组合数学在数论中的应用实例_王迪吉
组合数学与图论的应用与研究方法
组合数学与图论的应用与研究方法组合数学和图论是数学中两个重要的领域，它们在解决实际问题和推动科学发展方面起着至关重要的作用。
本文将探讨组合数学和图论在实际应用中的具体场景，并介绍一些相关的研究方法。
一、组合数学的应用场景1. 计算机科学中的应用组合数学在计算机科学中发挥着关键作用。
例如，在密码学中，组合数学中的排列、组合和置换等方法被用于设计和分析各种密码算法。
此外，组合数学被广泛应用于图像处理、网络优化、算法设计等领域，通过对实际问题进行抽象，我们可以利用组合数学的工具和方法来解决许多计算机科学中的难题。
2. 通信和网络领域中的应用组合数学在通信和网络领域中也扮演着重要角色。
在通信领域，组合数学的方法可以用于设计和分析编码理论、信号传输等问题。
而在网络领域，图论的概念和方法被广泛应用于网络拓扑结构、路由算法等方面，通过对网络进行图论建模，我们可以更好地理解和优化网络的性能。
3. 组合优化问题的求解组合数学在组合优化问题的求解中发挥着重要作用。
组合优化问题是指在如何选择一个集合或排列的情况下，达到最优目标的问题。
例如，旅行商问题（TSP）是一个经典的组合优化问题，通过应用组合数学中的图论和排列组合知识，我们可以寻找到最短路径的解决方案。
二、图论的应用场景1. 社交网络分析图论在社交网络分析中具有广泛的应用。
社交网络可以用图的形式表示，其中节点表示个体，边表示个体之间的关系。
通过图论的方法，我们可以分析社交网络中的社群结构、节点的中心度等信息，以揭示社交网络中的潜在模式和规律。
2. 路网规划图论在路网规划中发挥着重要作用。
通过将道路和交通节点抽象为图模型，我们可以使用图论的算法来计算最短路径、最优流量分配等问题。
这对于城市交通规划、物流配送等领域具有重要意义。
3. 电子电路设计图论在电子电路设计中也扮演着关键角色。
将电子电路抽象为图模型，我们可以使用图论的算法来解决电路布线、电路优化等问题，从而提高电路设计的效率和性能。
应用数学中的组合数学研究
应用数学中的组合数学研究组合数学是数学中的一个重要分支，它研究的是离散对象之间的选择、排列、组合和计数等问题。
在应用数学领域中，组合数学的研究对于解决各种实际问题具有重要的意义。
本文将介绍一些应用数学中的组合数学研究，并探讨组合数学在实际中的应用。
一、图论中的组合数学图论是一门与组合数学紧密相关的学科，它研究的是抽象图的数学理论。
组合数学在图论中有许多重要的应用，例如图的着色问题、路径计数问题等。
其中一个重要的研究方向是计算图中的最短路径或最小生成树。
在实际应用中，最短路径和最小生成树是许多优化问题的基础，例如网络流问题、交通路线规划等。
二、密码学中的组合数学密码学是研究在不安全信道上保证信息安全的学科。
组合数学在密码学中有重要的应用，例如哈希函数的设计、公钥密码体制中的离散对数问题等。
哈希函数是一种用于将任意长度的消息压缩成固定长度的消息摘要的算法。
其设计中涉及到许多组合数学的知识，例如置换群、置换多项式等。
公钥密码体制中的离散对数问题是解决RSA算法等加密算法中的一个重要问题，其研究也离不开组合数学的知识。
三、计算机科学中的组合数学计算机科学中的许多问题可以转化为组合数学的问题，例如计算机网络中的路由问题、图像处理中的纹理合成问题等。
路由问题是指在一定规模的计算机网络中，如何在各节点之间传输数据。
这个问题可以看作是在一个图上找最短路径的问题，因此与图论中的组合数学密切相关。
纹理合成问题是将许多小图像拼接成大图像的问题。
这个问题可以转化为对一定规模的组合数进行计算，因此与组合数学的计算密切相关。
四、概率统计中的组合数学概率统计是一门研究随机事件及其规律性的学科。
组合数学在概率统计中也有重要的应用，例如二项分布、超几何分布等。
二项分布是用于描述伯努利试验的分布，其中涉及到二项式系数等组合数学知识。
超几何分布是指从有限个不同元素中进行不放回抽样所得到的个数分布，其中也涉及到组合数学的知识。
综上所述，组合数学在应用数学中拥有广泛的应用，无论是在图论、密码学、计算机科学还是概率统计领域，都有重要的研究价值和实际应用。
组合数学在计算机中的应用
