函数的单调性教师版

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函数的单调性问题教师版

知识点5：函数单调性的定义及应用：定义：在函数()x f y =的定义域A 的某一区间I 内任取1x ,2x I ∈,且21x x <. ○112x x <⇔()()12f x f x <,则称()x f y =在区间I 上为增函数； ○212x x <⇔()()12f x f x >,则称()x f y =在区间I 上为减函数. 说明：（1）函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质；（2）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性且单调区间不可写并集；（3）函数单调性的定义中，有两层意思：①对于任意的1x ，2x M ∈，若12x x <，有12()()f x f x <，则称()f x 在M 上是增函数； ②若()f x 在M 上是增函数，则当12x x <时，就有12()()f x f x <恒成立．（4）图象特征：图象是上升趋势的为增函数；图象是下降趋势的为减函数. 1.已知函数y=f(x)是定义在R 上的增函数，则f(x)=0的根（ C ） A.有且只有一个 B.有2个 C.至多有一个 D.以上均不对 2.已知函数f （x ）在区间［a ，b ］上单调，且f （a ）·f （b ）＜0，则方程f （x ）=0在区间［a ，b ］（D ）A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有惟一的实根题型1：证明函数的单调性：步骤：一设，二作差，三变形判断符号，四结论变形常用的手段有：通分，提取公因式、配方法、有理化、因式分解。

1.利用单调性的定义证明函数+2()+1x f x x =在(-1,)+∞上是减函数。

解：在(-1,)+∞上任取12x x <，则121212+2+2()()+1+1x x f x f x x x -=-2121(+1)(+1)x x x x -=因为211x x >>-，所以21210,+1>0,+10x x x x ->>。

第4讲函数的单调性教师版

第三节函数的单调性1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．①f (x )＝1x②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1)解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数y ＝－f (x )的单调减区间是________．[0, ]3．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__．解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0<a ≤916.答案：(0，916]4．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则下列结论正确的是________．①f (3)<f (－2)<f (1) ②f (1)<f (－2)<f (3) ③f (－2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (－2)解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－2)，即f (3)<f (－2)<f (1)．答案：①5．函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1,2)，点B 的坐标为(3,0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x －1) (0≤x <1)，(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)，当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时，在x ＝2取得最大值1.答案：16.已知函数()y f x =在定义域R 上是单调减函数，且(1)(2)f a f a +>，则实数a 的取值范围__________．7. 函数2()1f x x x =-+的单调递减区间为_1(,1],[,1]2-∞-____8.求证：（1）函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调递增函数；（2）函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调递增函数．分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定．证明：（1）对于区间3(,]4-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，因为22121122()()231(231)f x f x x x x x -=-+---+-2221122233x x x x =-+-1212()[32()]x x x x =--+，又1234x x <≤，则120x x -<，1232x x +<，得1232()0x x -+>，故1212()[32()]0x x x x --+<，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．所以，函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调增函数．（2）对于区间(,1)-∞-内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，因为1212122121()()11x x f x f x x x ---=-++12123()(1)(1)x x x x -=++，又121x x <<-，则120x x -<，1(1)0x +<，2(1)0x +<得，12(1)(1)0x x ++> 故12123()0(1)(1)x x x x -<++，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-上是单调增函数．同理，对于区间(1,)-+∞，函数21()1x f x x -=+是单调增函数；所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调增函数．点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值1x ，2x ；（2）作差12()()f x f x -，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．变式：已知函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围．解：设对于区间(2,)-+∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，则12121211()()22ax ax f x f x x x ++-=-++2112(12)()0(2)(2)a x x x x --=<++， 120x x -<，1(2)0x +>，2(2)0x +>得，12(2)(2)0x x ++>，120a ∴-<，即12a >． 9．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.，若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；解：x ∈R ，f (x )<b ·g (x ) x ∈R ，x 2－bx ＋b <0 Δ＝(－b )2－4b >0 b <0或b >4.(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，10．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2. 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9.因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．。

数学高一(上)沪教版(函数的性质--单调性(一))教师版

，(1,0-，()0,1，1,+∞⎡⎣b a ⎤⎥⎦，,0b a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,b a ⎛- ⎝，⎡-⎢⎣上单调递增（减），则数()f x 在区间[],b --上单调递增（减）；上单调递增（减），则数)在区间[]-上单调递减（增）。

【注意】书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭【典型例题分析】例1、判断函数()21xf x x =-在区间()1,1-上的单调性。

【解析】利用函数的单调性的定义判读即可。

【答案】()21xf x x =-在区间()1,1-上单调递减。

变式练习1：已知()3f x x x =+，判断()f x 在(),-∞+∞上的单调性，并证明。

【解析】直接利用函数单调性的定义判断。

【答案】()f x 在(),-∞+∞是增函数【点拨】用定义研究函数的单调性时，所取12,x x 应是指定区间上的任意两值，对差()()12f x f x -的变形主要有因式分解或配方、通分、分子有理化等方法，确定差的符号时要注意12,x x 的所在范围，另外，有字母系数（即参数）的要注意字母对单调性的影响（如y kx b =+）变式练习2：证明：函数()1f x x x=+在()0,1上是减函数。

证明略例2、求下列函数的单调区间（1）()210y x x x =+< （2）221x y x -=+ （3）223y x x =-++ 【解析】利用常见函数的单调性及函数图像求解【答案】（1）单调减区间(),0-∞ （2）单调增区间()()1,,,1-+∞-∞- （3）单调增区间为]([],1,0,1-∞- 单调减区间为[])1,0,1,-+∞⎡⎣例3、已知()f x 为偶函数，且当x ∈)0,+∞⎡⎣时单调递减，求()22f x x -()1x ≤的单调区间。

【解析】根据外层函数的单调区间，对内层函数的单调区间进行相应分段。

7.函数的性质(教师版) WPS文字文档

函数的性质（一）基础知识回顾： 1.函数的单调性：设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21x ,x ,当21x x <时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21x ,x ,当21x x <时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数如果函数y=f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）__________，区间D 叫做函数y=f(x)的____________.2．判定函数的单调性常用的方法有：（1）定义证明法（2）图像法 3. 函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有______________________,那么函数f(x)就叫做奇函数，奇函数的图像关于_______对称；如果对于函数y=f(x)的定义域内任意一个x 都有___________,那么函数f(x)就叫做偶函数，偶函数的图像关于_______对称。

当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有________性。

4．函数单调性性质：5.函数奇偶性性质：二、题型归类（一）函数的单调性1、根据单调性定义判断证明单调性1. 试判断1()1xg x x+=-在(1,)+∞上的单调性，并加以证明．2. 讨论函数()1(0)f x a x a =-≠,在1x ≥时的单调性。

2、常见函数判断单调性问题1. 下列函数中, 在区间 (－∞, 0)上是增函数的是 ( )A 2 ()48 f x x x =-+B ()3 (g x a x a =+≥C 2()1h x x =-+ D 12()l o g ()s x x =- 2. 1）若函数y ax =与by x=-在(0,)+∞上都是减函数，则函数2y ax bx =+在(0,)+∞上是单调递_______函数。

