微分方程的经济应用模型举例
D9_6 微分方程在经济分析中的应举例用
a1 (1 r )a0 x
第一个月还了x 还欠款(简称第一个月还欠款)
a1 (1 r )a0 x
类似地，第二个月还欠款： 第三个月还欠款：
a2 (1 r )a1 x
a3 (1 r )a2 x
依次下去，得到差分方程：
ak 1 (1 r )ak x
x( t ) kt C1 kt e C2e x( t )
x( t )
C2 e
kt kt
1 C2e
1 Ce
kt
五、市场动态均衡价格
例 设某商品的市场价格 P = P(t) 随时间 t 变动， 其需求函数为 Dd b aP ,(a, b 0) 供给函数为 Ds d cP ,(c, d 0) 又设价格 P 随时间 t 的变化率与超额需求 ( Dd Ds ) 成正比，求价格函数P = P(t) .
D Ce
P ln3
再由P 0, D 1200得，C 1200
D 1200 3
当 P = 1 元时，需求为
1
P
D 1200 3 400(公斤)
例 已知某厂的纯利润 L 对广告费 x 的变化 率与常数 A 和纯利润 L 之差成正比，当 x=0 时 L=L0.试求纯利润 L 与广告费 x 之间的关 系.
解 DP
P dD dD dP k D dP D P
三、市场价格与需求量的关系
积分得：
ln | D | k ln | P | C0
D Ce
k ln P
CP
k
例 某商品的需求量 D 对价格 P 的弹性为 DP
10-3微分方程的经济应用
1000 3 9 3
t 3
t 3
当放养6个月后鱼塘中鱼数
1000 3 2 y 500(条 ) 2 93
例 3 某商场销售成本 y 和存储费用 S 均是时间 t 的函数，随时间 t 的增长,销售成本的变化率等于 存储费用的倒数与常数 5 的和；而存储费用的变
1 化率为存储费用的 ，若当 t=0 时，销售成本 3
dy 2 81 改写为 y 2 dx x x
代入通解公式
y e
2 dx x
81 x2 dx ( 2 e dx C ) x
27 27 2 27 2 x ( C ) Cx 即：y e ( 3 C ) 3 x x x 1 又由x 1时y 27.5，解出C 2
解： 由 dx ( A x )
dt
dx 即 dt A x
解得 A x Ce t x A Ce t
t 0时，x 0代入得 CA
腐败数量与时间t的函数关系为
x A(1 e λ t )
例 7 某汽车公司在长期运营中发现每辆汽车的总维 修成本 y 随汽车大修的时间间隔 x 的变化率等于
掌握一类经济问题建立数学模型的方法：
1.理解函数关系； 2.建立微分方程； 3.确定初始条件； 4.求解.
2 ln x
即总维修成本 y与大修的时间间隔 x的函数关系为
27 1 2 y x x 2 27 令y 2 x 0解得x 3 x
54 因y 3 1 0, 故x 3时，y有最小值. x
即每辆汽车3年大修一次可使总维修成本最低.