组合数学在计算机中的应用组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。
组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。
计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。
随着计算机科学的发展,组合数学也在迅猛发展,而组合数学在理论方面的推进也促进计算机科学的发展。
计算机软件空前发展的今天要求有相应的数学基础,组合数学作为大多数计算机软件设计的理论基础,它的重要性也就不言而喻。
就从目前我们在学习c++等语言进行编程解决问题看，组合数学的一些知识就能得到运用。
例如Hannoi塔问题。
用刚刚学的递推关系分析，设h(n)为n个盘子从a柱移到c柱所需移动的盘次。
显然，当n=1时，只需把a柱上的盘子直接移动到c柱就可以了，故h(1)=1。
当n=2时，先将a柱上面的小盘子移动到b柱上去；然后将大盘子从a柱移到c柱；最后，将b柱上的小盘子移到c柱上，共计3个盘次，故h(2)=3。
以此类推，当a柱上有n(n>=2)个盘子时，总是先借助c柱把上面的n-1个盘移动到b柱上，然后把a柱最下面的盘子移动到c柱上；再借助a柱把b柱上的n-1个盘子移动到c柱上；总共移动h(n-1)+1+h(n-1)个盘次。
所以：h(n)=2h(n-1)+1 （边界条件：h1=1）。
而一旦得出了这个递推关系式，就很容易运用递归算法来解决这样一个问题，递归算法因为是运用栈的方式进行加深与回溯，这个栈是系统给出的，故大大减少代码量。
因此利用组合数学中的知识很容易抽象出数学模型再用相应的编程技巧来解决问题。
另外，我们最近数据结构正好学到了图这一章节。
图是一种非常重要的数据存储结构，而在图的建立，遍历，生成树等问题的解决算法上基本都运用了组合数学中的知识。
例如在最小生成树算法中间需要判断是否有环的问题，中间算法思想中就包含了欧拉图判定定理，(1) 无向连通图G是欧拉图=>G不含奇数度的结点(即G的所有结点的度均为偶数(0视为偶数))；(定理1)(2) 非0平凡图G有欧拉通路=>G最多有两个奇数度的结点；(定理1的推论)(3) 有向图D是欧拉图=>D连通且D的所有结点的入度等于出度。
组合数学在奥数中的应用 2021年精选文档
组合数学在奥数中的应用 2021年精选文档组合数学在奥数中的应用-2021年精选文档组合数学在奥数中的应用奥数在数学的自学中，虽然不是其科目的必修课程部分，但是，从提高自身数学能力的角度来看，对其数学逻辑分析能力、良好习惯的培养等具备关键的推动意义。
因此，做为一名学生，在对数学知识展开自学的过程中，必须充份注重其女团数学在奥数中的应用领域，从而更好的推动其奥数问题的存有化解。
目前，数学奥利匹克竞赛越来越被广泛的认识并得到了充分的重视，在这种情况之下，为了更好的对其奥数问题进行有效的解决，积极对其组合数学进行系统的应用是非常重要的。
而从我国目前的发展状况来看，当前我国奥林匹克数学竞赛的知识面越来越广，其题目的种类也越来越丰富。
但是，相关的参考资料等却严重的不足。
因此，本文主要以一个学生的视角为基本点，从组合数学入手，对组合数学在奥数中的应用进行系统的分析，从而更好的促进自身对组合数学知识的吸收，推进我国教育事业的进一步发展。
一、女团数学的有关详述在对组合数学在奥数问题解决中的应用进行系统的研究之前，首先要做的就是对其组合数学的基本概念进行细致的了解，其不仅可以更加有效的加深我们对组合数学这一类题目有更加深入的理解，从另一个角度来看，对其组合数学在奥数题目中的应用的理解也有很大的帮助作用。
具体来讲，组合数学又分为广义的女团数学与狭义的女团数学。
（一）广义的女团数学从广义的角度来看，其主要指的是离散类型的数学，也就是说只要涉及到一离散为对象的基本题目，并且可以利用一定的离散数据信息对其进行问题进行有效的解决，都可以称之为广义上的组合数学。
（二）狭义的女团数学从狭义的角度来看，其主要指的是一些具有代数结构、数形逻辑等等方面知识的数学类型，其对一些数据的存在以及存在的形式、组合设计等都有一定的要求。
因此，在具体进行题目解决的过程中，要从其基本框架入手，根据组合性的数据等对题目进行解答。
