2019年中考数学专题：三角板拼图
中考数学复习指导：中考试题中三角板问题的归类探析
中考试题中三角板问题的归类探析三角板的拼摆、叠放、平移、旋转，能使图形千变万化，运动着的三角板中蕴含着深厚的数学知识，这成为中考数学的一道亮丽风景，三角板问题操作性强，能较好地考查学生各种综合运用能力，同时也充分体现了新课标“动手实践和探究创新”的能力要求．下面就近几年中考数学中涉及到的三角板问题进行归纳整理和分类，并作简要赏析，以供参考．一、三角板的拼摆1．求拼出的图形中角的度数例1 一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图1中方式叠放，则∠α等于( )．(A)30°(B)45° (C)60° (D)75°简析在解答例1时，关键就是看考生是否能注意图形中隐含了相对两边的平行性，并利用这个平行性，将要求解的目标角进行集中，且与三角板角联系起来．如果考生抓住了这个隐含条件，就能顺利解答．2．求拼出的图形中的线段的长度例2 一副直角三角板如图2放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．简析在解答本题时，关键是要用好“平行线间距离处处相等”，再抓住三角板中边角关系即可．3．求拼出的图形的面积例3 将一副三角尺如图3所示叠放在一起，若AB＝14cm，则阴影部分的面积是_______cm2．简析解答本题的关键是利用已知的两个三角板的特殊角，以此求出阴影部分三角形的边长，从而获解．4．判断拼出的图形形状及数量与位置关系例4 如图4，将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是_________．例5 如图5，在Rt △ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连结BE，EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．简析在本例中，三角板AED为我们提供了EA＝ED，∠EAD＝∠EDA＝45°，∠AED ＝90°，结合已知条件“在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点”，可以得到△EAB≌△EDC．因此有BE＝EC，∠AEB＝∠DEC，从而∠BEC＝90°，所以BE＝EC，且BE⊥EC．二、三角板的平移、旋转以“三角板”的平移、旋转为背景的操作探究题，立意新颖、构思巧妙，为学生提供了实践操作的空间，较好地考查了学生观察、实验、比较、联想、类比、归纳的能力，逐渐成为中考命题的一个新的热点．例6 如图6，三角板ABC的斜边AB＝12cm，∠A＝30°，将三角板ABC绕C顺时针旋转900至三角板A'B'C'的位置后，再沿CB方向向左平移，使点B'落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板A'B'C'平移的距离为( )．(A)6 cm (B)4 cm (C)(6－2) cm(D)(4－6)cm简析本题借助三角板的旋转与平移，综合考查考生利用三角板自身的角度与边长，求得平移的距离．例7 将一副三角板放置如图7那样，等腰直角三角板ACB的直角顶点A在直角三角板EDF的直角边DE上，点C,D,B,F在同一直线上，点D,B是CF的三等分点，CF＝6，∠F＝30°．(1)三角板ACB固定不动，将三角板EDF绕点D逆时针旋转至EF∥CB（如图8），试求DF旋转的度数；点A在EF上吗？为什么？(2)在图8的位置，将三角板EDF绕点D继续逆时针旋转15°，请问此时AC与DF有何位置关系？为什么？简析(1)EF∥CB时，旋转角∠FDB＝∠F＝30°．且线段AD与线段EF，CB均垂直，所以只要考虑两个直角三角形斜边上的高是否相等，即可判断点A与线段EF的位置关系，由题意易求两个直角三角形斜边上的高均为2．(2)由(1)知三角板EDF绕点D已经旋转了30°，再旋转15°后，总的旋转角就是45°了，从而∠FDB＝45°＝∠C，线段AC与DF的位置关系可得．三、在函数类试题应用例8 如图9，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（－1，0），点B在抛物线y＝ax2＋ax－2上．(1)点A的坐标为_______，点B的坐标为_______；(2)抛物线的关系式为_______；(3)设(2)中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；(4)将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB'C'的位置，请判断点B'、C'是否在(2)中的抛物线上，并说明理由．简析易求(1)(2)(3)答案：A(0，2)、B(－3，1)，关系式为y＝0.5x2＋0.5x－2．△DBC 的面积为1.875．第(4)问是一个开放性问题，必须借助旋转的性质及坐标特征、三角形全等来求得B'（1，－1），C'(2，1)在抛物线上．本例巧妙地将等腰直角三角板的旋转放置在平面直角坐标系中进行．先通过三角板的特殊角来计算点的坐标，求出抛物线的解析式，而后利用旋转的性质来确定旋转后的点的坐标．将旋转、全等三角形、平面直角坐标系及二次函数图象的相关知识有机的统一在一起，有效地考查了学生在运动变化过程中识别和处理复杂图形的能力．在中考试题中，三角板问题多以动态的形式展现，趣味性、操作性强，学生解答时必须动手动脑，创造性地去解答，这将有利于培养学生的实践能力和思维能力，充分体现生活、数学、活动、思考的数学新理念．。
2019年江苏省中考数学真题分类汇编 专题10 图形的性质之选择题(解析版)
专题10 图形的性质之选择题参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．（2019•连云港）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（）A．B．C．D．【答案】解：由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的展开图，熟练掌握棱锥的展开图是解答本题的关键．2．（2019•常州）如图，在线段P A、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段P A B．线段PB C．线段PC D．线段PD【答案】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．故选：B．【点睛】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题．3．（2019•苏州）如图，已知直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1＝54°，则∠2等于（）A．126°B．134°C．136°D．144°【答案】解：如图所示：∵a∥b，∠1＝54°，∴∠1＝∠3＝54°，∴∠2＝180°﹣54°＝126°．故选：A．【点睛】此题主要考查了邻补角的性质以及平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．4．（2019•宿迁）一副三角板如图摆放（直角顶点C重合），边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC等于（）A．105°B．100°C．75°D．60°【答案】解：由题意知∠E＝45°，∠B＝30°，∵DE∥CB，∴∠BCF＝∠E＝45°，在△CFB中，∠BFC＝180°﹣∠B﹣∠BCF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故选：A．【点睛】本题考查了特殊直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，解题关键是要搞清楚一副三角板是指一个等腰直角三角形和一个含30°角的直角三角形．5．（2019•徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10【答案】解：∵2+2＝4，∴2，2，4不能组成三角形，故选项A错误，∵5+6＜12，∴5，6，12不能组成三角形，故选项B错误，∵5+2＝7，∴5，7，2不能组成三角形，故选项C错误，∵6+8＞10，∴6，8，10能组成三角形，故选项D正确，故选：D．【点睛】本题考查三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形两边之和大于第三边．6．（2019•淮安）下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cmC．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm【答案】解：A、2+3＞4，能构成三角形，不合题意；B、1+2＝3，不能构成三角形，符合题意；C、4+3＞5，能构成三角形，不合题意；D、4+5＞6，能构成三角形，不合题意．故选：B．【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．7．（2019•泰州）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（）A．点D B．点E C．点F D．点G【答案】解：根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线，∴点D是△ABC重心．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的重心的定义，属于基础题意，比较简单．8．（2019•扬州）已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】解：①若n+2＜n+8≤3n，则，解得，即4≤n＜10，∴正整数n有6个：4，5，6，7，8，9；②若n+2＜3n≤n+8，则，解得，即2＜n≤4，∴正整数n有2个：3和4；综上所述，满足条件的n的值有7个，故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．9．（2019•盐城）如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC＝3，则DE的长为（）A．2 B．C．3 D．【答案】解：∵点D、E分别是△ABC的边BA、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE AC＝1.5．故选：D．【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理，正确得出DE是△ABC的中位线是解题关键．10．（2019•镇江）如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD的长是，点E（﹣2，0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当点F（0，6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（）A．B．C．D．3【答案】解：如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．∵E（﹣2，0），F（0，6），∴OE＝2，OF＝6，∴EF2，∵∠FGE＝90°，∴FG≤EF，∴当点G与E重合时，FG的值最大．如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC＝2a．∵P A＝PB，BE＝EC＝a，∴PE∥AC，BJ＝JH，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BH＝DH，BJ，∴PE⊥BD，∵∠BJE＝∠EOF＝∠PEF＝90°，∴∠EBJ＝∠FEO，∴△BJE∽△EOF，∴，∴，∴a，∴BC＝2a，故选：A．【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．11．（2019•连云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC 与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（）A．18m2B．18m2C．24m2D．m2【答案】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD＝AE＝x，∠DCE＝∠CEB＝90°，则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝12﹣x，在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，∴BE BC＝6x，∴AD＝CE BE＝6x，AB＝AE+BE＝x+6x x+6，∴梯形ABCD面积S（CD+AB）•CE（x x+6）•（6x）x2+3x+18（x ﹣4）2+24，∴当x＝4时，S最大＝24．即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24m2；故选：C．【点睛】此题考查了梯形的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键．12．（2019•苏州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'．当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC AC＝2，OB＝OD BD＝8，∵△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，点A'与点C重合，∴O'C＝OA＝2，O'B'＝OB＝8，∠CO'B'＝90°，∴AO'＝AC+O'C＝6，∴AB'10；故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质、平移的性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质和平移的性质是解题的关键．13．（2019•无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直【答案】解：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，∴矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．14．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【答案】解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵，∴∠CAB∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选：A．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．15．（2019•宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）A．6πB．62πC．6πD．62π【答案】解：6个月牙形的面积之和＝3π﹣（22π﹣62）＝6π，故选：A．【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．16．（2019•苏州）如图，AB为⊙O的切线，切点为A连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O 交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（）A．54°B．36°C．32°D．27°【答案】解：∵AB为⊙O的切线，∴∠OAB＝90°，∵∠ABO＝36°，∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝54°，∵OA＝OD，∴∠ADC＝∠OAD，∵∠AOB＝∠ADC+∠OAD，∴∠ADC∠AOB＝27°；故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．17．