例 8 某汽车公司的小汽车运行成本 y 及小汽车的转 卖值 S 均是时间 t 的函数.若随时间的增长，小汽车 的运行成本的变化率及转卖值的变化率分别为：
微分方程在经济模型中的应用
微分方程在经济模型中的应用引言：微分方程是数学中的一种重要工具，它描述了变化率与变量之间的关系。
在经济学中，微分方程被广泛应用于各种经济模型的建立和分析中。
本文将探讨微分方程在经济模型中的应用，并介绍其中的一些经典案例。
一、经济增长模型中的微分方程经济增长是一个国家或地区经济长期发展的过程，而微分方程能够帮助我们理解和预测经济增长的规律。
一个经典的经济增长模型是索洛模型，它描述了资本积累和技术进步对经济增长的影响。
该模型可以用如下的微分方程表示：dK/dt = sY - δK其中，K表示资本积累，Y表示产出，s表示储蓄率，δ表示资本耗损率。
该方程描述了资本积累的变化率与产出、储蓄率和资本耗损率之间的关系。
通过求解这个微分方程，我们可以得到资本积累随时间的变化情况，从而分析经济增长的趋势和速度。
二、消费函数模型中的微分方程消费函数是描述个人或家庭消费行为的数学模型。
在经济学中，消费函数通常被表示为一个微分方程。
一个经典的消费函数模型是凯恩斯消费函数，它描述了个人消费与收入之间的关系。
该模型可以用如下的微分方程表示：dy/dt = c - bY其中，Y表示个人收入，c表示消费的固定部分，b表示边际消费倾向。
该方程描述了个人收入的变化率与消费、收入和边际消费倾向之间的关系。
通过求解这个微分方程，我们可以得到个人收入随时间的变化情况，从而分析个人消费的趋势和规律。
三、货币供应模型中的微分方程货币供应是一个国家或地区货币总量的变化情况，而微分方程可以帮助我们建立货币供应模型并进行分析。
一个经典的货币供应模型是弗里德曼-斯图尔特模型，它描述了货币供应与货币基础、货币乘数和其他因素之间的关系。
该模型可以用如下的微分方程表示：dM/dt = m(dB/dt)其中，M表示货币供应，B表示货币基础，m表示货币乘数。
该方程描述了货币供应的变化率与货币基础的变化率和货币乘数之间的关系。
通过求解这个微分方程，我们可以得到货币供应随时间的变化情况，从而分析货币政策的效果和稳定性。
微分方程在经济增长模型中的应用
微分方程在经济增长模型中的应用在经济学中，微分方程是一种非常重要的数学工具，被广泛应用于经济增长模型的构建和分析中。
微分方程可以描述经济系统中的变化和发展，并给出变量之间的关系。
本文将探讨微分方程在经济增长模型中的应用及其重要性。
一、经济增长模型的背景介绍经济增长模型是一种描述一个国家或地区生产力如何随着时间推移而变化的数学模型。
这些模型通常使用一组微分方程来描述关键变量之间的关系。
其中最经典的经济增长模型是索洛增长模型，该模型是由经济学家罗伯特·索洛在20世纪50年代提出的。
索洛增长模型基于以下假设：经济是一个封闭的系统，生产函数具有一定的技术进步率，劳动力人口和储蓄率是恒定的。
这些假设使得模型更加简化和易于分析。
二、ABC经济增长模型为了更好地理解微分方程在经济增长模型中的应用，我们将介绍ABC经济增长模型。
该模型由三个关键变量表示：A表示总劳动力，B 表示资本存量，C表示产出。
这三个变量之间的关系可以用以下微分方程描述：dA/dt = nA - sABdB/dt = iC - (n + δ)BdC/dt = sABC - cC其中，dA/dt，dB/dt和dC/dt分别表示A、B和C关于时间t的变化率。
n表示劳动力人口的增长率，s表示储蓄率，i表示投资率，δ表示资本的折旧率，c表示消费比例。
通过解这组微分方程，我们可以获得关于A、B和C随时间变化的具体函数形式。
这些解可以帮助我们理解经济增长模型中各个变量的演变趋势，以及它们之间的相互作用。
同时，通过改变模型中的参数值，我们可以推断出不同政策或外部因素对经济增长的影响。
三、微分方程在经济增长模型中的重要性微分方程在经济增长模型中的应用具有重要意义。
首先，微分方程提供了一种描述经济系统演化的数学工具，使得我们能够更好地理解经济增长的本质和规律。
通过求解微分方程，我们可以从数学角度上证明模型中的关键变量的变化规律，而不仅仅是凭借经验和观察。
微分方程在经济学模型中的应用
微分方程在经济学模型中的应用在经济学领域中，微分方程是一种重要的数学工具，被广泛应用于各种经济学模型中。
微分方程的使用可以帮助经济学家对经济系统的变化进行建模和预测，从而帮助他们做出合理的决策。
本文将探讨微分方程在经济学模型中的应用，以及它对经济学研究的影响。
