高斯的正十七边形
高斯与正十七边形
高斯与正十七边形数学就象一棵美丽的星球，他那博大精深、简明透彻的数学美就是他的引力场。
许许多多人类的精英被他的引力所吸引，投入他的怀抱为他献出了自己毕生的精力。
被誉为“数学王子”的伟大数学家高斯就是其中之一。
高斯是个数学天才，幼年时巧妙地计算1＋2＋3＋…＋100为101×50＝5050的故事几乎尽人皆知。
其实，学生日期的高斯不仅数学成绩优异，而且各科成绩都名列前茅。
小学毕业后，高斯考了文科学校。
由于他古典文学成绩突出，入学后直接上了二年级。
两年以后高斯又升入了高中哲学班。
15岁时，高斯在一位公爵的资助下上了大学－卡罗琳学院。
在那里，他掌握了希腊文、拉丁文、法文、英文有丹麦文，又学会了代数、几何、微积分。
语言学和数学是他最喜爱的两门课程。
18岁时，高斯进入了哥廷根大学深造。
这时，高斯面临着一个非常痛苦的选择：是把语言学作为自己的终生事业？还是把数学作为自己的终生事业？两棵下不了决心进行最后的选择。
后来，一次数学研究上的突破改变了两个引力场的均衡。
高斯终于下定决心，飞向了数学之星。
事情是这样的，尺规作图是几何学的重要内容之一，从古希腊开始，人们一直认为正多边形是最美的图形，因此，用尺规作图法能够作出哪些正多边形，历来就是一个极具魅力的问题。
到高斯的时代，人们已经解决了边数是n 23•、n 24•、n 25•、n 253••（=n 0,1，2,3……）的正多边形的尺规作图问题。
但是，还没有人能作出正7边形、正11边形、正17边形等等。
很多人认为，当边数是大于5的素数时，那样的正多边形是不可以用尺规作图完成的。
高斯一直对正多边形尺规作图问题非常着迷。
经过持久地，如醉如痴的思考与画图，于1796年3月30日，19岁的高斯出人意料地作出了正17边形。
并且，他把正多边形作图问题与高次方程联系起来，彻底解决了哪些正多边形能作出，哪些正多边形不能作出。
他证明了一切边数形如122+t（=t 0,1，2,3，……）的正多边形都只可以作出，而边数为7、11、14，……的正多边形是作不出的。
著名数学家高斯与正十七边形
著名数学家高斯与正十七边形著名数学家高斯与正十七边形用直尺和圆规作出圆内接正七、正九、正十一、正十三、正十七边形，是从古希腊以来两千多年悬而未决的著名数学难题；它困扰了许多著名的数学家，有的甚至为之付出一生的努力，却毫无所获。
但是，此难题却被18岁的高斯在1796年3月30日功克。
高斯是18—19世纪最伟大的数学家，近代数学的奠基人之一。
他被称为“数学王子”，“数学巨人”。
如果说世界上有神童的话，那么高斯就是其中的一位。
据说他三岁就发现了他父亲算帐时出现的错误，10岁时已表现出超群的数学思维能力。
有一次，老师出了一道题：把1到100的整数全部加起来。
其他同学都拿起笔来一个一个地加，高斯却坐在那一动也不动。
老师走到跟前问他为什么不做，他却立即报出了答案：5050。
他的做法是：把1和100相加得101，2和99相加也是101，3和97相加还是101；如此下去，共有50个101。
因此，得数为101×50=5050。
老师感慨地说“他已经超过我了，我没有什么可以教他的了。
”15岁时，高斯进入了卡罗琳学院，学习了牛顿，拉格郎日，欧拉等人的著作，很快掌握了微积分理论。
18岁时，高斯进入哥廷根大学。
在一次偶然的阅读中，他知道了用直尺和圆规作出圆内接正七边形的难题。
这使他非常着迷，并决心要功克它。
他首先查找出前人的作图方法，仔细研究他们失败的原因，通过半年多的努力，他终于作出了正七边形；接着，正九、正十一、正十三边形都被他一一克服。
没多久，正十七边形也被他功克。
面对第一次取得的成功，高斯异常兴奋，决心把自己的一生献给数学。
1801年，他发表了《算术研究》，论述了数论和高等代数的一些问题。
高斯对数学的研究涉及很多方面，除了在复变函数\统计数学\椭圆函数论上有突出贡献外，他在向量分析\正态分布的正规曲线\质数定理的验算研究上也取得了成绩。
在高斯去世后，哥廷根大学为他建造了一个以正十七边形棱柱为底座的纪念像，以纪念他一生中的第一个重大发现。
一个漂亮的证明与作图：高斯的正十七边形
⼀个漂亮的证明与作图：⾼斯的正⼗七边形⼀天晚上，19岁正读博的⾼斯的导师由于疏忽将两千多年未解决的⼀个问题——尺规做正⼗七边形留给了⾼斯，⾼斯优哉游哉得咬着笔头写着作业，然后表情严肃起来，妈的这题有点BT啊！想啊想，通宵⼀晚，伴着拂晓的晨光，⾼斯铅笔⼀扔，胸⼝长舒⼀⼝⽓。
⼼说，唉，最近智商⼜下降了，想我9岁算1+2+3……+100也没⽤这么长时间啊，这么个破题居然花了⼀晚上时间！第⼆天拿给博导，博导惊了，对他说，这可是阿基⽶德⽜顿都没做出来的题啊！你真是个天才啊！下⾯附上作图步骤和证明。
⾸先基于这样⼀个简单的定理，⼀直线段a、b，则对于线段c满⾜c^2 + ac + b = 0(c是实根，线段长肯定是实数)，我们是能够做出c的。
