26.1.2 二次函数图像与性质(4)
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数（quadratic function）是数学中的一类函数，其表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
这种函数的图像是一条抛物线，其特点是拥有许多有趣的性质和图像的变化规律。
本文将对二次函数的图像与性质进行详细说明。
一、基本形式二次函数的基本形式为y = ax^2，其中a为二次函数的系数，决定了抛物线的开口方向和形状。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、顶点二次函数的顶点（vertex）是抛物线的最高点（若开口向下）或最低点（若开口向上）。
顶点可通过求导数或利用抛物线的对称性求得。
顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = f(x)，其中f(x)为二次函数的表达式。
三、对称轴二次函数图像的对称轴（axis of symmetry）是通过抛物线的顶点，并且与抛物线相互对称的一条直线。
对称轴的方程可以通过对抛物线的表达式进行简单计算得到。
四、焦点和准线焦点（focus）和准线（directrix）是二次函数图像的两个重要元素。
焦点是指在平面上向外弯曲的抛物线上的一个特定点。
焦点的横纵坐标可通过复杂的求解方法得到，这里不再详述。
准线是通过焦点以及与对称轴垂直的直线上的特定点构成的直线段。
准线的方程也可通过复杂的计算得到。
五、零点二次函数的零点（zeros）是函数表达式等于零的横坐标。
其求取方法可以通过方程ax^2 + bx + c = 0来求解。
根据求根公式，可得有两个根、一个根或者无实根。
六、图像的变化规律通过改变二次函数的参数a、b、c的数值，可以使得二次函数的图像发生各种变化。
以下是几种常见的变化规律：1. 改变a的值，a越大，抛物线越“扁平”，开口越朝上或者朝下。
2. 改变b的值，b为线性项的系数，可以使抛物线左右平移。
3. 改变c的值，c为常数项的系数，可以使抛物线上下平移。
七、应用二次函数的图像与性质在实际生活中有广泛的应用。
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质1.二次函数的图像与性质：2.抛物线的平移法则：（1）抛物线k ax +=2y 的图像是由抛物线2y ax =的图像平移k 个单位而得到的。
当0>k 时向上平移；当0>k 时向下平移。
（2）抛物线2()y a x h =-的图像是由抛物线2y ax =的图像平移h 个单位而得到的。
当0>h 时向右平移；当0<h 时向左平移。
（3）抛物线的2()y a x h k =-+图像是由抛物线2y ax =的图像上下平移k 个单位，左右平移h 个单位而得到的。
当0>k 时向上平移；当0k <时向下平移；当0>h 时向右平移；当0<h 时向左平移。
3.二次函数的最值公式：形如c bx ax y ++=2的二次函数。
时当0>a ，图像有最低点，函数有最小值a b ac y 442-=最小值；时当0<a，图像有最高点，函数有最大值，a b ac y 442-=最大值；4.抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点坐标是（0，c ）5.抛物线的开口大小是由a 决定的，a 越大开口越小。
6.二次函数c bx ax y ++=2的最值问题：（1）自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。
（2）自变量的取值范围不是一切实数：自变量的取值范围不是一切实数时，应当抓住对称轴2bx a=-,把它与取值范围相比较，再进行求最值。
6.二次函数与一元二次方程的关系：(1)抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点坐标的横坐标方程02=++c bx ax 的两根。
(2)抛物线与x 轴的交点个数是由ac b 42-=∆决定的：当0>∆时抛物线与x 轴有两个交点；当0=∆抛物线与x 轴有一个交点；当0<∆时抛物线与x 轴没有点。
0≥∆时抛物线与x 轴有交点。
（此定理的逆定理也成立。
）7.二次函数的三种常用形式：（1）一般式：c bx ax y ++=2 （2）顶点式：2()y a x h k =-+（3）两根式：))((21x x x x a y --=8.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法；（5）图像法。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质二次函数是数学中的一个重要概念，它在中学数学中占据着重要的地位。
本文将从二次函数的图像和性质两个方面进行论述，旨在帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用二次函数。
一、二次函数的图像二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不等于0。
我们先来讨论二次函数的图像。
1. 开口方向二次函数的图像可以是开口向上的，也可以是开口向下的。
当a大于0时，二次函数的图像开口向上；当a小于0时，二次函数的图像开口向下。
例如，考虑函数f(x) = x^2 - 2x + 1和g(x) = -x^2 + 2x + 1，它们的图像分别如下所示：（插入图片：开口向上和开口向下的二次函数图像）2. 对称轴和顶点二次函数的图像总是关于一个垂直于x轴的直线对称的。
这条直线称为二次函数的对称轴，它的方程可以通过求解二次函数的x坐标的平方项系数的相反数除以2倍的平方项系数得到。
对称轴上的点称为二次函数的顶点，它的横坐标和纵坐标可以通过代入对称轴的方程求解得到。
例如，考虑函数f(x) = -2x^2 + 4x - 1，它的对称轴方程为x = -b/2a = -4/(2*(-2))= 1。
代入对称轴方程可以求得顶点的坐标为(1, -3)。
3. 判别式和根的性质二次函数的判别式可以通过求解一元二次方程的判别式得到，它的表达式为Δ = b^2 - 4ac。
判别式的正负决定了二次函数的根的性质。
当判别式大于0时，二次函数有两个不相等的实根；当判别式等于0时，二次函数有两个相等的实根；当判别式小于0时，二次函数没有实根，但有两个共轭复根。
例如，考虑函数f(x) = x^2 - 2x + 1，它的判别式为Δ = (-2)^2 - 4*1*1 = 0。
由于判别式等于0，该二次函数有两个相等的实根x = 1。
二、二次函数的性质除了图像外，二次函数还有一些重要的性质，我们将在下面进行讨论。