（2019•连云港）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM 折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC MP；④BP AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心，其中正确的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】解：∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，∴∠DMC＝∠EMC，∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，∴∠AMP＝∠EMP，∵∠AMD＝180°，∴∠PME+∠CME180°＝90°，∴△CMP是直角三角形；故①正确；∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，∴∠D＝∠MEC＝90°，∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，∴∠MEG＝∠A＝90°，∴∠GEC＝180°，∴点C、E、G在同一条直线上，故②错误；∵AD＝2AB，∴设AB＝x，则AD＝2x，∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；∴DM AD x，∴CM x，∵∠PMC＝90°，MN⊥PC，∴CM2＝CN•CP，∴CP x，∴PN＝CP﹣CN x，∴PM x，∴，∴PC MP，故③错误；∵PC x，∴PB＝2x x x，∴，∴PB AB，故④，∵CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD，∴CE＝EG，∵∠CEM＝∠G＝90°，∴FE∥PG，∴CF＝PF，∵∠PMC＝90°，∴CF＝PF＝MF，∴点F是△CMP外接圆的圆心，故⑤正确；故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，折叠的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．18．（2019•无锡）如图，P A是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B 的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°【答案】解：连接OA，如图，∵P A是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠P AO＝90°，∵∠P＝40°，∴∠AOP＝50°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB，∵∠AOP＝∠B+∠OAB，∴∠B∠AOP50°＝25°．故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．19．（2019•常州）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2 B．C．0 D．【答案】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．。
2019年中考数学总复习《三角形内角和定理》专题复习练习及答案
2019 初三中考数学复习三角形内角和定理专题复习练习1. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为( )A．125° B．120° C．140° D．130°2. 如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是( )A．∠A>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠A C．∠A>∠2>∠1 D．∠2>∠A>∠13. 如图，射线AD，BE，CF构成∠1，∠2，∠3，则∠1＋∠2＋∠3等于( )A．180° B．360° C．540° D．无法确定4. 如图，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为( )A．50° B．60° C．70° D．80°5. 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为( )A．110° B．80° C．70° D．60°6. 下面四个图形中，能判断∠1>∠2的是( )7. 如图，AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED的度数为( )A．53° B．63° C．73° D．83°8. 已知AB∥CD，∠C＝70°，∠F＝30°，则∠A的度数为( )A．30° B．35° C．40° D．45°9. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于( )A．40° B．35° C．30° D．25°10. 如图，a，b，c，d互不平行，对它们截出的一些角的数量关系描述错误的是( )A．∠1＋∠5＋∠4＝180° B．∠4＋∠5＝∠2C．∠1＋∠3＋∠6＝180° D．∠1＋∠6＝∠211. 如图所示，AB∥CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线．若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠BEF ＝____度．12. 如图，已知∠1＝100°，∠2＝140°，那么∠3＝______．13. 如图，点D，B，C在同一直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，则∠1＝____度．14. 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_______．15．如图所示，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F等于_______．16．在△ABC中，∠A∶∠B＝2∶1，∠C＝60°，则∠A＝____°.17. 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．18. 如果等腰三角形的一个外角为110°，求它的底角．19. 在三角形ABC 中，∠BAE ＝12∠BAC ，∠C>∠B ，且FD ⊥BC 于D 点．(1)试推出∠EFD ，∠B ，∠C 的关系；(2)当点F 在AE 的延长线上时，其余条件不变，你在题(1)推导的结论还成立吗？请直接写出结论．20. 如图，CE 是△ABC 外角∠ACD 的平分线，CE 与BA 的延长线相交于点E ，求证：∠BAC>∠B.21. 如图所示，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，试说明：∠BOC ＝90°＋12∠A.参考答案1---10 DBBCC DBCAD11. 3512. 60°13. 4514. 30°15. 360°16. 8017. 解：在△ABN中，∠A＋∠B＋∠1＝180°，在△CDP中，∠C＋∠D＋∠3＝180°，在△EFM中，∠E ＋∠F＋∠2＝180°，∴∠A＋∠B＋∠1＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠3＋∠2＝540°，在△MNP中，∠5＋∠4＋∠6＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)＝360°18. 解：①当110°是顶角的外角时，则底角为110°×12＝55°，②当110°是底角的外角时，则底角为180°－110°＝70°，即它的底角是55°或70°19. 解：(1)∠EFD＝90°－∠FED＝90°－(∠B＋∠BAE)＝90°－∠B－12∠BAC＝90°－∠B－12(180°－∠B－∠C)＝90°－∠B－90°＋12∠B＋12∠C＝12(∠C－∠B)(2)在(1)中推导的结论成立，∠EFD＝12(∠C－∠B)20. 证明：∵∠BAC>∠ACE，∠DCE>∠B，又∠ACE＝∠DCE，∴∠BAC>∠B21. 证明：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－12(∠ABC＋∠ACB)＝180°－12(180°－∠A)＝90°＋12∠A2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．定义符号min{a ，b}的含义为：当a≥b 时min{a ，b}=b ；当a ＜b 时min{a ，b}=a ．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x 2+1，﹣x}的最大值是（ ）C.1D.02．如图，半径为3的扇形AOB ，∠AOB=120°，以AB 为边作矩形ABCD 交弧AB 于点E ，F ，且点E ，F 为弧AB 的四等分点，矩形ABCD 与弧AB 形成如图所示的三个阴影区域，其面积分别为1S ，2S ，3S ，则132S S S +-为（ ）（π取3）A ．92-B ．92C ．152-D ．272-3．如图，两个小正方形的边长都是1，以A 为圆心，AD 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D.4．下列各因式分解正确的是（ ） A ．x 2+2x ﹣1＝（x ﹣1）2 B ．﹣x 2+（﹣2）2＝（x ﹣2）（x+2） C ．x 3﹣4x ＝x （x+2）（x ﹣2）D ．（x+1）2＝x 2+2x+15．合肥市教育教学研究室为了了解该市所有毕业班学生参加2019年安徽省中考一模考试的数学成绩情况（满分：150分，等次：A 等，130分:150分；B 等，110分:129分；C 等，90分:109分；D 等，89分及以下），从该市所有参考学生中随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果制作了如下的统计图表（部分信息未给出）：2019年合肥市一模数学成绩频数分布表2019年合肥市一模教学成绩频数分布直方图根据图表中的信息，下列说法不正确的是（ ） A ．这次抽查了20名学生参加一模考试的数学成绩 B ．这次一模考试中，考试数学成绩为B 等次的频率为0.4C ．根据频数分布直方图制作的扇形统计图中等次C 所占的圆心角为105︒D ．若全市有20000名学生参加中考一模考试，则估计数学成绩达到B 等次及以上的人数有12000人 6．把一副三角板按如图所示摆放，使FD BC ∕∕，点E 恰好落在CB 的延长线上，则BDE ∠的大小为（ ）A ．10︒B ．15︒C ．25︒D ．30°7．已知一次函数y ＝kx ﹣1和反比例函数y ＝kx，则这两个函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．8．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，那么它的底边长为（ ） A.4或6B.4C.6D.59．甲、乙、丙三个人玩一种游戏，每玩一局都会将三人随机分成两组．积分方法举例说明：第一局甲、乙胜出，分别获得3分，丙获得﹣6分；第二局甲胜出获得12分，乙、丙分别获得﹣6分，两局之后的积分是：甲15分，乙﹣3分，丙﹣12．如表是三人的逐局积分统计表，计分错误开始于（ ）A ．第三局B ．第四局C ．第五局D ．第六局10．如图，下图经过折叠不能围成一个正方体是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，在△ABC 中，∠B ＝50°，点D 为边AB 的中点，点E 在边AC 上，将△ADE 沿DE 折叠，使得点A 恰好落在BC 的延长线上的点F 处，DF 与AC 交于点O ，连结CD ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．CE ＝EFB ．∠BDF ＝90°C ．△EOD 和△COF 的面积相等D ．∠BDC ＝∠CEF+∠A12．若一个多边形的内角和等于1620°，则这个多边形的边数为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12二、填空题13．把多项式33327a b ab 分解因式的结果是_____．14．如图，在平面直角坐标系中，点A （0，3），将△AOB 沿x 轴向右平移得到△A'O'B'，与点A 对应的点A'恰好在直线y ＝32x 上，则BB'＝_____．15．已知x 满足（x+3）3＝64，则x 等于_____． 16．写出一个比5大且比6小的无理数________.17．若直线232y x b =-++经过第一、二、四象限，则b 的取值范围是_____．18．小明有5根小棒，长度分别为3cm ，4cm ，5cm ，6cm ，7cm ，现从中任选3根小棒，怡好能搭成三角形的概率是______ 三、解答题19．如图，AB 为⊙O 的直径，F 为弦AC 的中点，连接OF 并延长交弧AC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交BA 的延长线于点E ． (1)求证：AC ∥DE ； (2)连接AD 、CD 、OC ．填空①当∠OAC 的度数为 时，四边形AOCD 为菱形； ②当OA ＝AE ＝2时，四边形ACDE 的面积为 ．20．计算或化简：（1（12）﹣1π）0． （2）（x ﹣2）2﹣x （x ﹣3）．21．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BA ＝BC ，BD 平分∠ABC ． （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）过点D 作DE ⊥BD ，交BC 的延长线于点E ，若BC ＝5，BD ＝8，求四边形ABED 的周长．22．如图，二次函数图象的顶点为（﹣1，1），且与反比例函数的图象交于点A （﹣3，﹣3） （1）求二次函数与反比例函数的解析式；（2）判断原点（0，0）是否在二次函数的图象上，并说明理由；（3）根据图象直接写出二次函数的值小于反比例函数的值时自变量x 的取值范围．23．计算：14011(2018)|12sin 602π-︒⎛⎫-+---+- ⎪⎝⎭24．为弘扬“绿水青山就是金山银山”精神，某地区鼓励农户利用荒坡种植果树，某农户考察三种不同的果树苗A 、B 、C ，经引种试验后发现，引种树苗A 的自然成活率为0.8，引种树苗B 、C 的自然成活率均为0.9．（1）若引种树苗A 、B 、C 各10棵． ①估计自然成活的总棵数；②利用①的估计结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取两棵，求抽到的两棵都是树苗A 的概率： （2）该农户决定引种B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B 种树苗多少棵？25．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC 、AB 于点E. F ． (1)试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若BD=2，BF=2，求⊙O 的半径．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．3ab （a+3b ）（a ﹣3b ）． 14．2 15．16 17．23b >-； 18．35.三、解答题19．(1)证明见解析；(2)①30°；②【解析】【分析】（1）由垂径定理，切线的性质可得FO⊥AC，OD⊥DE，可得AC∥DE；（2）①连接CD，AD，OC，由题意可证△ADO是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF=OF，AF=FC，且AC⊥OD，可证四边形AOCD为菱形；②由题意可证△AFO∽△ODE，可得21222AO OF AFOE OD DE====+，即OD=2OF，DE=2AF=AC，可证四边形ACDE是平行四边形，由勾股定理可求DE的长，即可求四边形ACDE的面积．【详解】(1)∵F为弦AC的中点，∴AF＝CF，且OF过圆心O∴FO⊥AC，∵DE是⊙O切线∴OD⊥DE∴DE∥AC(2)①当∠OAC＝30°时，四边形AOCD是菱形，理由如下：如图，连接CD，AD，OC，∵∠OAC＝30°，OF⊥AC∴∠AOF＝60°∵AO＝DO，∠AOF＝60°∴△ADO是等边三角形又∵AF⊥DO∴DF＝FO，且AF＝CF，∴四边形AOCD是平行四边形又∵AO＝CO∴四边形AOCD是菱形②如图，连接CD，∴△AFO∽△EDO∴21222 AO OF AFOE OD DE====+∴OD＝2OF，DE＝2AF∵AC＝2AF∴DE＝AC，且DE∥AC∴四边形ACDE是平行四边形∵OA＝AE＝OD＝2∴OF＝DF＝1，OE＝4∵在Rt△ODE中，DE=∴S四边形ACDE＝DE×DF1==故答案为：【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．20．（1）3；（2）﹣x+4．