二、从奥数竞赛启程，明确提出问题奥利匹克竞赛题目的设置对于学生数学思维能力、知识掌握程度、自身知识应用能力等都有很高的要求，从这个角度来看，为了更加全面的准备奥林匹克竞赛，做到更加精准的掌握其解决问题的能力，积极对其组合数学进行系统的研究与分析是非常有必要的。
组合数论的应用研究
组合数论的应用研究组合数论是一个庞大的数学分支，它的应用也十分广泛。
在生物、经济、计算机和物理等领域中，都能看到组合数学的身影。
本文将从数学角度分别探讨其在图论、密码学和多元统计学上的应用。
一、图论在图论中，组合数学的应用非常常见。
例如，在计算图G中有多少条路径经过给定的点集S，组合数学能够提供递归维数减小、利用叠加原理以及逆向思维来解决问题的方法。
具体来说，我们可以利用容斥定理来求解。
对于图G的任意一个点集S，令SP(i)表示经过点集S且以i为终点的路径的条数，则SP(i)能表示为：SP(i)=ΣT个大小为t的子集S’的交集点i的路径个数的交（-1）^（t+1）其中ΣT表示对所有大小为t的S’求和。
这个公式看起来可能有些抽象，但只需要理解其中的思想，即通过容斥原理巧妙地计算出问题的解。
同样地，这个方法也能用于计算从S到T的路径经过一个给定点的条数。
二、密码学在密码学中，一些经典的加密算法，如RSA加密算法、Diffie-Hellman密钥协商和ElGamal加密算法，都涉及到了组合数学。
其中最常见的应用是在RSA加密算法中，它需要用到欧拉函数、费马小定理和扩展欧几里得算法。
首先，我们需要选取两个大质数p和q，它们的乘积n=q*p就是著名的“RSA 加密算法中的大数”。
接着，我们选择一个加密密钥e，它应该满足1<e<φ(n)并且e 与φ(n)互质。
这里的φ(n)表示小于n且与n互质的数的个数。
因为φ(n)=（p-1）（q-1），我们可以用扩展欧几里得算法求解加密密钥e和φ(n)的最大公约数，并得出一个解d，它是e关于φ(n)的逆元。
最终，我们需要保护的信息m将被加密为密文c，计算公式为：c=m^e mod n只需知道私钥d，密文可以轻松解密：m=c^d mod n通过使用组合数学中的这些概念和算法，RSA加密算法变得十分可靠并保护信息的安全性。
三、多元统计学在多元统计学中，组合数学可用于计算协方差矩阵的非线性组合。
组合数学中的计数原理应用方法探讨
组合数学中的计数原理应用方法探讨组合数学是数学中的一个重要分支，研究的是离散数量之间的组合和排列规律。
在实际应用中，计数原理是组合数学中的一个重要概念，它为解决一系列计数问题提供了有效的方法。
本文将探讨组合数学中计数原理的应用方法以及相关例子。
一、基本计数原理基本计数原理是组合数学中的基础概念，它指出：如果事件A能够分解为若干个互不相容的子事件A₁，A₂，...，Aₙ，其中A₁发生的方式有m₁种，A₂发生的方式有m₂种，...，Aₙ发生的方式有mₙ种，那么事件A发生的方式总数为 m₁ * m₂ * ... * mₙ。
举例来说，假设在一个餐厅的菜单中，有3种主食可选，包括米饭、面条和饺子；有2种汤品可选，包括酸辣汤和番茄汤；另外，有4种饮料可选，包括红茶、绿茶、奶茶和咖啡。
那么在这个餐厅中，顾客可以有3 * 2 * 4 = 24种不同的就餐组合方式。
二、排列与组合在组合数学中，排列和组合是常见的计数问题。
排列是指从给定的元素集合中选取若干个元素按照一定的顺序排列。
组合是指从给定的元素集合中选取若干个元素，不考虑顺序。
1. 排列对于一个有n个元素的集合，要选取r个元素进行排列，共有n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-r+1)种排列方式，记作P(n, r)。
2. 组合对于一个有n个元素的集合，要选取r个元素进行组合，共有C(n, r)种组合方式。
其中，C(n, r)表示从n个元素中选取r个元素的组合数，计算公式为C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)。
三、应用实例计数原理在实际问题中具有广泛的应用。
以下将介绍一些常见的实例，展示计数原理在解决问题时的实际应用方法。