一、微分方程在宏观经济模型中的应用宏观经济模型用于描述国家或地区整体经济的运行状况和变化趋势。
这些模型通常包括多个变量，如国内生产总值（GDP）、通货膨胀率、失业率等。
微分方程提供了一种描述这些变量之间关系的数学方法。
以经济增长模型为例，我们可以用一个微分方程来描述GDP的增长速度。
假设GDP的增长率与人口增长率、资本投资率以及技术进步率相关，我们可以得到如下微分方程：\[ \frac{dGDP}{dt}=sGDP-kN \]其中，\( s \) 表示资本投资率，\( k \) 表示技术进步率，\( N \) 表示人口增长率。
通过解这个微分方程，我们可以得到GDP随时间的变化趋势，帮助决策者制定经济政策。
除了经济增长模型，微分方程还可以应用于宏观经济中的其他领域，如通货膨胀模型、货币政策模型等。
这些模型的建立离不开微分方程的支持，使经济学家能够更好地理解和解释经济现象。
二、微分方程在微观经济模型中的应用微观经济模型用于研究个体经济主体的决策与行为。
这些模型通常包括供给与需求、市场均衡以及消费者行为等变量。
微分方程在微观经济模型中同样发挥着重要的作用。
以供给与需求模型为例，我们可以通过微分方程描述市场价格随着时间的变化。
假设市场价格的变化率与供给量和需求量之间的差异有关，我们可以得到如下微分方程：\[ \frac{dp}{dt}=a(Q_s-Q_d) \]其中，\( p \)表示价格，\( Q_s \)表示供给量，\( Q_d \)表示需求量，\( a \)表示价格调整的速度。
通过解这个微分方程，我们可以推导出价格的变化轨迹，帮助市场参与者做出决策。
微分方程在经济学中的应用
第四节 微分方程在经济学中的应用微分方程在经济学中有着广泛的应用，有关经济量的变化、变化率问题常转化为微分方程的定解问题．一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型,即以所研究的经济量为未知函数，时间t 为自变量的微分方程模型，然后求解微分方程，通过求得的解来解释相应的经济量的意义或规律，最后作出预测或决策,下面介绍微分方程在经济学中的几个简单应用．一、 供需均衡的价格调整模型在完全竞争的市场条件下，商品的价格由市场的供求关系决定,或者说，某商品的供给量S 及需求量D 与该商品的价格有关,为简单起见，假设供给函数与需求函数分别为S =a 1+b 1P ， D =a -bP ,其中a 1，b 1，a ,b 均为常数，且b 1＞0,b ＞0;P 为实际价格．供需均衡的静态模型为⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=).()(,,11P S P D P b a S bP a D显然，静态模型的均衡价格为P e =11b b a a +-． 对产量不能轻易扩大，其生产周期相对较长的情况下的商品，瓦尔拉（Ｗalras ）假设：超额需求［D （P ）-S (P )］为正时,未被满足的买方愿出高价，供不应求的卖方将提价,因而价格上涨；反之,价格下跌，因此，t 时刻价格的变化率与超额需求D -S 成正比，即 tP d d =k (D -S ），于是瓦尔拉假设下的动态模型为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-=)].()([),(),(11P S P D k tP t P b a S t bP a D d d 整理上述模型得tP d d =λ（P e -P )， 其中λ=k （b +b 1)＞0，这个方程的通解为P （t ）=P e +C e -λt ．假设初始价格为P (0）=P 0,代入上式得，C =P 0-P e ，于是动态价格调整模型的解为P (t )=P e +(P 0-P e ）·e -λt ，由于λ＞0,故lim ()t P t →+∞=P e ．这表明,随着时间的不断延续，实际价格P (t )将逐渐趋于均衡价格P e ．二、 索洛（Solow ）新古典经济增长模型设Y (t )表示时刻t 的国民收入，K (t )表示时刻t 的资本存量，L (t ）表示时刻t 的劳动力，索洛曾提出如下的经济增长模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.),(),1,(),(0t L L t sY t K r Lf L K f Y λe d d 其中s 为储蓄率（s ＞0），λ为劳动力增长率（λ＞0)，L 0表示初始劳动力(L 0＞0),r =LK 称为资本劳力比，表示单位劳动力平均占有的资本数量．