相交弦定理教学设计
2018-2019北师大版数学选修4-1教学案：第一章2.5切割线定理相交弦定理
2．4&2.5切割线定理相交弦定理[对应学生用书P23][自主学习]1．切割线定理(1)文字语言：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项．(2)符号语言：从⊙O外一点P引圆的切线PT和割线PAB，T是切点，则PT2＝PA·PB.(3)图形语言：如图所示．推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积(割线定理)．2．相交弦定理(1)文字语言：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)符号语言：⊙O的两条弦AB和CD相交于圆内的一点P，则PA·PB＝PC·PD.(3)图形语言：如图所示．[合作探究]1．由相交弦定理知，垂直于弦的直径平分弦．那么，直径被弦分成的两条线段与弦有何关系？提示：弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．2．如图，圆外一点P引圆的两条割线能否有PA·AB＝PC·CD?提示：只有PA＝PC时才有PA·PB＝PC·CD成立．[对应学生用书P23]切割线定理的应用[例1]如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P.PB分别与⊙O1，⊙O2交于C，D两点．求证：(1)PA·PD＝PE·PC；(2)AD＝AE.[思路点拨]本题主要考查切割线定理的应用．解题时由割线定理得PA·PE＝PD·PB，再由切割线定理知PA2＝PC·PB可得结论，然后由(1)进一步可证AD＝AE.[精解详析](1)∵PAE，PDB分别是⊙O2的割线，∴PA·PE＝PD·PB.①又∵PA，PCB分别是⊙O1的切线和割线，∴PA2＝PC·PB. ②由①②得PA·PD＝PE·PC.(2)连接AD，AC，ED，∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB＝90°.∴AC是⊙O2的切线．又由(1)知PAPE＝PCPD，∴AC∥ED.∴AB⊥ED.又∵AB是⊙O2的直径，∴AD＝AE，∴AD＝AE.讨论与圆有关的线段间的相互关系，常常可以借助于切割线定理和相似成比例的知识去解决，通常用分析法揭示解题的思考过程，而用综合法来表示解题的形式．1．(湖北高考)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝.解析：由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2，则PB＝PA＝2QA＝4.答案：4相交弦定理的应用。
人教版七年级数学下册5.1.1《相交线》教案
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相交线相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示相交线的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“相交线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
其次，注重培养学生的空间想象力。在解决实际问题时，我发现部分学生难以将题目中的信息与几何图形联系起来。为了改善这一点，我计划在今后的教学中，多设计一些空间想象力训练的环节，如让学生自己动手画图、制作模型等。
再次，加强小组合作学习的引导。在小组讨论和实验操作过程中，我发现有些学生参与度不高，依赖性强。针对这个问题，我将在今后的教学中加强对小组合作学习的引导，鼓励每个学生积极参与，培养他们的团队协作能力。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了相交线的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对相交线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
1.理论介绍：首先，我们要了解相交线的基本概念。相交线是两条在平面内不平行且在某一点相遇的直线。它在几何学中有着重要的作用，可以帮助我们分析图形的性质和解决实际问题。
2019-2020学年度最新北师大版数学选修4-1教学案：第一章2-5切割线定理相交弦定理
2019-2020学年度最新北师大版数学选修4-1教学案：第一章2-5切割线定理相交弦定理[对应学生用书P23][自主学习]1．切割线定理(1)文字语言：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项．(2)符号语言：从⊙O外一点P引圆的切线PT和割线PAB，T是切点，则PT2＝PA·PB.(3)图形语言：如图所示．推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积(割线定理)．2．相交弦定理(1)文字语言：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)符号语言：⊙O的两条弦AB和CD相交于圆内的一点P，则PA·PB＝PC·PD.(3)图形语言：如图所示．[合作探究]1．由相交弦定理知，垂直于弦的直径平分弦．那么，直径被弦分成的两条线段与弦有何关系？提示：弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．2．如图，圆外一点P引圆的两条割线能否有PA·AB＝PC·CD?提示：只有PA＝PC时才有PA·PB＝PC·CD成立．[对应学生用书P23][例1]如图所示，⊙O与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P.PB分别与⊙O1，⊙O2交于C，D两点．求证：(1)PA·PD＝PE·PC；(2)AD＝AE.[思路点拨]本题主要考查切割线定理的应用．解题时由割线定理得PA·PE＝PD·PB，再由切割线定理知PA2＝PC·PB可得结论，然后由(1)进一步可证AD＝AE.[精解详析](1)∵PAE，PDB分别是⊙O2的割线，∴PA·PE＝PD·PB.①又∵PA，PCB分别是⊙O1的切线和割线，∴PA2＝PC·PB. ②由①②得PA·PD＝PE·PC.(2)连接AD，AC，ED，∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB＝90°.∴AC是⊙O2的切线．又由(1)知PAPE＝PCPD，∴AC∥ED.∴AB⊥ED.又∵AB是⊙O2的直径，∴AD＝AE，∴AD＝AE.讨论与圆有关的线段间的相互关系，常常可以借助于切割线定理和相似成比例的知识去解决，通常用分析法揭示解题的思考过程，而用综合法来表示解题的形式．1．(湖北高考)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝.解析：由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2，则PB＝PA＝2QA＝4.答案：4[例2]OA的垂线分别交⊙O于C，D两点，垂足是点E.求证：PC·PD＝AE·AO.[思路点拨]由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，所以PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可．[精解详析]连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，经常与射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论．2．(湖南高考)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝3，BC＝22，则⊙O的半径等于．解析：设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD＝AB2－BD2＝1，设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BD·CD＝AD·DE，即(2)2＝2r－1，解得r＝32.答案：3 2[例3]∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP.(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．[思路点拨]本题主要考查相交弦定理与切割线定理的综合应用．解题时先证△CED∽△DEF，同时利用平行关系可证(1)；然后证明△DEF∽△PEA，结合相交弦定理可证(2)；最后由切割线定理可求PA.