1. 队伍编排假设有7名学生参加一个表演比赛，其中包括3名男生和4名女生。
现在要求从这7名学生中选出3名参赛者组成一个小组，并按照一定的顺序进行编排。
根据计数原理，可以得出解决该问题的方法数为P(7, 3) = 7 * 6 * 5 = 210。
数论与组合数学中的问题
数论与组合数学中的问题数论和组合数学是现代数学中的两个重要分支，二者相互渗透，有许多相通之处。
在这篇文章中，我们将会探讨数论与组合数学中涉及到的一些问题。
一、素数和质因数分解素数是数论研究的重要对象之一。
素数指除1和本身以外，不能再被其他正整数整除的自然数。
例如，2、3、5、7、11、13、17、19等都是素数。
素数有许多神奇的性质，例如，一个大于1的自然数，如果它的因子都是素数，那么它一定是一个素数。
另外，任何一个自然数都可以唯一地拆分为若干个素数的乘积，这就是质因数分解定理。
二、排列组合问题排列组合是组合数学中的重要分支，也常常涉及到计数问题。
在组合数学中，我们常常需要算出将n个元素分成k组的方案数，这就是组合问题。
另一方面，当我们需要给n个元素排列时，也需要考虑元素的顺序，这就是排列问题。
排列组合的性质非常复杂，许多问题需要借助计算机进行求解。
三、数位问题数位问题是数学中的一个非常有趣的领域。
例如，我们经常需要判断一个数是几位数，或者将一个数的所有位数加起来得到一个新的数。
除此之外，数位问题还能衍生出一些难题，例如同余问题。
同余问题指的是两个数在模意义下是否相等，例如，对于任意正整数n，如果n的各位数字之和可以被9整除，那么n模9的余数就是0。
四、图论中的问题图论是数学的一个重要分支，常常用于描述网络和关系。
例如，社交网络中的好友关系可以用图论来表示。
在图论中，我们常常需要计算各个节点之间的距离和路径。
这些问题可以被转化为计数问题，例如，最短路径问题和最长路径问题。
五、数学中的小定理数学中有一些小定理，虽然看似简单却非常有用。
例如，费马小定理指的是如果p是一个质数，那么对于任意正整数a，a^p-a 模p的余数必定为0。
另外，欧拉定理指的是对于任意正整数a和m，如果a和m互质，那么a^φ(m)-1模m的余数必定为1，其中φ(m)表示与m互质的小于等于m的正整数个数。
六、组合数学中的难题组合数学是一门非常具有挑战性的学科，有许多不为人知的难题。
[VIP专享]同余式的简单介绍
![[VIP专享]同余式的简单介绍](https://img.taocdn.com/s3/m/3615b6f1284ac850ac024226.png)
②对 b/a 的分子，分母乘以不为零的整数 or 约去一个与模 m 互素的数，否则所得出的结果可能不是原同余式的解。
<下面仔细介绍> 代数/数论/组合理论/《.黑龙江科技信息》2008 年 19 期》摘要一 次同余式解法的特点及其分析——作者：李婷只讨论（a,m）=1 时，同余式 ax b(modm)有以下七种解法 （一）（1）观察法：在模 m 的完全剩余系 0,1，、、、，m-1 中考虑 同余式的解
1.，当 m 较小时，可用观察法，直接快速的得出方程的解 eg 2x 1(mod3) 因为（2,3）=1 所以有一个解，x 2(mod3)为 其解 2．当系数较大时，可用同余性质 ，将同余式系数减小，而 且用带余除法定理，保证系数在一个固定范围内作为模 m 的 系数，进而用观察法，可快速得到方程的解。 （二）Euler 定理;设 m 是大于 1 的整数，（a,,m）=1，则 a （m） 1（modm）由 Euler 定理，有 a（m） 1（modm）,而 ax≡b(m0dm)可得 a x （m） ba（（m））1（modm） x ba（（m））1(modm)为所求的解。 eg:8x 9(mod11)
43m1m“-”J520Gm01m24“492k-Z(1)g2L3-”3060@k%3-g“/1”7mD2%BJ/Tg0d1-ZP318¬-A_2"o70)Xc0?y258z6n”217 NE)
然后同与 m 互素的数陆续的乘右端的分子与分母，目的在于把分母
的绝对值变小，直到变为。
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|Ai1∩ Ai2∩ …∩ Aik|=
