初中数学《有理数》课外拓展训练题附参考答案
人教版七年级数学上册《有理数相关概念》专题训练-附参考答案
人教版七年级数学上册《有理数相关概念》专题训练-附参考答案目录正数和负数 ...................................................................................................................................... 1 有理数概念及其分类 ...................................................................................................................... 2 有理数的分类 .................................................................................................................................. 2 有理数的应用 .................................................................................................................................. 5 数轴的定义 ...................................................................................................................................... 8 数轴上表示有理数 .......................................................................................................................... 9 数轴上表示有理数（带字母） .................................................................................................... 10 数轴的性质 .................................................................................................................................... 12 数轴上的应用 ................................................................................................................................ 13 相反数的定义 ................................................................................................................................ 15 相反数的性质 ................................................................................................................................ 15 相反数与数轴 ................................................................................................................................ 16 绝对值的定义 ................................................................................................................................ 17 含字母的绝对值化简 .................................................................................................................... 18 非负性 ............................................................................................................................................ 20 绝对值求值 (21)【例1】在数1- 0 3.05- π- 2+ 12-中 负数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：在数1- 0 3.05- π- 2+ 12-中 负数有1- 3.05- π- 12- 共4个．故选：D ．【变式训练1】中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．某仓库运进小麦6吨 记为6+吨 那么仓库运出小麦8吨应记为( )吨． A ．8+B ．8-C ．8±D ．2-【解答】解：仓库运进小麦6吨 记为6+吨∴仓库运出小麦8吨应记为8-吨故选：B ．【变式训练2】若收入3元记为3+ 则支出2元记为( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：由题意知 收入3元记为3+ 则支出2元记为2- 故选：A ．【变式训练3】冬残奥会举办最理想的温度是17C ︒-至10C ︒ 若10C ︒表示零上10C ︒ 那么17C ︒-表示()A ．零上17C ︒B ．零上27C ︒C ．零下17C ︒D ．零下17C ︒-【解答】解：17C ︒-表示零下17C ︒ 故选：C ．【例2】下列各数中属于负整数的是( ) A ．0B ．3C ．5-D ． 1.2-【解答】解：A 0为整数 故选项不符合题意B 3为负正整数 故选项不符合题意C 5-为负整数 故选项符合题意D 1.2-为负分数 故选项不符合题意．故选：C ．【变式训练1】在 3.5- 227 0.161161116⋯ 2π中 有理数有( )个． A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：A 3.5-是负分数 故是有理数B227是正分数 故为有理数 C 0.161161116⋯是无限不循环小数 是无理数 故不是有理数D2π是含有π的数 是无理数 故不是有理数 所以有理数有两个 故选：B ． 【变式训练2】在122- 3.5+ 0 0.7- 5 13-中 负分数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：在122- 3.5+ 0 0.7- 5 13-中负分数有0.7- 13- 共有2个故选：B ．【变式训练3】下列说法中 正确的是( ) A ．正有理数和负有理数统称有理数 B ．正分数 零 负分数统称分数 C ．零不是自然数 但它是有理数 D ．一个有理数不是整数就是分数【解答】解：A ．正有理数 零和负有理数统称有理数 故本选项不合题意B ．正分数和负分数统称分数 故本选项不合题意C ．零是自然数 也是有理数 故本选项不合题意D ．一个有理数不是整数就是分数 说法正确 故本选项符合题意．故选：D ．有理数的分类 有理数的分类：①按定义 有理数可分为：②按正 负 有理数可分为：【例3】将下列各数填在相应的圆圈里： 6+ 8- 75 0.4- 0 23%37 2006- 1.8- 34-．【解答】解：如图：【变式训练1】把下列各数分别填在相应的集合内：11- 4.8 73 2.7-163.141592634-73正分数集合：{ 4.8 163.141592673}⋯负分数集合：{}⋯非负整数集合：{}⋯非正整数集合：{}⋯．【解答】解：正分数集合：{4.8163.14159267}3⋯负分数集合：{2.7-3} 4-⋯非负整数集合：{730}⋯非正整数集合：{11-0}⋯．故答案为：4.8 163.1415926732.7 -3 4 -73 011-【变式训练2】把下列各数分别填入相应的集合里．224- 5 3.14 π3-0.15．（1）整数集合：{0 5 3-...}（2）分数集合：{...}（3）有理数集合：{...}（4）非负数集合：{...}．【解答】解：（1）整数集合：{0 5 3...}-（2）分数集合：22{4- 3.14 0.15...}（3）有理数集合：{0224- 5 3.14 3-0.15...}（4）非负数集合：{0 5 3.14 π0.15...}．故答案为：0 5 3-224- 3.14 0.150224- 5 3.14 3-0.150 5 3.14 π0.15．【变式训练3】把下列各数分别填入相应的集合：6+0 8-π 4.8-7-2270.658-．整数集合{6+0 8-7-}分数集合{}正有理数集合{}负有理数集合{}非负有理数集合{}自然数集合{}．【解答】解：整数集合{6+0 8-7}-分数集合{4.8-2270.65}8-正有理数集合{6+2270.6}负有理数集合{8- 4.8-7-5} 8 -非负有理数集合{6+0 2270.6}自然数集合{6+0}．故答案为：6+0 8-7- 4.8-2270.658-6+2270.6 8- 4.8-7-58-6+02270.6 6+有理数的应用【例4】某工艺厂计划一周生产工艺品2800个平均每天生产400个但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正减产记为负）:（2）已知该厂实行每周计件工资制每生产一个工艺品可得70元若超额完成任务则超过部分每个另奖60元少生产一个扣100元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额．【解答】解：（1）计划一周生产工艺品2800个=++--+-+-=（个)∴这周生产的数量2800(6261611158)2810（2）由（1）可知本周比计划多生产10个=⨯+⨯=（元)．∴这一周应付出的工资2810706010197300【变式训练1】A水果超市最近新进了一批百香果每斤进价10元为了合理定价在第一周试行机动价格卖出时每斤以15元为标准超出15元的部分记为正不足15元的部分记为负超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况：）第一周星期三超市售出的百香果单价为15元这天的利润是元．（2）第一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）（3）超市为了促销这种百香果决定从下周一起推出两种促销方式：方式一：购买不超过5斤百香果每斤20元超出5斤的部分每斤降价4元方式二：每斤售价17元．林老师决定下周在A水果超市购买40斤百香果通过计算说明应选择上述两种促销方式中的哪种方式购买更省钱．【解答】解：（1）卖出时每斤以15元为标准表格中的数据表示超出15元的部分记为正不足15元的部分记为负∴星期三超市售出的百香果单价为15元这天的利润是10(1510)50⨯-=（元)故答案为：15（2）12023501013021555450225⨯-⨯+⨯-⨯+⨯+⨯-⨯=-（元)-⨯++++++=⨯=（元)(1510)(2035103015550)5165825-+=（元)(225)825600所以第一周超市出售此种百香果盈利600元（3）方式一：205(405)(204)660⨯+-⨯-=（元)方式二：4017680⨯=（元)660680<∴选择方式一购买更省钱．【变式训练2】体育课上某小组的8名男同学进行了100米测验达标成绩为15秒下表是这个小组8名男生的成绩记录(“+“表示成绩大于15秒）．（2）这个小组男生的达标率为多少？（3）这个小组男生的平均成绩是多少秒？【解答】解：（1）15 1.213.8-=（秒)．故这个小组男生的最好成绩是13.8秒（2）6100%75%8⨯=．故这个小组男生的达标率为75%（3）0.60.8 1.20.900.60.40.32-+--++--=-15(2)814.75+-÷=（秒)．答：这个小组男生的平均成绩是14.75秒．【变式训练3】某粮仓原有大米148吨某一周该粮仓大米的进出情况如下表：（当天运进大米8吨记作8+吨：当天运出大米8吨记作8-吨．)运进或运出大米多少吨？（2）若大米进出库的装卸费用为每吨15元求这一周该粮仓需要支付的装卸总费用．【解答】解：（1）14832262316262198m-+--++-=解得10m=-．答：星期五该粮仓是运出大米运出大米10吨（2）|32|26|23||16||10|26|21|154-++-+-+-++-=154152310⨯=（元)．答：这一周该粮仓需要支付的装卸总费用为2310元．【例5】如图是一些同学在作业中所画的数轴其中画图正确的是() A．B．C．D．【解答】解：A刻度不均匀故错误B正确C数据顺序不对故错误D没有正方向故错误．故选：B．【变式训练1】在下列图中正确画出的数轴是()A．B．C．D．【解答】A单位长度不一致故该选项不符合题意B有原点正方向单位长度故该选项符合题意C没有原点故该选项不符合题意D没有正方向故该选项不符合题意．故选：B．【变式训练2】如图所示下列数轴的画法正确的是()A．B．C．D．【解答】解：A单位长度不一致故此选项不符合题意B缺少原点故此选项不符合题意C规定了原点单位长度正方向的直线叫做数轴故此选项符合题意D缺少正方向故此选项不符合题意故选：C．【变式训练3】下列各图是四位同学所画的数轴其中正确的是() A．B．C．D．【解答】解：A选项中数轴缺少原点A∴选项不合题意B选项单位长度不一致B∴选项正确C选项中负方向1-和2-标错了C∴选项不合题意D选项中符合数轴的三要素D∴选项不合题意．故选：D．【例6】如图数轴上一个点被叶子盖住了这个点表示的数可能是() A．2.3B． 1.3-C．3.7D．1.3【解答】解：叶子盖住的点位于2和3之间四个选项中的数只有2.3这个适合这个位置故选：A．【变式训练1】如图在数轴上有M N两点则两点表示的数字之和不可能()A ．2B ．4-C ． 3.45-D ．7-【解答】解：设点M N 在数轴上所表示的数为m n 且0n m << 由于点N 离原点的距离比点M 到原点的距离要大0m n ∴<<-0m n ∴+< 即两点表示的数字之和不可能为正数．故选：A ．【变式训练2】数32-在数轴上的位置可以是( )A ．点A 与点B 之间 B ．点B 与点O 之间C ．点O 与点D 之间 D ．点D 与点E 之间【解答】解：302-< 是负数∴在原点左侧3212-<-<-∴数32-在数轴上的位置可以是点A 与点B 之间 故选：A ．【变式训练3】如图 点A 是数轴上一点 则点A 表示的数可能为( )A ． 1.5-B ． 2.5-C ．2.5D ．1.5【解答】解：根据图示可得点A 表示的数在2-和1-之间 四个选项中只能是 1.5-． 故选：A ．【例7】如图 数轴上A B 两点所对应的有理数分别为a 和b 则a b -的结果可能是( )A ．1-B ．1C ．2D ．3【解答】解：由图可知 210.51b a -<<-<<<a b ∴-的结果可能是C ．故选：C ．【变式训练1】如图 点A B C D 四个点在数轴上表示的数分别为a b c d 则下列结论中 错误的是( )A ．0a c +<B ．0b a ->C ．0ac >D ．0b d< 【解答】解：根据数轴上点的位置得：0a b c d <<<< ||||||||c b d a <<<0a c ∴+< 0b a -> 0ac <0bd<． 故选：C ．【变式训练2】有理数a b c 在数轴上所对应的点如图所示 则下列结论正确的是( )A ．0a b +>B ．0a b ->C ．0a c +<D ．0b c +>【解答】解：由数轴可知0b c a c b <-<<<<-A 0a b +< 故A 不符合题意．B 0a b -> 故B 符合题意．C 0a c +> 故C 不符合题意．D 0b c +< 故D 不符合题意．故选：B ．【变式训练3】如图 若数轴上A B 两点对应的有理数分别为a b 则a b +的值可能是( )A ．2B ．1C ．1-D ．2-【解答】解：由图可知 32a -<<- 12b <<a b ∴+的结果可能是1-．故选：C ．【例8】一只蚂蚁沿数轴从原点向右移动了3个单位长度到达点A则点A表示的数是() A．3B．3-C．0D．3±【解答】解：由题意知蚂蚁沿数轴从原点向右移动了3个单位长度到达点A首先点A表示的数是正数又与原点相距三个单位长度∴点A表示的数是3故选：A．【变式训练1】下列各数在数轴上所对应的点与原点的距离最远的是()A．2B．1C． 1.5-D．3-【解答】解：A．2到原点的距离是2个长度单位不符合题意B．1到原点的距离是1个长度单位不符合题意C． 1.5-到原点的距离是1.5个长度单位不符合题意D．3-到原点的距离是3个长度单位符合题意∴在数轴上所对应的点与原点的距离最远的点表示的数是3-．故选：D．【变式训练2】数轴上表示数为a和4a-的点到原点的距离相等则a的值为() A．2-B．2C．4D．不存在【解答】解：由题意知：a与4a-互为相反数40a a∴+-=解得：2a=．故选：B．【变式训练3】如图A B C D E为某未标出原点的数轴上的五个点且AB BC CD DE===则点C所表示的数是()A．