例谈高中数学解题中函数与方程思想的运用
例谈高中数学解题中函数与方程思想的运用作者：穆中华
来源：《课程教育研究·下》2015年第06期
【摘要】数学中的函数思想是从运动和变化的角度去分析和研究自然界中数量之间的关系，根据已知条件和隐含条件，构造函数解析式，从困数的图像和性质等方向分析问通，将方程问题、不等式问题和其他很多问题转化为与其相关的函敢问题去解决；而方程思想是通过设元，探求已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，在高中数学教学中，函数与方程思想是相互补充，相互完善的。
对于很多问题要将二者结合运用去解决。
【关键词】高中数学函数与方程思想
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）06-0147-01
一、构建函数关系
通过对各种数学综合题的研究，我们发现非函数的问题能够通过某种类比或者联想手段能够构造成为函数关系，并且能够运用函数方法进行解题，这就是函数思想更高级的表现。
函数与方程思想解埋主要可以从以下几个方面人手：①利用函数与方程的性质解题；②用函数思想解决数列问題；③通数与方程思想解决几何问题；④构造函数与方程解题等等。
本文通过举例探讨函数与方程思想用于数学解題的思路与方法。
值得注意的是，当我们将非函数通过特殊关系构造成函数时，一定要多挖掘一些已知条件，运用一些类比因素，这样能够促进思维的迁移。
同时函数构建的表现还可以运用推理、类比等方法，能够较好的帮助我们完成函数构建。
分析：其实看到这个不等式的求解我们很容易能够想到变量分离法，将它转化为二次函数进行求解，只需要求出二次函数的取值范围即可解出该不等式。
题目中sin2x与cosx是两个重要的未知量，也是解题的重点所在，我们可以将此作为突破点，然后通过换元，将原不等式进行转化，然后在构造出函数关系，以此求解能够充分简化解题，快速求解。
因此不等式的解题可以转化为f（t）min>0的求解，由此我们可以根据函数的定义较为直观的求出不等式的解集。
点拨解疑：首先，一般的不等式的求解可以转化为函数的最值问题求解，但是由于这道题无法进行参数分离，所以我们可以对含a的二次函数进行分情况讨论，分为a大于1，小于等于-1和大于-1小于1三种情况，在根据函数性质将其解决。
其次，在上题求解中，我们也运用了函数思想，将不等式进行分段讨论，还要结合图形进行分析，这都学生的品质要求相对较高，但是熟练之后解题会极其简单。
二、函数与方程思想在解题中的典型应用
在本节，将结合一些典型的题目来显现函数与方程思想在解答高中数学题目中所发挥的独特的作用。
例2 是否存在常数 a，b，c，使得等式1·2^2+2·3^2+3·4^2+……+n^（n+1）= 对于一切自然数 n 都成立并证明你的结论。
分析：本例属存在型探索题，但也是待定系数法运用的典型题目，问题要求含三个待定常数 a，b，c 的等式对一切自然数都成立，易联想到用赋值法，此等式必然对 a，b，c 所取的任何具体的自然数的值都成立.令 n=1，2，3，建立 a，b，c的三元方程组，转化为方程组是否有解，问题便不难解决了。
解析：假设三个常数可以通过等式的形式表达出来，那么我们可以列出如下方程组，令n=1，2，3，得，通过归纳法进行解题，首先将三个等式化简，然后通过相互运算可以结出未知数：。
点拨解疑：待定系数法在方程思想中的应用及其广泛，尤其是在高中数学解题中，它的出镜率更是非常高的。
对于很多已知某些特殊项的值，或者是前n项的和，求通项或者是求某一个待定系数，我们都可以通过这种方式进行求解。
例3 存在一条已知的抛物线y=-x^2+mx-1 ，在该抛物线上任取两个端点A（0，3）和B （3，0），且A与B之间有两个不同的交点，求抛物线中的变量m的取值范围。
分析：可先将求交点的问题转化为二次函数的实根分布问题，然后通过求不等式组的范围解出m的值。
从以上给出的例子可以看出，函数与方程思想在高中数学的解题中有着广泛的应用，巧妙利用函数与方程的数学思想通常可以将一个较为复杂抽象的题目转化为简单具体的问题进行分析。
看到一个题目，首先要想想是否可以一个代数式抽象成为看成一个函数把方程化作函数，把字母可以设为变量，以此为解题依据。
结语
函数与方程是高中数学中的主线，它不仅是对中枢中相关变量之间关系的描述，更是我们解题的重要手段。
我们可以通过函数与方程的性质求解出大量复杂的问题。
函数思想与方程思想的结合与运用丰富了学生解题思想，简化了解题流程，在高中数学思想中有着不可忽视的地位。
参考文献：
[1] 牛含冰. 函数思想在解题中的体现[J]. 高中数理化. 2011（17）
[2] 李侠. 函数与方程思想在解题中的运用举隅[J]. 数理化学习（高中版）. 2010（08）。
函数与方程思想在解高考题中的应用
函数与方程思想在解高考题中的应用在数学教学中，加强对学生的数学思想和数学方法培养是非常重要的，在高中数学中一个重要的数学思想就是函数与方程的思想，从构造函数和方程的方法分析数学问题，解决数学问题。
在历年的高考题中，在一些题目的解答过程中，函数与方程思想得到了很好的体现，本文结合一些高考题目，对函数与方程思想在解题中的应用问题进行了简要的阐述。
标签：函数方程数学思想应用数学的思想方法是高中数学学习中的精髓，是学生具有一定数学知识、数学素质和数学能力以后，在思想方面比较系统的、较高层次的体现。
从高考的情况来看，函数与方程的思想是历年来考察的重点，选择题和填空题主要从这一思想的基本运算方面进行考察，解答题中主要是在知识网的交汇处，对这一思想方法的综合运用能力方面进行考察。
因此，我们有必要针对高考认真探讨函数与方程思想。
一、函数与方程思想概述函数思想主要是指针对某一个数学问题，构造出一个函数，然后利用函数的性质分析和解决问题。
方程思想是对数学问题中的字母所代表的数量关系进行分析，进而确定各字母的值和字母间的等量关系，通常通过方程或者不等式的形式反映出来，然后利用方程或者不等式的性质求解，使数学问题得到很好的解决。
在一定条件下，函数和方程是可以转化的，我们在高考中，特别是在解一些比较复杂的题目时，就需要将函数和方程进行互相转化，有时候是将方程和不等式转化为函数，利用函数性质来解决数学问题，有时候是将函数转化为方程，通过求解或者利用方程和不等式的性质解决问题。
函数思想、方程思想、函数和方程互相转化思想统称为函数与方程思想，函数与方程思想在解题中的应用有两个方面的表现：一方面借助初等函数的性质，解决关于求值、解不等式、解方程和讨论参数取值范围等方面的数学问题；另一方面是在解决数学问题的时候通过建立函数关系式，或者根据有关数量关系构造中间函数，把其他数学问题转化为函数问题，将比较复杂的数学问题简单化。
二、函数与方程思想在高考中的解题方法归类在高考中，函数与方程思想应用非常普遍，在解题方法方面各不相同，但是，总体上来讲，主要有以下几种方法：（一）利用方程组解题的方法1994年高考题，第18题：已知，，则的值为多少。
函数方程思想在高考数学中的应用
解析：令 g(x)＝cfosxx，
则
g′(x)＝f′xcos
x－fx－sin cos2x
x＝1c＋osln2xx.
由0<x<π2， g′x>0，
解得1e<x<π2；
由0<x<π2， g′x<0，
解得
1 0<x<e.
所以函数 g(x)在0，1e上单调递减，在1e，π2上单调递增，
[技法领悟] 数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的 通项公式、前 n 项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成 关于 n 的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地凸 现其函数关系，用函数思想或函数方法研究、解决问题 ，不 仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散 思维的水平．
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[应用体验]
6．已知函数 y＝f(x)对于任意的 x∈0，π2满足 f′(x)·cos x＋
f(x)sin x＝1＋ln x，其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数，则下
列不等式成立的是
()
π π A. 2f 3<f 4
π
π
C. 2f 6> 3f 4
π π B. 2f 3>f 4
π π D. 3f 3<f 6
[答案] －34，＋∞
[技法领悟] 发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约 的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函 数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表 现．本题主客换位后，利用新建函数y＝－ 41x＋21x 的单调性巧 妙地求出实数a的取值范围．此法也叫主元法．
构造函数 h(x)＝xe－x－2e， 则 h′(x)＝e－x(1－x)． 所以当 x∈(0,1)时，h′(x)＞0；当 x∈(1，＋∞)时，h′(x) ＜0； 故 h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而 h(x)在(0，＋∞)上的最大值为 h(1)＝－1e. 综上，当 x＞0 时，g(x)＞h(x)，即 f(x)＞1.
函数与方程思想在数学解题中的应用.doc
函数与方程思想在数学解题中的应用函数与方程思想在数学解题中的应用函数与方程的思想是中学数学的基本思想，是高中数学的一条主线，也是历年高考的重点•函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，函数思想使常量数学进入了变量数学，即用函数的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图像和性质去解决问题；方程思想就是分析数学中变量间的等量关系，建立方程或方程组，运用方程的性质去解决问题•对于函数y二f (x),可转化到二元一次方程y-f (x)二0•如解方程f (x)二0求函数y二f (x)的零点•因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法去解决；反之，许多有关丙数的问题也可用方程的方法去解决.函数与方程思想在解题中应用广泛：如函数与方程两者之间的相互转化，在集合、导数与不等式中，在数列、三角函数与平面向量中，在解析几何、立体几何中都可以充分体现，本文就它在数学解题中的应用举例分析，供同学们参考一、函数与方程两者之间的相互转化例1若方程2a - 9sinx+4a • 3sinx+a-8二0有解，则a的取值范围是____________ .解析令t=3sinx,则te［, 3］,方程可转化为: 2at2+4at+a_8=0 ①(方法一)记f (t) =2at2+4at+a-8,则原问题转化为f (x) =0 在［,3］内有解(即有一解或两解)，留意到f (t)的对称轴t=-l［, 3］, ・・・f (t)二0在［,3］内不可能有两根,・・・f (t)二0在［,3］有一根只须f () - f (3) W0,即(++a~8) • (18a+12a+a_8) WO,・•・(-8) • (31a-8) WO, ・・・WaW・(方法二)由①转化为a二二.Vte[, 3],・・・2 (t+1) 2-1 e [, 31],/.ae [,]・点评本题先通过换元转化到熟悉的一元二次方程，接下來再转化到二次函数的零点问题，并结合二次函数图像性质，再用两种方法计算出答案，前者方程思想，后者函数思想，明显看出利用分离常数求函数值域更为简单，这更加体现函数思想在解题中的实效性.二、函数与方程思想在集合中的应用例2 设 A二{x | x2+4x二0}, B={x | x2+2 (a+1) x+a2-l=0},若 BA, 求实数a的取值范围.