将K =rL 两边对t 求导，并利用t L d d =λL ，有rL tr L t L r t r L t K λ+=+=d d d d d d d d ． 又由模型中的方程可得tK d d =sLf (r ，1）， 于是有tr d d +λr =sf (r ,1)． (10-4-1) 取生产函数为柯布-道格拉斯（Cobb -Douglas)函数，即f (K ，L ）=A 0K αL 1-α＝A 0Lr α,其中A 0＞0,0＜α＜1均为常数．易知f （r ，1)=A 0r α，将其代入（10-4-1)式中得tr d d +λr =sA 0r α． （10-4-2） 方程两边同除以r α，便有r -αt r d d +λr 1-α=sA 0． 令r 1-α=z ,则tz d d =(1-α）λ-α t r d d ，上述方程可变为 tz d d +(1-α)λz =sA 0（1-α）． 这是关于z 的一阶非齐次线性方程,其通解为 z =C e -λ（1-α）t +0sA λ(C 为任意常数）． 以z =r 1-α代入后整理得 r （t )=ααλλ---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+110)1(sA C t e． 当t =0时，若r （0)=r 0，则有C =r 01-α－λs A 0． 于是有r （t ）= ααλαλλ----⎥⎦⎤⎢⎣⎡+110)1(010(sA A sr t )e -．因此, αλ-∞→=110)()(lim A s t r t ．事实上，我们在（10-4-2）式中，令tr d d =0,可得其均衡值r e =αλ-110)(A s . 三、 新产品的推广模型设有某种新产品要推向市场,t 时刻的销量为x (t ），由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，因此，t 时刻产品销售的增长率t x d d 与x （t ）成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N ,统计表明tx d d 与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N -x (t ）也成正比，于是有 tx d d =kx (N -x )， （10-4-3） 其中k 为比例系数，分离变量积分，可以解得x (t ）=kNtC N -+e 1 （10-4-4) 方程（10-4-3)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式(10-4-4)也称为逻辑斯谛曲线． 由t x d d =()221kNt kNtC k CN --+e e 以及22t x d d =()3231)1(kNt kNt kNt C C k CN ---+-e e e ， 当x (t ＊)＜N 时,则有t x d d ＞0，即销量x （t )单调增加．当x (t *）=2N 时，22t x d d =0；当x （t ＊）＞2N 时，22t x d d ＜0；当x （t *)＜2N 时，22t x d d ＞0．即当销量达到最大需求量N 的一半时,产品最为畅销，当销量不足N 一半时，销售速度不断增大,当销量超过一半时，销售速度逐渐减小．国内外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与公式(10-4-4）的曲线十分接近，根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传,而在产品用户达到20%到80％期间,产品应大批量生产,在产品用户超过80%时，应适时转产,可以达到最大的经济效益．习题10-41． 某公司办公用品的月平均成本C 与公司雇员人数x 有如下关系：C ′=C 2e -x -2C且C （0）=1,求C （x )．2． 设R =R （t ）为小汽车的运行成本，S =S （t ）为小汽车的转卖价值，它满足下列方程：R ′=Sa ， S ′=-bS ， 其中a ,b 为正的已知常数,若R （0）=0,S （0)=S 0（购买成本），求R (t ）与S （t ）．3． 设D =D (t ）为国民债务,Y =Y （t ）为国民收入，它们满足如下的关系：D ′=αY +β， Y ′=γY其中α,β,γ为正已知常数．（1) 若D (0)=D 0,Y (0）=Y 0,求D （t )和Y （t );(2） 求极限)()(lim t Y t D t +∞→． 4． 