[精解详析](1)证明：∵DE2＝EF·EC，∴DE∶EC＝EF∶ED.∵∠DEF是公共角，∴△CED∽△DEF.∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.∴∠P＝∠EDF.(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA，即EF·EP＝DE·EA.∵弦AD，BC相交于点E，∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.解得EP ＝272. ∴PB ＝PE －BE ＝152，PC ＝PE ＋EC ＝452. 由切割线定理得PA 2＝PB ·PC . ∴PA 2＝152×452.∴PA ＝1523.解决与圆有关的线段问题多综合应用相交弦定理及切割线定理，同时注意相似三角形及平行过渡传递等量关系的应用．3．如图，E 是⊙O 内两弦AB 和CD 的交点，直线EF ∥CB ，交AD 的延长线于点F ，FC 与圆交于点G .求证：(1)△DFE ∽△EFA ； (2)△EFG ∽△CFE . 证明：(1)∵EF ∥CB ， ∴∠DEF ＝∠DCB .∵∠DCB 和∠DAB 都是DB 上的圆周角， ∴∠DAB ＝∠DCB ＝∠DEF . ∵∠DFE ＝∠EFA ，∴△DFE ∽△EFA . (2)由(1)知：△DFE ∽△EFA ，∴EF AF ＝FDFE . 即EF 2＝FA ·FD .由割线定理得FA ·FD ＝FG ·FC . ∴EF 2＝FG ·FC ， 即EF GF ＝FC FE .又∵∠EFG ＝∠CFE ，∴△EFG ∽△CFE .本课时主要考查相交弦定理、切割线定理的应用．难度中档，是高考命题的热点内容．[考题印证](新课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[命题立意]本题主要考查切割线定理、相交弦定理以及三角形的外切定理、弦切角定理、同弧所对的圆心角相等定理．[自主尝试](1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.[对应学生用书P25]一、选择题1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为()A．4B．5C．8 D．10解析：选B设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x ＝－4(不合题意，应舍去)．则CD＝3＋1＋1＝5.2.如图，点P是⊙O外一点，PAB为⊙O的一条割线，且PA＝AB，PO交⊙O于点C，若OC＝3，OP＝5，则AB的长为()A．10B．2 2C．5D． 6解析：选B设PA＝AB＝x，延长PO交圆于点D.因为PA·PB＝PC·PD，OC＝3，OP＝5，所以PC＝2，PD＝8.所以x·2x＝16，所以x＝2 2.3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2解析：选A在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.4．如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是()A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CDC．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE解析：选A因为∠1＝60°，∠2＝65°，所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°，所以∠2>∠1>∠ABC ， 所以AB >BC >AC ，因为CA ，CD 分别切圆O 1于A ，D 两点， CB ，CE 分别切圆O 2于B ，E 两点， 所以AC ＝CD ，BC ＝CE ， 所以AB >CE >CD . 故选A. 二、填空题5．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD ＝27，AB ＝3，则BD 的长为 ．解析：由切割线定理得：DB ·DA ＝DC 2，即DB (DB ＋BA )＝DC 2，∴DB 2＋3DB －28＝0，∴DB ＝4.答案：46．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知PA＝22，PC ＝4，圆心O 到BC 的距离为3，则圆O 的半径为 ．