二次曲线的定义
二次曲线的定义
(2).
S x1
p
x1
S x2
p
x2
Sห้องสมุดไป่ตู้x3
p
x3
0.
请自行证明这 三种写法确实 都与Sp=0等价.
(3).
S x1
p1
S x2
p2
S x3
p3
0.
(3)式与解析几何中 的切线方程一致
二次曲线的射影定义
五、二级曲线的切点
设 : T bijuiuj 0 (bij bji ) | bij | 0
PQ 为 Γ 的切线 PQ 交 Γ 于两个重合的点 将 xi = pi + λqi 代入 Γ：S = 0 后只有一个解。代入得
aij ( pi qi )( pj qj ) 0,
即
aij ( pi pj piqj qi pj 2qiqj ) 0
二次曲线的射影定义
整理得
2 aijqiqj ( aij piqj aijqi pj ) aij pi pj 0
证. 设交点 D, E; D′, E′ 如图。 因为 A, B, C, A′, B′, C′ 在同一条二次曲线 上，据二阶曲线的射影定义有
C(B, A, B, A) C(B, A, B, A).
又
C(B, A, B, A) AB(B, E, D, A) C(B, A, B, A) AB(D, A, B, E).
的所有直线 [u1, u2, u3] 的集合称 为一条二级曲线. 其中 (bij) 为三 阶实对称阵, 秩 (bij)≧1。
定义2 如果 S 可以分解为两 个一次因式的乘积，则称 S = 0 为退化二阶曲线，否则称为非 退化二阶曲线。
定义2′ 如果 T 可以分解为 两个一次因式的乘积，则称 T = 0 为退化二级曲线，否则称为 非退化二级曲线。
二次函数与二次曲线的像与性质
二次函数与二次曲线的像与性质二次函数与二次曲线是高中数学中的重要概念，它们在图像的性质和实际问题中有着广泛的应用。
本文将探讨二次函数与二次曲线的像以及它们的性质。
1. 二次函数的定义二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
它的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线。
2. 二次曲线的定义二次曲线是指满足二次方程Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0的所有点的集合。
其中A、B、C、D、E、F为常数且A、B、C至少有一个不为0。
常见的二次曲线有椭圆、双曲线和抛物线。
3. 二次函数图像的性质（1）开口方向：当二次函数中的a大于0时，图像开口朝上；当a 小于0时，图像开口朝下。
（2）顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
（3）对称轴：对称轴是二次函数图像的一条对称线，其方程为x=-b/2a。
（4）与坐标轴的交点：二次函数与x轴的交点称为零点，与y轴的交点为y轴截距，可以通过解方程求得。
4. 二次曲线的性质（1）椭圆：椭圆是指离心率小于1的曲线，其特点是双轴相交于中心，且轴的长度相等。
（2）双曲线：双曲线是指离心率大于1的曲线，其特点是两支曲线相交于中心，且轴的长度不相等。
（3）抛物线：抛物线是指离心率等于1的曲线，其特点是开口朝上或朝下的曲线。
5. 二次函数与二次曲线的像（1）二次函数的像：二次函数的像是指函数图像在y轴上的取值范围，即所有y的可能值。
对于开口朝上的二次函数，像的范围是[0, +∞)；对于开口朝下的二次函数，像的范围是(-∞, 0]。
（2）二次曲线的像：二次曲线的像是指曲线上的点在x轴和y轴上的投影。
对于椭圆，其像是整个平面内的点；对于双曲线，其像是两支曲线与x轴和y轴形成的图像；对于抛物线，其像是抛物线在x轴和y轴上的投影。
综上所述，二次函数与二次曲线在图像的形状与性质上存在一定的联系和区别。
通过研究二次函数与二次曲线的像与性质，我们可以更好地理解它们在数学中的应用和意义。
二次曲线
二次曲线- 二次曲线二次曲线- 正文也称圆锥曲线或圆锥截线，是直圆锥面的两腔被一平面所截而得的曲线。
当截面不通过锥面的顶点时，曲线可能是圆、椭圆、双曲线、抛物线。
当截面通过锥面的顶点时，曲线退缩成一点、一直线或二相交直线。
在截面上的直角坐标系(x,y)之下,这些曲线的方程是x,y 的二元二次方程：。
若截面不通过锥面的顶点，令截面与锥面轴线所成的角为θ,锥面的半顶角为α，则当时，所截曲线为圆；当时，截面与锥面的所有母线都相交,所截曲线为椭圆；当θ=α时，截面与锥面的一条母线平行，所截曲线为抛物线；当0≤θ<α时,截面与锥面的两条母线平行，所截曲线为双曲线。
焦点与准线如果圆锥曲线不是圆，则在圆锥曲线所在的平面上存在一定点和一定直线，使得圆锥曲线上任何一点到该定点和定直线的距离之比为常数，这个定点称为圆锥曲线的焦点，定直线称为圆锥曲线的准线。
为了得到焦点与准线，只需作一个球面内切于圆锥面并同时与圆锥曲线所在的平面σ相切。
设球面与平面σ相切于点F，球面与圆锥面相切于一个圆,这个圆所在的平面为ω，ω与σ相交于直线l，则点F，就是焦点，直线l就是准线（图1）。
二次曲线二次曲线这时,圆锥曲线上任意一点P到焦点F的距离｜PF｜与到准线l的距离｜PD｜之比为：。
其中θ,α都与P在曲线上的位置无关，所以是常数。
这个常数称为圆锥曲线的离心率，记为e。
当截线是椭圆时，e<1；当截线是双曲线时，e>1；当截线是抛物线时，e=1。
对于椭圆或双曲线，存在两个合于以上要求的球面，因此椭圆或双曲线都有两个焦点与两条准线。
每个焦点与其相应的准线都有上述性质。
抛物线只有一个焦点与一条准线。
若椭圆的两个焦点为F1,F2。
如图2所示的球面与圆锥面相切的圆为C1,C2。
这时对于椭圆上任意一点P，令通过P的母线OP（O为圆锥面的顶点）与C1、C2的交点分别为A、B。
则P 到F1的距离｜PF1｜与P到F2的距离｜PF2｜之和为｜PF1｜｜PF2｜=｜P A｜｜PB｜=｜AB｜。
解析几何中的二次曲线分类
解析几何中的二次曲线分类解析几何是数学中的一个重要分支，它旨在研究图形形状、大小、位置等性质，以及这些性质之间的相互联系。
在解析几何中，二次曲线是一类特殊的几何图形，由于其广泛的应用，在解析几何的研究中占有重要的地位。
本文将介绍二次曲线的分类及其特点。
一、二次曲线的基本概念首先，我们需要澄清二次曲线的定义。
在平面直角坐标系中，我们可以表示一个点的坐标为$(x,y)$。
如果一个点$(x,y)$在坐标系中满足一个由$x$和$y$的二次多项式方程表示的条件，那么这个点就在这个方程所描述的二次曲线上。
二次多项式方程一般的形式为：$$Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0$$其中，$A,B,C,D,E,F$为实数，$A$和$B$不能同时为零。
二次曲线的几何形状取决于二次项和常数项的系数。
二、椭圆如果$AC-B^2>0$，那么二次曲线就是椭圆。
这里，$A>0$和$B>0$。
椭圆的特点是，它的任何一条直径都可以被看作是它的两个焦点之间的连线。
此外，椭圆还有一个重要的性质，即它所有点的到两个焦点距离之和是一个定值，叫做椭圆的长轴长度。
三、双曲线如果$AC-B^2<0$，那么二次曲线就是双曲线。
在这种情况下，我们可以定义一个新的变量$y'=\frac{y}{x}$，这样就可以将原方程化为标准式：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$其中，$a$和$b$都是正实数。
双曲线取决于$a$和$b$的大小关系。
如果$a>b$，我们称之为正双曲线；如果$b>a$，我们称之为负双曲线。
无论哪一种情况，双曲线都有一个重要的性质，即它所有点的到两个焦点距离之差是一个定值，叫做双曲线的焦距。
四、抛物线如果$AC-B^2=0$，且$A$和$B$不同时为零，那么二次曲线就是抛物线。
在这种情况下，我们可以将原方程变形为标准式：$$y=ax^2+bx+c$$其中，$a$和$b$都是实数。
二次曲线的基本概念与性质
二次曲线的基本概念与性质二次曲线是数学中重要的曲线类型之一，具有独特的性质和应用。
本文将介绍二次曲线的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和应用二次曲线。
一、二次曲线的定义与分类二次曲线是由二次方程表示的曲线，其一般形式为 ax^2 + bxy +cy^2 + dx + ey + f = 0，其中a、b、c、d、e、f为实数且a和c不同时为0。
二次曲线的形状和性质与a、b、c的值相关。
根据二次曲线的系数等特征，我们可以将其分为以下三种类型：1. 椭圆：当b^2 - 4ac < 0时，二次曲线为椭圆。
椭圆是一种闭合的曲线，具有两个焦点和长短轴，常用于描述行星轨道、电子轨道等。