设C =C (t )为t 时刻的消费水平,I =I （t )为t 时刻的投资水平,Y =Y (t ）为t 时刻的国民收入，它们满足下列方程⎪⎩⎪⎨⎧>'=><<+=+=.0,,,,0,10,,为常数均为常数k C k I b a b a b aY C I C Y（1） 设Y (0)=Y 0，求Y (t ）,C (t )，I (t ）;(2) 求极限)()(lim t I t Y t +∞→ 5． 某养殖场在一池塘内养鱼,该池塘最多能养鱼5000条，鱼可以自然繁殖，因此鱼数y 是时间t 的函数y =y (t ），实验表明，其变化率与池内鱼数y 和池内还能容纳的鱼数(5000-y ）的乘积成正比，若开始放养的鱼为400条,两个月后池塘内鱼的数量为550条，求放养半年 后池塘内鱼的条数．。
一阶微分方程在经济学中的综合应用
五、关于国民收入、储蓄与投资的关系问题
例7 在宏观经济研究中 , 发现某地区的国民收入 y ,
国民储蓄 S 和投资 I 均是时间 t 的函数 . 且在任一时刻
t , 储蓄额 S( t ) 为国民收入 y( t ) 的1/10 倍 , 投资额 I( t )是
国民收入增长率 dy/dt 的 1/3 倍 . t = 0 时 , 国民收入为 5
由 P (0) = P0 , 得
Cຫໍສະໝຸດ P0a b
c d
P0
Pe
则特解为
P(t ) (P0 Pe )ek(bd )t Pe .
3. 讨论价格 P (t) 随时间的变化情况 .
由于 P0 Pe 为常数 , k (b + d ) > 0 , 故当 t + 时,
( P0 Pe )ek(bd )t 0 ,
e
t 3
5t
C1
,
由 y t 0 0 , 得 C1 3 10 , 从而销售成本与时间 t 的函
数关系为
y
3
t
e3 5t
3
.
10
10
四、公司的净资产分析
对于一个公司，它的资产的运营，我们可以把它简 化地看作发生两个方面的作用。一方面，它的资产可 以象银行的存款一样获得利息，另一方面，它的资产 还需用于发放职工工资。
(亿元) . 设在时刻 t 的储蓄额全部用于投资 , 试求国民
收入函数 .
解 由题意可知
S 1 y , I 1 dy ,
10
3 dt
由假设 , 时刻 t 的储蓄全部用于投资 , 那么 S = I , 于
微分方程数学模型应用举例
微分方程数学模型应用举例
1. 生物学模型：微分方程可以用于描述生物系统中的各种动态过程。
例如，Lotka-Volterra模型是一种描述捕食者和被捕食者之间相互作用的微分方程模型，可以用于研究食物链中物种的数量和相互关系。
2. 经济学模型：微分方程可以用于描述经济系统中的各种变化和趋势。
例如，Solow增长模型是一种描述经济增长和资本积累的微分方程模型，可以用于分析国家经济发展的长期趋势。
3. 物理学模型：微分方程可以用于描述物理系统中的各种动态过程。
例如，带有阻尼和驱动力的简谐振动可以用二阶线性常微分方程来描述，可以用于研究机械系统中的振动现象。
4. 化学反应动力学模型：微分方程可以用于描述化学反应中物质浓度随时间变化的关系。
例如，化学反应速率方程可以用一阶或二阶线性微分方程来描述，可以用于研究化学反应速率的变化规律。
5. 环境科学模型：微分方程可以用于描述环境系统中的各种变化和相互作用。
例如，Black-Scholes模型是一种描述金融市场中期权价格变化的微分方程模型，可以用于分析金融市场的波动和风险。
6. 工程科学模型：微分方程可以用于描述工程系统中的各种动态过程。
例如，控制系统中的传递函数可以用微分方程表示，可以用于研究系统的稳定性和响应特性。
这些只是微分方程在数学模型中的一些应用举例，实际上微分方程在各个学科领域中都有广泛的应用。
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微分方程的经济应用模型举例微分方程在不仅在物理学、力学上有广泛的应用，在经济学和管理科学等实际问题中也比比皆是，本节我们将集中讨论微分方程的经济应用。
读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决经济管理实际问题的魅力.分布图示★公司资产函数 ★逻辑斯谛方程 ★价格调整问题 ★人才分配问题模型★差分方程在经济学中的应用内容要点一、公司资产函数 例。
