圆周角定理及运用
圆周角的定理
圆周角的定理
1.圆周角定义:
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半。
3.圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;
推论2:直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
要点诠释:
(1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上:②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
(3)圆心与圆周角存在三种位置关系:圆心在圆周角的一边上:圆心在圆周角的内部:圆心在圆周
角的外部，(如下图)。
圆周角定理及其运用
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°，
＝ 276°。
2、如图，点A、B、C、D在⊙O上， 若优弧ABC为2600，则∠D=__ 若弧AC为100º 则∠B=__， ∠B+ ∠D=__, ∠A+ ∠C=___
A
D A D
B
C
B
∠DCE和∠A有什么关系？
CELeabharlann 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角
课堂练习
• 1.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径， ∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小 有什么关系？为什么？ C
生活实践
• 当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?.
A E
●
A E B D
C
O
B
D
C
⌒ AC所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小 有什么关系？
你能发现什么规律？
画一个圆,再任意画一个圆周角,看一 下圆心在什么位置?
O B A
课堂练习
•2.如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，且 ∠BCD=100°，求∠BOD和∠BAD的大小。
A O B C D
当堂检测
D
1.求圆中角X的度数
C O X
120°
O A
O
70° x
.
C
.
B
B C
A
B
A
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。
1、x=35 ° x=120 °2、 ∠ACB=130 °
A
O
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
九年级数学圆周角定理
圆周角定理及其运用1、如图，抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，3），平行于x轴的直线CD交抛物线于C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE＋FD的值是。
2、如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D。
（1）求证：OD∥AC；（2）若AC＝8，AB＝10，求AD。
知识点一圆周角定理及其推论【知识梳理】1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
（1）定理有三个方面的意义：A、圆心角和圆周角在同圆或等圆中；B、它们对着同一条弧或所对的弧是等弧；C、具备A、B两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半。
（2）因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
（3）定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立。
因为一条弦所对的弧有两段。
2、圆周角定理的推论：推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。
推论②：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角（90°的圆周角）所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
推论③：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
【例题精讲一】 例1.1、如图，已知A （32，0）、B （0，2），点P 为△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP ＝45°，则P 点坐标为 。
（第1题）（第2题）2、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，则∠B ＝（ ） A ．46°B ．72°C ．64°D ．36°3、如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为 。
（第3 题）（第4 题）4、如图，∠A 是⊙O 的圆周角，则∠A ＋∠OCB ＝ 。
圆周角定理及推论
一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半已知在⊙Ｏ中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。
以下分五种情况证明【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时：图1连接AO，并延长AO交⊙Ｏ于D解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时：图2连接AO，并延长AO交⊙Ｏ于D，连接OB、OC。
解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：图3∵OA、OC是半径解：∴OA=OC∴∠BAC=∠OCA（）∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。
）【证明】情况4：圆心角等于180°：圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，∵∠OCA=∠OAC=21∠BOC（BC弧）∠OCB=∠OBC=21∠AOC（AC弧）∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠ＡOC）/2=90度∴∠AO B2=∠ACB【证明】情况5：圆心角大于180°：图5圆心角是（360°-∠AOB），圆周角是∠ACB，延长CO交园于点E，∠CAE=∠CBE=90°（圆心角等于180°）∴∠ACB+∠AEB=180°，即∠ACB=180°-∠AEB ∵∠AOB=2∠AEB∴360°-∠AOB=2（180°-∠AEB）=2∠ACB二、圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