2B．7C．11D．12【解答】解：17(3)20AE=--=又AB BC CD DE===AB BC CD DE AE+++=154DE AE ∴== D ∴表示的数是17512-= C 表示的数是17527-⨯=故选：B ． 数轴上的应用【例9】如图 点O 为数轴的原点 点A B 均在数轴上 点B 在点A 的右侧 点A 表示的数是5-65AB OA =．（1）求点B 表示的数（2）将点B 在数轴上平移3个单位 得到点C 点M 是AC 的中点 求点M 表示的数．【解答】解：（1）65AB OA = 5OA =6AB ∴=651BO AB AO ∴=-=-=则点B 表示的数是1（2）当点B 向左平移时 3CB =∴点C 表示的数是2-点M 是AC 的中点∴点M 表示的数是5(2)3.52-+-=- 当点B 向右平移时 3CB =C ∴表示的数是4点M 是AC 的中点M ∴表示的数是54122-+=- 所以点M 表示的数是 3.5-或12-．【变式训练1】在今年720特大洪水自然灾害中 一辆物资配送车从仓库O 出发 向东走了4千米到达学校A 又继续走了1千米到达学校B ．然后向西走了9千米到达学校C 最后回到仓库O ．解决下列问题：（1）以仓库O 为原点 以向东为正方向 用1个单位长度表示1千米 画出数轴．并在数轴上表示A BC 的位置（2）结合数轴计算：学校C 在学校A 的什么方向 距学校A 多远？（3）若该配送车每千米耗油0.1升 在这次运送物资回仓的过程中共耗油多少升？ 【解答】解：（1）如图（2）4(4)8--=（千米）答：学校C 在学校A 的西边 距学校8A 千米 （3）419418+++=（千米）180.1 1.8⨯=（升)答：共耗油1.8升．【变式训练2】出租车司机小刘某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的 如果规定向北为正 向南为负 他这天上午的行程是（单位：千米）:12+ 8- 10+ 13- 10+ 12- 6+ 15- 11+14-．（1）将最后一名乘客送达目的地时 小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ （2）若汽车耗油量为0.6升/千米 出车时 邮箱有油67.4升 若小张将最后一名乘客送达目的地 再返回出发地 问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油 请说明理由．【解答】解：（1）(12)(8)(10)(13)(10)(12)(6)(15)(11)(14)13++-+++-+++-+++-+++-=-（千米）． 答：小张距上午出发点的距离是13千米 在出发点的南方 （2）(12810131012615111413)0.674.4++++++++++⨯=（升)74.467.47-=（升)答：需要加油 要加7升油．【变式训练3】如图 已知数轴上点O 是原点 点A 表示的有理数是2- 点B 在数轴上 且满足3OB OA =．（1）求出点B 表示的有理数（2）若点C 是线段AB 的中点 请直接写出点C 表示的有理数． 【解答】解：（1）3OB OA = 2AO =326OB ∴=⨯=当点B 在点A 的左侧时 点B 表示的数为6- 当点B 在点A 的右侧时 点B 表示的数为6 综上 点B 表示的有理数是6±．（2）当点B 在点A 的左侧时 点C 表示的有理数为：|6(2)|22242-----=--=- 当点B 在点A 的右侧时|6(2)|222---=故点C 表示的有理数为4-或【例10】2022的相反数是( ) A ．2022-B ．2022C ．12022D ．12022-【解答】解：2022的相反数是2022-． 故选：A ．【变式训练1】23-的相反数是( )A ．32-B ．32C ．23 D ．23-【解答】解：23-的相反数是：23．故选：C ．【变式训练2】相反数等于它本身的数是( ) A ．1B ．0C ．1-D ．0或1±【解答】解：相反数等于它本身的数是 故选：B ．【变式训练3】一个数的相反数是最大的负整数 则这个数为( ) A ．1- B ．0C ．1D ．不存在这样的数【解答】解：最大的负整数是1- 根据概念 (1-的相反数）(1)0+-= 则1-的相反数是1 故选：C ．【例11】若1x -与2y -互为相反数 则2022()x y -= ． 【解答】解：1x -与2y -互为相反数 120x y ∴-+-= 1x y ∴-=-∴原式2022(1)1=-=．故答案为：【变式训练1】若m n 为相反数 则(2021)m n +-+为 2021- ． 【解答】解：m n 为相反数0m n ∴+=(2021)(2021)2021m n m n ∴+-+=++-=-．故答案为：2021-．【变式训练2】若a b 互为相反数 则(2)a b --的值为 2- ． 【解答】解：因为a b 互为相反数 所以0a b +=所以(2)22022a b a b a b --=-+=+-=-=-． 故答案为：2-．【变式训练3】若a b 互为相反数 则(4)a b +-的值为 4- ． 【解答】解：由题意得：0a b +=． (4)4044a b a b ∴+-=+-=-=-．故答案为：4-．相反数与数轴【例12】数轴上点A 表示3- B C 两点所表示的数互为相反数 且点B 到点A 的距离为 3 则点C 所表示的数应是 ．【解答】解：设B 点表示的数是x |(3)|3BA x =--=解得0x =或6x =-∴点B 表示0或6-由B C 两点所表示的数互为相反数 得C 点表示的数是0或6故答案为：0或【变式训练1】如图 数轴上表示数2的相反数的点是( )A ．点NB ．点MC ．点QD ．点P【解答】解：2的相反数是2- 点N 表示2-∴数轴上表示数2的相反数的点是点N ．故选：A ．【变式训练2】已知数轴上A B 两点间的距离是6 它们分别表示的两个数a b 互为相反数()a b > 那么a = b = ． 【解答】解：a b 互为相反数 ||||a b ∴=A B 两点间的距离是6||||3a b ∴==a b > 3a ∴= 3b =-．故答案为：3 3-．【变式训练3】一个数在数轴上表示的点距原点3个单位长度 且在原点的左边 则这个数的相反数是 ．【解答】解：设此数是x 则||3x = 解得3x =±． 此数在原点左边∴此数是3- 3-的相反数是3故答案为：3绝对值的定义【例13】3-的绝对值是( )A ．13-B ．3C ．13D ．3-【解答】解：|3|3-=． 故选：B ．【变式训练1】有理数2- 12- 0 32中 绝对值最大的数是( )A ．2-B ．12-C ．0D ．32【解答】解：2-的绝对值是2 12-的绝对值是12 0的绝对值是0 32的绝对值是32．312022>>> 2∴-的绝对值最大．故选A ．【变式训练2】在3- 0.3 0 13这四个数中 绝对值最小的数是( ) A ．3-B ．0.3C ．0D ．13【解答】解：|3|3-= |0.3|0.3= |0|0= 11||33=100.333<<<∴绝对值最小的数是故选：C ．【变式训练3】下列说法中正确的是( ) A ．两个负数中 绝对值大的数就大 B ．两个数中 绝对值较小的数就小 C ．0没有绝对值D ．绝对值相等的两个数不一定相等【解答】解：两个负数比较 绝对值越大 对应的数越小A ∴选项不合题意B 选项不合题意0的绝对值为0 C ∴选项不合题意绝对值相等的两个数可能相等 也可能互为相反数D ∴选项正确故选：D ．【例14】有理数x y 在数轴上对应点如图所示：（1）在数轴上表示x - ||y （2）试把xy 0 x - ||y 这五个数从小到大用“<”号连接（3）化简：||||||x y y x y +--+． 【解答】解：（1）如图（2）根据图象 0||x y y x -<<<<（3）根据图象 0x > 0y < 且||||x y >0x y ∴+> 0y x -<||||||x y y x y ∴+--+ x y y x y =++--y =．【变式训练1】有理数a b c 在数轴上的位置如图：（1）判断正负 用“>”或“<”填空：b c - < 0 b a - 0 c a - （2）化简：||||||b c b a c a -+---．【解答】解：（1）观察数轴可知：0a b c <<<0b c ∴-< 0b a -> 0c a ->．故答案为：< > >．（2）0b c -< 0b a -> 0c a ->||||||0b c b a c a c b b a c a ∴-+---=-+--+=．【变式训练2】有理数a b c 在数轴上的位置如图（1）判断正负 用“>”或“<”填空：c b - > 0 a b + 0 a c - （2）化简：||||2||c b a b a c -++--．【解答】解：（1）由图可知 0a < 0b > 0c > 且||||||b a c <<0c b -> 0a b +< 0a c -<故答案为：> < <（2）原式[()][2()]c b a b a c =-+-+---22c b a b a c =---+- 2a b c =--．【变式训练3】已知a b c 三个数在数轴上对应点如图 其中O 为原点 化简|||2|||||b a a b a c c ---+--．【解答】解：根据数轴可得0c b a <<<|||2|||||(2)()20b a a b a c c a b a b a c c a b a b a c c ∴---+--=---+---=--++-+=．【例15】若|3||5|0x y ++-= 那么的值是多少？ 【解答】解：由题意得 30x += 50y -= 解得3x =- 5y = 所以 352x y +=-+= 答：x y +的值是【变式训练1】已知|3||5|0a b -++= 求： （1）a b +的值 （2）||||a b +的值．【解答】解：|3||5|0a b -++=30a ∴-= 50b += 3a ∴= 5b =-（1）3(5)2a b +=+-=- （2）|||||3||5|358a b +=+-=+=．【变式训练2】如果|3|a -与|5|b +互为相反数 求a b -的值． 【解答】解：|3|a -与|5|b +互为相反数|3||5|0a b ∴-++=又|3|0a - |5|0b +30a ∴-= 50b +=解得3a = 5b =-3(5)358a b ∴-=--=+=．【变式训练3】已知|2||2|0x y x -+-= 求20202019x y -的值．【解答】解：|2||2|0x y x -+-=20x ∴-= 20y x -=2x ∴= 1y =则202020192020220192021x y -=⨯-=．绝对值求值【例16】已知||3a = ||5b = 且a b > 求2b a -的值．【解答】解：因为||3a = ||5b =所以3a =或3- 5b =或5-．又因为a b >所以3a =或3- 5b =-①当3a = 5b =-时252311b a -=--⨯=-．②当3a =- 5b =-时252(3)1b a -=--⨯-=．综上所述：2b a -的值为11-或【变式训练1】已知||3x = ||7y =．（1）若x y < 求x y +的值（2）若0xy < 求x y -的值．【解答】解：由题意知：3x =± 7y =±（1）x y <3x ∴=± 7y =10x y ∴+=或 4（2）0xy <3x ∴= 7y =-或3x =- 7y =10x y ∴-=±1．如果向东走5米记作：“5+” 那么向西走8米记作( )A ．8+B ．8-C ．5+D ．5- 【解答】解：向东走5米记作5+米∴向西走8米记作8-米．故选：B ．2．如果水库的水位高于正常水位2m 时 记作2m + 那么低于正常水位3m 时 应记作( )A ．3+ mB ．3- mC ．13+ mD ．13- m 【解答】解：如果水库的水位高于正常水位2m 时 记作2m + 那么低于正常水位3m 时 应记作3m -． 故选：B ．3．下面两个数互为相反数的是( )A ．3-和(3)-+B ．|2|-和|2|C ．712和127D ．14和0.25- 【解答】解：A (3)3-+=- 所以两数相等 不合题意B |2|2-= |2|2= 所以两数相等 不合题意C 712127不互为相反数 不合题意 D10.254= 所以互为相反数 符合题意． 故选：D ．4．在0.2 (5)-- 1|2|2-- 15% 0 35(1)⨯- 22- 2(2)--这八个数中 非负数有( ) A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个【解答】解：0.20> (5)0--> 15%0> 00=是非负数故选：A ．5．在一次数学活动课上 某数学老师在4张同样的纸片上各写了一个正整数 从中随机取2张 并将它们上面的数相加 重复这样做 每次所得的和都是5 6 7 8中的一个数 并且这4个数都能取到 根据以上信息 下列判断正确的是( )A ．四个正整数中最小的是1B ．四个正整数中最大的是8C ．四个正整数中有两个是2D ．四个正整数中一定有3【解答】解：相加得5的两个整数可能为：1 4或2 3．相加得6的两个整数可能为：1 5或2 4或3 3．相加得7的两个整数可能为：1 6或2 5或3 4．相加得8的两个整数可能为：1 7或2 6或3 5或4 4．每次所得两个整数和最小是5∴最小两个数字为2 3每次所得两个整数和最大是8∴最大数字为4或5当最大数字为4的时四个整数分别为2 3 4 4．当最大数字为5时四个整数分别为2 3 3 5．∴四个正整数中一定有3．故选：D．6．点M N P和原点O在数轴上的位置如图所示点M N P表示的有理数为a b c（对应顺序暂不确定）．如果0>那么表示数c的点为()+>ab acbc<0b cA．点M B．点N C．点P D．点O【解答】解：0bc<∴c异号b+>b c所以M表示b c中的负数P表示其中的正数所以M表示数c．这样也符合条件ab ac>故选：A．7．一辆货车从超市出发向东走了3km到达小彬家继续向东走了1.5km到达小颖家然后向西走了9.5km到达小明家最后回到超市．小明家距小彬家()km．A．4.5B．6.5C．8D．13.5【解答】解：由题意画图如下：∴小明家距小彬家9.5 1.58()km -=故选：C ．8．下列各组数中 互为相反数的是( )A ．43和34-B ．13和0.333-C ．14和4D ．a 和a -【解答】解：A 43和34- 虽然符号相反 但是绝对值不相等 所以它们不是相反数 故A 错误 B13和0.333- 符号相反 但绝对值不相等 所以它们不是相反数 故B 错误 C 14和4 符号相同 所以它们不是相反数 故C 错误 D a 和a - 符号相反 绝对值相等 所以它们互为相反数 故D 正确．故选：D ．9．在现代生活中 手机微信支付已经成为一种新型的支付方式．如果微信零钱收入100元记为100+元 那么微信零钱支出36元记为 36-元 ．【解答】解：如果微信零钱收入100元记为100+元 那么微信零钱支出36元记为36-元．故答案为：36-元．10．温度升高1C ︒记为1C ︒+ 气温下降9C ︒记为 9C ︒- 【解答】解：温度升高1C ︒记为1C ︒+∴气温下降9C ︒记为：9C ︒-．故答案为：9C ︒-．11．把25%化成小数是 0.25 ．【解答】解：把25%化成小数是：0.25故答案为：0.25．12．定义：对于任意两个有理数a b 可以组成一个有理数对(,)a b 我们规定(,)1a b a b =+-．例如(2,5)2512-=-+-=．根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对(2,1)-= 0（2）当满足等式(5,32)5x m -+=的x 是正整数时 则m 的正整数值为 ．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式2(1)1110=+--=-=．故答案为：0（2）已知等式化简得：53215x m -++-= 解得：1123m x -= 由x m 都是正整数 得到1129m -=或1123m -=解得：1m =或4．故答案为：1或4．13．测量一幢楼的高度 七次测得的数据分别是：79.8m 80.6m 80.4m 79.1m 80.3m 79.3m 80.5m ．（1）以80为标准 用正数表示超出部分 用负数表示不足部分 写出七次测得数据对应的数（2）求这七次测量的平均值（3）写出最接近平均值的测量数据 并说明理由．【解答】解：（1）若以80为标准 用正数表示超出部分 用负数表示不足部分 他们对应的数分别是： 0.2- 0.6+ 0.4+ 0.9- 0.3+ 0.7- 0.5+（2）80(0.20.60.40.90.30.70.5)780()m +-++-+-+÷=答：这七次测量的平均值是80m ．（3）参考（1）可得：因为|0.2|0.2-= 在七次测得数据中绝对值最小所以绝对值最接近80m 的测量数据为79.8m答：最接近平均值的测量数据为79.8m ．14．暴雨天气 交通事故频发 一辆警车从位于一条南北走向的主干道上的某交警大队出发 一整天都在这条主干道上执勤和处理事故 如果规定向北行驶为正 这辆警车这天处理交通事故行车的里程（单位：千米）如下：4+ 5- 2- 3- 6+ 3- 2- 7+ 1+ 7- 请问：（1）第几个交通事故刚好发生在某交警大队门口？（2）当交警车辆处理完最后一个事故时 该车辆在哪个位置？（3）如果警车的耗油量为每百千米12升 那么这一天该警车从出发值勤到回到交警大队共耗油多少升？【解答】解：（1）(4)(5)(2)(3)(6)0++-+-+-++=∴第5个交通事故刚好发生在某交警大队门口（2）(4)(5)(2)(3)(6)(3)(2)(7)(1)(7)4++-+-+-+++-+-+++++-=-∴当交警车辆处理完最后一个事故时 该车辆在交警大队南边4千米的位置（3）12(|4||5||2||3||6||3||2||7||1||7||4|) 5.28100++-+-+-+++-+-+++++-+-⨯=（升) 答：这一天该警车从出发值勤到回到交警大队共耗油5.28升．15．已知下列各数：5-13 4 0 1.5- 5 133 12-．把上述各数填在相应的集合里： 正有理数集合：{ 13 4 5 133}⋯ 负有理数集合：{ }⋯分数集合：{ }⋯．【解答】解：大于0的有理数称为正有理数 ∴正有理数有13 4 5 133小于0的有理数称为负有理数∴负有理数有5- 1.5- 12- 正分数和负分数都是分数 且小数也是分数 ∴分数有131.5- 133 12-． 故答案为134 5 133 5- 1.5- 12- 13 1.5- 133 12-．。
