直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(含答案)
直角三角形斜边中线等于斜边一半性质
如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D 点，使AD= ，点E、F分别为边BC、AC的 中点。
（1）求证：DF=BE； （2）过点A作AG∥BC，交DF于G。求证： AG=DG。
应用：如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点 A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M， CN⊥直线a于点N，连接PM、PN； （1）延长MP交CN于点E（如图2）．①求证： △BPM≌△CPE；②求证：PM=PN； （2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a 的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立， 请给予证明：若不成立，请说明理由； （3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件 不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成 立吗？不必说明理由．
如图所示；过矩形ABCD的顶点A作一直线，交BC的延 长线于点E，F是AE的中点，连接FC、FD。 求证：∠FDA=∠FCB
如图2，在Rt△ABC中，∠C=900，AD∥BC， ∠CBE= ∠ABE，求证：DE=2AB
1.如图5，△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠CBD， BD⊥DE于D，DE交BC于E， 求证：CD= BE． 2．如图6，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D， M是BC的 中点，求证：AB=2DM．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
已知，如图5，在△ABC中，∠BAC>90°，BD、CE分 别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证： ∠FED=∠FDE。
பைடு நூலகம்
四边形 ABCD 中，BA⊥AC,BD⊥DC,E,F为边上中点。 如图所示， BD 、CE是三角形ABC的两条高，M、N 猜想 EFBC 与AD 的关系。 分别是 、DE 的中点 求证：MN⊥DE 猜想 MN与DE关系
直角三角形斜边中线等于斜边一半证明
直角三角形斜边中线等于斜边一半证明
证明直角三角形斜边中线等于斜边一半：
一、定义要证明的定理
定理：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
二、正式证明
1.（已知条件）设A、B、C都是正弦三角形，其中角B为直角；
2.（证明步骤 I）将正三角形分为两个直角三角形，即 ABC、BCA；
3. （证明步骤 II）令BC是满足正弦三角形直角三角形ABC中边CA 的中线；
4.（证明步骤 III）由三角形相似定理知：
（1）BCA与ABC是由边A的垂线和边C的角平分线分成的两个相似或等腰三角形。
（2）设角B ≜ α、角A ≜ β，则有α = β = 90°；
（3）又BCA 与ABC 共有角α，则有α≜α；
（4）故有sinα=sinα；
（5）由弦垂切定理知，有BC/AC=sinα/cosα=1/cosα；
（6）又由弦垂切定理知，有AC/BC=cosα/sinα=1/sinα；
（7）合并两种结果，得AC=BC；
5. （证明步骤 IV）再由已知AB是直角三角形ABC的斜边，有AB=AC+BC=2*BC；
6.（证明步骤 V）综上所述，直角三角形斜边中线等于斜边一半。
三、结论
根据上面的证明，得出结论：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半专题训练
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
1、如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D,E 、F 、G 分别是AC 、AB 、BC 的中点。
求证：四边形OEFG 是等腰梯形。
2、如图所示，BD 、CE 是三角形ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点
求证：MN ⊥DE
3、已知梯形ABCD 中，∠B+∠C ＝90o ，EF 是两底中点的连线，试说明AB －AD ＝2EF
G D C B
M C
F
C B
4、如图，四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90o ，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点。
MN 、AC 的位置关系如何？证明你的猜想。
5、过矩形ABCD 对对角线AC 的中点O 作EF ⊥AC 分别交AB 、DC 于E 、F ，点G 为AE 的中点，
若∠AOG ＝30o
求证：3OG=DC 6、如图所示；过矩形ABCD 的顶点A 作一直线，交BC 的延长线于点E ，F 是AE 的中点，连接FC 、FD 。
求证：∠FDA=∠FCB
（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考
和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
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D B
A
A E
C B A。
直角三角形斜边上的中线(人教版)(含答案)
试卷简介:本套试卷继续训练直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余，斜边长大于任意一条直角边长，30°所对的直角边等于斜边的一半，同时加上斜边中线等于斜边的一半，检测同学们见到什么想什么，以及有序梳理条件、对条件进行搭配和组合的能力．
一、单选题(共10道，每道10分)
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,点P是BD的中点.