N l cm ( ai1 , ai 2 ,… , aik )
上式中
N l cm ( ai1 , ai2 ,… , aik )
表示其值为不大于
lcm
(ai1
N , ai2
,…
,
aik
)的最大整数。
由容斥原理可得出
n
∑ ∑ |-Ak= 1
1) |A ∩ k - 1
1≤ i1 < i 2 <… < ik≤ n
i1
Ai2∩ …∩
Ai k |
这就是容斥原理。 显然 ,容斥原理也可以写成
n
∑ ∑ n
|S - ∪ Ai|= |S|+ i= 1
(-
k= 1
1) |A ∩ k
1≤ i1
<
i2 <…
<
i
≤ k
m
∑ ∑ n+
( - 1)k
k= 1
1≤ i1 < i 2 <… < ik≤ m
n pi1 pi2… pik
其中 1是适合上述条件的一个数 ,但 1不是质数 ,因此要减去 1。 p1 , p2,… , pm 这 m 个数不适合上述条 件。 但它们又都是不大于 n 的质数 ,因此还要加上 m。 这样一来就可求出 c( n )的值。
|Ai
∩
1
Ai
∩
2
…
∩
A ik |表 示
S 中同时具有性质
Pi1 , Pi2 ,… , Pik的元素个数 ,|A- 1∩
A-2∩ …∩
A-n|表示
S 中不具有
性质 P1 , P2 ,… , Pn 中任何一个性质的元素个数 ,即
① [收稿日期 ] 2002. 8. 24 ② [作者简介 ] 王迪吉 ( 1944- ) ,男 ,汉族 ,教 授 , 研究方向: 基础 数学与计算机 ; 方剑英 ( 1974- ) ,女 ,汉 族 , 在读硕士研 究生 , 研究方
· 9·
设 n 是自然数 ,以 c( n)表示不大于 n的质数的个数。虽然目前尚未找到 c( n )的计数公式 ,但是利用容斥 原理我们可以得到一种求 c( n )的方法。
设 p1, p2 ,… , pm 是不大于 n 的全部质数。 令 S= { 1, 2,… , n} ,任取 s∈ S ,由数论知识可知 , s是质数当 且仅当要么 s是 p1 , p2 ,… , pm 中之一 ; 要么 s≠ 1且不能被 p1 , p2 ,… , pm 中的任一个整除。 由容斥原理 , S 中 不能被 p1 , p2 ,… , pm 中的任一个整除的整数个数是
n
i1
Ai
∩
2
…
∩
Aik |
容斥原理还有另一种叙述形式 ,即
设 S 是有限集合 , P1 , P2 ,… , Pn 是 n个性质 , Ai 是 S中具有性质 Pi 的元素的集合 , A-i 是 S中不具有性
质 Pi 的元素的集合 (以上 i= 1, 2,… , n )。对于任意 k ( 1≤k≤ n )个正整数 i1 , i2 ,… , ik ( 1≤ i 1 < i 2 <… < ik≤ n) ,
an = (b11+ b12n+ …+ b n 1r1 r1- 1 ) qn1+ (b21+ b22n+ …+ b n 2r2 r2- 1 ) qn2+ …+ ( bt 1+ bt2n+ …+ btrt nrt - 1 ) qnt 其中诸 bi j (共有 k 个 )是待定系数 ,只需将数列 {an }开始的 k 项初值代入即可确定出这些系数 ,从而最终
= n-
pn1+
pn2+ …+
n pm
+
p
n 1p
+
2
p
n 1p
+
3
…+
n pm- 1 pm
+
…+
(-
1)m
n p1 p2… pm
=n
1-
1 p1
1-
1 p2
…
1-
1 pm
利用这一结果 ,可以很容易验证 h( 12) = 4,h( 13) = 12,h( 36)= 12。
第 4期 王迪吉等 组合数学在数论中的应用实例
的任一个整除的整数个数。 由容斥原理可直接得到
m
∑ ∑ h(n )= n+
( - 1)k
k= 1
1≤ i1 < i 2 <… < ik≤ m
n l cm ( pi1 , pi2 ,… , pik )
m
∑ ∑ = n+
(-
k= 1
1)k 1≤ i1 < i 2 <… < ik≤ m
n p i1 pi2… pik
