长方形的长和宽，然后即可计算出图中阴影部分的面积．【详解】解：设小长方形的长为cmx，宽为由图可得：212418x y yx y+-=⎧⎨+=⎩，10x=⎧三、解答题9．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）古代有一个官兵分布的问题：“一千官兵一千布，一官四尺无【答案】90cm【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设1支塑料凳子的高度为加ycm，即可根据题意列出方程组求解．【详解】设1台A 型机器人每小时拣垃圾a 吨，1台B 型机器人每小时拣垃圾b 吨，根据题意，得()23 2.623 3.6a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得0.40.6a b =⎧⎨=⎩，故1台A 型机器人每小时拣垃圾0.4吨，1台B 型机器人每小时拣垃圾0.6吨．【点睛】本题考查了方程组的应用，熟练列出方程组是解题的关键．14．（2023下·湖南岳阳·七年级统考阶段练习）小明在拼图时发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为1mm 的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？【答案】215mm 【分析】设每个小长方形的长是mm x ，宽是mm y ，根据图形给出的信息可知，长方形的5个宽与其3个长相等，1个长加1的和等于两个宽的和，于是得方程组，解出即可．【详解】解：设小长方形的长是mm x ，宽是mm y ，由图（1），得35x y =，由图（2），得12x y +=，所以3512x y x y=⎧⎨+=⎩，解得53x y =⎧⎨=⎩，∴小正方形的长为5mm ，宽为3mm ，∴小长方形的面积为25315mm =⨯=，答：每个小长方形的面积是215mm ．【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键．(1)放入1个小球水面升高______cm，放入1个大球水面升高(2)如果使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．（1）设1辆A 型车载满萝卜一次可运送x 吨，1辆B 型车载满萝卜一次可运送y 吨，根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）根据题意得到3431a b +=，然后由a ，b 都是正整数求解即可．【详解】（1）设1辆A 型车载满萝卜一次可运送x 吨，1辆B 型车载满萝卜一次可运送y 吨，依题意得：210211x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩．答：1辆A 型车载满萝卜一次可运送3吨，1辆B 型车载满萝卜一次可运送4吨．（2）∵现有萝卜31吨，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，∴3431a b +=，∵a ，b 都是正整数，∴当9a =时，1b =；当5a =时，4b =；当1a =时，7b =；∴该物流公司共有3种租车方案：方案1：租用9辆A 型车，1辆B 型车方案2：租用5辆A 型车，4辆B 型车；方案3：租用1辆A 型车，7辆B 型车．。
三元一次方程及其解法
三元一次方程组及其解法1.三元一次方程的定义：含有三个未知数的一次整式方程2.三元一次方程组：由三个一次方程 ( 一元、二元或三元 ) 构成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组3.三元一次方程组的解：能使三个方程左右两边都建立的三个未知数的值解题思路：利用消元思想使三元变二元，再变一元4.三元一次方程组的解法：用代入法或加减法消元，即经过消元将三元一次方程组转变为二元一次方程组，再转变为一元一次方程．例题分析一、三元一次方程组之特别型x y z 12 ①例 1：解方程组 x 2 y 5z 22 ②x 4 y ③剖析：方程③是对于 x 的表达式，经过代入消元法可直接转变为二元一次方程组，所以确定“消 x”的目标。
解法 1：代入法，消 x.5y z 12 ④把③分别代入①、②得6y ⑤5z 22y 2,解得z 2.把 y=2 代入③，得 x=8.x8,∴y 2, 是原方程组的解.z 2.依据方程组的特色，可概括出此类方程组为：种类一：有表达式，用代入法型.针对上例从而剖析，方程组中的方程③里缺z, 所以利用①、②消 z, 也能达到消元构成二元一次方程组的目的。
解法 2：消 z.①× 5 得 5x+5y+5z=60 ④④ - ②得 4x+3y=38 ⑤x 4y ③由③、⑤得4x3 y 38 ⑤x 8,解得y 2.把 x=8,y=2 代入①得 z=2.x 8,∴y 2, 是原方程组的解. z 2.依据方程组的特色，可概括出此类方程组为：种类二：缺某元，消某元型.2x y z 15 ①例 2：解方程组 x 2 y z 16 ②x y 2z 17 ③剖析：经过察看发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。
具备这类特色的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采纳乞降作差的方法较简短地求出此类方程组的解。
解：由① +② +③得 4x+4y+4z=48，即 x+y+z=12 . ④①- ④得 x=3 ，②-④得 y=4 ，③- ④得 z=5 ，x3,∴y 4, 是原方程组的解.z 5.x y 20, ①典型例题举例：解方程组 y z 19, ②x z 21. ③解：由① +②+③得 2(x+y+z)=60 ，即 x+y+z=30 . ④④- ①得 z=10 ，④-②得 y=11 ，④-③得 x=9 ，x9,∴y 11, 是原方程组的解.z10.依据方程组的特色，由学生概括出此类方程组为：种类三：轮换方程组，乞降作差型.x : y : z 1:2:7 ①例 3：解方程组2x y ②3z 21剖析 1：察看此方程组的特色是未知项间存在着比率关系，依据过去的经验，看见比率式就会想把比率式化成关系式求解，即由 x:y=1:2 得 y=2x；由 x:z=1:7 得z=7x. 从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即y 2x, ①z 7x, ②，依据方程组的特色，可采用“有表达式，用代入法”求2x y 3z 21. ③解。
二元一次方程组解决实际问题典型例题(1)