【解析】【分析】（1）先化简二次根式、负整数指数幂、代入三角函数值及零指数幂，再先后计算乘法和加减运算即可；（2）先计算完全平方式和单项式乘多项式的积，再合并同类项即可得．【详解】（1）原式＝+2﹣4×2+1＝+2﹣＝3；（2）原式＝x2﹣4x+4﹣x2+3x＝﹣x+4．【点睛】本题主要考查实数和整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握实数和整式的混合运算顺序和运算法则．21．（1）详见解析；（2）26.【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，根据角平分线定义得到∠ABD＝∠CBD，等量代换得到∠ADB ＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根据菱形的判定即可得到结论；（2）由垂直的定义得到∠BDE＝90°，等量代换得到∠CDE＝∠E，根据等腰三角形的判定得到CD＝CE＝（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵BA＝BC，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BA＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，∵CB＝CD，∴∠DBC＝∠BDC，∴∠CDE＝∠E，∴CD＝CE＝BC，∴BE＝2BC＝10，∵BD＝8，∴DE6，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝5，∴四边形ABED的周长＝AD+AB+BE+DE＝26．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．22．（1）y＝﹣（x+1）2+1，9yx=；（2）原点（0，0）是在二次函数的图象上；（3）当x＜﹣3或x＞0时二次函数的值小于反比例函数的值．【解析】（1）设二次函数为y＝a（x+1）2+1，设反比例函数的解析式为y＝kx，把A点的坐标代入，关键待定系数法即可求得；（2）把x＝0代入求得的二次函数的解析式即可判断；（3）由两函数的图象直接写出x的取值范围即可．【详解】解：（1）设二次函数为y＝a（x+1）2+1，∵经过点A（﹣3，﹣3）∴﹣3＝4a+1，∴a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+1，设反比例函数的解析式为y＝kx，∵二次函数的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，﹣3）∴k＝﹣3×（﹣3）＝9，∴反比例函数的解析式为y＝9x；（2）把x＝0代入y＝﹣（x+1）2+1，得y＝﹣1+1＝0，∴原点（0，0）是在二次函数的图象上；（3）由图象可知，二次函数与反比例函数图象的交点为A（﹣3，﹣3），当x＜﹣3或x＞0时二次函数的值小于反比例函数的值．【点睛】本题是一道函数的综合试题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式和求二次函数的解析式，由图象特征确定自变量的取值范围．23．1【解析】【分析】直接利用零指数幂、负指数幂的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【详解】解：原式＝11(2)122-+---⨯＝﹣﹣1＝1．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确应用整数指数幂和绝对值的性质化简各数是解题关键．24．（1）①自然成活的有26棵；②16；（2）至少引种B种树苗700棵．【解析】（1）①根据成活率求得答案即可；②列出树状图，利用概率公式求解即可；（2）设引B树苗x棵，则最终成活棵数为：0.9x+0.1x×0.75×0.8＝0.96x，未能成活棵数为0.04x，利用农户为了获利不低于20万元列出不等式求解即可．【详解】解：（1）①10×0.8+10×0.9+10×0.9＝26（棵），答：自然成活的有26棵；②在这12种情况下，抽到的2棵均为树苗A的有2种，∴P＝16；（2）设引B树苗x棵，则最终成活棵数为：0.9x+0.1x×0.75×0.8＝0.96 x，未能成活棵数为0.04 x 300（0.96 x）﹣50（0.04x）≥200000x≥100000143＝69943143∴x＝700棵答：该户至少引种B种树苗700棵．【点睛】本题考查了利用频率估计概率及列表法求概率的知识，解题的关键是能够正确的通过列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大．25．（1）相切，理由见解析;（2）2．【解析】【分析】(1)求出OD//AC，得到OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；(2)根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【详解】(1)直线BC与⊙O的位置关系是相切，理由是：连接OD,∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD=∠CAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，即OD⊥BC，∵OD为半径，∴直线BC与⊙O的位置关系是相切；(2)设⊙O的半径为R，则OD=OF=R，在Rt△BDO中,由勾股定理得：OB=BD+OD，即(R+2) =(2)+R，解得：R=2，即⊙O的半径是2.【点睛】此题考查切线的判定，勾股定理，解题关键在于求出OD⊥BC.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．已知代数式x+2y的值是5，则代数式2x+4y+1的值是（）A．6 B．7 C．11 D．122．2019年3月5日，第十三届全国人民代表大会第二次会议的《政府工作报告》中指出，我国经济运行保持在合理区间．城镇新增就业13610000、调查失业率稳定在5%左右的较低水平，数字13610000科学记数法表示为（）A．1.361×104B．1.361×105C．1.361×106D．1.361×1073．如图，直线l1∥l2，将一直角三角尺按如图所示放置，使得直角顶点在直线l1上，两直角边分别与直线l1、l2相交形成锐角∠1、∠2且∠1＝25°，则∠2的度数为（）A.25°B.75°C.65°D.55°4．若m，n满足m2+5m-3=0，n2+5n-3=0，且m≠n．则11m n+的值为（）A．35B．35-C．53D．53-5．如图，在△ABC中，BD、CE是高，点G、F分别是BC、DE的中点，则下列结论中错误的是（）A．GE＝GD B．GF⊥DE C．∠DGE＝60°D．GF平分∠DGE6．某同学做了四道题：①3m+4n=7mn；②（﹣2a2）3=﹣8a6；③6x6÷2x2=3x3；④y3•xy2=xy5，其中正确的题号是（）A．②④B．①③C．①②D．③④7．如图，AD是△ABC外接圆的直径．若∠B＝64°，则∠DAC等于（）8．下列四个数中，最大的数是（ ）A ．-5BC ．0D ．π91导致乘积减小最大？( )A B C D10．如图，正方形ABCD 边长为4，以BC 为直径的半圆O 交对角线BD 于点E ，则阴影部分面积为（ ）A.πB.32π C.6﹣ππ11．为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个摆放在校园内，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆．则符合要求的搭配方案有几种（ ） A ．2B ．3C ．4D ．512．下列计算结果为a 2的是（ ） A ．a 8÷a 4（a≠0） B ．a 2•a C ．﹣3a 2+（﹣2a ）2D ．a 4﹣a 2二、填空题13．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+m ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是_____． 14．如图，在.△ABC 中，各边的长度如图所示，∠C=90°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，则点D 到AB 的距离是__．15．如图，AD 是△ABC 的中线，点E 在边AB 上，且DE ⊥AD ，将△BDE 绕着点D 旋转，使得点B 与点C 重合，点E 落在点F 处，联结AF 交BC 于点G ，如果52AE BE =，那么GFAB的值等于______．16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2，点D 是边AB 上的动点，将△ACD 沿CD 所在的直线折叠至△CDA 的位置，CA'交AB 于点E ．若△A'ED 为直角三角形，则AD 的长为_____．17．中国高铁被誉为“新四大发明”，截止2018年底中国高速铁路营业里程已达29000公里，请将29000用科学记数法表示为_____．18．在20km 越野赛中，甲乙两选手的行程y （单位：km ）随时间x （单位：h ）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法： ①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度； ②出发后1小时，两人行程均为10km ； ③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km ； ④甲比乙先到达终点． 其中正确的有_____个．三、解答题19．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝﹣12与y 轴、x 轴分别交于点E 、F ，边长为2的等边△ABC ，边BC 在x 轴上，将此三角形沿着x 轴的正方向平移，在平移过程中，得到△A 1B 1C 1，当点B 1与原点重合时，解答下列问题： （1）写出点E 、F 坐标；（2）求出点A 1的坐标，并判断点A 1是否在直线l 上；（3）如果点A 1在直线l 上，此问不作答，如果点A 1不在直线l 上，继续平移△ABC ，直到点A 的对应点A 2落在直线l 上这时点A 2横坐标为多少？20．现有24个劳力和1000亩鱼塘可供对虾、大黄鱼、蛏子养殖，所需劳力与每十亩产值如下表所示．另外设对虾10x 亩，大黄鱼10y 亩，蛏子10z 亩．（1）用x 的式子分别表示y、z ；（2）问如何安排劳力与养殖亩数收益最大？21．先化简，再求值:22211211x x x x x x ⎛⎫-÷-+ ⎪-+-⎝⎭，其中1x =.221tan 602|︒-+-．23．有四张完全一样的卡片，在正面分別写上2、3、4、6四个数字后洗匀，反面朝上放在桌上．小明从中先后任意抽取两张卡片，然后把先抽到的卡片上的数字作为十位数，后抽到的卡片上的数字作为个位数，组成一个两位数．求这个两位数恰好能被4整除的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）24．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调查发现，这种商品在未来40天内的日销售量y 1（件）与时间t （天）的关系如图所示；未来40天内，每天的价格y 2（元/件）与时间t （天）的函数关系式为：y 2＝1t 25(1t 20)41t 40(21t 40)2⎧+⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩剟剟（t 为整数）；（1）求日销售量y 1（件）与时间t （天）的函数关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中该公司决定销售一件商品就捐赠a 元（a 为定值）利润给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，第18天的时候，扣除捐赠后日销售利润为这20天中的最大值，求a 的值．25．为了解某小区居民使用共享单车次数的情况，某研究小组随机采访该小区的10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数统计如下：“中位数”，“众数”或“平均数”）（3）若该小区有200名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．m ＜54． 14．3 15．106316．3 2 17．18．1 三、解答题19．(1) 点E 的坐标为：（0，，点F 的坐标为：（0），(2) 点A 1的坐标为：（1，点A 1不在直线l 上;（3）点A 2横坐标为 【解析】 【分析】（1）把x ＝0，y ＝0分别代入y ＝﹣12x +E,F 的坐标（2）先根据点A 1的横坐标为1，纵坐标为：2sin60°＝2×求出A1的坐标，然后A1的坐标y＝﹣12x +（3）根据前面两题把把y y ＝﹣12x + 【详解】解：（1）把x ＝0代入y ＝﹣12x +得：y ＝，把y ＝0代入﹣12x +﹣12x +0，解得：x ＝，即点F 的坐标为：（0），（2）根据题意得：点A 1的横坐标为1，即点A 1的坐标为：（1，把x ＝1代入y ＝﹣12x +y ＝12即点A 1不在直线l 上，（3）把y 代入y ＝﹣12x +﹣12x +，解得：x ＝，这时点A 2横坐标为【点睛】此题为一次函数的综合题，要运用到三角形函数来解答20．（1）y ＝140﹣2x ，z ＝x ﹣40．（2）对虾400亩，大黄鱼600亩，蛏子0亩；养植对虾的劳动力是12人，养殖大黄鱼的劳动力是12人，养殖蛏子的劳动力是0人．【解析】【分析】（1）本题考查对方程组的应用能力，要注意由题中提炼出的两个等量关系，即所需劳动力的总和是24、所养殖的总亩数是1000，据此可列方程组解应用题；（2）设对虾10x 亩，大黄鱼10y 亩，蛏子10z 亩的收益为T ，则T=2x+8y+1.6z ，再根据实际问题，求出定义域，然后，由函数的单调性来求值即可．【详解】解：（1）根据题意，得1010101000(1)0.30.20.124(2)x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩解得，140240y x z x =-⎧⎨=-⎩∴y ＝140﹣2x ，z ＝x ﹣40．（2）设对虾10x 亩，大黄鱼10y 亩，蛏子10z 亩的收益为T ，则T ＝2x+8y+1.6z ①由（1）解得，140240y x z x =-⎧⎨=-⎩将其代入①并整理，得T ＝﹣12.4x+1056，∵0＜10x≤1000，即0＜x≤100，又∵01000100y z <⎧⎨<⎩……即01402100040100x x <-⎧⎨<-⎩…… 解得40≤x≤70，∵函数T ＝﹣12.4x+1056在[40，70]上是减函数，∴当x ＝40时，T 最大，∴y ＝140﹣2×40＝60，z ＝40﹣40＝0，10x ＝400，10y ＝600，10z ＝0，21．2. 【解析】【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】2221(1)121x x x x x x -÷-+--+， ＝2221(1)(1)(1)1x x x x x x ----÷-- ＝222211(1)21x x x x x x --⋅--+- ＝211121x x x -⋅-- ＝11x -，当1x === 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．22．12【解析】【分析】根据负整数指数幂和12 【详解】原式＝+12 ＝12． 【点睛】本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行加减运算．也考查了负整数指数幂以及特殊角的三角函数值．23．这个两位数恰好能被4整除的概率为13． 【解析】【分析】将可能出现的情况全部列举出来，一共12种可能，其中符合条件的只有4种可能即可求解【详解】画树状图如下：由树状图知共有12种等可能结果，其中这个两位数恰好能被4整除的有4种结果，所以这个两位数恰好能被4整除的概率为41123=． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率24．（1）y ＝﹣2t+96；（2）第14天时，销售利润最大，为578元；（3）a ＝2．【解析】【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值．【详解】解：（1）设一次函数为y ＝kt+b ，将（30，36）和（10，76）代入一次函数y ＝kt+b 中，有36307610k b k b=+⎧⎨=+⎩ 解得：．296k b =-⎧⎨=⎩故所求函数解析式为y ＝﹣2t+96；（2）设前20天日销售利润为W1元，后20天日销售利润为W2元．由W1＝（﹣2t+96）（14t+25﹣20）＝（﹣2t+96）（14t+5）＝﹣12t2+14t+480＝﹣12（t﹣14）2+578，∵1≤t≤20，∴当t＝14时，W1有最大值578（元）．由W2＝（﹣2t+96）（﹣12t+40﹣20）＝（﹣2t+96）（﹣12t+20）＝t2﹣88t+1920＝（t﹣44）2﹣16．∵21≤t≤40，此函数对称轴是t＝44，∴函数W2在21≤t≤40上，在对称轴左侧，随t的增大而减小．∴当t＝21时，W2有最大值为（21﹣44）2﹣16＝529﹣16＝513（元）．∵578＞513，故第14天时，销售利润最大，为578元；（3）由题意得：W＝（﹣2t+96）（14t+25﹣20﹣a）（1≤t≤20），配方得：W＝﹣12[t﹣2（a+7）]2+2（a﹣17）2（1≤t≤20）∵a为定值，而t＝18时，W最大，∴2（a+7）＝18，解得：a＝2【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．25．(1)10、10、11；(2)中位数和众数;(3)2200次【解析】【分析】（1）根据众数、中位数和平均数的定义分别求解可得；（2）由中位数和众数不受极端值影响可得答案；（3）用总人数乘以样本中居民的平均使用次数即可得.【详解】解：（1）这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是10102+＝10（次），众数为10次，平均数为015110415320110⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝11（次），故答案为：10、10、11；（2）把数据“20”看成了“30”，那么中位数，众数和平均数中不受影响的是中位数和众数，故答案为：中位数和众数．（3）估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数为200×11＝2200次．【点睛】本题考查的是平均数、众数、中位数的定义及其求法，牢记定义是关键.。
