大学数学(高数微积分)第十章线性函数第一节(课堂讲义)
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大学数学(高数微积分)第十章线性函数第三节(课堂讲义)
则有
f ( , ) = XTAY = (CX1)TA(CY1) = X1T(CTAC)Y1 .
而且
不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是 不同的.
反之，任给数域 P 上一个 n 级矩阵
a11 a21 A a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n , ann
对 V 中任意向量 = (1 , 2 , … , n )X 及 = (1 ,
(1)
a11 a21 A a n1
则
a12 a22 an 2
n n
a1n a2 n , ann
f ( X , Y ) aij xi y j .
i 1 j 1
(2)
(1) 或 (2) 实际上是数域 P 上任意 n 维线性空 间 V 上的双线性函数 f ( , ) 的一般形式. 事实上
2 , … , n)Y ，其中 XT = (x1 , x2 , … , xn) ,
YT = (y1 , y2 , … , yn)，用
f ( , ) X AY aij xi y j
T i 1 j 1
n
n
定义的函数是 V 上一个双线性函数.
容易计算出
f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 下的度量矩阵就是 A .
, 是 V 中两个向量
= (1 , 2 , … , n )X = (1 , 2 , … , n ) X1 ， = (1 , 2 , … , n )Y = (1 , 2 , … , n ) Y1 .
那么 X = CX1 , Y = CY1 .
如果双线性函数 f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 及1 , 2 , … , n 下的度量矩阵分别为 A , B .
高等代数北大版ppt课件.ppt
n
令
f ( ) kiai ,
i 1
kn n
则 f :V P 为线性函数，且
f ( i ) ai , i 1, 2, , n
§10.1 线性函数
例1. 设 a1,a2, ,an P, ( x1, x2,
n
则
f ( ) ai
i 1
是 Pn 到 P的一个线性函数.
, xn ) Pn
解：
f f
( (
1) 2)
f 2
( 3 ) f ( 3
1 )
1
f f
( (
1 2
) )
4 7
f (1) f (2 ) 3
f ( 3 ) 3
所以 f ( x11 x2 2 x3 3 ) 4 x1 7 x2 3 x3 .
§10.1 线性函数
例4. V 是数域 P上的3维线性空间， f 是V上的
x11 x2 2 x3 3 x1a1 x2a2 x3a3 即为V上的线性函数，且 f ( i ) ai , i 1,2, , n
若还有 g 是 V上线性函数使 g( i ) ai , i 1,2, , n,
则 x11 x2 2 x3 3 V , 有
g( ) x1g(1 ) x2 g( 2 ) xn g( n )
f ( ) x2 f ( 2 ) x2 .
§10.1 线性函数
定理1 设V为数域 P上的一个n 维线性空间，
1, 2 , , n为V的一组基， a1,a2 , ,an 为 P中
任意n 个数. 则存在唯一的V上线性函数 f 使
f i ai， i 1,2, ,n.