解析：记圆O 的半径为R .依题意得PA 2＝PB ·PC ，PB ＝PA 2PC ＝2，BC ＝PC －PB ＝2，所以R ＝(12BC )2＋(3)2＝2. 答案：27．如图，⊙O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A ，若BD ⊥AE ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝ ；CE ＝ .解析：由切割线定理得AB ·AC ＝AD ·AE ，即4×6＝3×(3＋DE )，解得DE ＝5；易知AD AB ＝AC AE ＝34，又∠A ＝∠A ，故△ABD ∽△AEC ，故∠BCE ＝∠BDA ＝90°，BDEC ＝AD AC .在直角三角形ABD 中，BD ＝42－32＝7，∴CE ＝BD ·ACAD ＝7× 63＝27.答案：5 278.如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为 ．解析：设BE ＝x ，则FB ＝2x ，AF ＝4x ，由相交弦定理得DF ·FC＝AF ·FB ，即2＝8x 2，解得x ＝12，AE ＝72，再由切割线定理得CE 2＝EB ·EA ＝12×72＝74，所以CE ＝72. 答案：72三、解答题9．如图，P 为圆O 外一点，PA ，PB 是圆O 的两条切线，A ，B 为切点，OP 与AB 相交于点M ，且点C 是AB 上一点．求证：∠OPC ＝∠OCM .证明：连接OB ，由切线长定理，得PA ＝PB ，PM ⊥AB ， PO 平分∠APB .又PB ⊥OB ，在Rt △OPB 中，OB 2＝OP ·OM ， ∵OB ＝OC ，∴OC 2＝OP ·OM ， 即OC OP ＝OMOC，∴△OCP ∽△OMC ，∴∠OPC ＝∠OCM . 10.如图，两个同心圆的圆心是O ，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD 是大圆的直径．大圆的弦AB ，BE 分别与小圆相切于点C ，F .AD ，BE 相交于点G ，连接BD .(1)求BD 的长．(2)求∠ABE ＋2∠D 的度数． (3)求BGAG 的值．解：(1)连接OC ，因为AB 是小圆的切线，C 是切点，所以OC ⊥AB ， 所以C 是AB 的中点． 因为AD 是大圆的直径， 所以O 是AD 的中点． 所以OC 是△ABD 的中位线． 所以BD ＝2OC ＝10. (2)连接AE .由(1)知C 是AB 的中点． 同理F 是BE 的中点． 即AB ＝2BC ，BE ＝2BF ， 由切线长定理得BC ＝BF . 所以BA ＝BE .所以∠BAE ＝∠E . 因为∠E ＝∠D ，所以∠ABE ＋2∠D ＝∠ABE ＋∠E ＋∠BAE ＝180°. (3)连接BO ，在Rt △OCB 中， 因为OB ＝13，OC ＝5， 所以BC ＝12，AB ＝24. 由(2)知∠OBG ＝∠OBC ＝∠OAC . 因为∠BGO ＝∠AGB ， 所以△BGO ∽△ AGB . 所以BG AG ＝BO AB ＝1324.11.如图，在Rt △BDE 中，∠BDE ＝90°，BC 平分∠DBE 交DE 于点C ，AC ⊥CB 交BE 于点A ，△ABC 的外接圆的半径为r .(1)若∠E ＝30°，求证：BC ·BD ＝r ·ED .(2)若BD ＝3，DE ＝4，求AE 的长．解：(1)证明：取AB 的中点为O ，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，O 是外接圆的圆心，连接CO ，所以BO ＝CO ，∠BCO ＝∠OBC ，因为BC 是∠DBE 的平分线，所以∠DBC ＝∠CBA ，所以∠OCB ＝∠DBC ，所以OC ∥DB (内错角相等，两直线平行)，所以OC BD ＝CE DE， 把比例式化为乘积式得BD ·CE ＝DE ·OC ，因为OC ＝r ，所以BD ·CE ＝DE ·r .因为∠D ＝90°，∠E ＝30°，所以∠DBE ＝60°，所以∠CBE ＝12∠DBE ＝30°， 所以∠CBE ＝∠E ，所以CE ＝BC ，所以BC ·BD ＝r ·ED .(2)过点C 作CH ⊥OE ，垂足为H .BD ＝3，DE ＝4，根据勾股定理，BE ＝5，OC ＝OA ＝r ，因为OC ∥DB ，所以△OCE ∽△BDE ，所以OC BD ＝OE BE ＝CE DE ，即r 3＝OE 5＝CE 4， 解得OE ＝53r ，CE ＝43r . CH ＝OC ·CE OE ＝45r ， 因为BC 平分∠DBE 交DE 于点C ， 则△BDC ≌△BHC ，所以BH ＝BD ＝3，则HE ＝2.在Rt △CHE 中，根据勾股定理得：CH 2＋EH 2＝CE 2， 即⎝⎛⎭⎫45r 2＋22＝⎝⎛⎭⎫43r 2，解得：r ＝158， 则AE ＝BE －2r ＝5－154＝54.。
