理论力学(第7版)第十三章 达朗贝尔定理
第十三章 动能定理
13-1 力的功
力的功——是力沿路程累积效应的度量。 1. 常力在直线运动中的功:
W F cos s
力的功是代数量。
2
正功； 时,功为零； 2 2 时,负功。 单位: J（焦耳） 1 J = 1 N· m
时,
2. 变力在曲线运动中的功: 元功
J d2 x m 2 2 mg k 0 kx kx R dt
J d2 x m 2 2 kx 0 R dt
13-5
势力场.势能.机械能守恒定律
W
(N)
N dr 0 ( N dr )
2）固定铰支座、固定端约束 ——位移为零
3）光滑铰链、刚体二力杆、不可伸长绳索类约束 ——约束反力成对出现，作功之和为零
W ( N ) N dr N 'dr
N dr N dr 0
4）不计滚动摩阻时，纯滚动（只滚不滑）的接触点 ——无位移
2、C点为刚体上任意一点，上述结论仍成立；
3、计算力系的主矢、主矩时，不作功的力可 刚性系 数k=4.9KN/m,一端固定在点O，此点 在半径为R=100mm的圆周上。如弹簧 的另一端由点B拉至点A和由点A拉至 点D，AC垂直BC，OA和BD为直径。 分别计算弹簧力所作的功。
dT P输入 P有用（输出） P无用（损耗） dt
或 P输入
dT P有用 P无用 dt
3、机械效率
P有效 机械效率 P输入
P有效
( ＜１)
表明机器对输入功率的有效利用程度。是评定机
器质量优劣的重要指标之一。
dT P有用 dt
多级传动系统
1,2 n
W m g( z
12 i
W12 mg( zC1 zC 2 )
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
由 mzC mi zi
i1
z i2 )
2、弹性力的功 弹性力：F k (r l0 )er
k——弹簧刚度系数 (N/m)
弹性力的功：W12 F dr
已知：轮O的R1、m1,; 均质轮C的R2、m2纯滚动, 初始静止 ;θ, M为 常力偶。 求：轮心C走过路程S时的速度和加速度
M m2 g Sin · S
C 2
4
(2m1 3m2 ) (a )
( M m2 gR1 Sin ) S C 2 R1 (2m1 3m2 )
1 Ql 2 2 1 P 2 1 P r 2 2 v1 1 T2 T1 0 2 3g 2g 2 2g v l v1 l , 1 1 r r 2 Ql 2 P P r 2 l 2 2Q 9 P 2 2 2 T2 (l ) ( ) l 6g 2g 4g r 12g 根据动能定理， 2Q 9 P l 2 2 0 M 12g
解： T 0 1
1 T2 J O12 1 m2 2 2 1 J C 22 2 2 2
其中：J O m1R12 J 1 m R 2 1 C , 2 C C 2 2 R1 R2 2 S S W12 M m2 gSin · R1
由W12 T2 T1
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能 与绕质心转动的动能之和。 [ 习题 P314 13-4 ]
上面结论也适用于刚体的任意运动。
13-3 动能定理
1、质点的动能定理
d m F 两端乘 dt dt
dr ，
——质点动能定理 的微分形式
m d F dr
1 d( m 2 ) w 2
弹性力的功只与弹 簧在初始和末了位置 的变形有关，与作用 点路径无关。
3. 定轴转动刚体上作用力的功
w F cos · F ds F Rd ds M z d
从角1 转动到角 2过程中力 F的功为：
令F F cos
W12 M z d
2
1
若 M z 常量
[例2] 已知 物块质量m ；弹簧 原长 l0 .刚度系数k，质量不计； 滑轮半径R ，转动惯量J求：系 统的运动微分方程。
解：以自然位置为参考点
1 ds 1 d 2 T m J 2 dt 2 dt
1 J ds m 2 , S R 2 R dt
W12 M z ( 2 1 )
同样适用于刚体上作 用一力偶所作的功。
4. 平面运动刚体上力系的功
当质心由 C1 ~ C2 ，转角由 1 ~ 2 时，力系的功：
W12 FR drC M C d
C1
C2
2
1
平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简 化所得的力和力偶作功之和。 说明：1、对任何运动的刚体，上述结论都适用；
A1
A2
k (r l0 )er dr
A1
A2
er
因 e dr r dr 1 d(r r ) 1 d(r 2 ) dr r
W12
r
r2 r 1
2r
k ( r l 0 )dr
2r
k 2 2 即 W12 ( 1 2 ) 2 式中 1 r1 l0 , 2 r2 l0
对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可。
质点系内力作功问题：
质点系内力作功之和不一定等于零。
1）相互吸引或排斥的质点，两力作功和不为零。 2）当力作用点有滑动摩擦时，滑动摩擦力与
物体的相对位移相反，摩擦力作负功。
刚体（特殊的质点系）所有内力作功的和等于零。
[例1] 已知：轮O的R1、m1, 质量分布在轮缘上; 均质轮C 的R2、m2纯滚动, 初始静止 ;θ, M为常力偶。 求：轮心C走过路程S时的速度 和加速度
作用在转动刚体上的力的功率:
d M z P Mz dt dt
单位:W（瓦特）,千瓦（kW），1W=1J/S
W
2、功率方程
d T wi
两端除以dt
n Wi n dT Pi ——功率方程 dt i 1 dt i 1
质点系动能对时间的一阶导数，等于作用 于质点系的所有力的功率的代数和。