例 1: 证明数列 {an }n≥ 0= { 11n+ 2+ 122n+ 1 }的各项能被 133整除。 证法 1: 利用数论中的同余理论证明 由于 133等于两个质数 7和 19的乘积 ,因此只要 11n+ 2+ 122n+ 1能被 7和 19整除 ,则一定能被 133整除。 通项 an 可写成为 an = 11n+ 2+ 122n+ 1= 121× 11n+ 12× 144n。 因 为 121≡ 7, 144≡ 11 (mod 19) ,所以 11n+ 2+ 122n+ 1≡ 7× 11n+ 12× 11n≡ 19× 11n≡ 0 (mod 19) ,即 19|11n+ 2+ 122n+ 1。 而 121≡ 2, 11≡ 4, 12≡ 5, 144≡ 4 ( mod 7) ,所以 11n+ 2+ 122n+ 1≡ 2× 4n+ 5× 4n≡ 7× 4n≡ 0 ( mod 7) , 即 7|11n+ 2+ 122n+ 1。 从而得到 133|11n+ 2+ 122n+ 1。 证毕 证法 2: 利用递归关系的解法证明 因为 an = 11n+ 2+ 122n+ 1= 121× 11n+ 12× 144n ,而 11+ 144= 155, 11× 144= 1584 所以 x 1= 11, x 2= 144是方程 x 2- 155x+ 1584= 0的两个根 ,从而有递归关系 an = 155an - 1 - 1584an - 2 ( n≥ 2) 又因为 a0= 121+ 12= 133 a1= 121× 11+ 12× 144= 3059= 133× 23 a0和 a1 都能被 133整除 ,由递归关系式可知 an ( n= 0, 1, 2,… )均能被 133整除。 证毕
这个问题的解答。
令 S= { 1, 2,… , N } ,设 s∈ S。若 ai|s,则称 s具有性质 pi ,又设 Ai 是 S中具有性质 Pi 的元素集合 , -Ai 是
S 中不具有性质 Pi 的元素集合 (以上 i=
1,
2,…
,
n
)。
显然
,|Ai
∩
1
Ai2… ∩
Aik|就是 S 中同时具有性质 Pi1 ,
Pi 2 ,… , Pik的元素个数 , (以上 1≤ i1 < i 2 <… < ik≤ n, 1≤ k≤ n ) ,而|A- 1∩ A- 2∩ … ∩ A-n|就是 S 中不具有性质
P1 , P2… , Pn 中任何一个性质的元素个数。
由于一个整数能同时被 ai1 , ai 2 ,… , aik整除当且仅当这个整数能被它们的最小公倍数 l cm ( ai1 , ai2 ,… , aik ) 整除 ,所以
设 {an }n≥ 0是一数列 ,通项 an 与其前面若干项的关系式通常称为关于该数列通项的一个递归关系。设 c1 ,
c2 ,… , ck 是 k 个常数 ,且 ck≠ 0,则递归关系
an = c1an- 1+ c2an- 2+ …+ ckan - k ( n≥ k )
称为 k 阶常系数线性齐次递归关系。 称方程
得到数列 {an }的通项公式。 反之 ,由数列 {an }的通项公式也可求出关于 an 的递归关系式。
2 数列 { an }n≥ 0的整除性的判定和整除的计数
整除性的判定是数论中经常遇到的问题。在数论中利用同余理论去解答此类问题是常用的方法之一。本 文主要讨论数列 {an }n≥ 0的各项可被某一整数整除的判定问题。利用递归关系的解法 ,可以给出上述问题的解 答。 读者可以通过下面的例题举一返三总结出解答此类问题的方法。
h( n )的计数就不那么容易了。 然而 ,利用容斥原理 h( n)的计数问题就可以很快得到解决。
设 n( n≥ 2)为自然数 , P1 , P2 ,… , Pm 是 n的全部质因数 , r是任一不大于 n 的自然数。 r 与 n 互质当且仅
当 r不能被 P1 , P2 ,… , Pm 中的任一个整除。 因此 ,h( n)等于由 1到 n 的 n 个整数中不能被 P1 , P2 ,… , Pm 中
xk = c1xk - 1+ c2 xk- 2+ …+ ck- 1 x+ ck
为此递归关系的特征方程。由代数基本定理 ,这个 k 次方程在复数域内有 k 个根。设 q1 , q2 ,… , qt 为其全
部不同的根 ,重数分别是 r1 , r2 ,… , rt (显然 r1+ r2+ …+ rt = k ) ,则此数列的通项为: