解读高斯正十七边形的作法(下)
数学家高斯画正17边形的故事
《数学家高斯画正17 边形的故事》同学们，今天我要给你们讲一个特别酷的故事，是关于数学家高斯画正17 边形的。
高斯呀，那可是个超级聪明的人。
在他还年轻的时候，就遇到了一个难题——画正17 边形。
当时，他的老师觉得这根本就是个不可能完成的任务，就把它当成一个难题来考考学生们。
可高斯不这么想，他坐在那里，皱着眉头，认真地思考。
他的脑子就像一台飞速运转的机器。
他不停地在纸上画呀画，试了好多好多方法。
时间一点点过去，别人都放弃了，可他还在坚持。
突然，高斯眼睛一亮，像是想到了什么。
他赶紧拿起笔，一笔一划地画起来。
最后，他真的画出了正17 边形！这可把大家都惊呆了。
从这个故事里，我们能学到，遇到难题不要怕，只要坚持思考，就有可能成功。
同学们，让我们像高斯一样勇敢地面对困难吧！《数学家高斯画正17 边形的故事》小朋友们，咱们来讲讲数学家高斯画正17 边形的有趣故事。
高斯在学校里，老师出了这道画正17 边形的难题。
大家一看，都觉得太难啦，根本没法做。
但高斯没有被吓倒。
他一开始也有点迷茫，不知道从哪里下手。
可是他不灰心，一直在琢磨。
一会儿咬咬笔头，一会儿看看窗外。
他就那么一直想啊想，桌上的纸都画满了。
终于，有那么一瞬间，他好像突然开窍了。
然后他飞快地画起来，线条越来越清晰，一个漂亮的正17 边形出现在了纸上。
这个故事告诉我们，只要有决心，再难的问题也能解决。
咱们也要像高斯一样，不怕困难，多动脑筋！《数学家高斯画正17 边形的故事》同学们，今天讲数学家高斯画正17 边形的故事给你们听。
高斯上学的时候，老师出了这道超级难的题。
好多同学看一眼就放弃了，觉得根本做不出来。
高斯呢，心里也没底，但就是想试试。
他一会儿写写画画，一会儿又停下来思考。
想不出来的时候，他急得直挠头。
但他就是不放弃，一直在努力。
突然，他好像找到了灵感。
接着，他全神贯注地画起来。
最后，正17 边形被他成功画出来啦！高斯的坚持和努力，真的太值得我们学习啦！。
数学家高斯正17边形的故事
数学家高斯正17边形的故事“嘿，你们知道吗，那个伟大的数学家高斯啊，他可真是个传奇人物！”记得那是一个阳光明媚的午后，我和几个朋友聚在一块儿闲聊。
我们正讨论着那些历史上赫赫有名的人物，不知怎么的就说到了高斯。
“哎呀，高斯那可是数学天才啊！”一个朋友感叹道。
“没错没错，我听说他最厉害的就是画那个正 17 边形！”另一个朋友接着说。
我好奇地追问：“正 17 边形？那有啥特别的呀？”朋友兴致勃勃地开始给我讲解：“你想啊，要徒手画出一个正 17 边形可不容易啊，但高斯就做到了！这得需要多厉害的数学头脑啊！”我想象着高斯在纸上专注地画着正 17 边形的样子，心中涌起一股敬佩之情。
据说啊，高斯在很年轻的时候就对这个问题产生了浓厚的兴趣。
他整日整夜地思考，不断尝试各种方法。
那时候的他，就像一个在数学海洋中奋力探索的勇士，丝毫不畏惧困难。
“他难道就不会觉得累，不会想放弃吗？”我忍不住问。
“哎呀，人家那是对数学的热爱呀，这种热爱能让他克服一切！”朋友回答道。
是啊，热爱，这是多么强大的力量啊！高斯因为热爱，所以能坚持不懈地去攻克这个难题。
就好像我们每个人在生活中，如果有了热爱，是不是也能创造出属于自己的奇迹呢？我仿佛看到高斯在无数个夜晚，在昏暗的灯光下，一笔一划地勾勒着正17 边形，那专注的神情，那执着的态度，真的太让人钦佩了。
我们生活中也会遇到各种各样的挑战，有时候可能觉得很难，就想要退缩。