佛山市2019年中考数学试卷及答案(Word解析版)
广东省佛山市2019年中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）2．（3分）（2019•佛山）一个几何体的展开图如图，这个几何体是（）=1y=7．（3分）（2019•佛山）据佛山日报2019年4月4日报道，佛山市今年拟投入70亿元人民22若、若10．（3分）（2019•佛山）把24个边长为1的小正方体木块拼成一个长方体（要全部用完），二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）11．（3分）（2019•佛山）如图，线段的长度大约是 2.3（或2.4）厘米（精确到0.1厘米）．12．（3分）（2019•佛山）计算：（a3）2•a3=a9．13．（3分）（2019•佛山）不等式组的解集是x＜﹣6．，由14．（3分）（2019•佛山）如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α=75°．15．（3分）（2019•佛山）如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为O．以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是﹣2．OE=2解答：=π×﹣=2故答案为：﹣三、解答题（写出必要的解题步骤，另有要求的按要求作答，16～20题，每小题6分，21～23题，每小题6分，24题10分，25题11分，共75分）16．（6分）（2019•佛山）计算：÷2﹣1+•[2+（﹣）3]．÷）．17．（6分）（2019•佛山）解分式方程：=．18．（6分）（2019•佛山）一个不透明的袋里装有两个白球和三个红球，它们除颜色外其他都一样，（1）求“从袋中任意摸出一个球，摸出的一个球是白球”的概率；（2）直接写出“从袋中同时任意摸出两个球，摸出的两个球都是红球”的概率．；P=．19．（6分）（2019•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．ABAB=××==3cm20．（6分）（2019•佛山）函数y=2x+1的图象经过哪几个象限？（要求：不能直接写出答案，要有解题过程；注：“图象经过某象限”是指“图象上至少有一点在某象限内”．）（2）那一组数据比较稳定？=））﹣22．（8分）（2019•佛山）现有不等式的性质：①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；②在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变．请解决以下两个问题：（1）利用性质①比较2a与a的大小（a≠0）；（2）利用性质②比较2a与a的大小（a≠0）．23．（8分）（2019•佛山）利用二次函数的图象估计一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的近似根（精确到0.1）．=124．（10分）（2019•佛山）（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]（2）如图2，在▱ABCD中，对角线焦点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD 的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．若ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？BCAB BC CD×，=×=，++）由图可知，+++++25．（11分）（2019•佛山）我们把“按照某种理想化的要求（或实际可能应用的标准）来反映或概括的表现某一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是一个数学中的一个“模式”（我国著名数学家徐利治）．如图是一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题．等等．（1）如图，若B1B=30米，∠B1=22°，∠ABC=30°，求AC（精确到1）；（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，tan22°≈0.40，≈1.73）（2）如图2，若∠ABC=30°，B1B=AB，计算tan15°的值（保留准确值）；（3）直接写出tan7.5°的值．（注：若出现双重根式，则无需化简）ABC==C=﹣AB=x xC=x+x；BC=a C=2a+a=）==2）C=。
2019年山东省中考数学真题分类汇编 专题04 三角形 (解析版)
专题04 三角形一、选择题1．（2019山东枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°【答案】C ．【解析】解：如图，∵∠ACD ＝90°、∠F ＝45°， ∴∠CGF ＝∠DGB ＝45°，则∠α＝∠D +∠DGB ＝30°+45°＝75°，故选：C ．2．（2019山东淄博）如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD ＝∠B ．若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为（ ）A ．2aB ．52a C ．3a D ．72a 【答案】C ．【解析】解：∵∠CAD ＝∠B ，∠ACD ＝∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA ， ∴2()ACD BCAS AC SAB =，即14BCA a S =， 解得，△BCA 的面积为4a ，∴△ABD的面积为：4a﹣a＝3a，故选：C．3．（2019山东青岛）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】A．【解析】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD，∠AFB＝∠EFB，∵BF＝BF，∴△ABF∽△EBF（ASA），∴AF＝EF，AB＝BE，∴AD＝DE，∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，∴△ABD≌△EAD（SSS），∴∠BED＝∠BAD＝95°，∴∠ADE＝360°﹣95°﹣95°﹣35°＝145°，∴∠CDE＝180°﹣∠ADE＝35°，故选：A．4．（2019山东临沂）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B．【解析】解：∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，∴△ADE ≌△CFE （AAS ）， ∴AD ＝CF ＝3，∵AB ＝4，∴DB ＝AB ﹣AD ＝4﹣3＝1． 故选：B ．5．（2019山东枣庄）如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A ′B ′C ′的位置．已知△ABC 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA ′＝1，则A ′D 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．32【答案】B ．【解析】解：∵S △ABC ＝16、S △A ′EF ＝9，且AD 为BC 边的中线， ∴S △A ′DE ＝12S △A ′EF ＝92，S △ABD ＝12S △ABC ＝8， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A 'B 'C '， ∴A ′E ∥AB ， ∴△DA ′E ∽△DAB ，则2()A DE ABDS A D AD S''=，即2992()1816A D A D '=='+，解得A ′D ＝3或A ′D ＝﹣37（舍）， 故选：B ．6．（2019山东泰安）如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行km 至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为（ ）km ．A．B．C．D．【答案】B．【解析】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝，如图，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝，AB＝30km，∴AE＝BE＝2在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，BE＝，∴CE＝3∴AC＝AE+CE＝∴A，C两港之间的距离为（km，故选：B．7．（2019山东聊城）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，下列结论中错误的是（）A．AE+AF＝AC B．∠BEO+∠OFC＝180°C．OE+OF BC D．S四边形AEOF＝12S△ABC【答案】C．【解析】解：连接AO，如图所示．∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∠BAO＝∠ACO＝45°．∵∠EOA+∠AOF＝∠EOF＝90°，∠AOF+∠FOC＝∠AOC＝90°，∴∠EOA＝∠FOC．∴△EOA≌△FOC（ASA），∴EA＝FC，∴AE+AF＝AF+FC＝AC，选项A正确；∵∠B+∠BEO+∠EOB＝∠FOC+∠C+∠OFC＝180°，∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC＝180°﹣∠EOF＝90°，∴∠BEO+∠OFC＝180°，选项B正确；∵△EOA≌△FOC，∴S△EOA＝S△FOC，∴S四边形AEOF＝S△EOA+S△AOF＝S△FOC+S△AOF＝S△AOC＝12S△ABC，选项D正确．故选：C．8．（2019山东淄博）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．如图1，当CD ＝12AC 时，tan α1＝34； 如图2，当CD ＝13AC 时，tan α2＝512；如图3，当CD ＝14AC 时，tan α3＝724；……依此类推，当CD ＝11n +AC （n 为正整数）时，tan αn ＝ ．【答案】22122n n n++．【解答】解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n +1，分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n +1，2(21)12n +-，2(21)12n ++中的中间一个．∴tan αn ＝221(21)12n n ++-＝22122n n n++．故答案为：22122n n n++．9．（2019山东滨州）如图，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，OA ＞OC ，∠AOB ＝∠COD ＝40°，连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC ＝BD ；②∠AMB ＝40°；③OM 平分∠BOC ；④MO 平分∠BMC ．其中正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B ．【解析】解：∵∠AOB ＝∠COD ＝40°， ∴∠AOB +∠AOD ＝∠COD +∠AOD ， 即∠AOC ＝∠BOD ， ∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；∴∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，④正确；正确的个数有3个；故选：B．二、填空题10．（2019山东枣庄）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【答案】9.5．【解析】解：过D作DE⊥AB，∵在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53°， ∴∠ADE ＝53°，∵BC ＝DE ＝6m ， ∴AE ＝DE •tan53°≈6×1.33≈7.98m ，∴AB ＝AE +BE ＝AE +CD ＝7.98+1.5＝9.48m ≈9.5m ， 故答案为：9.511．（2019山东德州）如图，一架长为6米的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时测得∠ABO =70°，如果梯子的底端B 外移到D ，则梯子顶端A 下移到C ，这时又测得∠CDO =50°，那么AC 的长度约为 米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）【答案】1.02．【解析】解：由题意可得： ∵∠ABO =70°，AB =6m ，∴sin70°=6AO AOAB ≈0.94， 解得：AO =5.64（m ），∵∠CDO =50°，DC =6m ，∴sin50°=6CO≈0.77， 解得：CO =4.62（m ），则AC =5.64-4.62=1.02（m ）， 答：AC 的长度约为1.02米． 故答案为：1.02．12．（2019山东临沂）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则△ABC 的面积是 ．【答案】【解析】解：∵DC ⊥BC ，∴∠BCD ＝90°， ∵∠ACB ＝120°，∴∠ACD ＝30°， 延长CD 到H 使DH ＝CD ， ∵D 为AB 的中点，∴AD ＝BD ， ∴△ADH ≌△BCD （SAS ），∴AH ＝BC ＝4，∠H ＝∠BCD ＝90°，∵∠ACH ＝30°，∴CH ＝，∴CD ＝，∴△ABC 的面积＝2S △BCD ＝2×12×4×＝，故答案为：13．（2019山东枣庄）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点B ，C ，D 在同一直线上．若AB ＝2，则CD ＝ ．．【解析】解：如图，过点A 作AF ⊥BC 于F ， 在Rt △ABC 中，∠B ＝45°，∴BC AB＝，BF＝AF＝AB，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF∴CD＝BF+DF﹣BC﹣，．14．（2019山东聊城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，DE为△ABC的中位线，延长BC至F，使CF＝12BC，连接FE并延长交AB于点M．