平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第1讲 偏好、效用与消费者的基本问题)-推荐下载

平新乔《微观经济学十八讲》第1讲 偏好、效用与消费者的基本问题

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1．根据下面的描述，画出消费者的无差异曲线。对于（2）和（3）题，写出效用函数。

（1）王力喜欢喝汽水，但是厌恶吃冰棍。

x y （2）李楠既喜欢喝汽水，又喜欢吃冰棍，但她认为三杯汽水和两根冰棍是无差异x y 的。

（3）萧峰有个习惯，他每喝一杯汽水就要吃两根冰棍，当然汽水和冰棍对他而言x y 是多多益善。

（4）杨琳对于有无汽水喝毫不在意，但她喜欢吃冰棍。

x y 答：（1）根据题意，对王力而言，冰棒是厌恶品，相应的无差异曲线如图1-1所示（图中箭头表示更高的效用方向）。

图1-1 喜欢喝汽水厌恶吃冰棍

（2）根据题意，对李楠而言，汽水和冰棒是完全替代品，其效用函数为

，相应的无差异曲线如图1-2所示。

(),23u x y x y =+

图1-2 既喜欢喝汽水又喜欢吃冰棍

（3）消费者对这两种商品的效用函数为，如图1-3所示。

(),min ,2y u x y x ⎧⎫

=⎨⎬⎩⎭

图1-3 喝一杯汽水就要吃两根冰棍

（4）如图1-4所示，其中为中性品。

x

图1-4 对于有无汽水喝毫不在意

2．作图：如果一个人的效用函数为(){}

1212,max ,u x x x x =（1）请画出三条无差异曲线。

（2）如果，，。请在图1-5上找出该消费者的最优消费组合。

11p =22p =10y =答：（1）由效用函数画出的三条无差异曲线如图1-5所示。

图1-5 无差异曲线和最优点

（2）效用函数确定了消费者的最优选择必定是落在便宜的商品上，即他会将所有收入都用于购买相对便宜的商品，最优点如图1-5中的点所示，在该点此人消费10个单位的

A ，0个单位的。

1x 2x 3．下列说法对吗？为什么？

若某个消费者的偏好可以由效用函数来描述，那么对

()()22

121122,10250u x x x x x x =++-

此消费者而言，商品1和商品2是完全替代的。

答：此说法正确。

由题意知：，，则商品1对于商品2的边际替代率

1122020MU x x =+2122020MU x x =+为：

112

12212

202012020MU x x MRS MU x x +=

==+由于，是一个常数，所以商品1与商品2是以1∶1的比率完全替代的。

121MRS =4．设，这里。

()121211

,ln ln 22

u x x x x =+12x x R +∈，（1）证明：与的边际效用都递减。

1x 2x （2）请给出一个效用函数形式，但该形式不具备边际效用递减的性质。

答：（1）将关于和分别求二阶偏导数得，，所以

u 1x 2x 22211102u x x ∂=-<∂22222

1

02u x x ∂=-<∂与的边际效用都递减。

1x 2x （2）如效用函数，它关于与的二阶偏导数恒大于零，所以与

()22

1212,u x x x x =+1x 2x 1x 的边际效用都是递增的。只要效用函数的二阶导数不为负，就可以保证边际效用不是递

2x 减的。

5．常替代弹性效用函数，请证明：

()()

1

121122

,u x x x x ρ

ρ

ρ

αα=+（1）当，该效用函数为线性。

1ρ=（2）当时，该效用函数趋近于。0ρ→()()1

2

1

2121u x x x αα

αα=+=（3）当时，该效用函数趋近于。

ρ→-∞(){}12min ,u x x x =证明：（1）当时，，此时效用函数是线性的。

1ρ=()121122,u x x x x αα=+（2）当时，此时对效用函数两边变换求极限有：

0ρ→()()

1

121122

,u x x x x ρ

ρ

ρ

αα=+()()()(){}()12

112212120001112221122121201122ln lim ,lim exp ln ,lim exp ln ln exp lim exp ln ln 1x x u x x u x x x x x x x x x x x x ρρ

ρρρρρ

ααρρρααρ

αααααααα→→→→⎛⎫+

⎪== ⎪⎝⎭

⎛⎫+==+=+= ⎪+⎝⎭

（3）当时，对效用函数两边变换求极限有：

ρ→-∞()()

1

121122

,u x x x x ρρ

ρ

αα=+

()()()

()121211221112221122lim ,lim exp ln ,ln ln ln lim exp exp lim u x x u x x x x x x x x x x ρρρρρρρρρρααααραα→-∞→-∞

→-∞→-∞=⎛⎫+⎛⎫

+ ⎪== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭

最后一个等号用到洛必达法则，下面分情况讨论：

①当时：

12x x >()()11122

21222112

2ln ln lim ,exp lim exp ln x x x x u x x x x x x ρ

ρρραααα→-∞→-∞

⎛⎫

⎛⎫ ⎪+ ⎪

⎪

⎝⎭=== ⎪⎛⎫ ⎪+ ⎪

⎪⎝⎭⎝

⎭

上式中倒数第二个等号成立是因为当时，。

121x

x >12lim x x ρ

ρ→-∞⎛⎫=0 ⎪⎝⎭

②当时：

12x x <()()22111112112211ln ln lim ,exp lim exp ln x x x x u x x x x x x ρ

ρρραααα→-∞→-∞

⎛⎫⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭=== ⎪⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

当时，有。

12x x =(){}1212min ,u x x x x x ===综上可知：

(){}

1212lim ,min ,u x x x x ρ→-∞

=6．茜茜总喜欢在每一杯咖啡里加两汤匙糖。如果每汤匙糖的价格是，每杯咖啡的

1p 价格是，消费者花费元在咖啡和糖上，那么，她将打算购买多少咖啡和糖？如果价

2p M 格变为和，对她关于咖啡和糖的消费会发生什么影响？1p '2

p '答：（1）由于茜茜总喜欢在每一杯咖啡里加两汤匙糖，所以咖啡和糖对茜茜而言是完全互补品，如果用和分别表示她消费的咖啡的数量（以杯为单位）和糖的数量（以汤匙c s 为单位），那么她的效用函数就可以表示为：

()1,min ,2u c s c s ⎧⎫

=⎨⎬

⎩⎭

从而她的效用最大化问题可以表示为：

,1max min ,2c s

c s ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

12s t p s p c M

..+=