人教版七年级数学上《有理数、数轴》拓展训练
《有理数、数轴》拓展训练一、选择题1．下列说法：（1）﹣3.56既是负数、分数，也是有理数；（2）正整数和负整数统称为整数；（3）0是非正数；（4）﹣2014既是负数，也是整数，但不是有理数；（5）自然数是整数．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如果一对有理数a，b使等式a﹣b＝a•b+1成立，那么这对有理数a，b叫做“共生有理数对”，记为（a，b），根据上述定义，下列四对有理数中不是“共生有理数对”的是（）A．（3，）B．（2，）C．（5，）D．（﹣2，﹣）3．已知下列各数：﹣3.147，32.8，+3，﹣19，0，8.02，﹣0.12112112…，π中，正有理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．在﹣（﹣），﹣1，0，﹣42，﹣（﹣1）3，﹣（23﹣8）这几个有理数中，负数的个数是（）A．1B．2C．3D．45．如图，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距一个单位长度，点A、B、C、D对应的数分别为整数a、b、c、d，且d﹣2a＝3，试向：数轴上的原点在哪一点上？（）A．点A B．点B C．点C D．点D6．如图，A、B、C三点在数轴上所表示的数分别为a、b、c，根据图中各点位置，下列各式正确的是（）A．（a﹣1）（b﹣1）＞0B．（c﹣1）（b﹣1）＞0C．（a+1）（b+1）＜0D．（c+1）（b+1）＜07．已知有理数a，b，c，d在数轴上对应的点如图所示，每相邻两个点之间的距离是1个单位长度．若3a＝4b﹣3，则c﹣2d为（）A．﹣3B．﹣4C．﹣5D．﹣68．已知a、b在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b从小到排列正确的一组是（）A．﹣a＜﹣b＜a＜b B．﹣b＜﹣a＜a＜b C．﹣b＜a＜b ＜﹣a D．a＜﹣b＜b＜﹣a9．点A1，A2，A3，…，A n（n为正整数）都在数轴上，点A1在原点O的左边，且A1O＝1；点A2在点A1的右边，且A2A1＝2；点A3在点A2的左边，且A3A2＝3；点A4在点A3的右边，且A4A3＝4；…，依照上述规律，点A2018，A2019所表示的数分别为（）A．2018，﹣2019B．1009，﹣1010C．﹣2018，2019D．﹣1009，1010 10．如图，M，N，P，Q，R分别是数轴上五个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN＝NP＝PQ＝QR＝1．数a对应的点在N与P之间，数b对应的点在Q与R之间，若|a|+|b|＝3，则原点可能是（）A．M或Q B．P或R C．N或R D．P或Q二、填空题11．把下列各数填在相应的大括号内：15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，π，1.负分数集合{…}非负整数集合{…}．12．定义：A＝{b，c，a}，B＝{c}，A∪B＝{a，b，c}，若M＝{﹣1}，N＝{0，1，﹣1}，则M∪N＝{}．13．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如，，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如＝+，＝+，＝+，…，请你根据对上述式子的观察，把表示为两个单位分数之和应为．14．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D 对应的数分别为整数a、b、c、d，且d﹣2a＝4，则数轴的原点对应的字母是．15．数轴上100个点所表示的数分别为a1、a2、a3…、a100，且当i为奇数时，a i+1﹣a i＝2，当i为偶数时，a i+1﹣a i＝1，①a5﹣a1＝；②若a100﹣a11＝2m﹣6，则m＝．16．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位．（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，经过秒M与点N相距54个单位；（2）若点M、N、P同时都向右运动，经过秒点P到点M，N的距离相等．三、解答题17．把下列各数填在相应的集合内：100，﹣99%，π，0，﹣2008，﹣2，5.2，，6，，﹣0.3，1.020020002…18．已知快递公司坐落在一条东西走向的街道上，某快递员从快递公司取件后在这条街道上送快递，他先向东骑行1千米到达A店，继续向东骑行2千米到达B店，然后向西骑行5千米到达C店，最后回到快递公司．（1）以快递公司为原点，以向东方向为正方向，用1厘米表示1千米，画出数轴，并在数轴上表示出A，B，C三个店的位置．（2）C店离A店有多远？（3）快递员一共骑行了多少千米？19．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别是1、﹣1、﹣2，E是线段BC的中点，点P从点A出发，向左运动，速度是每秒0.3个单位，设运动的时间是t秒．（1）点E表示的数是；（2）在t＝3，t＝4这两个时间中，使点P更接近原点O的时间是哪一个？（3）若点P分别在t＝8，t＝n两个不同的位置时，到点E的距离完全一样，求n的值；（4）设点M在数轴上表示的数是m，点N在数轴上表示的数是n，式子的值可以体现点M和点N之间距离的远近，这个式子的值越小，两个点的距离越近．20．如图，在数轴上点A表示的有理数为﹣6，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度在数轴上由A向B运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）（1）求t＝1时点P表示的有理数；（2）求点P与点B重合时的t值；（3）在点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，求点P与点A的距离；（用含t的代数式表示）（4）当点P表示的有理数与原点的距离是3个单位长度时，直接写出所有满足条件的t值．《有理数、数轴》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题1．下列说法：（1）﹣3.56既是负数、分数，也是有理数；（2）正整数和负整数统称为整数；（3）0是非正数；（4）﹣2014既是负数，也是整数，但不是有理数；（5）自然数是整数．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）﹣3.56既是负数、分数，也是有理数，正确；（2）正整数和负整数统称为整数，错误，还有0；（3）0是非正数，正确；（4）﹣2014既是负数，也是整数，但不是有理数，错误，﹣2014是有理数；（5）自然数是整数，正确．正确的有3个，故选：C．【点评】本题考查了有理数的分类，解决本题的关键是熟记有理数的分类．2．如果一对有理数a，b使等式a﹣b＝a•b+1成立，那么这对有理数a，b叫做“共生有理数对”，记为（a，b），根据上述定义，下列四对有理数中不是“共生有理数对”的是（）A．（3，）B．（2，）C．（5，）D．（﹣2，﹣）【分析】利用题中的新定义判断即可．【解答】解：A、由（3，），得到a﹣b＝，a•b+1＝+1＝，不符合题意；B、由（2，），得到a﹣b＝，a•b+1＝+1＝，不符合题意；C、由（5，），得到a﹣b＝，a•b+1＝+1＝，不符合题意；D、由（﹣2，﹣），得到a﹣b＝﹣，a•b+1＝+1＝，符合题意，故选：D．【点评】此题考查了有理数，弄清题中的新定义是解本题的关键．3．已知下列各数：﹣3.147，32.8，+3，﹣19，0，8.02，﹣0.12112112…，π中，正有理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据有理数的定义，可得答案．【解答】解：32.8，+3，8.02正有理数，故选：B．【点评】本题考查了有理数，有理数是有限小数或无限不循环小数．4．在﹣（﹣），﹣1，0，﹣42，﹣（﹣1）3，﹣（23﹣8）这几个有理数中，负数的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】先化简，再根据负数的定义，即可解答．【解答】解：﹣（﹣）＝，﹣42，＝﹣16，﹣（﹣1）3＝，﹣（23﹣8）＝﹣（8﹣8）＝0，在﹣（﹣），﹣1，0，﹣42，﹣（﹣1）3，﹣（23﹣8）这几个有理数中，负数有：﹣1，﹣42，共2个，故选：B．【点评】本题考查了有理数，解决本题的关键是熟记有理数的分类．5．如图，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距一个单位长度，点A、B、C、D对应的数分别为整数a、b、c、d，且d﹣2a＝3，试向：数轴上的原点在哪一点上？（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】由图可知D点与A点相隔三个单位长度，即d﹣a＝3；又已知d﹣2a＝3，可解得d＝3，a＝0，即A为原点．【解答】解：∵由图可知D点与A点相隔三个单位长度，且点A、B、C、D对应的数分别为整数a、b、c、d，∴d﹣a＝3①，又∵d﹣2a＝3②，∴由①②可解得d＝，3，a＝0，即A为原点．故选：A．【点评】此题主要考查了数轴知识点，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．6．如图，A、B、C三点在数轴上所表示的数分别为a、b、c，根据图中各点位置，下列各式正确的是（）A．（a﹣1）（b﹣1）＞0B．（c﹣1）（b﹣1）＞0C．（a+1）（b+1）＜0D．（c+1）（b+1）＜0【分析】根据数轴得出c＜﹣1＜0＜a＜1＜b，求出a﹣1＜0，b﹣1＞0，c﹣1＜0，a+1＞0，b+1＞0，c+1＜0，再根据有理数的运算法则判断即可．【解答】解：∵从数轴可知：c＜﹣1＜0＜a＜1＜b，∴a﹣1＜0，b﹣1＞0，c﹣1＜0，a+1＞0，b+1＞0，c+1＜0，∴（a﹣1）（b﹣1）＜0，（c﹣1）（b﹣1）＜0，（a+1）（b+1）＞0，（c+1）（b+1）＜0，∴只有选项D正确；选项A、B、C都错误，故选：D．【点评】本题考查了数轴和有理数的运算法则，能根据数轴得出c＜﹣1＜0＜a ＜1＜b是解此题的关键．7．已知有理数a，b，c，d在数轴上对应的点如图所示，每相邻两个点之间的距离是1个单位长度．若3a＝4b﹣3，则c﹣2d为（）A．﹣3B．﹣4C．﹣5D．﹣6【分析】设a表示是数为x，则b、c、d表示的数分别是x+1，x+2，x+3，据此列出关于x的方程，通过解方程可以求得它们所表示的数．【解答】解：设a表示是数为x，则b、c、d表示的数分别是x+1，x+2，x+3．故由3a＝4b﹣3，得到3x＝4x+4﹣3，解得x＝﹣1，所以b、c、d表示的数分别是0，1，2，所以c﹣2d＝1﹣2×2＝1﹣4＝﹣3，即c﹣2d为﹣3．故选：A．【点评】本题考查了数轴．此题借助于一元一次方程求得点A、B、C、D所表示的数．8．已知a、b在数轴上的位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b从小到排列正确的一组是（）A．﹣a＜﹣b＜a＜b B．﹣b＜﹣a＜a＜b C．﹣b＜a＜b ＜﹣a D．a＜﹣b＜b＜﹣a【分析】将a、b、﹣a、﹣b表示在数轴上，继而可从小到大排列．【解答】解：如图所示：，把a、b、﹣a、﹣b从小到大排列为：a＜﹣b＜b＜﹣a．故选：D．【点评】本题考查了数轴、有理数的大小比较，解答本题的关键是结合数轴求解．9．点A1，A2，A3，…，A n（n为正整数）都在数轴上，点A1在原点O的左边，且A1O＝1；点A2在点A1的右边，且A2A1＝2；点A3在点A2的左边，且A3A2＝3；点A4在点A3的右边，且A4A3＝4；…，依照上述规律，点A2018，A2019所表示的数分别为（）A．2018，﹣2019B．1009，﹣1010C．﹣2018，2019D．﹣1009，1010【分析】根据题意得出规律：当n为奇数时，An＝﹣，当n为偶数时，An ＝，把n＝2018，2019代入求出即可．【解答】解：根据题意得：A1＝﹣1，A2＝1，A3＝﹣2，A4＝2，…，当n为奇数时，An＝﹣，当n为偶数时，An＝，∴A2019＝﹣＝﹣1010，A2018＝＝1009．故选：B．【点评】此题主要考查了数字变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．10．如图，M，N，P，Q，R分别是数轴上五个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN＝NP＝PQ＝QR＝1．数a对应的点在N与P之间，数b对应的点在Q与R之间，若|a|+|b|＝3，则原点可能是（）A．M或Q B．P或R C．N或R D．P或Q【分析】先利用数轴特点确定a，b的关系从而求出a，b的值，确定原点．【解答】解：∵MN＝NP＝PQ＝QR＝1，∴|MN|＝|NP|＝|PQ|＝|QR|＝1，∴|MR|＝4；①当原点在P点时，|a|+|b|＜3，又因为|a|+|b|＝3，所以，原点不可能在P点；②当原点在N或R时且|NA|＝|BR|时，|a|+|b|＝3；③当原点在M点时，|a|+|b|＞3，又因为|a|+|b|＝3，所以，原点不可能在M点；综上所述，此原点应是在N或R点．故选：C．【点评】此题主要考查了数轴的定义和绝对值的意义．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简后根据整点的特点求解．二、填空题11．把下列各数填在相应的大括号内：15，﹣，0.81，﹣3，，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14，π，1.负分数集合{﹣，﹣3.1…}非负整数集合{15，0…}．【分析】根据负分数，非负整数的定义即可判断．【解答】解：负分数集合{﹣，﹣3.1…}非负整数集合{15，171，0，…}．故答案为﹣，﹣3.1，15，171，0；【点评】本题考查有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．12．定义：A＝{b，c，a}，B＝{c}，A∪B＝{a，b，c}，若M＝{﹣1}，N＝{0，1，﹣1}，则M∪N＝{1，0，﹣1}．【分析】根据新定义解答即可得．【解答】解：∵M＝{﹣1}，N＝{0，1，﹣1}，∴M∪N＝{1，0，﹣1}，故答案为：1，0，﹣1．【点评】本题主要考查有理数，根据题意理解新定义是解题的关键．13．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如，，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如＝+，＝+，＝+，…，请你根据对上述式子的观察，把表示为两个单位分数之和应为＝+．【分析】根据题意得出所求两个单位分数之和即可．【解答】解：根据题意得：＝+，故答案为：＝+【点评】此题考查了有理数，弄清题意是解本题的关键．14．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别为整数a、b、c、d，且d﹣2a＝4，则数轴的原点对应的字母是B．【分析】由图可知D点与A点相隔三个单位长度，即d﹣a＝3；又已知d﹣2a＝4，可解得a＝﹣1，则b＝0，即B为原点．【解答】解：根据题意，知d﹣a＝3，即d＝a+3，将d＝a+3代入d﹣2a＝4，得：a+3﹣2a＝4，解得：a＝﹣1，∴点A表示的数是﹣1，则点B表示原点，故答案为：B．【点评】此题主要考查了数轴知识点，解题的关键根据题意求得a的值．15．数轴上100个点所表示的数分别为a1、a2、a3…、a100，且当i为奇数时，a i+1﹣a i＝2，当i为偶数时，a i+1﹣a i＝1，①a5﹣a1＝6；②若a100﹣a11＝2m ﹣6，则m＝70．【分析】依题意当i为奇数时，a i+1﹣a i＝2，当i为偶数时，a i+1﹣a i＝1寻找规律可得a5﹣a1＝a5﹣a4+a4﹣a3+a3﹣a2+a2﹣a1＝（a5﹣a4）+（a4﹣a3）+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）＝1+2+1+2+1＝6a100﹣a11＝a100﹣a99+a99﹣a98+…+a12﹣a11＝（a100﹣a99）+（a99﹣a98+）…+（a12﹣a11）＝2+1+2+1+…+2＝2×45+1×44＝134从而得到答案．