正十七边形尺规作法与证明
0-首课(选讲)-素数与正十七边形尺规作图
接近消失的弧的正弦值等于其本身，余弦值等于1.
欧拉本人的推导方式：从 开始：
一系列不可思议的事情：
为实数.是无理数，甚至是超越数(1934,Gelfond,Schneider:若a,b为非零代数数使得lna,lnb在有理数域Q上线性无关，则lna,lnb在代数数域P上也线性无关.后来Baker在1966年将它推广到多个变量的情形，不久后他又证明了更深刻的定理.不过也留下诸多玄妙的问题，虽然圆周率和e都是超越数已经是众所周知的事情，但是目前甚至不知道 是不是有理数，圆周率和e的代数无关性问题尚未解决.Schanuel猜想.)
学生签字：
教师对本次课的总结和评定
1、学生上次作业完成情况：
2、学生本次上课表现情况:
3、老师对本次课的总结：
教师签字：
课前审阅：课后审核:时间:
所有孪生素数的倒数和收敛(布隆常数1.9021605...).
1,素数有无穷多个的三种证明方法：
欧几里得
费马数
欧拉(算术基本定理): ,这里P表示一切素数的集合,.即
2,关于素数的一些问题：
梅森素数：
完全数：
大数分解的一些有趣例子：
费马猜想：
哥德巴赫猜想(1742年哥德巴赫写给欧拉的信)：
不超过x的素数的个数，Li积分
并思考如何解方程 ，进一步思考如何解一般的一元三次方程.
教学反思
学生对本次课的总结和评定
1、○特别满意○满意○一般○差
2、本次课我学到了什么知识________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
正十七变形的尺规作图-推荐下载
尺规作图：正十七边形2009-09-07 17:24:09尺规作图是指使用圆规和没有刻度的直尺在有限步骤内的作图问题。
看似几何问题，实则是一个代数问题。
比如要作一个角等于π/3，就是在给定的线段的垂直平分线上截取长度为√3/2的线段，而作一条直线的垂线则是给定复平面上的一个点z=1，作出z'=√（-1）这个点。
把这个说法更一般化一点，尺规作图问题可以描述成：在复平面上给定那个点z_0,z_1,……,z_n（这些点的共轭可以得到），求复平面上全体可有这些点出发经直尺和圆规在有限步骤内可作出的点（数）的集合M。
如果z∈M，即z可作，则z是F[x]中一个2^t次多项式的根，F=Q(z_0,z_1,……,z_n,\bar(z_0),\bar(z_1),……,\bar(z_n))，其中Q为有理数域，\bar(z_k)为z_k的共轭，1≤k≤n。
现在来看一下所谓的尺规作图三大难题。
1，三等分角。
给定一个角θ，要得到α=θ/3，即作出cos(α)。
而我们有cos(θ)=cos(3α)=4cos(α)^3-3cos(α),令cos(α)=a,cos(3α)=b为已知，则有(2a)^3-3(a)-2b=0,在一般情况下，这个方程不一定是可约的（如取θ=π/3），在这时2a不可做，因为他不可能是一个2^t次多项式的根。
除此之外尚有很多可以被三等分的角，如只要n不是3的倍数，则α=π/3必可三等分。
事实上n和3互素，因此存在证书u和v，是的3u+nv=1，1/3n=u/n+v/3,所以α/3=π/3n=uπ/n+vπ/3，π/n和π/3都可作，所以α/3也可作。
2，倍立方。
即做一个正方体的体积是原正方体体积的2倍，相当于要作出x^3-2等于0的根，同1，这是不可能的。
3，化圆为方。
即作一个正方形使其面积等于给定的原的面积。
这相当于要作出x^2-π=0的根。
但是π不是代数数，即不是任何多项式的根，所以√π也是不可作的。
解读数学王子高斯正十七边形的作法-上
解读“数学王子”高斯正十七边形的作法（上）江苏省泰州市朱庄中学曹开清 225300一、高斯的传奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。
有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。
父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。
可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是……”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。
这时的高斯只有3岁！高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。
有一天，布德勒让全班学生计算1＋2＋3＋4＋5＋……＋98＋99＋100＝？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。
小朋友们开始计算：“1 ＋2 ＝3，3＋3＝6，6＋4＝10，……”数越来越大，计算越来越困难。
但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。
高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的。
”布德勒抬头一看，大吃一惊。
小石板上写着5050，一点也没有错！高斯的算法是1 ＋2 ＋3＋……＋98＋99＋100100＋99＋98＋……＋3＋2＋1101＋101＋101＋……＋101＋101＋101＝101×100＝1010010100÷2＝5050高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！1796年的一天，德国哥廷根大学。
高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。
前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。
高斯仅用没有刻度的尺子与圆规便构造出了正17边形
高斯仅用没有刻度的尺子与圆规便构造出了正17边形解法一：将你要画的正17边形的边长为d，它的外接圆的半径为R。