③统计数据，检验，防止遗漏．
2．解题过程
3.易错点
未考虑C′D=AD，遗漏三角形ADC′是等腰三角形这一种情形．
试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半
9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC延长线上,且 .若∠D=50°,则∠B的度数为( )
A.25° B.30°
C.40° D.45°
∴∠1=∠B=20°
∴∠3=40°
∵E为AB的中点，∠ACB=90°
∴CE=BE=AE
∴∠2=∠B=20°
∴∠DFE=∠AFC=∠2+∠3=60°
故选C
试题难度：三颗星知识点：三角形的外角
8.如图,AD是直角三角形△ABC斜边上的中线,把△ADC沿AD对折,点C落在点C′处,
连接CC′,则图中共有等腰三角形( )个.
∵F为BD中点
∴EF⊥BD
故选A
试题难度：三颗星知识点：等腰三角形三线合一性质
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,D在CB上,E为AB之中点,AD,CE相交于F,且AD=DB.
若∠B=20°,则∠DFE的度数是( )
A.40° B.50°
C.60° D.70°
答案：C
解题思路：
直角三角形斜边中线等于斜边一半的证明方法
直角三角形斜边中线等于斜边一半的证明方法在一个直角三角形中，假设斜边的长度为c，而另外两条直角边分别为a和b。
我们需要证明斜边中线的长度等于斜边长度的一半。
首先，我们知道中线将斜边分成两个长度相等的部分。
因此，我们可以将斜边中线的长度表示为c/2。
接下来，我们将注意力集中在直角三角形的其他两条边上。
我们知道，当这两条边的平方之和等于斜边的平方时，这个三角形就是直角三角形。
因此，我们可以使用勾股定理来计算这两条边的长度。
a +
b = c
现在，我们将斜边中线标记为d，并将直角三角形的底部分成两个等长的部分，如下图所示：
```
/|
/ |
/ |
/___|___
a b
```
我们可以通过将直角三角形中的第一个小三角形翻折到另一边，然后将其放置在第二个小三角形旁边来证明中线长度为c/2。
这样，我们就得到了下面这张图：
```
/|
/ |
/ |
/___|___
a b
/
/ d
/_________
```
现在，我们可以使用勾股定理计算直角三角形的两个小三角形的斜边长度，如下所示：
（c/2） + a = d
（c/2） + b = d
我们可以将这两个等式相加，并使用a + b = c来简化方程，如下所示：
（c/2） + a + （c/2） + b = d + d
c/4 + c/4 + c = 2d
2c/4 = d
c/2 = d
因此，我们可以得出结论：直角三角形斜边中线的长度等于斜边长度的一半，即d = c/2。
专题12 直角三角形斜边上的中线(解析版)
专题12 直角三角形斜边上的中线【考点归纳】（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可一用来判定直角三角形．【好题必练】一、选择题1．（2020秋•贵阳期末）如图，在长为10的线段AB上，作如下操作：经过点B作BC⊥AB，使得BC＝AB；连接AC，在CA上截取CE＝CB；在AB上截取AD＝AE，则AD的长为（）A．5﹣5B．10﹣5C．10﹣10D．5+5【答案】A【解析】解：∵AB＝10，BC＝AB，∴BC＝5，由勾股定理得：AC＝5，∵CE＝BC＝5，∴AD＝AE＝AC﹣CE＝5﹣5．故选：A．2．（2020秋•仪征市期末）A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，为拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A．AB中点B．BC中点C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点【答案】A．【解析】解：∵AB2＝10002＝1000000，BC2＝6002＝360000，AC2＝8002640000，∴AB2＝BC2+AC2，∴△ABC为以AB为斜边的直角三角形，当点P在AB的中点时，CP＝AB＝P A＝PB，故选：A．3．（2020秋•莲湖区期末）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB 的长为4.8km，则M，C两点间的距离为（）A．1.2km B．2.4km C．3.6km D．4.8km【答案】B．【解析】解：∵公路AC，BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，∵M为AB的中点，∴CM＝AB，∵AB＝4.8km，∴CM＝2.4（km），即M，C两点间的距离为2.4km，故选：B．4．（2020秋•新华区校级月考）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，E为垂足，AC＝AB，图中为60°的角有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D．【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，∴∠B＝30°．∵D是AB的中点，∴BD＝CD．∴∠DCB＝∠B＝30°．又∵DE⊥BC于E，∴∠BDE＝∠CDE＝60°．∴∠ACD＝90°﹣30°＝60°．∴△ACD为等边三角形．∴∠ADC＝∠DAC＝∠ACD＝∠CDE＝∠BDE＝60°．