江苏省泰州市高考数学模拟试卷(5月份)解析版
泰州中学2025届高考仿真卷数学试题含解析
泰州中学2025届高考仿真卷数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．把满足条件（1）x R ∀∈，()()f x f x -=，（2）1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()12f x f x =-的函数称为“D 函数”，下列函数是“D 函数”的个数为（ ）①2||y x x =+ ②3y x = ③x x y e e -=+ ④cos y x = ⑤sin y x x =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.83．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为ˆy=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg4．已知0a >且1a ≠，函数()1log ,031,0a x x a x f x x ++>⎧=⎨-≤⎩，若()3f a =，则()f a -=（ ）A ．2B ．23C ．23-D ．89-5．一个陶瓷圆盘的半径为10cm ，中间有一个边长为4cm 的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率π的值为（精确到0.001）（ ） A ．3.132B ．3.137C ．3.142D ．3.1476．已知3log 74a =，2log b m =，52c =，若a b c >>，则正数m 可以为（ ） A ．4B ．23C ．8D ．177．已知随机变量X 的分布列是则()2E X a +=（ ） A ．53B ．73C ．72D ．2368．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．39．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（ ） A ．25B ．1325C ．35D ．192510．在直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若直线x +my ﹣1=0上存在点P ，使得|PA |=2|PB |，则正实数m 的最小值是( )A ．13B ．3C D11．已知集合{lgsin A x y x ==+，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．22⎛⎫⎪⎪⎝⎭12．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ）A ．B ．18C ．1D ．19-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省泰州市兴化一中2025届高三第二次模拟考试数学试卷含解析
江苏省泰州市兴化一中2025届高三第二次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知1,30a b B ===，则A 为( )A ．60B ．120C ．60或150D ．60或1202．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列结论中正确的个数是（ ）①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 通项公式为()n a f n =，则该数列是等差数列； ②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则//l α； ③在ABC ∆中，“cos cos A B >”是“B A >”的必要不充分条件； ④若0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为2. A ．1B ．2C ．3D ．04．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ） A ．15B ．415C ．13D ．255．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A ．5i >B ．8i >C ．10i >D ．12i >6．若424log 3,log 7,0.7a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >>7．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是（ ） A ．0.02sin 360000y t = B ．0.03sin180000y t = C ．0.02sin181800y t=D ．0.05sin 540000y t =8．已知向量(3sin ,2)a x =-，(1,cos )b x =，当a b ⊥时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1213-B ．1213C ．613-D ．6139．若平面向量,,a b c ，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=，则||c b -的最大值为（ ）A ．523B ．523C ．133D ．13310．tan570°=（ ） A 3B ．3C 3D 311．函数sin()(0y A x ωϕω=+>，||2ϕπ<，)x R ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A ．4sin()84y x ππ=-+ B ．4sin()84y x ππ=-C ．4sin()84y x ππ=--D ．4sin()84y x ππ=+ 12．已知抛物线2:4C y x =和点()2,0D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-； ②//AE y 轴；③以BE 为直径的圆与抛物线准线相切. 其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年江苏省泰州市高考数学模拟试卷及答案(5月份)
2017年江苏省泰州市高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知集合A={﹣1，1，2，3}，B={x|x∈R，x2＜3}，则A∩B=．2．（5分）函数的最小正周期为．3．（5分）复数（a+i）（1+2i）是纯虚数（i是虚数单位），则实数a=．4．（5分）某算法的伪代码如图所示，如果输入的x值为32，则输出的y值为．5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则两个数和为偶数的概率为．6．（5分）已知双曲线的离心率为2，那么该双曲线的渐近线方程为．7．（5分）公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2，a5，a14成等比数列，，则a10=．8．（5分）将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为．9．（5分）若正实数x，y满足x2+2xy﹣1=0，则2x+y的最小值为．10．（5分）如图，在由5个边长为1，一个顶角为60°的菱形组成的图形中，•=．11．（5分）已知点F，A是椭圆C：的左焦点和上顶点，若点P是椭圆C上一动点，则△PAF周长的最大值为．12．（5分）已知函数f（x）=x3+x+1，若对任意的x，都有f（x2+a）+f（ax）＞2，则实数a的取值范围是．13．（5分）在△ABC中，若C=120°，tanA=3tanB，sinA=λsinB，则实数λ=．14．（5分）若函数f（x）=ax2+（a2+1）x﹣a（a＞0）的一个零点为x0，则x0的最大值为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（15分）已知向量=（1，m），=（2，n）．（1）若m=3，n=﹣1，且⊥（+λ），求实数λ的值；（2）若|+|=5，求•的最大值．16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥CD，CD⊥AC，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F．（1）求证：CD⊥平面PAC；（2）求证：AB∥EF．17．（15分）如图，圆O是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A，B两点在⊙O上，A，B，C，D恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在A，B，C，D四点处安装四盏照明设备，从圆心O点出发，在地下铺设4条到A，B，C，D四点线路OA，OB，OC，OD．（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路OA，OB，OC，OD总长度的最小值．18．（15分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y2=4交于点A，B，与圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1交于点C，D．（1）若，求CD的长；（2）若CD中点为E，求△ABE面积的取值范围．19．（15分）已知函数f（x）=2lnx+x2﹣ax，a∈R．（1）若函数y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若a=e，解不等式：f（x）＜2；（3）求证：当a＞4时，函数y=f（x）只有一个零点．20．（15分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣2；数列{b n}的前n 项和为T n，且满足b1=1，b2=2，．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在正整数n，使得恰为数列{b n}中的一项？若存在，求所有满足要求的b n；若不存在，说明理由．（附加题）（[选做题]请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．A．（本小题满分10分，几何证明选讲）21．（10分）如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点B作BD⊥CD于点D．求证：BC2=BA•BD．B．（本小题满分0分，矩阵与变换）22．设矩阵M=，N=，若MN=，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．C．（本小题满分0分，坐标系与参数方程选讲）23．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为．试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．D．（本小题满分0分，不等式选讲）24．已知a，b＞0，且a+b=1，求证：．【必做题】（每小题满分0分）25．如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知△ABD，△BCD都是边长为2的等边三角形，E为BD中点，且AE⊥平面BCD，F为线段AB上一动点，记．（1）当时，求异面直线DF与BC所成角的余弦值；（2）当CF与平面ACD所成角的正弦值为时，求λ的值．26．设（n∈N*，a n∈Z，b n∈Z）．（1）求证：a n2﹣8b n2能被7整除；（2）求证：b n不能被5整除．2017年江苏省泰州市高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知集合A={﹣1，1，2，3}，B={x|x∈R，x2＜3}，则A∩B={﹣1，1} ．【解答】解：B={x|x∈R，x2＜3}={x|﹣＜x＜}，则A∩B={﹣1，1}，故答案为：{﹣1，1}2．（5分）函数的最小正周期为．【解答】解：函数，∴f（x）的最小正周期T=．故答案为．3．（5分）复数（a+i）（1+2i）是纯虚数（i是虚数单位），则实数a=2．【解答】解：∵（a+i）（1+2i）=a﹣2+（1+2a）i是纯虚数，∴，解得a=2．故答案为：2．4．（5分）某算法的伪代码如图所示，如果输入的x值为32，则输出的y值为5．【解答】解：根据算法的功能是输出函数y=，当x=32时，y=log232=5．故答案为：5．