固体物理Ch4.5 紧束缚近似
固体物理学_能带理论之紧束缚方法讲解
—— 积分只取决与相对位置
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
i* ξ Rn Rm U ξ V ξi ξdξ J Rn Rm
—— 周期性势场减去原子的势场 —— 仍为负值
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
布洛赫和
i k
1 N
eikRm i
r
Rm r
m
—— 不同的分格子，i ——不同的原子轨道
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
—— 具有金刚石结构的Si，原胞有1个A位和4个B位原子 A位原子格子与B位原子格子的相对位移
—— 坐标原点选取在A 位格子的格点上
—— 重叠越多 形成能带越宽
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
在能带底部
将
在
附近按泰勒级数展开
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
令
2
m* 2J1a2
2
E
k
Emin 2m*
kx2
k
2 y
k
2 z
m*
2 2 J 1a 2
—— 能带底部电子的有效质量
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
在能带顶部 将
在
附近按泰勒级数展开
04_05_紧束缚近似－原子轨道线性组合法 —— 能带理论
令
E(k )
Emax
2 2m*
(k
2 x
k
2 y
k
2 z
固体物理--近自由电子近似和能带电子的经典近似
x na
U ( x) U ( )
N 1 1 N 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na e e U ( ) d e U ( ) d e 0 0 Na n 0 Na n 0
d U ( x) ( x) E ( x) 2 2me dx
2 2
ˆ H
(0)
2
d
2
2me dx 2
U0
ˆ (1) U ( x) U H 0
ˆ H
( 0)
) ( 0) ( 0) ˆ (1) a (0) b (0 H E a b ' k k k k'
由N个原子组成的一维晶格，基矢为a。 晶格周期势U(x) 作傅里叶级数展开：
U( x) U 0 um e
m 0
U0：等于势场的平均值，即 U 0 U ( x)
mx i 2 a
1 U ( x )e um：展开系数，即 um L0
L
i 2
mx a
dx
近自由电子势场（一维）-2 N N
非简并微扰（波函数）-3
2 2 (1) ˆ k H k um (k 'k m ) & 0 (k 'k m ) a a
'
1 ikx k k k L e E (0) E (0) k(0' ) k' k k'
2 (0) um Ek ' ( 0 ) (0) E E k k' E 2 um E (0) (0) (0) k E E k k'
4.5 紧束缚近似、能态密度和费米面
如果在 k 空间中, 根据
E(k ) 常数
作出等能面, 那么在等能面 E 和 E+ΔE 之间的状态 的数目就是 ΔZ , 由于状态在 k 空间分布是均匀的, 密度为 V/(2π)³
V Z (能量为E和E E的等能面之间的体积) 3 (2 )
s k px k py k
代入波动方程, 解出系数和 能量本征值
虚线表示没有计入相互作用, 只是能带发生了明显的交迭
实线表示计入相互作用后的 结果, 可看出能级间的“排 斥作用”, 最下面能带既有 s 能级也有 p 能级的成分
3. 如果是复式晶格，每个原胞中有 l 个原子，原子 的位置为
Rm r m1 a1 m2 a2 m3 a3 r , 1,2,..., l
按照 LCAO 近似, Si 的价带和导带可以看成八个Bloch 和的线性组合
也可以取另外一种看法, 金刚石结构中的硅原子进 行 sp³ 轨道杂化, 形成四个杂化轨道
1 h1 2 1 h 2 2 1 h3 2 1 h 4 2
*
则 Wannier 函数就是各个格点上孤立原子的波 函数。如果某些能带与紧束缚近似模型相差很 远, 这时 Wannier 函数很少保留孤立原子波函数 的信息, 但是它仍然是比较定域的
在讨论电子空间局域性起重要作用问题时, Wannier 函数会是较好的工具
§4-5 紧束缚近似—原子轨道线性组合法 小 结
简单立方晶格 s 能带, p 能带沿 Δ 轴 E(k) 函数
二、原子能级与能带的对应 1. 上面讨论的是最简单的情形, 一个原子能级 εi 对应一个能带, 原子的不同能级, 在固体中将产 生一系列相应的能带
固体物理：4_5 紧束缚近似——原子轨道线性组合法
P582——4.4
体心立方结构原子s态形成的能带函数
8个最近邻格点的位矢:
a (1,1,1), a (1,1,1), a (1,1,1), a (1,1,1),
2
2
2
2
a (1,1,1), a (1,1,1), a (1,1,1), a (1,1,1)
2
2
2
2
Es
k
s
J0
8J
cos
kxa 2
cos
z
Emin s J0 6J1 Emax s J0 6J1
X
E Emax Emin 12J1
kx
R ky
M
显然，带宽决定于J1，而J1决 定于近邻原子波函数的相互
重叠程度，重叠愈多，形成
的能带愈宽。
简立方结构布里渊区及对称点