解析由 A二{x | x2+4x=0} = {x | x=0 或 x=-4} = {0, -4}・VBA, ・・・B二或 B二{0}或 B二{-4}或 B二{0, -4}・当 B二时，即 x2+2 (a+1) x+a2T二0 无实根，由△〈()，即 4 (a+1) 2-4 (a2-l) <0,解得 a<-l；当 B={0}时,由根与系数的关系：0+0=-2(a+l), 0X0=a2-la=-l；当B= {-4}时，由根与系数的关系:-4-4二-2 (a+1), (-4) X (-4) 二a2-la G；当B={0, -4}时,由根与系数的关系:0-4二-2 (a+1), 0X (-4) 二a2Ta 二 1；综上所得a二1或aW-l・点评对于稍复杂的某些集合题目，一定要全面考虑并仔细审题, 防止解的取值扩大或缩小•木题考查了方程思想、分类讨论思想•首先要确定对集合B多种情况的讨论，千万不能遗忘B二这一特殊情形；再分别利用方程求根公式及韦达定理求解，最后答案必须进行检验, 否则解的取值可能扩大.三、函数与方程思想在不等式中的应用例3已知二次函数f (x)二ax2+bx+c・(1)若a>b>c,且f (1)二0,证明f (x)的图像与x轴有2个交占.八、、9(2)在(1)的条件下，是否存在mR,使当f (m)二-a成立吋，f 5+3)为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；(3)若 xl, x2ER,且 xl<x2, f (xl) Hf (x2),方程 f (x) 二[f (xl) +f (x2)]有2个不等实根属于(xl, x2)・解析(1)T f (1)二a+b+c二0 且a>b>c, /.a>0 且c〈0, AA=b2-4ac>0, Af (x)的图像与x轴有两个交点.(2)•・• f (1)二0,・・・1为f (x)二0的一个根，由韦达定理知另一根为•又TaX)且c<0, A<O<1・乂 a>b>c, b=-a-ca>0, a>-a-c-2〈〈0,则 a. (m-) (m-1)二一a〈0, A<m<l・・・・ni+3>+3>-2+3 二 1.•・・f (x)在(1, +8)单调递增,・・・f (m+3) >f (1) =0.即存在这样的ni使f (m+3) >0.(3)令 g (x)二f (x) -[f (xl) +f (x2)],则 g (x)是二次函数.Vg(xl) • g(x2) = [f (xl)-] [f (x2)-]二-[f (xl)-f (x2)]2W0, 乂Tf (xl) Hf (x2), g (xl)・g (x2) <0, /.g (x)二0 的根必有—个属于(xl, x2).点评本题是典型的函数、方程、不等式交汇的综合题•考查考生的读题，审题，计算，推理，阅读理解的数学能力•此题虽然解题思路较为清晰，但涉及到的变量较多，难度偏大；侧重考查考牛能够充分利用二次函数与一元二次方程相互转化，观察二次函数图像性质, 函数零点存在定理，同吋考查不等式基本性质的灵活应用和数形结合思想.四、函数与方程思想在函数与导数中的应用例4已知函数f (x)二x+b的图像与函数g (x)二x2+3x+2的图像相切，记F (x)二f (x) g (x)・(I )求实数b的值及函数F (x)的极值；<!—endprint--><!--startprint--> ( II )若关于x的方程F (x)二k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围.解析(1)依题意得，方法一：令f‘ (x) =g f(x),得1二2x+3, 故x 二一 L・•・函数f (x)的图像与函数g (x)的图像的切点为(-1, 0),将切点坐标代入函数f(X)二x+b可得b二1・方法二：依题意得方程f (x)二g (x),即x2+2x+2-b=0有唯一实数解，故厶=22-4 (2-b) =0,即b二1,.•.F(x)二(x+1 )(x2+3x+2)二x3+4x2+5x+2,故F‘(x)二3x2+8x2+5二3 (x+1) (x+),令F‘ (x)二0,解得 x二-1,或 x二-.•••当x变化时,N (x), F (x)的变化如下表:从上表可知F (x)在x二-处取得极大值，在x二-1处取得极小值 0.(II)由(I )可知函数y二F (x)大致图像如下图所示•作函数 y二k 的图像，当y二F (x)的图像与函数y二k的图像有三个交点吋，关于x 的方程F (x)二k恰有三个不等的实数根.结合图形可知：kG (0,)・点评本题综合了函数、导数，单调性、极值、方程的解等知识. 此题发现” f(X)二x+b是g (x)二X2+3X+2的切线”是解题的关键. 后利用导数的儿何意义求出b,再由导数与单调性，极值的关系作出函数y二F (x)与y二k的图像，将方程的根转化到两个函数图像的交点个数，利用数形结合的思想求解.五、函数与方程思想在三角函数中的应用例 5 已知函数 f (x) =x2- (m+1) x+m (m^R),(1)若tanA, tanB是方程f (x) +4二0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角，求证：m^5；(2)对任意实数，恒有f (2+cos) W0,证明m^3；(3)在(2)的条件下，若函数f (sin)的故大值为8,求m的值.解析 (1)证明：f (x) +4=0,即 x2- (m+1) x+m+4二0.依题意有△二(m+1) 2~4 (m+4) 20, tanA+tanB=m+1 >0, tan A• tanB=m+4>0, tanC=-tan (A+B)二-()二〉0,得 m2-2mT5$0, m>-l, m〈-3 或 m>T, 得证!(2) Vf (x) =x2- (m+1) x+m二(xT) (x-m), 乂 2+cosaE [1, 3],・・・1W X W3吋，f (x) WO.而 f (x) WO (x-1) (x-m) WO,.•.lWxWm 或 mWxWl (舍去).故有[1, 3][1, m],Am^3,得证！(3) Vf (sin)二sin2-(m+1) sina+m二(sin-) 2+m-,•・・±2, sine [-1, 1],・••当 sin二一 1 吋,fmax (sin)二2m+2二8・.•.m二3为所求.点评本题将函数、方程、三角、不等式知识交汇考查，涉及到简单的三角公式(两角和、内角和)，三角函数图像性质(有界性). 第(1)小题中△$()与tan (A+B)〈0易遗漏；充分体现了方程、函数、三角与不等式Z间的和互联系与转化.