P输入 P无用 3.78kw
d n P有用 F F · F 60 P有用 2 30 dn
当 n 42r / min 当 n 112r / min
(60 sec)(3.78kw ) F 17.19kN (0.1m)( 42r / min)
（ sec)(3.78kw ) 60 F 6.45kN (0.1m)(112r / min)
W M
2 3 gM l 2Q 9 P
将式对t 求导数， 6 gM ( 2Q 9 P )l 2
13-4
功率、功率方程、机械效率
1、功率： ——单位时间力所作的功。
P
W
dt
由 W F ·r，得 d
dr PF F v Ft v dt 功率等于切向力与力作用点速度的乘积。
2
2
J ds d 2 s ds ds m 2 mg ks R dt dt 2 dt dt J d2s m 2 2 mg ks R dt
以平衡位置为参考点 ds P重力 mg , P弹性力 ks ds 令 为弹簧静伸长，即mg=k , 0 0 dt dT dt p重力 p弹性力 S 0 x, dt
式(a)是函数关系式，两端对t求导，
C 1 (2m1 3m2 )C aC M m2 g Sin ·C 2 R1
2 ( M m2 g R1Sin ) aC (2m1 3m2 ) R1
[例2] 冲击试验机m=18kg ,
l=840mm, 杆重不计，在 1 70
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
1 1 2 2 m 2 m1 W12 ——质点动能定理 2 2 的积分形式
在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于 作用于质点的力作的功。
2、质点系的动能定理
1 2 d ( mii ) wi 2
求和
1 2 d ( 2mii ) wi d T wi ——质点系动能定 理微分形式
B C D
O
A
解：对于弹簧作功：
由W12 k 2 2 ( 1 2 ) 2
（m） 1 OB l 0.1 2 0.1 k 2 2 WBA ( 1 2 ) 0.2 ） 2 OA l 0.1 （J （m）
WAD
2 （m） k '1 OA l 0.1 2 2 ( '1 '2 ) 0.2 ） （J 2 1 '2 OD l 0.1 2 0.（m）
1 1 1 2 2 2 2 T mi vi mi ri mi ri 2 即 T 1 J 2 z 2 2 2 2
（3）平面运动刚体的动能 速度瞬心：P
1 T J p 2 2 1 ( J C md 2 ) 2 2 1 2 1 2 T mvC J C 2 2
质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的
元功的和。
T2 T1 wi
——质点系动能定 理积分形式
质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量，
等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。
3、理想约束
定义：约束力作功等于零的约束为理想约束。 1）光滑固定面约束、活动铰支座、向心轴承、一 端固定的绳索类约束 ——力与位移垂直
M2
M1
13-1 力的功
力的功——是力沿路程累积效应的度量。 1. 常力在直线运动中的功:
W F cos s
力的功是代数量。
2
正功； 时,功为零； 2 2 时,负功。 单位: J（焦耳） 1 J = 1 N· m
时,
2. 变力在曲线运动中的功: 元功
J d2 x m 2 2 mg k 0 kx kx R dt
J d2 x m 2 2 kx 0 R dt
13-5
势力场.势能.机械能守恒定律
W
(N)
N dr 0 ( N dr )
2）固定铰支座、固定端约束 ——位移为零
3）光滑铰链、刚体二力杆、不可伸长绳索类约束 ——约束反力成对出现，作功之和为零
W ( N ) N dr N 'dr
N dr N dr 0
4）不计滚动摩阻时，纯滚动（只滚不滑）的接触点 ——无位移
2、C点为刚体上任意一点，上述结论仍成立；
3、计算力系的主矢、主矩时，不作功的力可 刚性系 数k=4.9KN/m,一端固定在点O，此点 在半径为R=100mm的圆周上。如弹簧 的另一端由点B拉至点A和由点A拉至 点D，AC垂直BC，OA和BD为直径。 分别计算弹簧力所作的功。
dT P输入 P有用（输出） P无用（损耗） dt
或 P输入
dT P有用 P无用 dt
3、机械效率
P有效 机械效率 P输入
P有效
( ＜１)
表明机器对输入功率的有效利用程度。是评定机
器质量优劣的重要指标之一。
dT P有用 dt
多级传动系统
1,2 n
W m g( z
12 i
W12 mg( zC1 zC 2 )
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
由 mzC mi zi
i1
z i2 )
2、弹性力的功 弹性力：F k (r l0 )er
k——弹簧刚度系数 (N/m)
弹性力的功：W12 F dr
已知：轮O的R1、m1,; 均质轮C的R2、m2纯滚动, 初始静止 ;θ, M为 常力偶。 求：轮心C走过路程S时的速度和加速度
M m2 g Sin · S
C 2
4
(2m1 3m2 ) (a )
( M m2 gR1 Sin ) S C 2 R1 (2m1 3m2 )