5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则两个数和为偶数的概率为．【解答】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，基本事件总数n==6，两个数和为偶数包含怕基本事件个数m==2，∴这两个数和为偶数的概率p===．故答案为：．6．（5分）已知双曲线的离心率为2，那么该双曲线的渐近线方程为．【解答】解：双曲线的离心率为2，可得，即：，可得，该双曲线的渐近线方程为：．故答案为：．7．（5分）公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2，a5，a14成等比数列，，则a10=19．【解答】解：设数列的公差为d，（d≠0）∵S5=a32，得：5a3=a32，∴a3=0或a3=5；∵a2，a5，a14成等比数列，∴a52=a2•a14，∴（a3+2d）2=（a3﹣d）（a3+11d）若a 3=0，则可得4d2=﹣11d2即d=0不符合题意，若a3=5，则可得（5+2d）2=（5﹣d）（5+11d），解可得d=0（舍）或d=2，∴a10=a3+7d=5+7×2=19，故答案为：19．8．（5分）将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为8π．【解答】解：将1个半径为1的小铁球的体积为：，1个底面周长为2π，高4的铁制圆柱的体积为：4π，重新锻造成一个大铁球的体积为：，大球的半径为：=，r3=4，该大铁球的表面积为：4πr2=8π．故答案为：8π．9．（5分）若正实数x，y满足x2+2xy﹣1=0，则2x+y的最小值为．【解答】解：∵正实数x，y满足x2+2xy﹣1=0，∴y=﹣，∴2x+y=2x+﹣=x+=（3x+）≥×2=，当且仅当x=时取等号，∴2x+y的最小值为，故答案为：10．（5分）如图，在由5个边长为1，一个顶角为60°的菱形组成的图形中，•=﹣4．【解答】解：以中间菱形的对角线为坐标轴建立如图所示的坐标系：则A（，﹣），B（﹣，），C（1，），D（﹣1，﹣），∴=（﹣1，2），=（﹣2，﹣），∴=2﹣6=﹣4．故答案为：﹣4．11．（5分）已知点F，A是椭圆C：的左焦点和上顶点，若点P是椭圆C上一动点，则△PAF周长的最大值为16．【解答】解：椭圆C：，a=4，b=2，c=2，则左焦点（﹣2，0）和上顶点（0，2），则椭圆的右焦点F2（2，0），由椭圆的定义丨PF丨+丨PF2丨=2a=8，丨AF丨+丨AF2丨=2a=8，∴△PAF周长l：l=丨AF丨+丨PF丨+丨PA丨≤丨AF丨+丨PF丨+丨PF2丨+丨AF2丨=4a=16，当且仅当AP过F2时△PAF周长取最大值，∴△PAF周长的最大值16，故答案为：16．12．（5分）已知函数f（x）=x3+x+1，若对任意的x，都有f（x2+a）+f（ax）＞2，则实数a的取值范围是0＜a＜4．【解答】解：构造函数g（x）=f（x）﹣1=x3+x，则函数是奇函数，在R上单调递增，f（x2+a）+f（ax）＞2，等价于g（x2+a）+g（ax）＞0，∴x2+a＞﹣ax，∴x2+ax+a＞0，∴△=a2﹣4a＜0∴0＜a＜4，故答案为0＜a＜4．13．（5分）在△ABC中，若C=120°，tanA=3tanB，sinA=λsinB，则实数λ=．【解答】解：∵C=120°，由余弦定理可得：c2=a2+b2+ab，①∵tanA=3tanB，可得：sinAcosB=3sinBcosA，由正弦定理可得：acosB=3bcosA，∴由余弦定理可得：a=3b，整理可得：c2=2a2﹣2b2，②∴由①②可得：a2﹣ab﹣3b2=0，可得：（）2﹣﹣3=0，解得：=，∴由正弦定理可得：sinA=sinB，故答案为：．14．（5分）若函数f（x）=ax2+（a2+1）x﹣a（a＞0）的一个零点为x0，则x0的最大值为﹣1．【解答】解：解方程得x=，∴x0==﹣（+）+=﹣（+）+，令t=+，则t≥2=1，x0=﹣t+，设g（t）=﹣t+，则g′（t）=﹣1+=＜0，∴g（t）在[1，+∞）上单调递减，∴g（t）≤g（1）=﹣1，∴x0的最大值为﹣1，故答案为：﹣1．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（15分）已知向量=（1，m），=（2，n）．（1）若m=3，n=﹣1，且⊥（+λ），求实数λ的值；（2）若|+|=5，求•的最大值．【解答】解：（1）m=3，n=﹣1时，=（1，3），=（2，﹣1），∴+λ=（1+2λ，3﹣λ），∵⊥（+λ），∴•（+λ）=1+2λ+3（3﹣λ）=0，解得λ=10，（2）∵=（1，m），=（2，n），∴+=（3，m+n），•=2+mn，∵|+|=5，∴9+（m+n）2=25，∴（m+n）2=16，∴•=2+mn≤2+（m+n）2=6，当且仅当m=n=2或m=n=﹣2时取等号，故•的最大值6．16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥CD，CD⊥AC，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F．（1）求证：CD⊥平面PAC；（2）求证：AB∥EF．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PC，∵CD⊥AC，PC∩AC=C，∴CD⊥平面PAC．（2）∵AB∥CD，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F，且平面CDEF∩平面PAB=EF，又CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CD∥平面PAB，∴CD∥EF，∴AB∥EF．17．（15分）如图，圆O是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A，B两点在⊙O上，A，B，C，D恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在A，B，C，D四点处安装四盏照明设备，从圆心O点出发，在地下铺设4条到A，B，C，D四点线路OA，OB，OC，OD．（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路OA，OB，OC，OD总长度的最小值．【解答】解：（1）连接AB，∵AB=10，∴正方形ABCD的面积为100，又OA=OB=10，∴△AOB为正三角形，则，而圆的面积为100π，∴扇形AOB得面积为，又三角形AOB的面积为．∴弓形面积为，则广场面积为100+（平方米）；（2）过O作OK⊥CD，垂足为K，过O作OH⊥AD（或其延长线），垂足为H，设∠OA D=θ（0＜θ＜），则OH=10sinθ，AH=10cosθ，∴DH=|AD﹣AH|=|2OH﹣AH|=|20sinθ﹣10cosθ|，∴OD==．∴当θ=时，．∴铺设的4条线路OA，OB，OC，OD总长度的最小值为（米）．18．（15分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y2=4交于点A，B，与圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1交于点C，D．（1）若，求CD的长；（2）若CD中点为E，求△ABE面积的取值范围．【解答】解：（1）设直线AB的方程为：y=kx+1（k≠0），∵，∴+=22，化为：k2=15，解得k=．∴直线CD的方程为：y=x+1．∴|CD|=2=．（2）①直线AB为y轴时，直线AB的方程为：x=0，直线CD的方程为：y=1．S△ABE===4．②直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=kx+1，若k=0，则方程为y=1，经过圆心（2，1），此时△ABE不存在，舍去．k≠0时，可得直线CD的方程为：y=﹣x+1．|AB|=2=2．联立，化为：（k2+1）x2﹣4k2x+3k2=0，△=16k4﹣12（k2+1）k2＞0，化为：k2＞3．∴x1+x2=，可得E．∴点E到直线AB的距离d==．=|AB|•d=×2×=2=2，∴S△ABE令k2+1=t＞1，可得f（t）==∈（0，2）．∈（0，4）．∴S△ABE综上可得：S∈（0，4]．△ABE19．（15分）已知函数f（x）=2lnx+x2﹣ax，a∈R．（1）若函数y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若a=e，解不等式：f（x）＜2；（3）求证：当a＞4时，函数y=f（x）只有一个零点．【解答】解：（1）由f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）=2lnx+x2﹣ax，f′（x）=+2﹣a，由题意，对任意的x＞0，都有f′（x）=+2﹣a≥0，只要（+2x）min≥a，由+2x≥2=4，当且仅当x=1时取等号，则a≤4，∴实数a的取值范围是（﹣∞，4]；（2）当a=e，f（x）=2lnx+x2﹣ex，f′（x）=+2﹣e=＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（e）=2lne+e2﹣e2=2，∴f（x）＜2，则f（x）＜f（e），∴0＜x＜e，故不等式f（x）＜2的解集为（0，e）；（3）证明：由f′（x）=+2﹣a=，x∈（0，+∞），g（x）=2x2﹣ax+2，当a＞4时，△=a2﹣16＞0，∴g（x）=2x2﹣ax+2一定有两个零点，设x1，x2（x1＜x2），x1x2=1，0＜x1＜1＜x2，则f（x）在区间（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，g（x 1）=2x12﹣ax1+2=0，∴f（x1）=2lnx1+x12﹣ax1=2lnx1+x12﹣2，由0＜x1＜1，则f（x1）=2lnx1+x12﹣ax1＜2ln1+1﹣2＜0，∴f（x2）＜f（x1）＜0，由f（x）=2lnx+x（x﹣a），则f（a）=2lna＞0，∴f（x）在（0，+∞）上只有一个零点．20．（15分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣2；数列{b n}的前n 项和为T n，且满足b1=1，b2=2，．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在正整数n，使得恰为数列{b n}中的一项？若存在，求所有满足要求的b n；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由S n=2a n﹣2，则当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1﹣2，两式相减得：a n=2a n﹣2a n﹣1，则a n=2a n﹣1，由S1=2a1﹣2，则a1=2，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，则a n=2n，由．则=，=，=，…，=．=以上各式相乘，=，则2T n=b n b n+1，当n≥2时，2T n=b n﹣1b n，两式相减得：2b n=b n（b n+1﹣b n﹣1），即b n+1﹣b n﹣1=2，﹣1∴数列{b n}的奇数项，偶数项分别成等差数列，由=，则b3=T2=b1+b2=3，b1+b3=2b2，∴数列{b n}是以b1=1为首项，1为公差的等差数列，∴数列{b n}的通项公式b n=n；（2）当n=1时，无意义，设c n==，（n≥2，n∈N*），﹣c n=﹣=＜0，则c n+1即c n＞c n＞1，+1显然2n+n+1＞2n﹣（n+1），则c2=7＞c3=3＞c4＞ (1)∴存在n=2，使得b7=c2，b3=c3，下面证明不存在c2=2，否则，c n==2，即2n=3（n+1），此时右边为3的倍数，而2n不可能是3的倍数，故该不等式成立，综上，满足要求的b n为b3，b7．（附加题）（[选做题]请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．A．（本小题满分10分，几何证明选讲）21．（10分）如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点B作BD⊥CD于点D．求证：BC2=BA•BD．【解答】证明：CD与半圆相切于点C．由弦切角定理可得：∠DCB=∠CAB．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°，由BD⊥CD，∴∠D=90°，∴△ACB∽△CDB．∴=，∴BC2=BA•BD．B．（本小题满分0分，矩阵与变换）22．设矩阵M=，N=，若MN=，求矩阵M的逆矩阵M﹣1．