正十七边形做法及证明.
高斯正十七边形原理
高斯正十七边形原理嘿，朋友们！今天咱来聊聊高斯正十七边形原理。
你说这高斯正十七边形，那可真是数学里的一颗璀璨明珠啊！想象一下，就好像是在数学的大花园里，正十七边形就是那朵最特别、最耀眼的花。
咱平常看到的图形，什么三角形、四边形，那都太常见了。
可这正十七边形，它可不一样。
它就像是一个神秘的密码，等待着我们去解开。
高斯啊，那可是个超级厉害的数学家。
他就像是一个神奇的魔法师，轻轻挥动手中的魔法棒，就把这复杂无比的正十七边形给搞定了。
你说这神奇不神奇？咱普通人可能连想都不敢想能画出正十七边形，可高斯就能做到。
这就好像是别人都还在山脚下徘徊，高斯一下子就登上了山顶，看到了别人看不到的风景。
那这正十七边形原理到底是啥呢？简单来说，就是通过一些巧妙的方法和计算，能精确地画出正十七边形。
这可不是随随便便就能做到的，得有深厚的数学功底和超级厉害的头脑才行。
咱平常过日子，有时候也得有点这种钻研的精神。
遇到难题别退缩，就像高斯面对正十七边形一样，勇往直前，去寻找解决的办法。
你想想看，要是我们都能有高斯这种精神，那还有什么事情是做不到的呢？是不是很多困难都会迎刃而解呢？这高斯正十七边形原理啊，还告诉我们一个道理，那就是别小看任何一个看似不可能的事情。
也许一开始觉得很难，觉得根本没法完成，但只要我们肯下功夫，说不定就能创造奇迹呢！就像高斯，他当初要是觉得正十七边形太难了，就放弃了，那我们现在还能知道这个神奇的原理吗？肯定不能啊！所以啊，朋友们，让我们向高斯学习，向这神秘又美妙的正十七边形原理致敬！在生活中遇到困难时，就想想高斯和他的正十七边形，告诉自己：只要努力，没有什么是不可能的！这就是我想说的，大家觉得有没有道理呢？原创不易，请尊重原创，谢谢!。
十七边形画法
十七边形画法
十七边形是一种非常特殊的多边形，它有着17条边和17个角。
虽然它在日常生活中比较少见，但在几何学和艺术中却有着重要的地位。
如果你对这种特殊的多边形感兴趣，那么你可以尝试用不同的方法来画出它。
以下是一些基本的十七边形画法：
1. 通过圆形来画十七边形。
首先画一个大圆，然后在圆上分别做出17个等分点。
然后连接相邻的点，就可以得到一个完整的十七边形。
2. 通过正多边形来画十七边形。
首先画一个正十七边形，然后再将其分割成更小的十七边形。
这种方法可以比较直观地展示出十七边形的特殊性质。
3. 通过三角形来画十七边形。
首先画一个等边三角形，然后在三边上分别做出17个等分点。
然后连接相邻的点，就可以得到一个内角度数为1020度的十七边形。
无论采用哪种方法，都需要耐心和细心去操作。
如果你喜欢几何学和艺术，那么尝试画出一个完整的十七边形，会是一种非常有趣和有挑战的体验。
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正十七边形尺规作图及证明
正十七边形尺规作图及证明正十七边形样本图正十七边形作法:第一步：在给定直线l上作一个圆O交直线于点A，B，分别以A，B为圆心，AB，BA为半径作弧，两弧交于点C，D，连接CD；第二步：以C为半径，CO为半径作弧交圆于点E，F，连接EF交CD于点K，再分别以K，O为圆心，KO，OK为半径作弧，两弧交于点G，H，连接GH交直线CD于点P，连接PB；第三步：再以P为圆心，小于PB的长度为半径作弧U，分别交AB，CD于点M，N，再分别以M，N为圆心，MN，NM为半径作弧，两弧圆外的交点为Q，连接QP交圆于点T，再分别以T，M为圆心，TM，MT为半径作弧，两弧圆外的交点为R，连接PR交弧U于上面的点S，下面的点W；第四步:连接S，W，再分别以S，W为圆心，SW，WS为半径作弧交于圆外的点Y，连接PY交弧U于点X，再分别以X，S为圆心SX，XS为半径作弧，两弧圆外的交点为Z，连接PZ；第五步：PZ交AB于点A₁，再分别以A₁，B为圆心，A₁B，B A₁作弧交于点A ₂，B₁，连接A₂，B₁交AB于点B₂，交圆于点C₁，连接B₂，C₁；第六步：再最后的C₁B依次戴取分点，直到最后作出十七个分点后连接，便是正十七边形。
正十七边形证明我们知道，一个正多边形的中心角的余弦值如果不是超越数，就可以用尺规作出该正多边形，求出的中心角的三角函数值代数式也就是包含了过程。
计算360cos 17⎛⎫︒ ⎪⎝⎭设正十七边形的中心角为α，则17360α=︒即16360αα=︒-亦即()sin16sin 360sin ααα=︒-=-由诱导公式()cos 2cos παα-=，我们发现：()()()()()()()()()()()()cos cos 360cos 17cos16cos 2cos 3602cos 172cos15cos3cos 3603cos 173cos14cos 4cos 3604cos 174cos13cos5cos 3604cos 175cos12cos 6cos 3606cos 176cos11cos 7ααααααααααααααααααααααααααααααα=︒-=-==︒-=-==︒-=-==︒-=-==︒-=-==︒-=-=()()()()cos 3607cos 177cos10cos8cos 3608cos 178cos9ααααααααα=︒-=-==︒-=-=因此我们有结论1：cos cos16cos 2cos15cos3cos14cos 4cos13cos5cos12cos 6cos11cos 7cos10cos8cos9αααααααααααααααα======== 该结论我们以后使用。