1 Ql 2 2 1 P 2 1 P r 2 2 v1 1 T2 T1 0 2 3g 2g 2 2g v l v1 l , 1 1 r r 2 Ql 2 P P r 2 l 2 2Q 9 P 2 2 2 T2 (l ) ( ) l 6g 2g 4g r 12g 根据动能定理， 2Q 9 P l 2 2 0 M 12g
解： T 0 1
1 T2 J O12 1 m2 2 2 1 J C 22 2 2 2
其中：J O m1R12 J 1 m R 2 1 C , 2 C C 2 2 R1 R2 2 S S W12 M m2 gSin · R1
由W12 T2 T1
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能 与绕质心转动的动能之和。 [ 习题 P314 13-4 ]
上面结论也适用于刚体的任意运动。
13-3 动能定理
1、质点的动能定理
d m F 两端乘 dt dt
dr ，
——质点动能定理 的微分形式
m d F dr
1 d( m 2 ) w 2
弹性力的功只与弹 簧在初始和末了位置 的变形有关，与作用 点路径无关。
3. 定轴转动刚体上作用力的功
w F cos · F ds F Rd ds M z d
从角1 转动到角 2过程中力 F的功为：
令F F cos
W12 M z d
2
1
若 M z 常量
[例2] 已知 物块质量m ；弹簧 原长 l0 .刚度系数k，质量不计； 滑轮半径R ，转动惯量J求：系 统的运动微分方程。
解：以自然位置为参考点
1 ds 1 d 2 T m J 2 dt 2 dt
1 J ds m 2 , S R 2 R dt
W12 M z ( 2 1 )
同样适用于刚体上作 用一力偶所作的功。
4. 平面运动刚体上力系的功
当质心由 C1 ~ C2 ，转角由 1 ~ 2 时，力系的功：
W12 FR drC M C d
C1
C2
2
1
平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简 化所得的力和力偶作功之和。 说明：1、对任何运动的刚体，上述结论都适用；
A1
A2
k (r l0 )er dr
A1
A2
er
因 e dr r dr 1 d(r r ) 1 d(r 2 ) dr r
W12
r
r2 r 1
2r
k ( r l 0 )dr
2r
k 2 2 即 W12 ( 1 2 ) 2 式中 1 r1 l0 , 2 r2 l0
对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可。
质点系内力作功问题：
质点系内力作功之和不一定等于零。
1）相互吸引或排斥的质点，两力作功和不为零。 2）当力作用点有滑动摩擦时，滑动摩擦力与
物体的相对位移相反，摩擦力作负功。
刚体（特殊的质点系）所有内力作功的和等于零。
[例1] 已知：轮O的R1、m1, 质量分布在轮缘上; 均质轮C 的R2、m2纯滚动, 初始静止 ;θ, M为常力偶。 求：轮心C走过路程S时的速度 和加速度
作用在转动刚体上的力的功率:
d M z P Mz dt dt
单位:W（瓦特）,千瓦（kW），1W=1J/S
W
2、功率方程
d T wi
两端除以dt
n Wi n dT Pi ——功率方程 dt i 1 dt i 1
质点系动能对时间的一阶导数，等于作用 于质点系的所有力的功率的代数和。
P输入 P无用 3.78kw
d n P有用 F F · F 60 P有用 2 30 dn
当 n 42r / min 当 n 112r / min
(60 sec)(3.78kw ) F 17.19kN (0.1m)( 42r / min)
（ sec)(3.78kw ) 60 F 6.45kN (0.1m)(112r / min)
W M
2 3 gM l 2Q 9 P
将式对t 求导数， 6 gM ( 2Q 9 P )l 2
13-4
功率、功率方程、机械效率
1、功率： ——单位时间力所作的功。
P
W
dt
由 W F ·r，得 d
dr PF F v Ft v dt 功率等于切向力与力作用点速度的乘积。
2
2
J ds d 2 s ds ds m 2 mg ks R dt dt 2 dt dt J d2s m 2 2 mg ks R dt
以平衡位置为参考点 ds P重力 mg , P弹性力 ks ds 令 为弹簧静伸长，即mg=k , 0 0 dt dT dt p重力 p弹性力 S 0 x, dt
式(a)是函数关系式，两端对t求导，
C 1 (2m1 3m2 )C aC M m2 g Sin ·C 2 R1
2 ( M m2 g R1Sin ) aC (2m1 3m2 ) R1
[例2] 冲击试验机m=18kg ,
l=840mm, 杆重不计，在 1 70
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
1 1 2 2 m 2 m1 W12 ——质点动能定理 2 2 的积分形式
在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于 作用于质点的力作的功。
2、质点系的动能定理
1 2 d ( mii ) wi 2
求和
1 2 d ( 2mii ) wi d T wi ——质点系动能定 理微分形式
B C D
O
A
解：对于弹簧作功：
由W12 k 2 2 ( 1 2 ) 2
（m） 1 OB l 0.1 2 0.1 k 2 2 WBA ( 1 2 ) 0.2 ） 2 OA l 0.1 （J （m）
WAD
2 （m） k '1 OA l 0.1 2 2 ( '1 '2 ) 0.2 ） （J 2 1 '2 OD l 0.1 2 0.（m）