可是想想高斯，他面对那么难的问题都没有放弃，我们又有什么理由轻易放弃呢？高斯的正 17 边形，不仅仅是一个数学成就，更是一种精神的象征，一种告诉我们要勇往直前、永不放弃的象征！我们难道不应该向他学习吗？。
GAUSS与正十七边形
GAUSS与正十七边形用直尺和圆规作出圆内接正七、正九、正十一、正十三、正十七边形, 是从古希腊以来两千多年悬而未决的著名数学难题; 它困扰了许多著名的数学家,有的甚至为之付出终身的努力,却毫无所获. 但是,此难题却被18岁的高斯在1796年3月30日功克.高斯是18~19世纪最伟大的数学家, 近代数学的奠基人之一. 他被称为〝数学王子〞, 〝数学巨人〞. 假设说世界上有神童的话, 那么高斯就是其中的一位. 听说他三岁就发现了他父亲算帐时出现的错误, 10岁时已表现出超群的数学思想才干.有一次,教员出了一道题: 把1到100的整数全部加起来. 其他同窗都拿起笔来一个一个地加, 高斯却坐在那一动也不动. 教员走到跟前问他为什么不做, 他却立刻报出了答案: 5050. 他的做法是: 把1和100相加得101, 2和99相加也是101, 3和97相加还是101; 如此下去, 共有50个101. 因此, 得数为101×50 = 5050. 教员慨叹地说〝他曾经超越我了, 我没有什么可以教他的了〞.15岁时, 高斯进入了卡罗琳学院, 学习了牛顿, 拉格郎日, 欧拉等人的著作, 很快掌握了微积分实际.18岁时, 高斯进入哥廷根大学. 在一次偶然的阅读中, 他知道了用直尺和圆规作出圆内接正七边形的难题. 这使他十分着迷, 并决计要功克它. 他首先查找出先人的作图方法, 细心研讨他们失败的缘由, 经过半年多的努力, 他终于作出了正七边形; 接着, 正九、正十一、正十三边形都被他逐一克制. 没多久, 正十七边形也被他功克.面对第一次取得的成功, 高斯异常兴奋, 决计把自己的终身献给数学. 1801年, 他宣布了<<算术研讨>>,论述了数论和初等代数的一些效果. 高斯对数学的研讨触及很多方面,除了在复变函数\\统计数学\\椭圆函数论上有突出贡献外, 他在向量剖析\\正态散布的正轨曲线\\质数定理的验算研讨上也取得了效果.在高斯逝世后, 哥廷根大学为他建造了一个以正十七边形棱柱为底座的纪念像, 以纪念他终身中的第一个严重发现.。
解读高斯正十七边形的作法(下)
e ＝。
从而求出cos 的其它表达式：可以验证，它们在数值上是相等的，其中以第二个表达式为最优。
在单位圆中，根据余弦定理，得正十七边形的边长为 ，将cos 的值代入，即可求出正十七边形的边长。
五、正十七边形的另一种作法步骤1：作圆O 的两条互相垂直的直径AC 、BD ；在OB 上截取OE ＝14OB ，连接EΑ；作∠FEO ＝14∠ΑEO 交OΑ于点F ；作∠GEF ＝，边EG 交CO 于点G 。
步骤2：以GΑ为直径作圆O’，交OB 于点H ；再以点F 为圆心，经过点H 作圆F ，交AC 于N4和N6两点。
步骤3：过N4作AC 的垂线交圆O 于点P4，过G6作AC 的垂线交圆O 于点P6，那么以圆O 为基准圆，Α为正十七边形的第一个顶点P1，P4为第四个顶点，P6为第六个顶点。
以12弧P4P6所对的弦为半径，即可在圆O 上截出正十七边形的所有顶点。
注一：7、9、11边形却未能作出。
让后来数学家为难的是，欧几里德之后的2000多年中，有关正多边形作图仍停留在欧几里德的水平上，未能向前迈进一步。
因此，我们可以想象得到，当1796年年仅19不过，高斯的结果多少显得有些奇怪。