能带极小值点： k 0 即布里渊区中心( 点)；
能带极大值点：
cos
kya 2
cos
kxa 2
cos
kza 2
cos
kya 2
cos
kza 2
Es
k
s
J0
4J
cos
2
a
a cos
2
2
a
a 2
1
E s J0 4J (1 2 cos )
东北师范大学物理学院
4 – 5 紧束缚近似
第四章 能带理论
(2)
ky
kz
kx
2
a
Es k s J0
4J
基本方程
第四章 能带理论
孤立原子波动方程：
2 2m
2
V
(r
Rm
) i
(r
固体物理(第16课)紧束缚近似资料
V为晶体的体积
2. 微扰计算结果
k
(
r
)
1 N
N
e ikRn i
(r
Rn
)
n1
Ek Ei J ss
e J ik( Rn Rs ) sn
J SS
J SN
V V
* i
* i
(r (r
与sR近s邻)的Hˆn Rs )Hˆ
i i
(r (r
Rs )d Rn )d
E
k
Ei
J ss
ห้องสมุดไป่ตู้
e J ik( Rn Rs ) sn
与s近邻的n
E
k
Gh
Ei
J ss
e J i (k Gh )( Rn Rs ) sn
与s近邻的n
Ei J ss
e e J ik( Rn Rs )
iGh ( Rn Rs ) sn
与s近邻的n
Ek (3) Ek随k变化，它们构成了与Ei相联系的能带
能带的宽度取决于J sn
示意图
零级近似：
Hˆ 0
k
0
(r
)
Ek 0
k
0
(r
)
Ekk00(r)Ei
i
(r
Rn )
孤立原子
k
l1 N1
b1
l2 N2
b2
l3 N3
b3
其中
Ni 2
li
Ni 2
N为晶体中的原 子数或布喇菲晶 格的原胞数
在第一布里渊区有N个值不同的 值,对应这些准连续函数取值的 波矢k, E(k)构成一个准连续的能 带.
积分值才不为0,当Rs 0时,波函数重叠最大,
《固体物理学》部分习题解答
《固体物理学》部分习题解答1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。
解由倒格子定义体心立方格子原胞基矢倒格子基矢同理可见由为基矢构成的格子为面心立方格子面心立方格子原胞基矢倒格子基矢同理可见由为基矢构成的格子为体心立方格子1.4 证明倒格子原胞的体积为，其中为正格子原胞体积证倒格子基矢倒格子体积1.5证明：倒格子矢量垂直于密勒指数为的晶面系。
证：容易证明与晶面系正交。
1.6如果基矢构成简单正交系证明晶面族的面间距为说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理证简单正交系倒格子基矢倒格子矢量晶面族的面间距面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理1.9 指出立方晶格(111)面与(100)面，(111)面与(110)面的交线的晶向解(111)面与(100)面的交线的AB－AB平移，A与O重合。
B点位矢（111）与（100）面的交线的晶向——晶向指数(111)面与(110)面的交线的AB——将AB平移，A与原点O重合，B点位矢(111)面与(110)面的交线的晶向――晶向指数2.1．证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为.证设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有前边的因子2是因为存在着两个相等距离的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为当X=1时，有2.3 若一晶体的相互作用能可以表示为求1）平衡间距2）结合能W（单个原子的）3）体弹性模量4）若取，计算值。
解1）晶体内能平衡条件2) 单个原子的结合能3) 体弹性模量晶体的体积——A为常数，N为原胞数目晶体内能体弹性模量由平衡条件体弹性模量（）4）2.6．用林纳德—琼斯(Lennard—Jones)势计算Ne在bcc（球心立方）和fcc（面心立方）结构中的结合能之比值．解2.7．对于，从气体的测量得到Lennard—Jones势参数为计算结合成面心立方固体分子氢时的结合能（以KJ/mol单位），每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ／mo1，试与计算值比较．解以为基团，组成fcc结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard—Jones势相互作用，则晶体的总相互作用能为：因此，计算得到的晶体的结合能为2.55KJ／mol，远大于实验观察值0.75lKJ／mo1．对于的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因．3.1．已知一维单原子链，其中第个格波，在第个格点引起的位移为，，为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。
紧束缚近似
定义：
i ( r Rm ) 表示位于格点 Rm 上的孤立原子波函数； i (k , r ) 紧束缚下晶体中电子波函数，可表示 为 i ( r Rm )的线性组合，即： (k , r ) am (k ) i (r Rm )
这里：
(k , r ) am (k ) i (r Rm ).......... .......... ......( 3)