【解答】解：①∵当i为奇数时，a i+1﹣a i＝2，当i为偶数时，a i+1﹣a i＝1∴a5﹣a1＝a5﹣a4+a4﹣a3+a3﹣a2+a2﹣a1＝（a5﹣a4）+（a4﹣a3）+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）＝1+2+1+2＝6；②∵a100﹣a11＝a100﹣a99+a99﹣a98+…+a12﹣a11＝（a100﹣a99）+（a99﹣a98+）…+（a12﹣a11）＝2+1+2+1+…+2＝2×45+1×44＝134∴a100﹣a11＝134＝2m﹣6，∴m＝70故答案为：6、70．【点评】本题主要考查了通过找规律解决问题，解题的关键点是找规律．16．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位．（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，经过5秒M与点N相距54个单位；（2）若点M、N、P同时都向右运动，经过或秒点P到点M，N的距离相等．【分析】（1）设经过x秒点M与点N相距54个单位，由点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，得出2x+6x+14＝54求出即可；（2）首先设经过t秒点P到点M，N的距离相等，得出（2t+6）﹣t＝（6t﹣8）﹣t或（2t+6）﹣t＝t﹣（6t﹣8），进而求出即可．【解答】解：（1）设经过x秒点M与点N相距54个单位．依题意可列方程为：2x+6x+14＝54，解方程，得x＝5．故答案为：5．（2）设经过t秒点P到点M，N的距离相等．（2t+6）﹣t＝（6t﹣8）﹣t或（2t+6）﹣t＝t﹣（6t﹣8），t+6＝5t﹣8或t+6＝8﹣5tt＝或t＝，故答案为：或．【点评】此题主要考查了数轴，根据已知点运动速度得出以及距离之间的关系得出等式是解题关键．三、解答题17．把下列各数填在相应的集合内：100，﹣99%，π，0，﹣2008，﹣2，5.2，，6，，﹣0.3，1.020020002…【分析】根据有理数的分类，可得答案．【解答】解：．【点评】本题考查了有理数，熟记有理数的分类是解题关键．18．已知快递公司坐落在一条东西走向的街道上，某快递员从快递公司取件后在这条街道上送快递，他先向东骑行1千米到达A店，继续向东骑行2千米到达B店，然后向西骑行5千米到达C店，最后回到快递公司．（1）以快递公司为原点，以向东方向为正方向，用1厘米表示1千米，画出数轴，并在数轴上表示出A，B，C三个店的位置．（2）C店离A店有多远？（3）快递员一共骑行了多少千米？【分析】（1）根据题意画出数轴，在数轴上表示出A、B、C三点即可；（2）根据数轴上两点间的距离公式即可得出结论；（3）把各数的绝对值相加即可．【解答】解：（1）如图所示：；（2）C店离A店：1﹣（﹣2）＝3千米；（3）快递员一共行了：|1+|+|2|+|﹣5|+|2|＝10千米．【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴的特点及数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．19．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别是1、﹣1、﹣2，E是线段BC的中点，点P从点A出发，向左运动，速度是每秒0.3个单位，设运动的时间是t秒．（1）点E表示的数是﹣；（2）在t＝3，t＝4这两个时间中，使点P更接近原点O的时间是哪一个？（3）若点P分别在t＝8，t＝n两个不同的位置时，到点E的距离完全一样，求n的值；（4）设点M在数轴上表示的数是m，点N在数轴上表示的数是n，式子|m﹣n|的值可以体现点M和点N之间距离的远近，这个式子的值越小，两个点的距离越近．【分析】（1）根据实数在数轴上的排列特点和绝对值的意义，先根据E点到原点的距离是确定该数的绝对值是，在根据该点在原点的左侧还是右侧判断其符号．（2）分别求出两个时间点上点P的位置，即可判断；（3）根据t＝8时，求出点P到E点的距离，确定t＝n时P点的位置，即可求n的值；（4）根据数轴上两点间的距离公式即可．【解答】解：（1）根据实数在数轴上的排列特点和绝对值的意义，E点到远点的距离是，符号是“﹣”，故答案是：﹣．（2）当t＝3，t＝4时0.3t的值分别是0.9、1.2．根据出发点A的位置，可以确定当t＝0.3时，点P的位置位于原点O的右侧距离原点O0.1个单位长度，而当t＝0.4时，点P的位置位于原点O的左侧距离原点O0.2个单位长度，故答案是t﹣0.3．（3）当t＝8时，0.8t＝2.4．，结合图形可以确定此时点P的位置位于点E的左侧距离点E0.1个单位长度．所以，数轴上到点E的距离相同的点应该是﹣1.6．此时点P到点A距离是2.6个单位长度，所以r＝2.6÷0.3＝8．故答案是8（4）根据数轴上两点间的距离公式点M和N的距离等于|m﹣n|，故答案是|m﹣n|．【点评】本题考查了数轴与两点间的距离的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论20．如图，在数轴上点A表示的有理数为﹣6，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度在数轴上由A向B运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）（1）求t＝1时点P表示的有理数；（2）求点P与点B重合时的t值；（3）在点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，求点P与点A的距离；（用含t的代数式表示）（4）当点P表示的有理数与原点的距离是3个单位长度时，直接写出所有满足条件的t值．【分析】（1）根据P点的速度，有理数的加法，可得答案；（2）根据两点间的距离公式，可得AB的长度，根据路程除以速度，可得时间；（3）根据速度乘以时间等于路程，可得答案；（4）根据速度乘以时间等于路程，可得答案．【解答】解：（1）当t＝1时3×1＝3﹣6+3＝﹣3所以点P所表示的有理数是﹣3；（2）当点P与点B重合时，点P所运动的路程为|6﹣（﹣6）|＝12所以t＝12÷3＝4；（3）点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，点P与点A的距离分为2中情况：当点P到达点B前点P与点A的距离是3t；当点P到达点B再回到点A的运动过程中点P与点A的距离是：24﹣3t；（4）当点P表示的有理数与原点（设原点为O）的距离是3个单位长度时，则有以下四种情况：当点P由点A到点O时：OP＝AO﹣3t，即：6﹣3t＝3，∴t＝1；当点P由点O到点B时：OP＝3t﹣AO，即：3t﹣6＝3，∴t＝3；当点P由点B到点O时：OP＝18﹣3t，即：18﹣3t＝3，∴t＝5；当点P由点O到AO时：OP＝3t﹣18，即：3t﹣18＝3，∴t＝7，即：当点P表示的有理数与原点的距离是3个单位长度时，t值的值为1秒或3秒或5秒或7秒；【点评】本题考查了数轴，利用了速度与时间的关系，分类讨论是解题关键．。
有理数--拓展提高难题及答案
初一数学《有理数》拓展提高试题友情提醒：试卷较难，请耐心想一想一、 选择题（每小题3分，共30分）1、设a 是最小的自然数,b 是最大的负整数,c 是绝对值最小的有理数,则a-b+c•的值为( )A.-1B.0C.1D.22、有理数a 等于它的倒数，则a 2004是----------------------------------------------------（ ）Ａ.最大的负数 Ｂ.最小的非负数 Ｃ.绝对值最小的整数 Ｄ.最小的正整数3、若0ab ≠，则a b a b+的取值不可能是-----------------------------------------------（ ） A ．0 B.1 C.2 D.－24、当ｘ＝－2时， 37ax bx +-的值为9，则当ｘ＝2时，37ax bx +-的值是（ ）A 、－23B 、－17C 、23D 、175、如果有2005名学生排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律报数，那么第2005名学生所报的数是……………………… （ ）A 、1B 、2C 、3D 、46、若|a|=4，|b|=2，且|a+b|=a+b, 那么a-b 的值只能是( ).A.2B. -2C. 6D.2或67、 x 是任意有理数，则2|x |+x 的值( ).A.大于零B. 不大于零C. 小于零D.不小于零8、观察这一列数：34-，57, 910-, 1713,3316-，依此规律下一个数是（ ） A.4521 B.4519 C.6521 D.65199、若14+x 表示一个整数，则整数x 可取值共有( ). A.3个 B.4个 C.5个 D.6个10、3028864215144321-+⋅⋅⋅-+-+-+-⋅⋅⋅+-+-等于（ ） A ．41 B ．41- C ．21 D ．21- 二、填空题（每小题4分，共32分）11.请将3，4，－6，10这四个数用加减乘除四则运算以及括号组成结果为24的算式（每个数有且只能用一次）_______________ ______ ； 12. (－3)2013×( －31)2014= ； 13.若|x-y+3|+()22013y x -+=0，则yx x 2-= . 14.北京到兰州的铁路之间有25个站台（含北京和兰州），设制 种票才能满足票务需求.15.设c b a ,,为有理数，则由cc b b a a ++ 构成的各种数值是 16.设有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，则 │b-a │+│a+c │+│c-b•│=__ _ ；17.根据规律填上合适的数： 1，8，27，64， ,216；18、 读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为501(21);n n =-∑又如“333333333312345678910+++++++++”可表示为1031n n =∑，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ；（2）计算：521(1)n n =-∑= （填写最后的计算结果）。
苏教版七年级数学第二章《有理数》拓展提优练习(含答案解析)
七年级数学第二章《有理数》拓展提优一．填空题1．数轴上，点A的初始位置表示的数为2，现点A做如下移动：第1次点A向左移动1个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动2个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动3个单位长度至点A3，按照这种移动方式进行下去，点A2019表示的数是．2．如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，…，按照这种移动方式进行下去，如果点A n与原点的距离不小于26，那么n的最小值是．3．在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是﹣9，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝1，则C点表示的数是．4．已知a、b、c均是不等于0的有理数，则的值为．二．解答题5．数轴上的点A、B、C、O、D、E分别表示3，﹣1.5，﹣3，﹣4，0，2.5，（1）在图所示的数轴上画出点A、B、C、O、D、E；（2）比较这六点所表示的数的大小，用“＜”号连接起来；＜＜＜＜＜（3）有同学说：“这六个点中，其中有两个点之间的距离恰好与另外两个点之间的距离相等”，你觉得这位同学的说法正确吗？请你作出判断，并说明理由．6．【阅读理解】如果点M，N在数轴上分别表示实数m，n，在数轴上M，N两点之间的距离表示为MN＝m﹣n（m＞n）或MN＝n﹣m（n＞m）或|m﹣n|．利用数形结合思想解决下列问题：已知数轴上点A与点B的距离为12个单位长度，点A 在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）点A表示的数为，点B表示的数为．（2）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：P A＝，PC＝．（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒4个单位的速度向C点运动，Q 点到达C点后，立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．7．【阅读理解】点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．【知识运用】如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．（1）数所表示的点是{M，N}的奇点；数所表示的点是{N，M}的奇点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？8．一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下：（单位：米）+6，﹣3，+11，﹣9，﹣7，+12，﹣10．（1）守门员最后是否回到了球门线的位置？（2）在练习过程中，守门员离开球门线最远距离是多少米？（3）守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？9．阅读材料（1）绝对值的几何意义是表示数轴上的点到原点的距离，如|﹣2|＝2，|x|＝2，x＝+2或﹣2，特别地|x﹣1|＝2表示“x”到“1”的距离是2，就是x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，所以x ＝3或﹣1；同理，当|x+1|＝2，表示“x”到“﹣1”的距离是2，就是x+1＝2或x+1＝﹣2，所以x ＝﹣3或+1；根据以上说明，求下列各式中x的值．①|x|＝1 ②|x﹣2|＝2 ③|x+1|＝3（2）由（1）可知，|a|＝a或﹣a，|b|＝b或﹣b，|c|＝c或﹣c，若abc≠0，求的值．（3）若abcd≠0，直接写出+的值．10．阅读下面材料在数轴上4与﹣1所对的两点之间的距离：|4﹣（﹣1）|＝5在数轴上﹣2与3所对的两点之间的距离|（﹣2）﹣3|＝5；在数轴上﹣7与﹣5所对的两点之间的距离：|（﹣7）﹣（﹣5）|＝2在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|依据材料知识解答下列问题（1）数轴上表示﹣3和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为；（2）七年级研究性学习小组进行如下探究：①请你在草稿纸上面出数轴当表示数x的点在﹣3与2之间移动时，|x+3|+|x﹣2|的值总是一个固定的值为：，式子|x+3|+|x+2|的最小值是．②请你在草稿纸上画出数轴，当x等于时，|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|的值最小，且最小值是．11．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，回答下列问题：（1）化简：3|a﹣c|﹣2|﹣a﹣b|；（2）令y＝|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|，x满足什么条件时，y有最小值，求最小值12．定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝，已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数．（1）计算：a2＝，a3＝；（2）根据你发现的规律计算a2018的值．13．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面﹣层有一个圆圈，以下各层均比上﹣层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n＝．如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．14．研究下列算式，你会发现什么规律？1×3+1＝4＝222×4+1＝9＝323×5+1＝16＝424×6+1＝25＝52…（1）请你找出规律井计算7×9+1＝＝（）2（2）用含有n的式子表示上面的规律：．（3）用找到的规律解决下面的问题：计算：＝．15．对于有理数，定义一种新运算“⊕”，观察下列各式：1⊕2＝|1×4﹣2|＝2，2⊕8＝|2×4﹣8|＝0，﹣3⊕4＝|﹣3×4﹣4|＝16（1）计算：（﹣4）⊕3＝，a⊕b＝．（2）若a≠b，则a⊕b b⊕a（填入“＝”或“≠”）（3）若有理数a，b在数轴上的对应点如图所示且a⊕（﹣b）＝5，求[（a+b）⊕（a+b）]⊕（a+b）的值．16．已知有理数a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，有理数m和﹣2在数轴上表示的点相距3个单位长度，求|m|﹣+﹣cd的值．17．若a，b互为相反数且都不为零，c，d互为倒数，m与最小的正整数在数轴上对应点间的距离为2，求（a+b）•+mcd+的值．18．定义☆运算，观察下列运算：（+5）☆（+14）＝+19，（﹣13）☆（﹣7）＝+20，（﹣2）☆（+15）＝﹣17，（+18）☆（﹣7）＝﹣25，0☆（﹣19）＝+19，（+13）☆0＝+13．