【解答】解：∵M=，N=，∴MN=，∵MN=，∴，解得x=4，y=3，∴M=，∵（A|I）=→→．∴矩阵M的逆矩阵M﹣1=．C．（本小题满分0分，坐标系与参数方程选讲）23．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为．试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．【解答】解：曲线C的普通方程是．（2分）直线l的普通方程是．（4分）设点M的坐标是的距离是．（6分），d取得最大值．（8分）．D．（本小题满分0分，不等式选讲）24．已知a，b＞0，且a+b=1，求证：．【解答】证明：∵a+b=1，由≤可得：a+1+b+1+2≤6，∴2≤3由不等式的性质可得：2≤a+1+b+1=3，当且仅当a=b时取等号．∴．【必做题】（每小题满分0分）25．如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知△ABD，△BCD都是边长为2的等边三角形，E为BD中点，且AE⊥平面BCD，F为线段AB上一动点，记．（1）当时，求异面直线DF与BC所成角的余弦值；（2）当CF与平面ACD所成角的正弦值为时，求λ的值．【解答】解：（1）连结CE，以EB、EC、EA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，），B（1，0，0），C（0，，0），D（﹣1，0，0），∵F是线段AB上一动点，且=λ，则==（﹣），∴F（1﹣λ，0，），当时，F（），=（），=（1，﹣，0），∴cos＜，＞==，∴异面直线DF与BC所成角的余弦值为．（2）=（1﹣），=（1，0，），=（1，，0），设平面ACD的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），∵CF与平面ACD所成角的正弦值为，∴|cos＜＞|==，解得或λ=2（舍），∴λ=2．26．设（n∈N*，a n∈Z，b n∈Z）．（1）求证：a n2﹣8b n2能被7整除；（2）求证：b n不能被5整除．【解答】证明：（1）（1+2）2n+1=+（2）+（2）2+…+（2）2n+1，（1﹣2）2n+1=﹣（2）+（2）2+…﹣（2）2n+1，由（1+2）2n+1=a n+2b n，（1﹣2）2n+1=a n﹣2b n，（1+2）2n+1（1﹣2）2n+1=（a n+2b n）（a n﹣2b n），即a n2﹣8b n2=﹣72n+1，∴a n2﹣8b n2能被7整除；（2）由a n2﹣8b n2=﹣72n+1，则8b n2=a n2+72n+1，由72n=49n=（50﹣1）n=×50n+×50n﹣1×（﹣1）1+…+×50×（﹣1）n ﹣1+×（﹣1）n，除最后一项都是5的倍数，∴72n+1的余数是2或﹣2，由a n2的是平方数，其尾数为0，1，4，5，6，9，∴a n2+72n+1的尾数不可能是0或5，∴a n2+72n+1不能被5整除，即8b n2不能被5整除，∴b n不能被5整除．。
江苏省泰州市高三下学期数学5月模拟考试试卷
江苏省泰州市高三下学期数学5月模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分） (2016高一上·襄阳期中) 已知集合A={（x，y）|x，y∈R，x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y∈R，y=4x2﹣1}，则A∩B的元素个数是________．2. （1分） (2020高三上·天津月考) 是虚数单位,若是纯虚数,则实数的值为________.3. （1分）在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1 ， a2 ，…，an ，共n个数据．我们规定所测量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小．依此规定，从a1 ， a2 ，…，an推出的a=________4. （1分）为求内的所有偶数的和而设计的一个程序框图如图所示,请将空白处补上.①________;②________.5. （1分） (2017高三上·定州开学考) 一个袋中有12个除颜色外完全相同的球，2个红球，5个绿球，5个黄球，从中任取一球，不放回后再取一球，则第一次取出红球时第二次取出黄球的概率为________．6. （2分） (2019高二上·丰台期中) 己知函数在上是减函数，在上是增函数，那么的值为________．7. （1分）(2017·东城模拟) 双曲线的渐近线为等边三角形OAB的边OA，OB所在直线，直线AB过双曲线的焦点，且|AB|=2，则a=________．8. （1分） (2016高二上·苏州期中) 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1 ， S2 ，体积分别为V1 ， V2 ，若它们的侧面积相等，且 = ，则的值是________．9. （1分） (2019高一下·杭州期末) 函数的最小正周期为________；单调递增区间为________．10. （1分） (2020高一下·上海期末) 已知互不相等的三个数之积为-8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可成为等差数列，则这三个数排列成的等差数列是________.11. （1分）已知=（2，1），=（﹣3，4），则与的数量积为________12. （1分） (2019高二上·拉萨月考) 函数的最小值为________．13. （1分）(2017·温州模拟) 在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，记S为△ABC的面积，若A=60°，b=1，S= ，则c=________，cosB=________．14. （1分） (2019高三上·泰州月考) 已知实数，满足，，则的最小值为________.二、解答题 (共11题；共105分)15. （10分） (2020高三上·和平期中) 在中，内角所对的边分别为已知.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）设， . 求和的值.16. （10分） (2016高二下·姜堰期中) 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点．（1）求证：FH∥平面EDB；（2）求证：AC⊥平面EDB；（3）解：求二面角B﹣DE﹣C的大小．17. （10分）已知△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)．（1）求BC边上的高所在直线的一般式方程；（2）求△ABC的面积．18. （10分） (2017高三上·桓台期末) 已知椭圆经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．（I）求椭圆C的方程；（II）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．19. （15分） (2019高一下·雅安期末) 已知是等差数列的前n项和，且 .（1）求数列的通项公式；（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．20. （15分）(2018·海南模拟) 已知函数， .（1）若曲线与曲线在它们的交点处的公共切线为，求，，的值；（2）当时，若，，求的取值范围.21. （5分） (2015高三上·连云期末) 已知矩阵A= ，求矩阵A的特征值和特征向量．22. （5分） (2019高三上·新疆月考) 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，并取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）过点作直线的垂线交曲线于两点，求 .23. （5分） (2019高二上·阳江月考) 已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R，求实数m的取值范围．24. （10分）(2020·江苏) 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn ，恰有2个黑球的概率为pn ，恰有1个黑球的概率为qn ．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) ．25. （10分）已知，（Ⅰ）求a1+a2+…+a7的值；（Ⅱ）求a0+a2+a4+a6的值．参考答案一、填空题 (共14题；共15分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：略答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：二、解答题 (共11题；共105分)答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、答案：16-2、答案：16-3、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：答案：24-1、答案：24-2、略考点：解析：答案：25-1、考点：解析：。
2025届江苏省泰州市兴化一中高考数学五模试卷含解析
2025届江苏省泰州市兴化一中高考数学五模试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．22．设函数1,2()21,2,1a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（ ）A ．12B ．11C ．6D ．33．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（ ） A ．65x π=-B ．3x π=-C ．6x π=D ．3x π=4．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数(03d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是A ．6m ≠B ．5m ≠C ．4m ≠D ．3m ≠6．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布3531尺，则这位女子织布的天数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．17．已知函数()3sin cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数2()3cos2g x m x =+的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 8．已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A ．12-B ．2-C ．1- 或12D ．1 或 12-9．已知函数332sin 2044y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图像与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为12,x x ，则12x x +=（ ） A ．34π B ．23π C ．3π D ．6π 10．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．14011．若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A ．b a > B ．b a < C ．b a <D ．b a >12．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1B ．23-C ．13-D ．34-13．已知椭圆C ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的焦距为2c ，过C 外一点P (c ,2c )作线段PF 1，PF 2分别交椭圆C 于点A 、B ，若|PA |＝|AF 1|，则22PF BF =_____.14．在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2O .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2O 的表面积为______.15．函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．16．已知在等差数列{}n a 中，717a =，13515a a a ++=，前n 项和为n S ，则6S =________. 三、解答题：共70分。
