高一数学人教版必修一 函数的单调性
1． 书面作业：课本P39 习题1．3 （A组） 第1、 2题．
谢谢大家的聆听！ 不当之处指正。
1、从左到右看，图象上升还是下降 ____? 2、在区间 ________上，随着x的增大，f(x) 的值随着 ______ ．
（2）画出下列函数的图象，观察其变化 规律：
f(x) =
2 x
1、在区间 ____ 上，f(x)的值随着x的增大而 减 小． 2、 在区间 _____ 上，f(x)的值随着x的增大而 增大．
例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)， 根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间 上，它是增函数还是减函数？
例2、物理学中的玻意耳定律
k p (k为正常数 ) V
告诉我们，对于一定量的气体，当其 体积V减小时，压强p将增大。试用函 数的单调性证明之。
思考？
形成性练习：
1思考：画出反比例函数的图象．
三．函数的单调性、单调区间的概念
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函 数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这 一区间具有（严格的）单调性，区间D叫 做y=f(x)的单调区间.
三．形成成果
1.在上述研究的过程中， 你觉得判断义法证明函数单 调性的步骤是？？
习水县第一中学 袁嗣林 2018年9月
一、课题引入
1.观察下列各个函数的图象，回答下列问 题
1 、从左向右观察上面三个图象，你能说出图象的变 化趋势吗？
2、上面三个图象，随 x 的增大， y的值各有什么变化？
2.动手实践。（1）画出下列函数
的图象，观察其变化规律，然后回答下列 问题：
f(x) = x
（1） 这个函数的定义域是什么？
（2） 它在定义域I上的单调性怎 样？
1 2.证明：函数 f ( x) 在(0， x
+∞)上是减函数。
1 3.证明：函数 f ( x) x 在 x
(1，+∞)上是增函数。
四、归纳小结
同学们，通过今天的学习，你都有些 什么收获？学到了什么？
五、课后巩固与提高
二、函数单调性定义 1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 ， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．
2．减函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1， x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在 区间D上是减函数 ．
函数的单调性课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
学运算素养．
新课引入
问题1：观察下面函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？
= 2
=
= >0
升降变化、对称性，最高点或最低点等
今天，我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大（或减小）——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地，只有当函数 在它的定义域上单调递增（递减）时，
我们才称它是增（减）函数。
合作探究
思考1：−1 < 2时，有 −1 < 2 ，
说函数在区间 −1，2 上单增对吗？并说出你的理由。
不对，如图，虽−1 < 2时，有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.
图形语言：在 轴右侧,从左到右图象是上升的；
也就是说，在区间 ， +∞ 上，随的增大而增大
；
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗？
符号语言：
∀ , ∈ ， +∞ ， = , =
当 < 时，有 < 成立.
结论 这时， f (x)=kx +b是减函数。
结论：一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增； < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们，
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
人教版高一数学必修一1.3函数的基本性质(单调性)(共25张PPT)
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他பைடு நூலகம்脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
高中《数学》函数的单调性教学设计学情分析教材分析课后反思
《函数的单调性》教学设计一、教学内容解析1. 教材内容及地位本节课是人教版版《数学》(必修1)第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言(不等式)刻画函数的变化趋势(上升或下降)及简单应用.它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础.如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用.因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地.2. 教学重点函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性.3. 教学难点函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证.二、学生学情分析1. 教学有利因素学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“V随X的增大而增大(减小)”描述函数图象的上升(下降)的趋势.亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力.2. 教学不利因素本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度.而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱.这些都容易产生思维障碍.三、课堂教学目标1.理解函数单调性的相关概念.掌握证明简单函数单调性的方法.2.通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法.3.通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量.4.引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力.四、教学策略分析在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随x 的增大而增大(减小)”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证.对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度.