1 1 1 2 2 2 2 T mi vi mi ri mi ri 2 即 T 1 J 2 z 2 2 2 2
（3）平面运动刚体的动能 速度瞬心：P
1 T J p 2 2 1 ( J C md 2 ) 2 2 1 2 1 2 T mvC J C 2 2
质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的
元功的和。
T2 T1 wi
——质点系动能定 理积分形式
质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量，
等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。
3、理想约束
定义：约束力作功等于零的约束为理想约束。 1）光滑固定面约束、活动铰支座、向心轴承、一 端固定的绳索类约束 ——力与位移垂直
M2
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十三章达朗贝尔原理xppt课件-文档资料
当调速器以匀角速转动时，角a 将保持不变，飞 球在水平面内作匀速圆周运动，其向心加速度为
a a l sin A B
2
加上相应的惯性力
W 1 2 F F lsin IA IB g
则所有主动力、约束力（未画出）与惯性力组成一 平衡力系。
理论力学电子教程
第二节 质点系的达朗贝尔原理
理论力学电子教程
第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
下面讨论几种常见运动刚体惯性力系的简化： 1 刚体作平行移动
设刚体作平行移动，某瞬时的加速度为a。根据刚 体平行移动的特点，体内各点的加速度也都是a，因 而各点的惯性力
F m Ii ia
组成一同向的平行力系，可进一步合成为一个合力
F F m a m a I I i i
2
y
F
Ii
i
O
i
x
FT
FT
理论力学电子教程
第三节 运动刚体惯性力系的 简化及应用
理论力学电子教程
第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
对于一般质点系，在应用达朗贝尔原理时，可在 每一质点上加上相应的惯性力，据此进行计算。 但应用达朗贝尔原理研究刚体动力学时，由于各 质点的加速度可用刚体运动的角速度与角加速度等量 来表明，因而可将各质点的惯性力组成的力系进行简 化，用表征刚体运动的量来表示。应用达朗贝尔原理 研究刚体动力学时，就可以直接利用简化结果。 下面就刚体作平移、定轴转动及平面运动的情形， 分别讨论惯性力系简化的结果。
合力FI的作用线通过刚体的质心。
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第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
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第二节 质点系的达朗贝尔原理
a a l sin A B
2
加上相应的惯性力
W 1 2 F F lsin IA IB g
则所有主动力、约束力（未画出）与惯性力组成一 平衡力系。
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第二节 质点系的达朗贝尔原理
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第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
下面讨论几种常见运动刚体惯性力系的简化： 1 刚体作平行移动
设刚体作平行移动，某瞬时的加速度为a。根据刚 体平行移动的特点，体内各点的加速度也都是a，因 而各点的惯性力
F m Ii ia
组成一同向的平行力系，可进一步合成为一个合力
F F m a m a I I i i
2
y
F
Ii
i
O
i
x
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第三节 运动刚体惯性力系的 简化及应用
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第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
对于一般质点系，在应用达朗贝尔原理时，可在 每一质点上加上相应的惯性力，据此进行计算。 但应用达朗贝尔原理研究刚体动力学时，由于各 质点的加速度可用刚体运动的角速度与角加速度等量 来表明，因而可将各质点的惯性力组成的力系进行简 化，用表征刚体运动的量来表示。应用达朗贝尔原理 研究刚体动力学时，就可以直接利用简化结果。 下面就刚体作平移、定轴转动及平面运动的情形， 分别讨论惯性力系简化的结果。
合力FI的作用线通过刚体的质心。
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第三节 运动刚体惯性力系的简化及应用
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第二节 质点系的达朗贝尔原理
第十三章 达朗贝尔原理
Fi + FNi +FIi=0 (i = 1，2，…，n) 上式表明，质点系运动的每一瞬时，作用于系内每个质
点的主动力、约束反力和该质点的惯性力组成一个平衡力
系。这就是质点系的达朗贝尔原理。
如果把真实作用于第i个质点上的所有力分成外力Fie 和内力Fii，则上式可改写为