故选：D．5．（2020秋•嵊州市期中）直角三角形的两条直角边为3，4，则这个直角三角形斜边上的中线长为（）A．5B．2.5C．3.5D．4.5【答案】B【解析】解：由勾股定理得：直角三角形的斜边长是＝5，所以＝2.5，故选：B．6．（2020秋•高州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝10，则CD＝（）A．2B．3C．4D．6【答案】D【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝10，∴AE＝CE＝10，∵AD＝2，∴DE＝8，∵CD为AB边上的高，在Rt△CDE中，CD＝＝＝6，故选：D．二、填空题7．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝20，则CD＝．【答案】10【解析】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AB＝10，故答案为：10．8．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，D是AB的中点，ED⊥AB交BC于E，连接CD，则∠CDE：∠ECD＝．【答案】1：2．【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝36°，D是AB的中点，∴CD＝DB，∴∠ECD＝∠B＝36°，∴∠CDB＝180°﹣∠ECD﹣∠B＝180°﹣36°﹣36°＝108°，∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°，∠CDE＝∠CDB﹣∠EDB＝108°﹣90°＝18°，∠CDE：∠ECD＝1：2．故答案为1：2．9．（2020春•南岗区校级期中）如图，已知在△ABC中，∠C＝25°，点D在边BC上，且∠DAC＝90°，AB＝DC．则∠BAC的度数为°．【答案】105【解析】解：取CD的中点E，连接AE，在Rt△ADC中，DE＝EC，∴AE＝CD＝ED＝EC，∴∠EAC＝∠C＝25°，∴∠AED＝∠EAC+∠C＝50°，∵AE＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝65°，∵AB＝DC，AE＝CD，∴AB＝AE，∴∠BAE＝80°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝105°，故答案为：105．10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果斜边AB上的中线CD＝4cm，那么斜边AB＝cm．【答案】8【解析】解：∵在Rt△ABC中，斜边AB上的中线CD＝4cm，∴AB＝2CD＝8cm．故答案为：8．11．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E、F分别是AC、BD的中点．则∠EFO＝．【答案】90°【解析】解：连接EB、ED，∵∠ABC＝90°，E是AC的中点，∴BE＝AC，同理，DE＝AC，∴EB＝ED，又F是BD的中点，∴EF⊥BD，∴∠EFO＝90°，故答案为：90°．三、解答题12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D．（1）若∠C＝74°，求∠BAD的度数；（2）点E为线段AB的中点，连接DE．求证：DE∥BC．【答案】（1）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝74°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝37°，∵AD⊥BD，∴∠BAD＝90°﹣37°＝53°；（2）证明：在Rt△ADB中，点E为线段AB的中点，∴ED＝EB∴∠EBD＝∠EDB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠EDB＝∠CBD，∴DE∥BC．【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C＝74°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；（2）根据直角三角形的性质得到ED＝EB根据等腰三角形的性质得到∠EBD＝∠EDB，根据平行线的判定定理证明结论．13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．（1）求证：CG＝EG．（2）已知BC＝13，CD＝5，连结ED，求△EDC的面积．【答案】（1）证明：连接DE，在Rt△ADB中，点E是AB的中点，∴DE＝AB＝AE，∵CD＝AE，∴DE＝DC，又DG⊥CE，∴CG＝EG．（2）解：作EF⊥BC于F，∵BC＝13，CD＝5，∴BD＝13﹣5＝8，∵DE＝BE，EF⊥BC，∴DF＝BF＝4，∴EF＝＝＝3，∴△EDC的面积＝×CD×EF＝×5×3＝7.5．【解析】（1）连接DE，根据直角三角形的性质得到DE＝AB＝AE，根据等腰三角形的性质证明结论；（2）作EF⊥BC于F，根据题意求出BD，根据等腰三角形的性质求出DF，根据勾股定理求出EF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．14．如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DG垂直平分CE，连接DE．