2025高考数学必刷题第15讲、单调性问题(教师版)

第15讲单调性问题知识梳理知识点一：单调性基础问题1、函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数．2、已知函数的单调性问题①若()f x 在某个区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '>，才能得出()f x 在某个区间上单调递增；②若()f x 在某个区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '<，才能得出()f x 在某个区间上单调递减．知识点二：讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x 轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；（5）导数图像定区间；【解题方法总结】1、求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性．注：①使()0f x '=的离散点不影响函数的单调性，即当()f x '在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在(,)-∞+∞上，3()f x x =，当0x =时，()0f x '=；当0x ≠时，()0f x '>，而显然3()f x x =在(,)-∞+∞上是单调递增函数．②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '≥（()f x '不恒为0），反之不成立．因为()0f x '≥，即()0f x '>或()0f x '=，当()0f x '>时，函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增．当()0f x '=时，()f x 在这个区间为常值函数；同理，若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减，则()0f x '≤（()f x '不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：()0f x '>⇒()f x 单调递增；()f x 单调递增()0f x '⇒≥；()0f x '<⇒()f x 单调递减；()f x 单调递减()0f x '⇒≤．必考题型全归纳题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像【例1】（2024·全国·高三专题练习）设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由导函数的图象可得当0x <时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增；当02x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当2x >时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增.只有C 选项的图象符合.故选：C.【对点训练1】（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为'()f x ，如图是函数'()y xf x =的图像，则下列说法正确的是A ．函数()f x 的增区间是(2,0),(2,)-+∞B ．函数()f x 的增区间是()(),2,2,-∞-+∞C ．2x =-是函数的极小值点D ．2x =是函数的极小值点【答案】BD【解析】先由题中图像，确定()f x '的正负，得到函数()f x 的单调性；从而可得出函数极大值点与极小值点，进而可得出结果.由题意，当02x <<时，()0f x '<；当2x >，()0f x '>；当20x -<<时，()0f x '<；当<2x -时，()0f x '>；即函数()f x 在(),2-∞-和(2,)+∞上单调递增，在()2,2-上单调递减，因此函数()f x 在2x =时取得极小值，在2x =-时取得极大值；故A 错，B 正确；C 错，D 正确.故选：BD.【对点训练2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知函数()y xf x '=的图象如图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中可能是()y f x =图象的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由()y xf x '=的图象知，当(),1x ∈-∞-时，()0xf x '<，故()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()1,0x ∈-时，()0xf x '>，故()0f x '<，当[)0,1x ∈，()0xf x '≤，故()0f x '≤，等号仅有可能在x ＝0处取得，所以()1,1x ∈-时，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0xf x '>，故()0f x ¢>，()f x 单调递增，结合选项只有C 符合.故选：C.【对点训练3】（2024·陕西西安·校联考一模）已知定义在[3,4]-上的函数()f x 的大致图像如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()0xf x '>的解集为（）A ．5(2,1)1,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(3,2)--C ．5(1,0)1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(3,4)【答案】C【解析】若0x <，则()()0,f x f x '<单调递减，图像可知，()1,0x ∈-，若0x >，则()()0,f x f x '>单调递增，由图像可知51,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故不等式()0xf x '>的解集为()51,01,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C【解题方法总结】原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数()f x 单调递增⇔导函数()0f x '≥（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足()0f x '>）；原函数单调递减⇔导函数()0f x '≤（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足0()0f x <）．题型二：求单调区间【例2】（2024·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数22ln x y x x+=+的单调递增区间为（）A ．(0,2)B ．(0,1)C ．(2,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D【解析】函数的定义域为(0,)+∞.222ln ln x y x x x x x +=+=++，则2222212(2)(1)1x x x x y x x x x +-+-'=-+==.令00y x >⎧⎨>'⎩，解得(1,)x ∈+∞.故选：D【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）函数ln y x x =（）A ．严格增函数B ．在0,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格增函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是严格减函数C ．严格减函数D ．在0,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是严格增函数【答案】D【解析】已知ln y x x =，0x >，则1ln ln 1y x x x x'=+⋅=+，令0y '=，即ln 10x +=，解得1ex =，当10e x <<时，0'<y ，所以在0,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格减函数，当1e x >时，0'>y ，所以在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是严格增函数，故选：D.【对点训练5】（2024·全国·高三专题练习）函数()()2ln 41f x x =-的单调递增区间（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()0,∞+【答案】A【解析】由2410x ->，可得12x <-或12x >，所以函数()()2ln 41f x x =-的定义域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.求导可得()2841x f x x =-'，当()0f x ¢>时，0x >，由函数定义域可知，12x >，所以函数()()2ln 41f x x =-的单调递增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：A.【对点训练6】（2024·高三课时练习）函数()bf x ax x=+（a 、b 为正数）的严格减区间是（）．A ．,⎛-∞ ⎝B ．,0b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭与0,b a ⎛⎫⎪⎝⎭C ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭与⎛ ⎝D ．⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】由题得0x ≠.由()2b f x a x -'=，令()20b f x a x '=-<解得0x <<或0x <<．所以函数()bf x ax x =+的严格减区间是⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭与⎛ ⎝.选项D ，本题的两个单调区间之间不能用“ ”连接，所以该选项错误.故选：C【解题方法总结】求函数的单调区间的步骤如下：（1）求()f x 的定义域（2）求出()f x '．（3）令()0f x '=，求出其全部根，把全部的根在x 轴上标出，穿针引线．（4）在定义域内，令()0f x '>，解出x 的取值范围，得函数的单调递增区间；令()0f x '<，解出x 的取值范围，得函数的单调递减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“ ”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开．题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围【例3】（2024·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数2()ln 2x f x x =-在区间1(,3m m +上不单调，则实数m 的取值范围为（）A ．203m <<B ．213m <<C ．213m ≤≤D ．m >1【答案】B【解析】函数2()ln 2x f x x =-的定义域为(0,)+∞，且2(11)1)1)((x f x x x x xx x -==+-'=-，令()0f x '=，得1x =，因为()f x 在区间1(,)3m m +上不单调，所以0113m m m >⎧⎪⎨<<+⎪⎩，解得：213m <<故选：B.【对点训练7】（2024·陕西西安·统考三模）若函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．23,e 1⎡⎤+⎣⎦D ．23,e 1⎡⎤-⎣⎦【答案】B【解析】因为函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，所以()120f x x a x'=-+≥在区间()1,e 上恒成立，即12a x x ≤+在区间()1,e 上恒成立，令()()121e g x x x x=+<<，则())22221112120x g x x x x +--'=-==>，所以()g x 在()1,e 上递增，又()13g =，所以3a ≤.所以a 的取值范围是(],3-∞.故选：B【对点训练8】（2024·全国·高三专题练习）若函数()()3log (0a f x ax x a =->且1)a ≠在区间()0,1内单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[)3,+∞B ．(]1,3C ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】令()3g x ax x μ==-，则()23g x a x '=-，当x >x <()0g x '<，当x <<()0g x '>，所以()g x在⎫+∞⎪⎪⎭和,⎛-∞ ⎝上递减，在⎛ ⎝上递增，当1a >时，log a y μ=为增函数，且函数()f x 在区间()0,1内单调递增，所以101a ⎧⎪>⎪⎪≤⎨≥，解得3a ≥，此时()g x 在()0,1上递增，则()()00g x g >=恒成立，当01a <<时，log a y μ=为减函数，且函数()f x 在区间()0,1内单调递增，所以001a ≤<<⎩，无解，综上所述，a 的取值范围是[)3,+∞.故选：A.【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos f x x a x =+在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，则实数a 的取值范围为（）A．1a -B ．1a ≥C．1a >D ．1a ≥-【答案】B【解析】由题意，()cos sin 0f x x a x '=-≤在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，即cos 1sin tan x a x x ≥=在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，因为tan y x =在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以tan 1y x =>，所以在ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，101tan x <<，所以1a ≥.故选：B【对点训练10】（2024·全国·高三专题练习）三次函数3()f x mx x =-在(,)-∞+∞上是减函数，则m 的取值范围是（）A ．0m <B ．1m <C ．0m ≤D ．