Fie + Fii +FIi=0 (i = 1，2，…，n) 这表明，质点系中每个质点上作用真实的外力、内力
第13章 达朗贝尔原理
13.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理 13.2 质点系的达朗贝尔原理 13.3 刚体惯性力系的简化
13.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
13.1.1 惯性力的概念
一工人在水平光滑直线轨道上推质量为m 的小车，如 图所示。由牛顿第二定律可知F=ma。由于小车具有惯性， 这个惯性力图使小车保持其原来的运动状态而给手一个反
的绳上，绳的另一端系在固定点O。当小球在水平面内以
速度v 做匀速圆周运动时，绳子与铅垂线成θ角。用达朗
贝尔原理求速度v与θ角之间的关系。 解：选小球为研究对象，受力
分析如图所示。由达朗贝尔原理， 列“静力”平衡方程
FNsin FI 0
O
l
FNcos mg 0
解得 FI mgtan
由于
v2 FI man m lsin
和虚假的惯性力在形式上组成一平衡力系。
对于由n个质点组成的质点系，由于每一个质点处于平 衡，整个质点系也就处于平衡。对于整个质点系的平衡， 由静力学中的平衡条件可知，空间任意力系平衡的充分必 要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即
Fie
Fii
F 0 Ii
MO (Fie ) MO (Fii ) MO (F Ii ) 0
点的主动力、约束反力和该质点的惯性力组成一个平衡力
系。这就是质点系的达朗贝尔原理。
如果把真实作用于第i个质点上的所有力分成外力Fie 和内力Fii，则上式可改写为
Fie + Fii +FIi=0 (i = 1，2，…，n) 这表明，质点系中每个质点上作用真实的外力、内力
第13章 达朗贝尔原理
13.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理 13.2 质点系的达朗贝尔原理 13.3 刚体惯性力系的简化
13.1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
13.1.1 惯性力的概念
一工人在水平光滑直线轨道上推质量为m 的小车，如 图所示。由牛顿第二定律可知F=ma。由于小车具有惯性， 这个惯性力图使小车保持其原来的运动状态而给手一个反
的绳上，绳的另一端系在固定点O。当小球在水平面内以
速度v 做匀速圆周运动时，绳子与铅垂线成θ角。用达朗
贝尔原理求速度v与θ角之间的关系。 解：选小球为研究对象，受力
分析如图所示。由达朗贝尔原理， 列“静力”平衡方程
FNsin FI 0
O
l
FNcos mg 0
解得 FI mgtan
由于
v2 FI man m lsin
和虚假的惯性力在形式上组成一平衡力系。
对于由n个质点组成的质点系，由于每一个质点处于平 衡，整个质点系也就处于平衡。对于整个质点系的平衡， 由静力学中的平衡条件可知，空间任意力系平衡的充分必 要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即
Fie
Fii
F 0 Ii
MO (Fie ) MO (Fii ) MO (F Ii ) 0
13第十三章达朗贝尔定理
d dp Fgi mi ai MaC dt ( mi vi ) dt
dLO d M O ( Fgi ) M O (mi ai ) dt M O (mi vi ) dt
第一节 惯性力·达朗贝尔原理
此时惯性力系简化为一惯性力偶。 2、当刚体作匀速转动时， 0 ，若转轴不过质心，惯 性力系简化为一惯性力 Fg ，且 Fg maC ，同时力的作用线
通过转轴O。
3、当刚体作匀速转动，同时转轴通过质心C时， g 0 ， F M gC 0 ，惯性力系自成平衡力系。
第十三章
第十三章
达朗贝尔原理
第一节 惯性力· 达朗贝尔原理
一、质点的达朗贝尔原理 对质点M，由动力学基本方程
Fg
m
即 F FN (ma ) 0 令 Fg ma ，称为惯性力。 则有 F FN Fg 0
ma F FN
FN
达朗贝尔原理
第二节 刚体惯性力系的简化
三、刚体作平面运动 实际工程中，刚体常具有质量对称平面，且平行于该平面 运动，则刚体各点的惯性力组成的空间力系，可简化为在该对 称平面内的平面运动。 以质心C为基点，该平面运动可以 分解为随基点的平移和绕基点的转动， 根据上述结果，则平面运动刚体惯性力 系向质心简化的结果是一个惯性力和一 个惯性力偶并且有 FgC maC
第十三章 达 朗 贝 尔 原 理
山东农业大学水利土木工程学院
第一节 惯性力·达朗贝尔原理
第二节 第三节 刚体惯性力系的简化 达朗贝尔原理应用
第一节 惯性力·达朗贝尔原理
第二节 第三节 刚体惯性力系的简化 达朗贝尔原理应用
理论力学 第十三章达朗贝尔原理
二、质点系的达朗贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成 第i个质点Mi，质量mi，受主动力 F， i 约束反力 FNi 作用，加速度为 ai ,对每一个质点，有： G G Fi mi ai Fi FNi Fi 0 (i 1, 2,, n)
表示为力系形式： G G G (F1,, Fi ,, Fn , FN1,, FNi ,, FNn , F 1 ,, F i ,, F n )0
G rC为刚体质心相对于质心 的矢径， rC 0MC 0
结论：刚体作平动时，惯性力系对质心C的主矩为零。
19
mi ri aC mrC aC
§13–2 刚体惯性力系的简化