（1）请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则：两数进行☆运算时，同号，异号．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，．（2）计算：（+17）☆[0☆（﹣16）]＝．（3）若2×（2☆a）﹣1＝3a，求a的值．19．定义一种新运算：观察下列各式：1⊙3＝1×4+3＝73⊙（﹣1）＝3×4﹣1＝115⊙4＝5×4+4＝24（﹣4）⊙（﹣3）＝﹣4×4﹣3＝﹣19完成下列题目（1）2⊙（﹣3）＝，（﹣5）⊙（﹣2）＝（2）计算并比较1⊙[（﹣2）⊙1]与（﹣1）⊙[1⊙（﹣2）]的大小（3）计算1⊙（﹣1）+2⊙（﹣2）+3⊙（﹣3）+…+16⊙（﹣16）的值．20．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：（1）若数轴上数1表示的点与﹣1表示的点重合，则数轴上数﹣5表示的点与数表示的点重合．（2）若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．①则数轴上数3表示的点与数表示的点重合．②若数轴上A、B两点之间的距离为7（A在B的左侧），并且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是．③若数轴上C、D两点之间的距离为d，C在D的左侧并且C、D两点经折叠后重合，求C、D两点表示的数分别是多少？（用含d的代数式表示）21．阅读下列材料，回答提出的问题我们知道：一个数a的绝对值可以表示成|a|，它是一个非负数，|a|在数轴上含义是：表示a这个数的点到原点的距离（距离，当然不可能是负数），这样就把|a|与数轴上的点建立了一种联系（这正是绝对值的几何意义），比如说|2|的几何意义就是：数轴上表示2这个数的点到原点的距离，它是2，所以说|2|＝2，|﹣2|表示﹣2这个数在数轴上所对应的点到原点的距离，它也是2，所以说|﹣2|＝2，严格来说，在数轴上，一个数a在数轴上所对应的点到原点（原点对应的数为0）的距离应该表示为|a﹣0|，但平时我们都写成|a|，原因你明白．（1）若给定|x|＝3，要找这样的x，请按照上面材料中的说法，解释它的几何意义并找出对应的x；（2）实际上，对于数轴上任意两个数x1，x2之间的距离我们也可以表示为|x1﹣x2|，反过来，|x1﹣x2|这个绝对值的几何意义就是：数轴上表示x1与x2这两个数的点之间的距离，你能结合上面的叙述，解释|5﹣2|＝3的几何意义吗？请按你的理解说明：|5+2|＝7呢？如果能解释这个，你了不起；（3）若|x﹣2019|＝1，请直接写出x的值．22．如图，数轴上每相邻两刻度线间的距离为1个单位长度，请回答下列问题：（1）如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？（2）如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？图中5个点表示的数的乘积是多少？（3）求|x+1.5|+|x﹣0.5|+|x﹣4.5|的最小值．23．已知数轴上两点A，B对应的是﹣2和4，点P为数轴上一动点，（1）若点P到点A和点B的距离相等，求点P对应的数．（2）若点P在点A和点B之间，且将线段AB分成1：3两部分，求点P对应的数．（3）数轴上是否存在点P，使得点P到点A的距离与到点B的距离之比为1：2？若存在，求点P对应的数；若不存在，说明理由．24．我们知道数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|根据以上知识解题：（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1，①A、B之间的距离可用含x的式子表示为；②若两点之间的距离为2，那么x值为；（2）在（1）的条件下，是否存在点P，使得点P到点A的距离等于点P到点B的距离的三倍．答案与解析一．填空题（共4小题）1．数轴上，点A的初始位置表示的数为2，现点A做如下移动：第1次点A向左移动1个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动2个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动3个单位长度至点A3，按照这种移动方式进行下去，点A2019表示的数是﹣1008．【分析】奇数次移动是左移，偶数次移动是右移，第n次移动n个单位．每左移右移各一次后，点A右移1个单位，故第2018次右移后，点A向右移动1×（2018÷2）个单位，第2019次左移2019个单位，故点A2019表示的数是1×（2018÷2）﹣2019×1+2．【解答】解：第n次移动n个单位，第2019次左移2019×1个单位，每左移右移各一次后，点A右移1个单位，所以A2019表示的数是1×（2018÷2）﹣2019×1+1＝﹣1008．故答案为：﹣1008．【点评】本题考查数轴上点的移动规律，确定每次移动方向和距离的规律，以及相邻两次移动的后的实际距离和方向是解答次题的关键．2．如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，…，按照这种移动方式进行下去，如果点A n与原点的距离不小于26，那么n的最小值是17．【分析】序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A13表示的数为﹣17﹣3＝﹣20，A12表示的数为16+3＝19，则可判断点A n与原点的距离不小于26时，n的最小值是17．【解答】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3＝﹣2；第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6＝4；第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9＝﹣5；第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12＝7；第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15＝﹣8；…；则A7表示的数为﹣8﹣3＝﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3＝﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3＝﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3＝﹣20，A6表示的数为7+3＝10，A8表示的数为10+3＝13，A10表示的数为13+3＝16，A12表示的数为16+3＝19，A14表示的数为19+3＝22，A16表示的数为22+3＝25，A18表示的数为25+3＝28，所以点A n与原点的距离不小于26，那么n的最小值是17，故答案为：17．【点评】本题考查了规律型：认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解题关键．3．在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是﹣9，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝1，则C点表示的数是﹣2．【分析】设点C表示的数是x，利用AB＝AC﹣BC＝1，列出方程解答即可．【解答】解：设点C表示的数是x，则AC＝x﹣（﹣9）＝x+9，BC＝4﹣x，∵AB＝1，即AC﹣BC＝x+9﹣（4﹣x）＝2x+5＝1，解得：x＝﹣2，∴点C表示的数是﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查数轴，解决此题的关键是能利用数轴上两点间的距离公式用含x 的式子表示出线段的长度．4．已知a、b、c均是不等于0的有理数，则的值为7或﹣1．【分析】分a、b、c三个数都是正数，两个正数，一个正数，都是负数四种情况，根据绝对值的性质去掉绝对值号，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解．【解答】解：①a、b、c三个数都是正数时，a＞0，b＞0，c＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，abc＞0，原式＝1+1+1+1+1+1+1，＝7；②a、b、c中有两个正数时，不妨设为a＞0，b＞0，c＜0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，abc＜0，原式＝1+1﹣1+1﹣1﹣1﹣1，＝﹣1；③a、b、c有一个正数时，不妨设为a＞0，b＜0，c＜0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，abc＞0，原式＝1﹣1﹣1﹣1﹣1+1+1，＝﹣1；④a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0，则ab＞0，ac＞0，bc＞0，abc＜0，原式＝﹣1﹣1﹣1+1+1+1+1﹣1，＝﹣1；综上所述，原式的值为7或﹣1，故答案为：7或﹣1．【点评】本题考查了有理数的除法，绝对值的性质，难点在于根据三个数的正数的个数分情况讨论．二．解答题（共19小题）5．数轴上的点A、B、C、O、D、E分别表示3，﹣1.5，﹣3，﹣4，0，2.5，（1）在图所示的数轴上画出点A、B、C、O、D、E；（2）比较这六点所表示的数的大小，用“＜”号连接起来；﹣4＜﹣3＜﹣1.5＜0＜ 2.5＜3（3）有同学说：“这六个点中，其中有两个点之间的距离恰好与另外两个点之间的距离相等”，你觉得这位同学的说法正确吗？请你作出判断，并说明理由．【分析】（1）根据数轴是表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来；（2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案；（3）根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案【解答】解：（1）如图；，（2）由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得﹣4＜﹣3＜﹣1.5＜0＜2.5＜3，故答案为：﹣4，﹣3，﹣1.5，0，2.5，3，（3）对．﹣4与﹣3之间距离等于2.5与3之间距离都是0.5．或者﹣4与﹣1.5之间距离等于2.5与0之间距离是2.5．【点评】本题考查了有理数大小比较，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键．6．【阅读理解】如果点M，N在数轴上分别表示实数m，n，在数轴上M，N两点之间的距离表示为MN＝m﹣n（m＞n）或MN＝n﹣m（n＞m）或|m﹣n|．利用数形结合思想解决下列问题：已知数轴上点A与点B的距离为12个单位长度，点A 在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）点A表示的数为﹣24，点B表示的数为﹣12．（2）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：P A＝2t，PC＝36﹣2t．（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒4个单位的速度向C点运动，Q 点到达C点后，立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．【分析】（1）因为点A在原点左侧且到原点的距离为24个单位长度，所以点A表示数﹣24；点B在点A右侧且与点A的距离为12个单位长度，故点B表示：﹣24+12＝﹣12．（2）因为点P从点A出发，以每秒运动2两个单位长度的速度向终点C运动，则t秒后点P表示数﹣24+2t（0≤t≤18，令﹣24+2t＝12，则t＝18时点P运动到点C），而点A 表示数﹣24，点C表示数12，所以P A＝|﹣24+2t﹣（﹣24）|＝2t，PC＝|﹣24+2t﹣12|＝36﹣2t．（3）以点Q作为参考，则点P可理解为从点B出发，设点Q运动了m秒，那么m秒后点Q表示的数是﹣24+4m，点P表示的数是﹣12+2m，再分两种情况讨论：①点Q运动到点C之前；②点Q运动到点C之后．【解答】解：（1）设A表示的数为x，设B表示的数是y．∵|x|＝24，x＜0∴x＝﹣24又∵y﹣x＝12∴y＝﹣24+12＝﹣12．故答案为：﹣24；﹣12．（2）由题意可知：∵t秒后点P表示的数是﹣24+2t（0≤t≤18），点A表示数﹣24，点C 表示数12∴P A＝|﹣24+2t﹣（﹣24）|＝2t，PC＝|﹣24+2t﹣12|＝36﹣2t．故答案为：2t；36﹣2t．（3）设点Q运动了m秒，则m秒后点P表示的数是﹣12+2m．①当m≤9，m秒后点Q表示的数是﹣24+4m，则PQ＝|﹣24m+4m﹣（﹣12+2m）|＝2，解得m＝5或7，此时P表示的是﹣2或2；②当m＞9时，m秒后点Q表示的数是12﹣4（m﹣9），则PQ＝|12﹣4（m﹣9）﹣（﹣12+2m）|＝2，解得m＝，此时点P表示的数是．答：P、Q两点之间的距离能为2，此时点P点表示的数分别是﹣2，2，．【点评】本题考查了数轴上两点间的距离公式以及实数与数轴的相关概念，解题时同时注意数形结合数学思想的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，用代数式表示出数轴上的动点代表的数，找出合适的等量关系列出方程，再求解．7．【阅读理解】点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．【知识运用】如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．（1）数3所表示的点是{M，N}的奇点；数﹣1所表示的点是{N，M}的奇点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？【分析】（1）根据定义发现：奇点表示的数到{M，N}中，前面的点M是到后面的数N 的距离的3倍，从而得出结论；根据定义发现：奇点表示的数到{N，M}中，前面的点N是到后面的数M的距离的3倍，从而得出结论；（2）点A到点B的距离为80，由奇点的定义可知：分两种情况列式：①PB＝3P A；②P A ＝3PB；可以得出结论．【解答】解：（1）5﹣（﹣3）＝8，8÷（3+1）＝2，5﹣2＝3；﹣3+2＝﹣1．故数3所表示的点是{M，N}的奇点；数﹣1所表示的点是{N，M}的奇点；（2）30﹣（﹣50）＝80，80÷（3+1）＝20，30﹣20＝10，﹣50+20＝﹣30，故P点运动到数轴上的﹣30或10位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点．故答案为：3；﹣1．【点评】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：奇点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的3倍，列式可得结果．8．一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下：（单位：米）+6，﹣3，+11，﹣9，﹣7，+12，﹣10．（1）守门员最后是否回到了球门线的位置？（2）在练习过程中，守门员离开球门线最远距离是多少米？（3）守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？【分析】（1）由于守门员从球门线出发练习折返跑，问最后是否回到了球门线的位置，只需将所有数加起来，看其和是否为0即可；（2）计算每一次跑后的数据，绝对值最大的即为所求；（3）求出所有数的绝对值的和即可．【解答】解：（1）（+6）+（﹣3）+（+11）+（﹣9）+（﹣7）+（+12）+（﹣10）＝（6+11+12）﹣（3+9+7+10）＝29﹣29＝0答：守门员最后回到了球门线的位置．（2）由观察可知：6﹣3+11＝14米．答：在练习过程中，守门员离开球门线最远距离是12米．（3）|+6|+|﹣3|+|+11|+|﹣9|+|﹣7|+|+12|+|﹣10|＝6+3+11+9+7+12+10＝58米．答：守门员全部练习结束后，他共跑了58米．【点评】本题考查了有理数的加减混合运算．关键是根据题意，正确列出算式．9．阅读材料（1）绝对值的几何意义是表示数轴上的点到原点的距离，如|﹣2|＝2，|x|＝2，x＝+2或﹣2，特别地|x﹣1|＝2表示“x”到“1”的距离是2，就是x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，所以x ＝3或﹣1；同理，当|x+1|＝2，表示“x”到“﹣1”的距离是2，就是x+1＝2或x+1＝﹣2，所以x ＝﹣3或+1；根据以上说明，求下列各式中x的值．①|x|＝1 ②|x﹣2|＝2 ③|x+1|＝3（2）由（1）可知，|a|＝a或﹣a，|b|＝b或﹣b，|c|＝c或﹣c，若abc≠0，求的值．（3）若abcd≠0，直接写出+的值．【分析】（1）根据绝对值的意义进行计算即可；（2）（2）对a、b、c进行讨论，即a、b、c同正、同负、两正一负、两负一正，然后计算得结果；（3）根据abcd≠0，得出共有5种情况，然后分别进行化简即可．