卢同善实变函数青岛海洋大学出版社第二章习题答案

第二章习题答案

1. 若y y x x m m →→且，则(,)(,)m m x y x y ρρ→. 特别的, 若x x m →， 则(,)(,).m x y x y ρρ→

证明：这实际上是表明(,)x y ρ是n n R R ?上的连续函数. 利用三角不等式, 得到

(,)(,)(,)(,)(,)(,)

(,)(,)0,)

m m m m m m m m x y x y x y x y x y x y x x y y m ρρρρρρρρ-≤-+-≤+→→∞(.

2. 证明：若()δ,01x O x ∈，则δδ

证明：实际上取),(0101x x ρδδ-<<即可，因为此时对任意的()11,δx O x ∈，有

δρδρρρ<+≤+≤),(),(),(),(0110110x x x x x x x x ，即()0,x O x δ∈.

3. 证明以下三条等价：(1).0x E ∈; (2). 0x 的任意邻域中都有E 中的点；(3). 存在E 中的点列{}n x 收敛到0x . 进而，若0x E ?，则存在0δ>，使得0(,)O x E δ=?I .

证明：注意到'E E E =U . （i ）.若（1）成立，则0x E ∈或0'x E ∈. 若前者成立，显然（2）成立；若后者0'x E ∈成立，由极限点的定义也有（2）成立. 总之，由（1）推出（2）. (ii). 若（2）成立，则对任意的n ，有10(,)n O x E ≠?I ，在其中任选一点记为n x . 这样就得到点列{}n x E ?，使得10(,)n n x x ρ<，即（3）成立.

(iii). 设（3）成立. 若存在某个n 使得0n x x =，当然有0n x x E E =∈?；若对任意的n ，都有0n x x ≠，则根据极限点的性质知0'x E E ∈?. 总之，（1）成立. 5. 证明：A B A B ?=?.

证明：因为()'''A B A B =U U ，所以有

()()()()()()'''''A B A B A B A B A B A A B B A B ?=??=??=??=?U U U .

6. 在1

R 中，设[0,1]E Q =?，求',E E . 解： '[0,1]E E ==

7. 在2R 中，设{}

22(,):1E x y x y =+<，求',E E . 解： {}

22'(,):1E E x y x y ==+≤

8. 在2

R 中，设E 是函数1sin ,0,0,0,x x y x ≠?=?=?

的图形上的点的全体所成之集，求'E . 解： {}'(0,):11E E a a =-≤≤U . 因对任意的11a -≤≤，有E 上的点列

11,()(0,)2arcsin 2arcsin y a n a

n a ππ??

→?

?++??. 9. 证明：当E 是不可数集时，'E 也必是不可数集.

证明：注意到()()

''\E E E E E =I U . 而'

\E E 是E 中孤立点的全体，它是一个孤立集，故是至多可数集. 若'E 不是不可数集，则'E 是至多可数集，其子集'

E E I 也必为至多可数集，就得到()()

''\E E E E E =I U 也是至多可数集（因右边两个都是至多可数集），与题设矛盾. 所以'E 必是不可数集.

10. 设1

,inf ,sup ,E R E E υμ?== 证明,E E υμ∈∈.

证明：由确界的定义知有E 中的点列{}n x 收敛到υ，再由第3题即得结果. 11. 证明以下三个命题等价: (1) E 是疏朗集. (2) E 不含任何邻域.

(3) c

E )(是稠密集.

证明： (1)→(2)：反证法 假设存在E r x O ?),(, 按闭包的等价定义, ),(r x O 中任意点的任意邻域中都含有E 中的点, 与疏朗集的定义矛盾.

(2)→(3)：由假设, 对x ?, 0δ?>, 有E x O ?),(δ, 从而()

?≠c

E x O I ),(δ，即任

一点的任一邻域中都有c

E )(中的点，也即c

E )(是稠密集.

(3)→(1)：反证法 若E 不是疏朗集，则存在),(δx O ，使得),(δx O 中没有子邻域与E 不相交. 这实际上意味着对任意的),(),(δx O r y O ?都有?≠?E r y O ),(, 由r 的任意小性知道E y ∈, 再由y 的任意性知道E r y O ?),(, 由此知道()

c

E 不是稠密的.

由这个命题知道疏朗集的余集是稠密的, 但稠密集的余集不一定是疏朗的, 如Q .