1m £【答案】A【解析】对函数3()f x mx x =-求导，得2()31f x mx '=-因为函数()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，则()0f x '≤在R 上恒成立，即2310mx -≤恒成立，当20x =，即0x =时，2310mx -≤恒成立；当20x ≠，即0x ≠时，20x ≥，则213m x ≤，即2min13m x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，因为210x ≥，所以30m ≤，即0m ≤；又因为当0m =时，()f x x =-不是三次函数，不满足题意，所以0m <.故选：A ．【对点训练11】（2024·青海西宁·高三校考开学考试）已知函数()ln 1af x x x =++.若对任意1x ，(]20,2x ∈，且12x x ≠，都有()()21211f x f x x x ->--，则实数a 的取值范围是（）A ．27,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],2-∞C ．27,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(],8∞-【答案】A【解析】根据题意，不妨取12x x <，则()()21211f x f x x x ->--可转化为()()2112f x f x x x ->-，即112212ln ln 11a ax x x x x x ++<++++.令()ln 1aF x x x x =+++，则对任意1x ，(]20,2x ∈，且12x x <，都有()()12F x F x <，所以()F x 在(]0,2上单调递增，即()()21101a F x x x '=-+≥+在(]0,2上恒成立，即()31x a x+≤在(]0,2上恒成立.令()()31x h x x+=，02x <≤，则()()()22121x x h x x +-'=，02x <≤，令()0h x '<，得102x <<，令()0h x '>，得122x <≤，所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,22⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，所以()min 12724h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以274a ≤，即实数a 的取值范围是27,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选:A【对点训练12】（2024·全国·高三专题练习）若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（）A ．[)2,-+∞B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．128⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，D ．()2,-+∞【答案】D【解析】∵2()ln 2f x x ax =+-，∴1()2f x ax x'=+，若()f x 在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则1()0,22,f x x '>∈⎛⎫⎪⎝⎭有解，故212a x>-，令21()2g x x =-，则21()2g x x =-在1,22⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，1()22g x g ⎛⎫∴>=- ⎪⎝⎭，故 2 a >-.故选：D.【对点训练13】（2024·全国·高三专题练习）若函数2()ln 2f x x x x =+--在其定义域的一个子区间(21,21)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（）A ．33,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以210k -≥，即12k ≥，2121(1)(21)()21x x x x f x x x x x+-+-'=+-==，令()0f x '=，得12x =或=1x -（舍去），因为()f x 在定义域的一个子区间(21,21)k k -+内不是单调函数，所以121212k k -<<+，得4143k -<<，综上，1324k ≤<，故选：D【对点训练14】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()2ln f x x x b =+-（R b ∈）在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),3-∞D ．(-∞【答案】B【解析】函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在单调增区间，∴函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在子区间使得不等式()0f x '>成立．()()212212x bx f x x b x x -+=+-='，设()2221h x x bx =-+，则()20h >或102h ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即8410b -+>或1102b -+>，得94b <，故选B.考点：导数的应用.【例4】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()321132a f x x x x =+++在(),0∞-，()3,+∞上单调递增，在()1,2上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A ．105,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．(],2-∞-C ．10,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．105,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】由()321132a f x x x x =+++，得()21f x x ax '=++．因为()f x 在(),0∞-，()3,+∞上单调递增，在()1,2上单调递减，所以方程()0f x '=的两个根分别位于区间[]0,1和[]2,3上，所以(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩，即10,110,4210,9310,a a a ≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪++≥⎩解得10532a -≤≤-.故选：A ．【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()()3223110f x mx m x m m =+--+>的单调递减区间是()0,4，则m =（）A ．3B ．13C ．2D ．12【答案】B【解析】函数()()()3223110f x mx m x m m =+--+>，则导数()()2361f x mx m x'=+-令()0f x '<，即()23610mx m x +-<，∵0m >，()f x 的单调递减区间是()0,4，∴0，4是方程()23610mx m x +-=的两根，∴()2104m m-+=，040⨯=，∴13m =故选：B.【解题方法总结】（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等．（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围．（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解．题型四：不含参数单调性讨论【例5】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()()1ln 10x f x x x++=>.试判断函数()f x 在()0+∞，上单调性并证明你的结论；【解析】函数()f x 在()0,∞+上为减函数，证明如下：因为()()()1ln 10x f x x x++=>，所以()()21ln 11xx f x x --++'=，又因为0x >，所以101x>+，ln(1)0x +>，所以()0f x '<，即函数()f x 在()0,∞+上为减函数.【对点训练16】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知()e ln x af x x x+=+若1a =，讨论()f x 的单调性；【解析】若1a =，则()()e 1ln 0x f x x x x +=+>，求导得()()()21e 1x x f x x-+'=，令()0f x ¢>可得1x >，令()0f x '<可得10x >>，故()f x 在()0,1x ∈上单调递减；在()1,+∞上单调递增.【对点训练17】（2024·贵州·校联考二模）已知函数()ln e 1xf x x x =-+．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)讨论()f x 在()0,∞+上的单调性．【解析】（1）()ln 1e x f x x '=+-，∴()11e f '=-，又()11e f =-，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是()()1e 1e 1y x -+=--，即()1e y x =-；（2）令()()()0ln 1e xg f x x x x '==+>-，则()1e x g x x ='-在()0,∞+上递减，且1202g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭'，()11e 0g ='-<，∴01,12x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使()0001e 0xg x x =-='，即00ln x x =-，当()00,x x ∈时，()00g x '>，当()0,x x ∈+∞时，()00g x '<，∴()f x '在()00,x 上递增，在()0,x +∞上递减，∴()()000001ln 1e 1110xf x f x x x x ⎛⎫''≤=+-=-++≤-=-< ⎪⎝⎭，当且仅当001x x =，即01x =时，等号成立，显然，等号不成立，故()0f x '<，∴()f x 在()0,∞+上是减函数．【对点训练18】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数()()e R x f x ax a =-∈，()πe cos2x g x x =+.(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)求函数()g x 在()0,∞+上的单调性；【解析】（1）由题意知()f x 的定义域为R.①当0x >时，由()0f x ≥得e x a x ≤，设()exm x x =，则()()2e 1x x m x x -'=，当()0,1x ∈时，()0m x '<，故()m x 在(0,1)上单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0m x '>，故()m x 在(1,)+∞上单调递增，所以()()min 1e m x m ==⎡⎤⎣⎦，因此e a ≤.②当0x <时，若0a <，因为11e 10a f a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，不合题意.所以0a ≥，此时()0f x >恒成立.③当0x =时，()010f =>，此时R a ∈.综上可得，a 的取值范围是[]0,e .（2）设()sin n x x x =-，0x >，则()cos 10n x x '=-≤，所以()n x 在()0,∞+上单调递减，所以()()00n x n <=，即sin x x <在()0,∞+上恒成立.所以ππsin 22x x <.又由（1）知e e x x ≥，所以当0x >时，()2πππππe sin e e 022224xg x x x x x ⎛⎫'=->-⋅=-> ⎪⎝⎭，所以()g x 在()0,∞+上单调递增.【对点训练19】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()ln(e 1)ln x f x x =--．判断()f x 的单调性，并说明理由；【解析】e 1e e 1(1)e 1()e 1(e 1)(e 1)x x x x xxx x x f x x x x-+-+'=-==---令()(1)e 1x g x x =-+，()e(1)e e 0xx x g x x x '=+-=>()g x 在(0,)+∞上递增，()(0)0g x g ∴>=，()0f x '∴>，()f x 在(0,)+∞上单调递增.【解题方法总结】确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．题型五：含参数单调性讨论情形一：函数为一次函数【例6】（2024·山东聊城·统考三模）已知函数()(1)ln f x m x m x m =+--．讨论()f x 的单调性；【解析】(1)()1m m x mf x m x x+-'=+-=，,()0x ∈+∞，①当10m +=，即1m =-时，1()0f x x'=>，()f x 在区间(0,)+∞单调递增．②当10+<m ，即1m <-时，令()0f x '>，得01m x m <<+，令()0f x '<，得1mx m >+，所以()f x 在区间0,1m m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭单调递增；在区间,1m m ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭单调递减．③当10m +>，即1m >-时，若10m -<≤，则()0f x '>，()f x 在区间(0,)+∞单调递增．若0m >，令()0f x '<，得01m x m <<+，令()0f x '>，得1m x m >+，所以()f x 在区间0,1m m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭单调递减；在区间,1m m ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭单调递增．综上，1m <-时，()f x 在区间0,1m m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭单调递增；在区间,1m m ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭单调递减；10m -≤≤时，()f x 在区间(0,)+∞单调递增0m >时，()f x 在区间0,1m m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭单调递减、在区间,1m m ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭单调递增．