则d和R的关系是Sin(360度/(17*2))=d/(2R)正17边形的边对应的圆心角度数为360/17,正17边形的一条边和其两个端点与圆心连接的半径成为一个等边三角形；然后从圆心作出一条垂线到边上，就能得出一个直角三角形，圆心的那个角是圆心角的一半，即360度/(17*2)，对边是d/2,斜边是R，所以得出Sin(360度/(17*2))=d/(2R)最后，根据该公式，如果你想画出一个边长为1厘米的正17边形，则把d=1代入公式，得出R的值。
1、先画一个R半径的圆；2、用圆规支脚支在圆周的一个点上，取d为半径，交圆周于一点，然后把这两点连起来，就是17边形的一条边了；3、如此类推，把17条边画完就是一个正17边形了解法二：在与圆O的直径AB垂直的半径OC上，作出OC的中点D，在OB上作一点E，使OE等于半径的1/8；以E为圆心，ED长为半径作弧，与OA、OB分别交于F、G；以F为圆心，FD 长为半径作弧，交OA延长线于H，以G为圆心，GD长为半径作弧，交OA于I；作OB中点J，以线段IJ为直径作圆，交OC于K；过K作AB的平行线，与以线段OH为直径的圆交于远端L，过L作OC的平行线，与圆O交于M。
弧AM就是圆O的1/17，依次连结各点就行了解法三：将你要画的正17边形的边长为d，它的外接圆的半径为R。
则d和R的关系是Sin(360度/(17*2))=d/(2R) 正17边形的边对应的圆心角度数为360/17,正17边形的一条边和其两个端点与圆心连接的半径成为一个等边三角形；然后从圆心作出一条垂线到边上，就能得出一个直角三角形，圆心的那个角是圆心角的一半，即360度/(17*2)，对边是d/2,斜边是R，所以得出Sin(360度/(17*2))=d/(2R) 最后，根据该公式，如果你想画出一个边长为1厘米的正17边形，则把d=1代入公式，得出R的值。
正十七边形尺规作图及证明
正十七边形尺规作图及证明正十七边形样本图正十七边形作法:第一步：在给定直线l上作一个圆O交直线于点A，B，分别以A，B为圆心，AB，BA为半径作弧，两弧交于点C，D，连接CD；第二步：以C为半径，CO为半径作弧交圆于点E，F，连接EF交CD于点K，再分别以K，O为圆心，KO，OK为半径作弧，两弧交于点G，H，连接GH交直线CD于点P，连接PB；第三步：再以P为圆心，小于PB的长度为半径作弧U，分别交AB，CD于点M，N，再分别以M，N为圆心，MN，NM为半径作弧，两弧圆外的交点为Q，连接QP交圆于点T，再分别以T，M为圆心，TM，MT为半径作弧，两弧圆外的交点为R，连接PR交弧U于上面的点S，下面的点W；第四步:连接S，W，再分别以S，W为圆心，SW，WS为半径作弧交于圆外的点Y，连接PY交弧U于点X，再分别以X，S为圆心SX，XS为半径作弧，两弧圆外的交点为Z，连接PZ；第五步：PZ交AB于点A₁，再分别以A₁，B为圆心，A₁B，B A₁作弧交于点A ₂，B₁，连接A₂，B₁交AB于点B₂，交圆于点C₁，连接B₂，C₁；第六步：再最后的C₁B依次戴取分点，直到最后作出十七个分点后连接，便是正十七边形。
正十七边形证明我们知道，一个正多边形的中心角的余弦值如果不是超越数，就可以用尺规作出该正多边形，求出的中心角的三角函数值代数式也就是包含了过程。
计算360cos 17⎛⎫︒ ⎪⎝⎭设正十七边形的中心角为α，则17360α=︒即16360αα=︒-亦即()sin16sin 360sin ααα=︒-=-由诱导公式()cos 2cos παα-=，我们发现：()()()()()()()()()()()()cos cos 360cos 17cos16cos 2cos 3602cos 172cos15cos3cos 3603cos 173cos14cos 4cos 3604cos 174cos13cos5cos 3604cos 175cos12cos 6cos 3606cos 176cos11cos 7ααααααααααααααααααααααααααααααα=︒-=-==︒-=-==︒-=-==︒-=-==︒-=-==︒-=-=()()()()cos 3607cos 177cos10cos8cos 3608cos 178cos9ααααααααα=︒-=-==︒-=-=因此我们有结论1：cos cos16cos 2cos15cos3cos14cos 4cos13cos5cos12cos 6cos11cos 7cos10cos8cos9αααααααααααααααα======== 该结论我们以后使用。
正十七边形做法及证明
故有x1+x2=(-1+根号17)/4
y1+y2=(-1-根号17)/4
最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2
可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合,故正17边形可用尺规作出
有:
x+y=-
又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)
=(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)
经计算知xy=-1
又有
x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4
其次再设:
x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a
则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。
以弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。正十七边形的尺规作图存在之证明:
设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a
故sin16a=-sina,而
sin16a=2sin8acos8a=22sin4acos8a=2 4 sinacos2acos4acos8a因sina不等于0,两边除之有:
步骤一：
给一圆O，作两垂直的直径O
A、OB，
作C点使OC＝OB，点使得∠DCE＝45度
步骤二：
作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，