12. 设n R E ?，证明：E 是疏朗集的充要条件是任一闭区间中均有子闭区间与E 不相交. 证明：因为任一闭区间中必含开区间，而任一开区间中也必含闭区间. 13. 证明：疏朗集的余集必是稠密集，但稠密集的余集未必是疏朗集.

证明：由第11题知若E 是疏朗集，则c

E )(是稠密集. 而由于E E ?，故()

c

c E E ?，

从而由c

E )(是稠密集得到c E 是稠密的. 反例：Q 和c

Q 都是稠密集. 14. 构造反例说明：非稠密集未必是疏朗集，非疏朗集未必是稠密集.

反例：]1,0[

15. 证明：1R 中的非空闭区间不能表示成可数个疏朗集的并. 证明：反证法. 若否，设Y

∞==

1

],[n n E b a ，其中{}n E 都是疏朗集. 利用12题，因1E 疏

朗，故],[b a 中有非空子闭区间],[],[11b a b a ?，使111<-a b 且111[,]a b E =?I ；同样，因2E 疏朗，存在],[],[1122b a b a ?，使2

1

22<

-a b 并且222[,]a b E =?I ；一直下去，得到一列闭区间套{}],[n n b a ，使得n

a b n n 1

<

-，],[],[11n n n n b a b a ?++，且[,]n n n a b E =?I . 由数学分析中的闭区间套定理，存在唯一的],[b a x ∈含于所有的闭区间{

}],[n n b a ，并且成立)(n E x n ??，这与Y

∞==

∈1

],[n n E b a x 矛盾.

16. 孤立集n

R E ?必是至多可数集.

证明：令(0,)k E E O k =I ，则{}k E 是有界集列，且1

k k E E ∞==

U

，故只需要证明每

个k E 是至多可数集即可. 注意到k E 也是孤立集并且有界，方便起见，不妨仍记k E 为E .

这样，问题转为证明：有界的孤立集E 是至多可数集. 任取x E ∈，由孤立性，存在

()0x δ>使得

{}(,())O x x E x δ=I .

（*）

得到满足（*）式开球族{}(,()):O x x x E K δ∈=. 明显的，E 和开球族K 对等. 对K 中的球按半径分类.

令n K 是K 中半径大于

1

n

的球的全体. 则1n n K K ∞==U ，若能证明每个n K 都是有限集，

就得到K 是至多可数集，从而E 是至多可数集.

下证明：n K 都是有限集. 注意到n K 中每个球的半径大于1

n

，且每个球的球心不在其他的球中（由（*）式），这表明各个球心之间的距离大于

1

n

. 另一方面，这些球心是一致有界的. 再结合有界的无限集必有收敛的子列这一命题，知n K 中只能有有限个球. 17. 设n R E ?，证明E 是n R 中包含E 的最小闭集.

证明：当然，E 是包含E 的闭集. 任取闭集F ，且E F ?. 来证E F ?. 任取0x E ∈，则存在E 中的点列{}n x 收敛到0x (第3题中闭包的性质). 而E F ?，所以点列{}n x 含于F 中且收敛到0x ，这表明0x F ∈. 又F 是闭集，所以F F =，即有0x F ∈. 再由0x E ∈的任意性知E F ?，即E 是包含E 的最小闭集.

18. 设)(x f 是n R 上的实值连续函数. 证明：对任意的实数a ，集合 {}:()x f x a >是开集, 集合{}a x f x ≥)(:是闭集.

证明：（1）任取{}:()x f x a >中的点0x ，则0()f x a >. 由连续函数的性质（保号性）知：0δ?>，使得当0x x δ-<时，恒有()f x a >，即{}0(,):()O x x f x a δ?>，也就证明了0x 是{}:()x f x a >的内点. 由0x 的任意性知{}:()x f x a >是开集. （2）证明{}:()E x f x a =≥是闭集.

法一. 类似于（1），知{}:()x f x a <是开集. 由于开集的余集是闭集，所以

{}{}

:():()c

x f x a x f x a ≥=<是闭集.

法二. 直接证. 任取'

0x E ∈，则存在点列{}n x E ?，使得0lim n n x x →∞=. 再由函数的连续性知0lim ()()n n f x f x →∞=. 又()()n f x a n ≥?，结合连续函数的性质（保号性），必

有0()f x a ≥，即0x E ∈. 由'

0x E ∈的任意性得到'

E E ?，也即E 是闭集.