某公司t 年净资产有)(t W (百万元), 并且资产本身以每年5%的速度连续增长, 同时该公司每年要以300百万元的数额连续支付职工工资.(1) 给出描述净资产)(t W 的微分方程;(2) 求解方程, 这时假设初始净资产为;0W(3) 讨论在700,600,5000=W 三种情况下, )(t W 变化特点.解 (1) 利用平衡法，即由净资产增长速度＝资产本身增长速度－职工工资支付速度 得到所求微分方程 .3005.0-=W dtdW(2) 分离变量，得.05.0600dt W dW=-两边积分，得 11(ln 05.0|600|ln C C t W +=-为正常数），于是 ,|600|05.01teC W =- 或 ).(600105.0C C Ce W t±==-将0)0(W W =代入，得方程通解： .)600(60005.00teW W -+=上式推导过程中,600≠W 当600=W 时，0=dtdW知 ,)600(60005.00t e W W -+= ,6000W W ==通常称为平衡解，仍包含在通解表达式中.(3) 由通解表达式可知，当5000＝W 百万元时，净资产额单调递减，公司将在第36年破产；当6000＝W 百万元时，公司将收支平衡，将资产保持在600百万元不变；当7000＝W 百万元时，公司净资产将按指数不断增大.二、 逻辑斯谛方程:逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型, 下面我们借助树的增长来建立该模型.一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度,又与最大高度与目前高度之差成正比.设树生长的最大高度为H (m), 在t (年)时的高度为h (t ), 则有)]()[()(t h H t kh dtt dh -= (8.2) 其中0>k 是比例常数. 这个方程为Logistic 方程. 它是可分离变量的一阶常数微分方程.下面来求解方程(8.2). 分离变量得,)(kdt h H h dh=-两边积分,)(⎰⎰=-kdt h H h dh得 ,)]ln([ln 11C kt h H h H+=-- 或,21k H t H C k H t e C e hH h==-+ 故所求通解为,11)(22kHtkHt kHt CeH e C He C t h -+=+= 其中的⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>==-0112H C e C C C 是正常数. 函数)(t h 的图象称为Logistic 曲线. 图8-8-1所示的是一条典型的Logistic 曲线, 由于它的形状, 一般也称为S 曲线. 可以看到, 它基本符合我们描述的树的生长情形. 另外还可以算得.)(lim H t h t =+∞→这说明树的生长有一个限制, 因此也称为限制性增长模式.注: Logistic 的中文音译名是“逻辑斯谛”. “逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”, 因此许多现象本质上都符合这种S 规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染、在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.下面举两个例子说明逻辑斯谛的应用.人口阻滞增长模型 1837年, 荷兰生物学家V erhulst 提出一个人口模型00)(),(y t y by k y dtdy=-= (8.3)其中b k ,的称为生命系数.我们不详细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.有生态学家估计k 的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得,2=b 从而估计得:(1)世界人口总数将趋于极限107.6亿. (2)到2000年时世界人口总数为59.6亿.后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿. 新产品的推广模型 设有某种新产品要推向市场, t 时刻的销量为),(t x 由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t 时刻产品销售的增长率,dtdx与)(t x 成正比, 同时, 考虑到产品销售存在一定的市场容量N , 统计表明dtdx与尚未购买该产品的潜在顾客的数量)(t x N -也成正比, 于是有)(x N kx dtdx-=(8.4)其中k 为比例系数. 