【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台 电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机， 出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100 元，丙种每台2500元。 (1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机 50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方 案； (2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机 分别可获利150元、200元、250元， 在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进 货方案？
【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒 身或【【2变2变个式式盒23】底】某，一工一张厂个方有盒桌工身由人与1个6两0桌人个面，盒、生底4产配条某成桌种一腿由个组一完成个整， 螺盒如栓子果套，1立两问方个用米螺多木母少料的张可配铁以套皮做产制桌品盒面，身5每，0个人多，每少或天张做生铁桌产皮腿螺制3栓盒001底条4 ，。 个可现或以有螺正5立母好方2制0米个成的，一木应批料分完，配整那多的么少盒用人子多生？少产立螺方栓米，木多料少做人桌生面， 产用螺多母少，立才方能米使木生料产做出桌的腿螺，栓做和出螺的母桌刚面好和配桌套腿。，恰 好配成方桌？能配多少张方桌？
类型七：列二元一次方程组解决——和差倍分问题
7.“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周 生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶， 两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工 加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内 制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好 按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱 心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？
【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个 装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独 做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工 钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的 角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明 理由.
《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
例1 椭圆的一个顶点为()02，A 分析：解：（1）当()02，A 椭圆的标准方程为：11422=+y x （2）当()02，A 为短轴端点时，b 椭圆的标准方程为：116422=+y x 说明：横竖的，因而要考虑两种情况．例2 解：31222⨯⨯=c a c ∴23c =∴3331-=e ． 说明：和c 的齐次方程，再化含e 例3 已知中心在原点，焦点在x 点，OM 的斜率为0.25解：由题意，设椭圆方程为22+ax ）直线与曲线的综合问题，经常要借)22y ，与焦点()04，F 的距离成等差数BT 的斜率k ．（2）因为线段AC 221=+-y y y 又∵点T 在x ()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ，，(2x B ∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ (12221259x y y +-=-将此式代入①，并利用 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT例5 已知椭圆13422=+yx ，距离MN 是1MF 与2MF 解：假设M 存在，设M 2=a ，3=b ，∴=c ∵左准线l 的方程是=x ① ②．k ，利用条件求k ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21x k ．代入椭圆方程，并整理∵P 是弦中点，∴121=+x x 所以所求直线方程为342-+y x 分析二：设弦两端坐标为(11y x ，率：2121x x y y --．解法二：设过⎪⎭⎫⎝⎛2121，P ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ．将③、④代入⑤得212121-=--x x y y 所求直线方程为0342=-+y x 说明：（1迹；过定点的弦中点轨迹．（2（3线问题也适用．例7 （1）长轴长是短轴长的2（2）在x 12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，1=． ．182=a ．故所求方程为191822=+y x ．MF AM 2+为最小值M 到右准线的距离，从而得最小8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为AQ ，即M 为所求点，因此说明：是M 例9 求椭圆32x 分析：值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧距离为26sin cos 3=+-=θθd 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，d 说明：例10的点的最远距离是7分析：要注意讨论b 提高逻辑推理能力．0>>b a 待定．21<b 矛盾．⎪⎭⎫-21，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，θ为参数．由22222221⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==a b a b a a c e 2143112=-=-=e a b ，即a 设椭圆上的点()y x ，到点 ⎝⎛0P 22222cos 23=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θa y x d sin 3sin 34222--=θθb b b 421sin 3222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ，即21<b ，则当由题设得()22237⎪⎭⎫⎝⎛+=b 于是当b21sin -=θ时2d 由题设知()34722+=b，∴∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧y x 由21sin -=θ，cos θ例11 设x ，R ∈y ，y x 63222=+分析：考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．