智慧作业---圆周角定理
圆周角定理一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半
圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半证明：已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.证明：情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：图1向左转|向右转∵OA、OC是半径解：∴OA=OC∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）∵∠BOC是△AOC的外角∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC情况2：如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：连接AO，并延长AO交⊙O于D图2向左转|向右转∵OA、OB、OC是半径解：∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC情况3：如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：图3向左转|向右转连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。
解：∵OA、OB、OC、是半径∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC从而得证：∠BOC=2∠BAC.。
圆周角定理及其推论
圆周⾓定理及其推论
圆周⾓定理指的是⼀条弧所对圆周⾓等于它所对圆⼼⾓的⼀半。
这⼀定理叫做圆周⾓定理。
定理推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周⾓相等，相等的圆周⾓所对的弧也相等。
定理内容
圆周⾓的度数等于它所对弧上的圆⼼⾓度数的⼀半，同弧或等弧所对的圆周⾓相等。
圆周⾓：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的⾓叫做圆周⾓，这⼀定义实质上反映的是圆周⾓所具备的两个特征：①顶点在圆上，②两边都和圆相交。
这两个条件缺⼀不可。
定理推论
1.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周⾓相等，相等的圆周⾓所对的弧也相等。
2.半圆（直径）所对的圆周⾓是直⾓；90°的圆周⾓所对的弦是直径。
3.圆的内接四边形的对⾓互补，并且任何⼀个外⾓都等于它的内对⾓。
2.1圆周角定理
例1:如图:AB,AC是⊙O的两条弦,延长CA到D, 使AD=AB.若∠ADB=40°, 求∠BOC的度数．
B O C
D A
160°
例２．ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＢＤ是⊙Ｏ的弦， 延长ＢＤ到点Ｃ，使ＣＤ＝ＢＤ，连接ＡＣ． 判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？
C
小结： 圆周角／圆心角定理
圆周角定理：
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． 推论１：在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧也相等． 推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
９０°的圆周角所对的弦是直径．
小结： 圆周角／圆心角定理
B E · O H D G C
３.如图，BC是半圆的直径,P是半圆上的一点,过 BP 的中点Ａ，作ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ，ＢＰ交ＡＤ 于Ｅ，交ＡＣ于Ｆ， 求证：ＢＥ＝ＡＥ＝ＥＦ
︵
Ａ
2
Ｂ
ＥＦ Ｄ
1
3 4
Ｐ
Ｃ
４、如图， Δ ABC内接于⊙Ｏ，ＡＨ⊥ＢＣ于点Ｈ， 求证：（１）∠ＯＡＢ＝∠ＨＡＣ （２）ＯＡ·ＡＨ＝１／２ＡＢ·ＡＣ
(第1题) (第2题) (第3题)
2.如图,圆的直径AB=13cm,C为圆上一点,CD⊥AB,垂 足D,且CD=6cm.求AD的长. ⌒ ⌒ 3.如图,BC是⊙O的直径, AD⊥BC,垂足D.AB=AF,BF 和 AD相交于E.求证:AE=BE.
2、如图，设AD,CF是Δ ABC的两条高, AD,CF的延长线交Δ ABC的外接圆O于G,AE 是⊙O的直径,求证: (1)AB·AC=AD·AE F A (2)DG=DH
初中数学易错题流程化-圆周角定理
初中数学易错题流程化-圆周角定理重庆中考中，有关圆的考点相对比较简单，但正因为比较简单，导致很多学生对圆不太敏感，很多时候看似都做对了，其实逻辑性并不严明，属于蒙对的，所以在考试中并不能保证百分之百做对。
今天我们就先讲其中一个考点—圆周角定理。