2. 抛物线：当b^2 - 4ac = 0时，二次曲线为抛物线。
抛物线是一种开口朝上或朝下的曲线，具有顶点和对称轴，常用于物体抛体运动、天文学中的折射等问题。
3. 双曲线：当b^2 - 4ac > 0时，二次曲线为双曲线。
双曲线是一种开口朝上或朝下的曲线，具有两个分支和渐进线，常用于电磁波传播、双曲线函数等领域。
二、二次曲线的性质1. 零点与轴：二次曲线与x轴和y轴的交点称为零点。
根据二次方程的特性，二次曲线最多有两个零点。
而对于抛物线、椭圆和双曲线，还存在零点在无穷远处的情况，分别称为开口朝上、朝下和双曲线的渐进线。
2. 对称性：二次曲线通常具有对称性质。
椭圆和双曲线具有轴对称性，抛物线具有顶点对称性。
这种对称性便于在计算和应用中进行分析和求解。
3. 焦点和准线：对于椭圆和双曲线，存在两个焦点和两条准线。
焦点与准线是二次曲线的重要特性，与曲线的形状和离心率相关。
焦点和准线的性质在物理光学、电磁学等领域有广泛的应用。
4. 椭圆离心率：椭圆的离心率是一个重要的参数，表示椭圆形状的圆形程度。
离心率越接近于0，椭圆越接近于圆形；离心率越接近于1，椭圆越扁平。
离心率的大小对椭圆的性质和应用有重要影响。
三、应用与拓展二次曲线作为数学中的经典对象，广泛应用于各个领域。
二次曲线的定义及应用
例1、已知：P为双曲线 （a>0, b>0）上 一点，F1，F2为焦点，A1，A2为其顶点。求证： 以PF1为直径的圆与以A1A2为直径的圆相切。
x2 y2 2 1 2 a b
练习：已知：过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直 线与抛物线交于P，Q两点，求证：以线段PQ 为直径的圆与准线相切。
例2、设F1、F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上 的任意一点，从任一焦点向△F1MF2的顶点M的 外角平分线作垂线，垂足为P，则P的轨迹为 （ ） A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
例3、如图：椭圆 为左焦点，A、B是两个顶点，P为椭圆上 一点，PF1⊥x轴，且PO//AB，求椭圆的离 心率e
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二次曲线的定义与应用
解析几何复习一
珠海市第一中学
袁长林
圆：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹 圆锥曲线的定义 1. 椭圆：平面内到两个定点的距离之和等于定长（定长大于 两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。 2. 双曲线：平面内到两个定点的距离的差的绝对值为定值 （定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即 {P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。 3. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点的距离与到定直线的 距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭 圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
。
x2 y 2 2 1 2 a b （a>b>0），F1
例4、椭圆 的焦点为F1和F2，点P在椭 圆上，若线段PF1的中点在y轴上，求：|PF 1 12 3
二次曲线的性质与图像
二次曲线的性质与图像二次曲线在数学中是一类重要的曲线，其性质与图像具有独特的特点。
本文将探讨二次曲线的性质，包括一般形式、焦点、顶点、对称轴以及与轴交点等方面，并通过图像展示这些性质。
一、一般形式一般来说，二次曲线可以通过一般二次方程的形式表示：$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$，其中A、B、C为常数，并且$A$和$C$不能同时为零。
二、焦点焦点是定义二次曲线的一种重要概念。