若BC＝a，则△FMB的周长为．【答案】92 a．【解析】解：在Rt△ABC中，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝2a，AC．∵DE是中位线，∴CE＝2a．在Rt△FEC中，利用勾股定理求出FE＝a，∴∠FEC＝30°．∴∠A＝∠AEM＝30°，∴EM＝AM．△FMB周长＝BF+FE+EM+BM＝BF+FE+AM+MB＝BF+FE+AB＝92 a．故答案为92 a．三、解答题15．（2019山东淄博）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E ＝∠C ．【答案】见解析【解析】证明：∵∠BAE ＝∠DAC ∴∠BAE +∠CAE ＝∠DAC +∠CAE ∴∠CAB ＝∠EAD ，且AB ＝AD ，AC ＝AE ∴△ABC ≌△ADE （SAS ）． ∴∠C ＝∠E ．16．（2019山东菏泽）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛B 位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达C 处，测得小岛B 位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC 的长．【答案】（﹣）海里． 【解析】解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由题意，得：∠BAD ＝60°，∠BCD ＝45°，AC ＝80， 在Rt △ADB 中，∠BAD ＝60°，∴tan60°＝BDAD，∴AD在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴BD＝CD，∴AC＝AD+CDBD＝80，∴BD＝120﹣∴BC BC＝﹣，答：BC的距离是（）海里．17．（2019山东聊城）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，CD部分），在起点A 处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4°（如图②所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00 1.41≈1.73）【答案】17米．【解析】解：设楼高CE为x米，∵在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴AE＝CE＝x，∵AB＝20，∴BE＝x﹣20，在Rt△CEB中，CE＝BE•tan63.4°≈2（x﹣20），∴2（x﹣20）＝x，解得：x＝40（米），在Rt△DAE中，DE＝AE tan30°＝40≈17（米），∴CD＝CE﹣DE＝40﹣3答：大楼部分楼体CD的高度约为17米．18．（2019山东临沂）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，求BD的长．【答案】km．【解析】解：作BE⊥AD于点E，∵∠CAB＝30°，AB＝4km，∴∠ABE＝60°，BE＝2km，∵∠ABD＝105°，∴∠EBD＝45°，∴∠EDB＝45°，∴BE＝DE＝2km，∴BD＝km，即BD的长是km．19．（2019山东潍坊）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD 的长．（结果保留根号）【答案】【解析】解：∵∠AEB＝90°，AB＝200，坡度为1∴tan∠ABE3=，∴∠ABE＝30°，∴AE＝12AB＝100，∵AC＝20，∴CE＝80，∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1：4，∴14CEDE=，即8014ED=，解得，ED＝320，∴CD=答：斜坡CD的长是20．（2019山东青岛）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向．已知CD＝120m，BD＝80m，求木栈道AB的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin32°≈1732，cos32°≈1720，tan32°≈58，sin42°≈2740，co s42°≈34，tan42°≈9 10）【答案】134米．【解析】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，则CE∥DF，∵AB∥CD，∴四边形CDFE是矩形，∴EF＝CD＝120，DF＝CE，在Rt△BDF中，∵∠BDF＝32°，BD＝80，∴DF＝cos32°•BD＝80×1720≈68，BF＝sin32°•BD＝80×1732≈852，∴BE＝EF﹣BF＝1552，在Rt△ACE中，∵∠ACE＝42°，CE＝DF＝68，∴AE＝CE•tan42°＝68×910＝3065，∴AB＝AE+BE＝1552+3065≈134m，答：木栈道AB的长度约为134m．21．（2019山东威海）如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝35，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．【答案】不会触碰到汽车货厢顶部，理由见解析．【解析】解：∵BH＝0.6米，sinα＝35，∴AB＝0.613sin5BHα==米，∴AH＝0.8米，∵AF＝FC＝2米，∴BF＝1米，作FJ⊥BG于点J，作EK⊥FJ于点K，∵EF＝FB＝AB＝1米，∠EKF＝∠FJB＝∠AHB＝90°，∠EFK＝∠FBJ＝∠ABH，∴△EFK≌△FBJ≌△ABH，∴EK＝FJ＝AH，BJ＝BH，∴BJ+EK＝0.6+0.8＝1.4＜2，∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．22．（2019山东菏泽）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如图1，连接BE，CD，BE的廷长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BP⊥CD；（2）如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P，若BC＝，AD＝3，求△PDE的面积．【答案】（1）见解析；（2）910． 【解析】解：（1）∵△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°．∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠BAC ﹣∠EAF ＝∠EAD ﹣∠EAF ， 即∠BAE ＝∠DAC ， ∴△ABE ≌△ADC （SAS ）， ∴∠ABE ＝∠ACD ，∵∠ABE +∠AFB ＝∠ABE +∠CFP ＝90°， ∴∠CPF ＝90°， ∴BP ⊥CD ；（2）在△ABE 与△ACD 中，90AE ADEAB CAB AB AC =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （SAS ）， ∴∠ABE ＝∠ACD ，BE ＝CD ， ∵∠PDB ＝∠ADC ， ∴∠BPD ＝∠CAB ＝90°， ∴∠EPD ＝90°， ∵BC ＝，AD ＝3， ∴DE ＝，AB ＝6， ∴BD ＝6﹣3＝3，CD=∵△BDP ∽△CDA ， ∴BD PD PBCD AD AC ==，36PD PB==， ∴PDPB∴PE ＝，∴△PDE 的面积＝1925510⨯⨯=． 23．（2019山东枣庄）在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且∠BMN ＝90°，当∠AMN ＝30°，AB ＝2时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且∠EDF ＝90°，求证：BE ＝AF ； （3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且∠BMN ＝90°，求证：AB +AN AM ．【答案】（1；（2）证明见解析；（3）见解析． 【解析】（1）解：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD ＝BD ＝DC ，∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∠BAD ＝∠CAD ＝45°，∵AB ＝2，∴AD ＝BD ＝DC ，∵∠AMN ＝30°，∴∠BMD ＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴∠MBD ＝30°，∴BM ＝2DM ，由勾股定理得，BM 2﹣DM 2＝BD 2，即（2DM ）2﹣DM 2）2，解得，DM ＝3，∴AM ＝AD ﹣DM ﹣3； （2）证明：∵AD ⊥BC ，∠EDF ＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA）∴BE＝AF；（3）证明：过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，∴∠AME＝90°，则AE AM，∠E＝45°，∴ME＝MA，∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，∴∠BME＝∠AMN，∴△BME≌△AMN（ASA），∴BE＝AN，∴AB+AN＝AB+BE＝AE AM．。
专题10 三角形问题(原卷版)
决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品【典例分析】【考点1】三角形基础知识【例1】（2019·浙江中考真题）若长度分别为,3,5a 的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．8【变式1-1】（2019·北京中考真题）如图，已知△ABC ，通过测量、计算得△ABC 的面积约为____cm 2.（结果保留一位小数）【变式1-2】（2019·山东中考真题）把一块含有45︒角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置(直角顶点在直尺的一条长边上)．若123∠=︒，则2∠=_______︒．【考点2】全等三角形的判定与性质的应用【例2】（2019·山东中考真题）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：2AB AN AM +=．【变式2-1】（2019·贵州中考真题）（1）如图①，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试判断AB ，AD ，DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE 交DC 的延长线于点F ，易证AEB FEC ∆∆≌得到AB FC =，从而把AB ，AD ，DC 转化在一个三角形中即可判断．AB ，AD ，DC 之间的等量关系________；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，AF 与DC 的延长线交于点F ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的平分线，试探究AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．【变式2-2】（2019·广西中考真题）如图，,AB AD BC DC ==，点E 在AC 上．（1）求证：AC 平分BAD ∠；（2）求证：BE DE =．【考点3】等腰三角形与等边三角形的判定与性质的应用【例3】（2019·浙江中考真题）如图，在ABC △中，AC AB BC .⑴已知线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点P ，连结AP ，求证：2APC B ；⑵以点B 为圆心，线段AB 的长为半径画弧，与BC 边交于点Q ，连结AQ ，若3AQC B ，求B 的度数.【变式3-1】（2019·辽宁中考真题）如图，ABC ∆是等边三角形，延长BC 到点D ，使CD AC =，连接AD ．若2AB =，则AD 的长为_____．【变式3-2】（2019·辽宁中考真题）如图，把三角形纸片折叠，使点A 、点C 都与点B 重合，折痕分别为EF ，DG ，得到60BDE ︒∠=，90BED ︒∠=，若2DE =，则FG 的长为_____．【考点4】直角三角形的性质【例4】（2019·宁夏中考真题）如图，在Rt ABC ∆中，090C ∠=，以顶点B 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交,AB BC 于点,M N ，再分别以点,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ．若30A ∠=，则BCD ABDS S ∆∆=_____．【变式4-1】（2019·黑龙江中考真题）一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当BDE ∆是直角三角形时，则CD 的长为_____．【变式4-2】（2019·河北中考真题）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A ，B ，C 三地的坐标，数据如图（单位：km ）．笔直铁路经过A ，B 两地．（1）A ，B 间的距离为______km ；（2）计划修一条从C 到铁路AB 的最短公路l ，并在l 上建一个维修站D ，使D 到A ，C 的距离相等，则C ，D 间的距离为______km ．【考点5】相似三角形的判定与性质的应用【例5】（2019·四川中考真题）如图，90ABD BCD ︒∠=∠=，DB 平分∠ADC ，过点B 作BM CD ‖交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ．（1）求证：2BD AD CD =⋅；（2）若68CD AD ==，，求MN 的长．【变式5-1】（2019·全国初三课时练习）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．【变式5-2】（2019·陕西中考模拟）大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园，全园标志性建筑一紫云楼为代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风范（如图①）．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“紫云楼”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在紫云楼影子的末端C点处竖立一根标杆CD，此时，小花测得标杆CD的影长CE＝2米，CD＝2米；然后，小风从C点沿BC方向走了5.4米，到达G处，在G处竖立标杆FG，接着沿BG后退到点M处时，恰好看见紫云楼顶端A，标杆顶端F在一条直线上，此时，小花测得GM＝0.6米，小风的眼睛到地面的距离HM＝1.5米，FG＝2米．如图②，已知AB⊥BM，CD⊥BM，FG⊥BM，HM⊥BM，请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的高AB．【考点6】锐角三角函数及其应用【例6】（2019·贵州中考真题）三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C在FD 的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是_____.【变式6-1】（2019·山东中考真题）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方AB便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡200米，坡度为1:3；将斜坡AB 的高度AE 降低20AC =米后，斜坡AB 改造为斜坡CD ，其坡度为1:4．求斜坡CD 的长．（结果保留根号）【变式6-2】（2019·海南中考真题）如图是某区域的平面示意图，码头A 在观测站B 的正东方向，码头A 的北偏西60︒方向上有一小岛C ，小岛C 在观测站B 的北偏西15︒方向上，码头A 到小岛C 的距离AC 为10海里．（1）填空：BAC ∠= 度，C ∠= 度；（2）求观测站B 到AC 的距离BP （结果保留根号）．【达标训练】1．