江苏省泰州市2019-2020学年高考数学五模考试卷含解析
江苏省泰州市2019-2020学年高考数学五模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（ ）A ．223B ．63C ．33D ．13【答案】C 【解析】 【分析】利用建系，假设AB 长度，表示向量AC u u u r 与BD u u u r，利用向量的夹角公式，可得结果.【详解】由平面ABD ⊥平面BCD ，AB BD ⊥平面ABD ⋂平面BCD BD =，AB Ì平面ABD 所以AB ⊥平面BCD ，又DC ⊂平面BCD 所以AB DC ⊥，又DB DC ⊥所以作z 轴//AB ,建立空间直角坐标系B xyz - 如图设1AB =，所以1,1,2BD DC BC ===则()()()()0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0A B C D所以()()1,1,1,0,1,0AC BD =---u u u r u u u r所以3cos ,33AC BD AC BD AC BD⋅===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 故选：C 【点睛】本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.2．设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】C 【解析】 【分析】连接OM ，OM 为ABC ∆的中位线，从而OFM AFB ∆∆:，且12OF FA=，进而12c a c =-，由此能求出椭圆的离心率. 【详解】如图，连接OM ，Q 椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ， B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B 在第二象限， 直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点∴OM 为ABC ∆的中位线， ∴OFM AFB ∆∆:，且12OF FA=， 12c a c ∴=-，解得椭圆E的离心率13cea==.故选：C【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.3．已知函数13log,0()1,03xx xf xa x>⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x的方程[()]0f f x=有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（）A．(,0)(0,1)-∞U B．(,0)(1,)-∞⋃+∞C．(,0)-∞D．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】B【解析】【分析】利用换元法设()t f x=，则等价为()0f t=有且只有一个实数根，分0,0,0a a a<=>三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a的取值范围.【详解】解：设()t f x=，则()0f t=有且只有一个实数根.当0a<时，当0x≤时，()103xf x a⎛⎫=⋅<⎪⎝⎭，由()0f t=即13log0t=，解得1t=，结合图象可知，此时当1t=时，得()1f x=，则13x=是唯一解，满足题意；当0a=时，此时当0x≤时，()103xf x a⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭，此时函数有无数个零点，不符合题意；当0a>时，当0x≤时，()[)1,3xf x a a⎛⎫=⋅∈+∞⎪⎝⎭，此时()f x最小值为a，结合图象可知，要使得关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，此时1a > . 综上所述：0a < 或1a >. 故选:A. 【点睛】本题考查了函数方程根的个数的应用.利用换元法，数形结合是解决本题的关键. 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．3C ．83D ．73【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可得几何体，利用体积计算即可. 【详解】由题意，该几何体如图所示：该几何体的体积11110222222323V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．5．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）A ．22n n-B ．212n -C ．212n (-)D ．22n【答案】B 【解析】 【分析】直接代入检验，排除其中三个即可． 【详解】由题意10a =，排除D ，34a =，排除A ，C ．同时B 也满足512a =，724a =，940a =， 故选：B ． 【点睛】本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解． 6．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）．A ．{|31}x x -<<-B ．1{|1}3x x -<<- C ．{|3x x <-或1}x >- D ．{|1x x <-或1}3x >-【答案】D 【解析】 【分析】先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可. 【详解】构造函数()()33x f x g x =，则()()()()()322'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33x f x g x =在0x ≥时为增函数；由3x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()33x f x g x =为偶函数；又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33()(12)(12)x f x x f x <++ 即()()12g x g x <+ 又()g x 为开口向上的偶函数所以|||12|x x <+，解得1x <-或13x >- 故选：D 【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.7．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对【答案】A 【解析】 【分析】首先确定不超过20的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果. 【详解】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，从这8个素数中任选2个，有2828C =种可能；其中选取的两个数，其和等于20的有()3,17，()7,13，共2种情况， 故随机选出两个不同的数，其和等于20的概率212814P ==． 故选：A . 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.8．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,e【答案】A 【解析】试题分析：由题意得()ln 120f x x ax =+-='有两个不相等的实数根，所以()120f x a x-'=='必有解，则0a >，且102f a ⎛⎫>⎪⎝⎭'，∴102a <<． 考点：利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. （2）已知函数求极值.求f′（x ）―→求方程f′（x ）＝0的根―→列表检验f′（x ）在f′（x ）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.（3）已知极值求参数.若函数f （x ）在点（x 0，y 0）处取得极值，则f′（x 0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.9．在钝角ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，若cos sin a A b A =，则sin sin A C +的最大值为（ ）A B ．98C ．1D ．78【答案】B 【解析】 【分析】首先由正弦定理将边化角可得cos sin A B =，即可得到2A B π=-，再求出3,24B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，最后根据sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦求出sin sin A C +的最大值；【详解】解：因为cos sin a A b A =， 所以sin cos sin sin A A B A = 因为sin 0A ≠ 所以cos sin A B =2B π>Q2A B π∴=-02202A B C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩Q ，即0222022B B B πππππππ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪⎛⎫<--< ⎪⎪⎝⎭⎩，3,24B ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，2cos ,02B ⎛⎫∴∈- ⎪ ⎪⎝⎭sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos2B B =--22cos cos 1B B =--+2192cos 48B ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭12cos ,042B ⎛⎫∴=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭时()max 9sin sin 8A C += 故选：B 【点睛】本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题. 10．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案． 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S i 是否继续循环 循环前 1 1/第一圈3 2 是 第二圈7 3 是 第三圈15 4 是 第四圈31 5 否 故最后当i ＜5时退出， 故选B ． 11．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ） A ．128 B ．65C ．64D ．63【答案】D 【解析】 【分析】根据212log 1log n n a a +=+，得到212log l g 2o n n a a +=，即12n n a a +=，由等比数列的定义知数列{}n a 是等比数列，然后再利用前n 项和公式求6S . 【详解】因为212log 1log n n a a +=+， 所以212log l g 2o n n a a +=， 所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列， 又因为34a =， 所以312414a a q ===， ()()6616111263112a q S q-⨯-===--.故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12．已知{}1A x x =<，{}21xB x =<，则A B =U （ ） A ．()1,0- B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．(),1-∞【答案】D【解析】 【分析】分别解出集合,A B 、然后求并集. 【详解】解：{}{}111A x x x x =<=-<<，{}{}210xB x x x =<=<A B =U (),1-∞故选：D 【点睛】考查集合的并集运算，基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省泰州中学2022-2023学年高二下学期5月检测数学试题