19. 证明：1

R 中可数个稠密的开集之交是稠密集. 证明：反证法. 设1

n n E E ∞==

I

，其中{}n E 是一列稠密的开集. 若E 不是稠密集，则存

在某个邻域0(,)O x δ与E 不相交，这时必有闭区间

0022[,]c I x x E δδ

=-+?. （1）

而

()

11c

c

c n

n n n E E E ∞

∞

===

=I

U ， （2）

这里{}

c n E 是一列疏朗集(因为稠密开集的余集是疏朗的). {}

c n E I I 也是一列疏朗集（疏朗集的子集当然是疏朗的），再由（1），（2）两式得到

()11c c c n n n n I I E I E I E ∞

∞

=====I I

I U U ，

这表明非空闭区间I 可以表示成一列疏朗集{}

c n E I I 的并，与第15题矛盾.

补：稠密开集E 的余集c E 是疏朗的.

证明：反证法. 若c E 不是疏朗集，由疏朗集的等价条件（第11题）知存在邻域

0(,)c O x E δ?. 又E 是开集，所以c E 是闭集，故c c E E =. 结合起来有0(,)c O x E δ?，

这表明0(,)O x E δ=?I ，与E 是稠密集矛盾. 20. 设)(x f 是1

R 上的实函数. 令

0()lim sup ()inf ().y x y x x f y f y δδδω→-<-

证明 ：（1）对任意的0>ε，集合{}:()x x ωε≥是闭集.

（2）)(x f 的不连续点的全体成一σF 集.

证明：注意到(

)

''''''

0,(,)()lim sup ()()y y O x x f y f y δδω→∈=-，它是)(x f 在x 处的振幅. （1）. 等价于证明{}:()E x x ωε=<是开集. 任取0x E ∈，因为0()x ωε<，由极限的性质，存在0δ>，使得

()'''0

''',(,)sup ()()y y O x f y f y δε∈-<.

任取0(,)x O x δ∈，则存在10δ>，使得10(,)(,)O x O x δδ?. 显然有

()()''''''1

'''''',(,),(,)sup ()()sup ()()y y O x y y O x f y f y f y f y δδε∈∈-≤-<.

这表明()x ωε<，x E ∈. 故0(,)O x E δ?，说明E 中的点全是内点，E 是开集. （2）. 注意到连续点的振幅是零，不连续点的振幅大于零. 设不连续点的全体是K . 令1

1:()n K x R x n ω?

?

=∈≥

???

?

. 则{}n K 是闭集列，且1n

n K K ∞==U ，即K 是σF 集.

21. 证明：]1,0[中无理数的全体不是σF 集.

证明：反证法. 若[0,1]\Q 是σF 集，则1

[0,1]\n n Q E ∞==

U

，其中{}n E 是]1,0[中的闭

集列. 因为每个n E 都是闭集且都不含有理数，所以它必是疏朗集（因若不疏朗，则n E 中必有邻域，而任意邻域中都有有理数）. 而]1,0[中有理数的全体[0,1]Q I 是可数集，设

{}{}121[0,1],,,,n n n Q r r r r ∞

===I L K U . 单点集列{}n r 当然是疏朗集列. 结合起来，有

()()(

){}()11

[0,1][0,1]\[0,1]n n n n Q Q E r ∞

∞====

U I U

U U

，

等式的右边都是疏朗集，故上式表明闭区间]1,0[可表示成一列疏朗集的并，与第15题矛盾. 22. 证明：定义在]1,0[上具有性质：“在有理点处连续，在无理点处不连续”的函数不存在.

证明：结合第20题（2）和第21题直接得结论.

23. 设n R E ?，证明E 的任意开覆盖必有至多可数的子覆盖. （Lindelof 定理）

证明：设{}:E αα∈Λ是E 的任一开覆盖. 任取E 中的点x ，必有某α∈Λ，使得x E α∈.存在有理开区间x I ，使得

x x I E α∈?. （*）

就得到E 的有理开区间族覆盖{}:x I x E ∈（称为{}:E αα∈Λ的加细开覆盖），其中x I 对某个E α满足（*）式. 因为有理开区间的全体是可数集，所以{}:x I x E ∈作为集合来看是至多可数集，记为{}n I . 则n

n E I

?

U ，对n I ，取满足（*）式的相应E α记为n E ，这时{}

n E 是至多可数个且覆盖E .