圆周角的三个定理和三个推论
圆周角的三个定理和三个推论
圆周角是几何学中非常重要的课题，它测量了连续弧线绕圆心一周所形成的面积，它表征了圆弧路径的大小。
圆周角的三个定理和三个推论很重要，下面将对
它们做一些详细的介绍。
第一个定理是“极角定理”，它声明了一个角的圆心角（圆周角），它的大小
是由圆弧的长度和此弧端点从圆心到他们之间的距离决定的。
它可以为求解圆周角提來许多帮助。
第二个定理，“同余角定理”，它认为圆弧A，B，C，D上的三个角相同，即
A＝B＝C＝D，那么圆的圆周必然相同为∠ACD。
这一定理使圆周角更容易求解。
第三个理定，“圆周角定理”，它宣称，对于任意两个圆心角相同的多边形的
每一条边，其角的总和为360°，或等于2π。
这一定理可以用来计算更复杂的圆
上的角度和圆周角。
此外，圆周角有三个重要推论，第一个是“梯形定理”，它保证了梯形是可以
分解为两个相同的三角形，梯形的内角和周围角之和等于360°，即弧度为2π。
第二个推论是“饼图定理”，它保证了由一个圆形分割成多个部分形成的饼图，其总弧度之和等于2π，在此饼图中，各部分所占的弧度数可以根据各部分的大小
来计算。
最后一个推论是“三角形定理”，它给出了一个三角形，它的三条边和三个内
角的总和等于180°，或与弧度等于π。
这三个推论可以用来计算更复杂的圆周角。
总之，圆周角的三个定理和三个推论对于几何学是非常重要的，它们可以帮助
我们很好地计算出更复杂的圆周角，这对于研究几何领域是很有帮助的。
圆周角定理
圆周角定理圆周角定理，又称为圆心角定理，是指在一个圆中，它对应的弧所对的圆周角的度数是一定的。
这一定理在几何学和三角学中有着重要的应用。
本文将介绍圆周角的定义、性质以及相关应用。
圆周角的定义在一个圆中，以圆心为顶点，连接圆上的两个点，所得到的角即为圆周角。
圆周角用字母“∠”来表示，其中小写的字母表示圆弧，如∠ABC，表示以圆心O为顶点的角，对应的圆弧为AB和AC。
圆周角的性质性质一：圆周角的度数是一定的在同一个圆中，不论圆周角对应的圆弧长度如何变化，其圆周角的度数是不变的。
这一性质可以用公式表示如下：∠ABC = (∠AOB) / 2 = (s / r) × 180°其中，“∠ABC”表示圆周角的度数，∠AOB表示对应的圆心角的度数，s表示圆弧的长度，r表示圆的半径。
性质二：垂直弧所对的圆周角是180°在圆中，对于垂直弧所对的圆周角，其度数恒为180°。
而垂直弧指与半径垂直的弧。
圆周角的应用圆周角定理在几何学和三角学中有着广泛的应用，以下列举其中几个常见的应用：应用一：扇形面积计算利用圆周角定理可以计算圆内的扇形面积。
假设扇形对应的圆心角为θ°，则扇形的面积等于圆的面积乘以θ/360°。
可以用以下公式表示：扇形面积= (θ / 360°) × πr²其中，r表示扇形的半径。
应用二：圆锥的体积计算圆锥的体积计算也可以利用圆周角定理实现。
假设圆锥的底面半径为r，高度为h，底角为θ°，则圆锥的体积可以用以下公式表示：圆锥体积= (θ / 360°) × πr² × h / 3应用三：三角函数的定义在三角学中，三角函数的定义与圆周角密切相关。
以正弦函数为例，其定义可以通过圆周角在单位圆上的投影来说明。
对于角θ对应的圆周角，在单位圆上的投影点坐标可以表示为（cosθ，sinθ）。
圆周角定理及其推论的证明和应用
圆周角定理及其推论的证明和应用圆周角定理是数学中一个最重要的定理。
它解释了多边形与圆的关系，是众多大学数学课程中的重要内容之一。
圆周角定理的证明和应用在不同的领域都有广泛的使用。
本文将讨论圆周角定理本身的证明，以及它的推论在数学和物理领域的应用。
一、圆周角定理圆周角定理告诉我们，对于任意多边形，其顶点和圆心之间的夹角之和等于$360^{circ}$。
它用数学语言来表达就是：若多边形$ABC…N$的顶点在圆心O的同一侧，则有$A + B + C + + N =360^{circ}$。
也就是说，当多边形的顶点位于同一侧的O时，其顶点到圆心O的角度之和等于$360^{circ}$。
二、证明圆周角定理圆周角定理通常用几何证明。
以正多边形为例，证明其顶点到圆心O的角度之和等于$360^{circ}$。
首先，画出多边形然后证明相邻边之间的夹角等于$180^{circ}$。
其次，当多边形向内折叠时，所有相邻边夹角之和等于其内角之和，因此折叠完成后，所有内角的和为$180^{circ} times n$，其中$n$是正多边形的边数。
此时，由于所有内角之和为$180^{circ} times n$，而多边形上的所有角之和为$360^{circ}$，因此所有顶点夹角之和等于$360^{circ}$。
三、圆周角定理的应用1、数学领域：圆周角定理在数学中的应用很广泛。
它可以用来求正n边形的面积，平均线长，内接圆半径，外接圆半径等。
此外，它还可以用来解决给定多边形的顶点或边，求其它顶点和边的问题。
2、物理领域：在物理领域，圆周角定理也有一些应用。
圆周角定理可以用来研究多体系统，如物体在圆周上运动时，其加速度可以根据圆周角定理求得。
圆周角定理也可以用来计算静电场，求出电荷的等值压力等。
四、总结本文讨论了圆周角定理的证明与应用。
圆周角定理表明正多边形的顶点到圆心O的角度之和等于$360^{circ}$。
圆周角定理在数学和物理领域都有广泛的应用，可以用来求正n边形的面积，平均线长，内接圆半径，外接圆半径，研究多体系统，求出电荷的等值压力等。
圆周角的定理及推论的应用
圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。
本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。
一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。
一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。
二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。
证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。
由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。
2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。
证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。
则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。
3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。
连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。
因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。
设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。
将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。
4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。