平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第1讲 偏好、效用与消费者的基本问题)-推荐下载
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(策略性博弈与纳什均衡)
第10讲 策略性博弈与纳什均衡1．假设厂商A 与厂商B 的平均成本与边际成本都是常数，10A MC =，8B MC =，对厂商产出的需求函数是50020D Q p =-（1）如果厂商进行Bertrand 竞争，在纳什均衡下的市场价格是多少？ （2）每个厂商的利润分别为多少？ （3）这个均衡是帕累托有效吗？解：（1）如果厂商进行Bertrand 竞争，纳什均衡下的市场价格是10B p ε=-，10A p =，其中ε是一个极小的正数。
理由如下：假设均衡时厂商A 和B 对产品的定价分别为A p 和B p ，那么必有10A p ≥，8B p ≥，即厂商的价格一定要高于产品的平均成本。
其次，达到均衡时，A p 和B p 都不会严格大于10。
否则，价格高的厂商只需要把自己的价格降得比对手略低，它就可以获得整个市场，从而提高自己的利润。
所以均衡价格一定满足10A p ≤，10B p ≤。
但是由于A p 的下限也是10，所以均衡时10A p =。
给定10A p =，厂商B 的最优选择是令10B p ε=-，这里ε是一个介于0到2之间的正数，这时厂商B 可以获得整个市场的消费者。
综上可知，均衡时的价格为10A p =，10B p ε=-。
（2）由于厂商A 的价格严格高于厂商B 的价格，所以厂商A 的销售量为零，从而利润也是零。
下面来确定厂商B 的销售量，此时厂商B 是市场上的垄断者，它的利润最大化问题为：max pq cq ε>- ①其中10p ε=-，()5002010q ε=-⨯-，把这两个式子代入①式中，得到：()()0max 1085002010εεε>----⎡⎤⎣⎦解得0ε=，由于ε必须严格大于零，这就意味着ε可以取一个任意小的正数，所以厂商B 的利润为：()()500201010εε-⨯--⎡⎤⎣⎦。
（3）这个结果不是帕累托有效的。
因为厂商B 的产品的价格高于它的边际成本，所以如果厂商B 和消费者可以为额外1单位的产品协商一个介于8到10ε-之间的价格，那么厂商B 的利润和消费者的剩余就都可以得到提高，同时又不损害厂商A 的剩余（因为A 的利润还是零）。
平新乔课后习题详解(第1讲--偏好、效用与消费者的基本问题)
平新乔《微观经济学十八讲》第1讲 偏好、效用与消费者的基本问题跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．根据下面的描述，画出消费者的无差异曲线。
对于（2）和（3）题，写出效用函数。
（1）王力喜欢喝汽水x ，但是厌恶吃冰棍y 。
（2）李楠既喜欢喝汽水x ，又喜欢吃冰棍y ，但她认为三杯汽水和两根冰棍是无差异的。
（3）萧峰有个习惯，他每喝一杯汽水x 就要吃两根冰棍y ，当然汽水和冰棍对他而言是多多益善。
（4）杨琳对于有无汽水x 喝毫不在意，但她喜欢吃冰棍y 。
答：（1）根据题意，对王力而言，冰棒是厌恶品，相应的无差异曲线如图1-1所示（图中箭头表示更高的效用方向）。
图1-1 喜欢喝汽水厌恶吃冰棍（2）根据题意，对李楠而言，汽水和冰棒是完全替代品，其效用函数为(),23u x y x y =+，相应的无差异曲线如图1-2所示。
图1-2 既喜欢喝汽水又喜欢吃冰棍（3）消费者对这两种商品的效用函数为(),min ,2y u x y x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，如图1-3所示。
图1-3 喝一杯汽水就要吃两根冰棍（4）如图1-4所示，其中x 为中性品。
图1-4 对于有无汽水喝毫不在意2．作图：如果一个人的效用函数为(){}1212,max ,u x x x x =（1）请画出三条无差异曲线。
（2）如果11p =，22p =，10y =。
请在图1-5上找出该消费者的最优消费组合。
答：（1）由效用函数画出的三条无差异曲线如图1-5所示。
图1-5 无差异曲线和最优点（2）效用函数确定了消费者的最优选择必定是落在便宜的商品上，即他会将所有收入都用于购买相对便宜的商品，最优点如图1-5中的A 点所示，在该点此人消费10个单位的1x ，0个单位的2x 。
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(一般均衡与福利经济学的两个基本定理)
第16讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理1．考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下()()211212,u x x x x = ()118,4e = ()()()21212,ln 2ln u x x x x =+ ()23,6e =（1）描绘出帕累托有效集的特征（写出该集的特征函数式）； （2）发现瓦尔拉斯均衡。
解：（1）由消费者1的效用函数()()211212,u x x x x =，可得121122MU x x =，122122MU x x =，故消费者1的边际替代率为1211112212121212122MU x x x MRS MU x x x ===。
同理可得消费者2的边际替代率为22212212x MRS x =。
在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即：121212MRS MRS = 从而有：122212112x x x x = ① 又因为212210x x =-，211121x x =-，把这两个式子代入①式中，就得到了帕累托有效集的特征函数：1122111110422x x x x -=- ② （2）由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点②式一定成立。
此外在均衡点处，预算线和无差异曲线相切（如图16-1所示），这就意味着边际替代率等于预算线的斜率，即：1112121211211418x p x MRS p x x -===- ③联立②、③两式，解得：1158/4x =，1258/11x =。
进而有21112126/4x x =-=，21221052/11x x =-=。
图16-1 均衡时边际替代率等于预算线的斜率2．证明：一个有n 种商品的经济，如果（1n -）个商品市场上已经实现了均衡，则第n 个市场必定出清。
证明：假设第k 种商品的价格为k p ，{}1,2,,k n ∈。
系统内存在I （I 为正整数）个消费者，第i 个消费者拥有第k 种物品的初始禀赋为ik e ，而第i 个消费者对第k 种商品的消费量为k i x ，根据瓦尔拉斯定律可知系统中的超额的市场价值为零，即：()10ni ik k k k i Ii Ip x e =∈∈-=∑∑∑当前1n -个商品市场已经实现均衡，即前1n -个商品市场的超额需求为零，这时有：()()()11n i i i ik k k n k k k i Ii Ii Ii Ii i nkki Ii Ii i k ki Ii Ip x e p x e p x e x e -=∈∈∈∈∈∈∈∈-+-=∑∑∑∑∑-=∑∑=∑∑由此就可以得出第n 个市场的超额需求也为零，即第n 个商品市场也实现了均衡。
平新乔微观经济学第18讲
者绿色上凸区域加黄色缺角矩形区域面积）；
（张五常 佃农理论 商务印书馆 第三章）
而事实上，当以上的每项契约的达成都是需要交易成本的，比如商定和执行合约条款 的费用、对条款中的数值标准的测定、以及双方在商定之前收集信息所需要的费用、在合 约中的产权的全部或者是部分转让、以及在生产中各种投入要素的相互协调所要的花费成 本等等；
3、生产总成本为企业所有员工（人数×每人工资）的工资与每单位产量的平均成本：
18-10-6 12/13/2005 9:48:54 PM
第十八讲 企业的性质、边界与产权
m
∑ C(Q) = si−1 ⋅ (β m−iwO ) + γ ⋅ Q i =1
m
∑ C(Q) = wO ⋅ si−1 ⋅ β m−i + γ ⋅ Q i =1
此时，无论地主是完全自己耕作还是完全给佃农耕作，或者两者结合，其结果都是会得到蓝色半
凸区域的地租总额，这一地租额等于定额租约条件下的地租额；
而当地主实行分成合约时，佃农的工资总额为绿色半凸区域加上绿色矩形区域，而地主的地租总
额为蓝色双凸区域，因为此时的佃农工资总额超过了他从事其他的经济活动的所得；在“均衡”
其中（ β > 1; 1 ≤ i ≤ m ）；
β m−1 ⋅ wO β m−2 ⋅ wO β m−i ⋅ wO
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平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第2讲 间接效用函数与支出函数)
平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-= 由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,lnv p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 22222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p y q αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y yq α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
第一讲___偏好、效用与消费者的
二、偏好与效用（理性假设）
• 完备性：任何两个消费束都是可以比 较的，消费者可以对任意两个消费束 做出偏好判断。 •( x , x )( y , y ) 或 ( y1 , y 2 )( x1 , x2 ) 1 2 1 2
• 完备性公理是说任何两种消费方案都可以比较。 • 其实，在现实生活中，总存在着“难以比较”的 情况。之所以出现这种情况，是因为人们对事情 真相不了解，掌握的信息不完全。消费评价也是 这样，如果消费者的信息不完全，就可能对某两 种消费方案无法进行评价。比如，若不了解股票 信息，那么是买多好还是买少好，就很难作出判 断。因此，信息是判断和评价的根本依据。 • 作了上述解释，便可看出，偏好关系的完全性意 味着消费者掌握着关于所有可行消费方案的所有 信息。
一、效用函数的定义 所谓效用是指消费者通过消费一定数量商品而获得的满足程度， 效用函数则刻画满足水平与所消费商品数量之间的关系。 假若消费者只选择消费两种商品 x1 和 x 2 ，其效用函数可表示成 若消费者选择 n 种商品数量，u u ( x1 , , x n ) u (x) ，x 为 u u ( x1 , x 2 ) ， 消费束。 我们一般可以定义效用函数为一个实函数 u ： R n R ， R n 称 为 u 的定义域， R 称为 u 的值域。设消费束 x R n ，则称 u (x) R 为消 费束 x 在映射 u 下的像或解。实际上，效用函数 u 是消费商品集的单 值映射。
[tx1 (1 t ) y1 , tx2 (1 t ) y 2 ] ( x1 , x2 )or( y1 , y 2 )
严格凸偏好不但是凸的，而且是弱凸的， 并且严格凸偏好下的无差异曲线不会包含 直线段，更不会“厚”，而是既薄又弯。
平新乔微观经济学十八讲pdf
平新乔微观经济学十八讲pdf
1简介
《平新乔微观经济学十八讲》是一本旨在介绍微观经济学原理的书籍。
这本书由浙江大学经济学院平新乔教授所著，紧密结合学生实际，旨在加深对微观经济学的理解，是一本极具教育意义的经济学入门读物。
2主要内容
本书共分十八篇，覆盖了微观经济学领域的主要理论和应用。
其中包括需求和供给、市场结构、垄断、博弈论、信息、外部性等主题。
此外，每一章节末尾都有相关习题，并附有答案和详细解答。
3书评
作为一本微观经济学的入门读物，《平新乔微观经济学十八讲》内容系统、深入易懂，作者平新乔在讲解各种原理时，用大量的实例来解释抽象的理论模型，这样不仅可以更好的为读者提供认知的帮助，而且可以提高经济学学科的教育效果和实践应用。
此外，作者还在书末收录了一些社会经济学的实际案例，给读者提供了更多的经济学应用场景，可供学术研究和实际生活参考。
总的来说，《平新乔微观经济学十八讲》是一本深入浅出的实用经济学教材，对经济学学习者来说是一本宝贵的入门读物。
4结语