分离变量积分, 可以解得kNtCe Nt x -+=1)((8.5)由,)1()1(,)1(2322222kNt kNt kNt kNt kNt Ce Ce e N Ck dt x d Ce ke CN dt dx -----+-=+= 当N t x <)(*时, 则有,0>dt dx 即销量)(t x 单调增加. 当2)(*N t x =时, ;022=dtx d 当2)(*N t x >时, ;022<dtxd 当2)(*N t x <时, 即当销量达到最大需求量N 的一半时, 产品最为畅销, 当销量不足N 一半时, 销售速度不断增大, 当销量超过一半时, 销售速度逐渐减少.国内外许多经济学家调查表明. 许多产品的销售曲线与公式(8.5)的曲线(逻辑斯谛曲线)十分接近. 根据对曲线性状的分析, 许多分析家认为, 在新产品推出的初期, 应采用小批量生产并加强广告宣传, 而在产品用户达到20%到80%期间, 产品应大批量生产; 在产品用户超过80%时, 应适时转产, 可以达到最大的经济效益.三、价格调整模型例 如果设某商品在时刻t 的售价为P , 社会对该商品的需求量和供给量分别是P 的函数),(),(P S P D 则在时刻t 的价格)(t P 对于时间t 的变化率可认为与该商品在同时刻的超额需求量)()(P S P D -成正比, 即有微分方程)0()]()([>-=k P S P D k dtdP(1.3) 在)(P D 和)(P S 确定情况下, 可解出价格与t 的函数关系，这就是商品的价格调整模型. 在本章第一节例3已经假设, 某种商品的价格变化主要服从市场供求关系. 一般情况下,商品供给量S 是价格P 的单调递增函数, 商品需求量Q 是价格P 的单调递减函数, 为简单起见, 分别设该商品的供给函数与需求函数分别为P P Q bP a P S βα-=+=)(,)( (8.6)其中βα,,,b a 均为常数, 且.0,0>>βb当供给量与需求量相等时, 由(8.6)可得供求平衡时的价格baP e +-=βα 并称e P 为均衡价格.一般地说, 当某种商品供不应求, 即Q S <时, 该商品价格要涨, 当供大于求, 即Q S >时, 该商品价格要落. 因此, 假设t 时刻的价格)(t P 的变化率与超额需求量S Q -成正比, 于是有方程)]()([P S P Q k dtdP-= 其中,0>k 用来反映价格的调整速度.将(8.6)代入方程, 可得)(P P dtdPe -=λ (8.7) 其中常数,0)(>+=k b βλ方程(8.7)的通解为t e Ce P t P λ-+=)(假设初始价格,)0(0P P =代入上式, 得,0e P P C -=于是上述价格调整模型的解为t e e e P P P t P λ--+=)()(0由于0>λ知, +∞→t 时, .)(e P t P →说明随着时间不断推延, 实际价格)(t P 将逐渐趋近均衡价格e P .四、人才分配问题模型每年大学毕业生中都要有一定比例的人员留在学校充实教师队伍, 其余人员将分配到国民经济其他部门从事经济和管理工作. 设t 年教师人数为),(1t x 科学技术和管理人员数目为),(2t x 又设1外教员每年平均培养α个毕业生, 每年人教育、科技和经济管理岗位退休、死亡或调出人员的比率为βδδ),10(<<表示每年大学生毕业生中从事教师职业所占比率),10(<<δ于是有方程111x x dt dx δαβ-= (8.8) 212)1(x x dtdx δβα--= (8.9) 方程(8.8)有通解t e C x )(11δαβ-=(8.10)若设,)0(101x x =则,101x C =于是得特解tex x )(101δαβ-= (8.11) 将(8.11)代入(8.9)方程变为te x x dtdx )(1022)1(δαββαδ--=+ (8.12) 求解方程(8.12)得通解t te x eC x )(122)1(δαβδββ---+= (8.13)若设,)0(202x x =则,110202x x C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=ββ于是得特解 tt ex e x x x )(101020211δαβδββββ--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= (8.14) (8.11)式和(8.14)式分别表示在初始人数分别为)0(),0(21x x 情况, 对应于β的取值, 在t 年教师队伍的人数和科技经济管理人员人数. 