复变函数与积分变换傅立叶变换
复变函数与积分变换傅里叶变换
未来研究可以进一步探索傅 里叶变换在不同领域的应用 ，例如在金融、经济、生物 信息学等领域的应用，以及 与其他数学工具的结合使用 。
此外，随着数学理论的发展 ，可以进一步深入研究傅里 叶变换的性质和性质，例如 探讨其与分形、混沌等数学 概念的联系，以及在数学物 理等领域的应用前景。
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定义
将一个实数域的函数转换为复数域的 函数，通过引入复数平面上的无穷积 分来定义。
应用
在控制工程、信号处理等领域有广泛 应用，用于求解线性常微分方程和偏 微分方程。
积分变换的性质和应用
线性性质
积分变换具有线性性质，即对于两个函数 的和或差，其积分变换结果等于各自积分
变换结果的线性组合。
频移性质
对于频率域的平移，其积分变换结果也相 应平移。
原函数
具有导数的函数。
不定积分
计算函数图像下的面积。
03 积分变换
傅里叶积分与傅里叶变换
傅里叶积分
通过将周期函数表示为无穷级数，将 复杂的函数分析问题转化为简单的正 弦和余弦函数的线性组合问题。
傅里叶变换
将时间域的函数转换为频率域的函数 ，揭示了函数在时间域和频率域之间 的内在联系。
拉普拉斯变换
时移性质
对于函数在时间上的平移，其积分变换结 果也相应平移。
应用
积分变换在信号处理、控制系统、电磁场 等领域有广泛应用，用于求解各种数学物 理问题。
04 傅里叶变换
傅里叶变换的ห้องสมุดไป่ตู้义与性质
傅里叶变换的定义
将一个函数表示为无穷多个不同频率的正弦和余弦函 数的叠加。
傅里叶变换的性质
线性性质、位移性质、尺度性质、微分性质、积分性 质等。
第七章 傅立叶变换
T 2
j nwt
j mwt *
pe
-
p 这是因为
j( n - m )
1 j( n - m ) d e j( n - m) -p 1 j( n - m )p - j( n - m )p [e -e ] j( n - m) 1 - j( n - m )p j 2 ( n - m )p e [e - 1] 0 j( n - m)
为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即 a
T 2 T 2
fT (t ) cos nwt d t T
-
T 2
0
2
2
cos nwt d t
am T cos mwt cos nwt d t
m 1 n
2
T 2
bm T sin mwt cos nwt d t
1复变函数与积分变换第七章傅立叶变换第七章傅立叶变换71傅立叶积分与傅立叶积分定理72傅氏变换与傅氏逆变换73单位脉冲函数75傅氏变换的性质一傅里叶fourier级数展开71傅立叶积分与傅立叶积分定理在工程计算中无论是电学还是力学经常要和随时间而变的周期函数ftt打交道
复变函数与积分变换
第七章 傅立叶变换
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期 内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内 函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都 可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷 (Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上
复变函数与积分变换课件8.1 傅立叶变换的概念
代入 (A) 式并整理得
fT
(t)
a0 2
(an
n1
2
jbn
e jnω0t
an
2
jbn
e
jnω0t
).
13
§8.1 Fourier 变换的概念
第 一、周期函数的 Fourier 级数
八 章
5. Fourier 级数的指数形式
傅 推导 立
fT
(t)
a0 2
(an
0 20 30 40
arg F (nω0 )
40 30 20 0
O
0 20 30 40
17
§8.1 Fourier 变换的概念
第
fT (t)
八 章
2
傅
立
叶
变 换
解
基频
ω0
2π T
1.
O 2
t
(1) 当 n = 0 时，
c0 F(0)
1 T
T /2
叶 非常特殊的物理意义。 变
换
因此，Fourier 变换不仅在数学的许多分支中具有重要
的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。
Fourier 变换是在周期函数的 Fourier 级数的基础上发 展起来的。在微积分课程中已经学习了Fourier 级数的有关 内容，因此本节将先简单地回顾一下 Fourier 级数展开。
第 八
第八章
Fourier 变换
章
傅 §8.1 Fourier 变换的概念
立 叶
§8.2 单位冲激函数
变 换
§8.3 Fourier 变换的性质
浙江大学宁波理工学院复变函数与积分变换-第6章(傅里叶变换)
cn
1 T
T
2 T
2
fT (t)e jn0t dt
1 T
T
2 T
fT (t)e jntdt, n 0, 1, 2, 3,...
2
这里n n0.这样傅里叶级数可写为：
傅里叶级数的复指
fT (t) c0 (cne jnt cne jnt )
cne jnt .