0，0）点和（3，0）点． )1->．0，0）点时，半径最41=+m ，∴15=m ．a 、b 如何变化， 120≠∠APB ．（2分析：22222y ba a x -=解：（1 ⎩⎨⎧b x 2于是k AP=∵APB ∠∴tan ∠∵22c a >∴tan ∠故tan ∠（2）设∴tan ∠12-=k c ．由21=e ，得4=k ． k -1．8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 例14 已知椭圆142222=+by b x 分析：解法一：由142222=+by b x ，得由椭圆定义，a PF PF 221=+b b b PF b PF 34421=-=-=．由椭圆第二定义，e d PF =11，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32解法二：∵e d PF =22，2d 为P ∴b ePF d 33222==． 又椭圆两准线的距离为c a 22=⋅∴P 到左准线的距离为b 338说明：圆的第二定义．3π=∠POx ，求P 点坐标．3π， 552， )0>上的一点，P 到左焦点1F 和右焦．ca 20+，∴01ex a PQ e r +==说明：例17 已知椭圆15922=+y x 上一点．(1) 求1PF PA +(2) 求223PF PA +分析：即代数方法．二是数形结合，解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22AF PF PA -≥，∴1+PF PA 22AF PF PA -=时成立，此时P 、由22AF PF PA +≤，∴+PA 22AF PF PA +=时成立，此时P 、==45,02得两交点 ，P 点与2P 重合时，2PF PA +取Q 为垂足，由3=a ，2=c ，PQ PA PF PA +=+223，要使29=x ．1，代入椭圆得满足条件的A 向相应准线作垂线段．巧用(2)分析：解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S )sin 2,cos 3(θθ则2sin 12sin 2cos 34=⨯⨯=θθS 故椭圆内接矩形的最大面积为说明：问题，用参数方程形式较简便．例19 已知1F ，2F (1)(2)求证21F PF ∆分析：12222=+b y a x （0>>b a ）),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F 方程联立消去21x 得2312212-+cy b y c 出1y 可以求出21F PF ∆思路二：利用焦半径公式1PF =再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率a 2求解．),11y ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，0>c ，(1)在21F PF ∆︒==60sin 2sin sin cn m βα∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+， ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα∴sin sin 60sin βα=+︒==a c e 212cos21≥-=βα．当且仅当βα=(2)在21F PF ∆-+=2)2(222mn n m c mn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+，∴mn a c 34422-=，即∴60sin 2121mn S F PF ︒=∆即21F PF ∆说明：椭圆上的一点P 21PF PF +的结，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥，转化为P 点坐的一个不等式，转化为关于e 的不等222ba b -=θ， ，又222c a b -= P 使AP OP ⊥．如何证明？。
二元一次方程组的典型例题
1.已知方程组⎩
⎨⎧-=-+=-32342x y m y x 的解x 、y 互为相反数，求m 的值。
2．已知代数式x 2＋bx ＋c ，当x ＝－3时，它的值为9，当x ＝2时，它的值为14，当x ＝－8时，求代数式的值。
3．若∣m ＋n －5∣＋（2m ＋3n －5）2＝0，求（m ＋n ）2的值
4.已知方程组⎩⎨
⎧-=+=-154by ax y x 和⎩⎨⎧=+=+18
4393by ax y x 有相同的解，求b a ,的值。
7、 方程组的解也是方程的解，则k 的
8、若方程组的解满足条件，求a 的值
9、如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？
↑
↓60cm
⎩⎨⎧=+=-5
2,
12y ax y ax x y =
10.运往灾区的两批货物，第一批共480吨，用8节火车车厢和20辆汽车正好装完；第二批共运524吨，用10节火车车厢和6辆汽车正好装完，求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？
一、数字问题
1. 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．
2.一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？
三、调配、配套问题
例3某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓50个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？。
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注
AX 0 有无穷多解并不意味着 AX β 有无穷多解， AX β 也可能无解. 例 2. 适用于任一线性方程组的解法是( ) (A) 逆矩阵求法 (B) Cramer 法则 (C) 消元法 (D) 以上方法都不对 解 应选(C). 因为方程组的系数矩阵未必是方阵，即使是方阵，也未必可逆. 例 3. 通过消元法得到的阶梯形线性方程组与原方程组是 . 解 应填等价或同解. 消元法实际上就是对 ( A, β ) （或 A ）作初等行变换.