他没有完成正七边形或正九边形等的作图，却偏偏隔下中间这一些直接完成了正十七边形。
为什么第一个新作出的正多边形是正十七边形而不是正七、九边形呢？在高斯的伟大发现之后，问题仍然存在：正七边形或正九边形等是否可尺规完成？或者更清楚地阐述这个问题：正多边形的边数具有什么特征时，它才能用尺规作出？在经过继续研究后，高斯最终在1801年对整个问题给出了一个完美的解答。
高斯指出，只用直尺和圆规作圆内接正n 边形，当n 满足如下特征之一时方可作出：1) n ＝2m ；〔其中m 为正整数〕2) 边数n 为质数且形如 n ＝22t +1〔其中t 为非负整数〕，即n 为质数的费马( Fermat )数。
3) 边数n具有n＝2m p1p2p3……p k的形式〔其中p1，p2，p3，……，p k为互不相同的费马质数〕。
高斯与正十七边形故事
高斯与正十七边形故事嘿，你知道吗？在数学的奇妙世界里，有一个超级厉害的故事，那就是高斯与正十七边形的传奇呀！话说高斯，那可是个数学天才中的天才啊！就像武侠小说里的绝世高手一样，一出手就不同凡响。
有一天，他就和正十七边形较上劲了。
你想想，正十七边形啊，那得多复杂，多难搞啊！可高斯偏不信这个邪，他就像一个勇敢的探险家，一头扎进了这个难题里。
咱普通人看到正十七边形，估计脑袋都大了，别说去研究它了，看都不想多看一眼。
可高斯不一样啊，他那聪明的脑袋瓜一转，就开始琢磨怎么攻克这个难关。
这就好比别人看到一座高山，都觉得没法爬上去，高斯却想着怎么找条路登顶呢！他整天整夜地思考，不停地计算，草稿纸都用了不知道多少。
这得有多执着啊！要是咱，可能早就放弃了，还会说：“哎呀，这太难了，搞不定啦！”但高斯不，他就是要和这个正十七边形死磕到底。
你说他怎么就能这么厉害呢？难道他脑袋里装了台超级计算机？我觉得啊，那是因为他对数学有着无比的热爱和痴迷。
就像咱喜欢吃好吃的一样，他看到数学难题就两眼放光。
经过无数个日夜的奋战，嘿，你猜怎么着？高斯还真就把正十七边形给搞定了！这简直就是奇迹啊！他就像一个神奇的魔法师，把不可能变成了可能。
这事儿给我们啥启示呢？那就是只要咱有决心，有毅力，没什么事儿是办不到的。
别老觉得自己不行，你看看高斯，面对那么难的正十七边形都没退缩，咱还有啥理由不努力呢？而且啊，这个故事也让我们看到了数学的魅力。
它可不只是那些枯燥的公式和数字，它里面藏着无数的宝藏等着我们去挖掘呢！就像高斯发现了正十七边形的秘密一样，说不定我们也能在数学的海洋里找到属于自己的宝贝呢！咱们生活中不也经常遇到各种困难吗？有时候觉得简直没法解决了，可要是咱学学高斯那股子劲儿，说不定就能柳暗花明又一村呢！别小瞧自己，咱也能创造属于自己的奇迹呀！你说是不是？所以啊，别害怕困难，勇敢地去挑战吧，就像高斯挑战正十七边形一样！让我们也在自己的人生道路上创造出属于我们的精彩吧！。
高斯的正十七边形
《高斯的正十七边形》如果问你正十七边形的问题是哪位数学家最先解出来的？你一定会毫不犹豫地说出答案，但是你知道他是怎么做到的吗？这你就得猜了吧，而且，你猜的答案肯定是：像普通数学家一样，都希望自己能解出千古难题，然后再经过仔细的、不懈的努力研究，最终得出了答案。
对不起，你答错了。
故事大概是这样的：1796年的一天，在德国哥延根大学，一位十九岁的学生刚吃完晚饭就开始做导师每天例行给他留的三道作业题，前两道题他不费吹灰之力就做了出来，第三道题是：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺画出一个正十七边形。
