实数精讲笔记

3
17 4 27
10 2 27
17 4 27
=
3
64 27
4 =3
（2 ）
3
=
3
125 5 = 27 3
评析：解这类题时，当被开方数是负数时，一般先利用 立方根的性质 a = a 进行化简；当被开方数 很复杂时，必须先进行整理后再求值。
3
3
知识点三：实数
• 1. _______________________ 叫做实数。 • 2.____________和__________统称实数。 • 3.实数与数轴上的点是__________________ 的。 • 4.数a的相反数是_____________,一个正实数 的绝对值是_________,一个负实数的绝对值是 ____________,0的绝对值是_____________.
正 性 数
0 质 负 数
没有平方根
有一个立方根，也是负数
开 方
表 示
求一个数的平方根的运算叫 求一个数的立方根的运算 开平方；开平方与平方是互 叫开立方；开立方与立方 是互逆运算。 逆运算。 ± a 其中a 是被开方数， 3 a ，其中a 是被开方数，
2是根指数（省略）
3是根指数（不能省略）
1 ；立方根为 1 (1)1 的平方根是± ____ ____ ；算术 平方根为_ 1 _．
知识点二：立方根
1.一般地，如果 ___________________________,那么这 个数叫做a的___________或________,这 就是说，如果x3=a那么_____-叫做 _______的立方根。 2.___________________________叫做 开立方，______________和__________ 是互逆运算。
按性质分类：
实数
正实数 正有理数 正无理数
负实数
0
负实数 负有理数
正实数
负无理数
0
1.你能把无理数 在数轴上表示出 来吗
2
-2
-1
0
1
2
每一个无理数都能在数轴上表示出来.
数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数.
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来， 数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的 点是一一对应的。
任何一个有理数都能写成有限小数或无限循环小数的形式 反过来任何有限小数或无限循环小数也都是有理数；
π、 2
是有理数吗？
（开方开不尽的数；含有 π的数；有规律 但不循环的数；）
1.填空： 任意实数a的相反数是 （
-a ）
a ﹥0
a =a
a =0 a =-a
3
任意实数a的绝对值是
a=0 a﹤0
2.求下列个数的相反数和绝对值. 2.5 -
（3）我们把求立方根的运算称之为 开立方.
（ 4）
根指数
3
a
a的取值范围是全体实数
被开方数
它与立方运算是互逆的
把下列式子表示出来 （1） 8 的立方根
3
8
3
（2） - 64 的立方根
64
(3) 0的立方根 3
0
立方根的特征:
（1）任何一个数 a 都只有一个立方根
（2）一个正数有一个正的立方根；
在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内 的相反数、绝对值的意义完全一样。
π π 的相反数是_______
0的相反数是_______
2
的相反数是_______源自文库
- 2
0
2 2 = ______
π - π = ______
0 = ____ 0
a是一个实数，它的相反数为 -a 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的 绝对值是它的相反数；0的绝对值是0
练习
0 ． (2)平方根是它本身的数是____
0，±1 _． (3)立方根是其本身的数是___ (5) 3 (8)2 的立方根为 4
(6)
3
(4)算术平方根是其本身的数是__ 0，1 __． .
-8 512 的立方根为_____
求下列各式的值：
10 3 2 （1 ）27
解：（1）3
（2 ）
一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零。
讨论:你能归纳出平方根和立方根的异同点吗?
平方根 定 义 如果一个数的平方等于a， 有两个平方根， 互为相反数 有一个平方根，是0 立方根 如果一个数的立方等于a，
那么这个数就叫a的平方根。 那么这个数就叫a的立方根. 有一个立方根，也是正数 有一个立方根，是0
7
π
0
2
－8
按定义分类：
整数
有理数：
实 数
有限小数或无限循环小数
分数
开方开不尽的数
无理数：
含有
无限不循环小数
π 的数
有规律但不循环的数
1.判断下列说法是否正确； （1）无限小数都是无理数.（ × ） 例如：0.33… （2）无理数都是无限小数.（ × ）
（3）带根号的数都是无理数.（ × ）
课堂练习一
3.一个数a的立方根，用符号________表 示，读作_______,其中a是_________3 是________中的3_____________.
4.正数的立方根是_________,负数的立方 根是_______0的立方根是________
（1）若一个数的立方等于a,那么这个数叫 做 a 的立方根. 1、立方根的定义： 3 （2）a 的立方根记为： a
2.你能把下列各数分别填在相应的集合中吗？ 3 3.1415926， 7 ，0.6，-8， 3 ， 36 ，0，π， 22 0.191191119...... 7
（每相邻两个9之间依次多 一个1）
3.1415926，0.6 ，
22 -8 ， 36 ，0，π 7
有理数集合
7，
3
3
，
0.191191119...... 无理数集合