§10.1 线性函数
证明：映射 f :V P，
x1a1 x2a2 xnan
高等代数(第三版)10.1线性函数
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
, an
（2）对于 x11 x2 2
xn n V，
满足上述条件的线性函数为
f ( ) a1 x1 a2 x2
an xn
结论：数域P上的任意n维线性空间上的任 一个线性函数都可表示为
f ( ) a1 x1 a2 x2
一、线性函数 对偶空间 二、双线性函数 辛空间
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
第一节 线性函数
线性函数的定义 线性函数的性质 结论
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
一、线性函数的概念
设V是数域P上的线性空间，f是V到P的 一个映射，如果f满足
(1) f ( ) f ( ) f ( ) (2) f (k ) kf ( )
例3、 A是数域P上一个n级矩阵，设
a11 a12 a21 a22 A an1 an 2 a1n a2 n ann
则A的迹 Tr ( A) a11 a22
ann
是P上全体n级矩阵构成的线性空间上的一 个线性函数
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
例4、设 V Pnn , A Pnn ,
定义V到P的映射
f ( X ) Tr ( AX ) X P
问f是否是V上的线性函数？
nn
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
例5、设V P[ x], T是P中一个取定的数
定义 P[ x]上的函数 Lt 为：
Lt ( p( x)) p(t ), p( x) P[ x]
f (0) 0, f ( ) f ( )
2、 如果 是1，2， ，S
, an
（2）对于 x11 x2 2
xn n V，
满足上述条件的线性函数为
f ( ) a1 x1 a2 x2
an xn
结论：数域P上的任意n维线性空间上的任 一个线性函数都可表示为
f ( ) a1 x1 a2 x2
一、线性函数 对偶空间 二、双线性函数 辛空间
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
第一节 线性函数
线性函数的定义 线性函数的性质 结论
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
一、线性函数的概念
设V是数域P上的线性空间，f是V到P的 一个映射，如果f满足
(1) f ( ) f ( ) f ( ) (2) f (k ) kf ( )
例3、 A是数域P上一个n级矩阵，设
a11 a12 a21 a22 A an1 an 2 a1n a2 n ann
则A的迹 Tr ( A) a11 a22
ann
是P上全体n级矩阵构成的线性空间上的一 个线性函数
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
例4、设 V Pnn , A Pnn ,
定义V到P的映射
f ( X ) Tr ( AX ) X P
问f是否是V上的线性函数？
nn
第十章 双线性函数与辛空间 10.1线性函数
例5、设V P[ x], T是P中一个取定的数
定义 P[ x]上的函数 Lt 为：
Lt ( p( x)) p(t ), p( x) P[ x]
f (0) 0, f ( ) f ( )
2、 如果 是1，2， ，S
清华微积分高等数学课件第一讲函数
理等。
在清华，微积分课程是理工科学生的必修课，对于培养学生的
03
逻辑思维、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
课程目标
01
掌握微积分的基本概念和原理，如极限、连续性、 可微性、积分等。
02
学会运用微积分的方法解决实际问题，提高分析问 题和解决问题的能力。
03
培养学生对微积分的兴趣和热爱，为后续学习打下 坚实的基础。
通过选取一定数量的x值，计算对应的 y值，然后在坐标纸上标出这些点，再 用直线连接这些点。这种方法适用于 绘制简单的函数图像。
计算机绘制
使用数学软件或编程语言，如Matlab、 Python等，可以快速绘制函数的图像， 并可以自定义坐标轴范围、刻度等参 数。
函数图像的变换
平移变换
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定的距离。平移变换包括左移和右 移、上移和下移。
02 函数的基本概念
函数的定义
总结词
函数是数学中的基本概念，用于描述两个集合之间的映射关 系。
详细描述
函数是建立在两个数集之间的一种对应关系，对于数集A中的每 一个元素x，按照某种法则，数集B中都有唯一确定的元素y与之 对应。