为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料：1. 指导思想.充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示.在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成.2.在“创设情境”阶段.观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念.3.在“引导探索”阶段.首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”,借助多媒体引导学生对“随x 的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越.4. 在“学以致用”阶段.首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识.然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法.接着请学生板演实践.五、教学过程(一)通过问题，引入课题分别作出函数y=x+1,y=-x+1,y=x²的图像，并且观察自变量变化时，函数图像有什么变化趋势?y=-x+10 1X1y=x²1问题一问题二如何描述函数图像的上升或下降?图像上升，y 随着x的增大而增大图像上升，y随着x的增大而减小向题三如何用符号化的数学语言来描述y 随着x 的增大而增大呢?(二)引导探究，生成概念探究在函数y=f(x)的给定区间上任取x₁,x₂,当x₁<x₂时，有f(x)<f(x₂),这时我们就说函数y=f(x)在给定区间上是增函数.单调性的定义一般的，设函数f(x) 的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁,x₂,当x₁<x₂时，都有_f(x)<f(x₂),那么就说函数f(x) 在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x₁,x₂,当x₁<x₂时，都有f(x)>f(x),那么就说函数f(x) 在区间D上是减函数；如果函数y=f(x) 在区间D上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有(严格的)单调性；区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间(三)学以致用，理解感悟概念理解( 1 ) 已知,因为f(-1)<f(2), 所以函数f(x)是增函数.(2)能不能说y= (x≠0)定义域(-∝,0)∪(0,+∝)上是单调减函数？(3)对于函数f(x),x∈D,若x,x₂∈D,(x₂-x) [f(x₂)-f(x₁)]>0 ,则函数f(x)在D上是增函数.(4)y=f(x) 在区间D上是减函数，若x,x₂∈D,且x₁<x₂,则f(x)>f(x₂).- 用于比较函数值的大小(5)y=f(x) 在区间D上是减函数，若x,x₂∈D,且f(x₁)>f(x₂),则x₁<x₂…用于比较自变量值的大小概念升华：(1)x,x₂具有任意性；(2)单调性是相对区间而言的，在一点处不具有单调性，单调区间之间用“,”隔开(不可用“U”符号连接)(3)定义的等价变形；(4)“知二推一”的应用典型例题—根据图像，指出函数的单调区间，并指明函数在这些区间上的增减性。
高中数学人教A版 必修1《3.2.1函数的单调性与最大（小）值》教案 Word
四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物，引入本节新课。
提高学生概括、推理的能力。
通过思考，观察函数的图象，从特殊到一般，归纳总结最值的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值，提高学生解决问题的能力，进一步掌握单调性与最值的关系。
课堂
小结
通过总结，
让学生进
一步巩固
本节所学
内容，提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
通过练习。
最新人教版高一数学必修1第一章《函数的单调性》夯实基础
最新人教版高一数学必修1第一章《函数的单调性》夯实基础2.3 函数的单调性巩固·夯实基础一、自主梳理1.单调性的定义设函数f(x)的定义域为I:如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量x 1、x 2,当 x 1f(x 2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.2.判断函数单调性的方法(1)定义法.(2)利用基本函数的单调性,如:二次函数y=x 2-2x 在(-∞,1)上是减函数.(3)利用复合函数同增异减这个结论判断.(4)利用函数图象上升增下降减进行判断.另外利用导数值的符号也能判断函数的单调性.二、点击双基1．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( ) A.y=-x+1B.y=xC.y=x 2-4x+5D.y=x2 答案:B2．函数y=log a (x 2+2x-3)，当x=2时，y ＞0，则此函数的单调递减区间是( )A.(-∞，-3)B.(1，+∞)C.(-∞，-1)D.(-1，+∞)解析:当x=2时，y=log a 5＞0，∴A ＞1.由x 2+2x-3＞0?x ＜-3或x ＞1，易见函数t=x 2+2x-3在(-∞，-3)上递减，故函数y=log a (x 2+2x-3)(其中a ＞1)也在(-∞，-3)上递减.答案:A3．（2005上海高考）若函数f(x)=121+x ,则该函数在(-∞,+∞)上是( ) A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值解析：由于u(x)=2x +1在R 上递增且大于1,则f(x)=121+x 在R 上递减,无最小值,选A. 答案：A 4．（2006北京海淀模拟）函数y=lgsin(4π-2x)的单调增区间是( ) A.(k π-85π,k π-8π)(k ∈Z) B.［k π-8π,k π+8π］(k ∈Z) C.(k π-83π,k π-8π)(k ∈Z) D.［k π-8π,k π+83π］(k ∈Z) 解析:令y=lg μ,μ=sin(4π-2x). 根据复合函数单调区间的求法,只需使2k π+2π≤4π-2x<2k π+π即可. ∴-k π-83π<="" ≤-k="">答案:C诱思·实例点拨【例1】如果二次函数f(x)=x 2-(a-1)x+5在区间(21，1）上是增函数，求f(2)的取值范围. 剖析:由于f(2)=22-(a-1)×2+5=-2a+11,求f(2)的取值范围就是求一次函数y=-2a+11的值域，当然就应先求其定义域.解:二次函数f(x)在区间(21，1)上是增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，故其对称轴x=21-a 或与直线x=21重合或位于直线x=21的左侧，于是21-a ≤21,解之得a ≤2,故f(2)≥-2×2+11=7,即f(2)≥7.【例2】讨论函数f(x)=12-x ax (a>0)在x ∈(-1,1)上的单调性. 