1. 单调性和极值点二次函数的单调性是由二次函数的开口方向决定的。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学、物理、经济等领域中都具有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的图像和性质，并通过实例来说明其在实际问题中的应用。
一、二次函数的定义与图像二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
这里的x和y分别代表自变量和因变量，a、b、c则决定了二次函数的图像特征。
根据a的正负性可以判断二次函数的开口方向。
当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
二次函数的图像一般呈现为一个平滑的曲线，被称为抛物线。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, -Δ/4a)，其中Δ=b²-4ac，代表二次函数的判别式。
二、二次函数的性质1. 零点和因子定理：二次函数的零点即方程y=ax²+bx+c=0的解。
根据因子定理，零点等于函数的因子。
2. 对称轴和对称性：二次函数的对称轴为直线x=-b/2a，对称轴将抛物线分成两个对称的部分。
3. 最值和极值点：当a>0时，二次函数的最值为最小值；当a<0时，二次函数的最值为最大值。
最值点即为抛物线的顶点。
4. 单调性：当a>0时，二次函数在对称轴的左侧递增，在对称轴的右侧递减；当a<0时，二次函数在对称轴的左侧递减，在对称轴的右侧递增。
5. 范围与值域：当a>0时，二次函数的值域为[0, +∞)，即非负实数集；当a<0时，二次函数的值域为(-∞, 0]，即非正实数集。
三、二次函数的应用实例在物理学中，二次函数常用于描述抛体运动的轨迹。
例如，抛体的运动轨迹满足二次方程，通过对抛体运动关键点的分析，可以确定抛体的初速度、最高点高度、时间等。
在经济学中，二次函数可以用来描述成本、收益等与产量之间的关系。
例如，某企业的生产成本与产量之间满足二次函数关系，通过分析二次函数的图像和性质，可以确定产量对应的成本最小值。
此外，二次函数还在建筑设计、生态学等领域发挥着重要作用。
26.1.2二次函数yax2的图像和性质
用一根长为30厘米的绳子围成一个长方形， 如果设矩形的一边AB长为x厘米，那么矩形的 哪些量随x的值的变化而变化？
二次函数的定义:
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常 数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变
量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一 次项系数和常数项.
9
连接各点，就得到y = x2 的图
象．
6
y=x2
3
－3
3
例解1：在分同别一填直表角，坐再标画系出中它，们画的出图函象数，如y 图12 x2, y 2x2 的图象．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5
0 0.5 2 4.5
8
···
线有什么共同点和不同点．
的图象，并考虑这些抛物
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
y
1 2
x2
···
－8
－4.5
－2 －0.5
0
－0.5
－2 －4.5
45 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2 x 2 · －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 ·
·· ·
8
4y.5 x2 2
8
0.5y 20x2
0.5
2
4.5
8
···
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
26.1二次函数y=a(x-h)2图像与性质学案4
实验中学九年级数学学案
顶点
对称轴
最值
增减性
也画上去（草图）．①抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ，y ＝－12 x 2，y ＝－1
2 (x
．它们之间如何平移得到？
练习平台一、循序渐进：
2．对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．3．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．4．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为________________．把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为_______________．
5．将抛物线y＝－1
3(x－1)x
2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．
6．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式__________________．
7．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；
当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．
8．抛物线y＝m (x＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4 (x－4)2，则m＝__________，n＝___________．
9．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为______________．
10．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________．。
26.1 二次函数及其图像 课件4(数学人教版九年级下册)
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
h，k
直线x h
向上
当x h时, 最小值为 k
h，k
直线x h
向下
当x h时，最大值为 k
练习1
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1:
开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2－1: 开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0, －1).