函数的表示
总结词
函数的表示方法有多种，包括解析法、 表格法和图象法。
详细描述
解析法是用数学表达式表示函数关系， 是最常用的一种表示方法；表格法是 用表格列出函数值，便于查找和计算； 图象法则是通过绘制函数图像来表示 函数关系。
函数的性质
总结词
函数的性质包括有界性、单调性、周期性和奇偶性等。
详细描述
有界性是指函数在一定区间内的取值范围有限；单调性是指函数在某一区间内的增减性；周期性是指函数按照一 定周期重复的特性；奇偶性则是指函数图像关于原点或y轴的对称性。
《高等数学(一)微积分》讲义
1．概念回顾
2、极限的求法， ）
1）数列极限 lim an = A , 函数极限 lim f ( x ) = A ．
n→∞ x
2）函数极限与单侧极限之间的关系
⎧ f ( x0 + ) = lim+ f ( x ) = A x → x0 ⎪ lim f ( x ) = A. ⇔ ⎨ x → x0 f ( x0 − ) = lim− f ( x ) = A ⎪ x → x0 ⎩
知识点：设 a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m , n ∈ N ，
⎧ am b m ⎪ n a x + L + a1 x + a0 ⎪ 则 lim m n =⎨0 x →∞ b x + L + b x + b n 1 0 ⎪∞ ⎪ ⎩ m=n m<n m>n
6/69
5n − 4 n − 1 例 6.（1） lim n+1 n→∞ 5 + 3n+ 2
5
2、 极限的求法
利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等 例 5：
x+5 ． 求 lim 2 x →∞ x − 9
解：
1 5 1 5 lim( + 2 ) + 2 x+5 x →∞ x x = 0 = 0． lim 2 = lim x x = x →∞ x − 9 x →∞ 9 9 1 1− 2 lim(1 − 2 ) x →∞ x x
2
x 2 ⋅ (3 x ) 3 所以 lim = lim = x → 0 (1 − cos 2 x )ln(1 + x ) x → 0 (2 x 2 ) ⋅ x 2
（3） lim x[ln( x + 2) − ln x ] = lim x ln(1 +
2、极限的求法， ）
1）数列极限 lim an = A , 函数极限 lim f ( x ) = A ．
n→∞ x
2）函数极限与单侧极限之间的关系
⎧ f ( x0 + ) = lim+ f ( x ) = A x → x0 ⎪ lim f ( x ) = A. ⇔ ⎨ x → x0 f ( x0 − ) = lim− f ( x ) = A ⎪ x → x0 ⎩
知识点：设 a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m , n ∈ N ，
⎧ am b m ⎪ n a x + L + a1 x + a0 ⎪ 则 lim m n =⎨0 x →∞ b x + L + b x + b n 1 0 ⎪∞ ⎪ ⎩ m=n m<n m>n
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5n − 4 n − 1 例 6.（1） lim n+1 n→∞ 5 + 3n+ 2
5
2、 极限的求法
利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等 例 5：
x+5 ． 求 lim 2 x →∞ x − 9
解：
1 5 1 5 lim( + 2 ) + 2 x+5 x →∞ x x = 0 = 0． lim 2 = lim x x = x →∞ x − 9 x →∞ 9 9 1 1− 2 lim(1 − 2 ) x →∞ x x
2
x 2 ⋅ (3 x ) 3 所以 lim = lim = x → 0 (1 − cos 2 x )ln(1 + x ) x → 0 (2 x 2 ) ⋅ x 2
（3） lim x[ln( x + 2) − ln x ] = lim x ln(1 +
【线性代数】07-线性函数
【线性代数】07-线性函数1. 线性函数1.1 k重线性函数 前⾯讨论了纯代数意义上的线性空间，在实际场景中，我们经常需要处理向量的度量。
度量⼀般表现为向量的函数，⽐如⾏列式可以看成是n个⾏（列）向量的函数，矩阵之积的每⼀个元素其实就是⼀个⾏向量和⼀个列向量的函数。
严格来讲，对域F上的线性空间V，映射V\times\cdots\times V\mapsto F（k个V）叫做线性空间V上的k元函数，⼀般记作f(\xi_i,\cdots,\xi_k)。
如果函数在每⼀个变量\xi_i上都满⾜线性等式（1），它也叫V上的k重线性函数。
由定义容易知道，如果选定V的⼀组基，k重线性函数可以由\xi_1,\cdots,\xi_k分别取遍这组基所唯⼀确定。