24. 用Borel 有限覆盖定理证明Bolzano-Weierstrass 定理.

证明：反证法. 设E 是有界的无限集. 若E 没有极限点，则它是有界闭集，还是孤立集. 由孤立性，对任意的x E ∈，存在()0x δ>使得

{}(,())O x x E x δ=I

（*）

这样，得到满足（*）式的开球族{}(,()):O x x x E δ∈且覆盖E . 因E 是有界闭集，由Borel 有限覆盖定理，存在有限的子覆盖，记为{}():1,,i O x i k =L . 即有1

()k

i i E O x =?

U

，又E

是无限集，所以至少存在一个()i O x 含有E 中的多个点，这与（*）式矛盾.

25. 设n E R ?是G δ集，且E 含于开集I 之中，则E 可表为一列含于I 的递减开集之交. 证明：设1n

n E E ∞

==

I

，其中{}n E 是开集列. 取1

n n k k F E ==I ，则{}n F 是递减的开集

列（因有限个开集的交是开集），且1

n n E F ∞==I

. 又I 是开集，故{}n F I I 是含于I 中的递

减开集列. 结合E I ?，得()

()11

n

n n n E E I F I F I ∞

∞====

=I I I I

I .{}n F I I

为所求.

26. 设{}()n f x 为n R 上的连续函数列. 证明：点集{}:lim ()0n E x f x =>为一F σ集. 证明：注意到对任意的a ，{}[]:()n n x f x a f a ≥=≥都是闭集（第18题）. 而

{}111:lim ()0n n

k N n N E x f x f k ∞∞∞

===?

?=>=≥????

U U I

. 又

1n

n N f k ∞

=?

?≥???

?I

是闭集（任意多个闭集的交还是闭集），结合上式表明E 为一F σ集. 27. 设G 为Cantor 开集，求'G .

解：由Cantor 集是疏朗的，可得'[0,1]G = 28. 证明：1R 中既开又闭的集合只能是1R 或?.

证明：设A 是非空的既开又闭集. 它必有构成区间，不妨设),(b a 是A 的一个构成区间.若a 有限, 则A a ?; 另一方面，由A 是闭集得A A b a b a a ??=∈')',(],[, 得到矛盾. 所以a =-∞，同理得b =+∞. 因此1

A R =，所以1

R 中既开又闭的集或是空集或是1

R .

实际上：n R 中既开又闭的集或是空集或是n R .

证明: 反证法. 设n

R A ?是既开又闭的非空又非n

R 的集合. 则必存在n

x R ∈，但

x A ?. 一方面因为A 是非空闭集, 所以存在A y ∈, 使得()()0,,>=y x A x ρρ. 另一方

面, 因为A 又是开集, 所以y 是内点，而取得非零距离的点绝不能是内点（只能在边界上达到非零的距离），就导出了矛盾, 所以n R 中既开又闭的集或是空集或是n

R . 29. 1

R 中开集（闭集）全体所成之集的势为c .

证明：因为开集的余集是闭集、闭集的余集是开集, 且不同集合的余集是不同的, 所以开集全体的势和闭集全体的势是一样的.

设开集的全体是F . 由于全体开区间{}b a b a F <=:),(1()(b a 可取负(正)无穷)的势是

c , 所以F 的势不小于c . 任取开集A F ∈, 由开集的构造知道Y ),(i i b a A =(是至多可列

个并). 作对应{}ΛΛ;;,;,)(2211b a b a A =?（如果是有限并，后面的点全用0代替）, 则该对应是从F 到R ∞一个单射（因不同开集的构造不同）, 就有F 的势不大于R ∞的势c . 综上所述，直线上开集的全体的势是c .

实际上：n R 中开集（闭集）全体所成之集的势为c .

证明：设n R 中开集的全体是F ，易知F 的势不小于c . 由n R 中开集的构造，每个开集

A F ∈都可表示成可数多个互不交的左闭右开的有理方区间

（平行坐标轴，中心的坐标和边长都是有理点，有理数）{}():n I A n N ∈的并，且开集不同时表示不完全相同. 有理方区间的全体K 是可数集，所以K 的子集的全体所成之集2K 的势是2a

c =. 让开集A 和它的表示

{}():n I A n N ∈对应，则该对应是从F 到2K 的单射，这表明F 的势不超过c .

30. 证明：n

R 中的每个开集或闭集均为F σ集和G δ集.