【对点训练20】（2024·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知函数()()22ln 2310f x x a x ax a =-+-≥.讨论函数()f x 的单调性；【解析】()f x 的定义域为()()()()4110,,ax ax f x x∞+-+'=若0a =，则()()1,f x f x x='在()0,∞+单调递增；若0a >，令()0f x '=，解得12110,04x x a a=>=-<（舍去）当10x a <<时，()0f x ¢>，函数()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当1x a >时，()0f x '<，函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，【对点训练21】（2024·全国·模拟预测）已知函数()()()ln 11f x x a x a =+-+∈R .讨论函数()f x 的单调性；【解析】因为()()ln 11f x x a x =+-+，所以()()11f x a x+'=-.因为0x >，若10a -≥，即1a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，若10a -<，即1a >时，令()()110f x a x=+->'，得101x a <<-；令()()110f x a x=+-<'，得11x a >-，所以()f x 在10,1a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭上单调递减.综上，当1a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()f x 在10,1a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭上单调递减.【对点训练22】（2024·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数()()ln f x x a x -=．讨论()f x '的单调性；【解析】由函数()()ln f x x a x -=，可得()ln ln 1(0)x a af x x x x x x-=+=+->'，设()()ln 1a x f x x x ϕ==+-'，可得221()a x ax x x xϕ+=+='，①当0a ≥时，()0x ϕ'>，所以()f x '在(0,)+∞单调递增；②当a<0时，令()0x ϕ'=，解得x a =-.当0x a <<-时，()0x ϕ'<，()f x '单调递减；当x a >-时，()0x ϕ'>，()f x '单调递增.综上，当0a ≥时，()f x '在(0,)+∞单调递增；当0a <时，()f x '在(0,)a -单调递减，在(,)a -+∞单调递增.情形二：函数为准一次函数【对点训练23】（2024·云南师大附中高三阶段练习）已知函数()ln f x x x ax =-.讨论()f x 的单调性；【解析】函数()f x 的定义域为(0)x ∈+∞，，()ln 1f x x a '=+-．令()0f x '=，解得1e a x -=，则有当10e a x -<<时，()0f x '<；当1e a x ->时，()0f x '>；所以()f x 在1(0e )a -，上单调递减，在1(e )a -+∞，上单调递增．【对点训练24】（2024·北京·统考模拟预测）已知函数21()e 2x f x k x =-.(1)当1k =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 的单调性；【解析】（1）1k = ，21()e 2x f x x ∴=-，()e x f x x '∴=-，当1x =时，1(1)e 2f =-，∴切点坐标为11e 2⎛⎫- ⎪⎝⎭，，又(1)e 1f '=-，∴切线斜率为e 1-，∴曲线()y f x =在1x =处切线方程为：()1e 102x y --+=.（2）21()e 2x f x k x =- ，x ∈R ，()()e x g x f x k x '∴==-，x ∈R ，()e 1x g x k '∴=-，x ∈R ，①当0k ≤时，()'0g x <成立，()f x ∴的单调递减区间为R ，无单调递增区间.②当0k >时，令()10ln x g x ke x k '=-=⇒=-，所以当ln x k <-时，()0g x '<，()g x 在(,ln )-∞-k 上单调递减ln x k >-时，()0g x '>，()g x 在(ln ,)-+∞k 上单调递增综上:0k ≤时，()f x 的单调递减区间为R ，无单调递增区间；0k >时，()f x 的单调递增区间为(ln ,)-+∞k ，单调递减区间为(,ln )-∞-k ；【对点训练25】（2024·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知函数()()e 1=--∈x f x ax a R .讨论()f x 的单调性；【解析】∵()()e 1=--∈x f x ax a R ，∴()e xf x a '=-，①当0a ≤时，()0f x ¢>恒成立，此时()f x 在(),-∞+∞上单调递增；②当0a >时，令()e 0xf x a '=-=，解得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在区间(),ln a -∞上单调递减，当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在区间()ln ,a +∞上单调递增.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在区间(),ln a -∞上单调递减，在区间()ln ,a +∞上单调递增.情形三：函数为二次函数型方向1、可因式分解【对点训练26】（2024·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知函数()()()2ln 20f x a x x a x a =+-+>.讨论函数()f x 的单调性；【解析】因为()()()2ln 20f x a x x a x a =+-+>，该函数的定义域为()0,∞+，()()()()()2222122x a x a x a x ax a x x xf x -++-'-=+-+==.因为0a >，由()0f x '=得：2ax =或1x =.①当12a=，即2a =时，()0f x '≥对任意的0x >恒成立，且()f x '不恒为零，此时，函数()f x 的增区间为()0,∞+，无减区间；②当12a >，即2a >时，由()0f x ¢>得01x <<或2ax >；由()0f x '<得12a x <<.此时，函数()f x 的增区间为()0,1、,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间为1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭；③当12a <，即02a <<时，由()0f x ¢>得02ax <<或1x >；由()0f x '<得12a x <<.此时函数()f x 的增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()1,+∞，减区间为,12a ⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述：当2a =时，函数()f x 的增区间为()0,∞+，无减区间；当2a >时，函数()f x 的增区间为()0,1、,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间为1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭；当02a <<时，函数()f x 的增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()1,+∞，减区间为,12a ⎛⎫⎪⎝⎭.【对点训练27】（2024·湖北咸宁·校考模拟预测）已知函数()()2111ln 22f x x a x b x x x ⎛⎫=----+ ⎪⎝⎭，其中,R a b ∈.讨论函数()f x 的单调性；【解析】函数()f x 的定义域为()()()()310,,x x a f x x ∞--+='-.①若1a >时，01x <<11x a<<ax a>()f x '-0+-()f x 极小值极大值②若1a =时，()0f x '≤恒成立，()f x 单调递减，③若01a <<时0x a<<a1<<a x 11x >()f x '-0+-()f x 极小值极大值④若0a ≤时，()0,1x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减；()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增.综上所述，当1a >时，()()0,1,x f x ∈单调递减，()()1,,x a f x ∈单调递增，()(),,x a f x ∞∈+单调递减；当1a =时，()()0,,x f x ∞∈+单调递减；当01a <<时，()()0,,x a f x ∈单调递减，(),1x a ∈，()f x 单调递增，()()1,,x f x ∞∈+单调递减；当0a ≤时，()()0,1,x f x ∈单调递减，()()1,,x f x ∞∈+单调递增.【对点训练28】（2024·北京海淀·高三专题练习）设函数()()24143e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦．(1)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，求a ；(2)求()f x 的单调区间．【解析】（1）因为()()24143e x f x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦，所以()()()()2241e 4143e R x xf x ax a ax a x a x '⎡⎤⎡⎤=-++-+++∈⎣⎦⎣⎦()2212e xax a x ⎡⎤=-++⎣⎦.()()11e f a '=-.由题设知()10f '=，即()1e 0a -=，解得1a =.此时()13e 0f =≠.所以a 的值为1（2）由（1）得()()()()2212e 12e x xf x ax a x ax x '⎡⎤=-++=--⎣⎦．1）当0a =时，令()0f x '=，得2x =，所以()(),,x f x f x '的变化情况如下表：x(),2-∞2()2,+∞()f x '+-()f x 单调递增极大值单调递减2）当0a ≠，令()0f x '=，得1x a=或2①当0a <时，12a<，所以()(),,x f x f x '的变化情况如下表：x1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1a1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭2()2,+∞()f x '-+-()f x 单调递减极小值单调递增极大值单调递减②当0a >时，（ⅰ）当102a <<即12a >时，x1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1a1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭2()2,+∞()f x '+-+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增（ⅱ）当12a =即12a =时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；（ⅲ）当12a >即102a <<时，x(),2-∞212,a ⎛⎫⎪⎝⎭1a1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '+-+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上，当0<a 时，()f x 的单调递增区间是1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间是1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()2,+∞；当0a =时，()f x 的单调递增区间是(),2-∞，单调递减区间是()2,+∞；当102a <<时，()f x 的单调递增区间是(),2-∞和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为12,a ⎛⎫⎪⎝⎭；当12a =时，()f x 的单调递增区间是R ，无单调递减区间；当12a >时，()f x 的单调递增区间是1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()2,+∞，单调递减区间是1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭．【对点训练29】（2024·广西玉林·统考模拟预测）已知函数()22132ln 2f x x ax a x =-+，0a ≠.讨论()f x 的单调区间；【解析】()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2x a x a f x x-'-=若0a >，当()0,x a ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当(),2x a a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x a ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增.若a<0，则()0f x ¢>恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增.综上，当0a >时，()f x 的单调递增区间为()0,a ，()2,a +∞，单调递减区间为(),2a a ；当a<0时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间【对点训练30】（2024·河南郑州·统考模拟预测）已知()()24ln 20f x x a x =-≠.