特别地，n维线性空间上的k重线性函数由n^k个独⽴变量完全确定。
所有k重线性函数可以组成F上的线性空间，严格定义你可以⾃⼰给出。
f(\cdots,\xi_{i-1},k_1\alpha+k_2\beta,\xi_{i+1},\cdots)=k_1f(\cdots,\xi_{i-1},\alpha,\xi_{i+1},\cdots)+k_2f(\cdots,\xi_{i-1},\beta,\xi_{i+1},\cdots)\tag{1} 前⾯举的⾏列式和⾏列向量乘法显然都是线性函数，观察这两个例⼦，我们发现线性函数还有⼀个性质可以继续讨论，那就是变量\xi_i,\xi_j位置的交换对函数值的影响。
当然我们只讨论最典型的情况，对任何向量，式（2）恒成⽴的函数叫对称线性函数，⽽式（3）恒成⽴的叫反对称线性函数，这两种情况都是⽐较常见的。
容易证明，对称线性函数变量的顺序可以随意改变，⽽不影响函数的值。
f(\cdots,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots)=f(\cdots,\xi_j,\cdots,\xi_i,\cdots)\tag{2}f(\cdots,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots)=-f(\cdots,\xi_j,\cdots,\xi_i,\cdots)\tag{3} 反线性函数中，若\xi_i=\xi_j，则有f(\cdots,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots)=0，继⽽将某个变量的倍数加到另⼀个变量后，函数的值不变。
微积分第一课(函数极限)
lim
x x0
f
( x)也叫做函数f
( x)在点x
x0
处的极限。
须注意的几点：
（1）x x0时，函数f (x)的极限，是函数 f (x)在x0处的局部性质。
（2）定义中，“自变量x无限趋近于x0" 并不要求函数在x x0处一定有意义， 这里包含两点：第一，x趋近于一个定
点x0的极限
lim
x x0
3.写出下列函数在x 1处的左极限, 右极限,并指出函数在x 1处是否存 在极限.
(1) f (x) x 1
(2) g
(
x)
2x
0
(x 1) (x 1)
4.已知f
(
x)
x2 x
1 1
0
试求 lim f (x) x1
(x 1) (x 1)
f
(x)
a是从x趋近于
x0的无限变化过程中来看f (x)的变化
趋势的，对于点x0是否属于函数 f (x)的定义域不作要求；
第二、lim f (x) a对于a是否等于 x x0
函数f (x)在点x0处的函数值f (x0 ) 也不作要求，也就是 lim f (x) a
x x0
与函数f (x)在点x0处是否有定义 无关，与f (x)是否等于a无关。
(2) lim [(ln 3)x 1] x 1
(3) lim x x 2
(4) lim ex x
例3.已知f
(
x)
x
1 2
1
(
x
1 x2
1( x
0) 0)
试讨论f (x)在x 时的极限.
1、当x x0时，函数f (x)的极限 我们讨论当x无限趋近于2时，函数 y x2的变化趋势。
线性函数
故
f ( X ) = (a1, a2 ,", an )X
第十章 双线性函数
结论1 只要知道基向量的函数值，则V中任一向量的函数值
就可得到（任一向量的函数值由基向量的函数值唯一确定）。
证明：设 f 是数域F上线性空间ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上的线性函数。
α1,α2 ,",αn 是V的一个基，且
f (αi ) = ai , i = 1, 2,", n
2）若 β = k1α1 + k2α2 + " + knαn ,
则
f (β ) = k1 f (α1 ) + k2 f (α2 ) + " + kn f (αn ) 。
f (k1α1 + k2α2 ) = f (k1α1 ) + f (k2α2 ) = k1 f (α1 ) + k2 f (α2 )
证明：设 f ( X ) 是 F n 上的一个线性函数，对
∀X , Y ∈ F n , k ∈ F , f ( X + Y ) = f ( X ) + f (Y ), f (kX ) = kf ( X )
令
εi = (0,", 0,1, 0,", 0)′, i = 1, 2,", n
则 ε1,ε2 ,",ε n 是 F n 的一个基。
§10.1 线性函数
§10.1 线性函数
一、线性函数的概念 二、线性函数的表示 三、线性函数的运算
第十章 双线性函数
一、线性函数的概念
1、定义 设V是数域F上的一个线性空间， f 是V 到F的一个
映射，如果对 ∀α , β ∈V , k ∈ F , f 满足以下两条： ① f (α + β ) = f (α ) + f (β );