（1）求证：DC＝BE；（2）若∠AEC＝72°，求∠BCE的度数．【答案】（1）证明：∵DG垂直平分CE，∴DE＝DC，∵AD是高，CE是中线，∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，∴DE＝BE＝AB，∴DC＝BE；（2）∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∴∠EDB＝∠DEC+∠BCE＝2∠BCE∵DE＝BE∴∠B＝∠EDB，∴∠B＝2∠BCE，∴∠AEC＝3∠BCE＝72°，∴∠BCE＝24°．【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到DE＝BE＝AB，证明结论；（2）根据等腰三角形想的性质得到∠DEC＝∠DCE，根据三角形的外角性质列式计算即可．15．如图．△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连结AE．（1）求证：BD＝2AC；（2）若AE＝6.5，AD＝5，那么△ABE的周长是多少？【答案】（1）证明：∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，又点E是BD的中点，∴EA＝BD＝EB，∴∠EAB＝∠EBA，∴∠AEC＝2∠B，又∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C，∴AE＝AC，∴BD＝2AC；（2）解：∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点，∴BD＝2AE＝13，EA＝EB＝6.5，由勾股定理得，AB＝＝＝12，∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝12+6.5+6.5＝25．【解析】（1）根据直角三角形的性质得到EA＝BD＝EB，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质证明；（2）根据直角三角形的性质分别求出BC和BE，根据勾股定理求出AB，根据三角形的周长公式计算．16．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：MN⊥BD．【答案】证明：连接DM，BM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴DM＝AC，BM＝AC，∴DM＝BM，又N是BD的中点，∴MN⊥BD．【解析】连接DM，BM，根据直角三角形的性质得到DM＝AC，BM＝AC，得到DM＝BM，根据等腰三角形的三线合一证明．11/ 11。
中考数学真题解析矩形的性质与判定,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(含答案)
(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解读120考点汇编矩形的性质与判定,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半一、选择题1.（2011•南通）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2cm，点E在BC上，且AE=CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1重合，则AC=4cm．考点：翻折变换（折叠问题）。
分析：根据题意推出AB= A'B=2，由AE=CE推出AB1=B1C，即AC=4．解答：解：∵AB=2cm，A'B=AB，，∴A'B=2，∵矩形ABCD，AE=CE，∴∠ABE=∠AB1E=90°，∵AE=CE，∴A'B='B C，∴AC=4．故答案为4．点评：本题主要考察翻折的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于推出AB= A'B．2.（2011江苏无锡，5，3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补考点：矩形的性质；菱形的性质。
专题：推理填空题。
分析：根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．解答：解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项错误；B、菱形和矩形的对角线都相等；故本选项正确；C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项正确；D、菱形对角相等，但不互补；故本选项正确；故选A．点评：此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等．3.（2011•宁夏，2，3分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOD=60°，AD=2，则AB 的长是（ ）A 、2B 、4C 、23D 、43考点：矩形的性质；等边三角形的判定与性质。