三、刚体作定轴转动
讨论具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的情况。（刚体的空间惯性力系投影在对称平面内 的平面力系，再将此平面力系向O点简化，O点为质 量对称平面与转轴Z的交点。） 空间惯性力系 平面惯性力系 （质量对称面） 直线 i : 平动， 过Mi点，惯性力系 G 为
将质点系受力按内力、外力划分：
（内力是大小相等，方向相反成 对出现，所以内力主矢和对任意点 的主矩分别恒为零）
e e e G G G (F1 ,, Fi ,, Fn , F1 ,, Fi ,, Fn ) 0 e G Fi Fi 0 e G M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
1
第十三章
达朗贝尔原理
§13–1 达朗贝尔原理 §13–2 刚体惯性力系的简化
§13–3 绕定轴转动刚体的动约束力
静平衡和动平衡的概念
2
第十三章
达朗贝尔原理
法国科学家达朗贝尔（J.le Rond d’Alembert)将适 用于自由质点的牛顿定律（第二定律）推广至受约束质 点，并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原 理—达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了 基础。该原理提出一百多年后，后人引入了惯性力的概 念，并应用达朗贝尔原理中包含的用静力学中研究平衡 的方法研究动力学中不平衡问题的思想，将这一原理发 展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法， 称为动静法。 由于动静法简单有效，易于掌握，因此在工程技 术中得到了广泛应用。
设有一质点系由n个质点组成 第i个质点Mi，质量mi，受主动力 F， i 约束反力 FNi 作用，加速度为 ai ,对每一个质点，有： G G Fi mi ai Fi FNi Fi 0 (i 1, 2,, n)
表示为力系形式： G G G (F1,, Fi ,, Fn , FN1,, FNi ,, FNn , F 1 ,, F i ,, F n )0
G rC为刚体质心相对于质心 的矢径， rC 0MC 0
结论：刚体作平动时，惯性力系对质心C的主矩为零。
19
mi ri aC mrC aC
§13–2 刚体惯性力系的简化
三、刚体作定轴转动
讨论具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的情况。（刚体的空间惯性力系投影在对称平面内 的平面力系，再将此平面力系向O点简化，O点为质 量对称平面与转轴Z的交点。） 空间惯性力系 平面惯性力系 （质量对称面） 直线 i : 平动， 过Mi点，惯性力系 G 为
将质点系受力按内力、外力划分：
（内力是大小相等，方向相反成 对出现，所以内力主矢和对任意点 的主矩分别恒为零）
e e e G G G (F1 ,, Fi ,, Fn , F1 ,, Fi ,, Fn ) 0 e G Fi Fi 0 e G M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
1
第十三章
达朗贝尔原理
§13–1 达朗贝尔原理 §13–2 刚体惯性力系的简化
§13–3 绕定轴转动刚体的动约束力
静平衡和动平衡的概念
2
第十三章
达朗贝尔原理
法国科学家达朗贝尔（J.le Rond d’Alembert)将适 用于自由质点的牛顿定律（第二定律）推广至受约束质 点，并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原 理—达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了 基础。该原理提出一百多年后，后人引入了惯性力的概 念，并应用达朗贝尔原理中包含的用静力学中研究平衡 的方法研究动力学中不平衡问题的思想，将这一原理发 展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法， 称为动静法。 由于动静法简单有效，易于掌握，因此在工程技 术中得到了广泛应用。
《理论力学》--第十三章 达朗贝尔原理(动静法)
例13-7 已知：如图所示,轮盘(连同轴)的质量 m 20kg, 转轴AB与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心 C不在转轴上,偏心距 e 0.1mm. 当轮盘以均转速 转动. n 12000 r min 求：轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 2 an e m s 158 m s 2 1000 30
2
FI man 3160 N 1 FNA FNB mg FI 2
1 20 9.8 3160N 1680N 2
(e) Fi 为作用于第i个质点上质点系外部物体的作用力. (i) Fi 为作用于第i个质点上质点系内部的力. (e) (i) Fi Fi Fi 0 i 1,2,, n
例13-2 已知:如图所示,定滑轮的半径为r ,质量为m 均匀分布在轮缘 上,绕水平轴Ｏ转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量 为m1 和m2 的重物(m１>m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦 忽略不计。 求:重物的加速度.
