13第十三章 动能定理
1
作用在质点上合力的功等于各分力的功的代数和。
( )
2
摩擦力总是作负功。
( )
3
力偶的功之正负号，决定于力偶的转向。
( )
4
图所示一质点与弹簧相连，在铅垂平面内的粗糙圆槽内滑动。
若质点获得一初速0v 恰好使它在圆槽内滑动一周，则弹簧力的功为零；（ ）重力的功为零；（ ）法向反力的功为零（ ）摩擦力的功为零（ ）
5
作平面运动刚体的动能等于它随基点平动的动能和绕基点转动动能之和。
( ) 6
内力不能改变质点系的动能。
( )
7
理想约束反力不做功。
( )
1
图示均质圆盘沿水平直线轨道作纯滚动，在盘心移动了距离s 的过程中，水平常力T F 的功
T A =（ ）
；轨道给圆轮的摩擦力f F 的功f A =（ ） A ．s F T ； Ｂ．s F T 2；
Ｃ．-s F f ； Ｄ．-2s F f ； E.0。
2
图示坦克履带重P ，两轮合重Q 。
车轮看成半径R 的均质圆盘，两轴间的距离为R 2。
设坦克的前进速度为v ，此系统动能为（ ）
Ａ．222143Rv g P v g Q T π+=； Ｂ．224v g
P v g Q T +=； Ｃ．222143v g P v g Q T +=
； Ｄ．2243v g P v g Q T +=。
3
图示两均质轮的质量皆为m ，半径皆为R ，用不计质量的绳绕在一起，两轮角速度分别为1ω和2ω，则系统动能为 Ａ．()22212212121ωωR m mR T +⎪⎭
⎫ ⎝⎛=； Ｂ．22221221212121ωω⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=mR mR T ； Ｃ．()222222122121212121ωωω⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛=mR R m mR T ； Ｄ．()2222212122121212121ωωωω⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛=
mR R R m mR T 。
4
半径为R ，质量为m 的匀质圆盘在其自身平面内作平面运动。
在图示位置时，若已知图形上B A 、二点的速度方向如图所示。
︒=45α，且知B 点速度大小为B v ，则圆轮的动能为 Ａ．16/2B mv ； Ｂ．16/32
B mv ；
Ｃ．4/2B mv ； Ｄ．4/32
B mv 。
5 已知匀质杆长L ，质量为m ，端点B 的速度为v ，则杆的动能为 Ａ．231
mv ； Ｂ．22
1mv ； Ｃ．()23/2mv ； Ｄ．()23/4mv 。
1
曲柄滑杆机构如图所示。
滑块与滑槽间的一对摩擦力是该系统的内力，已知它为常力，大小等于F ，曲柄OA 长为r 。
当曲柄转过一整周时，这对摩擦力作功之和为 。
2
车轮重P ，在滑动摩擦系数为f ，滚动摩擦系数为δ的直线轨道上只滚动不滑动。
T 力大小方向不变。
当轮心位移为s 时外力的全功为 。
3
如图所示一人用恒力拉动绳子，匀速走过路程为S ，从而提起重物W ，初始时拉力与竖直线成α角度，人肩至定滑轮高度为H ，则人的拉力所作的功为 。
4 图中，圆轮在力偶矩为M 的力偶作用下沿直线轨道作无滑动的滚动，接触处摩擦系数为f ，圆轮重W ，半径为R 。
当圆轮转过一圆时，外力所作功之和为
5
若弹簧刚度N/cm 10=k ，原长cm 100=l ，则：
① 弹簧端点从A 到B 过程中弹性力所作功为
② 弹簧端点从B 到C 的过程中弹性力所作功为
（图中长度单位为cm ）。
1 均质圆盘A 重Q ，半径为r ，沿倾角为α的斜面向下作纯滚动。
物块B 重P ，与水平面的动摩擦系数为'
f ，定滑轮质量不计，绳的两直线段分别与斜面和水平面平行。
已知物块B 的加速度a ，试求'f 。
2 一均质板C ，水平地放置在均质圆轮A 和B 上，A 轮和B 轮的半径分别为r 和R ，A 轮作定轴转动，B 轮在水平面上滚动而不滑动，板C 与两轮之间无相对滑动。
已知板C 和轮A 的重量均为P ，轮B 重Q ，在B 轮上作用有矩为M 的常力偶。
试求板C 的加速度。
3
均质直角杆AOB 重P 3，且L OB DO AD ===，可绕水平固定轴O 转动；弹簧刚度系数为k ，当045=φ时，弹簧位于铅直位置且系统处于平衡状态。