证明：设E 是闭集，它当然是F σ集（取闭集列全是E 自身即可）. 令{}1

:(,)n n

E x x E ρ=<

，则{}n E 是包含E 的开集列（第32题）. 实际上，有

1

n n E E ∞==I

. （*）

显然，左是右的子集. 任取右边的元x ，则()n x E n ∈?，即1(,)()n x E n ρ

(,)0x E ρ=，因此x E E ∈=，说明右边是左边的子集. 因此（*）式表明闭集E 是G δ集.

由对偶性得到开集既是F σ集也是G δ集.

31. 非空集合n

F R ?具有性质：*

,n

x R y F ?∈?∈使*

(,)(,)x y x F ρρ=，证明F 是闭集.

证明：任取'

x F ∈，则存在{}n x F ?，使0n x x -→，故 0(,)0n x F x x ρ≤≤-→.

因此(,)0x F ρ=. 由题设，存在*

y F ∈使得*

(,)(,)0x y x F ρρ==，故*

x y F =∈. 由

'x F ∈的任意性得'F F ?，即F 是闭集.

由于点到闭集的距离可达, 该性质是F 成为闭集的充要条件.

32. 设集合,0n

E R d ?>，点集U 为{}:(,)U x x E d ρ=<. 证明E U ?且U 是开集.

证明：E U ?是显然的. 法一. 由第34题，()(,)f x x E ρ=是n R 上的连续函数，而

{}:()U x f x d =<，再由第18题知U 是开集.

法二. 直接证U 中的点全是内点. 任取x U ∈，则(,)x E r d ρ=<. 取正数d r δ<-. 当n

y R ∈满足(,)x y ρδ<时，根据集合距离的不等式得

(,)(,)(,)y E x E x y r d ρρρδ≤+<+<，

即表明(,)O x U δ?，故x 是U 的内点. 由x U ∈的任意性知U 是开集.

33. 设,n

E F R ?是不相交的闭集，证明：存在互不相交的开集,U V ，使得,E U F V ??.

证明：法一. 由第35题，存在n R 上的连续函数()f x 使得{}:()0E x f x ==且

{}:()1F x f x ==. 则{}{}

11

42:(),:()U x f x V x f x =<=>都是开集（由第18题）且不相交，同时还满足,E U F V ??.

法二. 因为,E F 是互不相交的闭集，所以,c

c

E F 是开集，且,c

c

E F F E ??. 任取

,c x E F ∈? 因c F 是开集，故存在邻域()(,())O x O x x δ=，使得

()()c

x O x O x F ∈??，即 ()O x F =?I . （1）

这样就得到E 开覆盖{}():O x x E ∈，且满足（1）. 又集合E 的任一开覆盖一定有至多可数的子覆盖（第23题），所以E 可以用可数个开球()O x 来覆盖，记为{}1n n O ∞

=. 即有

1n n E O ∞

=?U 且,()n O F n =??I . （2）

同理，存在可数个开球{}1n n B ∞

=使得

1n n F B ∞

=?U 且,()n B E n =??I （3）

令 11\

\n n n n k n k k k U O B O B ====U U , 11\\n n

n n k n k k k V B O B O ====U U .

则{}{}11,n n n n U V ∞

∞

==均是开集列（都是开集减闭集），且,(,)n m U V n m =??I . 还由（2）（3）

式知{}{}11,n n n n U V ∞

∞

==还分别是,E F 的开覆盖（因由构造，n O 中去掉的都不是E 中的点）. 取

11,n n n n U U V V ∞∞

====U U ，则它们即为所求.

34. 设,n

E R E ?≠?，证明(,)x E ρ作为x 的函数在n R 上是一致连续的.

证明：命题直接由不等式

(,)(,)x E y E x y ρρ-≤-得到.

35. 设,E F 为n R 中互不相交的非空闭集，证明存在n R 上的连续函数()f x 使得：

(1). 0()1,n

f x x R ≤≤?∈;

(2). {}:()0E x f x ==且{}:()1F x f x ==. 证明： 实际上(,)

()(,)(,)

x E f x x E x F ρρρ=

+满足要求.

36. 设0,n n

E R x R ?∈. 令{}{}00:E x x x x E +=+∈，即{}0E x +是集合E 的平移，证

明：若E 是开集，则{}0E x +也是开集.

证明：因为开球平移后还是开球.