例13-1 已知: 求:
m 0.1kg , l 0.3m , 60
v, FT .
解:
v2 FI man m l sin mg FT FI 0
Fb Fn
0, FT cos mg 0 0, FT sin FI 0
Fs f s FN f s m1 m2 g
Fs 3m1 fs FN 2m1 m2
D
§ 13-4
绕定轴转动刚体的轴承动约束力
F
x
0 FA x FB x FR x FI x 0
F
y
0 FA y FB y FR y FI y 0
第十三章 达朗贝尔原理
解:⑴ 以杆为研究对象 ⑵ 分析运动，并将惯性力系向 点O简化
质点系的达朗贝尔原理
例14-3 飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度ω转动。设轮缘 较薄，质量均匀分布，轮辐质量不计。若不考虑重力的影响， 求轮缘横截面的张力。 解:⑴ 以飞轮一半为研究对象，画受力图 由于轮缘质量均布， 任意截面的张力都相同
FA FB
A y
FIi
d
n ai
⑵ 分析运动，加惯性力
z
FIin mi ri 2 ; FIit mi ri
惯性力对x轴之矩
M Ix M x ( FIi ) M x ( FIit ) M x ( FIin ) mi ri cos i zi mi ri 2 sin i zi
ri cos i xi ; ri sin i yi
第十四章 达朗贝尔原理
1
惯性力 · 质点的达朗贝尔原理
2 3
质点系的达朗贝尔原理 刚体惯性力系的简化 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
4
PAG 3
Northeastern University
§14-1 一、惯性力
惯性力· 质点的达朗贝尔原理
F ma ' F F ma
§14-3
刚体惯性力系的简化
一、刚体作平移
FIi mi ai
FIi
ri
O C rC FIR
各质点惯性力的方向相同，组成 一个同向的平行力系 平行力系向任一点O简化
FIR FIi mi ai (mi )aC maC M IO ri FIi ri (mi aC ) (mi ri ) aC mrC aC
理论力学课件 第十三章 达朗贝尔原理
MO(F) 0
FΙC
r
l 2
MΙC
MΙO
M
0
联立求解，可得
1 7.9rad / s2 2 4.44rad / s2
由ΣFx=0 解得轴承O 水平方向的约束反力
FOy
O
FOx M mg
A
FΙ C
M ΙO
C
M ΙC
m1 g
B
FOx
FC
m1( r1
l 2
2
)
8.91N
由ΣFy=0 解得轴承O 铅垂方向的约束反力
Fii
F 0 Ii
MO (Fie ) MO (Fii ) MO (F Ii ) 0
由于质点系的内力总是成对出现的，且等值反向共线，它们相互抵消，这样， 上面两式可简化为
Fie FIi 0
MO (Fie )
MO (FIi ) 0
上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加在每一个质点上的惯性力 在形式上组成平衡力系，这就是质点系达朗贝尔原理的又一表述形式。
解得
FI mgtan
由于
FI
man
m
v2 lsin
FN
an
v
mg FI
解得
v gl tan sin
【例13-2】 如图所示的列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，摆锤的
质量为m。当车厢向右做匀加速运动时，单摆向左偏转的角度为 ，求车厢
的加速度a。
解：选摆锤为研究对象，受力分析 如图所示。由达朗贝尔原理，列x方向 的平衡方程
解得
FAx FBx 0
FAy 200kN
FBy 200kN
FAz 20kN
z
B FBx
理论力学——达郎贝尔原理
力和一个力偶，这个力等于刚体质量与质心的加速度的 乘积，方向与加速度方向相反，作用线通过转轴；这个 力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积， 转向与角加速度相反。
（e） FIR - Fi -ma c
M IO M Iz -J z
讨论 ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。
求解步骤 ①选取研究对象。原则与静力学相同。 ②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。
③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速
度，标出方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶， 一定要 在 正确进行运动分析的基础
上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑦求解求知量。
M
y
解得
1 M y FRxOB M Ix M IxOB FAx AB
1 M x FRyOB M Ix FIyOB FAy AB
1 M y FRxOA M Ix FIxOA FBx AB
1 M x FRyOA M Ix FIyOA FBy AB