焦点与直线称为准线，对于椭圆和双曲线，焦点是有两个的，而对于抛物线，焦点只有一个。
焦点与准线之间的距离称为焦距，记作$p$。
三、顶点顶点是指二次曲线的最高点或最低点。
对于椭圆和双曲线来说，顶点通常称为实顶点，而对于抛物线来说，顶点则称为虚顶点。
四、对称轴对称轴是指二次曲线的中心轴线，对称轴上存在一个对称中心，与该中心的距离为焦距的一半。
沿着这条直线对称，可以保证曲线的形状不变。
五、与轴交点与轴交点是二次曲线与直线$x=0$和$y=0$的交点。
对于椭圆和双曲线，分别与$x$轴和$y$轴有两个交点，而对于抛物线，与$x$轴有一个交点。
接下来，通过图像展示二次曲线的性质。
首先是椭圆的图像。
椭圆有两个焦点，且两个焦点与中心之间的距离相等。
顶点位于椭圆的长轴上，并且对称轴即为长轴。
与轴交点位于长轴的两个端点。
接下来是双曲线的图像。
双曲线也有两个焦点，但是焦点与中心之间的距离大于曲线的长轴长度。
顶点位于双曲线的中心处，并且对称轴即为长轴。
与轴交点位于长轴的两个端点。
最后是抛物线的图像。
抛物线只有一个焦点，焦点位于抛物线的顶点处。
对称轴和抛物线的轴是同一条线，与轴交点位于抛物线的焦点。
综上所述，二次曲线的性质与图像包括一般形式、焦点、顶点、对称轴以及与轴交点等。
通过对这些性质的了解，我们可以更好地理解和应用二次曲线。
二次曲线的一般式-概述说明以及解释
二次曲线的一般式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二次曲线是数学中重要的曲线类型之一。
它由二次方程所表示，是平面上的曲线。
在二次曲线上，点到定点的距离与点到定直线的距离的比值恒定，这是二次曲线独特的性质之一。
二次曲线广泛应用于几何学、物理学、工程学和计算机图形学等领域。
在几何学中，二次曲线的性质和特点被用于解决许多关于曲线的问题，如焦点、直径、切线和法线等。
在物理学中，二次曲线的运动方程被用于描述抛物线运动或者椭圆轨道等运动问题。
在工程学中，二次曲线常用于设计道路、桥梁和建筑物的曲线部分，以达到美观和结构稳定的目的。
在计算机图形学中，二次曲线被广泛应用于绘制曲线和曲面，用于创建平滑的图形效果。
本文将深入探讨二次曲线的一般式，包括其定义、性质和特点。
我们将介绍二次曲线的一般形式，并重点讨论其中的关键概念和公式。
通过学习二次曲线的一般式，读者能够更好地理解二次曲线的特性，并能够应用这些知识解决相关问题。
接下来的章节将按照以下结构展开：首先，我们将介绍二次曲线的定义和一般形式，包括其方程和基本图形。
然后，我们将深入研究二次曲线的性质和特点，例如焦点、直径和切线等。
最后，我们将总结二次曲线的一般式，并探讨其应用和意义。
在本文的剩余部分，读者将逐步了解二次曲线的复杂性和多样性，以及它们在数学和实际应用中的作用。
无论读者是初学者还是对二次曲线较为熟悉的人，本文都将为他们提供全面而深入的知识，帮助他们更好地理解和运用二次曲线的一般式。
文章1.2文章结构部分的内容可以如下编写：文章结构是指文章的整体组织和布局方式，在本文中分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分是文章的开端，概述了二次曲线的一般式的主题和背景，引起读者的兴趣。
其中，1.1小节对二次曲线的概念和定义进行解释，确保读者了解文章所涉及的数学概念。
1.2小节则介绍了本文的文章结构，提供了整篇文章的脉络，为读者理解文章内容奠定基础。
最后，1.3小节明确了本文的目的，即探究二次曲线的一般式，并说明了相关探究的意义。
二次曲线的基本概念与性质
二次曲线的基本概念与性质二次曲线作为数学中的重要概念之一，具有广泛的应用和深入的理论研究。
它在几何学、物理学、经济学等学科中发挥着重要作用。
本文将介绍二次曲线的基本概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用二次曲线。
一、二次曲线的定义二次曲线是由二次方程所表示的曲线，其一般形式可以写成：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F是实数，且至少有一个系数不为零。
二、二次曲线的分类根据二次曲线的方程，我们可以将其分类为三种常见形式：椭圆、双曲线和抛物线。
1. 椭圆：椭圆是由平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹所形成的曲线。