正十七边形高斯画法
正十七边形高斯画法
正十七边形高斯画法是一种用直尺和圆规画正多边形的方法，也称为高斯多边形构造法。
以下是画正十七边形的步骤：
1. 画一个圆，作为正十七边形的外接圆。
2. 用圆规量取圆的半径，然后在圆心处画一个半径为r的圆。
3. 以外接圆的圆心为中心，画一个半径为2r的圆。
4. 在内圆上任取一点，记为A。
5. 以A为圆心，以2r为半径，画一个圆，与外接圆交于B、C两点。
6. 以B、C为圆心，以r为半径，分别画两个圆，交于D、E两点。
7. 连接AD、AE，得到正十七边形的两个顶点。
8. 以D、E为圆心，以r为半径，分别画两个圆，交于F、G两点。
9. 连接AF、AG，得到正十七边形的两个顶点。
10. 以F、G为圆心，以r为半径，分别画两个圆，交于H、I两点。
11. 连接AH、AI，得到正十七边形的两个顶点。
12. 以H、I为圆心，以r为半径，分别画两个圆，交于J、K两点。
13. 连接AJ、AK，得到正十七边形的两个顶点。
14. 以J、K为圆心，以r为半径，分别画两个圆，交于L、M两点。
15. 连接AL、AM，得到正十七边形的两个顶点。
16. 以L、M为圆心，以r为半径，分别画两个圆，交于N、O两点。
17. 连接AN、AO，得到正十七边形的两个顶点。
18. 此时，正十七边形的所有顶点已经画出来了，可以用直尺连接相邻的顶点，得到正十七边形的边。
以上就是画正十七边形高斯画法的步骤。
高斯与正十七边形尺规作图法
高斯与正十七边形尺规作图法【作图原理】首先要给出一条定理。
定理1：若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的，其中c是方程的实根。
上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候，做出长为的线段。
而要在一个单位圆中做出正十七边形，主要就是做出长度是的线段。
设则有即是方程的根，由定理1可知，长为和的线段可以做出。
令则有同样由定理1可知，长度是的线段都可以做出来的。
再由这样，是方程较大的实根。
显然也可以做出来。
证毕1、OD=1/4，2、OA=1，3、DA=170.5/4，4、OA1=(170.5-1)/16，5、A1A=(17-170.5)/16，6、DA1=(34-2*170.5)0.57、O O1=(170.5+1)*((34-2*170.5)0.5-4)/64，8、O1A1= OA1-O O1，9、DO1=（1/16+ O O12）0.5，10、OJ=(1-4* O O1)/4( 1+4* O O1)，11、DJ=(16+OJ2)，12、AK=JK=KL=（1+OJ）/2，13、OK=1-AK，14、O1K=OK-OO1，15、OL=（KL2-OK2）0.5，16、O1L= O1 M =（OL2+ O O12）0.5，17、OM=OM1+ O O1=（O O12+OJ）0.5+ O O1=COS3a，OJ=OL2，18、LA=(1+OL2)0.5，设正17边形中心角为α,则17α=360度,即16α=2π-α故sin16α=-sinα,又sin16α =2sin8αcos8α=22sin4αcos4αcos8α=2 4sinαcosαcos2αcos4αcos8α因sinα不等于0,两边同除有:16cosαcos2αcos4αcos8α=-1又由2cosαcos2α=cosα+cos3α等,有2(cosα+cos2α+…+cos8α)=-1注意到cos15α=cos2α,cos12α=cos5α,令x=cosα+cos2α+cos4α+cos8αy=cos3α+cos5α+cos6α+cos7α有:x+y=-1/2又xy=(cosα+cos2α+cos4α+cos8α)(cos3α+cos5α+cos6α+cos7α)=1/2(cos2α+cos4α+cos4α+cos6α+…+cosα+cos15α)经计算知xy=-1又有x=(-1+√17)/4,y=(-1-√17)/4其次再设:x1=cosα+cos4α,x2=cos2α+cos8αy1=cos3α+cos5α,y2=cos6α+cos7α=cos6α+cos10α故有x1+x2=(-1+√17)/4y1+y2=(-1-√17)/4注意到:x2=cos2α+cos8α可用倍角公式将x1+x2=(-1+√17)/4注意到:x2=cos2α+cos8α可用倍角公式将x1+x2=(-1+√17)/4=x1+2x12-2y1-2，同理：y1+y2=(-1-√17)/4=y1+2y12-2x2-2=(-1-√17)/4,联立可求出x1,y1y1=2×O O1=（根号17+1）×根号（34-2×根号17-4）/32又c osα+cos4α=x1,cosαcos4α=(y1)/2可求cosα之表达式,它是值的加减乘除平方根的组合,故正17边形可用尺规作出。
正十七边形尺规作图与详解
解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。
有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。
父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。
可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。
这时的高斯只有3岁！高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。
有一天，布德勒让全班学生计算1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。
小朋友们开始计算：“1 + 2 ＝3，3+3＝6，6+4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。
但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。
高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。
”布德勒抬头一看，大吃一惊。
小石板上写着5050，一点也没有错！高斯的算法是1 ＋2 ＋3＋……＋98＋99＋100100＋99＋98＋……＋3＋2＋1101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝1010010100÷2＝5050高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！1796年的一天，德国哥廷根大学。
高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。
前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。
第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。
高斯的作业：如何用尺规画十七边形？
⾼斯的作业：如何⽤尺规画⼗七边形？⼏⽇前天纵君（SKYLABS）和孩⼦曾经讲过伽利略著名的⽐萨斜塔⼩球落体试验，因此特别整理了《逻辑的胜利：⽐萨斜塔的⼩球落体试验》这篇⽂章给⼤家。
今天这篇关于“⾼斯”的⽂章，其实也来⾃与我给孩⼦讲的另外⼀个故事。
关于少年学霸⾼斯，有⼀个著名的段⼦是说他在读书时，有⼀次⽼师例⾏给他布置了三道课后作业题。
前两道题在两个⼩时内就边形。
19岁的⾼斯感到⾮常吃要求只⽤圆规和⼀把没有刻度的直尺，画出⼀个正17边形顺利完成了。
第三道题写在另⼀张⼩纸条上：要求只⽤圆规和⼀把没有刻度的直尺，画出⼀个正⼒。
时间⼀分⼀秒的过去了，第三道题竟毫⽆进展。
这位青年绞尽脑汁，但他发现，⾃⼰学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。
但困难激起了他的⽃志终于当窗⼝露出曙光时，青年长舒了⼀⼝⽓，他终于结完了这道难题。
当⾼斯见到⽼师时，他有些内疚和⾃责的对⽼师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整⼀个通宵，我辜负了您对我的栽培……”。
⽼师接过学⽣的作业⼀看，当即惊呆了。
导师激动地对他说：“你知不知道？你解开了⼀桩有两千多年历史的数学悬案！阿基⽶德没有解决，⽜顿也没有解决，你竟然⼀个晚上就解出来了。
你是⼀个真正的天才！”原来⽼师也⼀直想解开这道难题。
那天，他是因为失误，才将写有这道题⽬的纸条交给了学⽣。
据说⾼斯也视此为⽣平得意之作，还交待了要把正⼗七边形刻在他的墓碑上，但后来负责刻碑的⼈认为正⼗七边形实在和圆太像了，不容易分辨。
因此其⽤了多⾓形加以代替，以⽰纪念⾼斯的成就。
天纵君这⾥也特别找到了⾼斯墓地的照⽚，传说是否如此？⼤家可以仔细找找看看。
最后让我们⼀起⽤动图的⽅式，去欣赏⼀下这个经典⽽优美的尺规作图。
这样的尺规作图是如此经典⽽美丽，以⾄于它让我们深切的感受到了⼈的智慧所能达到的极限，体会到了⽤孩童都能看懂的⽅法和技巧去实现⼀个绚烂⽽复杂的架构。
由衷的向⾼斯、以及所有伟⼤的科学前辈们致敬！。
正十七边形尺规作图与详解.docx
实用标准文档解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯 (Carl Friedrich Gauss1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。
有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工的父算工人的周薪。