江苏省泰州中学2022-2023学年高二下学期5月检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC D 为等腰直角三角形三、填空题13．两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占70%，次品率为4%，将两批产品混合，从混合产品中任取1件.则取到这件产品是合格品的概率为___________.14．用黑白两种颜色随机地染如图所示的5个格子，每个格子染一种颜色，则从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为______.15．已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是_______________16．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E ，F 分别在线段1DD 和线段1AA 上，且12D E ED =，12AF FA =，点M 是正方形11B BCC 所在平面内一动点，若1//D M 平面FBE ，则M 点的轨迹在正方形11B BCC 内的长度为______.四、解答题17．已知函数()()4log 41x f x kx =++()x ÎR 是偶函数.(1)求k的值；(2)若方程()0f x m -=有解，求m 的取值范围.18．（1）已知m ，n 是正整数，()()()11m n f x x x =+++的展开式中x 的系数为7，对于使()f x 的2x 的系数为最小的m ，n ，求出此时3x 的系数；【分析】假设6位医务人员年龄排序为123456a a a a a a <<<<<，由6a 必在第三批，将派遣方式按第一批所派遣的人员不同分成四类，求出满足123P P P <<的派遣方法数，再计算总派遣方法数，即可求概率.【详解】假设6位医务人员年龄排序为123456a a a a a a <<<<<，由题意知，年龄最大的医务人员必在第三批，派遣方式如下：1、第一批派4a ，第二批年龄最大者为5a ，第三批年龄最大者为6a ：剩下的医务人员一个在第二批，两个在第三批有133C =种方法，2、第一批派3a ，第二批年龄最大者为4a 或5a ，第三批年龄最大者为6a ：当第二批最大者为5a ，则有13C 种方法，当第二批最大者为4a ，则有12C 种方法，共11325C C +=种方法；3、第一批派2a ，第二批年龄最大者为3a 或4a 或5a ，第三批年龄最大者为6a ：当第二批最大者为5a ，则有13C 种方法，当第二批最大者为4a ，则有12C 种方法，当第二批最大者为3a ，则有1种方法，共113216C C ++=种方法；4、第一批派1a ，第二批年龄最大者为3a 或4a 或5a ，第三批年龄最大者为6a ：当第二批最大者为5a ，则有13C 种方法，当第二批最大者为4a ，则有12C 种方法，当第二批最大者为3a ，则有1种方法，共113216C C ++=种方法；∴356620+++=种方法，而总派遣方法有12365360C C C =种，的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点A在1y=上，斜边不在x轴上，此时点B的横坐标为无理数，则点A的横坐标也应为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，此时也不符合函数定义，故不成立；③直角顶点A在x轴上，斜边在1y=上，此时点B，点C的横坐标为有理数，则BC中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，此时也不符合函数定义，故不成立．综上，不存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33C x f x ，，使得ABC D 为等腰直角三角形，故选项D 正确．故选：ACD ．【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．13．0.957/95.7%【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算作答.【详解】设B =“取到合格品”，i A =“取到的产品来自第i 批”（i =1，2），则12()0.3,()0.7P A P A ==，12(|)0.95,(|)0.96P B A P B A ==，由全概率公式得：1122()()()()()0.30.950.70.960|95|.7P B P A P B A P A P B A =+=´+´=.故答案为：0.95714．10【分析】根据分析可知染成白色格子的数目可能为0,1,2，且第1个格子必须染为黑色.分类讨论，分别求出方法数，根据分类加法计数原理，即可得出答案.【详解】由已知可得，染成白色格子的数目可能为0,1,2，且第1个格子必须染为黑色.1BB 上取点H，使得1113B H BB =，在1CC 上取点G ，使得CG答案第241页，共22页。
2020年江苏省泰州市高考数学模拟试卷(5月份)
2020年江苏省泰州市高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={1,2}，B ={2,4，8}，则A ∪B =______．2. 若实数x ，y 满足x +yi =−1+(x −y)i(i 是虚数单位)，则xy =______．3. 如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6,18)内的频数为______．4. 根据如图所示的伪代码，可得输出的S 的值为______．5. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =2x ，则离心率等于______． 6. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x ，y ，则|x −y|=1的概率是______．7. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2=4x 上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则点P的横坐标为______．8. 我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样首数学诗，“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．“它的大意是：有人要到某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，一共走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是______里．9. 若定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +4)=f(x)，f(1)=1，则f(6)+f(7)+f(8)的值为______．10. 将半径为R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为9√3π，则R =______．11. 若函数f(x)={x +a,x ≥a x 2−1,x <a只有一个零点，则实数a 的取值范围为______．12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)在圆O ：x 2+y 2=4上，且满足x 1x 2+y 1y 2=−2，则x 1+x 2+y 1+y 2的最小值是______．13. 在锐角△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED⃗⃗⃗⃗⃗ =6，|ED ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则实数λ的值为______． 14. 在△ABC 中，点D 在边BC 上，且满足AD =BD ，3tan 2B −2tanA +3=0，则BD CD 的取值范围为______二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB =AC ，点D ，E ，F 分別是AB ，AC ，BC 的中点．(1)求证：BC//平面PDE ；(2)求证：平面PAF ⊥平面PDE ．16. 已知函数f(x)=sin 2x +sinxcosx −12，x ∈R ．(1)求函教f(x)的最大值、并写出相应的x 的取值集合；(2)若f(α)=√26，α∈(−π8,3π8)，求sin2α的值．17.某温泉度假村拟以泉眼C为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，M，N是圆C上关于直径AB对称的两点，以A为圆心，AC为半径的圆与圆C的弦AM，AN分别交于点D，E，其中四边形AEBD为温泉区，Ⅰ、Ⅱ区域为池外休息区，Ⅲ、Ⅳ区域为池内休息区，设∠MAB=θ．(1)当θ=π4时，求池内休息区的总面积(Ⅲ和Ⅳ两个部分面积的和)；(2)当池内休息区的总面积最大时，求AM的长．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，过点A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B，以AB为边作矩形ABCD，其中直线CD过原点O.当点B为椭圆M的上顶点时，△AOB的面积为b，且AB=√3b.(1)求椭圆M的标准方程；(2)求矩形ABCD面积S的最大值；(3)矩形ABCD能否为正方形？请说明理由．19.定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ函数”．(1)判断函数f(x)=xe x−1是否为“YZ函数”，并说明理由；(2)若函数g(x)=lnx−mx(m∈R)是“YZ函数”，求实数m的取值范围；(3)已知ℎ(x)=13x3+12ax2+bx−13b，x∈(0,+∞)，a，b∈R，求证：当a≤−2，且0<b<1时，函数ℎ(x)是“YZ函数”．20.已知数列{a n}，{b n}，{c n}满足b n=a n+2−a n，c n=2a n+1+a n．(1)若数列{a n}是等比数列，试判断数列{c n}是否为等比数列，并说明理由；(2)若a n恰好是一个等差数列的前n项和，求证：数列{b n}是等差数列；(3)若数列{b n }是各项均为正数的等比数列，数列{c n }是等差数列，求证：数列{a n }是等差数列．21. 已知列向量[a 5]在矩阵M =[3412]对应的变换下得到列向量[b −2b ]，求M −1[b a]．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =√3sinα(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=4√2，点P 为曲线C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最大值．23. 已知实数a ，b ，c 满足a >0，b >0，c >0，a 2b +b 2c +c 2a =3，求证：a +b +c ≤3．24.如图，在多面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是等腰直角三角形，且∠ADE=π，EF⊥平面ADE，EF=1．2(1)求异面直线AE和DF所成角的余弦值；(2)求二面角B−DF−C的余弦值．25.给定n(n≥3,n∈N∗)个不同的数1，2，3，……，n，它的某一个排列P的前k(k∈N∗,1≤k≤n)项和为S k，该排列P中满足2S k≤S n的k的最大值为k p.记这n个不同数的所有排列对应的k p之和为T n．(1)若n=3，求T3；(2)若n=4l+1，l∈N∗，(i)证明：对任意的排列P，都不存在k(k∈N∗,1≤k≤n)使得2S k=S n；(ii)求T n(用n表示)．答案和解析1.【答案】{1,2，4，8}【解析】解：集合A ={1,2}，B ={2,4，8}，则A ∪B ={1,2，4，8}，故答案为：{1,2，4，8}．找出A 与B 的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.【答案】12【解析】解：由x +yi =−1+(x −y)i ，得{x =−1y =x −y，即x =−1，y =−12． ∴xy =12． 故答案为：12．利用复数相等的条件列式求得x ，y 的值，则答案可求．