综上所述，《平新乔微观经济学十八讲》是一本非常适合微观经济学学习者阅读的入门读物。
本书内容深入易懂，讲解用例充分，不仅能够提高学生对微观经济学基本原理的理解，也能够对实践应用有所帮助。
因此，对于想要提高微观经济学理论的学习者来说，这本书是一个不错的选择。
平新乔微观经济学十八讲02
5
代 5 入 4 式,得 x 2 的需求函数:
x2 =
y 3 p2
2
6
代 5,6 两式入效用函数中,得到当效用最大化时有间接效用函数:
2y y v( p, y ) = u ( x1 , x 2 ) = x x 2 = 3p 3p 2 1
2 1
2
第二讲 间接效用……
又消费者效用最大化意味着
(x1 , x2 ) ∈ R+2 . 已 知 北 京 的 物 价 为 ( p1a , p 2a ) , 上 海 的 物 价 为 ( p1b , p 2b ) , 并 且
a b p1a p 2 = p1b p 2 , 但 a b p1a ≠ p1b , p 2 ≠ p 2
. 又 知 广 州 的 物 价 为
u = x1 x2 u′ ln u u ′ = ln u 2 p1 p2 e = 2 p1 p2 e = 2 p1 p2u u ′ = ln x1 + ln x2 e′( p1 , p 2 , u ′) = e( p1 , p 2 , u )
根据 5.1 与 5.2 的结果,得到
6
设某消费者的间接效用函数为 v( p1 , p2 , m ) =
y = e( p, v( p, y ))
即可得到支出函数:
e( p, u ) = e( p, v( p, y )) = y = 108 p12 p 2 u
3 考虑下列间接效用函数
(
)
1 3
=
3 2 p12 p 2 u 2
(
)
1 3
v( p1 , p 2 , m ) =
这里 m 表示收入,问:
m p1 + p 2
由 1 式,2 式,得 e( p1 , p2 , u )
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平新乔《微观经济学十八讲》第1讲 偏好、效用与消费者的基本问题跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．根据下面的描述，画出消费者的无差异曲线。
对于（2）和（3）题，写出效用函数。
（1）王力喜欢喝汽水，但是厌恶吃冰棍。
x y （2）李楠既喜欢喝汽水，又喜欢吃冰棍，但她认为三杯汽水和两根冰棍是无差异x y 的。
（3）萧峰有个习惯，他每喝一杯汽水就要吃两根冰棍，当然汽水和冰棍对他而言x y 是多多益善。
（4）杨琳对于有无汽水喝毫不在意，但她喜欢吃冰棍。
x y 答：（1）根据题意，对王力而言，冰棒是厌恶品，相应的无差异曲线如图1-1所示（图中箭头表示更高的效用方向）。
图1-1 喜欢喝汽水厌恶吃冰棍（2）根据题意，对李楠而言，汽水和冰棒是完全替代品，其效用函数为，相应的无差异曲线如图1-2所示。
(),23u x y x y =+图1-2 既喜欢喝汽水又喜欢吃冰棍（3）消费者对这两种商品的效用函数为，如图1-3所示。
(),min ,2y u x y x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭图1-3 喝一杯汽水就要吃两根冰棍（4）如图1-4所示，其中为中性品。
x图1-4 对于有无汽水喝毫不在意2．作图：如果一个人的效用函数为(){}1212,max ,u x x x x =（1）请画出三条无差异曲线。
（2）如果，，。
请在图1-5上找出该消费者的最优消费组合。
11p =22p =10y =答：（1）由效用函数画出的三条无差异曲线如图1-5所示。
图1-5 无差异曲线和最优点（2）效用函数确定了消费者的最优选择必定是落在便宜的商品上，即他会将所有收入都用于购买相对便宜的商品，最优点如图1-5中的点所示，在该点此人消费10个单位的A ，0个单位的。
1x 2x 3．下列说法对吗？为什么？若某个消费者的偏好可以由效用函数来描述，那么对()()22121122,10250u x x x x x x =++-此消费者而言，商品1和商品2是完全替代的。
答：此说法正确。