椭圆的方程可以写成标准形式：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b 分别是椭圆的长半轴和短半轴。
2. 双曲线：双曲线是由平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹所形成的曲线。
双曲线的方程可以写成标准形式：(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)是双曲线的中心坐标，a和b 分别是双曲线的长半轴和短半轴。
3. 抛物线：抛物线是由平面上到定点的距离等于定直线的距离所形成的曲线。
抛物线的方程可以写成标准形式：y = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)是抛物线的顶点坐标，a是抛物线的参数。
三、二次曲线的性质1. 对称性：椭圆、双曲线和抛物线都具有对称性。
椭圆具有关于x轴和y轴的对称性，双曲线具有关于坐标轴和原点的对称性，抛物线具有关于y轴的对称性。
2. 焦点和准线：椭圆和双曲线都有焦点和准线。
焦点是离心率所确定的两个定点之一，准线是离心率的长度倍的直线。
焦点和准线在二次曲线的性质中起着重要作用。
3. 弦和切线：二次曲线可以通过弦和切线来研究。
弦是连接曲线上两点的线段，切线是曲线上某点的斜率与曲线相切的直线。
4. 集中度和离心率：二次曲线的集中度和离心率是描述曲线形状的重要参数。
二次曲线的性质与判定解析
二次曲线的性质与判定解析二次曲线是代数几何中重要的一个概念，它在数学和其他学科中有广泛的应用。
本文将详细探讨二次曲线的性质与判定解析，并对其相关理论进行阐述。
一、二次曲线的定义二次曲线是由二次方程定义的曲线，其表达形式为\(ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0\)，其中a、b、c是实数，且\(a^{2}+b^{2}+c^{2}\neq 0\)。
二、二次曲线的类型根据二次曲线的系数和方程的特征，可以将二次曲线分为以下几类：1. 椭圆：当二次曲线满足\(b^{2}-4ac<0\)时，曲线的解析形式为\(\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1\)，其中\((x_{0},y_{0})\)是椭圆中心的坐标。
2. 双曲线：当二次曲线满足\(b^{2}-4ac>0\)时，曲线的解析形式为\(\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1\)，其中\((x_{0},y_{0})\)是双曲线中心的坐标。
3. 抛物线：当二次曲线满足\(b^{2}-4ac=0\)时，曲线的解析形式为\((x-x_{0})^{2}=4p(y-y_{0})\)，其中\((x_{0},y_{0})\)是抛物线的焦点坐标，p是抛物线的焦距。
三、二次曲线的性质1. 对称性：椭圆、双曲线和抛物线都具有关于x轴、y轴和原点的对称性。
2. 焦点与准线：椭圆和双曲线都有焦点和准线，而抛物线只有焦点和直线。
焦点是曲线上所有点到两个定点的距离之和等于定值的点。
准线是与焦点处于同一直线上的点的轨迹。
3. 离心率：椭圆和双曲线都有离心率的概念，而抛物线没有。
离心率是描述曲线形状和性质的重要参数，它可以判断曲线的形状是否扁平或细长。
4. 焦直线：椭圆和双曲线都有与焦点和准线垂直的直线，称为焦直线，与曲线的交点构成了曲线的形状。
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注：本定理提供了二次曲线的点坐标、线坐标方程互化方法。
推论4 若 bij = αAij ( α ≠ 0 )，则 S ≡∑aijxixj= 0 与 T ≡∑bijuiuj = 0 表示同一条二次曲线。
二次曲线的射影定义
例3 求证：x1x3 – x22 = 0 与 4u1u3 – u22 = 0 表示同一条二次曲 线.
证明. 第一步. 验证已知两条二次曲线为非退化. 第二步. 将 aij, u1, u2, u3 代入 (13) 式, 展开即得 4u1u3 – u22 = 0.
二次曲线的射影定义
七、二阶曲线束
定理4 平面上两条相异的二阶曲线一般有四个交点.