知识点：圆周角定理，圆中边角弦的关系流程化讲解例：如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，连接AO，AC，∠AOB=64°，则∠ACB= ．（出自2017重庆中考15题）解题过程：1. 标注∠AOB=64°，所求∠ACB的位置（几何计算中，第一步都是读题标注好已知信息）2. ∵∠ACB和∠AOB是均是弧AB所对应的圆周角和圆心角∴∠ACB=1/2∠AOB=32°（这道题解题过程很简单，直接用圆周角定理就能做对，所以圆的内容在重庆中考中不难，大家不要担心自己不会做）总结：这道题很简单，很多同学总觉得没什么可讲的，那么我所表达的流程化到底在哪儿呢，我们来分析一下：第一步：标注已知信息（这一步是所有几何题都都应该先做的，不只是计算题，几何证明题也同样重要）第二步：看问题，分析找所求角对应弧，比如这道题对应的就是弧AB（在几何计算中，我们重要的就是看问题所求的量，角也好，边也好，我们得分析出这个角如何求，边如何求）第三步：找对应弧上的圆周角或圆心角，如果没有，可添加辅助线构造那么这道题简单就简单在这里，弧AB所对应的就只有圆心角AOB第四步：求出对应的圆心角或者圆周角，那么这道题简单就简单在这里，弧AB所对应的就只有圆心角AOB已知其度数，所以利用圆周角定理就求出答案了。
（如果不知道角的度数，我们就要导角，那么导角对于圆的题来说相对比较简单，就是与已知角产生关系）流程化巩固（为了更好地帮助大家理解到这简单三步的好处，我们下面再来看一道题）例：如图，CD 是⊙O的直径，A、B两点在⊙O上，且 AB与CD 交于点E，若∠BAO=30°，AO∥BC，则∠AOD的度数为（）A．120° B．100° C．170° D．150°解：第一步：标注已知信息相信大家都做好了第二步：第二步所求∠AOD对应的弧是弧AD第三步：弧AD所对应的圆周角图中没有，可以连接BD构造∠ABD，此时我们知道求出∠ABD乘以2，就求出了∠AOD第四步：求∠ABD，∠ABD挨着∠ABC，∠ABC=∠BAO=30°，且∠ABC+∠ABD=∠BCD（这样就与已知角产生了关系），又因为∠BCD=90°，所以∠ABD=90°-30°=60°所以就求出来∠AOD=120°注：今天给大家讲了一个很简单的几何计算题，并不是说这道题难，而是在给大家提供一个思路，就是几何题的逻辑思路，很多同学在做几何的时候就是没有方向，自己把每个角每条边能算的都算出来，最后来看能否求出答案，很明显就算最后选对了答案，也浪费了很多时间，所以一定要注意，不管多简单的几何题，都能明白解题的方向在哪儿，能理清楚解题的逻辑性，那么才算真的掌握到了几何解题的要点。
圆周角定理的应用
圆周角定理的应用圆周角定理是圆中的一个非常重要的定理，通过它，我们可以在求角度、算线段等方面有所作为。
我们一起来看几例。
一、求出相关角度。
圆周角定理揭示了它和同弧所对的圆心角度数之间的关系。
例1如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C=34°，则∠AOB的度数为多少分析：观察图形，发现∠C和∠AOB都是AB所对的角，一个是圆周角，另一个是圆心角，根据圆周角定理可得出结论。
解：因为∠C和∠AOB都是AB所对，则∠AOB＝2∠C，得∠AOB＝68°。
评：理解定理，运用定理。
例2如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，若∠A=14°，∠E＝12°，则∠DOB的度数为多少分析：观察图形，∠A和∠E这两个圆周角共起来，才和圆心角∠DOB同对一弧，问题可解。
解：∠A和∠E这两个圆周角共起来，才和圆心角∠DOB同对一弧BD，所以∠DOB＝2（∠A＋∠E）＝52°。
评：寻求已知和求知之间的联系。
二、求相关线段之间的关系通过圆周角定理，可找出相关线段所在三角形中角度之间的关系，从而可进一步加以探索。
例3 如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于D，DE∥BA交⊙O于E。
求证：AC＝DE。
分析：因为相等的圆周角所对的弦相等，则要证AC＝DE，只需证∠DAE ＝∠ADC。
证：连结AE、DC，因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC，因为DE∥BA，所以∠BAD＝∠EDA，所以∠DAC＝∠EDA，因为EC公共，所以∠EAC＝∠EDC，所以∠DAC＋∠CAE＝∠ADE＋∠EDC所以∠DAE＝∠ADC，所以AC＝DE。
评：通过寻求同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角与弦等元素之间的对应关系，寻求解题思路。
例4 已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D，AE是⊙O 的直径，若S△ABC=S，⊙O的半径为R．求证：AB·AC=AD·AE分析：本题要证明的结论是“等积式”，•通常的思路是把等积式转化成比例式，再找相似三角形．上式可改成AB AEAD AC，则寻求△ADC∽△ABE。
圆周角定理及其运用
求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以AB为直径作⊙O，
1
∵AO=BO， CO= 2 AB,
A
·
B
O
∴AO=BO=CO.
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
∴∠ACB=
1 2
×180°=90°.源自∴ △ABC 为直角三角形.
3. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D 为半圆上的两点，∠COD=50°，则
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半．都等于这条弧度数的一半。
A
C
G
B
●O
C
A
D
B
推论
1.在同圆或等圆中，如果（1）两个圆心角（2）两 个圆周角（3）两条弧（4）两条弦（5）两条弦心 C1
距中有一组量相等，那么其他对应四组量也相等。
2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆A 周角所对的弦是直径．
∠CAD=_2_5__°__；
4、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为
(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_20°_；
D
A
O 40° B
C
例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平
分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
C
在Rt△ABC中，
BC AB2 AC2 102 62 8
A
O
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
O F
E
C2
C3
·O
圆周角定理的推论2及圆
圆周角定理的推论2及圆
圆周角定理是几何学中的重要定理，它指的是：在任意三角形中，其三个内角的和为180°；而在任意园形内，相应的三角形所有内角的和为园周角，即360°，这就是圆周角定理。
圆周角定理是根据三角形和圆形的基础知识来说明的，其中三角形在几何学中是一种重要的几何体，其有三个角度。
任意三角形中，其三个角度的和是180°，而圆则是一个完整的圆形，因而其一个圈中包含了好多条边缘，所有的角度的和就是360°，这也正好等于园周角。
圆周角定理的推论2是：如果三点不在一条直线上，则这三点可以构成一个三角形，而在三角形内，其三个内角的和为180°；另一方面，一个圆中包含了很多条边缘，而它们如果组成三角形，那么它们的和是360°，因此，三角形内角的和等于园周角的和，就是圆周角定理。
因此，圆周角定理的推论2的意义在于，它使得对于所有的园形，可以很容易构绘出来，也可以更方便地计算出其内部的角度数。
圆周角定理的推论2也可以用来帮助解决许多几何问题，比如求椭圆的长短轴长度等。
总而言之，圆周角定理是一个重要的定理，它反映了三角形和圆形之间的关系，并由此推论出了圆周角定理的推论2，使得求解复杂几何问题更加容易，不仅提高了几何的计算应用，而且也成为了几何学的一大宝贵知识。
圆周角定理
∵∠1=∠2,∴ = ,
∴BF=CG, = ,
∴∠FBD=∠GCE.
又 ∵BD=CE,∴△BFD≌△CGE,
∴∠F=∠G,∴ = ,
∴AB=AC.
题型一
题型二
题型三
题型三
易错辨析
易错点:误认为同弦或等弦所对圆周角相等而致错
【例3】 如图,若∠BAD=75°,则∠BCD=
分成两条弧:优弧和劣弧,若圆周角的顶点同在优弧上或同在劣弧
上,同弦或等弦所对的圆周角相等;若一个圆周角的顶点在优弧上,
另一个圆周角的顶点在劣弧上,则同弦或等弦所对的圆周角不相等,
它们互补(如本题).
(2)在圆周角定理的证明中,运用了数学中分类讨论和化归的思想
以及归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的,首先研
究当角的一边过圆心时,得到圆周角与同弧所对的圆心角的关系,
然后研究当角的一边不经过圆心时,圆周角与同弧所对的圆心角之
间的关系.当角的一边不经过圆心时,又有两种情况:一是圆心在圆
周角内部;二是圆心在圆周角外部.经过这样不同情况的讨论,最后
第二讲
直线与圆的位置关系
一
圆周角定理
1.了解圆心角定理,并能应用定理解决问题.
2.理解圆周角定理及其两个推论,并能应用定理解决有关问题.
圆周角定理的理解
剖析:(1)应用圆周角定理时,要注意的问题如下:
圆周角定理推论1中,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
这一定理成立的前提是同圆或等圆,否则不成立.
角形,从而得到成比例线段,再列方程求得线段长.
题型一
题型二
题型三
【变式训练 1】 如图,已知△ABC 内接于☉O, = , 点是
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智慧作业---圆周角定理
例题
如图，正方形ABCD 的顶点都在⨀O 上，P 是DC
̂上的一点，求∠BPC 的度数. 解：连接BD ，
∵ BD 是直径，
∴△BCD 是等腰直角三角形，
∴∠BDC=45°，
∴∠BPC=∠BDC=45°．
举一反三
1.如图，0A ，0B 是O0的半径，点C 在⊙0上，连接AC ，BC.若∠AOB=120°，则∠ACB= 60 度.
【解析】解：同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
.∠ACB=12∠AOB=1
2×120=60°.
2.如图，⊙0是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（ ）
A.40°
B.30°
C.45°
D.50°
试题分析：根据等边对等角及圆周角定理求角即可．
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=50°
∴∠AOB=80°
∴∠ACB=40°．
故选A ．
考点: 1.圆周角定理；2.三角形内角和定理． 3.如图，AB 是⊙0的直径，C ，D 是⊙0上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD=_______ ∵AB 是⊙0的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°-∠BCD=62°，
由圆周角定理得，∠ABD=∠ACD=62°，
故选：B ．。