m V U ( r ) V ( r Rm )......... .......... .......... .......... ......( 4)
例二、面心立方晶格中由原子s态形成的能带，并分 析其能带宽度；
例三、简立方晶格中由原子p态形成的能带。
13
紧束缚近似微扰计算——例一
例一、简立方晶格中由原子s态形成的能带，并分析其能 带宽度。 求解方法：利用公式计算 E s(k )
E k i J 0
公式中需要解决的是：
*
对应本征值为：
ik E (k ) i J ( Rs )e Rs s
特点：是准连续能级
11
化简J ( Rs ) :
紧束缚近似微扰计算
表示式：
* J ( Rs ) i －Rs U V i d
化简： am i i r Rm am V i r Rm E am i r Rm
m m m
i i r Rm
m
m
7
紧束缚近似微扰计算
继续化简得： am i V i r Rm E am i r Rm
紧束缚近似解析
波函数代入，晶体波函数为
1
N
2
n eikRn [ 2m 2 V (r Rm ) U (r ) V (r Rm ) E (k)]
at (k, r Rn ) 0
周期性势场减去原子的势场，仍为负值
例子：对于非简并的s态电子，利用关系式
2
[
2m
2
V
(r
Rm
)
Es
(k )]at
(k,
r
Rn
)
[E at s
0,0, a
Es (k) Esat (k) Cs 2Js (cos kxa cos kya cos kza)
Es (k) Esat (k) Cs 6Js 0,0,0
Es (k ) Esat (k ) Cs 6J s
a
,
a
,
a
不同能带计算方法的特征区别在两个方面：
• 采用不同的函数集来展开晶体的波函数 • 根据研究对象的物理性质对晶体势作合理
(k)
Es
(k )]sat
(k,
r
Rn
)
乘以波函数并对晶体积分，将晶体波函数改为
[
E
at
s
(k
)
Es
(k
)]
eikRn
at s
(r )sat
(k
,
r
Rn
)dr
n
N
eikRn
at
N s
(r)[U
(r
)
V
(r
Rm
)]at
(k,
r
Rn
)
0
n
当Rn不等于0时，两个波函数交叠很少
N
at s
(r
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Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法
3
孤立原子中电子运动方程
i 个束缚态的能级孤立原子中的电子
表示所处能级0ˆH (2)晶体中电子运动方程
势场
⇀
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法
5
()+-+∑ m
m R V r R V 2()∇+- m V r R (r ψ
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法9
周期性势场减去原子的势场，仍为负值
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法11
(k r
ψ
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法13
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法15
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法
17
()2(cos cos cos )
E k J J k a k a k a =ε--++
⇀⋅ ⇀
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法19
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法
21
2
222min *()()
2x y z E k E k k k m
=+++
能带底部电子的有效质量
2*2
12m J a
=
在能带顶部 : ⇀
, ,
在 ⇀
,
,
附近按泰勒级数展开
将 ⇀
2 cos cos cos
⇀
有效质量为正
⇀
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法
23
max ()E k E =+ ⇀ 内层电子外层电子
(2).若考虑p态电子，d态电子，这些
状态是简并的，N个原子组成的晶
体形成能带比较复杂，一个能带
不一定同孤立原子的某个能级对
应，可能出现能带交叠.
——由于p态是三重简并的，对
应的能带发生相互交叠，d态等一
些态也有类似能带交叠
紧束缚讨论中
只考虑不同原子、相同原子态之间的相互作用，不考虑不同原子态之间的作用
——对于内层电子能级和能带有一一对应的关系
——对于外层电子，能级和能带的对应关系较为复杂
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法25
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法27
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法
29
()m
ik R m s m
e r R ϕτ⋅--∑
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法33
Ch4.5 紧束缚近似——原子轨道线性组合(LCAO)法35。