数形式。称为连续
n1
信息科n学 与工程学院傅里叶级数变换
SCHOOL OF INFORMATION SCIENCE AND ENGINEERING
复变函数与 积分变换
§6.1 傅里叶变换的概念
傅里叶级数
傅里叶级数的物理含义
在傅里叶级数的三角形式fT
(t)
a0 2
1829年狄利克雷第一个给出了收敛条件。
信息科学与工程学院
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复变函数与 积分变换
§6.1 傅里叶变换的概念
傅里叶级数
傅里叶级数的三角形式
[定理]设周期为T的实值函数fT
(t
)在[
T 2
,
T 2
]上满足狄利克雷条件：(1)连续或只有
在复变函数各章节中 采用i作为虚数单位， 而在积分变换中一般 采用j作为虚数单位
信息科学与工程学院
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复变函数与 积分变换
§6.1 傅里叶变换的概念
傅里叶级数
傅里叶级数的复指数表示
1 T
复变函数与积分变换傅里叶变换
f (z) ln(z 1) ln(z 2) f (z) ln(z 1) ln(z2 2)
ln(z k) k 1
ln(zk k) k 1
1. 周期函数的傅里叶展开
周期为 2l 的函数 f(x) 满足 f (x 2l) f (x)
要通过三角函数表示 f(x)，则必须a. 改变三角函 数的周期为 2l。b. 组合各种周期的三角函数来表 现 f(x)。这就是傅里叶级数。
设 g(x) 为周期函数，有如下傅里叶展开
g ( x)
a0 2
+
{ak
k 1
cos
k x
l
bk
sin
k x}.
l
令：
k
k
l
,
k
k
k1
l
,
则
g(x) a0 l
2
+
{ak cos k x bk sin k x}k .
k 1
(2.1)
ak
1 l
l l
f ( ) cosk d ,
bk
d x 0
sinc(x) d x 2
例2
求指数衰减函数f
(t)
0, et ,
t 0的傅氏变换及其 t0
积分表达式,其中 0.
F () f (t) eitd t
ete jtd t
0
e( i )td t
0
1
i
i 2 2
f (t) 1
2
F () e jtd 1
(x)
a0 2
{ak
k 1
cos
k x
l
bk
sin
k x}.
l
此为傅里叶级数展开.
复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换
解. 由Fourier变换的定义
F (w) F [ f (t)] f (t) e-iw td t -
1 e-iw t d t e-iwt 1 2sinw
-1
-iw -1
w
再求F(w)的Fourier逆变换即得 f(t)的积分表达式,
f (t) F -1[F (w)] 1 F (w) eiwtd w
1
1/2
t
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程技术中，除了连续分布量之外， 还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、 质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处的单位脉冲.
设矩形电流脉冲：
(t
)
1
/
0
0t
其它
- (t)dt 1
(t)
1/
O
t
lim
0
(
t
)
0
t 0 t 0
引进狄拉克(Dirac)的函数,
i
-
f
( ) sin w(t
-
)d
dw
1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
由
f (t) 1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
可得
f (t) 1
p
0
-
f ( ) cosw(t
-
)
d
d
w
(1.6)
傅氏积分公式的三角形式
-
)
d
d
复变函数与积分变换 第7章 傅里叶变换
e it e it e it e it 由欧拉公式 : cost , sint 2 2i
因此，傅里叶级数可表 以示成 a0 e inwt e inwt e inwt e inwt fL( t ) an bn 2 n 1 2 2i a0 a n ibn inwt a n ibn inwt e e . 2 n 1 2 2
n
c e
n
inwt
L L , t , 2 2 n 0 ,1 ,2 , .
其中系数为 1 L/ 2 cn F ( t )e inwt dt , L L / 2
这样，在一个长为 L的 区 间 上 我 们 得 到 函 F 数 (t ) 的 一 个 正 弦 函 数 类 表 .示 当L越 大 时 ， FL ( t )与F ( t ) 相 等 的 范 围 也 越 大 ，以 可猜 测 当 L 时 ， 周 期 函 数FL ( t )的 极 限 为 F ( t ),即 是 limFL ( t ) F ( t ).