六、函数与方程思想在数列中的应用例6某厂2012年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同, 但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，口每月增加投入的白分率相同，到 12月投入建设资金乂恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润M 与全年总投入N的大小关系是()A. M>NB. M<NC. M二ND.无法确定解析设笫n个月的利润与投入资金分别为an, bn,则anpl + (n-l) d 是关于n的一次函数，bn二a • qn-l是关于n的指数函数复合形,易知al二bl, al2=bl2,作出示意图如下:显然有ai>bi, i二2, 3, 4,…，11故有M〉N,选答案A例7设｛an｝为等差数列,Sn为数列｛an｝的前n项,已知S7=7, S15=75, Tn为数列｛｝的前n项，求：(1) Tn的通项；(2) Tn的最值.解析(1)设等差数列｛an｝的公差为d,则Sn二nal+n (n~l )二n2+ (al-) n, n^N.又VS7=7, SI5=75,・・・7al+21d二7, 15al+105d二75,即 al+3d二 1, al+7d=5・解得：al二一2, d二 1.・••二al+ (n~l) d二-2+ (nT)・• • _• 一二,即数列｛｝是等差数列，其首项为-2,公差为.•I Tn=n2-n.(2) VTn=n2-n= (n2~9n) = (n-) 2-，VneN,当・・・n二4或5时,Tn取最小值为T5二-5.点评数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，等差、等比是…种特殊的一次函数、指数函数•因此可利用函数思想來分析或用函数方法來解决数列问题•也可以利用方程的思想，设出未知的量，建立等式关系即方程，将问题进行算式化.由次可见，利用函数与方程的思想来解决数列问题，思路既清晰、又简单明了.七、函数与方程思想在平面向量中的应用例8如图所示，在AABC中，点M是AB的中点，且二，BN与CM 相交于点E,设二，二，试用基底，表示向量.解析易得二二二,二二，由N, E, B三点共线知，存在实数，满足二+二+二+ (1-) ①〈！一endprint--> <!--startprint--> 同理由 M, E, C三点共线知，存在实数，满足二+二+二+ (1-)……②由①②，可得：二+ (1-)二+ (1~),所以(1 一)二，二(1-) (1-)二，二(1-)二，二，所以二+・点评本题求解充分利用了方程思想，待定系数法•首先利用三角形法则将向量用向量，，两种方法表示，大胆引入参数，利用向量共线定理，建立方程组，然后解关于向量，的系数的方程组，方程思想在利用平面向量基木定理求参数经常用到.八、函数与方程思想在解析几何中的应用例9若抛物线y二ax2T上总存在关于直线x+y二0的两个对称点，则实数a的取值范围是()A. (, +°°)B. (, +°°)C. (0,)D.(,)解析方法一：y=ax2-l关于x+y二0的对称曲线为-x=ay2-l,由 y=ax2-l ... ①，x=-ay2+l .... ②，得 x+y二a (x2-y2).易知 x+yHO, A a (x+y) =1.把①代入得 Q (x-ax2+l)二1,即 a2x2-ax-a+l=0.由于△〉()，得 a2+4a2 (a-1) >0a2 - (4a-3) >0,A a>,选答案B.方法二：设P1P2所在直线：y二x+b与y二3x2-1联合消去y得：ax2-x~b-1二0.由△>(),得 l+4a (b+1) >0……①设 P1P2 中点 M (xO, yO), ・・・x0二二，y0二xO+b二+b・乂点M在直线x+y二0上，.・・xO+yO二0.即++b二0,・・.b二一.代入①，得l+4a (-+1) >0,即a〉・例10已知两定点F1 (-, 0), F2 (, 0)满足条件-二2的点P的轨迹是曲线E,宜线y二kx-l与曲线E交于A, B两点•如果AB二6,且曲线E 上存在点C,使+二求ni的值和AABC的面积S.解析由双曲线的定义可知，曲线E是以F1 (-，0), F2 (, 0) 为焦点的双曲线的左支，且c二，a二1,易知b二1,故曲线E的方程为 x2-y2二1 (x<0).设 A(xl, yl), B(x2, y2),由题意建立方程组 y二kxT, x2-y2二 1, 消去 y，得(l-k2) x2+2kx-2二0.乂已知直线与双曲线左支交于两点A, B,即方程 x2+2kx-2二0有两个相异的负实根l-k2H0, △二(2k) 2+8 (l~k2) >0, xl+x2=<0, xlx2二>0,解得-<k<-l.乂AB= • xl-x2= •二• =2=6.整理化简可得：28k4-55k2+25二0,k2二或 k2=,但-<k<-l, :.k二-.故直线AB的方程为x+y+1二0.设 C (xc, yc),由已知 + 二m,得(xl, yl) + (x2, y2)二(mxc, myc), /. (xc, yc)二(,)(mH0)・又・.・xl+x2=-4, yl+y2=k (xl+x2) -2二-2二二8,・••点 C (,).将点C的坐标代入曲线E的方程，得-二1.得m二±4,但当m二-4吋，所得的点在双曲线的右支上，不合题/冒、•/.m=4, C点的坐标为(-，2),•••点C到AB的距离为二,•••△ABC 的面积 S二X6X二.点评(1)对于已知方程形式的圆锥曲线，可以利用待定系数法来求圆锥曲线的方程；(2)解决有关直线与圆锥曲线位置关系问题, 用到的多是函数与方程的思想，通过列方程组，由判别式和根与系数的关系求解斜率、弦长等；(3)求参数的取值范围问题，往往要与目标函数联系起来，利用冃标函数的定义域、值域、单调性等知识来解决.九、函数与方程思想在立体儿何中的应用例11如图1, ZACB二45。
浅谈函数与方程思想在中学数学中的应用
浅谈函数与方程思想在中学数学中的应用本文阐述了函数思想与方程思想的概念、二者之间的相互转换及在转换时需要注意的一些问题。
函数与方程都是中学数学的重要内容，也是处理许多数学问题时经常要用的基本思想方法，教师应该在教学中有意培养学生的函数与方程思想。
标签：函数与方程思想中学数学应用函数与方程是反映客观事物数量变化规律的一种数学模型，函数思想能使数学有效地揭示事物运动变化的规律，反映事物间的相互关系;而方程思想则是函数思想的具体体现，是已知量和未知量的矛盾统一。