欲使OB 部分恰好能运动到水平位置，问给杆AOB 的初角速度0ω应为多大？
4 一单位长度质量为q ，长为l 的重链条沿着包括光滑部分（O 点左侧）和粗糙部分（O 点右侧）的水平表面受到常力P 的作用，如图示。
如果初始链条全部在光滑表面上（0=x ）处
于静止，链条与粗糙表面间的动摩擦系数为'f ，试求l x =时链条的速度（假设链条保持绷
紧状态）。
(10分)
5
质量分别为B A m m ,的物块B A ,用刚度系数为k 的弹簧联接后，放在光滑的水平面上，已知在图示位置弹簧已有伸长 ，同时剪断绳索BG AD 、后，试用机械能守恒原理求当弹簧受到最大压缩时，物块A 的位移A s 。
(15分)。
理论力学第十三章动能定理
例：图示弹簧原长l=100mm，刚性系 图示弹簧原长 ， 一端固定在点O， 数k=4.9KN/m,一端固定在点 ，此点 一端固定在点 在半径为R=100mm的圆周上。如弹簧 的圆周上。 在半径为 的圆周上 的另一端由点B拉至点 和由点A拉至 拉至点A和由点 的另一端由点 拉至点 和由点 拉至 垂直BC， 和 为直径 为直径。 垂直 点D，AC垂直 ，OA和BD为直径。 分别计算弹簧力所作的功。 分别计算弹簧力所作的功。
1 2 ⇒ d( mυ ) =δw 2
——质点动能定理 ——质点动能定理 的微分形式
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。 质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
1 1 2 ——质点动能定理 m 2 − m 1 =W ——质点动能定理 υ υ2 12 2 2 的积分形式
在质点运动的某个过程中， 在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于 作用于质点的力作的功。 作用于质点的力作的功。
0−0 = mgl(1−cosϕ1) −
mgl(1−cosϕ2) −W k
冲断试件需要的能量为
W = 78.92J k
[例3] 行星齿轮传动机构, 放在水平面内。 动齿轮半径r ,重P, 视 行星齿轮传动机构, 放在水平面内。 动齿轮半径r 为均质圆盘；曲柄重Q 作用一力偶, 矩为M 常量), 为均质圆盘；曲柄重Q, 长l , 作用一力偶, 矩为M(常量), 曲柄由 静止开始转动； 的函数表示) 静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角ϕ 的函数表示) 和角加 速度。 速度。 解：取整个系统为研究对象
dt
由 δW = F·dr 得 ，
dr P = F⋅ = F ⋅ v = Fv t dt 功率等于切向力与力作用点速度的乘积。 功率等于切向力与力作用点速度的乘积。
13.动能定理
T 1
2
N i
mivi 2
1 2
N i
mi (vC vir )2
1 ( N
2i
mi )vC21Βιβλιοθήκη 2N imi vi2r
1 2
2
N i
mvir vC
N
mivir MvCr 0 i
1 2
mvC2
Tr
1 2
MvC2
1 2
mivi '2
例1 坦克以速度v0向右运动，其履带的质量为m，车轮的 半径为R，两车轮轴间的距离为πR。试计算履带的动能。
力 F 在曲线路程 M1M 2 中作功为
M2
M2
W F cosds F ds （自然形式表达式）
M1
M1
M2
F dr
（矢量式）
M1
M2
Xdx Ydy Zdz （直角坐标表达式）
M1
三．合力的功
质点M 受n个力 F1,F2 ,,Fn 作用,合力为R Fi 则合力 R
的功
M2
M2
第九章 动能定理
§9–1 质点系的动能 §9–2 力的功 §9–3 动能定理 §9–4 功率 ·功率方程 §9–5 势力场 ·势能 ·机械能守恒定理 §9–6 动力学普遍定理及综合应用
§9-1 质点系的动能
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱
的又一种度量。 一．质点的动能
T 1 mv 2 2
zC2
l 2
，则重力
W
mg ( z C1
zC2 )
1 2l
mg(l 2
a2)
2．弹性力的功