本题考查复数相等的条件，是基础题． 3.【答案】80【解析】解：容量为100的样本的频率分布直方图，样本数据落在区间[6,18)内的频率为：(0.08+0.09+0.03)×4=0.8，则样本数据落在区间[6,18)内的频数为：0.8×100=80．故答案为：80．由频率分布直方图，先求出样本数据落在区间[6,18)内的频率，由此能求出样本数据落在区间[6,18)内的频数．本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.【答案】8【解析】解：模拟执行如图所示的伪代码，可得：I =1，I <5，I =3，S =6；I <5，I =5，S =8；I≥5，终止循环，输出S=8．故答案为：8．模拟执行如图所示的伪代码，即可得出输出的S值．本题考查了程序语言的运行问题，是基础题．5.【答案】√5【解析】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±ba，一条渐近线的方程为y=2x，∴ba=2，设a=t，b=2t则c=2+4t2=√5t∴离心率e=ca=√5故答案为：√5先根据双曲线的标准方程求得渐近线方程，根据其中一条的方程求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，则离心率可得．本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是熟练掌握双曲线方程中的a，b和c基本关系．6.【答案】518【解析】解：将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x，y，基本事件总数n=6×6=36，|x−y|=1包含的基本事件有：(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)，共10个，则|x−y|=1的概率是p=1036=518．故答案为：518．基本事件总数n=6×6=36，利用列举法求出|x−y|=1包含的基本事件有5个，由此能求出|x−y|=1的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】12【解析】解：设点P 的横坐标为m(m >0)，∵抛物线y 2=4x ，∴p =2，由抛物线的定义可知，|PF|=m +1，因此有m +1=3m ，解得m =12．故答案为：12．通过抛物线的方程可知p =2，设点P 的横坐标为m ，利用抛物线的定义建立关于m 的方程，解之即可得解．本题考查抛物线的定义，考查学生的运用能力，属于基础题． 8.【答案】192【解析】解：设每天走的路程构成数列{a n }，由题知数列{a n }构成等比数列，且前6项的和T 6=378，且公比q =12，则T 6=378=a 1[1−(12)6]1−12，解得a 1=192．故填：192．把实际问题转化为数列问题，即已知等比数列的前n 项和与公比求首项即可．本题主要考查等比数列在实际问题中的应用、等比数列的求和公式，属于基础题． 9.【答案】−1【解析】解：根据题意，f(x)为定义为R 的奇函数，则f(0)=0，同时f(−2)=−f(2)，又由函数f(x)满足f(x +4)=f(x)，则有f(−2)=f(−2+4)=f(2)，联立①②可得：f(2)=f(−2)=0，若f(x +4)=f(x)，则f(6)=f(2)=0，f(7)=f(−1)=−f(1)=−1，f(8)=f(0)=0；则f(6)+f(7)+f(8)=f(7)=−1；故答案为：−1．根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=0，同时可得f(−2)=−f(2)，进而分析有f(−2)=f(2)，联立分析可得f(2)=0，据此结合f(x +4)=f(x)求出f(6)、f(7)、f(8)的值，相加即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，涉及函数值的计算，属于基础题．10.【答案】6【解析】解：如图，设卷成圆锥的底面半径为r，由2πr=πR，得r=R2．∴V圆锥=13×π×(R2)2×√R2−(R2)2=9√3π，解得R=6．故答案为：6．由题意画出图形，设卷成圆锥的底面半径为r，由圆锥底面周长等于半圆的弧长求得r=R2.代入圆锥体积公式求解．本题考查圆锥的体积，考查扇形弧长公式的应用，是中档题．11.【答案】(−∞,−1]∪(0，1]【解析】解：①a=0时，如图：很明显，有2两个零点，故不满足；②a>0时，如图：要想只有1个零点，则需0<a≤1时满足；③a<0时，如图：要想只有1个零点，则需a≤−1，综上：a∈(−∞,−1]∪(0，1]．故答案为：(−∞,−1]∪(0，1]．分类讨论a=0，a>0和a<0的情况，数形结合即可得到答案．本题考查函数零点个数与函数图象交点个数的转化，体现了形结合、转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．12.【答案】−2√2【解析】解：因为点A(x1,y1)，B(x2,y2)在圆O：x2+y2=4上，可设A(2cosα,2sinα)，B(2cosβ,2sinβ)；α，β∈[0°,360°)；⇒α−β=120°；即α=β+∵x1x2+y1y2=−2⇒4cosαcosβ+4sinαsinβ=−2⇒cos(α−β)=−12120°；∴x1+x2+y1+y2=2(sinα+sinβ+cosα+cosβ)=2√2[sin(β+45°)+sin(α+45°)]=2√2[sin(β+45°)+sin(β+45°+120°)]=2√2sin(β+105°)； 故当β=165°时，x 1+x 2+y 1+y 2取最小值为−2√2； 故答案为：−2√2．设出点的坐标，结合三角函数的有关知识即可求解结论．本题主要考查圆的方程的应用以及三角函数的有关知识，属于中档题目．13.【答案】3【解析】解：如图，以D 为原点，DE 所在直线为x 轴，DE 的垂线为y 轴建立如图所示直角坐标系，则ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0)，又因为EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =3，即(x F −1,y F )(−1,0)=1−x F =3，则x F =−2，令A(m,n)，则因为AB⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则B(−2m,−2n)， 设C(s,t)，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(s +2m,t +2n)，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =−s −2m =6，则s =−6−2m ，因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以x C −x A =λ(x F −m)，即s −m =λ(−2−m)， 代入即有−6−3m =λ(−2−m)，则λ=3． 故答案为：3．建立以D 为原点，DE 所在直线为x 轴，DE 的垂线为y 轴建立如图所示直角坐标系，根据条件表示出C ，F 坐标，代入计算即可．本题考查平面向量坐标运算，数形结合思想，建系是解这类题目的一个特殊方法，属于中档题．14.【答案】(1,2]【解析】解：如图，在△ABC 中．令∠DAC =α，因为AD =BD ，∴∠BAD =∠B 且A >B ，BD CD =ADCD ， ∴α=A −B ，且C =π−(A +B)，在△ACD 中，令a =ADCD =sinCsinα=sin(A+B)sin(A−B)=sinAcosB+cosAsinBsinAcosB−cosAsinB =tanA+tanBtanA−tanB ，∴(a−1)tanA=(1+a)tanB，因为B≠π2，∴D不可能为BC中点，故a≠1，∴tanA=a+1a−1tanB……①；由3tan2B−2tanA+3=0……②知，tanA>0，故tanB>0，∴a+1a−1>0，解得a<−1或a>1……③．将①式代入②式整理得：3tan2B−2(a+1)a−1tanB+3=0，这是一个关于tan B的一元二次方程，该方程有实数根，(结合③和韦达定理可知，该方程必有正根)．∴△=4(a+1a−1)2−4×3×3≥0，即2a2−5a+2≤0，解得12≤a≤2④，由③④得1<a≤2即为所求．即BDCD的范围是(1,2]．故答案为：(1,2]．可引入∠DAC=α，然后根据AD=BD，得α=A−B，同时C=π−(A+B)，则BDCD =sinCsinα=sin(A+B)sin(A−B)，分子分母展开后，整理成关于tan A，tan B的表达式，令该比值为a，将tan A用a和tan B表示出来，代入3tan2B−2tanA+3=0，得到关于tan B的一元二次方程，该方程有正根，结合判别式大于等于0，得到关于a的不等式，即可求出a的范围，即结论．本题考查了三角形中的几何计算问题，利用转化思想将问题变成方程有根的问题，构造不等式求解是本题的总体思路．属于较难的题目．15.【答案】证明：(1)∵D，E分別是AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，得DE//BC，∵DE⊂平面PDE，BC⊄平面PDE，∴BC//平面PDE；(2)∵PA⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，∴PA⊥DE，∵AB=AC，点F是BC的中点，∴AF⊥BC，由(1)知，BC//DE，得AF⊥DE，而PA∩AF=A，∴DE⊥平面PAF，又DE⊂平面PDE，∴平面PAF⊥平面PDE．【解析】(1)由已知结合三角形中位线定理可得DE//CB，再由直线与平面平行的判定可得BC//平面PDE；(2)由PA⊥平面ABC，得PA⊥DE，再由已知可得AF⊥BC，结合(1)知，BC//DE，得AF⊥DE，然后利用直线与平面垂直的判定可得DE⊥平面PAF，进一步得到平面PAF⊥平面PDE．本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．16.【答案】解：(1)f(x)=sin 2x +sinxcosx −12=1−cos2x2+12sin2x −12=12(sin2x −cos2x)=√22sin(2x −π4)．∴f(x)max =√22，此时2x −π4=π2+2kπ，x =3π8+kπ，k ∈Z ．即f(x)取最大值时的x 的集合为{x|x =3π8+kπ,k ∈Z}；(2)由f(α)=√26，得√22sin(2α−π4)=√26，∴sin(2α−π4)=13，∵α∈(−π8,3π8)，∴2α−π4∈(−π2,π2)， ∴cos(2α−π4)=2√23， 则sin2α=sin[(2α−π4)+π4]=sin(2α−π4)cos π4+cos(2α−π4)sin π4 =13×√22+2√23×√22=4+√26．【解析】(1)利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化简，即可求得函教f(x)的最大值、并写出相应的x 的取值集合；(2)由f(α)=√26求得sin(2α−π4)=13，进一步求得cos(2α−π4)=2√23，再由sin2α=sin[(2α−π4)+π4]展开两角和的正弦求解．本题考查三角函数的恒等变换应用，训练了利用“拆角、配角”方法求三角函数的值，是中档题．17.【答案】解：(1)∵AB 是圆C 的直径，∴DM ⊥BM ，当θ=π4时，AM =BM =√22AB =12√2，∴DM =AM −AD =12(√2−1)，∴S △DBM =12⋅DM ⋅BM =72(2−√2)平方米， 由对称性可知S △ENB =72(2−√2)平方米， ∴池内休息区的总面积为144(2−√2)平方米．(2)BM =ABsinθ=24sinθ，AM =ABcosθ=24cosθ， ∴DM =24cosθ−12，∴池内休息区的总面积为2S △DBM =2⋅12⋅24sinθ⋅(24cosθ−12)=288(sin2θ−sinθ)， 由DM =24cosθ−12>0可得cosθ>12，故12<cosθ<1．令f(θ)=sin2θ−sinθ，则f′(θ)=2cos2θ−cosθ=4cos 2θ−cosθ−2，令f′(θ)=0可得cosθ=1+√338，或cosθ=1−√338(舍)．∴当12<cosθ<1+√338时，f′(θ)<0，当1+√338<cosθ<1时，f′(θ)>0，∴当cosθ=1+√338时，f(θ)=sin2θ−sinθ取得最大值，此时，AM =24cosθ=3(√33+1)米．【解析】(1)计算DM 和BM 的长度，得出直角三角形BDM 的面积，从而可得出池内休息区的总面积； (2)求出池内休息区的总面积关于θ的函数，利用导数求出此函数取得最大值时对应的cosθ的值即可得出答案．