一、函数与方程思想的概念以及相互转化1.函数与方程思想的概念函数的思想方法就是对于客观事物的运动变化过程中各个变量之间的相互关系，通过函数的形式表示出来并加以研究，从而使问题获得解决。
函数思想的实质是提取问题的数学特征，用联系的变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系。
方程的思想方法就是经过数学变换，把非方程的问题转化为方程的形式，并通过解方程的手段或对方程有关性质的研究，使原问题得到解决。
从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。
2.函数与方程思想的相互转化如果变量间的数量关系用解析式表示，则这个解析式又可以看作一个方程，通过解方程的方法进行研究，使问题得到解决，这就是函数与方程的思想。
很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，化归为方程的问题，实现函数与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的。
二、函数与方程思想在高考中的几个典型应用许多方程问题常常可以运用函数思想去解决，而不少函数问题又往往需转化为方程来求解，因此，在解决一些函数和方程问题时，既要善于运用函数思想解决方程问题，又要学会灵活运用方程的观点去观察、处理函数问题，函数与方程思想在解题中的应用十分广泛，函数与方程思想是数学中的基本思想，也是历年高考的重点和热点。
函数与方程思想在解题中的运用
函数与方程思想在解题中的运用函数与方程思想是中学数学最重要的基本思想,也是高考考查的重点.函数与方程思想既是两种思想本身的体现,也是两种思想综合运用的体现,二者密不可分.函数与方程思想也体现了动与静、常量与变量之间的辩证关系,是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想.函数是高中数学的一条主线,函数与方程思想运用几乎在高中各章节知识中都有体现,本文就这种数学思想在解题中的作用作一个较为详细的介绍.一、运用函数与方程思想处理函数、方程与不等式问题函数与方程虽是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系.方程f (x)=0的解就是函数y=f (x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数y=f (x)本身就是一个二元方程f (x)-y=0,于是,函数问题与方程问题可以相互转化来求解.函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f (x),当时y>0,就转化为不等式f (x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式.故它们三者之间关系紧密,解决此类问题的关键是深刻理解三者的意义,熟练掌握三者之间的转化关系.例1 已知函数f (x)=x2-x2+2x+1,且x1,x2是f(x)的两个极值点,003(2)x1-x2==,由根与系数的关系可知:x1+x2=a,x1x2=2,∴x1-x2=>1 ,由不等式恒成立问题可知:1≥m2-2bm-2对b∈-1,1恒成立.令g(b)=-2mb+m2-3,则当b∈-1,1时,g(b)≤0恒成立,∴g(-1)=m2+2m-3≤0,g(1)=m2-2m-3≤0-1f (x3)-x3,∴0三、运用函数与方程思想处理数列问题数列是一种特殊的函数,数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数.纵观近几年的高考题,在客观题中,突出“小、巧、活”的特点,解答题以中等以上难度的综合题目为主,涉及函数、方程、不等式的综合内容.在数列问题时,要切实注意运用函数观点来分析、解决有关数列的最值、单调性等问题,运用方程的思想来解决有关的计算问题.例5 设等差数列{an}的前n项和Sn,若a1>0,S4=S8,则当Sn取得最大值时,求n的值.解析(法一)由S4=S8,得d=-a10,a7+-=0,所以f(n)是单调递增的数列,故f(n)的最小值为f(2)=.(3)∵b=,∴Sn=1+++…+,∴Sn-1=++…+,又S1+S2+…Sn-1=+++…+=(n+++…+)-(n-1)=(++…++).假设存在整式g(n),使得S1+S2+…+Sn-1=(Sn-1)g(n)成立, 则g(n)==n,满足题目要求,故存在g(n)=n.点评数列其实就是关于正整数n的离散型函数,数列求最值的方法与函数最值的求法类似.此题问(2)先证数列是单调递增的,再利用单调性求数列最值,这是数列不等式证明中常用到的一种方法.问(3)是一个探究性问题,需要将左边和式朝着右边逐步变形,最终消除等式两边的差异,思维难度较大.四、运用函数与方程思想处理立体几何中的最值问题方程思想在立体几何中主要体现在,根据具体图形列方程(组)求角,求距离,求面积,求体积等.而当图形中涉及运动变化、不确定量时,往往要通过函数关系把这种数量关系表示出来,并加以研究,从而使问题获得解决,运用函数与方程思想在处理这类问题时非常有效.例7 已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,B1B1=BC=2,AC=2,点P是线段B1C上任意一点,求线段AP+C1P的最小值.解析连接AB1,在Rt△ACB中,AB==2,Rt△ABB1中,AB1==,在△ACB1中,AC=2,B1C=4,∴AC2+B1C2=AB12∠ACB1=90°.设CP=x,∴在Rt △ACP中,AP=,在△CC1P中,∠CC1P=45°,由余弦定理有C1P==,∴AP+C1P=+=+.此式可以看作是点(x,y)到点(2,2)及(0,-2)的距离之和.由数形结合可知:当三点在一条直线上时距离之和最小,即(AP+C1P)min==2为所求.点评本题是较常见的距离和的最值问题,如直接利用几何知识难以求解,需要借助函数建模,而最终又需要数形结合来完成求解.此题可谓构思巧妙、环环相扣,综合运用了几何、三角和函数等知识,能力要求较高.五、运用函数与方程思想处理圆锥曲线问题圆锥曲线问题中,常见的是利用几何性质列方程(组)求圆锥曲线的方程、离心率等.