证明. 设Γ1: f ≡∑aijxixj=0, Γ2: g ≡∑bijxixj =0, 则联立 即为Γ1与Γ2的交点, 显然, 在复数范围内一般有四个解.
第五章 二次曲线的射影理论
本章是平面射影几何的精华, 也是最精彩的部分之一
二次曲线的定义
本 章
Pascal定理和Brianchon定理
主
要
二次曲线的配极原理
内
容
二次曲线的射影分类
每一部分都有丰富的内容、深刻的内涵和重要的应用.
二次曲线的射影定义
一、二次曲线的代数定义
定义1 坐标满足
3
S aij xi x j 0 (aij a ji ) (1) i, j1
S
2 p
S pp S
(5)
(5) 式为一个二次方程，故经过平面上一点 P 一般有两条切线。 如果 P 在 Γ 上，则 Spp = 0，从而，二阶曲线上一点 P 处的切线 方程为
Sp 0
(6)
二次曲线的射影定义
注：Sp = 0 常用的等价写法
a11 a12 (1). ( p1, p2 , p3 ) a12 a22
注：本题的逆命题成立。
二次曲线的射影定义
六、二阶曲线与二级曲线的统一
定理3(Maclaurin) 一条非
定理3′ (Maclaurin) 一条非
退化二阶曲线的全体切线构成 退化二级曲线的全体切点构成
一条非退化二级曲线。
一条非退化二阶曲线。
证明 设 : S aij xi xj 0.
若P(p1,p2,p3)是切线u[u1,u2,u3]的切点，则有Sp=0，于是
a13 a23
a13 x1 a23 x2 0. a33 x3
(2).
S x1
p
x1
S x2
p
x2
S x3
p
x3
0.
请自行证明这 三种写法确实 都与Sp=0等价.
(3).
S x1
p1
S x2
p2
S x3
p3
0.
Hale Waihona Puke (3)式与解析几何中 的切线方程一致
二次曲线的射影定义
五、二级曲线的切点
: aAA dBB bAB cAB 0
(4.2)
定理2 设二阶曲线 Γ 由射影线束 O(P) 与 O′(P) 生成，则在 Γ 上任意取定相异二点 A和B，与 Γ 上的动点 M 连线可得两个射 影线束 A(M ) B(M ).
注：由本定理, 一旦二阶曲线由两个射影线束生成，则其上点 的地位平等，以曲线上任意相异二点为束心与曲线上的点连线则 得到两个也生成此曲线的射影线束。
OP(K ) OP(K ).
二次曲线的射影定义
推论1 平面上五点(其中无 三点共线)唯一确定一条非退 化二阶曲线。
推论2 任一二阶曲线可由 两个射影线束生成。
推论3 二阶曲线上四个定 点与其上任意一点连线所得四 直线的交比为定值。
推论1′ 平面上五直线(其中 无三线共点)唯一确定一条非 退化二级曲线。
PQ 为 Γ 的切线 PQ 交 Γ 于两个重合的点 将 xi = pi + λqi 代入 Γ：S = 0 后只有一个解。代入得
aij ( pi qi )( pj qj ) 0,
即
aij ( pi pj piqj qi pj 2qiqj ) 0
二次曲线的射影定义
整理得
2 aijqiqj ( aij piqj aijqi pj ) aij pi pj 0
由本定理的证明可知，[u1,u2,u3] 为 Γ上一点处的切线
a11 a12 a13 u1
a12 a22 a23 u2 0
(13)
a13 a23 a33 u3
u1 u2 u3 0
展开, 得 T Aijuiu j 0. 且Aij Aji ,| Aij || aij |2 0.
这里Aij是aij的代数余子式.
特殊 ( l 属于 Γ′ )：
Tl 0
(6' )
二次曲线的射影定义
例2 如果两个三点形 ABC 与 A′B′C′ 同时内接于一条二次曲线， 求证它们也同时外切于一条二次曲线。
证. 设交点 D, E; D′, E′ 如图。 因为 A, B, C, A′, B′, C′ 在同一条二次曲线 上，据二阶曲线的射影定义有
u1 p1 u2 p2 u3 p3 0
二次曲线的射影定义
这个关于p1,p2,p3和k的方程组有非零解，所以
a11 a12 a13 u1
a12 a22 a23 u2 0
(13)
a13 a23 a33 u3
u1 u2 u3 0
这是一个二级曲线的方程.