这道题把他难住了——他所学过的数学知识竟然对解出这道题没有任何帮助，困难激起了他的斗志，他试着用各种各样的思路去解题，经过一晚上的思考和琢磨，他终于在第二天清晨解出了这道难题。
当他把作业交给导师时，他很惭愧，因为他觉得自己用的时间太长，辜负了老师的希望。
但是当导师看完作业后，激动地问：“这是你用圆规和有刻度的直尺做的吗？”“是的，我太笨了，居然用了一个晚上才做出来。
”高斯惭愧的说。
导师顿时惊得目瞪口呆原来，第三道题导师留错了，这道题其实是一道连阿基米德、牛顿这些人一辈子也都没能解出来的千古难题，这位学生竟然只用一个晚上就做出来了，这位学生就是数学王子——高斯。
在这件事情发生后，高斯回忆道，如果提前告诉他那是一道千古难题，那么他可能一辈子也解不出来那道题。
高斯解出那道题的关键，其实就在于他并不知道他正在解答一道千古难题，而只是以为在做普普通通的作业。
从这个故事中我们可以看出：在我们不清楚困难到底有多大的时候，我们反而更有力量去解决它！那么就是说，有时候真正阻碍我们成功的东西，并不是困难本身，而是我们对困难的恐惧，这种恐惧让我们不相信自己的能力，自然也就在困难面前投降了。
阿基米德和牛顿也许就是因此没能解出这道题的。
如果我们能够把这种恐惧感给克服掉、化解掉，那么我们会发现很多的难题会变得容易、很多的困难会迎刃而解。
正十七边形尺规作图与详解.docx
实用标准文档解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯 (Carl Friedrich Gauss1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。
有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工的父算工人的周薪。
父算了好一会儿，于将果算出来了。
可是万万没想到，他身来幼嫩的童音：“爸爸，你算了，数是⋯⋯”父感到很惊异，赶忙再算一遍，果高斯的答案是的。
的高斯只有 3 ！高斯上小学了，教他数学的老布特勒(Buttner)是一个度劣的人，他从不考学生的接受能力，有用鞭子学生。
有一天，布德勒全班学生算1+2+3+4+5+⋯⋯+98+99+100＝？的和，并且威：“ 算不出来，就不准回家吃！”布德勒完，就坐在一旁独自看起小来，因他，做一道目是需要些的。
小朋友开始算：“ 1 + 2＝3，3+3＝6，6+4＝10，⋯⋯”数越来越大，算越来越困。
但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身。
高斯：“老，我做完了，你看不？“做完了？么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒都没抬，手：“ 了，了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸：“我个答案是的。
”布德勒抬一看，大吃一惊。
小石板上写着5050 ，一点也没有！高斯的算法是1＋ 2 ＋ 3＋⋯⋯＋ 98 ＋99 ＋ 100100＋99 ＋98＋⋯⋯＋3＋ 2＋1101＋ 101 ＋ 101 ＋⋯⋯＋101 ＋101 ＋ 101 ＝101 ×100 ＝1010010100 ÷2＝ 5050高斯并不知道，他用的种方法，其就是古代数学家期努力才找出来的求等差数列和的方法，那他才八！1796 年的一天，德国哥廷根大学。
高斯吃完晚，开始做他独布置的三道数学。
前两道他不吹灰之力就做了出来了。