【解答】解：（1）①|x|＝1，x＝±1；②|x﹣2|＝2，x﹣2＝2或x﹣2＝﹣2，所以x＝4或0，③|x+1|＝3，x+1＝3或x﹣1＝﹣3，所以x＝2或﹣2，（2）当abc≠0时，①a，b，c三个都是负数时，＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；②a，b，c三个都是正数时，＝1+1+1＝3；③a，b，c两负一正，＝﹣1﹣1+1＝﹣1；④a，b，c两正一负，＝﹣1+1+1＝1．故的值为±1，或±3．（3）①若a，b，c，d有一个负数，三个正数，则+＝﹣1+3＝2；②若a，b，c，d有二个负数，二个正数，则+＝﹣2+2＝0；③若a，b，c，d有三个负数，一个正数，则+═﹣3+1＝﹣2；④若a，b，c，d有四个负数，则+═﹣4；⑤若a，b，c，d有四个正数，则+═4；故+的值为：±2，±4，0．【点评】本题考查了有理数的加法、绝对值的化简，解决本题的关键是对a、b、c、d的分类讨论．注意＝±1（x＞0，结果为1，x＜0，结果为﹣1）．10．阅读下面材料在数轴上4与﹣1所对的两点之间的距离：|4﹣（﹣1）|＝5在数轴上﹣2与3所对的两点之间的距离|（﹣2）﹣3|＝5；在数轴上﹣7与﹣5所对的两点之间的距离：|（﹣7）﹣（﹣5）|＝2在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|依据材料知识解答下列问题（1）数轴上表示﹣3和﹣5的两点之间的距离是2，数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为|x﹣3|或|3﹣x|；（2）七年级研究性学习小组进行如下探究：①请你在草稿纸上面出数轴当表示数x的点在﹣3与2之间移动时，|x+3|+|x﹣2|的值总是一个固定的值为：5，式子|x+3|+|x+2|的最小值是1．②请你在草稿纸上画出数轴，当x等于2时，|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|的值最小，且最小值是7．【分析】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|的表达式计算出绝对值；（2）要去掉绝对值符号，需要抓住已知点在数轴上进行分段讨论，写出去绝对值后的表达式讨论计算即可．【解答】解：（1）根据题意知﹣3和﹣5的两点之间的距离可表示为：|﹣3﹣（﹣5）|＝2；数x和3的两点之间的距离|x﹣3|或|3﹣x|；故答案为2，|x﹣3|或|3﹣x|；（2）①∵﹣3≤x≤2，∴x+3≥0，x﹣2≤0，∴|x+3|+|x﹣2|＝x+3﹣（x﹣2）＝5所以当﹣3≤x≤2时，|x+3|+|x﹣2|的值总是一个固定的值为5．|x+3|+|x+2|是表示x到A、C的距离之和，可观察下图．当﹣3≤x≤﹣2时，由①可知|x+3|+|x+2|＝1当﹣2＜x≤2时，|x+3|+|x+2|＝|x+2|+1+|x+2|＝2|x+2|+1＞1∴当﹣3≤x≤﹣2时，式子|x+3|+|x+2|的最小值是1．故答案为5，1．②画出图形，则可知，|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|是表示x的点到A、B、C三点距离之和．如下图分区间来讨论，可以得出当﹣3≤x≤2时，|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|＝﹣x+4+x+3﹣x+2＝﹣x+9，可见x＝2取得最小值，﹣x+9＝7；当2≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|＝﹣x+4+x+3+x﹣2＝x+5，x＝2时取得最小值，x+5＝7．所以式|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|当x等于2时，最小值是7．故答案为2，7．【点评】本题考查的是数轴上两点之间的距离和数的绝对值计算之间的关系，去掉绝对值之后代数式的表达是解题的关键，解此类题目要学会分区间讨论和数形结合的思想方法．11．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，回答下列问题：（1）化简：3|a﹣c|﹣2|﹣a﹣b|；（2）令y＝|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|，x满足什么条件时，y有最小值，求最小值【分析】（1）从数轴上的标示可知c＜0＜a＜b，由此去掉绝对值符号化简即可；（2）分区间进行去绝对值化简比较即可．【解答】解：（1）根据数轴上的标示知，c＜0＜a＜b，∴a﹣c＞0，﹣a﹣b＜0，∴原式＝3（a﹣c）﹣2（a+b）＝3a﹣3c﹣2a﹣2b＝a﹣2b﹣3c．（2）①当x≤c时，y＝﹣x+a﹣x+b﹣x+c＝﹣3x+a+b+c，因为该函数为减函数，所以当且仅当x＝c时最小，最小值为：a+b﹣2c，②当c≤x≤a时，y＝﹣x+a﹣x+b+x﹣c＝﹣x+a+a﹣c，因为该函数为减函数，所以当且仅当x＝a时最小，最小值为：a﹣c，③当a≤x≤b时，y＝x﹣a﹣x+b+x﹣c＝x﹣a+b﹣c，因为该函数为增函数，所以当且仅当x＝b时最小，最小值为：2b﹣a﹣c，④当x≥b时，y＝x﹣a+x﹣b+x﹣c＝3x﹣a﹣b﹣c，因为该函数为增函数，所以当且仅当x＝b时最小，最小值为：2b﹣a﹣c，从以上讨论中可知，只有当c≤x≤a时y的值是a﹣c，小于其他最小值，所以当c≤x≤a时y有最小值是a﹣c．【点评】本题不仅考查了数轴上的点的正、负和大小的判定，更重要的是考查了含绝对值符号的一元一次函数的极值问题，运用分类讨论的方法和函数的增加性来得出函数的极值的解题能力．12．定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝，已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数．（1）计算：a2＝，a3＝4；（2）根据你发现的规律计算a2018的值．【分析】（1）根据规定的运算方法，依次计算出a2、a3；（2）进一步计算出a4、a5，即可发现每3个数为一个周期依次循环，然后用2018除以3，根据规律，即可得出答案．【解答】解：（1）a2＝＝，a3＝＝4．故答案为，4；（2）∵a1＝﹣，a2＝，a3＝4，a4＝＝﹣，a5＝＝，…∴这列数以﹣，，4三个数依次不断循环出现；2018÷3＝672…2，a2018＝a2＝．【点评】此题考查数字的变化规律，利用规定的运算方法，得出数字之间的循环规律，利用规律解决问题．13．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面﹣层有一个圆圈，以下各层均比上﹣层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n＝．如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．【分析】（1）12层时最底层最左边这个圆圈中的数是11层的数字之和再加1；（2）首先计算圆圈的个数，从而分析出23个负数后，又有多少个正数．【解答】解：（1）1+2+3+…+11+1＝6×11+1＝67；（2）图4中所有圆圈中共有1+2+3+…+12＝＝78个数，其中23个负数，1个0，54个正数，所以图4中所有圆圈中各数的绝对值之和＝|﹣23|+|﹣22|+...+|﹣1|+0+1+2+ (54)（1+2+3+…+23）+（1+2+3+…+54）＝276+1485＝1761．另解：第一层有一个数，第二层有两个数，同理第n层有n个数，故原题中1+2+．+11为11层数的个数即为第11层最后的圆圈中的数字，加上1即为12层的第一个数字．【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．注意连续整数相加的时候的这种简便计算方法：1+2+3+…+n＝．14．研究下列算式，你会发现什么规律？1×3+1＝4＝222×4+1＝9＝323×5+1＝16＝424×6+1＝25＝52…（1）请你找出规律井计算7×9+1＝64＝（8）2（2）用含有n的式子表示上面的规律：n（n+2）+1＝（n+1）2．（3）用找到的规律解决下面的问题：计算：＝．【分析】（1）（2）观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，依此得到7×9+1＝64＝82；含有n的式子表示的规律．（3）由（1+）（1+）＝×××知，+…+（1+）＝，利用此规律计算．【解答】解：（1）7×9+1＝64＝82；（2）上述算式有规律，可以用n表示为：n（n+2）+1＝n2+2n+1＝（n+1）2．（3）原式＝＝．故答案为：64，8；n（n+2）+1＝（n+1）2；．【点评】本题考查了有理数的运算，是找规律题，找到+…+（1+）＝××××××…××＝是解题的关键．15．对于有理数，定义一种新运算“⊕”，观察下列各式：1⊕2＝|1×4﹣2|＝2，2⊕8＝|2×4﹣8|＝0，﹣3⊕4＝|﹣3×4﹣4|＝16（1）计算：（﹣4）⊕3＝19，a⊕b＝|4a﹣b|．（2）若a≠b，则a⊕b≠b⊕a（填入“＝”或“≠”）（3）若有理数a，b在数轴上的对应点如图所示且a⊕（﹣b）＝5，求[（a+b）⊕（a+b）]⊕（a+b）的值．【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；（2）根据题目中的新定义和（1）中的结果，可以解答本题；（3）根据题意和题目中的式子可以求得所求式子的值．【解答】解：（1）（﹣4）⊕3＝|（﹣4）×4﹣3|＝19，a⊕b＝|4a﹣b|，故答案为：19，|4a﹣b|；（2）∵a⊕b＝|4a﹣b|，b⊕a＝|4b﹣a|，a≠b，∴（4a﹣b）﹣（4b﹣a）＝4a﹣b﹣4b+a＝4（a﹣b）+（a﹣b）＝5（a﹣b）≠0，∴a⊕b≠b⊕a，故答案为：≠；。
人教版七年级数学上《有理数的除法》拓展训练
《有理数的除法》拓展训练一、选择题1．如图，下列关系式中，正确的是（）A．|b|＞|a|B．a＞﹣b C．b﹣a＞0D．2．一个数的倒数的绝对值是3，这个数是（）A．3B．C．3或﹣3D．或﹣3．有理数：4、、﹣4、16、﹣中，互为倒数的是（）A．4和B．4和﹣4C．4和16D．16和﹣4．下列结论正确的个数有（）（1）﹣a一定是负数（2）当a≠0时，a的倒数是（3）a的相反数是﹣a（4）a是正数．A．1 个B．2 个C．3 个D．4个5．乘积为﹣1的两个数叫做互为负倒数，则﹣2的负倒数是（）A．﹣2B．C．D．26．在下列式子：①5×（﹣4）×（﹣2）；②（﹣12）÷；③（﹣4）4；④（﹣3）5中．其中，计算结果是负数的有（）A．①②B．①②③C．①③④D．②④7．如果2a+b＝0（a≠0），则|﹣1|+|﹣2|的值为（）A．1或2B．2或3C．3D．48．现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0；②若两个数互为相反数，则它们相除的商等于﹣1；③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于其本身的有理数是零；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个10．下列结论：①若a为有理数，则a2＞0；②若a2+b2＝0，则a+b＝0；③若a+b＝0，则＝﹣1；④若ab＞0，则＝﹣3，则其中正确的结论的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个二、填空题11．如果abc＞0，则++＝．12．已知a是不等于﹣1的数，我们把称为a的和倒数．如：2的和倒数为＝，已知a1＝1，a2是a1的和倒数，a3是a2的和倒数．a4是a3的和倒数，…，依此类推，则a1•a2•a3…a10＝．13．已知x是﹣1的倒数，y比x小﹣3，则（y﹣x）2＝．14．已知|a|＝5，|b|＝8．（1）若＜0，则a﹣b＝；（2）若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），则a﹣b＝．15．10个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数的真分数）”，则这10个有理数的和为．三、解答题16．计算：（1）﹣5÷（﹣1）；（2）（﹣）÷（﹣）÷（﹣1）．17．已知|a|＝2，|b|＝4，①若＜0，求a﹣b的值；②若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），求a﹣b的值．18．小明和小王分别做同一批零件，小明在1小时内加工36个零件，小王在1小时内加工32个零件，他们两个人哪个效率高？19．有三个有理数a，b，c，已知a＝，（n为正整数）且a与b互为相反数，b与c互为倒数．（1）当n为奇数时你能求出a，b，c各是几吗？（2）当n为偶数时，你能求a，b，c三数吗？若能请算出结果，不能请说明理由．（3）根据（1）中的结论，求：ab﹣b n﹣（b﹣c）2015的值．20．数学老师布置了一道思考题“计算：（﹣）”，小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题．小明的解法：原式的倒数为（）＝（）×（﹣12）＝﹣4+10＝6，所以（﹣）＝．（1）请你判断小明的解答是否正确，并说明理由．（2）请你运用小明的解法解答下面的问题．计算：（﹣）．《有理数的除法》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题1．如图，下列关系式中，正确的是（）A．|b|＞|a|B．a＞﹣b C．b﹣a＞0D．【分析】依据数轴上表示有理数a和b的点的位置，即可得到正确的结论．【解答】解：由数轴可得：|b|＞|a|，a＜﹣b，b﹣a＜0，＜0，故选：A．【点评】本题主要考查了有理数的除法以及有理数的大小比较，正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．2．一个数的倒数的绝对值是3，这个数是（）A．3B．C．3或﹣3D．或﹣【分析】直接利用倒数以及绝对值的性质分析得出答案．【解答】解：设这个数为a，则||＝3，则＝±3，解得：a＝±．故选：D．【点评】此题主要考查了倒数和绝对值，正确把握相关定义是解题关键．3．有理数：4、、﹣4、16、﹣中，互为倒数的是（）A．4和B．4和﹣4C．4和16D．16和﹣【分析】直接利用互为倒数的定义得出答案．【解答】解：A、4和互为倒数，正确；B、4和﹣4，互为相反数，故此选项错误；C、4和16，不是互为倒数，故此选项错误；D、16和﹣，不是互为倒数，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．4．下列结论正确的个数有（）（1）﹣a一定是负数（2）当a≠0时，a的倒数是（3）a的相反数是﹣a（4）a是正数．A．1 个B．2 个C．3 个D．4个【分析】根据正负数、倒数、相反数的定义进行判定．【解答】解：（1）当a≤0时，﹣a不一定是负数，故错误；（2）当a≠0时，a的倒数是，故正确；（3）a的相反数是﹣a，故正确；（4）当a≤0时，a不是正数，故错误；故选：B．【点评】本题考查了倒数，相反数，正数和负数，属于基础题，熟记定义即可解答．5．乘积为﹣1的两个数叫做互为负倒数，则﹣2的负倒数是（）A．﹣2B．C．D．2【分析】根据负倒数的定义，可得出﹣2的负倒数．【解答】解：与﹣2乘积为﹣1的数为．﹣2的负倒数为．故选：C．【点评】此题考查了倒数的知识，解答本题的关键是理解题意，理解负倒数的定义，属于基础题，难度一般．6．在下列式子：①5×（﹣4）×（﹣2）；②（﹣12）÷；③（﹣4）4；④（﹣3）5中．其中，计算结果是负数的有（）A．①②B．①②③C．①③④D．②④【分析】先化简各式，再根据负数的定义，即可解答．【解答】解：①5×（﹣4）×（﹣2）＝40；②（﹣12）÷＝﹣72；③（﹣4）4＝44；④（﹣3）5＝﹣35．是负数的有：②④，故选：D．【点评】本题考查了有理数的乘法和除法，解决本题的关键是熟记有理数的乘法和除法．7．如果2a+b＝0（a≠0），则|﹣1|+|﹣2|的值为（）A．1或2B．2或3C．3D．4【分析】根据2a+b＝0（a≠0），可以得到a与b的比值，再分别讨论a，b的正负，从而可以解答本题．【解答】解：∵2a+b＝0（a≠0），∴2a＝﹣b∴，∴a，b异号，∴当a＞0，b＜0时，，|﹣1|+|﹣2|＝||+|﹣|＝＝3；当a＜0，b＞0时，，|﹣1|+|﹣2|＝|﹣|+||＝＝3；故选：C．【点评】本题考查有理数的除法和绝对值，解题的关键是明确题意，灵活变化，利用分类讨论的数学思想解答问题．8．现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0；②若两个数互为相反数，则它们相除的商等于﹣1；③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于其本身的有理数是零；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据有理数的分类、数轴、相反数、绝对值的定义、有理数的乘法的法则分别对每一项进行分析即可．【解答】解：①有理数包括所有正有理数、负有理数和0；故原命题错误；②若两个数（除零）互为相反数，则它们相除的商等于﹣1；故原命题错误；③数轴上的每一个点均表示一个确定的实数；故原命题错误；④绝对值等于其本身的有理数是零和正数，故原命题错误；⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误．