讨论()f x 的单调性；【解析】因为()()24ln 20f x x a x =-≠定义域为()0,∞+，所以())2222144444f x a x a x x x x a a xa a ⎛⎫-+⎛⎫'+ ⎪⎝⎭⎝=+++= ⎭⎭=⎪⎝,若0a <时，则()0f x ¢>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，若2a =时，则())2202f x x '=≥，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，若02a <<时，4a a <，则2216a a <，当2216,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，()f x 在2216,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当20x a <<或216x a >时()0f x ¢>，()f x 在()20,a ，216,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，若2a >时，4a a >，则2216a a >，当2216,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，()f x 在2216,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当2160x a <<或2x a >时()0f x ¢>，()f x 在2160,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,a +∞上单调递增，综上可得，当0a <或2a =时()f x 在()0,∞+上单调递增；当02a <<时()f x 在2216,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()f x 在()20,a ，216,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当2a >时()f x 在2216,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2160,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,a +∞上单调递增.方向2、不可因式分解型【对点训练31】（2024·河南驻马店·统考二模）已知函数()()21ln 12f x x ax =+-，()()1sin 01ex xg x ax a x =+-≠+．讨论()f x 的单调性；【解析】由题意可得()f x 的定义域为()1,-+∞，且()21111ax ax f x ax x x --'+=-=++．令()0f x '=，则210ax ax --+=，()244a a a a ∆=+=+．当0∆≤，即40a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在()1,-+∞上单调递增．当0∆>，即0a >或4a <-时，()0f x '=有两个根112x =--2122x a=-+．若0a >，11x <-，20x >，则当()21,x x ∈-时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；若4a <-，()121,x x >∈-+∞，则当()21,x x ∈-或()1,x x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当()21,x x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减．综上，当0a >时，()f x 在()21,x -上单调递增，在()2,x +∞上单调递减；当40a -≤<时，()f x 在()1,-+∞上单调递增；当4a <-时，()f x 在()21,x -和()1,x +∞上单调递增，在()21,x x 上单调递减．【对点训练32】（2024·重庆·统考模拟预测）已知函数22()ln (R)2x ax af x x a x--+=+∈．讨论函数()f x 的单调性；【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，求导得222112()222a x x af x x x x -+-'=--=，①当440a -≤，即1a ≥时，()0f x '≤恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减；②当4400a a ->⎧⎨>⎩，即01a <<时，由()0f x '=解得，1x =由()0f x '>解得，11x <<，由()0f x '<解得01x <<1x >，此时()f x 在(1上单调递增，在(0,1和(1)++∞上单调递减；③当4400a a ->⎧⎨≤⎩，即0a ≤时，由()0f x '=解得1x =1x =舍)，由()0f x '>解得01x <<+()0f x '<解得1x >此时()f x 在(0,1+上单调递增，在(1)+∞上单调递减，所以当1a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当01a <<时，函数()f x 在(1上单调递增，在(0,1和(1)+∞上单调递减；当0a ≤时，函数()f x 在(0,1上单调递增，在(1)+∞上单调递减.【对点训练33】（2024·广东·统考模拟预测）已知函数()21eax x f x +=，R a ∈.讨论()f x 的单调性；【解析】依题意()2e 2axax x af x -+=-'.若0a =，则()2f x x '=，故当()0x ∈-∞，时，()0f x '<，当()0x ∈+∞，时，()0f x ¢>.若0a ≠，令22y ax x a =-+，244a ∆=-，令0∆≤，解得1a ≤-或1a ≥.①若1a ≤-，则()0f x '≥.②若1a ≥，则()0f x '≤.③若11a -<<且0a ≠，令()0f x '=，得122x a =，222x a=.若10a -<<，则12x x >，当()2x x ∈-∞，时，()0f x ¢>，当()21x x x ∈，时，()0f x '<，当()1x x ∈+∞，时，()0f x ¢>；若01a <<，则12x x <，当()1x x ∈-∞，时，()0f x '<，当()12x x x ∈，时，()0f x ¢>，当()2x x ∈+∞，时，()0f x '<.综上所述：若1a ≤-，则()f x 在R 上单调递增；若10a -<<，则()f x 在22a ⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭，和22a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在2222a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，上单调递减；若0a =，则()f x 在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增；若01a <<，则()f x 在22a ⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭，和22a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2222a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，上单调递增；若1a ≥，则()f x 在R 上单调递减；【对点训练34】（2024·江苏·统考模拟预测）已知函数21()32ln (R)2f x x ax x a =++∈.讨论函数()f x 的单调性；【解析】易知0x >，又因为2232()3x ax f x x a x x++'=++=，令2()32h x x ax =++，298a ∆=-，①当0∆≤，即289a ≤时，()0h x ≥恒成立，所以()0f x '≥，此时，()f x 在区间()0,∞+上是增函数；②当2980a ∆=->，得到3a >或a <又2()32h x x ax =++，其对称轴为32a x =-，且(0)20h =>，所以，当3a >时，302a x =-<，所以()0h x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，即()0f x ¢>在区间(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在区间()0,∞+上是增函数；当3a <-时，302a x =->，且(0)20h =>，由()0h x =，得到32a x -=或32a x -+=，33(0,(,)22a a x --∈+∞ 时，()0h x >，33(,22a a x --∈时，()0h x <即33(0,)()22a a x --∈+∞ 时，()0f x '>，x ∈时，()0f x '<此时，()f x 在33,22a a ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭上是减函数，在330,,,22a a ⎛⎫⎛⎫--+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上是增函数.综上所述，当3a ≥-时，()f x 在()0,∞+上是增函数；当a <()f x 在33,22a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭上是减函数，在330,,,22a a ⎛⎫⎛⎫--+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上是增函数.【解题方法总结】1、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．2、需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．3、利用草稿图像辅助说明．情形四：函数为准二次函数型【对点训练35】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()e ln axaf x x x x=++，()0,x ∈+∞，其中R a ∈.讨论函数()f x 的单调性；【解析】,()0x ∈+∞，211()(1)e (1)(e a a x x a a a f x x x x x x'=--+=-+，当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0a >时，当(0,)x a ∈时，()0f x '<，当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，所以当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增.【对点训练36】（2024·河南郑州·统考模拟预测）已知()()2211e 12x f x x a ax a x =---+-．（R a ∈）讨论()f x 的单调性；【解析】因为221()(1)e 12x f x x a ax a x =---+-,所以()()()e ()()e x xf x x a a x a x a a '=---=--,若0,e 0,(,)x a a x a ∞≤->∈-时,()0,()'<f x f x 单调递减,(,)x a ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增；若0a >,由()0f x '=得x a =或ln x a =,设()ln (0)g a a a a =->,则11()1a g a a a-'=-=,(0,1)a ∈时,()0,()g a g a '<单调递减,(1,)∈+∞a 时,()0,()g a g a '>单调递增,所以()(1)10g a g ≥=>，所以ln a a >,所以(ln ,)x a a ∈时,()0,()'<f x f x 单调递减,(,ln )x a ∈-∞，(,)x a ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增.综上得,当0a ≤时,()f x 在(,)a -∞上单调递减,在(,)a +∞上单调递增,当0a >时,()f x 在(ln ,)a a 上单调递减,在(,ln )a -∞，(,)a +∞上单调递增.【对点训练37】（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知()()()()231e 03x a f x x x ax x a =--+>∈R .讨论函数()f x 的单调性；【解析】由题知，()()()22()1e 1(1)(1)x xf x x a x x x e a '=---=-+-.当1a ≤时，当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x ¢>，()f x \在区间()0,1上是㺂函数，在区间()1,+∞上是增函数；当1e a <<时，0ln 1a <<；当0ln x a <<或1x >时，()0f x ¢>；当ln 1a x <<时，()0f x '<；()f x \在区间()0,ln a 上是增函数，在区间()ln ,1a 上是减函数，在区间()1,+∞上是增函数；当e a =时，()()0,f x f x ≥'∴在区间()0,∞+上是增函数；当e a >时，ln 1a >；当01x <<或ln x a >时，()0f x ¢>；当1ln x a <<时，()0f x '<；()f x \在区间()0,1上是增函数，在区间()1,ln a 上是减函数，在区间()ln ,a ∞+上是增函数；综上所述，当1a ≤时，()f x 在区间()0,1上是减函数，在区间()1,+∞上是增函数；当1e a <<时，()f x 在区间()0,ln a 上是增函数，在区间()ln ,1a 上是减函数，在区间()1,+∞上是增函数；当e a =时，()f x 在区间()0,∞+上是增函数；当e a >时，()f x 在区间()0,1上是增函数，在区间()1,ln a 上是减函数，在区间()ln ,a ∞+上是增函数.【对点训练38】（2024·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知函数()()2ln 1ln 1,R f x x a x x a ⎡⎤=-++⋅∈⎣⎦，讨论函数()f x 的单调性；【解析】()()2ln 1ln 1f x x a x x ⎡⎤=-++⋅⎣⎦，()()()()()222ln 1ln 1ln 1ln 1ln ln ln 1x a f x x x a x x a x a x a x x x +⎡⎤⎡⎤∴=-+-++=+--=-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦'令()0f x '=，则两根分别为121e ,eax x ==.1、当1a =-时，()()2ln 10f x x '=+≥在()0,∞+恒成立，故()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；2、当1a >-时，令()0f x ¢>得1ex <或e a x >，令()0f x '<得1e e ax <<，所以()f x 单调递增区间为()10,,e ,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,e e a ⎛⎫⎪⎝⎭；3、当1a <-时，令()0f x ¢>得e a x <或1e x >时，令()0f x '<得1e eax <<，所以()f x 单调递增区间为()10,e ,,e a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1e ,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