第三道写在另一小条上：要求只用和没有刻度的直尺，作出一个正十七形。
道把他住了——所学的数学知竟然解出道没有任何帮助。
一分一秒的去了，第三道竟毫无展。
正十七边形的故事
正十七边形的故事你知道正十七边形吗？这可不是个普通的多边形，它背后可有一段超酷的故事呢。
话说在数学的世界里，一直有着各种各样的挑战。
就像游戏里的超级关卡一样，正多边形的尺规作图就是这样的挑战。
对于一些简单的正多边形，像正三角形、正方形之类的，很早以前人们就知道怎么用圆规和直尺画出来了。
但是正十七边形，那可就难多了。
这时候呢，有个超级天才叫高斯。
高斯啊，那可是数学界的大神级人物。
他年轻的时候就特别牛，就像游戏里开了挂一样。
他就盯上了正十七边形这个难题。
别人都觉得这太难了，可能根本就做不到用尺规作图把正十七边形画出来。
可是高斯不这么想啊，他一头扎进这个难题里，在草稿纸上写了一堆密密麻麻的数学公式和符号，估计那些纸要是堆起来都能当枕头了。
然后呢，在一个星光璀璨的夜晚（这是我想象的，也许就是一个普普通通的白天），高斯终于找到了办法！他发现了可以用圆规和直尺画出正十七边形的方法。
这可不得了啊，就像在一个神秘的宝库里发现了绝世珍宝一样。
这个发现一下子震惊了整个数学界。
你想啊，在那之前，正十七边形就像一个隐藏在迷雾中的神秘怪物，大家都知道它存在，但是不知道怎么把它揪出来。
高斯呢，就像一个英勇的骑士，拿着尺规这两把宝剑，一下子就把这个怪物给征服了。
这让大家对数学的力量又有了新的认识。
而且啊，正十七边形这个事情还特别励志呢。
它告诉我们，那些看起来超级难，甚至好像不可能做到的事情，只要有像高斯这样聪明的脑袋，再加上一股不服输的劲儿，就有可能被攻克。
现在呢，正十七边形虽然没有像圆形或者正方形那样被我们随处可见地应用，但是它就像一颗闪耀在数学星空中的独特星星，激励着一代又一代的数学爱好者去探索那些未知的、充满挑战的数学世界。
说不定哪一天，你要是对数学产生了兴趣，也能像高斯一样，在数学的神秘大陆上发现属于自己的宝藏呢！。
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解读高斯正十七边形的作法
正十七边形的尺规作法：
步骤1：在平面直角坐标系xOy 中作单位圆O
步骤2：在x 轴负半轴上取点N ，使|ON|＝
41，易知|NB|＝417，以N 为圆心，NB 为半径作弧，交x 轴于F 、F’，易知|OF|＝
2a ，|OF’|＝2b 步骤3：此时|FB|＝122+⎪⎭
⎫ ⎝⎛a ＝242+a ，以F 为圆心，|FB|为半径作弧，交x 轴正半轴于G ，此时|OG|＝2
422++a a ＝c
步骤4：.类似地，|F’B|＝122
+⎪⎭
⎫ ⎝⎛b ＝242+b ，以F’为圆心，|F’B|为半径作弧，交x 轴正半轴于点G’，此时|OG’|＝2422++b b ＝e 步骤5：以|CG’|为直径作圆，交y 轴正半轴于点H ，易知OH 2＝1·e
步骤6：以H 为圆心，
21|OG|为半径作弧，交x 轴正半轴于点K ，则有|OK|＝222OH OG -⎪⎭⎫ ⎝⎛＝222e c -⎪⎭
⎫ ⎝⎛＝242e c -步骤7：以K 为圆心，|KH|＝2
1|OG|为半径作弧，交x 轴正半轴于点L ，则|OL|＝2
42e
c c -+步骤8：取OL 的中点M ，则|OM|＝4
42e c c -+＝cos 172π步骤9：过点M 作y 轴的并行线交单位圆O 于两点A 2和A 17，则Α为正十七边形的第一个顶点，A 2为第二个顶点，A 17为第十七个顶点，从而作出正十七边形。