故选：A．【点评】此题考查了有理数的分类、数轴、相反数、绝对值的定义、有理数的乘法的法则等知识点的运用，属于基础题，注意概念的掌握，及特殊例子的记忆．9．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可．【解答】解：根据分析，可得则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3．故选：B．【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．10．下列结论：①若a为有理数，则a2＞0；②若a2+b2＝0，则a+b＝0；③若a+b＝0，则＝﹣1；④若ab＞0，则＝﹣3，则其中正确的结论的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】①根据平方的意义，a取0时，结论不成立；②根据非负数的意义即可判断；③由条件得到a，b为互为相反数，即可判断结论正确；④当a，b同正时，结论错误．【解答】解：①若a＝0时，则a2＝0，故①错误；②∵a2≥0，b2≥0，若a2+b2＝0，则a＝b＝0，∴a+b＝0，故②正确；③若a+b＝0，则a＝﹣b，∴＝﹣1故③错误；④若ab＞0，则a，b同号，当a＞0，b＞0时，+＝2，c＞0时，＝3，c＜0时，＝1，c＝0时，＝2，故④错误，故选：C．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，非负数的性质，互为相反数的性质，掌握特殊值解题方法是解题的关键．二、填空题11．如果abc＞0，则++＝﹣1或3．【分析】abc＞0，可知a、b、c中二负一正或都是正，再分四种情况讨论即可解答．【解答】解：∵abc＞0，∴a、b、c中二负一正，或都是正，当a、b为负数，c为正数时，原式＝﹣1﹣1+1＝﹣1；当a、c为负数，b为正数时，原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1；当b、c为负数，a为正数时，原式＝1﹣1﹣1＝﹣1；当a、b、c都是正数时，原式＝1+1+1＝3．故答案为：﹣1或3．【点评】本题考查了绝对值的知识，解题的关键是判断a、b、c的符号，再分类讨论．此题难度不大，易于掌握．12．已知a是不等于﹣1的数，我们把称为a的和倒数．如：2的和倒数为＝，已知a1＝1，a2是a1的和倒数，a3是a2的和倒数．a4是a3的和倒数，…，依此类推，则a1•a2•a3…a10＝．【分析】首先根据新定义规则求出a1，a2，a3，a4，a5…a10，求解即可．【解答】解：a1＝1，a2＝，a3＝＝，，，，，，，，则a1•a2•a3…a10＝1×＝．故答案为：．【点评】本题考查了倒数，解决本题的关键是明确新定义．13．已知x是﹣1的倒数，y比x小﹣3，则（y﹣x）2＝9．【分析】直接利用倒数的定义得出x的值，即可得出y的值，进而分析得出答案．【解答】解：∵x是﹣1的倒数，∴x＝﹣1，∵y比x小﹣3，∴y＝﹣4，则（y﹣x）2＝9．故答案为：9．【点评】此题主要考查了倒数的定义，正确把握定义是解题关键．14．已知|a|＝5，|b|＝8．（1）若＜0，则a﹣b＝13或﹣13；（2）若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），则a﹣b＝﹣3或﹣13．【分析】（1）根据绝对值的意义，有理数的除法，可得a，b，根据有理数的减法，可得答案；（2）根据绝对值的意义，可得答案．【解答】解：（1）由|a|＝5，|b|＝8，若＜0，得a＝5，b＝﹣8，或a＝﹣5，b＝8，a＝5，b＝﹣8时，a﹣b＝5﹣（﹣8）＝13，a＝﹣5，b＝8时，a﹣b＝﹣5﹣8＝﹣13；故答案为13或﹣13．（2）由|a﹣b|＝﹣（a﹣b），得a＜b，若a＝5，b＝8，则a﹣b＝﹣3，若a＝﹣5，b＝8，则a﹣b＝﹣5﹣8＝﹣13．故答案为﹣3或﹣13．【点评】本题考查了有理数的除法，利用绝对值的意义得出a，b的值是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．15．10个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数的真分数）”，则这10个有理数的和为．【分析】由条件：分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数的真分数），用列举法逐个尝试即可得出答案．【解答】解：这10个有理数，每9个相加，一共得出另外10个数，由于原10个有理数互不相等，可以轻易得出它们相加后得出的另外10个数也是互不相等的，而这10个数根据题意都是分母22的既约真分数，而满足这个条件的真分数正好有10个，∴这10项分别是：，，，，，，，，，，它们每一个都是原来10个有理数其中9个相加的和，那么，如果再把这10个以22为分母的真分数相加，得出来的结果必然是原来的10个有理数之和的9倍．所以，10个真分数相加得出结果为5，于是所求的10个有理数之和为．故答案为：．【点评】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是根据分母为22的既约真分数得出由每9个的和所得的10个新数．三、解答题16．计算：（1）﹣5÷（﹣1）；（2）（﹣）÷（﹣）÷（﹣1）．【分析】根据有理数的除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数，即可解答．【解答】解：（1）﹣5÷（﹣1）＝5×＝3．（2）（﹣）÷（﹣）÷（﹣1）＝﹣＝﹣．【点评】本题考查了有理数的除法，解决本题的关键是熟记除以一个数等于乘以这个数的倒数．17．已知|a|＝2，|b|＝4，①若＜0，求a﹣b的值；②若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），求a﹣b的值．【分析】①首先根据绝对值的性质可得a＝±2，b＝±4，再根据＜0可得a、b异号，然后再确定a、b的值，进而可得答案；②根据绝对值的性质可得a﹣b≤0，然后再确定a、b的值，进而可得答案．【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝4，∴a＝±2，b＝±4，①∵＜0，∴a、b异号，当a＝2，b＝﹣4时，a﹣b＝6，当a＝﹣2，b＝4时，a﹣b＝﹣6；②∵|a﹣b|＝﹣（a﹣b），∴a﹣b≤0，∴a≤b，∴a＝2时，b＝4，a﹣b＝﹣2，a＝﹣2时，b＝4，a﹣b＝﹣6．【点评】此题主要考查了绝对值，以及有理数的减法，关键是掌握①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．18．小明和小王分别做同一批零件，小明在1小时内加工36个零件，小王在1小时内加工32个零件，他们两个人哪个效率高？【分析】计算出两人的工作效率后比较即可确定哪个效率高．【解答】解：∵小明在1小时内加工36个零件，小王在1小时内加工32个零件，∴小明的效率为：36÷1＝22.5，小王的效率为32÷1＝，∵22.5＞，∴小明的效率高．【点评】本题考查了有理数的除法的知识，解题的关键是能够利用有理数的除法求得效率，难度不大．19．有三个有理数a，b，c，已知a＝，（n为正整数）且a与b互为相反数，b与c互为倒数．（1）当n为奇数时你能求出a，b，c各是几吗？（2）当n为偶数时，你能求a，b，c三数吗？若能请算出结果，不能请说明理由．（3）根据（1）中的结论，求：ab﹣b n﹣（b﹣c）2015的值．【分析】（1）当n为奇数时，先求出a，再根据相反数和倒数的定义可求b，c 各是几；（2）当n为偶数时，先求出a，再根据相反数和倒数的定义可求b，c各是几；（3）根据（1）中的结论代入计算即可求解．【解答】解：（1）当n为奇数时，a＝＝2，∵a与b互为相反数，b与c互为倒数，∴b＝﹣2，c＝﹣；（2）当n为偶数时，a＝＝﹣2，∵a与b互为相反数，b与c互为倒数，∴b＝2，c＝；（3）∵a＝2，b＝﹣2，c＝﹣，∵ab﹣b n﹣（b﹣c）2015＝2×（﹣2）+2n﹣（﹣2+）2015＝﹣4+2n+（）2015．【点评】本题考查倒数、相反数、本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．20．数学老师布置了一道思考题“计算：（﹣）”，小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题．小明的解法：原式的倒数为（）＝（）×（﹣12）＝﹣4+10＝6，所以（﹣）＝．（1）请你判断小明的解答是否正确，并说明理由．（2）请你运用小明的解法解答下面的问题．计算：（﹣）．【分析】（1）正确，利用倒数的定义判断即可；（2）求出原式的倒数，即可确定出原式的值．【解答】解：（1）正确，理由为：一个数的倒数的倒数等于原数；（2）原式的倒数为（﹣+）÷（﹣）＝（﹣+）×（﹣24）＝﹣8+4﹣9＝﹣13，则（﹣）÷（﹣+）＝﹣．【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
人教版数学七年级上册第1章 有理数 拓展训练(一)
七年级上册第1章拓展训练（一）一．选择题1．下列各数中，比﹣2小的数是（）A．0B．﹣3C．﹣1D．|﹣0.6|2．点A在数轴上，点A所对应的数用2a+1表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（）A．﹣2或1B．﹣2或2C．﹣2D．13．计算（﹣6）÷（﹣）的结果是（）A．﹣18B．2C．18D．﹣24．今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（）A．1.109×107B．1.109×106C．0.1109×108D．11.09×106 5．如果温度上升3℃，记作+3℃，那么温度下降2℃记作（）A．﹣2℃B．+2℃C．+3℃D．﹣3℃6．如图，数轴上点A 对应的数是，将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数是（）A ．﹣B．﹣2C ．D ．7．下列各组数中，相等的一组是（）A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1|B．﹣32与（﹣3）2第1页（共1页）C．（﹣4）3与﹣43D ．与（）28．以下叙述中，正确的是（）A．正数与负数互为相反数B．表示相反意义的量的两个数互为相反数C．任何有理数都有相反数D．一个数的相反数是负数9．将九个数分别填在3×3 （3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于m，则将这样的图称为“和m幻方”．如图①为“和15幻方”，图②为“和0幻方”，图③为“和39幻方”，若图④为“和m幻方”，则m的值等于（）A．6B．3C．﹣6D．﹣910．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为；（其中k 是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝26．则：若n＝49，则第449次“F运算”的结果是（）A．98B．88C．78D．68二．填空题第1页（共1页）11．0.8：0.2的最简整数比是，它们的比值是．12．在90%，+8，0，﹣15，﹣0.7，+，19中正数有个．13．我市某天的最高气温是4℃，最低气温是﹣1℃，则这天的日温差是℃．14．对于有理数a、b，定义一种新运算，规定a☆b＝a2﹣|b|，则3☆（﹣2）＝．15．先阅读，再解答：对于三个数a、b、c中，我们用符号来表示其中最大的数和最小的数，规定min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：min{﹣1，1，3}＝﹣1，max{﹣1，1，3}＝3；（1）min{2，0，﹣3}＝；（2）若min{﹣1，﹣2，|x|}＝max{2x+1，﹣1+2x，2x}，则x的值为．三．解答题16．计算：（1）；（2）﹣22﹣（﹣8）÷（﹣2）3﹣（﹣2）×（﹣4）．17．某品牌的微波炉搞促销活动，在甲商场每满200元减40元，在乙商场打八折出售．妈妈要买一台标价为450元的这种微波炉．在甲、乙哪个商场买合算？18．如图，在数轴上有A，B两点，点A在点B的左侧．已知点B对应的数为2，点A对应的数为a．（1）若a＝﹣1，则线段AB的长为；（2）若点C到原点的距离为3，且在点A的左侧，BC﹣AC＝4，求a的值．19．对于四个数“﹣6，﹣2，1，4”及四种运算“+，﹣，×，÷”，列算式解答：第1页（共1页）（1）求这四个数的和；（2）在这四个数中选出两个数，填入下列□中，使得：①“□﹣□”的结果最小；②“□×□”的结果最大．（3）在这四个数中选出三个数，在四种运算中选出两种，组成一个算式，使运算结果等于没选的那个数．20．若有a，b两个数，满足关系式a+b＝ab﹣1，则称a．b为“共生数对“，记作（a，b）．例如：当2，3满足2+3＝2×3﹣1时，则（2，3）是“共生数对“．（I）若（x，﹣3）是“共生数对“，求x的值：（2）若（m，n）是“共生数对“，判断（n，m）是否也是“共生数对“，请通过计算说明：（3）请再写出两个不同的“共生数对”．第1页（共1页）参考答案一．选择题1．解：∵|﹣0.6|＝0.6，∴﹣3＜﹣2＜﹣1＜0＜|﹣0.6|．故选：B．2．解：由题意得，|2a+1|＝3，解得，a＝1或a＝﹣2，故选：A．3．解：（﹣6）÷（﹣）＝（﹣6）×（﹣3）＝18．故选：C．4．解：∵1109万＝11090000，∴11090000＝1.109×107．故选：A．5．解：“正”和“负”相对，如果温度上升3℃，记作+3℃，温度下降2℃记作﹣2℃．故选：A．6．解：点A向左移动2个单位，第1页（共1页）点B 对应的数为：﹣2＝﹣．故选：A．7．解：A、﹣|﹣1|＝﹣1，﹣（﹣1）＝1，﹣（﹣1）≠﹣|﹣1|，故本选项错误；B、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，9≠﹣9，故本选项错误；C、（﹣4）3＝﹣64，﹣43＝﹣64，（﹣4）3＝﹣43，故本选项正确；D 、＝，＝，≠，故本选项错误．故选：C．8．解：A、如：+5和﹣3不是互为相反数，故本选项错误；B、只有符号不同的两个数叫做互为相反数，故本选项错误；C、任何有理数都有相反数是正确的；D、0的相反数是0，不是负数，故本选项错误．故选：C．9．解：图④中，由第1行与第1列三数和相等，便可求得第3行第1个数为﹣2，∵﹣2﹣4＝﹣6，∴中间数是﹣6÷2＝﹣3，∴m＝﹣6﹣3＝﹣9．故选：D．10．解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n ＝49为奇数应先进行F①运算，即3×49+5＝152（偶数），第1页（共1页）需再进行F②运算，即152÷23＝19（奇数），再进行F①运算，得到3×19+5＝62（偶数），再进行F②运算，即62÷21＝31（奇数），再进行F①运算，得到3×31+5＝98（偶数），再进行F②运算，即98÷21＝49，再进行F①运算，得到3×49+5＝152（偶数），…，即第1次运算结果为152，…，第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，…，可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152，则6次一循环，449÷6＝74…5，则第449次“F运算”的结果是98．故选：A．二．填空题11．解：0.8：0.2＝8：2＝4：1，0.8：0.2＝0.8÷0.2＝4．故答案为：4：1；4．12．解：在90%，+8，0，﹣15，﹣0.7，+，19中正数有：90%，+8，+，19，共有4个，第1页（共1页）故答案为：4．13．解：4﹣（﹣1）＝4+1＝5．故答案为：5．14．解：3☆（﹣2）＝32﹣|﹣2|＝9﹣2＝7，故答案为：7．15．解：（1）∵﹣3＜0＜2，∴min{2，0，﹣3}＝﹣3，故答案为：﹣3；（2）∵min{﹣1，﹣2，|x|}＝﹣2，max{2x+1，﹣1+2x，2x}＝2x+1，∵min{﹣1，﹣2，|x|}＝max{2x+1，﹣1+2x，2x}，∴2x+1＝﹣2解得：x ＝﹣；故答案为：﹣．三．解答题16．解：（1）＝25；（2）﹣22﹣（﹣8）÷（﹣2）3﹣（﹣2）×（﹣4）＝﹣4﹣（﹣8）÷（﹣8）﹣8第1页（共1页）＝﹣4﹣1﹣8＝﹣13．17．解：甲商场450﹣40×2＝370（元），乙商场450×80%＝360（元），360元＜370元．答：在乙商场买合算．18．解：（1）AB＝2﹣a＝2﹣（﹣1）＝3，故答案为：3；（2）∵点C到原点的距离为3，∴设点C表示的数为c，则|c|＝3，即c＝±3，∵点A在点B的左侧，点C在点A的左侧，且点B表示的数为2，∴点C表示的数为﹣3，∵BC﹣AC＝4，∴2﹣（﹣3）﹣[a﹣（﹣3）]＝4，解得a＝﹣2．19．解：（1）（﹣6）+（﹣2）+1+4＝﹣8+1+4＝﹣7+4＝﹣3；（2）由题目中的数字可得，第1页（共1页）①（﹣6）﹣4的结果最小；②（﹣6）×（﹣2）的结果最大；（3）答案不唯一，符合要求即可．如：﹣2﹣1×4＝﹣6；﹣6+4÷1＝﹣2；4﹣（﹣6）÷（﹣2）＝1；（﹣2）×1﹣（﹣6）＝4．20．解：（1）∵（x，﹣3）是“共生数对”，∴x﹣3＝﹣3x﹣1，解得：x ＝；（2）（n，m）也是“共生数对”，理由：∵（m，n）是“共生数对”，∴m+n＝m﹣1，∴n+m＝m+n＝mn﹣1＝nm﹣1，∴（n，m）也是“共生数对”；（3）由a+b＝ab﹣1，得b ＝，若a＝3时，b＝2；若a＝﹣1时，b＝0，∴（3，2）和（﹣1，0）是“共生数对”第1页（共1页）。