（2019·河北中考真题）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2019·江苏中考真题）已知n 正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n ，则满足条件的n 的值有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个3．（2019·浙江中考真题）如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A ．24B ．30C ．36D ．424．（2019·湖北中考真题）通过如下尺规作图，能确定点D 是BC 边中点的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2019·广东中考真题）如图，矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线EF 分别交BC ，AD 于点E ，F ，若BE=3，AF=5，则AC 的长为（ ）A ．45B ．43C ．10D ．86．（2019·湖南中考真题）已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM ＝MN ＝2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形7．（2019·黑龙江中考真题）如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A =60°，则∠BEC 是（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°8．（2019·海南中考真题）如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，5AB =，4BC =．点P 是边AC 上一动点，过点P 作PQ AB ∥交BC 于点Q ，D 为线段PQ 的中点，当BD 平分ABC ∠时，AP 的长度为（ ）A ．813B ．1513C ．2513D ．32139．（2019·辽宁中考真题）如图，在CEF △中，80E ∠=︒，50F ∠=︒，ABCF ，AD CE ，连接BC ，CD ，则A ∠的度数是（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．80°10．（2019·四川中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BPC ∆是等边三角形，连接DP 并延长交CB 的延长线于点H ，连接BD 交PC 于点Q ，下列结论：①135BPD ︒∠=；②BDP HDB ∆∆∽；③:1:2DQ BQ =；④31BDP S ∆-=． 其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④11．（2019·辽宁中考真题）如图，AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD ∥BC ，∠B ＝32°，则∠C 的度数是（ ）A ．64°B ．32°C ．30°D ．40°12．（2019·青海中考真题）如图，////AD BE CF ，直线12l l 、与这三条平行线分别交于点、、A B C 和点D E F 、、．已知AB =1，BC =3，DE =1.2，则DF 的长为（ ）A ．3.6B ．4.8C ．5D ．5.213．（2019·辽宁中考真题）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，DE 是AB 的垂直平分线，AD 恰好平分∠BAC ．若DE ＝1，则BC 的长是_____．14．（2019·广西中考真题）如图，在ABC ∆中，1sin 3B =，2tan 2C =，3AB =，则AC 的长为_____．15．（2019·山东中考真题）如图，一架长为6米的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时测得70ABO ∠=︒，如果梯子的底端B 外移到D ，则梯子顶端A 下移到C ，这时又测得50CDO ∠=︒，那么AC 的长度约为______米．（sin700.94︒≈，sin500.77︒≈，cos700.34︒≈，cos500.64︒≈）16．（2019·山东中考真题）把两个同样大小含45︒角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点,,B C D 在同一直线上．若2AB =，则CD =____．17．（2019·湖北中考真题）如图，已知ABC DCB ∠=∠，添加下列条件中的一个：①A D ∠=∠，②AC DB =，③AB DC =，其中不能确定ABC ∆≌△DCB ∆的是_____（只填序号）．18．（2019·贵州中考真题）如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，且3BA =，4AC =，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM AB ⊥于点M ，DN AC ⊥于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为________．19．（2019·青海中考真题）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD 为_______米（结果保留根号）．20．（2019·山西中考真题）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm ，点D 为△ABC 内一点，∠BAD=15°，AD=6cm ，连接BD ，将△ABD 绕点A 逆时针方向旋转，使AB 与AC 重合，点D 的对应点E ，连接DE ，DE 交AC 于点F ，则CF 的长为________cm.21．（2019·北京中考真题）如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠∠＋＝_____°（点A ，B ，P 是网格线交点）.22．（2019·江苏中考真题）如图，△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE=CF ，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．23．（2019·江苏中考真题）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm ．24．（2019·湖南中考真题）已知∠AOB ＝60°，OC 是∠AOB 的平分线，点D 为OC 上一点，过D 作直线DE⊥OA ，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示．若DE ＝2，则DF ＝_____．25．（2019·山东中考真题）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.（一）猜测探究在ABC ∆中，AB AC =，M 是平面内任意一点，将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与BAC ∠相等的角度，得到线段AN ，连接NB ．（1）如图1，若M 是线段BC 上的任意一点，请直接写出NAB ∠与MAC ∠的数量关系是 ，NB 与MC 的数量关系是 ；（2）如图2，点E 是AB 延长线上点，若M 是CBE ∠内部射线BD 上任意一点，连接MC ，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在111A B C ∆中，118A B =，11160A B C ∠=，11175B A C ∠=，P 是11B C 上的任意点，连接1A P ，将1A P 绕点1A 按顺时针方向旋转75，得到线段1A Q ，连接1B Q ．求线段1B Q 长度的最小值． 26．（2019·四川中考真题）在△ABC 中，已知D 是BC 边的中点，G 是△ABC 的重心，过G 点的直线分别交AB 、AC 于点E 、F .（1）如图1，当EF ∥BC 时，求证：1BE CF AE AF+=； （2）如图2，当EF 和BC 不平行，且点E 、F 分别在线段AB 、AC 上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.（3）如图3，当点E 在AB 的延长线上或点F 在AC 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.27．（2019·辽宁中考真题）思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作CD ∥AB 交AP 的延长线于点D ，此时测得CD ＝200米，那么A ，B 间的距离是 米．思维探索：（2）在△ABC 和△ADE 中，AC ＝BC ，AE ＝DE ，且AE ＜AC ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在AC 边上时△ADE 的位置作为起始位置（此时点B 和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点P 是线段BD 的中点，连接PC ，PE ．①如图2，当△ADE 在起始位置时，猜想：PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是 ；②如图3，当α＝90°时，点D 落在AB 边上，请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论； ③当α＝150°时，若BC ＝3，DE ＝l ，请直接写出PC 2的值．28．（2019·湖北中考真题）在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB n BC=，M 是BC 上一点，连接AM （1）如图1，若1n =，N 是AB 延长线上一点，CN 与AM 垂直，求证：BM BN =（2）过点B 作BP AM ⊥，P 为垂足，连接CP 并延长交AB 于点Q .①如图2，若1n =，求证：CP BM PQ BQ=②如图3，若M 是BC 的中点，直接写出tan BPQ ∠的值（用含n 的式子表示）29．（2019·江苏中考真题）如图，已知等边△ABC 的边长为8，点P 是AB 边上的一个动点（与点A 、B 不重合），直线l 是经过点P 的一条直线，把△ABC 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B’.（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC 边上，则AB’的长度为_____；（2）如图2，当PB=5时，若直线l //AC ，则BB’的长度为 ；（3）如图3，点P 在AB 边上运动过程中，若直线l 始终垂直于AC ，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB=6时，在直线l 变化过程中，求△ACB’面积的最大值.30．（2019·四川中考真题）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH 和教学楼CG 的高，先在A 处用高1.5米的测角仪AF 测得古树顶端H 的仰角HFE ∠为45︒，此时教学楼顶端G 恰好在视线FH 上，再向前走10米到达B 处，又测得教学楼顶端G 的仰角GED ∠为60︒，点A 、B 、C 三点在同一水平线上．（1）求古树BH 的高；（2）求教学楼CG 的高．（参考数据：2 1.4,3 1.7==）31．（2019·江苏中考真题）如图，ABC ∆中，90C =∠，4AC =，8BC =．（1）用直尺和圆规作AB 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC 于点D ，求BD 的长．32．（2019·湖南中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，连接对角线AC ，延长AB 至点E ，使BE AB =，连接DE ，分别交BC ，AC 交于点F ，G ．(1)求证：BF CF =；(2)若6BC =，4DG =，求FG 的长．33．（2019·吉林中考真题）墙壁及淋浴花洒截面如图所示，已知花洒底座A 与地面的距离AB 为170cm ，花洒AC 的长为30cm ，与墙壁的夹角CAD ∠为43°．求花洒顶端C 到地面的距离CE （结果精确到1cm ）（参考数据：0sin 430.68=，0cos430.73=，0tan 430.93=）34．（2019·陕西中考真题）如图，点A ，E ，F 在直线l 上，AE=BF ，AC//BD ，且AC=BD ，求证：CF=DE35．（2019·辽宁中考真题）如图，A ，B 两市相距150km ，国家级风景区中心C 位于A 市北偏东60︒方向上，位于B 市北偏西45︒方向上．已知风景区是以点C 为圆心、50km 为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A ，B 两市的高速公路，高速公路AB 是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：3 1.73≈）36．（2019·重庆中考真题）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）若42C ︒∠=，求BAD ∠的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF AC 交AD 的延长线于点F ．求证：AE FE =．。
2019年北京中考数学习题精选：全等三角形
B D E CA 一、选择题1.（2018北京市东城区初二期末）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线。
此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得 △ABC ≌△ADC ，这样就有∠QAE=∠PAE. 则说明这两个三角形全等的依据是 A. SAS B. ASA C. AASD. SSS答案：D 2．（2018北京市海淀区八年级期末）如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，△ABD ≌△ACE ，其中B ，C 为对应顶点，D ，E 为对应顶点，下列结论不一定成立的是 A ．AC =CD B ．BE= CDC ．∠ADE=∠AED D ．∠BAE=∠CAD 答案：A3.（2018北京市平谷区初二期末）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB,则下图中共有几对全等三角形 A ．2 B.3 C ．4 D ．5答案：B二、填空题4.（2018北京市朝阳区初二年级第一学期期末）如图，在长方形ABCD 中， A F B D ，垂足为E ，AF 交BC 于点F ，连接DF ．图中有全等三角形 对，有面 积相等但不全等的三角形 对．答案：1,45．（2018北京市东城区初二期末）如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，已知BF =CE ，AC //DF ，请你添加一个适当的条件 使得△ABC ≌△DEF ．解：,AC DFABC FED=∠=∠或或A D∠=∠6.（2018北京市东城区初二期末）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B 的度数为_______．EB CA第15题图解：70°7、（2018北京市师达中学八年级第一学期第二次月考）8.（2018北京市怀柔区初二期末）如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是:__________(添加一个即可)．答案：AE=AD∠B=∠C∠BEA=∠CDA9.（2018北京市平谷区初二期末）如图，线段AE，BD交于点C，AB=DE，请你添加一个条件______________，使得△ABC≌△DEC．解：E A ∠=∠（或D B ∠=∠，或DE ∥AB )10．（2018北京市西城区八年级期末）如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB =DE ，∠B =∠DEF ．要使△ABC ≌△DEF ，则需要再添加的一个条件是 ．（写出一个即可）答案：答案不唯一．