由题意知：，，则商品1对于商品2的边际替代率1122020MU x x =+2122020MU x x =+为：11212212202012020MU x x MRS MU x x +===+由于，是一个常数，所以商品1与商品2是以1∶1的比率完全替代的。
121MRS =4．设，这里。
()121211,ln ln 22u x x x x =+12x x R +∈，（1）证明：与的边际效用都递减。
1x 2x （2）请给出一个效用函数形式，但该形式不具备边际效用递减的性质。
答：（1）将关于和分别求二阶偏导数得，，所以u 1x 2x 22211102u x x ∂=-<∂22222102u x x ∂=-<∂与的边际效用都递减。
1x 2x （2）如效用函数，它关于与的二阶偏导数恒大于零，所以与()221212,u x x x x =+1x 2x 1x 的边际效用都是递增的。
只要效用函数的二阶导数不为负，就可以保证边际效用不是递2x 减的。
5．常替代弹性效用函数，请证明：()()1121122,u x x x x ρρραα=+（1）当，该效用函数为线性。
1ρ=（2）当时，该效用函数趋近于。
0ρ→()()1212121u x x x αααα=+=（3）当时，该效用函数趋近于。
ρ→-∞(){}12min ,u x x x =证明：（1）当时，，此时效用函数是线性的。
1ρ=()121122,u x x x x αα=+（2）当时，此时对效用函数两边变换求极限有：0ρ→()()1121122,u x x x x ρρραα=+()()()(){}()12112212120001112221122121201122ln lim ,lim exp ln ,lim exp ln ln exp lim exp ln ln 1x x u x x u x x x x x x x x x x x x ρρρρρρρααρρρααραααααααα→→→→⎛⎫+⎪== ⎪⎝⎭⎛⎫+==+=+= ⎪+⎝⎭（3）当时，对效用函数两边变换求极限有：ρ→-∞()()1121122,u x x x x ρρραα=+()()()()121211221112221122lim ,lim exp ln ,ln ln ln lim exp exp lim u x x u x x x x x x x x x x ρρρρρρρρρρααααραα→-∞→-∞→-∞→-∞=⎛⎫+⎛⎫+ ⎪== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭最后一个等号用到洛必达法则，下面分情况讨论：①当时：12x x >()()11122212221122ln ln lim ,exp lim exp ln x x x x u x x x x x x ρρρραααα→-∞→-∞⎛⎫⎛⎫ ⎪+ ⎪⎪⎝⎭=== ⎪⎛⎫ ⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭上式中倒数第二个等号成立是因为当时，。
121xx >12lim x x ρρ→-∞⎛⎫=0 ⎪⎝⎭②当时：12x x <()()22111112112211ln ln lim ,exp lim exp ln x x x x u x x x x x x ρρρραααα→-∞→-∞⎛⎫⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭=== ⎪⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，有。
12x x =(){}1212min ,u x x x x x ===综上可知：(){}1212lim ,min ,u x x x x ρ→-∞=6．茜茜总喜欢在每一杯咖啡里加两汤匙糖。
如果每汤匙糖的价格是，每杯咖啡的1p 价格是，消费者花费元在咖啡和糖上，那么，她将打算购买多少咖啡和糖？如果价2p M 格变为和，对她关于咖啡和糖的消费会发生什么影响？1p '2p '答：（1）由于茜茜总喜欢在每一杯咖啡里加两汤匙糖，所以咖啡和糖对茜茜而言是完全互补品，如果用和分别表示她消费的咖啡的数量（以杯为单位）和糖的数量（以汤匙c s 为单位），那么她的效用函数就可以表示为：()1,min ,2u c s c s ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭从而她的效用最大化问题可以表示为：,1max min ,2c sc s ⎧⎫⎨⎬⎩⎭12s t p s p c M..+=对于最优选择，必有。