本题考查了函数解析式求解，函数最值的计算，属于中档题．18.【答案】解：(1)由椭圆的方程可得左顶点A(−a,0)，当B 为椭圆的上顶点时，B(0,b)，∴|AB|=√a 2+b 2，由题意可得√3b =√a 2+b 2，整理可得a 2=2b 2①，再由S △AOB =12ab =b②， 由①②解得a =2，b 2=2， 所以椭圆的标准方程为：x 24+y 22=1；(2)由题意可知A(−2,0)，设直线AB 的方程为：x =my −2，m ≠0， B(x 1,y 1)，则直线CD ：x =my ，由{x =my −2x 24+y 22=1联立可得：(2+m 2)y 2−4my =0，则y 1=4m 2+m 2，x 1=2m 2−4m 2+2，∴|AB|=√(x 1+2)2+y 12=4√1+m 2|m|2+m 2，又点O 到直线AB 的距离d =√1+m 2，∴矩形ABCD 面积S =|AB|⋅d =8|m|2+m 2=8|m|+2|m|≤2√|m|⋅2|m|=2√2，当且仅当m =±√2时取等号． 即当m =±√2时，矩形ABCD 面积S 的最大值为2√2； (3)假设矩形ABCD 可以为正方形，由(2)可得|AB|=d ， 即4m⋅√1+m 22+m 2=√1+m 2，整理可得2m 3−m 2+2m −2=0，设f(m)=2m 3−m 2+2m −2，f′(m)=6m 2−2m +2=6(m −16)2+2>0恒成立，所以f(m)单调递增， f(0)=−2<0，f(1)=1>0， 所以f(m)的零点在(0,1)，即存在m 的值使矩形ABCD 为正方形．【解析】(1)由题意可得A ，B 分别为左顶点及上顶点时，|AB|的长及三角形AOB 的面积可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；(2)由题意设AB ，CD 的方程与椭圆联立求出B 的坐标，进而求出弦长|AB|，再求O 到直线AB 的距离，则矩形的面积为积S =|AB|⋅d ，由均值不等式可得面积的最大值；(3)由(2)可得要使矩形ABCD 为正方形，只需|AB|=d ，解出关于参数的方程，令函数求出存在零点即可，求导可得函数的单调性，可得零点的存在区间，即可得存在这样的矩形为正方形．本题考查求椭圆的标准方程及直线与椭圆的综合，均值不等式的应用，及求导得单调性和求函数的零点，属于中难题．19.【答案】解：(1)解：函数f(x)=xe x −1是“YZ 函数”，理由如下：由f(x)=xe x −1，可得f′(x)=1−x e x，当x ∈(−∞,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x ∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 故f(x)的极大值为f(1)=1e −1<0， 满足了“YZ 函数”的定义， 故函数f(x)=xe x −1是“YZ 函数”．(2)解：由题意知：g(x)=lnx −mx 在(0,+∞)上有极大值为负数． ∵g′(x)=1x −m ，x >0，令g′(x)=0得x =1m ， ∴1m >0，且当x ∈(0,1m )时，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x ∈(1m ,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 故g(x)的极大值为g(1m )=−lnm −1<0，解得m >1e ， 所以实数m 的取值范围为(1e ,+∞)；(3)证明：∵ℎ(x)=13x 3+12ax 2+bx −13b ，x ∈(0,+∞)， ∴ℎ′(x)=x 2+ax +b ， ∵a ≤−2，且0<b <1，∴△=a 2−4b >0，令ℎ′(x)=x 2+ax +b =0的两个实数根为x 1，x 2，则{x 1+x 2=−a >0x 1x 2=b >0，故不妨设0<x 1<x 2，则易知ℎ(x)在(−∞,x 1)上单调递增，在(x 1,x 2)上单调递减，在(x 2,+∞)上单调递增，∴ℎ(x)的极大值为ℎ(x 1)=13x 13+12ax 12+bx 1−13b =12(x 12+ax 1+b)=13(−ax 12−bx 1)+12ax 12+bx 1−13b=16ax 12+23bx 1−13b ≤−13x 12+23bx 1−13b =−13(x 1−b)2+13b(b −1)<0，∴函数ℎ(x)是“YZ 函数”．【解析】(1)对函数求导，求其单调性，进而得出极大值，根据“YZ 函数”的定义直接判断即可； (2)利用导数求出函数g(x)的极大值，再令其小于0，解不等式即可；(3)求导，判断其单调性，进而得出极大值，再判断极大值小于0，即可得出结论．本题以新定义在载体，旨在考查利用导数研究函数的单调性，极值等问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则c n =2a n+1+a n =2a n q +a n =(2q +1)a n ，当q =−12时，c n =0，{c n }不是等比数列； 当q ≠−12时，由c n ≠0，可得c n+1c n=(2q+1)a n+1(2q+1)a n=q ，所以{c n }为等比数列；(2)证明：由a n 恰好是一个等差数列的前n 项和，设这个等差数列为{d n }，公差为d ， 因为a n =d 1+d 2+⋯+d n ，所以a n+1=d 1+d 2+⋯+d n+1， 两式相减可得a n+1−a n =d n+1，由a n+2=a n +b n ，可得b n+1−b n =(a n+3−a n+1)−(a n+2−a n )=(a n+3−a n+2)−(a n+1−a n )=d n+3−d n+1=2d ， 所以{b n }为等差数列；(3)证明：由{c n }为等差数列，所以c n+3−c n+2=c n+1−c n ，又c n =2a n+1+a n ， 所以2a n+4+a n+3−(2a n+3+a n+2)=2a n+2+a n+1−(2a n+1+a n )， 即2(a n+4−a n+2)=(a n+3−a n+1)+(a n+2−a n )，则2b n+2=b n+1+b n ，又因为{b n }为等比数列，所以b n+12=b n b n+2，则b n+12═b n ⋅b n +b n+12，即(b n+1−b n )(2b n+1+b n )=0，因为{b n }各项均为正数，所以b n+1=b n ，则a n+3−a n+1=a n+2−a n ，即a n+3=a n+2+a n+1−a n ，又因为{c n }为等差数列，可得c n+2+c n =2c n+1， 即(2a n+3+a n+2)+(2a n+1+a n )=2(2a n+2+a n+1)，化简可得2a n+3+a n =3a n+2，将a n+3=a n+2+a n+1−a n 代入可得2(a n+2+a n+1−a n )+a n =3a n+2，化简可得a n+2+a n =2a n+1，所以{a n }为等差数列．【解析】(1)由等比数列的通项公式和定义，同时讨论q =−12和q ≠−12可得到结论； (2)设这个等差数列为{d n }，公差为d ，结合数列的递推式和等差数列的定义，即可得证；(3)由{c n }为等差数列，所以c n+3−c n+2=c n+1−c n ，又c n =2a n+1+a n ，结合等比数列和等差数列的性质，化简推理，即可得证．本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式，以及性质的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．21.【答案】解：∵向量[a5]在矩阵M =[3412]对应的变换下得到列向量[b −2b]，∴[3412][a 5]=[b −2b ]，∴{3a +20=b −2a +10=b ，解得a =−6，b =4， 设M −1=[m p nq ]，则[3412][m p n q]=[1001]， ∴{3m +4n =13p +4q =0m +2n =0p +2q =1，解得{ m =1n =−12p =−2q =32，∴M −1=[1−2−1232]． ∴M −1[b a ]=[1−2−1232][4−6]=[16−11]．【解析】推导出[3412][a 5]=[b −2b ]，求出a =−6，b =4，求出M −1=[1−2−1232].由此能求出M −1[b a ]． 本题考查矩阵的积的求法，考查矩阵的变换、矩阵乘法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=4√2，整理得√22ρsinθ+√22ρcosθ−4√2=0，转换为直角坐标方程为x +y −8=0．由于曲线C 的参数方程为{x =cosαy =√3sinα(α为参数).设点P(cosα,√3sinα)，则：点P 到直线l 的距离为d =√3sinα−8|√12+12=|2cos(α−π3)−8|√2，当cos(α−π3)=−1时，d max =√2=5√2．【解析】首先把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．23.【答案】证明：由柯西不等式有，a +b +c =13(a +b +c)(a 2b +b 2c+c 2a )≥13(√a ⋅c √a+√b ⋅a √b+√c ⋅b √c)2=13(a +b +c)2，当且仅当“b a =c b =ac”时取等号， ∴(a +b +c)2−3(a +b +c)≤0，即(a +b +c)(a +b +c −3)≤0， 又a +b +c >0， ∴a +b +c ≤3．【解析】利用柯西不等式转化可得(a +b +c)2−3(a +b +c)≤0，进而得证． 本题主要考查柯西不等式的运用以及不等式的证明，属于基础题．24.【答案】解：(1)∵平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形， △ADE 是等腰直角三角形，且∠ADE =π2，EF ⊥平面ADE ，EF =1． ∴DE ⊥平面ABCD ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0，0)，E(0,0，2)，D( 0,0，0)，F(0,1，2)， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，2)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，2)， 设异面直线AE 和DF 所成角为θ， 则异面直线AE 和DF 所成角的余弦值为： cosθ=|AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AE⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√8⋅√5=√105． (2)B(2,2，0)，C(0,2，0)，D(0,0，0)，F(0,1，2)， DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，2)， 设平面BDF 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0n ⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =y +2z =0，取z =1，得n⃗ =(2,−2,1)， 设平面CDF 的法向量m⃗⃗⃗ =(a,b ，c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b =0m ⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =b +2c =0，则m ⃗⃗⃗ =(1,0，0)， 设二面角B −DF −C 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=23，∴二面角B−DF−C的余弦值为2．3【解析】(1)推导出DE⊥平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE和DF所成角的余弦值．(2)求出平面BDF的法向量和平面CDF的法向量，利用向量法能求出二面角B−DF−C的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.【答案】解：(1)1，2，3的所有排列为1，2，3；1，3，2；2，1，3； 2，3，1；3，1，2；3，2，1．因为S3=6，所以对应的k P分别为2，1，2，1，1，1，所以T3=8．(2)(i)设n个不同数的某一个排列P为a1，a2，……，a n，因为n=4l+1，l∈N∗，所以=(4l+1)(2l+1)为奇数，S n=n(n+1)2而2S k为偶数，所以不存在k(k∈N∗,1≤k≤n)使得2S k=S n．(ii)因为2S k≤S n，即a1+a2+⋯+a k⩽a k+1+a k+2+⋯+a n，又由(i)知不存在k(k∈N∗,1≤k≤n)使得2S k=S n，所以a1+a2+⋯+a k<a k+1+a k+2+⋯+a n，所以满足2S k≤S n的最大下标k即满足a1+a2+⋯+a k<a k+1+a k+2+⋯+a n①，且a1+a2+⋯+a k+a k+1>a k+2+⋯+a n②，考虑排列P的对应倒序排列P′：a n，a n−1，……，a1，①②即a n+⋯+a k+2<a k+1+a k+⋯+a2+a1，a n+⋯+a k+2+a k+1>a k+⋯+a2+a1，由题意知k P′=n−k−1，则k P+k P′=n−1；个对应组合(P,P′)，因为1，2，3，⋯，n这n个不同数可形成n!2且每组(P,P′)中k P+k P′=n−1，(n−1)．所以T n=n!2【解析】(1)列出1、2、3的所有排列，求出6个排列P中k P的值，进而可求得T3的值；=(4l+1)(2l+1)为奇数，再由(2)①设n个不同数的某一个排列P为a1，a2，……，a n，求得S n=n(n+1)22S k为偶数可得出结论；②由题意可得出2S k<S n，可得出a1+a2+⋯+a k<a k+1+a k+2+⋯+a n且a1+a2+⋯+a k+a k+1>a k+2+⋯+a n，考虑排列P的对应倒序排列P′，推导出k P′=n−k−1，由此可得出k P+k P′=n−1，再个对应组合(P,P′)，进而可求得T n的值．由1，2，3，⋯，n这n个不同数可形成n!2本题考查数列中的新定义，着重考查分析，对抽象概念的理解与综合应用的能力，观察，分析寻找规律是难点，属于难题．。