函数单调性教案(教师版)

课题：函数的单调性(1)教学目的：（1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思（2）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间（3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性教学重点：函数的单调性的概念；教学过程：一、复习引入：⒈复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数2xy=和3xy=的图象. 2xy=的图象如图1，3xy=的图象如图2.⒉引入：从函数2xy=的图象（图图象在y轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x在区间[0，+∞)上取值时，随着x的增大,相应的y值也随着增大，即如果取21,xx∈[0，+∞)，得到1y=)(1xf,2y=)(2xf,那么当1x<2x时，有1y<2y.这时我们就说函数y=)(xf=2x在[0,+ ∞)上是增函数. 图象在y轴的左侧部分是下降的，也就是说，当x在区间（-∞，0）上取值时，随着x的增大，相应的y值反而随着减小，即如果取21,xx∈（-∞，0），得到1y=)(1xf,2y=)(2xf,那当1x<2x时，有1y>2y.这时我们就说函数y=)(xf=2x在(-∞,0)上是减函数.函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的.二、讲解新课：⒈增函数与减函数定义：对于函数)(xf的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值21,xx，⑴若当1x<2x时，都有)(1xf<)(2xf,则说)(xf在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当1x<2x时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）.说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数. ⒉ 单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 那样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f <)(2x f 或)(1x f >)(2x f , ”改为“)(1x f ≤)(2x f 或)(1x f ≥)(2x f ,”即可；⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.四、典型例题（3个，基础的或中等难度）例1、如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数.解：函数)(x f y =的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中)(x f y =在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.例2、证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数. 证明：设21,x x 是R 上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =(31x +2)-(32x +2)=3(1x －2x ),由1x <2x x,得1x －2x <0 ,于是)(1x f －)(2x f <0,即 )(1x f <)(2x f . ∴23)(+=x x f 在R 上是增函数.例3、讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性.解：∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴a x =∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是增函数；若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是减函数.五、课堂练习（2个，基础的或中等难度） 1、判断函数)(x f =x1在(-∞,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. 判断函数)(x f =x1在(-∞,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. 解：设1x ,2x ∈(-∞，0)，且1x <2x ，∵)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -=2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(-∞，0)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴)(x f =x1在(0,+ ∞)上是减函数. 能否说函数)(x f =x1在(-∞，+∞)上是减函数？答：不能. 因为x =0不属于)(x f =x1的定义域. 说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.2、判断函数b kx x f +=)(在R 上的单调性，并说明理由. 解：⑴设1x ,2x ∈R ，且1x <2x ,则)(1x f －)(2x f =(k 1x +b)-(k 2x +b)=k(1x -2x ).若k>0，又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f <0,即 )(1x f <)(2x f.∴b kx x f +=)(在R 上是增函数.若k<0，又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴b kx x f +=)(在R 上是减函数.六、拓展探究（2个）1、函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．解：f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．2、试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．解：设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1． f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)．当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．三、小结⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设1x ,2x 是给定区间内的任意两个值，且1x <2x ；⑵作差)(1x f －)(2x f ，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断)(1x f －)(2x f 的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据)(1x f －)(2x f 的符号确定其增减性.四、作业(这份是教师用的教案，排在二张A4纸上)。