(1) 抛物线 2 2 y=x +1,y=x －1 的开口方向、对 称轴、顶点各是 什么?
10 9 8 7 6 5 4 3 2 ● 1
y
三、观察三条抛物线：
2 (2)开口大小有没有 1 变化？ -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 没有变化 -3 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
y
三、观察三条抛物线：
2 (3)对称轴是什么？ 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3 y 轴 x=-1 x=1 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
抛物线y a ( x h) 2 k有如下特点： （1）当a 0时，开口向上 ____；当a 0，开口向下 ___； x=h ； （2）对称轴是直线____ （3）顶点坐标是 ______ 。 （ h，k）
26.1.2二次函数图像与性质
的图象，并考虑这些抛物
x
· －4 · ·
－3
－4.5 －1.5
－2
－2 －1 －2
－1 －0.5
－0.5 －0.5
0 0
1
－0.5 0 0
2
3
4
－8 2
· · · · · ·
· · 1 2· －8 y x 2
x · －2 · ·
－2 －4.5 1 1.5
0.5
· · ·
· · ·
· · ·
－8 －4.5 －0.5 －2 －4.5 －8
(2 2 , 6)
3 y x 4
练一练:
1.若抛物线 y
(2m 1) x
）
2
的开口向下，则
m的取值范围为（B
( A)m 0
1 (C )m 2
1 ( B )m 2 1 ( D )m 2
练习三、已知抛物线y ax 2 a 0 与双曲线 2 y 交点的横坐标大于零。问a是大于零 x 还是小于零？
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2 图象 a＞0 a＜0
O O
开口
开口向上
开口向下
对称性
顶点 增减性
|a|越大，开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点（0，0） 顶点是最低点 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
y = x2
9
6
3 －3 3
看出： y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．
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1探讨 二次函数y=2x² y=2(x-1)² y=2(x-1)²+1的 二次函数y=2x², y=2(x-1)², y=2(x-1)²+1的 图象的关系？ 图象的关系？
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y
y=2(x-1)2+1
y=2x2
5 4. 3. 2. 1.
y=2(x-1)2
-3.
-2
-1
0. -1
1.
2.
3.
x
y
|a|越大开口越小 越大开口越小. 越大开口越小
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练习1 指出下面函数的开口方向， 练习 :指出下面函数的开口方向，对称 顶点坐标，最值。 轴，顶点坐标，最值。
1) y=2(x+3)2+5 3) y=-3(x-1)2-2 2) y=4(x-3)2+7 4) y=-5(x+2)2-6
练习2:对称轴是直线 的抛物线是( 练习 对称轴是直线x=-2的抛物线是 C) 对称轴是直线 的抛物线是
y=a(x 开口 对 顶 最值 -h)²+k 方向 称 点 轴 a>0 时 向上 x=h (h,k) x=h时, 有最小 值y=k a<0 向下 x=h (h,k) x=h时, 时 有最大 值y=k
增减情况
x<h时, y随x的增大而减 时 随 的增大而减 小; x>h时,y随x的增大而 时 随 的增大而 增大. 增大. x<h时, y随x的增大而增 时 随 的增大而增 大; x>h时, y随x的增大而 时 随 的增大而 减小. 减小
4). 若抛物线 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后 经过 轴方向平移后,经过 沿 轴方向平移后 经过(3,5), 求平移后的抛物线的解析式_______ 求平移后的抛物线的解析式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ结
y=a(x-h)²+k • 对称轴 • 顶点 直线 x=h （h，k） ， ）
有最小值k 时 有最小值 • 最值 当a>0时 x=h时，y有最小值 时 当a<0时 x=h时，y有最大值 时 有最大值k 时 有最大值
你答对了 吗?