弹簧原长 l0 ，在弹性极限内 F k(r l0 )r0
理论力学13—动能定理概论
上两式可写成矢量点乘积形式
δW F dr
W M2 F dr M1
称为矢径法表示的功的计算公式。
在直角坐标系中
F Fx i Fy j Fz k , dr dxi dy j dzk
δW Fxdx Fydy Fzdz
W
M2 M1
(
Fx
dx
Fy
dy
Fz
dz
)
上式称为直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功
的解析表达式。
13.1 力的功
13.1.3 常见力的功
1) 重力的功
设质点的质量为m，在重力 作用下从M1运动到M2。建立如图 坐标，则
z M1
z1 O
Fx 0, Fy 0, Fz mg x
代入功的解析表达式得
M mg M2 y
z2
W12
z2 z1
(mg)dz
mg(z1
z2
)
常见力的功
d(r
r)
1 2r
drห้องสมุดไป่ตู้2
dr
于是
W12
r2 r1
k(r
l0 )dr
1 2
k
(r1
l0 )2
(r2
l0 )2
或
W12
1 2
k (d 12
d
2 2
)
弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有 关，与力的作用点A的轨迹形状无关。
常见力的功
3) 定轴转动刚体上作用力的功
z
设作用在定轴转动刚体上A点的力为F,
4）平面运动刚体上力系的功
平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代数和。
平面运动刚体上力系的功，也等于力系向质心简化所得的力与力
理论力学课件第13章：动能定理
求:切削力F的最大值。
解: P有用 P输入 P无用 3.78kw
P有用
F
F
d · n
2 30
60
60 3.78
F dn P有用 0.1 42 17.19kN
当 n 112r / min 时
F 60 3.78 6.45kN
0.1112
例13-8:
已知 :m ，l0 ，k ， R ， J。
系的所有力的功率的代数和.
机床
dT dt
P输入 P有用 P无用
或
P输入
P有用
P无用
dT dt
3、机械效率
有效功率 机械效率
P有效
P有用
dT dt
P有效
P输入
多级传动系统 12 n
例13-7
已知: P输入 5.4kw, P无用 P输入 30%
d 100mm, n 42r / min , n ' 112r / min
2 1
M
zd
若 M z 常量
则 W12 M z (2 1)
4. 平面运动刚体上力系的功
由 vi vC viC 两端乘dt,有 dri drC driC 作用在 Mi 点的力 Fi 的元功为 δWi F idri Fi drC Fi driC
其中 Fi driC Fi cos MC d M C (Fi )d
W
Fxdx
Fy dy
Fz dz
力 F 在 M1 ~ M 2 路程上的功为
W12
M2 M1
δW
M2 M1
F ·dr
三、几种常见力的功 1、重力的功
质点
Fx Fy 0 Fz mg
W12
z2 z1
第十三章 动能定理PPT课件
n
m
则 W (F i) W (Pj)W (F R)W (M O)
i1
j1
8
动力学篇
第十三章 动能定理
目录 上页 下页 例题库 习题集
四、质点系内力的元功
W F 1 • d r 1 F 2 • d r 2
F1 •dr1 F1 •dr2 F1 •d(r1 r2)
F1•dr1 2 F1dl
z A1
该位置的势能。基准点的势能为零。
12
动力学篇
第十三章 动能定理
目录 上页 下页 例题库 习题集
二、机械能守恒定理
条件：惯性参考系；做功的力为有势力
TUE
13
动力学篇
第十三章 动能定理
目录 三、势力场的特性
上页 设作用在质点上的有势力为：FF xiF yjF zk
下页 设质点的势能函数为：VV(x,y,z)则有关系式：
r
B
F
rdr
dr dxidyjdzk O
y
W F xd x F yd y F zd z
x
元功的解析表达式
力F在曲线上由A点到B点所作的功：
W A B (F )F • d r(F x d x F y d y F z d z )
A B
A B
6
动力学篇
第十三章 动能定理
目录 二、作用于刚体上力偶的元功