解:设-1<1,<=""bdsfid="108" p="">则f(x 1)-f(x 2)=11222211---x ax x ax =)1)(1(222122121221--+--x x ax x ax ax x ax =)1)(1()1)((22212112--+-x x x x x x a . ∵-1<1,<="" bdsfid="113" p="">∴x 2-x 1>0,x 1x 2+1>0,(x 12-1)(x 22-1)>0.又a>0，∴f(x 1)-f(x 2)>0,函数f(x)在(-1，1)上为减函数.【例3】求函数y=x+x1的单调区间. 剖析:求函数的单调区间(亦即判断函数的单调性)，一般有三种方法:(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用y=x 与y=x1的单调性(一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f(x 2)-f(x 1)的正负.解:首先确定定义域:{x|x ≠0},∴在(-∞,0)和(0，+∞)两个区间上分别讨论.任取x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1<="" 1-11x="(x" 2)-f(x="" 2+21x="" 2,则f(x="" 2-x="" bdsfid="123" p="">121x x x x -=(x 2-x 1)(1-211x x )，要确定此式的正负只要确定1-211x x 的正负即可.这样，又需要判断211x x 大于1，还是小于1.由于x 1、x 2的任意性，考虑到要将(0，+∞)分为(0，1)与(1，+∞)(这是本题的关键).(1)当x 1、x 2∈(0,1)时，1-211x x <0, ∴f(x 2)-f(x 1)<0为减函数.(2)当x 1、x 2∈(1,+∞)时，1-211x x >0, ∴f(x 2)-f(x 1)>0为增函数.同理可求(3)当x 1、x 2∈(-1,0)时，为减函数;(4)当x 1、x 2∈(-∞,-1)时，为增函数. 讲评:解答本题易出现以下错误结论:f(x)在(-1，0）∪(0，1）上是减函数，在(-∞,-1)∪(1,+∞)上是增函数，或说f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是单调函数.避免错误的关键是要正确理解函数的单调性概念:函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.链接·拓展求函数y=x+xa (a>0)的单调区间. 提示:函数定义域x ≠0，可先考虑在(0,+∞)上函数的单调性，再根据奇偶性与单调性的关系得到在(-∞,0)上的单调性.答案:在(-∞,-a )，(a ,+∞)上是增函数，在(0,a ),(-a ,0)上是减函数.【例4】（2004北京东城模拟）已知定义在R 上的函数f(x)对任意的实数x 1、x 2满足关系f(x 1+x 2) =f(x 1)+f(x 2)+2.(1)证明f(x)的图象关于点(0,-2)成中心对称图形;(2)若x>0,则有f(x)>-2,求证:f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.剖析:对于(1),只要证明2)()(x f x f -+=-2即可;对于(2),注意到f(x)是抽象函数,欲证单调性,需对f(x)进行适当的变形.证明:(1)令x 1=x 2=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)+2,所以f(0)=-2.对任意实数x,令x 1=x,x 2=-x,有f(x-x)=f(x)+f(-x)+2,即f(0)-2=f(x)+f(-x),得2)()(x f x f -+=-2. 又2)(x x -+=0, 这表明点M(x,f(x))与点N(-x,f(-x))的中点是(0,-2),即点M 1N 关于点(0,-2)成中心对称.由点M 的任意性知:函数f(x)的图象关于点(0,-2)成中心对称.(2)对任意实数x 1、x 2,且x 1<="" bdsfid="150" p="">由x 2-x 1>0,有f(x 2-x 1)>-2.于是f(x 2)=f ［(x 2-x 1)+x 1］=f(x 2-x 1)+f(x 1)+2.所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+2>-2+2=0,即f(x2)>f(x1).所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.讲评:对于(1),求出f(0)=-2是解题的关键;对于(2),变形f(x2)=f ［(x2-x1)+x1］=f(x2-x1)+f(x1)+2是解题的关键.。
高一数学人教版必修1课件：1.3 1.第一课时 函数的单调性
x)，所以
x－2<1－x，解得
3 x<2
②.
由①②得 1≤x<32. [答案] 1，32
[类题通法] 1．上题易忽视函数的定义域为[－1,1]，直接利用单调性得 到不等式 x－2<1－x，从而得出 x<32的错误答案． 2．解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号 “f”，从而转化为熟悉的不等式．若函数 y＝f(x)在区间 D 上是增 函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)，有 x1<x2；若函数 y ＝f(x)在区间 D 上是减函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)， 有 x1>x2.需要注意的是，不要忘记函数的定义域．
由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞ )上分别单调，因此 要使函数 f(x)在区间[1,2]上单调，只需 a≤1 或 a≥2(其中当 a≤1 时，函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增；当 a≥2 时，函数 f(x)在区 间[1,2]上单调递减)，从而 a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
[类题通法] “函数的单调区间为 I”与“函数在区间 I 上单调”的区别 单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是 I，指 的是函数递减的最大范围为区间 I.而函数在某一区间上单调，则 指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调 性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
由函数的单调性求参数的取值范围 [例 3] (1)已知 y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且 f(1 －a)<f(2a－1)，则 a 的取值范围是________． (2)已知函数 f(x)＝x2－2ax－3 在区间[1,2]上单调，求实数 a 的取值范围．
(1)[解析]由题意可知－－11<<12－a－a<1<1，1
人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
函数的单调性课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
【思考3】这样的变化过程能写完吗?