正十七边形边长的表达式
在上面得到的一系列等式：
a ＝2171+-，
b ＝2171--，
c ＝242++a a ，e ＝2
42++b b ，cos 172π＝4
42e c c -+中，依次求出c ＝4
17234171-++-，
e ＝4
17234171++--。
从而求出
cos 17
2π的其它表达式：
可以验证，它们在数值上是相等的，其中以第二个表达式为最优。
在单位圆中，根据余弦定理，得正十七边形的边长为
172cos 22π-，将cos 17
2π的值代入，即可求出正十七边形的边长。
正十七边形的另一种作法
步骤1：
作圆O 的两条互相垂直的直径AC 、BD ；
在OB 上截取OE ＝14
OB ，连接EΑ；作∠FEO ＝14
∠ΑEO 交OΑ于点F ；作∠GEF ＝4
π，边EG 交CO 于点G 。
步骤2：
以GΑ为直径作圆O’，交OB于点H；
再以点F为圆心，经过点H作圆F，交AC于N4和N6两点。
步骤3：
过N4作AC的垂线交圆O于点P4，
过G6作AC的垂线交圆O于点P6，
则以圆O为基准圆，Α为正十七边形的第一个顶点P1，
P4为第四个顶点，P6为第六个顶点。
以1
2
弧P4P6所对的弦为半径，即可在圆O上截出正十七边形的所有顶点。
很久以前，古希腊数学家曾深入研究过一类作图问题，即：如何利用尺规作圆的内接正多边形。
早在《几何原本》一书中，欧几里德就用尺规完成了圆内接正三边形、正四边形、正五边形，甚至正十五边形的作图问题。
然而，似乎更容易完成的正7、9、11边形却未能作出。
让后来数学家尴尬的是，欧几里德之后的2000多年中，有关正多边形作图仍停留在欧几里德的水平上，未能向前迈进一步。
因此，我们可以想象得到，当1796年年仅19岁的高斯宣布他发现了正十七边形的作图方法时，会在数学界引起多么巨大的震憾了。
不过，高斯的结果多少显得有些奇怪。
他没有完成正七边形或正九边形等的作图，却偏偏隔下中间这一些直接完成了正十七边形。
为什么第一个新作出的正多边形是正十七边形而不是正七、九边形呢？在高斯的伟大发现之后，问题仍然存在：正七边形或正九边形等是否可尺规完成？或者更清楚地阐述这个问题：正多边形的边数具有什么特征时，它才能用尺规作出？
在经过继续研究后，高斯最终在1801年对整个问题给出了一个完美的解答。
高斯指出，只用直尺和圆规作圆内接正n 边形，当n 满足如下特征之一时方可作出：
1)n ＝2m ；（其中m 为正整数）
2)边数n 为质数且形如n ＝22t +1（其中t 为非负整数），即n 为质数的费马(Fermat )
数。
3)边数n 具有n ＝2m p 1p 2p 3……p k 的形式（其中p 1，p 2，p 3，……，p k 为互不相同的费马质数）。
由高斯的结论，具有质数n 条边的正多边形可用尺规作出的必要条件是n 为费马数。
由于我们目前发现的费马质数只有前五个费马数，因此，边数是费马数的正多边形中，只有正3、5、17、257、65537边形可用尺规作出（除非你能发现另一个费马质数）。
进一步，可以作出的有奇数条边的正多边形也就只能通过这五个数组合而得到，这样的组合数只有31种。
而边数为偶数的可尺规作出的正多边形，边数或是2的任意次正整数幂或与这31个数经过组合
而得到。
黎西罗给出了正257边形的尺规作法，写满了整整80页纸。
盖尔梅斯给出了正65537边形的尺规作法，此手稿整整装满了一只手提箱，现存于德国哥廷根大学。
这是有史以来最繁琐的尺规作图。