分析：本题的关键是本题的关键是利用等边三角形和矩形对角线的性质即锐角三角函数关系求长度．解答：解：∵在矩形ABCD 中，AO=21AC ，DO=21BD ，AC=BD ， ∴AO=DO ， 又∵∠AOD=60°， ∴∠ADB=60°， ∴∠ABD=30°， ∴AB AD=tan30°， 即AB 2=33， ∴AB=23． 故选C ．点评：本题考查了矩形的性质和锐角三角函数关系，具有一定的综合性，难度不大属于基础性题目．4.（2011台湾，29，4分）如图，长方形ABCD 中，E 为BC 中点，作∠AEC 的角平分线交AD 于F 点．若AB ＝6，AD ＝16，则FD 的长度为何？（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8考点：矩形的性质；角平分线的性质；勾股定理。
初中数学：直角三角形斜边上中线等于斜边一半练习
初中数学：直角三角形斜边上中线等于斜边一半练习1．如图，在Rt ABCAD=，∠=︒，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，2ACB∆中，90CD=)10CE=，则(A．2B．3C．4D．62．如图，在四边形ABCD中，90∠=∠=︒，点E、F分别是BD和AC的中点，BAD BCD连接EF．（1）试判断EF与AC的位置关系，并说明理由；（2）若26EF=，求AC的长．BD=，53．如图所示，在ABC⊥于点∆中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，DG CE =G，CD AE（1）证明：CG EG=；（2）若6BD=，求CE的长．AD=，84．如图，在ABC⊥于点E，M为BC的中点．连接ME、∆中，CF AB⊥于点F，BE ACMF、EF．（1）求证：MEF∆是等腰三角形；（2）若70∠的度数．∠=︒，求EMFAABC∠=︒，505．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE CD ⊥于点F ，交CB 于点E ，且EAB DCB ∠=∠．（1）求B ∠的度数：（2）求证：3BC CE =．6．直角三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，点E 为CB 延长线上一点，且BE CD =，连接DE ．（1）如图1，求证2C E ∠=∠；（2）如图2，若6AB =，5BE =，ABC ∆的角平分线CG 交BD 于点F ，求BCF ∆的面积．初中数学：直角三角形斜边上中线等于斜边一半练习参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，2AD =，10CE =，则(CD = )A ．2B ．3C ．4D ．6【解答】解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CE 为AB 边上的中线，10CE =， 10AE CE ∴==，4AD =，6DE ∴=， CD 为AB 边上的高，在Rt CDE ∆中，22221086CD CE DE =-=-=，故选：D ．二．解答题（共5小题）2．如图，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，点E 、F 分别是BD 和AC 的中点，连接EF ．（1）试判断EF 与AC 的位置关系，并说明理由；（2）若26BD =，5EF =，求AC 的长．【解答】（1）解：EF AC ⊥．理由：连接AE ，CE ．90BAD BCD ∠=∠=︒，E 是BD 的中点， 12AE BD ∴=，12CE BD =， AE CE ∴=，又F 是AC 的中点，EF AC ∴⊥．（2）26BD =，1132CE BD ∴==， 222213512CF CE EF ∴=-=-=，224AC CF ∴==．3．如图所示，在ABC ∆中，AD 是边BC 上的高线，CE 是边AB 上的中线，DG CE ⊥于点G ，CD AE =（1）证明：CG EG =；（2）若6AD =，8BD =，求CE 的长．【解答】解：（1）证明：CG EG =．连结DE ，如图．AD BC ⊥，90ADB ∴∠=︒，又E 为AB 中点，DE AE BE ∴==，CD AE =，DE CD ∴=，又DG EC ⊥，EG CG ∴=；（2）过E 作EM BC ⊥于M ，如图．AD BC ⊥，EM BC ⊥，//EM AD ∴， E 为AB 中点，EM ∴是ABD ∆的中位线， 132EM AD ∴==． 6AD =，8BD =，228610AB ∴=+=，152DE AB ==， 4DM ∴=，5CD AE DE ===，9CM CD DM ∴=+=，2239310CE ∴=+=．4．如图，在ABC ∆中，CF AB ⊥于点F ，BE AC ⊥于点E ，M 为BC 的中点．连接ME 、MF 、EF ．（1）求证：MEF ∆是等腰三角形；（2）若70A ∠=︒，50ABC ∠=︒，求EMF ∠的度数．【解答】（1）证明：CF AB ⊥于点F ，BE AC ⊥于点E ，BFC ∴∆和CEB ∆是直角三角形， M 为BC 的中点， 12EM FM BC ∴==， MEF ∴∆是等腰三角形；（2）解：70A ∠=︒，50ABC ∠=︒，60ACB ∴∠=︒，M 是BC 中点，12MB CM BC ∴==， 12EM FM BC ==， BM FM ∴=，MC EM =，50BFM ABC ∴∠=∠=︒，60CEM MCA ∠=∠=︒，80FMB ∴∠=︒，60EMC ∠=︒，180806040FME ∴∠=︒-︒-︒=︒．5．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE CD ⊥于点F ，交CB 于点E ，且EAB DCB ∠=∠．（1）求B ∠的度数：（2）求证：3BC CE =．