这个定理采⽤的⼀个基本思路就是利⽤代数⽅法去建⽴起线段之间的联系，⽽这也是求得cos(2π/17)的核⼼思想。
令： a = 2(cos(2π/17) + cos(4π/17) + cos(8π/17) + cos(16π/17)) ①a1 = 2(cos(6π/17) + cos(10π/17) + cos(12π/17) + cos(14π/17)) ②通过和差化积、诱导公式，我们会得到a + a1 = -1 , a*a1 = -4，可通过还原建⽴⼀元⼆次等式，利⽤上述定理，可做长度为a、a1的线段。
令： b = 2(cos(2π/17) + cos(8π/17)) ③b1 = 2(cos(4π/17) + cos(16π/17)) ④通过和差化积、诱导公式，我们会得到b + b1 = a , b*b1 = -1，可做长度为b、b1的线段。
令： c = 2(cos(6π/17) + cos(10π/17)) ⑤c1 = 2(cos(12π/17) + cos(14π/17)) ⑥通过和差化积、诱导公式，我们会得到c + c1 = a1 , c*c1 = -1，可做长度为c、c1的线段。
高斯与正十七边形尺规作图法
高斯与正十七边形尺规作图法【作图原理】首先要给出一条定理。
定理1：若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的，其中c是方程的实根。
上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候，做出长为的线段。
而要在一个单位圆中做出正十七边形，主要就是做出长度是的线段。
设则有即是方程的根，由定理1可知，长为和的线段可以做出。
令则有同样由定理1可知，长度是的线段都可以做出来的。
再由这样，是方程较大的实根。
显然也可以做出来。
证毕1、OD=1/4，2、OA=1，3、DA=170.5/4，4、OA1=(170.5-1)/16，5、A1A=(17-170.5)/16，6、DA1=(34-2*170.5)0.57、O O1=(170.5+1)*((34-2*170.5)0.5-4)/64，8、O1A1= OA1-O O1，9、DO1=（1/16+ O O12）0.5，10、OJ=(1-4* O O1)/4( 1+4* O O1)，11、DJ=(16+OJ2)，12、AK=JK=KL=（1+OJ）/2，13、OK=1-AK，14、O1K=OK-OO1，15、OL=（KL2-OK2）0.5，16、O1L= O1 M =（OL2+ O O12）0.5，17、OM=OM1+ O O1=（O O12+OJ）0.5+ O O1=COS3a，OJ=OL2，18、LA=(1+OL2)0.5，设正17边形中心角为α,则17α=360度,即16α=2π-α故sin16α=-sinα,又sin16α =2sin8αcos8α=22sin4αcos4αcos8α=2 4sinαcosαcos2αcos4αcos8α因sinα不等于0,两边同除有:16cosαcos2αcos4αcos8α=-1又由2cosαcos2α=cosα+cos3α等,有2(cosα+cos2α+…+cos8α)=-1注意到cos15α=cos2α,cos12α=cos5α,令x=cosα+cos2α+cos4α+cos8αy=cos3α+cos5α+cos6α+cos7α有:x+y=-1/2又xy=(cosα+cos2α+cos4α+cos8α)(cos3α+cos5α+cos6α+cos7α)=1/2(cos2α+cos4α+cos4α+cos6α+…+cosα+cos15α)经计算知xy=-1又有x=(-1+√17)/4,y=(-1-√17)/4其次再设:x1=cosα+cos4α,x2=cos2α+cos8αy1=cos3α+cos5α,y2=cos6α+cos7α=cos6α+cos10α故有x1+x2=(-1+√17)/4y1+y2=(-1-√17)/4注意到:x2=cos2α+cos8α可用倍角公式将x1+x2=(-1+√17)/4注意到:x2=cos2α+cos8α可用倍角公式将x1+x2=(-1+√17)/4=x1+2x12-2y1-2，同理：y1+y2=(-1-√17)/4=y1+2y12-2x2-2=(-1-√17)/4,联立可求出x1,y1y1=2×O O1=（根号17+1）×根号（34-2×根号17-4）/32又c osα+cos4α=x1,cosαcos4α=(y1)/2可求cosα之表达式,它是值的加减乘除平方根的组合,故正17边形可用尺规作出。
解读高斯正十七边形的作法(下)
e ＝。
从而求出cos 的其它表达式：可以验证，它们在数值上是相等的，其中以第二个表达式为最优。
在单位圆中，根据余弦定理，得正十七边形的边长为 ，将cos 的值代入，即可求出正十七边形的边长。