第十三章 动能定理
整体概况
01
概况二
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02
概况三
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目录 §1 质点系的动能
上页
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一、质点系的动能
n
T
1 2
理论力学第13章动能定理
在理论力学中，动能被定义为物体运动时的能量，其大小与物体的质量和速度有关。根据牛顿第二定律，物体的动量改变量等于作用在物体上的外力的冲量。因此，如果一个力在一段时间内作用在一个物体上，那么这个力就会使物体的动量发生改变，从而产生动能的变化。
动能的定义
外力的功
外力的功等于力的大小与物体在力的方向上发生的位移的乘积。
总结词
外力的功是指力对物体运动所产生的效应，其大小等于力的大小与物体在力的方向上发生的位移的乘积。这是物理学中功的定义，也是计算外力对物体所做功的基本方法。
详细描述
VS
系统动能的增量等于合外力对系统所做的功。
详细描述
系统动能的增量是指在一个过程中，系统动能的增加量。这个增量可以通过计算合外力对系统所做的功来得到。如果合外力对系统做正功，则系统动能增加；如果合外力对系统做负功，则系统动能减少。因此，系统动能的增量与合外力对系统所做的功有直接的关系。
总结词
系统动能的增量
03
CHAPTER
动能定理的应用
适用于单个质点在力的作用下运动的情况，计算质点的动能变化。
单个质点的动能定理指出，质点在力的作用下运动时，外力对质点所做的功等于质点动能的增量。这个定理是理论力学中研究质点运动的基本定理之一，可以用来解决各种实际问题。
总结词
详细描述
单个质点的动能定理
动能定理是能量守恒定律在动力学中的具体表现，是解决动力学问题的有力工具。
动能定理适用于一切宏观低速的物体，对于微观、高速适用于狭义相对论。
动能定理适用于直线运动，对于曲线运动需要积分形式进行处理。
动能定理的适用范围
02
CHAPTER
动能定理的基本内容
总结词
13 大学物理动能定理
1J 1N 1m
2
, W 0;
2
, W 0;
2
, W 0.
力的功是代数量。
2
( F Fx i Fy j Fz k , dr dxi dyj dzk )
二．变力的功 元功： W F cos ds W Ft ds, W F dr ,
α1
mg D FD F'Ax A F
α2
B vB
mg E
(b)
Cv ωBD
α2
ωAB
D v D F' D
25
FAy
(a)
F'Ay
例题
动能定理
例 题 3
ωAB = ωBD
但两者的转向相反。另外，当2=20 º 时，有 DCv = 2l sin 20 º 由余弦定理可求得Cv E ，从而得杆BD质心C的速度
Fx 0, Fy 0, Fz mg
W12 mgdz mg ( z1 z 2 )
z1
z2
质点系： W12
W m g(z
i i
i1
zi 2 ) Mg( zC1 zC 2 )
质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重
心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。 W12=Mgh 重心下降，W120 重心上升，W120
0 0
F
力F 所作的功为
x 1 W Fx M C Fx 2r 2
O x
15
力F 所作的功是否还有其它方法可算？
§13 -2
动能
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱 的又一种度量。
理论力学13-动能定理
动能定理是理论力学中重要的定理之一，描述了物体动能的变化与外力做功 的关系。它为解决各种实际问题提供了有力的工具。
动能的定义与计算方法
动能定义
动能是物体由于运动而具有的能量。
动能计算方法
动能等于物体质量与速度平方的乘积乘以常数1/2。
举例
例如，一个质量为m的物体速度为v，它的动能为Ek=1/2mv^2。
碰撞实验
通过观察简谐摆的运动过程， 可以验证动能定理在实验中 的有效性和准确性。
利用碰撞实验可以验证动能 定理在不同碰撞情况下的适 用性。
滚动小球实验