唯一解： x4 4, x3 3 x4 1, x2 2 x3 3, x1 1 .
例 7. 非齐次线性方程组 AX β ，对增广矩阵 A ( A, β ) 施以初等行变换得
1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 ，则其通解为 0 0 0 0 0 0
x1 1 1 6 7 3 1 A 1 2 1 ，唯一解 x2 A 2 0 . x 3 0 3 3 1 3
1
方法二（Cramer 法则）
数 安 学 交 与 通 统 大 计 学 学 院
.
(4,5,0,0,0)T k1 (1,2,1,0,0)T k 2 (2,3,0,1,0)T k3 (3,4,0,0,1)T
西
西安交通大学
线性代数与解析几何
典型例题
x1 1 2 3 4 x2 2 3 4 5 x x 1 x 0 x 0 0 3 3 4 5 x4 0 1 0 0 0 0 1 0 x5
解
应 填
（ k1 , k2 , k3 为任意常数）.
因 r ( A, β ) r ( A) 2 ，而未知量个数 n 5 ，又
1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 1 1 r1 r2 则有等价 （同解） 3 4 5 ， 0 1 2 0 1 2 3 4 5 ( 1) r2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 ri ( 1) r2 0 i 3, 4 0 0
所以，当 a 1 ，则 b 2a 2 时，方程组有解.
(2) 由(1)知，将 a 1, b 2 代入 B 中，再作初等行变换
x1 x3 2 x4 3 x5 3 x 2 x 3 x 4 x 2 2 3 4 5 x1 x3 2 x4 3 x5 3 ，即 x3 x3 0 x4 0 x5 0 ，则 x2 2 x3 3 x4 4 x5 2 x 0 x x 0 x 0 3 4 5 4 x5 0 x3 0 x4 x5 0
r2 r3 1 0 0 6 7 3 1 0 0 r 1 2 1 1 ( 1) r3 0 1 1 2 1 0 0 1 0 1 2 1 ， 则 r ( 2 ) r2 ( 1) r2 1 0 0 1 3 3 1 ( 1) r3 0 0 1 3 3 1
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线性代数与解析几何
典型例题
第4章
n 维向量与线性方程组
第一节 消元法 典型例题 （A）
例 1. 若线性方程组 AX β 中， 方程的个数少于未知量的个数， 则有( (A) AX β 必有无穷多解 (B) AX 0 必有非零解 )
(C) AX 0 仅有零解 (D) AX 0 必无解 解 应选(B). 方程的个数即系数矩阵 A 的行数 m ，未知量的个数即 A 的列数 n ，已知
例 4. 在线性方程组 AX β 中， A (aij ) n n ， Aij 为 aij 的代数余子式，
西
β (b1 , b2 ,, bn )T ，又已知 a2 j A2 j 2, bi Ai 2 4 ，则未知量 x2
j 1 i 1
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（ x3 , x4 , x5 为任意常数）
例 8. 非 齐 次 线 性 方 程 组 AX β ， 对 增 广 矩 阵 施 以 初 等 行 变 换 得
1 2 3 4 0 1 2 0 ，则其通解为 0 0 0 1
.
解
应填无解. 因为 r ( A, β ) 3 r ( A) 2 ，故 AX β 无解.