五、正十七边形的另一种作法步骤1：作圆O 的两条互相垂直的直径AC 、BD ；在OB 上截取OE ＝14OB ，连接EΑ；作∠FEO ＝14∠ΑEO 交OΑ于点F ；作∠GEF ＝，边EG 交CO 于点G 。
步骤2：以GΑ为直径作圆O’，交OB 于点H ；再以点F 为圆心，经过点H 作圆F ，交AC 于N4和N6两点。
步骤3：过N4作AC 的垂线交圆O 于点P4，过G6作AC 的垂线交圆O 于点P6，那么以圆O 为基准圆，Α为正十七边形的第一个顶点P1，P4为第四个顶点，P6为第六个顶点。
以12弧P4P6所对的弦为半径，即可在圆O 上截出正十七边形的所有顶点。
注一：7、9、11边形却未能作出。
让后来数学家为难的是，欧几里德之后的2000多年中，有关正多边形作图仍停留在欧几里德的水平上，未能向前迈进一步。
因此，我们可以想象得到，当1796年年仅19不过，高斯的结果多少显得有些奇怪。
他没有完成正七边形或正九边形等的作图，却偏偏隔下中间这一些直接完成了正十七边形。
为什么第一个新作出的正多边形是正十七边形而不是正七、九边形呢？在高斯的伟大发现之后，问题仍然存在：正七边形或正九边形等是否可尺规完成？或者更清楚地阐述这个问题：正多边形的边数具有什么特征时，它才能用尺规作出？在经过继续研究后，高斯最终在1801年对整个问题给出了一个完美的解答。
高斯指出，只用直尺和圆规作圆内接正n 边形，当n 满足如下特征之一时方可作出：1) n ＝2m ；〔其中m 为正整数〕2) 边数n 为质数且形如 n ＝22t +1〔其中t 为非负整数〕，即n 为质数的费马( Fermat )数。
3) 边数n具有n＝2m p1p2p3……p k的形式〔其中p1，p2，p3，……，p k为互不相同的费马质数〕。
高斯的正十七边形
《高斯的正十七边形》如果问你正十七边形的问题是哪位数学家最先解出来的？你一定会毫不犹豫地说出答案，但是你知道他是怎么做到的吗？这你就得猜了吧，而且，你猜的答案肯定是：像普通数学家一样，都希望自己能解出千古难题，然后再经过仔细的、不懈的努力研究，最终得出了答案。
对不起，你答错了。
故事大概是这样的：1796年的一天，在德国哥延根大学，一位十九岁的学生刚吃完晚饭就开始做导师每天例行给他留的三道作业题，前两道题他不费吹灰之力就做了出来，第三道题是：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺画出一个正十七边形。
这道题把他难住了——他所学过的数学知识竟然对解出这道题没有任何帮助，困难激起了他的斗志，他试着用各种各样的思路去解题，经过一晚上的思考和琢磨，他终于在第二天清晨解出了这道难题。
当他把作业交给导师时，他很惭愧，因为他觉得自己用的时间太长，辜负了老师的希望。
但是当导师看完作业后，激动地问：“这是你用圆规和有刻度的直尺做的吗？”“是的，我太笨了，居然用了一个晚上才做出来。
”高斯惭愧的说。
导师顿时惊得目瞪口呆原来，第三道题导师留错了，这道题其实是一道连阿基米德、牛顿这些人一辈子也都没能解出来的千古难题，这位学生竟然只用一个晚上就做出来了，这位学生就是数学王子——高斯。
在这件事情发生后，高斯回忆道，如果提前告诉他那是一道千古难题，那么他可能一辈子也解不出来那道题。
高斯解出那道题的关键，其实就在于他并不知道他正在解答一道千古难题，而只是以为在做普普通通的作业。
从这个故事中我们可以看出：在我们不清楚困难到底有多大的时候，我们反而更有力量去解决它！那么就是说，有时候真正阻碍我们成功的东西，并不是困难本身，而是我们对困难的恐惧，这种恐惧让我们不相信自己的能力，自然也就在困难面前投降了。
阿基米德和牛顿也许就是因此没能解出这道题的。
如果我们能够把这种恐惧感给克服掉、化解掉，那么我们会发现很多的难题会变得容易、很多的困难会迎刃而解。
正十七边形尺规作图与详细讲解
解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。
有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。
父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。
可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。
这时的高斯只有3岁！高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。
有一天，布德勒让全班学生计算1+2+3+4+5+……+98+99+100＝？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。
小朋友们开始计算：“1 + 2 ＝3，3+3＝6，6+4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。