这是因为如果，那么在保持预算约束不变的条件12c s =12c s >下，增加一些糖的消费，再减少一些咖啡的消费，就可以提高茜茜的效用，如图1-6的点所示。
所以对于最优选择，一定不成立；对于也有类似的理由。
A 12c s >12c s<图1-6 互补偏好的最优选择再结合预算约束，就可以得到消费者对咖啡和糖的最优消费量分别为：122M c p p =+1222Ms p p =+（2）当价格变为和时，茜茜对咖啡和糖的消费变为：1p '2p '122M c p p ='+'1222Ms p p ='+'所以，咖啡和糖两者之中任何一个价格上涨都会引起茜茜对它们的需求同时下降。
7．令表示偏好关系，表示严格偏好关系，～表示无差异关系，证明下列关系：‰ （1）⊂‰‰（2）⊂:‰（3）= :∪‰（4）= :φ证明：（1）的含义是：弱偏好本身是弱偏好的一个子集。
⊂‰‰根据子集的定义，任何非空集合都是自己的一个子集。
由于偏好关系是定义在选择集的二次幂集上的完备的序关系，又由选择集的非空性质得到选择集二次幂集的非空性，得到偏好关系的非空性质。
（2）的含义是：如果A 和B 之间无差异，那么A 至少和B 一样好，从而本结论:‰成立。
（3）的含义是：如果消费者对A 的偏好超过了对B 的偏好这一关系和消费= :∪‰者对A 和B 的偏好是无差异的这一关系中有一个成立，那么消费者对A 的偏好至少和B 一样好这一关系一定成立，反之亦然。
根据关系的定义可知这个结论是成立的。
‰（4）的含义是：消费者对A 的偏好超过了对B 的偏好这一关系和消费者对A = :φ和B 的偏好是无差异的这一关系不能同时成立。
理由如下：如果A B 和A ～B 同时成立， 那么就有A B ～A ，从而得到A A ，矛盾。
8．证明下列结论（或用具说服力的说理证明）：（1）“”与“～”都不具有“完备性”。
（2）“～”满足反省性。
（3）严格偏好关系不满足反省性。
（4）对于任何中的与，在下列关系中只能居其一：，或，或X 1x 2x 12x x 12x x 。
12x x :证明：（1）“”与“～”都不具有完备性。
理由如下：如果一种偏好关系具有完备性，那么对消费集中任意两个消费束之间都可以建立这种关系。
“”表示严格偏好关系，但是对任意的两个消费束A 和B ，消费者对它们可能是无 差异的，这时A 和B 之间就不能建立严格偏好的关系。
“～”表示无差异关系，但是对任意的两个消费束A 和B ，消费者可能严格偏好于A ，这时A 和B 之间就不能建立无差异的关系。
（2）“～”满足反省性。
理由如下：反省性是说，如果消费束A 和消费束B 之间满足某种二元关系，那么B 和A 之间也满足这种关系。
如果A 和B 之间是无差异的，那么显然，B 和A 之间也是无差异的，所以“～”满足反省性。
（3）严格偏好关系不满足反省性，理由如下：如果消费者对A 的偏好超过了对B 的偏好，即A B ，那么根据反省性，消费者对B 的 偏好也超过了对A 的偏好，即B A 。
从而就有A A ，即消费者对A 的偏好超过了他对A 的偏好，这样就出现了矛盾。
所以严格偏好关系不满足反省性。
（4）对于中的任何与，下列关系中只有一个能成立：X 1x 2x ，或，或。
12x x 12x x 12x x :理由如下：利用反证法，假设如果这三种关系中至少有两个同时成立，那么共有以下四种情况：①且，由此可以得到，即，矛盾！12x x 12x x 121x x x 11x x ②且，由此可以得到，即，矛盾！12x x 12x x 121x x x :11x x ③且，由此可以得到，即，矛盾！12x x 12x x 121x x x :11x x ④，且，由此可以得到，即，矛盾！12x x 12x x 12x x :121x x x :11x x 综上可知这三种关系中只有一个能成立。
9．一个只消费两类物品的消费者面临正的价格，其拥有正的收入，他的效用函数为：()121,u x x x =导出其马歇尔需求函数。