二次曲线的射影定义
设 : S aij xi xj 0.
x1x3 x2 x3 x32 0,
即
x3 x1
0 x2
x3
0
这是一条退化的二阶曲线。
二次曲线的射影定义
四、二阶曲线的切线
本部分总假定：所论二次曲线为非退化的.
1. 定义 定义4 与二阶曲线 Γ 交于两个重合的点的直线称为 Γ 的切线。
外
相异的实切线
一般地,点P在上 过P有的两条重合的实切线
设gpp≠0. 令
0
f pp g pp
.
则f+λ0g=0为过P且属于 f+λg=0的二阶曲线.
二次曲线的射影定义
定理6 平面上任一二阶曲线束中必有三条退化的二阶曲线, 它们是以四个基点为顶点的完全四点形的三双对边.
命题 S = 0 退化 |aij| = 0.
二次曲线的射影定义
二、二次曲线的几何结构
定理1 不同心的两个射影线束对应直线交点的全体构成一条 经过此二线束束心的二阶曲线 Γ.
注：若已知两个射影线束 A + λB ↔ A′ + λB′ 的对应式
a b c d 0
则由此构成的二阶曲线方程为
(ad bc 0)
定义3′ 在射影平面上，称 两个射影点列对应点连线的集 合为一条二级曲线。
思考：试研究本定义是如何包含退化二次曲线的。
提示：考虑透视对应、射影变换的情况。
二次曲线的射影定义
例1 求由两个射影线束 x1 – λx3 = 0, x2 – μx3 = 0 ( λ + μ = 1) 生 成的二阶曲线方程。
C(B, A, B, A) C(B, A, B, A).
又
C(B, A, B, A) AB(B, E, D, A) C(B, A, B, A) AB(D, A, B, E).
AB(B, E, D, A) AB(D, A, B, E).
由二级曲线的射影定义，这两个射影点列的对应点连线以 及点列的底共六条直线属于同一条二级曲线，这六条直线恰好 是已知两个三点形的六条边。结论成立。
(2)
为简便计，我们引入记号
Spp aij pi pj
Sqq aijqiq j
Spq aij piqj
Sqp aij qi pj
Sp aij pi xj
Sq aijqi xj
aij a ji , Spq Sqp.
代入(2)式得
Sqq2 2Spq Spp 0
(3)
二次曲线的射影定义
a11 p1 a12 p2 a13 p3 a21 p1 a22 p2 a23 p3 a31 p1 a32 p2 a33 p3 k
u1
u2
u3
因此有
a11 p1 a12 p2 a13 p3 ku1 0
a21 p1 a22 p2 a23 p3 ku2 0
a31 p1 a32 p2 a33 p3 ku3 0
设 : T bijuiuj 0 (bij bji ) | bij | 0
(1)
1.切点的定义
一般地，过平面上一点有 Γ′ 的两条直线。若过平面上某 点 P 有且仅有 Γ′ 的一条直线，则称 P 为 Γ′ 的一个切点。
2. 切点方程
一般 ( Γ′ 在l上的切点)：Tl2 TllT
(5' )
f 0
g
0
定义5 设f=0, g=0为平面上两条相异的二阶曲线. 则称由
f g 0
R
(14)
所决定的二阶曲线的全体为以f=0, g=0的四个交点为基点的二阶
曲线束. 若f=0, g=0的四个交点相异, 则称为二阶曲线的四点形束.
定理5 经过平面上任一点P(非基点), 必有一条二阶曲线属于
已知束f+λg=0. 证明. 因为P不是f=0与g=0的交点, 故fpp与gpp不同时为零. 不妨
从而Q(q1,q2,q3) 在过 P(p1, p2, p3) 的切线上 (3) 对 λ 有二重根
S
2 pq
SqqS pp
(4)
(4) 式即为 Q(q1,q2,q3)是 Γ 过 P(p1, p2, p3) 的切线上的点的充要条 件。习惯地，将其中的流动坐标 qi 换为 xi ，得到二阶曲线过点 P(p1, p2, p3) 的切线方程为
推论2′ 任一二级曲线可由 两个射影点列生成。