此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆
优质文档尺规作图三等分随便率性角和结构正十七边形
[优质文档]尺规作图三等分随便率性角和结构正十七边形尺规作图三等分任意和构造正十七边形饶剑明摘要:将角的等分问题转化为线段的等分问题，从而实现尺规作图的任意等分任意角。
对线段的任意等分是很容易做到的，就是根据平行线间线段对应成比例。
只要将角的等分转换成线段的段分问题就自然解决了，我们知道，角和线的关系在圆中可以实现，在一个圆中等角对应的弦长相等。
从而实现角的三等分和正十七边形的尺规作法。
关键词:三等分角平分线圆弧正十七边形一、任意角的三等分,，作角的平分线。
半径为的圆弧，所对的弦长为设角为,,a2,Ma,2sin 14,角所对的弦长 4,Ma,2sin 28,角所对的弦长为 3,Ma,2sin。
3642MMM,, 2313342,sin,,,MMM,,由于当很小时有，即有。
231332,,4,sin()sin()sin()当取不同值时，和的近似值如下: ,346381111可以看出利用会比更为精确，但在操作上会更为方便。
从数据上可以看出，锐角用4222,1就足够用了，在操作上也得到同样的结果。
但角度大于是就最好使用了。
由于尺规作42图本身在操作上就存在误差，所以这样的误差是允许的。
利用几何画板完全按尺规作图的步42MM,骤可以看到当角为锐角时有，即两个点完全重合。
2133操作步骤如下:1. 对角平分 ,1,2. 取上作图时角所对的弦长2AB3. 对线段AB三等分24.取线段AB的长线段AC 34. 以线段AB为半径，在圆弧等分 AB这样就对弧进行了三等分，标记三等分点，然后与顶点O连接就对角三等分了。
,除去多余的痕迹用这样的方法可以对任意角任意等分。
当角为锐角就一次性完成了操作。
,4,asin()当角是钝角是，就要用四分角去作图了，且从理论上要比稍微少一点，尤其,38是当接近平角时。
当角大于,时，就平分其补角然后反向延长。
,,24MM当一次实现不了的时候可以在和之间取值，每次折中而逼近，一般最多在两到1233三个循环操作能完成。
美如画，正多边形的尺规作图法，数学原来如此美丽！
美如画，正多边形的尺规作图法，数学原来如此美丽！
导读：他10岁时巧妙算出1-100的等差数列之和；24岁时发表《算术研究》，奠定近代数论的基础，还独立给代数基本定理作出4个证明；他希望自己的墓碑上能刻一个正十七边形。
1777年的今天，数学家高斯出生。
认真看，这就是美如画的正十七边形尺规作图方法
所谓的尺规作图是指只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。
值得注意的是，以上的“直尺”和“圆规”是抽象意义的，跟现实中的并非完全相同，具体而言，有以下的限制：直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。
只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。
圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。
它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度。
正三角形尺规作图法
正五边形。
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步骤三
过G4作OA垂直线交圆O于P4，
过G6作OA垂直线交圆O于P6，
则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。
以 弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。
正十七边形尺规作法与证明
证明
先计算或作出cos(
设正17边形中心角为a，则17a=360°,即16a=360°-a
故sin16a=-sina,而
sin16a=2sin8acos8a
=4sin4acos4acos8a
=16sinacosacos2acos4acos8a
因sina 0,两边除之有:
16cosacos2acos4acos8a=-1
= (cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)
经计算知xy=-1
因而;cos4a,
x2=cos2a+cos8a
y1=cos3a+cos5a,
y2=cos6a+cos7a
故有x1+x2=
y1+y2=(-1-√17)/4
最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=
又由2cosacos2a=cosa+cos3a等
注意到cos15a=cos2a,
cos12a=cos5a等,有：
2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1
令：
x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a
y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a
有:
x+y=
又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)
可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合,故正17边形可用尺规作出.
作法
步骤一
给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，
在OB上作C点使OC= OB，
在OA上作D点使∠OCD= ∠OCA
作AO延长线上E点使得∠DCE=
步骤二
作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，
此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