而涉及直线和圆锥曲线的位置关系问题时,一般需要通过解二元方程组,将其转化为一元二次方程,然后用根的判别式或根与系数的关系解题.此类问题对运算求解能力、推理论证能力要求较高,但同时它有一定的规律可循,因为它与函数方程思想有着紧密的联系,考生可以往这方面思考.例8 已知椭圆+=1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于A、B两点,且OA⊥OB(O坐标原点).(1)求+的值; (2)若椭圆长轴长2a的取值范围是[,],求椭圆离心率e的取值范围.解析(1)联立方程组:x+y-1=0,+=1(a2+b2)x2-2a2x-a2(1-b2)=0……(*)设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2=,x1x2=,而y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2=.又∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,∴+=0,∴a2+b2=2a2b2+=2……①经检验,方程(*)△=4a4(2b4-2b2+1)>0有解,故+=2.(2) 将b2=a2-c2,e=代入①,得2-e2=2a2(1-e2),∴e2==1-,而2a∈[,],由不等式的性质,得≤e2≤,而00.责任编校徐国坚。
函数和方程思想在数学解题中应用.docx
函数和方程思想在数学解题中应用函数与方程的思想是中学数学的基本思想，是高中数学的一条主线，也是历年高考的重点•函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，函数思想使常量数学进入了变量数学，即用函数的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图像和性质去解决问题；方程思想就是分析数学中变量间的等量关系，建立方程或方程组，运用方程的性质去解决问题. 对于函数y=f (x),可转化到二元一次方程y-f (x) =0.如解方程f (x) =0求函数y=f (x)的零点.因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法去解决；反之，许多有关函数的问题也可用方程的方法去解决.函数与方程思想在解题中应用广泛：如函数与方程两者之间的相互转化，在集合、导数与不等式中，在数列、三角函数与平面向量中，在解析几何、立体几何中都可以充分体现，本文就它在数学解题中的应用举例分析，供同学们参考一、函数与方程两者之间的相互转化例 1 若方程2a • 9sinx+4a • 3sinx+a-8=0 有解，则 a 的取值范围是_______ •解析令t=3sinx,则tw[, 3],方程可转化为：(方法一)记f (t) =2at2+4at+a~8,则原问题转化为f(X)=0在[,3]内有解(即有一解或两解)，留意到f (t) 的对称轴t=~l [, 3],•*.f (t) =0在[,3]内不可能有两根,/.f (t)二0 在],3]有一根只须 f () • f (3) WO,即(++a-8) • (18a+12a+a_8) W0，・・・(-8) • (31a-8) WO, ・・・WaW.(方法二)由①转化为a=.1 £ [, 3],2 (t+1) 2-1丘[,31],Aae[,].点评本题先通过换元转化到熟悉的一元二次方程，接下来再转化到二次函数的零点问题，并结合二次函数图像性质，再❷用两种方法计算出答案，前者方程思想，后者函数思想，明显看出利用分离常数求函数值域更为简单，这更加体现函数思想在解题中的实效性.二、函数与方程思想在集合中的应用例 2 设 A 二｛x | x2+4x 二0｝,B 二｛x | x2+2 (a+1) x+a2-l=0｝, 若BA,求实数a的取值范围.解析由A二｛x | x2+4x二0｝二｛x | x二0 或x二-4｝二｛0, -4｝・TBA,・：B二或B=｛0｝或B=｛-4｝或B=｛0, -4｝.当B二时，即x2+2 (a+1) x+a2-l=0 无实根，由△b>c,且f (1) =0,证明f (x)的图像与x轴有2个交点；(2)在(1)的条件下，是否存在mR,使当f (m) =-a 成立时，f (m+3)为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；(3)若xl, x2WR,且xlb〉c, .\a>0 且cO, /.f (x) 的图像与X轴有两个交点.(2)V f (1) =0,・・・1为f (x)二0的一个根，由韦达定理知另一根为.又*/a>0且cb>c , b=-a~ca>0 , a>-a-c-2+3>-2+3=1.Tf (x)在(1，+8)单调递增，/.f (m+3) >f (1) 二0.即存在这样的m使f (m+3) >0.(3)令g (x)二f (x) -[f (xl) +f (x2)],则g (x) 是二次函数.Vg (xl) • g (x2)二[f (xl) -] [f (x2) -]二-[f (xl) -f (x2) ]2W0，又Tf (xl) Hf (x2), g (xl) • g (x2) (II)若关于X的方程F (x) =k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围.解析(1)依题意得，方法一：令f‘ (x) =g'(x), 得 1 二2x+3,故x二一 1..：函数f(X)的图像与函数g(x)的图像的切点为(-1, 0),将切点坐标代入函数f (x)二x+b可得b=l.方法二：依题意得方程f (x) =g (x),即x2+2x+2-b二0有唯一实数解,故厶=22-4 (2-b) =0,即b=l,/.F (x) = (x+1) (x2+3x+2) =x3+4x2+5x+2,故F‘ (x) =3x2+8x2+5=3 (x+1) (x+),令F' (x) =0,解得x=-l,或x=~..•.当X变化时，F' (x), F (x)的变化如下表：从上表可知F (x)在x=-处取得极大值，在x=-l处取得极小值0.(II)由(I )可知函数y=F (x)大致图像如下图所示. 作函数y=k的图像，当y=F (x)的图像与函数y=k的图像有三个交点时，关于x的方程F (x)二k恰有三个不等的实数根.