min
求:轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 an e m 158 m 2 s s 1000 30
2
2
F man 3160N
n I
FNA FNB
1 20 9.8 3160N 1680N 2
内容
§13-1
惯性力〃质点的达朗贝尔原理
Force of Inertia ·D’Alembert’s Principle of a Particle
§13-2 质点系的达朗贝尔原理
（e） FIR - Fi -ma c
M IO M Iz -J z
讨论 ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。
求解步骤 ①选取研究对象。原则与静力学相同。 ②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。
③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速
度，标出方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶， 一定要 在 正确进行运动分析的基础
上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑦求解求知量。
M
y
解得
1 M y FRxOB M Ix M IxOB FAx AB
1 M x FRyOB M Ix FIyOB FAy AB
1 M y FRxOA M Ix FIxOA FBx AB
1 M x FRyOA M Ix FIyOA FBy AB
min
求:轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 an e m 158 m 2 s s 1000 30
2
2
F man 3160N
n I
FNA FNB
1 20 9.8 3160N 1680N 2
内容
§13-1
惯性力〃质点的达朗贝尔原理
Force of Inertia ·D’Alembert’s Principle of a Particle
§13-2 质点系的达朗贝尔原理
理论力学第7版第十三章达朗贝尔定理
例：已知均质杆l, m， 弹簧刚
度 k, AB水平时平衡，弹簧拉
长变形 0
系统平衡 M A(F) 0
k 0 l
mg
l 2
0
mg 2k
k 0 mg
弹簧取自然位置O为零势能点,重力以杆水平位置为零势能点:
V
1 2
k
0
l
2
mg
l
2
1 k 2l 2 m2 g 2
2
8k
取杆平衡位置为弹簧和杆的零势能点: （重力-弹力系统常采用）
V
1 2
k
2
02
mg l
2
其中
0 l
, 0
mg 2k
1 2
k
2 0
2 0l
2l 2
02
mg l
2
V 1 k 2l 2
2
质点系在势力场中运动,有势力功可通过势能计算。
W10 W12 W20
W10 V1, W20 V2
W12 V1 V2
有势力所作的功等于质点 系在运动过程的初始与终了位 置的势能的差。
第十三章 动能定理
13-1 力的功
力的功——是力沿路程累积效应的度量。
1. 常力在直线运动中的功:
W F cos s
力的功是代数量。 时,
正功；
2
时,功为零；
2
2
时,负功。
单位: J（焦耳） 1 J = 1 N·m
2. 变力在曲线运动中的功:
元功 w F cos ·ds
F ·dr
Fxdx Fydy Fzdz
静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角 的函数表示) 和角加
速度。
解：取整个系统为研究对象
《理论力学》第十三章 达朗贝尔原理.ppt
O
aCn C
A
Fix FOx－ma2lCn 2 mg sin 0
aCτ α
4.由动能定理计算2，T1-T2=∑Wi
1 2
J O 2
0
mg
l 2
sin
外力只有重力
例4: OB质量不计，AB长l、质量m。试求绳OA剪
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
Fix FOx 0 （3）
4.补充方程
aC l / 2
FOx
0;
FOy
1 4
mg ;
3g
2l
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
例3: 约束均质杆A端的绳索突然被剪断，试求杆转
到任一位置时的角加速度 、角速度及O处约束力
惯性系中：
0 FR ma FR FI
达朗贝尔原理将动力学加速度问题形 式上转换成静力学中的平衡问题，也 叫动静法
一、质点的达朗贝尔原理
ma FR F FN
FI
F
记
F N
ma
FI ma
0
称为质点的惯性力， 与加速度方向相反
则有 F FN FI 0
MIO MO (FIi ) MO FIi
MO miii miii
mi i2 JO
ω
MIO
FaOICFCρIii
i FIin
故定轴转动刚体惯性力系简化为：
作用在转轴上，且与质心加速 度方向相反的惯性力FI=maC 在对称平面内，转向与角加速度方 向相反的惯性力偶MIO=JOα