教师资格面试函数的单调性教案

教案一高中必修1 第一章集合与函数的概念课题 1.3.1 函数的单调性课时数第1课时教学三维目标知识与技能从数与形两方面理解单调性的概念；会判断和证明函数的单调性；过程与方法：经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会数形结合解题的思想；情感、态度与价值观：通过知识的探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；发挥学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣。

教学重点函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性；教学难点根据定义证明函数的单调性和利用函数图像证明单调性。

教学准备多媒体课件教学过程：二次备课一、课前三分钟学生代表带领大家复习学习过的函数的知识：1、函数有几个要素？各是什么？（三要素；分别是：定义域、值域、对应关系）2、函数的定义域怎样确定？怎样表示？（使函数表达式有意义，如4+=x y ；用集合表示{x|x ≥－4}）3、函数的表示方法常见的有几种？（解析式、图像、表格）二、引出新课，出示学习目标1、请观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：学生通过充分观察提出自己意见： ①随x 的增大，y 的值有一定变化； ②有的函数有最大值或最小值；③有的函数图象有上升或下降的情形或具有某种对称性…… 教师引导下学生总结：图1：函数图像在整个定义域上都是下降的；图2：函数图像在)0,(-∞上下降，在),0(+∞上上升；图3：函数图像在整个定义域上都是上升的；图4：函数图像在部分区域上上升，在部分区域上下降。

（1）学生展示：函数()y f x =在区间[]2,5--∈x ，[]1,3上是减函数，因此[]2,5--，[]1,3是函数()y f x =的单调减区间；在区间[]2,1-，[]3,5上是增函数，因此[]2,1-，[]3,5是函数()y f x =的单调增区间．（2）、提出问题：[]2,5--是函数()f x 的单调减区间，那么是否可认为()2,5--也是()f x 的单调减区间呢？教师引导学生理解：若()f x 在[],a b （a,b 均属定义域）上单调(增或减)，则()f x 在(,)a b 上单调(增或减)，因为在研究函数的单调性，实质是研究函数在某一个区间内的变化规律，而函数在一个任意点函数值确定，不具有单调性，所以将定义域区间内的某个单调区间写成开区间或闭区间都可以。

高一第3讲函数的单调性与奇偶性(教师版)

第3讲函数的单调性与奇偶性（教师版）.一．学习目标1.了解函数单调性的概念及几何意义，掌握基本初等函数的单调性，会求(判断或证明)函数的单调区间，并能运用函数单调性解决有关问题．2.理解函数奇偶性的概念，掌握函数奇偶性的判定方法和图象特征；会利用函数奇偶性分析、探究函数值、性质及图象等问题．二．重点难点1.利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式求变量的取值是历年高考考查的热点．2.利用函数的单调性求最值，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点．3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．三．知识梳理1．定义域为I 的函数f (x )的增减性：2．如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．3．设x 1，x 2∈[a ，b ]，如果1212()()f x f x x x -->0，则f (x )在[a ，b ]上是单调递增函数，如果1212()()f x f x x x --<0，则f (x )在[a ，b ]上是单调递减函数． 4. 重点掌握好七类初等函数的图象，用其判断函数单调性。