怎么借助字母符号表示上述具体例子的共同点？
分析：
只要x1＜x2时, 就有f(x1)＞f(x2).
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
【思考4】这里对x1，x2有什么要求？
只取 −∞， 上的某些数是否可以？请举例说明.
任取x1，x2∈ −∞， ，只要x1＜x2时, 就有f(x1)＞f(x2).
新知探究
1
函数的单调性
【问题2】请同学们在草稿本上用列表法画出 = 图像.
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
f(x)=x2 … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
【思考4】这里对x1，x2有什么要求？
只取 −∞， 上的某些数是否可以？请举例说明.
任取x1，x2∈ −∞， ，只要x1＜x2时, 就有f(x1)＞f(x2).
【思考5】模仿上述方法，给出“在区间 ， + ∞ 上，随的增大而增
大”的符号语言刻画.
2 2 2 2 2 x1 x2
则 f x1 f x2
.
x1 x2 x2 x1
x1 x2
x1 , x2 (, 0) ， x1 x2 0 .
又 x1 x2 ， x1 x2 0 .
f x1 f x2 0 ，即 f x1 f x2 .
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
当从−增大到−，则 从 − = 减小到 − =
新知探究
3.2.1函数的单调性课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
y f (x) x2
一般地，设函数f ( x)的定义域为I :
O
x
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量
的值x1 , x2 ,当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ),那么就说 函数f ( x)在区间D上是增函数.
增函数的定义：
一般地，设函数f ( x)的定义域为I : 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值x1, x2 ,当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ),那么就说 函数f ( x)在区间D上是增函数.
O
x
在区间(,0),(0,)上是减函数.
单调区间能写成并集么？
例1.定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说 出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y=f(x)是增函数 还是减函数.
解：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]; 在区间[-5,-2)，[1,3)上是减函数，在区间[-2,1)，[3,5]上是增函数.
—— 单调性
f (x) x2 y
如何描述函数图象的
“上升” “下降”呢？
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) 9 4 1 0 1 4 9
O
x
y轴左侧 y轴右侧 区间(,0] 区间[0,) 由左至右 由左至右 随着x的增大 随着x的增大
图象下降 图象上升 对应f ( x)减小 对应f ( x)增大
3.2.1 函数的单调性
思考：
观察下列两个函数的图象，你能说说它们分别反映了相应函 数的哪些变化规律？
f (x) x
f (x) x2f (x) xf ( Nhomakorabea) x2
人教版高一数学必修一函数单调性的性质课件PPT
思考4:若函数 在区间D上具有单调性， ,那么 分别在区间A、B上具有单
调性吗？
思考5:下列图象表示的函数是增函数吗？
y
yபைடு நூலகம்
o
x
图1
o
x
图2
思考6:一般地，若函数 在区间A、B上是
单调函数，那么 在区间 上是单调函
数吗？
理论迁移
例1 已知函数 的解集.
上是减函数？
f (x)
知识探究（二）
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则 称函数 f (x)在这一区间具有（严格的）单调性，区 间D叫做函数 f (x)的单调区间，此时也说函数 f (x) 在这一区间上是单调函数.
思考1：函数 f (x) kx b 是单调函数吗？
思考2：函数 f (x) | x | 在R上具有单调性吗？ 其单调区间如何？
则函数 f (x)在区间D上的单调性如何？ x1 x2
若 f (x1) f (x2 ) 0 呢？
x1 x2
思考2：若函数 f 为常数，则函数
a(x)在f (区x)间、Da上f 为(x增) 的函单数调，a性如0何？
思考3：若函数 f (x)、g(x) 在区间D上都是增函数， 则函数 f (x) g(x) 、f (x) g(x)在区间D上的单调性 能否确定？
问题提出
1. 函数在区间D上是增函数、减函数的定义是什 么？ 2. 增函数、减函数的图象分别有何特征？
3. 增函数、减函数有那些基本性质？
知识探究（一）
对于函数 f (x)定义域内某个区间D上的任意两
个自变量的值 x1, x2 ,若当 x1 x2 时，都有