如：∠A =∠D11. （2018北京延庆区八年级第一学区期末）如图，AE ＝DF ，∠A ＝∠D ，欲证ΔACE ≌ΔDBF ，需要添加条件 ____________,证明全等的理由是________________________；答案：∠E=∠F 两角及夹边对应相等的两个三角形全等∠ECA=∠FBD 两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 AB=CD ,AC=BD, 两边及夹角对应相等的两个三角形全等 三 解答题12.（2018北京昌平区初二年级期末） 已知：如图，点A ，F ，C ，D 在同一条直线上，点B 和点E 在直线AD 的两侧，且AF ＝DC ，BC ∥FE ，∠A =∠D ．求证：AB =DE ．证明：∵BC ∥FE ，∴∠1 =∠2.…………………………………………… 1分∵AF=DC ， ∴AF+F C=DC+CF.∴AC =DF . ……………………………………………2分 在△ABC 和△DEF 中，12,,AC DF A D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩Q ， ………………………………………………………………… 3分 ∴△ABC ≌△DEF (ASA ). ……………………………………………………4分 ∴AB =DE . ……………………………………………………………5分ABCDF13.（2018北京昌平区初二年级期末） 如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF . （1）求证：△ABE ≌△CBF ；（2）若∠BAE =25°，求∠ACF 的度数．解：（1）证明：∵∠ABC =90°，∴∠CBF =180°-∠ABC = 90°. …………………… 1分 在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，∵.AE CF AB BC =⎧⎨=⎩，……………………………………… 2分 ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF .（HL ） ……………………………………… 3分（2）∵Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∠BAE =25°，∴∠BCF =∠BAE =25°. ………………………………………………… 4分 ∵△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，∴∠BAC =∠BCA =45°. …………………………………………………… 5分 ∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =70°. …………………………………………… 6分14．（2018北京市朝阳区初二期末）已知：如图，点A ，D ，C 在同一直线上，AB ∥CE ，AC CE =，B CDE ∠=∠．求证：BC DE =．证明：∵AB ∥CE ，∴=A DCE ∠∠ …………………………………………………1分在ABC ∆和CDE ∆中，B CDE ∠=∠, A DCE ∠=∠， AC CE =,∴ABC CDE ∆≅∆． ……………………………………………………4分 ∴BC DE =． ……………………………………………………………5分ABCFE EDCBA15．（2018北京市东城区初二期末）（5分）如图，点E ，F 在线段AB 上，且AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，AE ＝BF .求证：DF =CE.证明：∵点E ，F 在线段AB 上，AE ＝BF .， ∴AE +E F ＝BF +EF ， 即：AF ＝BE ．………1分 在△ADF 与△BCE 中，,,,AD BC A B AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩………3分 ∴△ADF ≌△BCE (SAS ) ………4分 ∴ DF=CE （全等三角形对应边相等）………5分16．（2018北京市丰台区初二期末）如图, △ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E ，F 为直线AD 上的点，连接BE ，C F ，且BE ∥CF . 求证：DE ＝DF ． 答案：17．（2018北京市丰台区初二期末）如图，△ABC 是等边三角形．点D 是BC 边上一动点，点E ，F 分别在AB ，AC 边上，连接AD ，DE ，DF ，且∠ADE =∠ADF ＝60°．小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE ＝AF ．小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：利用AD 是∠EDF 的角平分线，构造△ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．想法2：利用AD 是∠EDF 的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的DA BCF相关知识获证．想法3：将△ACD 绕点A 顺时针旋转至△ABG ，使得AC 和AB 重合，然后通过全等三角形的相关知识获证．…….请你参考上面的想法，帮助小明证明AE ＝AF ．（一种方法即可）答案： DAEFBC18．（2018北京市海淀区八年级期末）如图，A ，B ，C ，D 是同一条直线上的点，AC =BD ，AE ∥DF ，∠1=∠2．求证：BE = CF ． 证明：∵AC =AB +BC ，BD =BC +CD ，AC =BD ， ∴AB =DC ．---------------------------------------------1分 ∵AE ∥DF ，∴∠A =∠D ．-------------------------------------------2分 在△ABE 和△DCF 中，,,1=2,A D AB DC ∠=∠=∠∠⎧⎪⎨⎪⎩21E D FC B AF DC B A∴△ABE ≌△DCF ．---------------------------------------------------------------------3分 ∴BE =CF ．------------------------------------------------------------------------------4分19．（2018北京市怀柔区初二期末）如图，△ABC 中，D 为BC 边上一点，BE ⊥AD 的延长线于E ，CF ⊥AD 于F ，BE=CF.求证：D 为BC 的中点.证明：∵BE ⊥AD 的延长线于E ，CF ⊥AD 于F ，∴∠CFD=∠BED=90°. ………………… 1分 又∵BE=CF ，………………… 2分 ∠CDF=∠BDE ，………………… 3分∴△CDF ≌△BDE(AAS). ………………… 4分∴CD=BD.∴D 为BC 的中点. ………………… 5分20．（2018北京市怀柔区初二期末）如图，已知△ABC 中,∠ABC=45°,点D 是BC 边上一动点(与点B,C 不重合),点 E 与点D 关于直线AC 对称，连结AE ，过点B 作BF ⊥ED 的延长线于点F. （1）依题意补全图形；（2）当AE=BD 时，用等式表示线段DE 与BF 之间的数量关系，并证明.(1) 依题意补全图形如图所示：………………… 2分(2) DE=2BF ………………… 3分 证明：连接AD ………………… 4分 ∵点E 、D 关于AC 对称，E D B C∴AC 垂直平分DE.∴AE=AD. ………………… 5分 ∵AE=BD, ∴AD=DB.∴∠DAB=∠ABC=45°. ∴∠ADC=90°. ………………… 6分∴ ∠ADE+ ∠BDF=90°. ∵BF ⊥ED , AC ⊥ED, ∴∠F=∠AHD=90°.∴∠DBF+ ∠BDF=90°. ∴∠DBF=∠ADH .∴△ADH ≌△DBF. (7)分 ∴DH=BF. 又∵DH=EH,∴DE=2BF. ………………… 8分21．（2018北京市门头沟区八年级期末）已知：如图，∠BAC =∠DAC ．请添加一个条件 ，使得△ABC≌△ADC ，然后再加以证明．解：（1）添加条件正确；………………………………………………………………1分 （2）证明正确. ……………………………………………………………………5分22.（2018北京市平谷区初二期末）已知：如图，B ，A ，E 在同一直线上， AC ∥ BD ，AB BD =，ABC D ∠=∠．求证：AC=BE ．证明：∵AC ∥ BD∴DBE BAC ∠=∠ (1)在△ABC 和△BDE 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠D ABC BD AB DBE BAC (3)∴ABC ∆≌BDE ∆)(ASA .......................................4 ∴BE AC = (5)23.（2018北京市平谷区初二期末）随着几何部分的学习，小鹏对几何产生了浓厚的兴趣，他最喜欢利用手中的工具画图了.如图，作一个∠AOB ，以O 为圆心任意长为半径画弧分别交OA ，OB 于点C 和点D ，将一副三角板如图所示摆放，两个直角三角板的直角顶点分别落在点C 和点D ，直H EDBC BACDDAECBDAECB角边中分别有一边与角的两边重合，另两条直角边相交于点P ，连接OP ．小鹏通过观察和推理，得出结论：OP 平分∠AOB.你同意小鹏的观点吗？如果你同意小鹏的观点，试结合题意写出已知和求证，并证明。
中考数学几何模型专题专题三—三角形
专题三三角形模型8 “8字”形模型展现基础模型怎么用?1.找模型两条相交的线段构成含对顶角的两个三角形,简称“有交点，想8字”2.用模型“8字”型的实质是利用三角形内角和定理进行角度转化来解题∠结论分析结论1:∠A+∠B=∠C+∠D证明:AC与BD相交于点0 , 连接AB,CD,在∠ABO中,∠.A+∠B+∠.AOB= 180°在OCD0中，∠C+∠D+∠COD= 180°因为∠AOB=∠COD(对顶角相等),所以∠A+∠B=∠C+∠D.拓展延伸角度和相等,是解决角度转化的重要思想。
“8字”型虽简单,但往往在几何综合题中推导角度时用到.∠模型拓展典例小试例1如图,线段AB , CD,EF两两相交,交点分别为G,H,I,连接AC,BE,DF，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（）出现多个模型,分离模型,逐个计算A.180°B.360°C.540°D.720°考什么?对顶角相等,三角形的内角和例2如图,A,B,C,D,E是同一平面上的点,F是AB上一点,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠DFE的度数是( )试着转化到一个四边形中,利用内角和求解A.180°B.360°C.540°D.720°考什么?对顶角相等,四边形的内角和思路点拨“8字”型能得到角度和的关系,在题目未给出具体角度的情况下,考虑将所求角度和转化到同一个多边形中,再利用多边形内角和求解.实战演练1.如图,AB∠BD,AC∠CD,∠A=30°,则∠.D的度数为____.2.一副三角板如图摆放,其中一块三角板的直角边EF落在另.一块三角板的斜边AC上,边BC与DF交于点0,则∠BOD的度数是____。
模型9 “燕尾”型模型展现基础模型怎么用?1．找模型遇到凹四边形的角度问题，考虑用“燕尾”型基础模型1 2.用模型通过“燕尾”型把“凹”的角转换成三个内角之和结论分析结论1:∠BDC=∠A+∠B+∠C证法1:如解图,延长BD交AC于点E.∠∠BEC是∠ABE的外角∠∠BEC=∠A+∠B又∠∠BDC是∠CDE的外角，∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C证法2:如解图，连接AD并延长，则∠1=∠B+∠3,∠2=∠C+∠4，∠BDC=∠1+∠2=∠B+∠3+∠C+∠4=∠A+∠B+∠C.∠∠BDC=∠A+∠B+∠C.结论2:AB+AC>BD+CD证明:如解图,延长BD交AC于点E，则AB+AE>BD+DE , DE+CE>CD，∠AC=AE+CE，∠AB+AC=AB+AE+CE>BD+DE+CE>BD+CD.巧学巧记简记:“凹角等于凸角之和”.拓展延伸也可以连接BC,使用三角形内角和定理来证明,同学们可以试试哦.:AOBAOCS S BD =:AOB COBS S AE =:BOC AOCSSBF =怎么用? 1．找模型遇到共边的两个三角形的面积相关问题,考虑用“燕尾”型基础模型2 2.用模型通过模型将面积问题转化为边的问题 满分技法燕尾相邻的两个三角形共底不等高,常根据三角形的面积公式“12×底×高”可推导“共底不等高”的三角形的面积比即为应高的比. 结论分析 结论3:∠::;AOBAOCSSBD CD =证明:如解图,分别过点B ,C 作 BH , CG 垂直于AD 交于点H , G ,在∠ABC 中,∠11,,22AOBAOCSAO BH S AO CG ==∠11:::,22AOB AOCSSAO BH AO CG BH CG ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在∠BHD 和∠CGD 中，∠BHD =∠CGD =90°，∠BDH =∠CDG ， ∠∠BHD ∠∠CGD ，∠BH BDCG CD =， ∠::.AOBAOCSSBD CD =典例小试例1如图，已知点D ,E 分别在∠ABC 的边AB ,AC 上，将∠A 沿DE 折叠 （点拨：折叠产生相等的角）使点A 落在点F 的位置，已知∠A =50°（点拨：∠F =50°），∠1=130°，则∠2的度数为（ ） A .130° B .120° C .150° D .140°考什么?三角形外角的性质,折叠的性质思路点拨 折叠产生三角形全等，即ADE FDE ∆≅∆例2(2021河北)如图是可调躺椅示意图(数据如图),AE 与BD 的交点为C ,且∠A ,∠B ,∠E 保持不变.为了舒适,需调整∠D 的大小（点拨：先分析哪个角的大小随着D 点变化）,使∠EFD =110°，则图中∠D 应(填“增加”或“减少”)____度.考什么?三角形的内角和,对顶角相等实战实演1．将一副直角三角板如图放置,使两直角边重合,则∠1的度数为 （） A .75° B .105° C .135° D .165°2.如图,是一块不规则的纸片,∠ABC =∠DEF = 80°,则∠A +∠C +∠D +∠F 的度数为( )A . 80°B . 160°C .240°D . 360°3.如图,∠A = 45°, ∠BDC = 135°，∠ABE =13∠ABD ，∠ACE =13∠ACD ,则∠BEC 的度数是（ ）A . 30°B .45°C .75°D .90°4．如图,矩形ABCD 中,点E ,F 分别是边AB ,BC 的中点,连接AF ,CE 交于点G ,若矩形ABCD 的面积为3,则四边形AGCD 的面积为________5.如图,在∠ABC 中,点 D ,E 分别在BC ,AC 边上,AD 与BE 交于点F ,若CD =3BD ,EC =4AE ,四边形CDFE 的面积是10,则∠ABC 的面积为________模型10 “风筝”型模型展现基础模型怎么用?1.找模型三角形折叠或者在角内部的角容易产生“风筝”型2.用模型三角形外角性质是解决问题的关键结论分析结论1:∠DBF+∠ECF= ∠A+∠F证明:如解图,连接AF，∠∠DBF是∠ABF的外角，∠∠DBF=∠BAF+∠BF A.∠∠FCE是∠ACF的外角，∠∠FCE=∠CAF+∠CF A，∠∠DBF+∠FCE=∠BAF+∠BF A+∠CAF+∠CF A=∠BAC+∠BFC，即∠DBF+∠ECF= ∠BAC+∠BFC.怎么用?1．找模型遇到与四边形(含对角线)相关的面积问题,考虑用“风筝”型2.用模型共边三角形面积问题可转化为线段问题例1如图,已知点D,E分别在∠ABC的边AB,AC上,将∠A沿DE 折叠(注：折叠性质产生相等的角,且有“风筝”型),使点A落在BC上,对应点为F,已知∠B=50°,∠C=60°,则么∠1+∠2的度数为（）A.100°B. 120°C. 140°D. 135°例2如图,∠ABC中,AB=BC,(等腰三角形)延长AB,AC至点D,E,点F是∠DAE内部一点,连接BF,CF.若∠ABC= 40°，∠F= 50°则∠DBF+∠ECF(寻找与求解有关的角度关系)的度数为（）A. 90°B. 100°C. 110°D. 120°实战实演1.如图,在平行四边形ABCD中,∠B= 50°,点E是BC上一点,将∠ABE沿边AE翻折得到∠AFE,延长BA至点M.若∠FEC=70°,则∠MAF的度数为（）A. 20° B．30° C. 40° D. 50°2.如图,在等边∠ABC中,点D 、E 分别是AB, BC边上一点,把∠BDE沿DE 折叠,使点B落在点B'处, DB', EB'分别交边AC于点F、G ,若∠ADF=70°,则∠AGE的度数为.3.如图,在四边形ABCD中,点E, F分别是AD, BC上的点,将四边形ABCD 沿直线EF折叠,若∠A =130°, ∠B =110°,则∠1+∠2的度数为.4.