但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。
高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。
”布德勒抬头一看，大吃一惊。
小石板上写着5050，一点也没有错！高斯的算法是1 ＋2 ＋3＋……＋98＋99＋100100＋99＋98＋……＋3＋2＋1101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝1010010100÷2＝5050高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！1796年的一天，德国哥廷根大学。
高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。
前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。
第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。
正十七边形的画法及证明
正十七边形的画法及证明1796年的一天，德国哥廷根大学，一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。
前两道题在两个小时内就顺利完成了。
第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺，画出一个正17边形。
他感到非常吃力。
时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。
这位青年绞尽脑汁，但他发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。
困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，他一边思索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。
当窗口露出曙光时，青年长舒了一口气，他终于完成了这道难题。
见到导师时，青年有些内疚和自责。
他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……”导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。
他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗？”青年有些疑惑地看着导师，回答道：“是我做的。
但是，我花了整整一个通宵。
”导师请他坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的面再做出一个正17边形。
青年很快做出了一上正17边形。
导师激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。
你是一个真正的天才！”原来，导师也一直想解开这道难题。
那天，他是因为失误，才将写有这道题目的纸条交给了学生。
每当这位青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远也没有信心将它解出来。
”这位青年就是数学王子高斯。
高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。
关于正十七边形的高斯画法有一个定理在这里要用到的：若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的，其中c是方程x^2+ax+b=0的实根。
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《高斯的正十七边形》
1796年的一天，在德国哥延根大学，一位十九岁的学生刚吃完晚饭就开始做导师每天例行给他留的三道作业题，前两道题他不费吹灰之力就做了出来，第三道题是：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺画出一个正十七边形。
这道题把他难住了——他所学过的数学知识竟然对解出这道题没有任何帮助，困难激起了他的斗志，他试着用各种各样的思路去解题，经过一晚上的思考和琢磨，他终于在第二天清晨解出了这道难题。
当他把作业交给导师时，他很惭愧，因为他觉得自己用的时间太长，辜负了老师的希望。
但是当导师看完作业后，顿时惊得目瞪口呆，原来，第三道题导师留错了，这道题其实是一道连阿基米德、牛顿这些人一辈子也都没能解出来的千古难题，这位学生竟然只用一个晚上就做出来了，这位学生就是数学王子——高斯。