初中数学_5.1 相交线教学设计学情分析教材分析课后反思
四、《相交线》教学设计一、教学目标1、情感态度与价值观（1）通过分组讨论，培养学生合作交流的意识和探索精神；（2）通过对顶角、邻补角性质的研究，体会它们在解决实际问题中的作用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．2、过程与方法（1）通过学习邻补角、对顶角等概念，进一步发展学生抽象概括能力；（2）通过对相交线、邻补角、对顶角的研究，•体会它们在解决实际问题中的作用，并能用它们解释生活中的一些现象．3、知识与技能（1）理解相交线、邻补角、对顶角的概念；毛（2）理解对顶角相等的性质．三、重点、难点重点:邻补角、对顶角的概念,对顶角性质与应用.难点:理解对顶角相等的性质.学习方法：采用“观察──问题──目标”的教学方法，力求体现“主体参与、自主探索、合作交流、指导引探”的教学理念。
教学过程一、情景导入1、读一读,看一看教师在轻松欢快的音乐中演示有关平行线和相交线的多媒体课件。
师:生活中有许许多多的美，这些生活中的美都是有各种各样的线组成的。
线，在我们生活中无处不在，下面，请同学们欣赏图片（多媒体投影带有斜拉铁索大桥的图片、衣架图片和剪刀图片）师：同学们，在图片中你们看到了什么线？（生：相交线）谁还能举出我们生活中相交线的例子？生：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、师：看来同学们对相交线并不陌生，你们今天我们就来探究和相交线有观的问题教师板书：5.1.1相交线2、观察转动木条的过程,引入两条相交直线所成的角多媒体演示两根木条相交的过程,提出问题:两根木条相交时，给我们什么形象？你能用直线表示出这种情形吗?3、学生动手画图：一个学生黑板上画图[说明:从学生日常生活经验中发现问题、提出问题，引导学生初步地、概括地了解新的学习任务，为整节课的学习活动提供动力和规划方向。
自然引出本节课题。
]二、探究新知1、认识邻补角和对顶角,探索对顶角性质（1）学生画直线AB、CD相交于点O,并说出图中4个角，各对角的位置关系如何?根据不同的位置怎么将它们分类?（2）学生思考并在小组内交流,全班交流.当学生直观地感知角有“相邻”、“对顶”关系时, 教师引导学生用几何语言准确地表达,如:∠1和∠2有一条公共边OC,它们的另一边互为反向延长线.∠1和∠3有公共的顶点O,而是∠1的两边分别是∠2两边的反向延长线.三、师生交流概括形成邻补角、对顶角概念(1)师生共同定义邻补角、对顶角.有一条公共边,而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.如果两个角有一个公共顶点, 而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线,那么这两个角叫对顶角.（2）练习:练习1、下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？为什么？通过三个不同类型图形的判断，来加深对对顶角概念的理解。
相交弦定理精品PPT教学课件
求证：PA*PB= PA •PB r2d2
B
C
D
O
P
A
1. 例3、如图：在⊙O中，P是弦AB上一点， OP⊥PC，PC 交⊙O于C．
2. 求证：PC2＝PA·PB
C
A
P
B
O
D
12
2020/12/6
例4：已知：线段a、b（a＞b） a 求作：线段c，使c2=ab
b
探索尝试多种作法
课堂练习（口答）
1.填空题 (1) 如图，弦AB和CD相交于
C GA
⊙O内一点G，则有GC×GDG=B×GA , B
D
(2) 如图，弦AB垂直于⊙O直径
MN于Q，MN：QN=5：1，
AB=8，10
M
则MN= ，ຫໍສະໝຸດ 14A QN
B 2020/12/6
课堂练习（口答）
(3)⊙O中，弦CD把AB分成4cm和3cm两 部分，CD被AB分为3：1两部分，则这 两部分长6分别是2 cm和 cm.