【解答】解：（1）AE CD⊥，90AFC ACB∴∠=∠=︒，90 CAF ACF ACF ECF∴∠+∠=∠+∠=︒，ECF CAF∴∠=∠，EAD DCB∠=∠，2CAD DCB∴∠=∠，CD是斜边AB上的中线，CD BD∴=，B DCB∴∠=∠，2CAB B∴∠=∠，90B CAB∠+∠=︒，30B∴∠=︒；（2）30B BAE CAE∠=∠=∠=︒，AE BE ∴=，12CE AE=，3BC CE∴=．6．直角三角形ABC中，90ABC∠=︒，点D为AC的中点，点E为CB延长线上一点，且BE CD=，连接DE．（1）如图1，求证2C E ∠=∠；（2）如图2，若6AB =，5BE =，ABC ∆的角平分线CG 交BD 于点F ，求BCF ∆的面积．【解答】解：（1）证明：90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点， 12BD AC CD AD ∴===， CD BE =，BE BD ∴=，BDE E ∴∠=∠，BD CD =，C DBC ∴∠=∠，2C DBC BDE E E ∴∠=∠=∠+∠=∠；（2）过点F 作FM BC ⊥，FN AC ⊥CG 平分ABC ∠FM FN ∴=5BE =5CD AD BE ∴===，10AC =又6AB =∴在Rt ABC ∆中，222AB BC AC +=8BC ∴=BD 为ABC ∆的中线11111681222222BCD ABC S S AB BC ∆∆∴==⨯⨯=⨯⨯⨯= 又BCD BCF CDF S S S ∆∆∆=+111222CD FN BC FM ∴=+ ∴11581222FM FM ⨯⨯+⨯⨯=2413FM ∴= 1124968221313BCF S BC FM ∆∴==⨯⨯=．。
定理证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
定理证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半定理：证明直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
设置在直角三角形ABC中，∠ BAC=90°，ad为斜边BC的中心线，验证：ad=1/2BC。
[证据方法1]延长ad到e，使de=ad，连接ce。
∵ad是斜边bc的中线，‡BD=CD，以及≓∠亚洲开发银行=∠ EDC（相反的顶点角度相等），ad=De，∴△adb≌△edc（sas），∴ab=ce，∠b=∠dce，∴ab//ce（内错角相等，两直线平行）‡∠ BAC+∠ ace=180°（两条直线平行且相互内角互补）≓∠BAC=90°，∵ace=90°，∵ AB=CE，∠ BAC=ECA=90°，AC=Ca，∴△abc≌△cea（sas）∴bc=ae，∵ad=de=1/2ae，∴ad=1/2bc。
【证法2】取AC的中点e，连接De。
∵ ad是斜边BC的中心线，∵ BD=CD=1/2BC，∵ e是AC的中点，∵ De是平均线△ 美国广播公司，∵ de//AB（三角形的中线与底边平行）∵ 十二月=∠ BAC=90°（两条线平行，等电位角相等）∵ 将AC垂直分开，∴ad=cd=1/2bc（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
[证据法3]延长ad到e，使de=ad，连接be、ce。
∵ad是斜边bc的中线，∴bd=cd，又∵ad=de，四边形ABEC是一个平行四边形（被对角线平分的四边形是一个平行四边形），≓∠BAC=90°，∴四边形abec是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形），∴ae=bc（矩形对角线相等），∵ad=de=1/2ae，∴ad=1/2bc。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半----经常练(1)
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1.如图，△ABC中，AB＝AC,AD是角平分线，E为AC的中点．(1）若DE＝5cm，则AB＝ cm；（2）若∠CDE＝70º，则∠B＝2.如图，∠BAC＝∠BDC＝90º,E为BC的中点，AE＝5cm，则BC＝ cm,DE＝cm．3。
如图，Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线，CE⊥AB，垂足为E，CE＝5cm，CD＝6cm，则AB＝cm,△ABC的面积为4.如图,在四边形ABCD中,∠ABC＝∠ADC＝90º，M、N分别是AC、BD的中点，证明：（1）MD＝MB;（2）MN⊥BD．1.如图，在△ABC中,BE和CF是高,M为BC中点，连接ME和MF,EF＝5cm,BC＝12cm，则△EFM的周长为 cm.2。
如图，△ABC中，BD，CE是高，G、F分别是线段BC，DE的中点，连接FG．求证：FG⊥ED.3.如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝90º，AB＝AC，AD＝2，BC＝8,求梯形ABCD的面积.4。
证明:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
1。
如图，在△ABC中，AB＝AC ，BD平分∠ABC，BD与AC交于点D，DE⊥BD，DE与BC交于点E,DC＝5cm,那么BE＝ cm.2。
如图，AE、BD相交于点C，AC＝AD，BC＝BE,M、N、P分别是DC、CE、AB的中点，AB＝10 cm，那么PM＝ cm，PN＝ cm.3。