(1)一次函数y=kx+b(k ≠0)图象为直线，k>0时.在(－∞，＋∞)上为增函数。

K<0时，在(－∞，＋∞)上为减函数。

（2）反比例函数y=k x图象为双曲线，k>0时在（-∞，0），（0，+∞）上为减函数，K<0时，在（-∞，0），（0，+∞）上为增函数。

（3）二次函数y=a 2x +bx+c(a ≠0)图象为抛物线，一看开口方向（由a 正负号确定），二看对称轴（即x=-2b a）,再由图象确定单调区间。

（4）耐克函数b y ax x =+（a>0,b>0），（又称为对勾函数），由图象可得其四个单调区间。

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单调增区间
函数y ＝x x
+-11的递减区间是(―∞, ―1)、(―1, ＋∞)
.函数y ＝log 12
(4＋3x －x 2)的一个单调递增区间是 ( ) A.(－∞，32] B.[32
，＋∞) C.(－1，32) D.[32
，4) 解析：由t ＝4＋3x －x 2＞0得－1＜x ＜4，即函数y ＝log 12
(4＋3x －x 2)的定义域为(－1,4)，
又y ＝log 12t 是减函数，t ＝4＋3x －x 2在[32
，4)上递减，所以函数y ＝log 12(4＋3x －x 2)在[32
，4)上递增. 答案：D
函数x x x f ln 2)(2-=的增区间是
2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间
（1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++
解：(1)2221(0)21(0)x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨--+<⎪⎩ 即22(1)2(0)(1)2(0)
x x y x x ⎧--+≥⎪=⎨-++<⎪⎩ 如图所示，单调增区间为(,1][0,1]-∞-和，单调减区间为[1,0][1,)-+∞和
（2）当2230,13x x x -++≥-≤≤得，函数2223(1)4y x x x =-++=--+
当2230,13x x x x -++<<->得或，函数2223(1)4y x x x =--=--
即22(1)4(13)(1)4(13)
x x y x x x ⎧--+-≤≤⎪=⎨--<->⎪⎩或如图所示，单调增区间为[1,1][3,]-+∞和，单调减区间为(,1][1,3]-∞-和
单调性的应用
1.求参数范围
(精选考题·抚顺六校第二次模拟)f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧ a x (x >1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞)
B ．[4,8)
C ．(4,8)
D ．(1,8)
解析：因为f (x )是R 上的单调递增函数，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2.
解得4≤a <8，故选B.
2. 若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是
________．解析：由于f (x )＝|log a x |在(0,1]上递减，在(1，＋∞)上递增，所以0<a <3a －1≤1，解得12<a ≤23
，此即为a 的取值范围．答案：12<a ≤23
3. ．已知函数f (x )＝3－ax a －1
(a ≠1)． (1)若a >0，则f (x )的定义域是________；
(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．
解析：(1)当a >0且a ≠1时，由3－ax ≥0得x ≤3a ，即此时函数f (x )的定义域是⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，3a ； (2)当a －1>0，即a >1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需3－a ×1≥0，此时1<a ≤3. 当a －1<0，即a <1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需－a >0，此时a <0.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．
答案：(1)⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，3a (2)(－∞，0)∪(1,3] 4. 【训练2】函数y ＝x －5x －a －2
在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是 ( )．
A ．a ＝－3
B ．a <3
C ．a ≤－3
D ．a ≥－3
解析 y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －(a ＋2)，需⎩⎨⎧ a －3<0，a ＋2≤－1，
即⎩
⎨⎧ a <3，a ≤－3，∴a ≤－3. 答案 C
5. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2)
C ．(－2,1)
D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
已知函数()f x 在[0, π)上是递减函数，且周期是3，那么下列三个数(lg100)f , f (2
π), f (23π)，从大到小的顺序是f (2
π)>(lg100)f >f (23π) 例5．函数9()log (8)a f x x x =+-在[1,)+∞上是增函数，求a 的取值范围．分析：由函数9()log (8)a
f x x x
=+-在[1,)+∞上是增函数可以得到两个信息：①对任意的121,x x ≤<总有12()()f x f x <；②当1x ≥时，80a x x +-
>恒成立．解：∵函数9()log (8)a f x x x
=+-在[1,)+∞上是增函数，∴对任意的121,x x ≤<有12()()f x f x <，即919212log (8)log (8)a a x x x x +-<+-，得1212
88a a x x x x +-<+-，即1212
()(1)0a x x x x -+<， ∵120x x -<，∴12
10,a x x +> 121,a x x >- 12a x x >-， ∵211x x >≥，∴要使12a x x >-恒成立，只要1a ≥；又∵函数9()log (8)a f x x x
=+-在[1,)+∞上是增函数，∴180a +->，即9a <，综上a 的取值范围为[1,9)-．
另解：（用导数求解）令()8a g x x x =+-，函数9()log (8)a f x x x
=+-在[1,)+∞上是增函数， ∴()8a g x x x =+-
在[1,)+∞上是增函数，2()1a g x x
'=+， ∴180a +->，且210a x +≥在[1,)+∞上恒成立，得19a -≤<．
例1 求解方程03x 8x )3x 7(55=++++。

解：设函数x x )x (f 5+=，则)x (f 是奇函数而且单调递增。

原方程等价于
)x (f )3x 7(f -=+，于是有)x (f )3x 7(f -=+，即x 3x 7-=+，得8
3x -=为所求方程的解。

二. 妙解方程
例2. 解方程4765x x x +=
解：易见x=2是方程的一个解原方程可化为4657651⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭
⎪=x x 而f x x ()=⎛⎝ ⎫⎭⎪465（因为46501⎛⎝ ⎫⎭
⎪∈x ()，）在R 上是减函数，g x x ()=⎛⎝ ⎫⎭
⎪765同样在R 上是减函数因此f x g x x x ()()+=⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭
⎪465765在R 上是减函数由此知：当x >2时，465765465765122⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪<⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭
⎪=x x 当x <2时，465765465765122⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪>⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭
⎪=x x 这说明x >2与x <2的数都不是方程的解，从而原方程仅有唯一解x =2。

拓展训练：解方程51222x x x -=+()。

（答：x =2）
点评：解该类型题有两大步骤：首先通过观察找出其特解x 0，然后等价转化为f x a a ()()=为常数的形式，最后根据f x ()的单调性得出原方程的解的结论。

例4. 解不等式log ()log 5161+>x x
解：设t x x x t ===log 165164，则，
原不等式可化为log ()514+>t t
则145+>t t ，即15451⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪>t t
设f t t t
()=⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭
⎪1545 显然f t ()是R 上的减函数，且11=f ()，那么不等式即f t f t ()()>⇒<11
因此有log 161x <，解得016<<x
点评：解不等式其实质是研究相应函数的零点，正负值问题。

用函数观点来处理此类问题，不仅可优化解题过程，且能让我们迅速获得解题途径。

拓展训练：解不等式()5363033x x x ++++>。

（答：x >-12
）
抽象函数的单调性
函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1.
（1）求证：f(x)是R
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)＜3.
解：（1）设x 1,x 2∈R ，且x 1＜x 2,
则x 2-x 1＞0,∴f(x 2-x 1)＞1.
f(x 2)-f(x 1)=f((x 2-x 1)+x 1)-f(x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)-1-f(x 1)=f(x 2-x 1)-1＞0. ∴f （x 2）＞f(x 1).
即f(x)是R 上的增函数.
（2）∵f （4）=f （2+2）=f （2）+f （2）-1=5
∴f （2）=3，
∴原不等式可化为f(3m 2-m-2)＜f(2),
∵f(x)是R 上的增函数，∴3m 2-m-2＜2,
解得-1＜m ＜34,故解集为（-1,34）.。