式子：AP×PB=CP ×PD成立,我们应该怎 样用推理的方法证明这一结论呢?
A
D
O PB
C
4
2020/12/6
A
D
O PB
C
D
A
P
O
B
C
D
A
P
O
B
C
同学们，你们现在可以写出证明吗？
5
2020/12/6
证明：连结AC、BD
D
A
P
O
B
∠A= ∠D ∠C= ∠B
C
=> △PAC∽△PDB => PA∶PD=PC∶PB
（完整版）相交弦定理课件
（完整版）相交弦定理课件相交弦定理教学⽬标：1．理解相交弦定理及其推论，并初步会运⽤它们进⾏有关的简单证明和计算；2．学会作两条已知线段的⽐例中项；3．通过推论的推导，获取由⼀般到特殊的思想⽅法．教学重点：正确理解相交弦定理及其推论．教学难点：在定理的叙述和应⽤时，我们往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从⽽导致证明中发⽣错误，因此务必清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三⾓形相似，从⽽就可以⽤对应边成⽐例的结论直接写出定理．1、图形变换：①观察图形，发现规律：∠A＝∠D，∠C＝∠B．②进⼀步得出：△APC∽△DPB．③如果将图形做些变换，去掉AD和BC，图中线段PA，PB，PC，PD之间的关系会发⽣变化吗?为什么? 2、证明：已知：弦AB和CD交于⊙O内⼀点P．求证：PA·PB＝PC·PD．（⼆）定理及推论1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．结合图形让学⽣⽤数学语⾔表达相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD．2、从⼀般到特殊，发现结论．对两条相交弦的位置进⾏适当的调整，使其中⼀条是直径，并且它们互相垂直如图，AB是直径，并且AB⊥CD于P．提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?指出：PC2＝PA·PB．．推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的⼀半是它分直径所成的两条线段的⽐例中项．3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论⼜可叙述为：半圆上⼀点C向直径AB作垂线，垂⾜是P，则PC2＝PA·PB．若再连结AC，BC，则在图中⼜出现了射影定理的基本图形，于是有：PC2＝PA·PB ；AC2＝AP·AB；CB2＝BP·ABC=A B=D（三）应⽤、反思例1 已知圆中两条弦相交，第⼀条弦被交点分为12厘⽶和16厘⽶两段，第⼆条弦的长为32厘⽶，求第⼆条弦被交点分成的两段的长．例2 已知：线段a，b．求作：线段c，使c2＝ab．分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可作出以线段a⼗b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段．反思：这个作图是作两已知线段的⽐例中项的问题，可以当作基本作图加以应⽤．练习1 如图，AP＝2厘⽶，PB＝2．5厘⽶，CP＝1厘⽶，求CD．变式练习：若AP＝2厘⽶，PB＝2．5厘⽶，CP，DP的长度皆为整数．那么CD的长度是多少?练习2 如图，CD是⊙O的直径，AB ⊥CD，垂⾜为P，AP＝4厘⽶，PD ＝2厘⽶．求PO的长．练习3 如图：在⊙O中，P是弦AB 上⼀点，OP⊥PC，PC 交⊙O于C．求证：PC2＝PA·PB（四）⼩结知识：相交弦定理及其推论；能⼒：作图能⼒、发现问题的能⼒和解决问题的能⼒；思想⽅法：学习了由⼀般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想⽅法．切割线定理教学⽬标：1．掌握切割线定理及其推论，并初步学会运⽤它们进⾏计算和证明；2．掌握构造相似三⾓形证明切割线定理的⽅法与技巧，达到从⼏何图形归纳出⼏何性质的能⼒3．能够⽤运动的观点学习切割线定理及其推论教学重点：理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常⽤到的重要定理．教学难点：定理的灵活运⽤以及定理与推论问的内在联系是难点．（⼀）问题1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内⼀点．如果两弦延长交于圆外⼀点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系？(如图当其中⼀条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为⼀点(如图2)时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA，PB，PT 之间⼜有什么关系？2、猜想：引导学⽣猜想出图中三条线段PT，PA，PB间的关系为PT2=PA·PB．3、证明：让学⽣根据图2写出已知、求证，并进⾏分析、证明猜想．分析：要证PT2=PA·PB，可以证明，为此可证以PA·PT为边的三⾓形与以PT，BP为边的三⾓形相似，于是考虑作辅助线TP，PB．(图3)．容易证明∠PTA=∠B⼜∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是问题可证．4、切割线定理从圆外⼀点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的⽐例中项．（⼆）切割线定理的推论1、问题：当PB、PD为两条割线时，线段PA，PB，PC，PD之间有什么关系?观察图4，提出猜想：PA·PB=PC·PD．2、组织学⽣⽤多种⽅法证明：⽅法⼀：要证PA·PB=PC·PD，可证此可证以PA，PC为边的三⾓形和以PD，PB为边的三⾓形相似，所以考虑作辅助线AC，BD，容易证明∠PAC=∠D，∠P=∠P，因此△PAC∽△PDB．(如图4)⽅法⼆：要证，还可考虑证明以PA，PD为边的三⾓形和以PC、PB为边的三⾓形相似，所以考虑作辅助线AD、CB．容易证明∠B=∠D，⼜∠P=∠P．因此△PAD∽△PCB．(如图5) ⽅法三：观察图2，⽴即会发现．PT2=PA·PB，同时PT2=PC·PD，于是可以得出PA·PB=PC·PD．PA·PB=PC·PD推论：从圆外⼀点引圆的两条割线，这⼀点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．（也叫做割线定理）（三）初步应⽤例1 已知：如图，⊙O的割线PAB 交⊙O于点A和B，PA=6厘⽶，AB=8厘⽶，PO=10.9厘⽶，求⊙O的半径．分析：由于PO既不是⊙O的切线也不是割线，故须将PO延长交⊙O于D，构成了圆的⼀条割线，⽽OD⼜恰好是⊙O的半径，于是运⽤切割线定理的推论，问题得解．例2 已知如图7，线段AB和⊙O 交于点C，D，AC＝BD，AE，BF分别切⊙O于点E，F，求证：AE＝BF．分析：要证明的两条线段AE，BF均与⊙O相切，且从A、B 两点出发引的割线ACD和BDC在同⼀直线上，且AC＝BD，AD＝BC．因此它们的积相等，问题得证．（四）⼩结知识：切割线定理及推论；能⼒：结合具体图形时，应能写出正确的等积式；⽅法：在证明切割线定理和推论时，所⽤的构造相似三⾓形的⽅法⼗分重要，应注意很好地掌握．。
《相交弦定理》教案
《相交弦定理》教案一、教学目标1.理解相交弦定理，掌握相交弦定理的证明方法。
2.能够运用相交弦定理解决一些实际问题，进一步加深对定理的理解和应用。
3.培养学生的观察、分析、推理等思维能力，提高他们的数学素养。
二、教学重点和难点1.重点：相交弦定理的证明与应用。
2.难点：如何引导学生通过观察、分析、推理等思维活动发现并证明相交弦定理。
三、教学过程1.导入：通过回顾平行线性质和三角形全等的判定方法，引导学生思考相交弦定理与这些知识的联系，激发他们的学习兴趣。
2.探究：让学生观察一些具体的图形，通过观察、分析、比较、归纳，发现相交弦定理的形式，并鼓励他们尝试证明自己得出的结论。
3.讲解：教师对学生的探究结果进行总结和补充，并给出相交弦定理的完整证明过程，让学生明确定理的证明方法和思路。
4.练习：给出一些与相交弦定理相关的练习题，让学生通过练习加深对定理的理解和应用。
5.总结：对本节课所学内容进行总结，强调相交弦定理的应用价值，并引导学生思考如何将本节课所学知识应用到其他领域。
四、教学方法和手段1.教学方法：采用探究式教学法，引导学生通过观察、分析、推理等思维活动发现并证明相交弦定理，同时结合讲解和练习，加深学生对定理的理解和应用。
2.教学手段：利用多媒体课件展示图形和练习题，提高课堂效率。
五、课堂练习、作业与评价方式1.课堂练习：让学生完成一些与相交弦定理相关的练习题，通过练习加深对定理的理解和应用。
2.作业：布置一些与相交弦定理相关的作业题，让学生回家继续练习，巩固所学知识。