结合图形可知：ke (0,).点评本题综合了函数、导数，单调性、极值、方程的解等知识.此题发现” f(x)=x+b是g(x)=x2+3x+2的切线” 是解题的关键•后利用导数的几何意义求出b,再由导数与单调性，极值的关系作出函数y=F (x)与y=k的图像，将方程的根转化到两个函数图像的交点个数，利用数形结合的思想求解.五、函数与方程思想在三角函数中的应用例 5 已知函数 f (x) =x2- (m+1) x+m (m^R),(1)若tan A, tanB是方程f (x) +4=0的两个实根，A、B是锐角三角形AEC的两个内角，求证：m^5；(2)对任意实数，恒有f (2+cos) WO,证明m^3；(3)在(2)的条件下，若函数f (sin)的最大值为8, 求m的值.解析(1)证明：f (x) +4二0,即x2- (m+1) x+m+4二0.依题意有△二(m+1) 2~4 (m+4) 20, tanA+tanB=m+1 >0, tanA • tanB=m+4>0, tanC=-tan (A+B)二- ()=>0,得m2-2mT5±0, m>T, mT,得证！(2) Vf (x)=x2-(m+l)x+m=(x-l)(x-m),又2+cosa^ [1, 3],.\l<x<3 时，f (x) <0.而 f (x) WO (x-1) (x-m) WO,.••lWxWni 或mWxWl (舍去).故有[1, 3] [1, m],得证！(3)•/f (sin) =sin2- (m+1) sina+m= (sin-) 2+m-,T22, sine [-1, 1],・••当sin=-l 时,fmax (sin) =2m+2=8.m=3为所求.点评本题将函数、方程、三角、不等式知识交汇考查,涉及到简单的三角公式(两角和、内角和)，三角函数图像性质(有界性)・第(1)小题中△$()与tan (A+B) NB. Mbi, i二2, 3, 4,…，11故有M>N,选答案A例7设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项，已知S7二7, S15二75, Tn为数列｛｝的前n项，求：(1) Tn的通项；(2) Tn的最值.解析(1)设等差数列｛an｝的公差为d,则Sn=nal+n(n-l) =n2+ (al-) n, n£N.又VS7=7, S15=75,・・・7al+21d二7, 15al+105d二75,即al+3d二1,al+7d二5・解得：al=-2, d二 1.・••二al+ (n-1) d二-2+ (nT)・• •即数列｛｝是等差数列，其首项为-2,公差为./.Tn=n2-n.(2) */Tn=n2-n= (n2~9n) = (n-) 2-,VnEN,当.・.n=4或5时，Tn取最小值为T5=-5.点评数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，等差、等比是一种特殊的一次函数、指数函数.因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题•也可以利用方程的思想，设出未知的量，建立等式关系即方程，将问题进行算式化.由次可见，利用函数与方程的思想来解决数列问题，思路既清晰、又简单明了.七、函数与方程思想在平面向量中的应用例8如图所示，在AABC中，点M是AB的中点，且二，BN与CM相交于点E,设二，二，试用基底，表示向量.解析易得==,==,由N, E, B三点共线知，存在实数, 满足=+=+=+ (1-) ........ ①同理由M, E, C三点共线知，存在实数，满足=+=+=+ (1-) ...... ②由①②，可得：二+ (1~) =+ (1-),所以(1—) =, = (1-) (1-) =, = (1-)=,=,所以二+.点评本题求解充分利用了方程思想，待定系数法•首先利用三角形法则将向量用向量，，两种方法表示，大胆引入参数，利用向量共线定理，建立方程组，然后解关于向量，的系数的方程组，方程思想在利用平面向量基本定理求参数经常用到.八、函数与方程思想在解析几何中的应用例9若抛物线y=ax2-l上总存在关于直线x+y=O的两个对称点，则实数a的取值范围是()A. (, +°°)B. (, +°°)C. (0,)D.(,)解析方法一：y=ax2-l关于x+y=0的对称曲线为-x=ay2-l,由y=ax2T .... ①，x=-ay2+l .... ②，得x+y=a (x2-y2 ).易知x+yHO, .°.a (x+y) =1.把①代入得 a (x-ax2+l) =1,即a2x2-ax-a+l=0.由于△>(),得a2+4a2 (aT) >0a2 • (4a-3) >0,选答案B・方法二：设P1P2所在直线：y二x+b与y二ax2-1联合消去y 得：ax2-x-b~l 二0.由△>(),得l+4a (b+1) >0……①设P1P2 中点M (x0, yO), /.x0==, yO=xO+b=+b.又点M在直线x+y=O上，/.xO+yO=O.即++b二0,・・.b二-.代入①，得l+4a (-+1) >0,即a〉・例10已知两定点F1 (-, 0), F2 (, 0)满足条件-二2 的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-l与曲线E交于A, B两点•如果AB=6,且曲线E上存在点C,使+二m,求m的值和AABC 的面积S.解析由双曲线的定义可知，曲线E是以F1 0), F2(,0)为焦点的双曲线的左支，且c二，a=l,易知b二1,故线 E 的方程为x2-y2=l (x0, xl+x2=0,解得-0；当x£ (1, 3)时，f‘ (x)。
函数与方程思想在高中数学解题中的应用
（一）在不等式中的应用
不等式反映的是不等量的关系，往往需要用等量关系去解决，这就是方程。函数与不等式可以相互转化，对于函数y= f（x），当y>0时，就转化为不等式f（x）>0，借助于函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。
例：设不等式2x-1>m（x2-1）对满足|m|≤2的一切实数m都成立，求x的取值范围。
函数与方程思想在高中数学解题中的应用
作者：许福生