1 1
1 a r4 a 1 r3 0 4 1 a 0 0 1 a 0 0 a 1 b a 1 0 4
1 1 0
1 0 0
0 4
1 a 1 a 1 [4b (a 1) 2 ] 4 a
n n
.
4 2 . 2 例 5. 下列齐次线性方程组有非零解需满足
解 应填-2. 由 Cramer 法则即知 x2
x1 x2 x3 ax4 0 x 2x x x 0 1 2 3 4 x1 x2 3 x3 x4 0 x1 x2 ax3 bx4 0
.
解 应填 4b (a 1) 2 . 齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知量个数，而
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线性代数与解析几何
典型例题
1 1 1 1
1 a 1 1 1 ri ( 1) r1 0 1 3 1 i 2 , 3, 4 0 0 1 a b 1 2
x1 x3 2 x4 3 x5 4 x 2 x 3 x 4 x 5 2 3 4 5 x1 x3 2 x4 3 x5 4 方程组 ，于是有 x3 x3 0 x4 0 x5 0 ，即 x2 2 x3 3 x4 4 x5 5 x 0 x x 0 x 0 3 4 5 4 x x x x 0 0 3 4 5 0 5
a 1 4 2a 记作 B 0 b 2a 0 2 2a
1 2 ( A, β ) 0 4
1 1 1 1
1 2 2 2
1 3 3 3
a 1 4 2a b 4 4 2 4a
第二节 向量组的线性相关性 典型例题（A）
则 4b (a 1) 2 . 例 6. 非齐次线性方程组 AX β ，对增广矩阵 A ( A, β ) 施以初等行变换得
1 0 0 0
0 1 0 0
解
0 1 1 0
0 0 1 1
1 2 ，则其解为 3 4
.
应填 (1,3,1,4)T . 因 r ( A, β ) r ( A) 4 （也为未知量个数） ，故方程组有
1 2 1 3 3 5 1 1 1 3 3 5 1 2 1 3 3 3 | A | 1, 2 3 3 1, 2 2 3 0, 2 3 2 0 唯一解 x1 1, x2 0, x3 0 .
方法三（消元法） ：
1 2 1 1 r ( 2) r 1 2 1 1 r ( 3) r 1 2 1 1 2 1 2 3 ( A, β ) 2 3 3 2 0 1 1 0 0 1 1 0 r ( 3) r1 3 3 5 3 3 0 3 2 0 0 0 1 0
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典型例题
例 1. 设向量 β 可由向量组 α1 , α2 , , αm 线性表示，但不能由向量组 I ：
x1 1 2 3 3 x2 2 3 4 2 x x 1 x 0 x 0 0 ，其中 x , x , x 为任意常数，此即为通解. 3 4 5 3 3 4 5 x4 0 1 0 0 1 0 0 0 x5
西
r3 ( 3) r2
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西安交通大学线性代数与源自析几何典型例题1 0 0 1 则 r ( A, β ) r ( A) 3 ， 有唯一解 x3 0, x2 0, x1 1 . 0 1 0 0 ， r1 2 r1 ( 1) r3 ,( 1)r2 0 0 1 0
x1 2 x2 x3 1 2 x1 3 x2 3 x3 2 3 x 3 x 5 x 3 2 3 1
例 9. 试用三种方法求下列线性方程组的解：
解
因系数矩阵为方阵，且其行列式易算得 | A | 1 0 ，故有：
方法一（逆矩阵法）
1 2 1 1 0 0 r ( 2 ) r 1 2 1 1 0 0 1 2 ( A, E ) 2 3 3 0 1 0 0 1 1 2 1 0 r ( 3) r1 3 3 5 0 0 1 3 0 3 2 3 0 1
r2 r3 r1 r3
例 10. 设线性方程组
x1 x2 x3 x4 x5 a 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 0 1 2 3 4 5 x2 2 x3 3 x4 4 x5 b 4 x1 5 x2 6 x3 7 x4 8 x5 2
(1) a, b 为何值时，该方程组有解？ (2) 求其通解.
解
(1) 对增广矩阵作初等行变换 1 3 1 5 1 4 2 6 1 5 3 7 1 6 4 8