通过观察滚动小球的动能变 化，可以验证动能定理在滚 动运动中的应用。
结论和要点
结论
动能定理是描述物体动能变化与外力做功关系的重要定理。
要点
动能定理的表达式是功等于动能的变化量，可以通过实验验证。
动能定理的提出及其重要性
1 提出背景
动能定理最早由牛顿提出，是牛顿运动定律的一部分。
2 重要性
动能定理能够精确描述物体动能的变化与外力做功的关系，对研究运动学和动力学等科 学领域具有重要意义。
动能定理的表达式及推导过程
动能定理表达式 推导过程 推导公式
功等于动能的变化量 根据牛顿第二定律和功的定义推导得出 W = ΔK = (1/2)mvf^2 - (1/2)mvi^2
动能定理在实际问题中的应用
1
碰撞问题
2
动能定理在研究碰撞问题中起到关 键作用，如弹性碰撞和非弹性碰撞。
3
机械能守恒
动能定理与势能定理结合可以帮助 解决机械能守恒的问题。
动能定理与其他物理定律的 关系
动能定理与动量定理、能量守恒定 律等相互关联，共同构成了理论力 学的核心部分。
第十三章动能定理
始运动，绳的倾斜段与斜面平行，绳的质量和轴承 O 的摩擦
都忽略不计。试求物体 A 沿斜面上升距离 s 时，物体 A的速
度和加速度。
MO O
s
M0 FOy
W2
O FOx
v
a
W1
α (a)
F FN (b)
例题
第13章 动能定理
例题
解: T1 = 0
T 2 1 2 J O 2 1 2 W g 2 v 2 1 2 ( W g 12 )v r ) ( 2 1 2 W g 2 v 2 2 v g 2(r 2 2 W 1 W 2 )
A1
δ2= δs+s A2
l0
s
v2=0
v0
例题
mg F
(a)
(b)
(c)
例题
第13章 动能定理
运送重物用的卷扬机如图 a 所示。已知鼓轮重 W1 ，半径
是 r ,对转轴 O 的回转半径是 。在鼓轮上作用着常值转矩
MO ，使重 W2 的物体 A 沿倾角为 的直线轨道向上运动。
已知物体 A 与斜面间的动摩擦因数是 f ；假设系统从静止开
v2 B
A m4g
C ω2
ω1 OⅡⅠ21
m3g
v1
v1 r11
vBvcv12r22
v2
r22
1 2v1
h2 v2t h 1v1 t2v2t2h 2
m1g
h2 h
m2g
13-12
图示带式运输机的轮Ｂ受恒力偶Ｍ的作用，使胶带 运输机由静止开始运动。若被提升物体Ａ的质量为 m为1均，质轮圆Ｂ柱和。轮运Ｃ输的机半胶径带均与为水r，平质线量成均交为角mθ2，，并它视的 质量忽略不计，胶带与轮之间没有相对滑动。求物 体Ａ移动距离s时的速度和加速度。
(13)动能定理
例1 一架喷气式飞机，质量 m = 5.0 × 10 3 kg ，起飞过 一架喷气式飞机， 2 程中从静止开始滑跑的路程为 s = 5.3 × 10 m 时，达到起
飞速度 v = 60m / s。在此过程中飞机受到的平均阻力是飞 机重量的0.02倍（k=0.02），求飞机受到的牵引力 。 ），求飞机受到的牵引力 机重量的 倍 ），求飞机受到的牵引力F。
在恒定外力F作用下， 在恒定外力 作用下，光滑水平面上的物体 作用下 m发生一段位移 ，速度由 1增大到 2，则这个 发生一段位移s， 发生一段位移 速度由v 增大到v 过程中外力做功多少？功与速度关系如何？ 过程中外力做功多少？功与速度关系如何？
a
V1 F
s
v2 − v 1 1 2 2 = mv2 − mv1 W = FS = ma 2a 2 2
7
扑 克 穿 木 板
动能和动能定理
大口径穿甲弹
知识回顾： 一.知识回顾： 知识回顾
1.在本章“追寻守恒量” 1.在本章“追寻守恒量”中，已经知道： 在本章 已经知道： 动能的表达式可能与那几个物理量有关？ 动能的表达式可能与那几个物理量有关？
物体由于 运动而具 有的能叫 做动能
与物体的 质量和 质量和速 度有关
1kg ⋅ m 2 / s 2 = 1N ⋅ m = 1J
3.单位：焦耳（J） 单位：焦耳（ ） 单位
4.动能是标量，且只有正值 动能是标量，且只有正值 动能是标量 5.动能也具有相对性：对不同参考系，速度大小不 动能也具有相对性：对不同参考系， 动能也具有相对性 同，则动能大小也不同，但通常都是以地面为参 则动能大小也不同，但通常都是以地面为参 考系。 考系。 6.动能是状态量，v是瞬时速度 动能是状态量， 是 动能是状态量