来源：《家长·中》2019年第04期
函数与方程思想是高中数学解题中的基本思想，函数是运用一动一变的思想，分析和研究数学中的变量关系，通过构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转换问题、解决问题;方程思想则是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，通过解方程组或不等式组使问题获得解决。
解：问题变成关于m的一次不等式：（x2-1）m-（2x-1）<0在[-2，2]恒成立，设f（m）=（x2-1）m-（2x-1），
则f（2）= 2（x2-1）-（2x-1）<0
f（-2）= -2（x2-1）-（2x-1）<0
一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题明朗化。或者在含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数更具灵活性，从而巧妙地解决问题。
例：函数f（x）=x3-x2-x+1在[0，2]上有几个零点？
解析：由于f（x）=x3-x2-x+1=（x-1）2-（x-1），令f（x）=0，得到x=1，因此函数在[0，2]上只有一个零点。
例：若a>1，设函数f（x）=ax+x-4的零点为m，g（x）=logax+x-4的零点为n，则[1m+1n]的取值范围是多少？
函数与方程思想在高中数学解题中的应用
函数与方程思想在高中数学解题中的应用【摘要】函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决。
【关键词】函数与方程思想；高中数学；应用什么是函数和方程思想？简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系，对函数和方程思想的考查，主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题，在用函数和方程思想指导解题时要经常思考下面一些问题：是否需要把一个代数式看成一个函数，是否需要把字母看作变量，如果把一个代数式看成了函数，把一个或几个字母看成了变量，那么这个函数有什么性质，如果一个问题从表面上看不是一个函数问题，能否构造一个函数来帮助解题，是否需要把一个等式看作为一个含未知数的方程，如果是一个方程，那么这个方程的根（例如根的虚实，正负，范围等）有什么要求？一、把字母看作变量或把代数式看作函数规律技巧提炼：1.函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处量变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想.（1）函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量之间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：①根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；②根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题.（2）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想.2.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法来支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想.综上所述，在高中数学教学过程中重视函数与方程思想方法的渗透，可以深化学生对基础知识的理解，进一步完善学生的知识结构，优化思维品质，提高学生分析问题，解决问题能力，提高学生的数学素养。
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。
以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。
函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
高中数学必修一 [论文]函数与方程思想在解题中的应用
函数与方程思想在解题中的应用摘要：函数与方程思想是中学数学中的基本思想。
其中，函数思想是用变化的观点分析数学问题中的数量关系，建立函数、利用函数的性质解题；方程思想是将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型来解题。
它们还密切相关,有时需要互相转化来解决问题。
本文主要阐述函数与方程思想的地位和作用，函数与方程思想的概念及它们在解集合、不等式、数列等方面的应用，包括运用函数思想、方程思想，函数和方程统一思想。
关键词：数学思想；函数思想; 方程思想; 函数与方程思想数学知识可以记忆一时，但数学思想和方法却随时随地发挥作用，使人受益终身。
近年来我国许多考纲已明确提出不仅要考察学生的数学知识和思维能力，还要考察学生思想方法的运用能力。
其中函数与方程的思想是众多考试考查的最基本的数学思想方法之一。
学生仅仅学习了函数与方程的知识是不够的，应通过解题和对解题过程的反思来领悟函数与方程的思想。
一、函数与方程思想的地位和作用数学思想是人们对现实世界空间形式和数量关系的本质认识，它是思维加工的产物，比一般的数学概念和数学方法具有更高的概括性和抽象性，因而更深刻，更本质。
可以说，数学思想是数学知识的核心，是数学的精髓和灵魂。
目前高中阶段主要数学思想有：函数与方程、数形结合、分类与整合、划归与转化、特殊与一般、有限与无限、或然与必然。
函数与方程思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想。
函数与方程思想作为高中数学思想方法的重点，对学生的要求也越来越高。
考试中心指出：“高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相结合的角度进行深入考查。
”我们仅仅学习了函数与方程知识，在解决问题时往往是被动的，而建立了函数与方程思想，才能主动地去思考一些问题。