2
0
F (t ) sin tdt
F (t ) F (t )
2
0
GS ( ) sin td ——傅里叶正弦变换 GC ( ) cos td ——傅里叶余弦变换
0
注：1.当 F (t ) 为奇(偶)函数时,傅里叶变换可以用
正(余)弦来表示
注：2.当 F (t ) 仅定义于 0, 且满足傅里叶变换
下 面 我 们 研 究 非 周 期数 函的 一 个 类 似 的 表 示 问 题. 为 了 方 便 ， 我 们 假 设 周 非期 函 数 F ( t )在 区 间( , )内 连 续 、 可 积 ， 且 绝 可 对积 ， 考 虑区间（ L / 2, L / 2 ） , 则F ( t )在 此 区 间 上 有 三 角级数表示 F( t )
复变函数与积分变换期末总结
复变函数与积分变换期末总结复变函数与积分变换是数学中重要的课程内容，对于理解和应用数学、物理、工程等领域都具有重要意义。
在这门课程中，我学习了复数、复变函数的性质和运算，并通过积分变换掌握了解析函数的积分和导数。
在期末总结中，我将对复变函数与积分变换的主要内容进行回顾和总结。
首先，我们先来介绍复数和复平面。
复数是由实部和虚部组成的数，通常用z = x + yi的形式表示。
其中，z是复数，x和y分别是实部和虚部。
我们可以将复数表示为在复平面上的点，实部与x坐标对应，虚部与y坐标对应。
复平面上的数可以进行加法、减法、乘法和除法的运算，这些运算保持了复数域的封闭性。
接着，我们讨论复变函数及其性质。
复变函数是将复数映射到复数的函数，即f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)分别是实部和虚部函数。
我们可以用几何矢量的形式表示复变函数，即f(z) =f(x + yi) = u(x, y) + iv(x, y) = ，f(z)，e^(iθ)。
其中，f(z)，表示复变函数的模，θ表示复变函数的幅角。
复变函数的导数和积分是复变函数研究的重要内容。
如果一个函数在其中一点处的导数存在，则称该函数在该点处可导。
在复分析中，复变函数的导数定义为极限的形式，即f'(z) = lim[(f(z+h)-f(z))/h]，其中h是一个趋近于0的复数。
利用导数的定义以及复变函数局部线性的特点，可以推导出复变函数的柯西-黎曼条件。
柯西-黎曼条件表示为∂u/∂x =∂v/∂y，∂v/∂x = -∂u/∂y。
满足柯西-黎曼条件的函数是解析函数。
通过解析函数的导数，我们可以得到解析函数的积分公式。
解析函数的积分只与积分路径有关，与路径的起点和终点无关。
这个性质称为路径独立性。
我们可以利用路径独立性，通过积分公式计算一些复变函数的实际积分。
积分公式包括柯西定理和柯西积分公式等。
柯西定理表示为∮ f(z)dz = 0，其中沿着封闭路径的积分等于0。
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：22zx y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换公式
复变函数与积分变换公式1.复数复数是由实数和虚数组成的数，记作z=a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i2=-1。
复数的共轭是指将复数中的虚部取相反数，即z*=a-bi。
2.复变函数复变函数是定义在复平面上的函数，即将复数作为自变量和函数值的函数。
设f(z)是复变函数，其中z=x+iy是复数，x和y是实数，则f(z)可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(xy)，其中u(xy)和v(xy)都是实函数，分别称为f(z)的实部和虚部。
3.欧拉公式欧拉公式是数学中的一个重要公式，它描述了复数和三角函数之间的关系。
欧拉公式可以表示为e^ix=cos(x)+isin(x)，其中e 是自然对数的底数，i是虚数单位，x是实数。
4.柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是描述复变函数的重要方程，它表明如果一个复变函数f(z)在某个区域内连续且可微分，那么它满足柯西-黎曼方程。
柯西-黎曼方程可以表示为:дu/дx=дv/дyдu/ду=-дv/дx其中u(xy)和v(xy)分别是f(z)的实部和虚部。
二、积分变换公式1.傅里叶变换傅里叶变换是一种重要的积分变换，它可以将一个函数在时间域内的积分转换为频率域内的积分。
傅里叶变换可以表示为:F(w)=∫f(t)e^(-jwt)dtf(t)=1/2π∫F(w)e^(jwt)dw其中F(w)是f(t)的傅里叶变换，f(t)是函数在时间域内的表示，w是频率，j是虚数单位。
2.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种常用的积分变换，它可以将一个函数在时间域内的积分转换为复平面内的积分。
拉普拉斯变换可以表示为:F(s)=∫f(t)e^(-st)dtf(t)=1/2πj[F(s)e^(st)ds其中F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，f(t)是函数在时间域内的表示，s是复数。
3.Z变换Z变换是一种离散的积分变换，它可以将一个离散函数在时间域内的积分转换为复平面内的积分。
Z变换可以表示为:F(z)=∑f(n)z^(-n)f(n)=1/2πj∫F(z)z^n-1dz其中F(z)是f(n)的Z变换，f(n)是离散函数在时间域内的表示，z是复数。