如图,在四边形ABCD中,对角线AC , BD相交于点E ,∠ADE , ∠ABE ,∠CDE 的面积分别为2,3,4,则∠BCE的面积为, AE : CE的值为.5.如图,平行四边形ABCD 的对角线交于点O,点E , F分别在BC , CD上,连接EF交OC于点G ,连接OE , OF , S∠OEF= S∠ODF =2S∠CEF, S∠BOE =6,则∠OCF的面积为；∠GCE的面为.模型11 角平分线模型模型展现基础模型结论分析结论: P A = PB , OA = OB , ∠APO = ∠BPO 证明:OP 平分∠MON , ∠∠AOP = ∠BOP ,在∠AOP 和∠BOP 中,90AOP BOPOAP OBP OPOP ∠＝∠∠＝∠＝＝∠∠AOP ∠∠BOP ,∠P A = PB , OA = OB , ∠APO = ∠BPO .怎么用? 1.找模型遇到图形中含角平分线,考虑用角平分线模型 2.用模型一般直接用角平分线的性质,或者构造等腰三角形或全等三角形解决线段和角度问题模型拓展满分技法角平分线性质:角平分线上的点到角两边的距离相等.碰到角平分线,常需要截相等线段来构造三角形全等或者作平行线产生等腰三角形来解决问题.例1(2021青海)如图,在四边形ABCD中, ∠A =90°, AD=3,BC=5,对角线BD平分∠ABC（点拨:考虑角平分线的性质）,则∠BCD 的面积为A .8B .7.5 C.15 D .无法确定考什么?角平分线的性质,三角形的面积计算公式思路点拨已知角平分线+边的垂直(直角),考虑作垂直,应用角平分线上的点到角两边的距离相等.例2(2019青岛)如图,BD是∠ ABC的角平分线, AE∠BD（点拨：角平分线的垂线产生全等），垂足为 F .若∠ABC =35°, ∠C =50°,则∠CDE 的度数为A .35°B .40°C .45°D .50°考什么?角平分线的性质,三角形的内角和,全等三角形的判定与性质,三角形的内外角关系,等腰三角形的性质思路点拨已知角平分线+角平分线的垂线,构造出等腰三角形.例3如图,已知∠ABC的平分线交AC于点E ,过点E作DE∠BC（点拨：过角平分线上的点作平行线产生等腰三角形及角相等）,交AB于点D.若∠A =70°, ∠AED =50°, BD =2,则BE长为.考什么?角平分线的性质,平行线的性质,三角形的内角和,等腰三角形的判定与性质,特殊角的三角函数值思路点拨已知角平分线+平行线,构造出等腰三角形.实战演练1.如图,已知三角形ABC 中, ∠ABC =60°, BD 是∠ABC的平分线, CE ∠AB于点E ,交BD于点F,若EF =4,则FC 的长为.2.如图,在∠ABC中, BD平分∠ABC,以点B为圆心,AB长为半径画弧,交BC于点E,连接DE,已知∠A=70° ,则∠CED的度数为______.3.如图,在∠ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,CF平分∠ACB，交DE于点F,若AC=10,BC=12,则DF的长为________.4.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别是BC,CD上的点,连接EF,AE,AF,若AE,AF恰好平分∠BEF,∠DFE.(1)则∠EAF的度数为__________;(2)求证:四边形ABCD是正方形;(3)若BE=EC=3,则DF的长为________.模型12 双角平分线模型模型展现基础模型111怎么用?1. 找模型三角形中,遇到两角平分线，考虑用双角平分线模型2.用模型通过三角形的内角和,内外角关系及角平分线的性质，建立两角之间的数量关系结论分析结论1:∠D=90°+12∠A证明:∠ BD平分∠ABC,CD平分∠ACB∠∠DBC=12∠ABC,∠DCB=12∠ACB∠∠D= 180°-(∠DBC+∠DCB)= 180°-(12∠ABC+12∠ACB)=180°-12(∠ABC+∠ACB)= 180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A拓展延伸结论2的证明同学们可参考结论1和结论3,利用三角形的内外角关系进行证明.结论3：∠D =90°-12∠A证明:∠BD平分∠EBC,CD平分∠FCB，∠∠DBC=12∠EBC,∠DCB=12∠FCB，∠∠D= 180°-(∠DBC+∠DCB)= 180°-(12∠EBC +12∠FCB)= 180°-12(∠ACB+∠A+∠ABC+∠A)= 180°-12( 180°+∠A )= 90°-12∠A.模型拓展333111满分技法若将角平分线改为三等分角线,同样根据三角形的内角和及角度的倍数关系求解.典例小试例1 如图,在∠ABC中,∠ B=40°,CD∠AB于点D,∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E（结合图形可知是双内角平分线型），则∠E的度数为（)A.105°B.110°C.140°D.145°考什么?角平分线的性质,三角形的内角和万唯中考几何模型例2如图,在四边形ABCD中，∠DAB的平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=210°,则∠P=（）A. 10°B.15° C．30° D.40°考什么?角平分线的性质,三角形外角的性质,三角形的内角和思路点拨结合图形可知两角平分线分别为内角、外角平分线,根据“一内一外”角平分线结论求解即可.实战实演1.如图,在∠ABC中, ∠C= 110°，AE平分∠DAB,延长EA,交∠ABC的平分线于点F,则∠F= 。
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中考数学专题---- 之三角板拼图一．选择题（共5小题）1．（2011•乐山）如图，直角三角板ABC的斜边AB=12cm，∠A=30°，将三角板ABC绕C顺时针旋转90°至三角板A'B'C'的位置后，再沿CB方向向左平移，使点B'落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板A'B'C'平移的距离为（）2题图A．6cm B．4cm C．（6﹣）cm D．（）cm2．（2011•昭通）将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．85°3．（2012•聊城）将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（）A．75°B．90°C．105°D．120°4．如图，桌面上叠放着一块三角板和一把直尺，将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，若∠1=46°．则∠2等于（）A44°B46°C54°D56°5．把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α=（）A75°B165°C135°D150°二．填空题（共18小题）6．如图，一副三角板拼成如图所示，则∠BAC=_________°．6题7．一副三角板，如图所示放置，则∠ABD=_________．8题8．一副三角板，已知细长三角板的一条直角边长度是3，等腰直角三角板的直角边长度为2，两个三角板如图叠放在一起，求图中α的度数是_________．9．将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积之比A1：A2等于_________．9题10题11题12题10．（2007•江苏）用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为_________度．11．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的余角的度数是_________．12．将一副三角板如图所示摆放（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中∠α=_________度．13．今有一副三角板（如图1），中间各有一个直径为4cm的圆洞，现将三角板a的30°角的那一头插入三角板b 的圆洞内（如图2），则三角板a通过三角板b的圆洞的那一部分的最大面积为_________cm2．（不计三角板的厚度，精确到0.1cm2）14．一副三角板如图摆放，若∠AGB=90°，则∠AFE=_________度．14题15题16题17题15．一副三角板如图所示放置，直角顶点重合，斜边在同一条直线上，则∠CAD=_________°．16．（2009•聊城）一副三角板，如图所示叠放在一起，则∠α的度数是_________度．17．把一副三角板如图所示拼在一起，那么图中∠EBC=_________°．18．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则∠α等于_________°．18题图19题图20题图19．将一副三角板按如图所示摆放在一起，连接DA，则tan∠BDA的值是_________．20．将一副三角板如图放置，使等腰直角三角板DEF的锐角顶点D放在另一块直角三角板（∠B=60°）的斜边AB上，两块三角板的直角边交于点M．如果∠BDE=70°，那么∠AMD的度数是_________．21．如图，将两块三角板放在一起，则∠α=_________度．21题图22题图23题图22．如图，是一副三角板重叠而成的图形，则∠AOD+∠BOC=_________°．23．一副三角板如图所示放置，则∠α+∠β=_________度．三．解答题（共7小题）24．三角板如图所示放置，在图上加弧线的角为多少度？25．将一副直角三角板按如图放置，使含30°角的三角板的短边与含45°的三角板的一条直角边重合，求∠AGD 的度数．26．把含30°角的三角板ABC，绕点B逆时针旋转90°到三角板DBE位置（如图所示），求sin∠ADE的值．27．如图，是一副三角板拼成的图案，求∠ADC，∠FEC，∠EFC，∠CFA．28．两个大小不同的等腰直角三角板，如图1所示：1）若两个等腰直角三角板如图2放置，求证：EC⊥BD．（2）若两个等腰直角三角板如图3放置，使B、C、D在同一条直线上，连接EC交AD于点M，你认为EC与BD是否仍然垂直？请说明理由．29．现有一副直角三角板，按下列要求摆放：（1）如图1，固定等腰直角三角板ABC，AO⊥BC于点O，另一个直角三角板DEF的直角顶点D与点O重合，现让三角板DEF绕点O旋转，使DF、DE分别交AB、AC于点M、N，试求的值；（2）如图2，交换两块直角三角板的位置，固定直角三角板ABC，AO⊥BC于点O，另一个等腰直角三角板DEF 的直角顶点D与点O重合，DF、DE分别交AB、AC于点M、N，试求出的值．30．在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠B=90°，将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别与边AB、BC或其延长线上交于D、E两点（假设三角板的两直角边足够长），如图（1）、图（2）表示三角板旋转过程中的两种情形．（1）直角三角板绕点P旋转过程中，当BE=_________时，△PEC是等腰三角形；（2）直角三角板绕点P旋转到图（1）的情形时，求证：PD=PE；（3）如图（3），若将直角三角板的直角顶点放在斜边AC的点M处，设AM：MC=m：n（m、n为正数），试判断MD、ME的数量关系，并说明理由．中考数学专题---之三角板拼图参考答案一．选择题（共5小题）1．C 2. C 3.C 4. A 5. B二．填空题（共18小题）6．105°．7．∠ABD=75°．8．120°．9．A1：A2等于2：．10．α为22度．11．15°．12．75度．13．14.9cm2．14．105度．15．∠CAD=75°．16．∠α105度．17．∠EBC=105°．18．75°．19．20．85°．21．∠α=165度．22．180°．23．∠α+∠β=90度．三．解答题（共7小题）24．三角板如图所示放置，在图上加弧线的角为多少度？解：（1）根据图象知：图上加弧线的角为：45°+30°=75°（2）根据图象知：图上加弧线的角为：45°﹣30°=15°25．将一副直角三角板按如图放置，使含30°角的三角板的短边与含45°的三角板的一条直角边重合，求∠AGD 的度数．解：根据题意知，∠F=30°，∠DCF=90°，∠D=45°．∵∠FIC=90°﹣∠F=60°，∠DIG=∠FIC，∠AGD=∠D+∠DIG，∴∠AGD=∠D+∠FIC=45°+60°=105°，即∠AGD的度数是105度26．把含30°角的三角板ABC，绕点B逆时针旋转90°到三角板DBE位置（如图所示），求sin∠ADE的值．解：过点E作EF⊥AD，且交AD于点F；设BD=x，则AB=x，BE=x，AD=x；在Rt△AEF中，AE=x﹣x=x；易得EF=•AE=x；则AF=EF=x，在Rt△DEF中，根据三角函数的定义可得：sin∠ADE==；答：sin∠ADE的值为27．如图，是一副三角板拼成的图案，求∠ADC，∠FEC，∠EFC，∠CFA．故答案为：45°，15°，75°，105°．28．两个大小不同的等腰直角三角板，如图1所示：（1）若两个等腰直角三角板如图2放置，求证：EC⊥BD．（2）若两个等腰直角三角板如图3放置，使B、C、D在同一条直线上，连接EC交AD于点M，你认为EC与BD是否仍然垂直？请说明理由．（1）证明：∵△EAD和△MAB是等腰直角三角形，∴AE=AD，AM=AB，∠EAD=∠MAB=90°，在△EAM和△DAB中∴△EAM≌△DAB（SAS），∴∠AEM=∠ADB，∵∠DAB=90°，∴∠DBA+∠ADB=90°，∴∠DBA+∠MEA=90°，∴∠ECB=180°﹣90°=90°，∴EC⊥BD；（2）解：EC⊥BD，理由是：∵△EAD和△CAB是等腰直角三角形，∴AE=AD，AC=AB，∠EAD=∠CAB=90°，∴∠EAM+∠DAC=∠BCA+∠DAC，∴∠EAC=∠BAD，在△EAC和△DAB中∴△EAC≌△DAB（SAS），∴∠CEA=∠ADB，∵∠EAM=90°，∴∠CEA+∠EMA=90°，∵∠EMA=∠DMC，∴∠DMC+∠BDA=90°，∴∠ECD=180°﹣90°=90°，∴EC⊥BD．29．现有一副直角三角板，按下列要求摆放：（1）如图1，固定等腰直角三角板ABC，AO⊥BC于点O，另一个直角三角板DEF的直角顶点D与点O重合，现让三角板DEF绕点O旋转，使DF、DE分别交AB、AC于点M、N，试求的值；（2）如图2，交换两块直角三角板的位置，固定直角三角板ABC，AO⊥BC于点O，另一个等腰直角三角板DEF 的直角顶点D与点O重合，DF、DE分别交AB、AC于点M、N，试求出的值．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴OA=OB，∠OAN=∠B=45°；又∵∠BOM=∠AON=90°﹣∠AOM，∴△MBO≌△NAO，∴AN：BM=1：1=1．（2）Rt△ABC中，AO⊥BC，则∠NAO=∠MBO，又∵∠BOM=90°﹣∠AOM，∠AON=90°﹣∠AOM∴∠BOM=∠AON∴△MBO∽△NAO，∴AN：BM=AO：BO=tan∠B=tan60°=30．在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠B=90°，将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别与边AB、BC或其延长线上交于D、E两点（假设三角板的两直角边足够长），如图（1）、图（2）表示三角板旋转过程中的两种情形．（1）直角三角板绕点P旋转过程中，当BE=0、2或4±2时，△PEC是等腰三角形；（2）直角三角板绕点P旋转到图（1）的情形时，求证：PD=PE；（3）如图（3），若将直角三角板的直角顶点放在斜边AC的点M处，设AM：MC=m：n（m、n为正数），试判断MD、ME的数量关系，并说明理由．（1）解：当BE=0时，即点B和点E重合，故可知△PEC是等腰三角形，当BE=2时，即E是BC的中点，可得△PEC是等腰三角形由题干条件知PC=2，当CP=CE时△PEC是等腰三角形，BE=4﹣2；当E在BC的延长线上时，CE=CP，△PEC是等腰三角形，BE=4+2；故答案为0、2或4±2．（2）证明：连接BP．∵AB=BC 且∠ABC=90°，∴∠C=45°，又∵P是AC中点，∴BP⊥AC，BP=PC 且∠ABP=∠CBP=45°，∴∠CPE+∠EPB=90°，∵DP⊥PE，∴∠BPD+∠EPB=90°，∴∠BPD=∠CPE，在△DPB和△EPC中∵，∴△DPB≌△EPC，∴PD=PE，（3）解：MD、ME的数量关系是：，理由如下：过M分别作AB、BC的垂线，垂足分别为G、H．由作图知，∠MGA=∠MGB=∠MHB=∠MHE=90°又∵∠B=90°，∴∠GMH=90°，∴∠GMD+∠DMH=90°，∵∠DMH+∠HME=90°，∴∠GMD=∠HME∴△MGD∽△MHE，∴①，∵，∴，∵∠MGA=∠B=90°，∴GM∥BC，∴即②同理，∵AB=BC，∴③②③代入①得．。