2025届江苏泰兴一中高考数学全真模拟密押卷含解析
2025届江苏泰兴一中高考数学全真模拟密押卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=（ ）A ．－2B ．－4C ．3D ．－3 2．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301x x -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．113．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．44．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA |=|OF |，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2 D5．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（ ）A ．()lg 1y x =+B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x =6．已知圆锥的高为3体积的比值为( )A ．53B ．329C ．43D ．2597．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，56104a a a +=+，则21S =（ ）A ．7B ．14C ．28D ．848．已知i 是虚数单位，若z 211i i=+-，则||z =（ ）A ．2B ．2C ．10D ．109．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+，x ，y R ∈，则23x y +=（ ）A ．2B ．53C ．43D ．3210．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（ ）A ．35B ．36C ．45D ．5411．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC +B ．5799BA BC + C ．11099BA BC +D ．2799BA BC + 12．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．33B ．66C ．34D 3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
泰州市2020年5月高三数学第二次模拟卷附答案解析
12>0 θ (0 ) (6 ) 3
1
S 2 MB DM 24sin (24cos
12)
2
(0 ) (9 ) 3
f( θ）sin (2cos
1)
(0 ) 3
f ′ ( θco）s (2cos
1) 2sin2
4cos2
cos
2 0 cos
cos
1
33 >
1
82
0 (0
)
3
x (0 0) f ( θ )>0 f( θ）(0 0)
BC
1 k2
1 k2
ABCD
4 1 k2 S
1 2k2
2k 1 k2
8k 1 2k2
8 1
2k
8 22
22
k
7
k2 2
ABCD
S
2 2.(11 )
(3)
ABCD
AB BC
4 1 k2 1 2k2
2k 1 k2
2k3 2k2 k 2 0(k>0)
f(k) 2k3 2k 2 k 2(k>0)
f(1)
1<0 f(2) 8>0
(2)
(0
), g (x) 1 m
x
m0
1
g (x)
m>0
x
m>0
0<x< 1
g (x) 1 m>0
m
x
x> 1 m
g (x) 1 m<0 x
g(x)
g( 1 ) ln 1 m·1
ln m 1.
m
mm
1 g( )
m
ln m 1<0
1 m> .(10 )
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6. 现用一半径为 10cm，面积为 80πcm2 的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定 衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为______cm3．
7. 设等差数列{an}的公差为 d（d≠0），其前 n 项和为 Sn．若
则 d 的值为______． 8. 如图，已知 O 为矩形 ABCD 内的一点，且 OA=2，OC=4，AC=5
．SD=2，点 E 是 SD 上的点，且
（0≤λ≤1）．
l 的极坐标方程为 θ= （ρ∈R），曲线 C 的参数方程为
（θ 为参数）．
（1）写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程； （2）过点 M 平行于直线 l 的直线与曲线 C 交于 A、B 两点，若|MA|•|MB|=3，求点 M 轨迹的直角坐标方程．
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23. 如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是平行四边形，AD=BD=2，AB=
，2S12=S2+10，
，则
=______．
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9. 已知函数 f（x）=x2+bx，若函数 y=f（f（x））的最小值与函数 y=f（x）的最小值相 等，则实数 b 的取值范围是______．
10. 已知 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 y=x-1，且 f′（x）=lnx+1，则函 数 f（x）的最小值为______．
11. 已知椭圆 M：
（a＞b＞0）与双曲线 N：
有公共焦点，N 的一条
渐近线与以 M 的长轴为直径的圆相交于 A，B 两点，若 M 恰好将线段 AB 三等分， 则椭圆 M 的短轴长为______．
12. 函数 f（x）=2sin（2x+φ）+1（ 最小值是______．
），当 x∈（0， ）时，f（x）＞0，则 的
，且 a2，a4， ， ，…， ，…是等比数列，求 k2 的值；②若 a2=4，求证：
数列 a2，a4， ， ，…， ，…不是等比数列．
（2）已知存在自然数 k1，k2，…，kt，…，其中 k1＜k2＜…＜kt＜…．若 ， ，
…， ，…是{an}的一个等比子数列，若 答案用 k1，k2，m，t 表示）．
（m 为正整数），求 kt 的表达式（
21. 在平面直角坐标系 xOy 中，先对曲线 C 作矩阵 A=
（0＜θ＜2π）所对
应的变换，再将所得曲线作矩阵 B=
（0＜k＜1）所对应的变换，若连续实施
两次变换所对应的矩阵为
，求 k，θ 的值．
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线
19. 设区间 D=[-3，3]，定义在 D 上的函数 f（x）=ax3+bx+1（a＞0，b∈R），集合 A={a|∀x∈D，f（x）≥0}． （1）若 b= ，求集合 A； （2）设常数 b＜0 ①讨论 f（x）的单调性； ②若 b＜-1，求证：A=∅．
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20. 定义：从数列{an}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称为数列 {an}的一个子数列．设数列{an}是一个公差不为零的等差数列． （1）已知 a4=6，自然数 k1，k2，…，kt，…满足 4＜k1＜k2＜…＜kt＜…．①若 a2=2
18. 如图 1，某小区中有条长为 50 米，宽为 6.5 米的道路 ABCD，在路的一侧可以停放 汽车，已知小型汽车的停车位是一个 2.5 米宽，5 米长的矩形，如 GHPQ，这样该 段道路可以划出 10 个车位，随着小区居民汽车拥有量的增加，停车难成为普遍现 象．经过各方协商，小区物业拟压缩绿化，拓宽道路，改变车位方向增加停车位， 如图 2，改建后的通行宽度保持不变，即 G 到 AD 的距离不变． （1）绿化被压缩的宽度 BE 与停车位的角度∠HPE 有关，记 d=BE，∠HPE=θ，为 停车方便，要求 30°＜θ＜60°，写出 d 关于 θ 的函数表达式 d（θ）； （2）沿用（1）的条件和记号，实际施工时，BE=3 米，问改造后的停车位增加了 多少个？
值为______．
4. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体 玩具）先后抛掷 2 次，则向上的点数之差的绝对值是 2 的概率为______．
5. 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为 200，如图为检测结 果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品， 在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件 数为______．
（1）求证：MN∥平面 AA1C1C； （2）若 CC1=CB1，CA=CB，平面 CC1B1B⊥平面 ABC，求证：AB⊥平面 CMN．
16. 已知△ABC 中，
，
（1）求
；
（2）设∠BAC=θ，且已知
，
，
．
，
，求 sinx．
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17. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x2+y2=4，直线 l：4x+3y-20=0，A（ ， ）为圆 O 内一点，弦 MN 过点 A，过点 O 作 MN 的垂线交 l 于点 P． （1）若 MN∥l，求△PMN 的面积． （2）判断直线 PM 与圆 O 的位置关系，并证明．
13. 已知变量 x1，x2∈（0，m）（m＞0），且 x1＜x2，若 值______．
恒成6，且 cos2B+2sinAsinC=1，则
的取值范围是______．
二、解答题（本大题共 10 小题，共 138.0 分） 15. 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，M，N 分别为 AB，B1C1 的中点．
高考数学模拟试卷（5 月份）
题号 得分
一
二
总分
一、填空题（本大题共 14 小题，共 70.0 分）
1. 集合 A={0，ex}，B={-1，0，1}，若 A∪B=B，则 x=______． 2. 若复数 z=（1+i）（1-ai）（i 为虚数单位，a∈R）满足|z|=2，则 a=______． 3. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S 的