父算了好一会儿，于将果算出来了。
可是万万没想到，他身来幼嫩的童音：“爸爸，你算了，数是⋯⋯”父感到很惊异，赶忙再算一遍，果高斯的答案是的。
的高斯只有 3 ！高斯上小学了，教他数学的老布特勒(Buttner)是一个度劣的人，他从不考学生的接受能力，有用鞭子学生。
有一天，布德勒全班学生算1+2+3+4+5+⋯⋯+98+99+100＝？的和，并且威：“ 算不出来，就不准回家吃！”布德勒完，就坐在一旁独自看起小来，因他，做一道目是需要些的。
小朋友开始算：“ 1 + 2＝3，3+3＝6，6+4＝10，⋯⋯”数越来越大，算越来越困。
但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身。
高斯：“老，我做完了，你看不？“做完了？么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒都没抬，手：“ 了，了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸：“我个答案是的。
”布德勒抬一看，大吃一惊。
小石板上写着5050 ，一点也没有！高斯的算法是1＋ 2 ＋ 3＋⋯⋯＋ 98 ＋99 ＋ 100100＋99 ＋98＋⋯⋯＋3＋ 2＋1101＋ 101 ＋ 101 ＋⋯⋯＋101 ＋101 ＋ 101 ＝101 ×100 ＝1010010100 ÷2＝ 5050高斯并不知道，他用的种方法，其就是古代数学家期努力才找出来的求等差数列和的方法，那他才八！1796 年的一天，德国哥廷根大学。
高斯吃完晚，开始做他独布置的三道数学。
前两道他不吹灰之力就做了出来了。
第三道写在另一小条上：要求只用和没有刻度的直尺，作出一个正十七形。
道把他住了——所学的数学知竟然解出道没有任何帮助。
一分一秒的去了，第三道竟毫无展。
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步骤一：
给一圆O，作两垂直的直径OA、OB，
作C点使OC＝1/4OB，
作D点使∠OCD＝1/4∠OCA
作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度
步骤二：
作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，
此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆
过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。
步骤三：
过G4作OA垂直线交圆O于P4，
过G6作OA垂直线交圆O于P6，
则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。
以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。
正十七边形的尺规作图存在之证明:
设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a
故sin16a=-sina,而
sin16a=2sin8acos8a=22sin4acos4acos8a=2 4 sinacosacos2acos4acos8a
因sina不等于0,两边除之有:
16cosacos2acos4acos8a=-1
又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有
2(cosa+cos2a+…+cos8a=-1
注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令
x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a
y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a
有:
x+y=-1/2
又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a
=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a
经计算知xy=-1
又有
x=(-1+根号17/4,y=(-1-根号17/4
其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a
y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a
故有x1+x2=(-1+根号17/4
y1+y2=(-1-根号17/4
最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1/2
可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出。