从结果看出, 如果取,1=β即毕业生全部留在教育界, 则当∞→t 时, 由于,δα>必有+∞→)(1t x 而,0)(2→t x 说明教师队伍将迅速增加. 而科技和经济管理队伍不断萎缩, 势必要影响经济发展, 反过来也会影响教育的发展. 如果将β接近于零. 则,0)(1→t x 同时也导致,0)(2→t x 说明如果不保证适当比例的毕业生充实教师选择好比率β, 将关系到两支队伍的建设, 以及整个国民经济建设的大局.五、追迹问题设开始时甲、乙水平距离为1单位, 乙从A 点沿垂直于OA 的直线以等速0v 向正北行走; 甲从乙的左侧O 点出发, 始终对准乙以)1(0>n mv 的速度追赶. 求追迹曲线方程, 并问乙行多远时, 被甲追到.解 设所求追迹曲线方程为).(x y y =经过时刻t , 甲在追迹曲线上的点为),,(y x P 乙在点).,1(0t v B 于是有,1tan 0xyt v y --='=θ (8.15) 由题设, 曲线的弧长OP 为,1002t nv dx y x='+⎰解出t v 0代入(8.15), 得.11)1(02⎰'+=+'-x dx y ny y x 两边对x 求导, 整理得.11)1(2y ny x '+=''- 这就是追迹问题的数学模型.这是一个不显含y 的可降阶的方程, 设p y x p y ''=''='),(, 代入方程得211)1(p np x +='- 或 ,)1(12x n dxp dp -=+两边积分, 得|,|ln |1|ln 1)1ln(12C x np p +--=++即 .1112nxC p p -=++ 将初始条件00||==='x x p y 代入上式, 得.11=C 于是,1112nxy y -='++' (8.16)两边同乘,12y y '+-'并化简得,112n x y y --='+-' (8.17)(8.16)与(8.17)式相加, 得,11121⎪⎭⎫ ⎝⎛---='n n x x y两边积分, 得.)1(1)1(121211C x n n x n ny nn nn +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++---=+- 代入初始条件0|0==x y 得,122-=n nC 故所求追迹曲线方程为 ),1(11)1(1)1(2211>-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+-=-+n n n n x n x n y n n n n甲追到乙时, 即曲线上点P 的横坐标,1=x 此时.12-=n n y 即乙行走至离A 点12-n n个单位距离时被甲追到.五、差分方程在经济学中的应用采用与微分方程完全类似方法，我们可以建立在经济学中的差分方程模型，下面举例说明其应用.1.“筹措教育经费”模型某家庭从现在着手, 从每月工资中拿出一部分资金存入银行, 用于投资子女的教育, 并计算20年后开始从投资账户中每月支取1 000元, 直到10年后子女大学毕业并用完全部资金. 要实现这个投资目标, 20年内要总共筹措多少资金? 每月要在银行存入多少钱? 假设投资的月利率为0.5%, 为此, 设第t 个月, 投资账户资金为,t a 每月存资金为b 元, 于是20年后, 关于,t a 的差分方程模型为1000)005.1(1-=+t t a a (9.11)且.,00120x a a ==2. 价格与库存模型本模型考虑库存与价格之间的关系设)(t P 为第t 个时段某类产品的价格, )(t L 为第t 个时段的库存量. L 为该产品的合理库存量. 一般情况下, 如果库存量超过合理库存, 则该产品的售价要下跌, 如果库存量低于合理库存, 则该产品售价要上涨, 于是有方程)(1t t t L L k P P -=-+ (9.13)其中k 为比例常数.3. 国民收入的稳定分析模型本模型主要讨论国民收入与消费和积累之间的关系问题.设第t 期内的国民收入t y 主要用于该期内的消费t G , 再生产投资t I 和政府用于公共设施的开支G (定为常数), 即有G I C y t t t ++= (9.17)又设第t 期的消费水平与前一期的国民收入水平有关, 即)10(1<<=-A Ay C t t (9.18)第t 期的生产投资应取决于消费水平的变化, 即有)(1--=t t t C C B I (9.19)由方程(9.17), (9.18), (9.19)合并整理得G BAy y B A y t t t =++---21)1( (9.20)于是, 对应A , B , G 以及,,0y y 可求解方程, 并讨论国民收入的变化趋势和稳定性.。