1.B 2.y=-2(x-1)2-3
2.抛物线 1的解析式为 抛物线c 的解析式为y=2(x抛物线 1)2+3抛物线 2与抛物线 1关于 抛物线c 抛物线 与抛物线c 关于x 轴对称,请直接写出抛物线 请直接写出抛物线c 轴对称 请直接写出抛物线 2的 解析式_____ 解析式
3.二次函数 二次函数y=a(x-m)2+2m,无 二次函数 无 为何实数,图象的顶点必在 论m为何实数 图象的顶点必在 为何实数 ( )上 上 你答对了 A)直线 直线y=-2x上 直线 上 C)y轴上 轴上 y=2x上 上 B)x轴上 轴上 D)直线 直线
A y=-2x2-2 C y=-1/2(x+2)2-2 B y=2x2-2 D y=-5(x-2)2-6
1. 抛物线的顶点为 抛物线的顶点为(3,5) 此抛物 线的解析式可设为( 线的解析式可设为 ) Ay=a(x+3)2+5 Cy=a(x-3)2-5 By=a(x-3)2+5 Dy=a(x+3)2-5
二次函数y=a(x-h)2+k的图 二次函数 的图 象及其性质
1 说出下列函数图象的开口方向 对称轴 顶点 说出下列函数图象的开口方向,对称轴 顶点, 对称轴,顶点 最值和增减变化情况: 最值和增减变化情况
1)y=ax2
2)y=ax2+c
3)y=a(x-h)2
2 请说出二次函数y=ax²+c与y=ax²的平移关系。 请说出二次函数 与 的平移关系。 的平移关系 y=a(x-h)2与y=ax²的平移关系 的平移关系 将抛物线y=ax²沿y轴方向平移 个单位 得抛物线 沿 轴方向平移 个单位,得抛物线 轴方向平移c个单位 将抛物线 y =ax²+c 将抛物线y=ax²沿x轴方向平移 个单位,得抛物线 轴方向平移h个单位 将抛物线y=ax²沿x轴方向平移h个单位,得抛物线 y=a(x-h)2 3 请说出二次函数 请说出二次函数y=2(x-3)2与抛物线 与抛物线y=2(x+3)2如何 由y=2x2 平移而来
y=2x2 +1
5 4. 3. 2. 1.
y=2x2
y=2(x-1)2+1
-3.
-2
-1
0. -1
1.
2.
3.
x
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联系: 联系 的图象向右平移1个 单位, 将函数 y=2x²的图象向右平移 个 单位 就得到 的图象向右平移 y=2(x-1)²的图象 的图象; 的图象 在向上平移2个单位 个单位, 的图象. 在向上平移 个单位 得到函数 y=2(x-1)²+1的图象 的图象 相同点: 图像都是抛物线 形状相同, 开口方向相同. 图像都是抛物线, 相同点 (1)图像都是抛物线 形状相同 开口方向相同 (2)都是轴对称图形 都是轴对称图形. 都是轴对称图形 (3)顶点都是最低点 顶点都是最低点. 顶点都是最低点 (4) 在对称轴左侧 都随 x 的增大而减小 在对称 在对称轴左侧,都随 的增大而减小,在对称 轴右侧,都随 的增大而增大. 轴右侧 都随 x 的增大而增大 (5)它们的增长速度相同 它们的增长速度相同. 它们的增长速度相同 不同点: 对称轴不同 对称轴不同. 顶点不同. 最小值不相同. 不同点 (1)对称轴不同 (2)顶点不同 (3)最小值不相同 顶点不同 最小值不相同
吗?
3.D 4. y3> y1 > y2
4.对于抛物线 对于抛物线y=a(x-3)2+b其中 对于抛物线 其中 a>0,b 为常数 点( 3 ,y1) 点 为常数,点 ( 5 ,y2)点(8,y3)在该抛物线上 在该抛物线上, 点 在该抛物线上 试比较y 试比较 1,y2,y3的大小 的大小
1)若抛物线 若抛物线y=-x2向左平移 个单位 再向 向左平移2个单位 个单位,再向 若抛物线 下平移4个单位所得抛物线的解析式是 下平移 个单位所得抛物线的解析式是 ________ 2)如何将抛物线 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移 如何将抛物线 经过平移 得到抛物线y=2x2 得到抛物线 3) 将抛 物线 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平 经过怎样的平 移得到抛物线y=2(x+2)2-1 移得到抛物线