3.评价方式：对学生的练习和作业进行评价，评价方式可以采用教师评价和学生互评相结合的方式，让学生了解自己的学习情况并发现自己的不足之处。
六、辅助教学资源与工具1.图形计算器：利用图形计算器展示相交弦定理的几何意义和证明过程，帮助学生更好地理解定理。
2.教学课件：利用教学课件展示教学内容和练习题，提高课堂效率。
3.教学视频：提供一些与相交弦定理相关的视频资料，让学生回家继续学习。
人教版初中数学七年级下册5.1.1《相交线》教案
在今天的课堂上，我们探讨了相交线的概念和性质，以及它们在实际生活中的应用。我注意到，学生在理解同位角、内错角、同旁内角这些概念时，起初有些混淆。我通过反复举例和直观演示，帮助他们逐步理清了这些角的区别和联系。这也提醒我，对于这类几何基础概念的教学，直观性和重复性是非常重要的。
我尝试了一种新的教学方法，让学生在小组讨论中解决实际问题，感觉效果还不错。学生们积极参与，讨论热烈，通过合作探究，他们不仅加深了对相交线性质的理解，还学会了如何将这些知识应用到解决具体问题中。这一点让我感到很欣慰，也证明了实践活动在数学教学中的价值。
人教版初中数学七年级下册5.1.1《相交线》教案
一、教学内容
人教版初中数学七年级下册5.1.1《相交线》教案：
1.理解相交线的概念，掌握两条直线相交形成的四个角及其分类。
2.学习同位角、内错角、同旁内角的概念，并能够识别和判条直线是否垂直。
4.探索并掌握垂直的性质及其应用，如：垂直线段最短、直角三角形的性质等。
4.强化学生的数学建模能力，将相交线的性质应用于解决实际问题，培养运用数学知识解决现实问题的能力。
5.培养学生的数学运算能力，通过几何作图和计算，巩固基本的几何变换和代数运算技能。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-两条直线相交形成的四个角的识别及其分类，特别是同位角、内错角、同旁内角的定义和特点。
-垂直的概念及其判断方法，理解两条直线垂直的条件。
-掌握垂直性质及其在实际问题中的应用，如直角三角形的性质和垂线段最短原理。
-通过几何作图和计算，运用相交线和垂直的知识解决具体问题。
举例解释：
-在讲解同位角、内错角、同旁内角时，重点强调它们在两条相交直线上的位置关系和数量关系，通过直观图示和实际操作加深学生理解。
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相交弦定理教学设计
这是一篇由网络搜集整理的关于相交弦定理教学设计的文档，希望对你能有帮助。
1、教学内容及其地位、作用?
本节课的主要内容是相交弦定理及其推论，内容非常重要，但并非难点。
实际上这节内容在前面已有伏笔：
(1)在圆周角中，我们讨论同弧所对的圆周角；在P95第1题中找相等的角中等已有该问题的萌芽.
(2)在圆内接四边形中，我们也接触过类似的问题，现在有了这些知识作辅垫，只需将这些问题做些深化，相交弦定理便可呼之即出。
相交弦定理和下一节的.切割线定理同出一辙，都是涉及圆中两弦位置关系的问题，本节教学还想从这个高度出发，让学生学会思考问题的方法以及领悟问题的本质
2、教育教学目标?
(1)使学生掌握相交弦定理及其推论，并会利用它们进行有关的计算和论证，培养学生逻辑推理能力
(2)培养学生善于利用所学知识去探索、发现结论(包括定理、公式等甚至前人未曾发现的)，提高学生发现问题的能力，培养学生的探索精神
(3)对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的观点教育，培养学生综合运用所学知识的能力
3、重、难点：
重点是相交弦定理及其推论，因为它们都是研究圆中重要的比例线段，在
圆中应用相当广泛。
难点是灵活运用相交弦定理及推论，解决圆中的线段的计算问题
二、教学方法：引导探索、发现结论法
教学不只是传授知识，让学生单纯记忆前人的研究成果，更重要的是激发学生创造思维，引导学生去探索、发现结论的方法。
正如叶圣陶先生所说：“教是为了不教”，这样方能培养出创造性人才，这正是实施创造教育的关键。
本节的定理及推论都是开门见山地给出，没有引入，如果照本宣科，势必会影响学生的思维积极性，教学效果自然会大打折扣。
因此本节采用引导探索、发现结论法，有利于调动学生思维的积极性
三、学法指导?
(1)培养学生善于观察思考，勇于探索，并发现结论的学习方法
(2)体会“温故而知新”，培养学生善于利用所学知识，从不同角度去得到各种有价值的结论，进一步了解“化未知为已知”的数学思想
(3)在教学中还渗透了“从一般到特殊，从特殊到一般”的思想。