人教版数学七年级上册第1章：有理数 综合拓展训练(一)
七年级上册第1章综合拓展训练（一）一．选择题1．（﹣1）2020等于（）A．1B．﹣2020C．2020D．﹣12．如果温度上升3℃，记作+3℃，那么温度下降2℃记作（）A．﹣2℃B．+2℃C．+3℃D．﹣3℃3．已知：，且abc＞0，a+b+c＝0．则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y＝（）A．4B．3C．2D．14．计算4+（﹣8）÷（﹣4）﹣（﹣1）的结果是（）A．2B．3C．7D．5．如图，数轴上A，B，C，D，E五个点表示连续的五个整数a，b，c，d，e，且a+e＝0，则下列说法：①点C表示的数字是0；②b+d＝0；③e＝﹣2；④a+b+c+d+e＝0．正确的有（）A．都正确B．只有①③正确C．只有①②③正确D．只有③不正确6．定义运算a★b＝|ab﹣2a﹣b|，如1★3＝|1×3﹣2×1﹣3|＝2．若a＝2，且a★b＝3，则b的值为（）A．7B．1C．1或7D．3或﹣37．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a和3，将点A向左平移1个单位长度，得到点C．若OC＝OB，则a的值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．28．已知a，b，c，d为非零实数，则的可能值的个数为（）A．3B．4C．5D．69．下列各式x、x2、、x2+2、|x+2|中，值一定是正数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．若a＝﹣2018，则式子|a2+2017a+1|+|a2+2019a﹣1|的值为（）A．4034B．4036C．4037D．4038二．填空题11．计算：0﹣（﹣6）＝．12．﹣1的倒数是，绝对值等于10的数是，平方等于4的数是．13．对于有理数a、b，定义一种新运算，规定a☆b＝a2﹣|b|，则3☆（﹣2）＝．14．计算：（﹣4）2017×（﹣0.25）2019＝；（﹣2）200+（﹣2）201＝．15．若x4＝81，则x的值是．三．解答题16．把下列各数填在相应的集合内：6，﹣3，2.5，0，﹣1，﹣|﹣9|，﹣（﹣3.15）．（1）整数集合{…}；（2）分数集合{…}；（3）非负数集合{…}；（4）正数集合{…}．17．计算：（1）（﹣+﹣）×（﹣24）（2）﹣23﹣|﹣3|+4﹣（﹣）×（﹣3）18．有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：与标准质量的差值（单位：千克）﹣3﹣2﹣1.501 2.5筐数242336（1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐多重多少千克？（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？（3）若白菜每千克售价1.6元，则出售这20筐白菜可卖多少元？（结果保留整数）19．计算：已知|x﹣1|＝3，|y|＝2，（1）当xy＜0时，求x+y的值；（2）求x﹣y的最大值．20．阅读下列材料：计算：÷（﹣+）．解法一：原式＝÷﹣÷+÷＝×3﹣×4+×12＝．解法二：原式＝÷（﹣+）＝÷＝×6＝．解法三：原式的倒数＝（﹣+）÷＝（﹣+）×24＝×24﹣×24+×24＝4．所以，原式＝．（1）上述得到的结果不同，你认为解法是错误的；（2）请你选择合适的解法计算：（﹣）÷（+﹣﹣）．参考答案一．选择题1．解：（﹣1）2020＝1，故选：A．2．解：“正”和“负”相对，如果温度上升3℃，记作+3℃，温度下降2℃记作﹣2℃．故选：A．3．解：∵abc＞0，a+b+c＝0，∴a、b、c为两个负数，一个正数，a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，m＝++∴分三种情况说明：当a＜0，b＜0，c＞0时，m＝﹣1﹣2+3＝0，当a＜0，c＜0，b＞0时，m＝﹣1+2﹣3＝﹣2，当a＞0，b＜0，c＜0时，m＝1﹣2﹣3＝﹣4，∴m共有3个不同的值，﹣4，﹣2，0．最大的值为0．∴x＝3，y＝0，∴x+y＝3．故选：B．4．解：原式＝4+2+1＝7，故选：C．5．解：∵a，b，c，d，e表示连续的五个整数，且a+e＝0，∴a＝﹣2，b＝﹣1，c＝0，d＝1，e＝2，于是①②④正确，而③不正确，故选：D．6．解：∵a★b＝3，且a＝2，∴|2b﹣4﹣b|＝3，∴2b﹣4﹣b＝3或2b﹣4﹣b＝﹣3，解得b＝7或b＝1，故选：C．7．解：由题意知：A点表示的数为a，B点表示的数为3，C点表示的数为a﹣1．因为CO＝BO，所以|a﹣1|＝3，解得a＝﹣2或4∵a＜0，∴a＝﹣2．故选：B．8．解：①a，b，c，d四个数都是正数时，原式＝1+1+1+1+1＝5；②a，b，c，d中有a，b，c三个正数时，原式＝1+1﹣1﹣1﹣1＝﹣1；③a，b，c，d中有a，b或a，c两个正数时，原式＝1﹣1+1﹣1+1＝1或原式＝﹣1﹣1﹣1﹣1+1＝﹣3；④a，b，c，d中有a一个正数时，原式＝﹣1+1+1﹣1﹣1＝﹣1；⑤a，b，c，d都是负数时，原式＝1+1+1+1+1＝5．综上所述，的可能值的个数为4．故选：B．9．解：x不一定是正数；x2不一定是正数；一定是正数；x2+2一定是正数；|x+2|不一定是正数；所以值一定是正数的有2个，故选：B．10．解：∵a＝﹣2018，∴|a2+2017a+1|+|a2+2019a﹣1|＝|20182﹣2017×2018+1|+|20182﹣2019×2018﹣1|＝|2018×（2018﹣2017）+1|+|2018×（2018﹣2019）﹣1|＝|2018+1|+|﹣2018﹣1|＝2019+2019＝4038，故选：D．二．填空题11．解：原式＝0+6＝6．故答案为：6．12．解：﹣1的倒数是1÷（﹣1）＝﹣，∵|±10|＝10∴绝对值等于10的数是±10，∵（±2）2＝4，∴平方等于4的数是±2，故答案为：；±10；±2．13．解：3☆（﹣2）＝32﹣|﹣2|＝9﹣2＝7，故答案为：7．14．解：（﹣4）2017×（﹣0.25）2019＝（﹣4）2017×（﹣0.25）2017×（﹣0.25）2＝[﹣4×（﹣0.25）]2017×（﹣0.25）2＝＝＝；（﹣2）200+（﹣2）201＝（﹣2）200+（﹣2）200×（﹣2）＝﹣（﹣2）200＝﹣2200．故答案为：；﹣2200．15．解：因为（±3）4＝81，所以x＝±3．故答案为：±3．三．解答题16．解：由题可得：（1）整数集合{ 6，﹣3，0，﹣1，﹣|﹣9|…}；（2）分数集合{ 2.5，﹣（﹣3.15）…}；（3）非负数集合{ 6，2.5，0，﹣（﹣3.15）…}；（4）正数集合{ 6，2.5，﹣（﹣3.15）…}．故答案为：（1）6，﹣3，0，﹣1，﹣|﹣9|；（2）2.5，﹣（﹣3.15）；（3）6，2.5，0，﹣（﹣3.15）；（4）6，2.5，﹣（﹣3.15）．17．解：（1）（﹣+﹣）×（﹣24）＝18﹣14+15＝19；（2）﹣23﹣|﹣3|+4﹣（﹣）×（﹣3）＝﹣8﹣3+4﹣＝﹣8．18．解：（1）最重的一筐比最轻的一筐多重2.5﹣（﹣3）＝2.5+3＝5.5（千克），答：20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐多重5.5千克；（2）﹣3×2+（﹣2）×4+（﹣1.5）×2+0×3+1×3+2.5×6＝1（千克），答：20筐白菜总计超过1千克；（3）（25×20+1）×1.6＝501×1.6≈802（元），答：白菜每千克售价1.6元，则出售这20筐白菜可卖802元．19．解：（1）∵|x﹣1|＝3，|y|＝2，∴x＝4或﹣2，y＝2或﹣2，∵xy＜0，∴x＝4，y＝﹣2或x＝﹣2，y＝2，∴x+y＝2或0；（2）∵|x﹣1|＝3，|y|＝2，∴x＝4或﹣2，y＝2或﹣2，∴x﹣y的最大值为4﹣（﹣2）＝6．20．解：（1）根据题目中的解答方法，可知解法一是错误的，故答案为：一；（2）原式的倒数＝（+﹣﹣）÷（﹣）＝（+﹣﹣）×（﹣210）＝×（﹣210）+×（﹣210）﹣×（﹣210）﹣×（﹣210）＝（﹣90）+（﹣28）+63+50＝﹣5，故（﹣）÷（+﹣﹣）＝．11 / 11。
初中数学专项练习《有理数》50道解答题包含答案
初中数学专项练习《有理数》50道解答题包含答案一、解答题(共50题)1、在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”号将这些数按从小到大的顺序连接起来：﹣，0，2，﹣（+3），|﹣5|，﹣1.5．2、省实验中学初一年级某班体育课上全班女生进行了百米测验，达标成绩为18秒，下面是第一小组8名女生的成绩记录（其中“+”表示成绩大于18秒，“﹣”表示成绩小于18秒）﹣1，+0.8，0，﹣1.2，﹣0.1，0，+0.5，﹣0.6这个小组女生的达标率为多少？平均成绩为多少秒？3、在数轴上表示下列各数，并把它们按照从小到大的顺序排列.1， -2， -2.5， 0，|-3|，4、小红和小明根据下图做游戏，在游戏中规定：长方形表示加，圆形表示减，结果小的获胜．列式计算，小明和小红谁为胜者？5、在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来﹣(﹣3)； |﹣2|； 0； (﹣1)3； -3.5；；；．6、结合具体的数，通过特例进行归纳，然后判断下列说法的对错，认为对的，说明理由，认为错的，举出反例．（1）任何一个数与它的相反数的和都为0；（2）任何一个数a（a≠0）与它的倒数的积可能是1也可能是﹣1；（3）如果a大于b（a＜0，b＜0）．那么a的倒数大于b的倒数．7、8、已知a，b，c为三个不等于0的数，且满足abc＞0，a+b+c＜0，求++ 的值．9、把下列各数填到相应的括号内：＋203、0、＋6.4、－9、、3.14、－0.1整数： { … }正有理数：{ … }负分数： { … }非负整数：{ … }10、在数轴上表示下列各数，并用“ ”号把它们连接起来.，，，1 ， 0 ，11、若a， b互为相反数，c，d互为倒数，|m|=2，求a+b+m2﹣3cd的值．12、若a＞0，b＞0，且，则a＞b；若a＜0，b＜0，且，则a＜b．以上这种比较大小的方法，叫做作商比较法．试利用作商比较法，比较与的大小．13、用四舍五入法按下列要求取各数的近似数．（1）某次地震中，约伤亡10000人；（保留两个有效数字）（2）生物学家发现一种毒的长度约为0.0000430mm．（保留两个有效数字）14、在数轴上表示出下列各数，并把这些数用“＞”号连接起来：﹣3.5，2 ，﹣1，415、已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，且m是最大的负整数，求2ab﹣m2的值．16、已知:有理数m到原点的距离为4个单位,a,b互为相反数,且都不为零,c,d 互为倒数.求:2a+2b+（-3cd)+|m|的值.17、在数轴上画出表示下列各数的点，并把它们按从小到大的顺序用“＜”连接起来：﹣3，3.5，0，﹣，﹣4，1.5．18、经过30多年的观测，人们发现冥王星的直径只有2.3×106米，比月球还要小，因此2006年8月24日在在捷克首都布拉格举行的国际天文学联合会第26届大会上，根据新定义，冥王星被排在行星行列之外，而将其列入“矮行星”．若银河系密集部分的直径是十万光年，用科学记数法表示冥王星与银河系密集部分直径的比值．（结果保留两位有效数字）19、已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m是绝对值等于3的负数．求的值．20、将下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”连接：﹣22，﹣（﹣1），0，|﹣3|，﹣2.5．21、某公园的成人票价是15元，儿童买半票，甲旅行团有x（名）成年人和y （名）儿童，乙旅行团的成人数是甲旅行团的2倍，儿童数比甲旅行团的2倍少8人．这两个旅行团的门票费用总和各是多少？22、写出下列各数的相反数，并将这些数连同他们的相反数在数轴上表示出来．+3，-1.5，0，23、把下列各数在数轴上表示出来，并用“ ”号把这些数连接起来.24、在数轴上画出表示下列各数的点,并把它们用“ ”连接起来. ，0，，|-3|，-(-3.5).25、一架直升飞机从高度为450米的位置开始，先以20米/秒的速度上升60秒,后以 12米/秒的速度下降120秒,这时的直升飞机所在的高度是多少?26、某中学老师为减轻学生们的负担，让同学们做了一个游戏，他说：“如果张华和李明分别代表不大于5的正整数m、n，且是最简真分数，那么形如的数一共有多少个不同的有理数？”27、已知|a﹣1|=9，|b+2|=6，且a+b＜0，求a﹣b的值．28、有一个水库某天8：00的水位为（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：）：．经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？29、已知实数a，b，c在数轴上的位置如图，且，化简30、小希准备在6年后考上大学时，用15000元给父母买一份礼物表示感谢，决定现在把零花钱存入银行下面有两种储蓄方案：①直接存一个6年期.（6年期年利率为）②先存一个3年期，3年后本金与利息的和再自动转存一个3年期.（3年期年利率为）你认为按哪种储蓄方案开始存入的本金比较少？请通过计算说明理由.31、若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于2，计算m﹣(a+b)2﹣(cd)3的值．32、如图所示，某公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人．三个区在同一条直线上，该公司的接送车打算在此间设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在哪个区？33、把下列各数在数轴上表示出来，并用“>”号把它们连接起来。
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《有理数》课外拓展训练题
一、选择题
1.四个同学每两个人握一次手,一共握手( )
A.8次
B.4次
C.6次
D.10次
2.一种电视机原价1200元，现在每台只卖960元。
降价了（）
A. 25%
B. 20%
C. 50%
D. 15%
3.某工人原计划10小时完成的工作,8小时就全部完成了,他的工作效率比原计划提高了( )
A. 20%
B. 120%
C. 25%
D. 80%
4.对于3个连续的自然数a、b、c来说，下面的数量关系正确的是（）
A. b=c−a
B. a−b=c−b
C. b=(a+c)÷2
D. a=b+c
5.蜗牛爬井,井高12米,蜗牛白天爬3米,晚上掉下2米,问蜗牛几天可以爬出井去?( )
A. 30
B. 20
C. 10
D. 5
6.某粮店出售的三种品牌的面粉袋上,分别标有质量为(25±0.1)kg、(25±0.2)kg、(25±0.3)kg
的字样,从中任意拿出两袋,它们的质量最多相差( )
A. 0.8kg
B. 0.6kg
C. 0.5kg
D. 0.4kg
7.如图1,圆的周长为4个单位。
在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q.如图2,先将圆周
上表示p的点与数轴原点重合,然后将该圆沿着数轴的负方向滚动,则数轴上表示−2013的点与圆周上重合的点对应的字母是( )
A. m
B. n
C. p
D. q
二、填空题
8.某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围
9.观察下面一列数：−1，2，−3，4，−5
，6，−7，…，将这列数排成下列形式：
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是______，数−201是从左边数起第______个数。
10.如图所示,在直线l上有若干个点A1、A2、…、A n,每相邻两点之间的距离都为1,点P是线段
A1A n上的一个动点。
(1)当n=3时,则点P分别到点A1、A2、A3的距离之和的最小值是___；
(2)当n=13时,则当点P在点___的位置时,点P分别到点A1、A2、…、A13的
距离之和有最小值，且最小值是_ __.
11.如图，方格表中的格子填上了数，每一行每一列及两条对角线中所填数的和均相等，则x
的值___ ___.
12..一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动,第一次跳动到OA的中点A1处,第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处,第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为__ _.
13.在奥运五环图案内,分别填写五个数a ,b,c,d,e
,如图,,其中a,b,c是三个连续偶数 (a<b<c),d,e是两个连续奇数(d<e),
且满足
a+b+c=d+e,例如：。
请你在0～20之间选择
另一组符合条件的数填入下图：。
14.分子是1的分数叫做单位分数,如
1
1
,
2
1
、
3
1
、
4
1
,…,某些单位分数可以拆成两个分母是相邻自
（第7题）
1。