必修一函数的单调性经典易错习题
高考真题-考点2-函数的单调性与最值(易错题)
2010-2015年高考真题汇编专题2 函 数考点2 函数的单调性与最值2．（2015年四川9，5分）如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，则mn 的最大值为 （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B 错误【解析】由()f x 单调递减得：()0f x '≤，故()280m x n -+-≤在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立。
而()28m x n -+-是一次函数，在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图像是一条线段。
故只须在两个端点处()10,202f f ⎛⎫''≤≤ ⎪⎝⎭即可。
即()()()()1280,122280,2m n m n ⎧-+-≤⎪⎨⎪-+-≤⎩，由()()212⨯+得：10m n +≤。
所以，2252m n mn +⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭. 选C 。
错误原因：mn 当且仅当5m n ==时取到最大值25，而当5m n ==，,m n 不满足条件()()1,2。
正确【解析】同前面一样,m n 满足条件()()1,2。
由条件()2得：()1122m n ≤-。
于是，()211121218222n n mn n n +-⎛⎫≤-≤= ⎪⎝⎭。
mn 当且仅当3,6m n ==时取到最大值18。
经验证，3,6m n ==满足条件()()1,2。
故选B 。
【易错点】分类讨论情况较多6. (2014四川，5分)以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋x x 2＋1(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)【答案】①③④【解析】对于①，根据题中定义，f (x )∈A ⇔函数y ＝f (x )，x ∈D 的值域为R ，由函数值域的概念知，函数y ＝f (x )，x ∈D 的值域为R ⇔∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ，所以①正确；对于②，例如函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |的值域(0,1]包含于区间[－1,1]，所以f (x )∈B ，但f (x )有最大值1，没有最小值，所以②错误；对于③，若f (x )＋g (x )∈B ，则存在一个正数M 1，使得函数f (x )＋g (x )的值域包含于区间[－M 1，M 1]，所以－M 1≤f (x )＋g (x )≤M 1，由g (x )∈B 知，存在一个正数M 2，使得函数g (x )的值域包含于区间[－M 2，M 2]，所以－M 2≤g (x )≤M 2，亦有－M 2≤－g (x )≤M 2，两式相加得－(M 1＋M 2)≤f (x )≤M 1＋M 2，于是f (x )∈B ，与已知“f (x )∈A ”矛盾，故f (x )＋g (x )∉B ，即③正确；对于④，如果a >0，那么x →＋∞，f (x )→＋∞，如果a <0，那么x →－2，f (x )→＋∞，所以f (x )有最大值，必须a ＝0，此时f (x )＝x x 2＋1在区间(－2，＋∞)上，有－12≤f (x )≤12，所以f (x )∈B ，即④正确，故填①③④.【易错点】题干较长，新概念理解易出错。
函数的单调性知识点汇总及典型例题(高一必备)
第二讲：函数的单调性一、定义：1.设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f <那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 叫)(x f y =的单调增区间. 注意：增函数的等价式子：0)()(0)]()()[(21212121>--⇔>--x x x f x f x f x f x x ;难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？（2）函数单调性的定义中有三个核心①21x x <②)()(21x f x f <③ 函数)(x f 为增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？2. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f >那么就说)(x f 在区间D 上是减函数.区间D 叫)(x f y =的单调减区间.注意：(1)减函数的等价式子：0)()(0)]()()[(21212121<--⇔<--x x x f x f x f x f x x ；(2)若函数)(x f 为增函数，且)()(,2121x f x f x x <<则. 题型一：函数单调性的判断与证明例 1.已知函数)(x f 的定义域为R ，如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量21,x x 都有.0)()(2121>--x x x f x f 则（ ）A.)(x f 在这个区间上为增函数B.)(x f 在这个区间上为减函数C.)(x f 在这个区间上的增减性不变D.)(x f 在这个区间上为常函数变式训练：定义在R 上的函数)(x f 对任意120x x <<都有1)()(2121<--x x x f x f ，且函数)(x f y =的图象关于原点对称，若,2)2(=f 则不等式0)(>-x x f 的解集为___.例3.证明：函数x x x f +=3)(在R 上是增函数.变式训练：讨论)0()(>+=a xax x f 的单调性.并作出当1=a 时函数的图象.变式训练：已知上的单调性，在判断函数)1,0()()(,2)1(2xx f x g x x x f =-=+并用定义证明.题型二：函数的单调区间难点突破：（1）函数在某个区间上是单调函数，那么它在整个定义域上也是单调函数吗？ （2）函数x x f 1)(=的单调减区间是),0()0,(+∞-∞ 上吗？例1.（图像法）求下列函数的单调区间（1）|2||1|)(-++=x x x f . (2)3||2)(2++-=x x x f .（3）|54|)(2+--=x x x f .例2.（直接法）求函数xxx f +-=11)(的单调区间.例3.（复合函数）（2017全国二）函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是( )A.)2,(--∞B. )1,(--∞C.),1(+∞D. ),4(+∞变式训练：求下列函数的单调区间.（1）312+-=x x y （2）652+-=x x y（3）22311xx y ---=题型三：抽象函数的单调性问题例1.设函数)(x f 是实数集R 上的增函数，令)2()()(x f x f x F --=. (1) 证明：)(x F 是R 上的增函数； (2) 若,0)()(21>+x F x F 求证：221>+x x .例2定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足下面三个条件： ①对任意正数b a ,，都有)()()(ab f b f a f =+； ②当1>x 时，0)(<x f ； ③1)2(-=f . （1）求)1(f 的值；（2）使用单调性的定义证明：函数)(x f 在),0(+∞上是减函数； （3）求满足2)13(>+x f 的x 的取值集合.题型四：函数单调性的应用（1）利用函数的单调性比较大小在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上. ①正向应用：②逆向应用：例1.()x f 在()+∞,0上单调递减，那么()12+-a a f 与⎪⎭⎫⎝⎛43f 的大小关系是__________.变式训练：已知函数),1()1()(x f x f x f -=+满足且对任意的)(1,2121x x x x ≠>，有.0)()(2121>--x x x f x f 设),3(),2(),21(f c f b f a ==-=则c b a ,,的大小关系_________.（2）利用函数的单调性解不等式例2.设)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数，且)1()2(x f x f -<-成立，求x 的取值范围.变式训练.①设)(x f 是定义在]3,3[-上的偶函数，当30≤≤x 时，)(x f 单调递减，若)()21(m f m f <-成立，求m 的取值范围.②（2015全国二）设函数)12()(,11)1ln()(2->+-+=x f x f x x x f 则使得成立的x 的取值范围是（ ）A. )1,31(B. ),1()31,(+∞-∞C. )31,31(-D. ),31()31,(+∞--∞③（2018全国一）设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围 是（ ） A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，（3）根据函数的单调性求参数的取值范围例1.如果函数1)1(42)(2+--=x a x x f 在区间),3[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A.（1,2）B.（0，2）C.（0，1）D.[)+∞-,2变式训练：如果函数2)1(2)(2+--=x a x x f 在区间)4,[-∞上是减函数，求实数a 的取值范围.例2.若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(,0,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上为增函数，则实数b 的取值范围是__________.例3.若函数||a x y -=在区间]4,(-∞上是减函数，求实数a 的取值范围.第三节：函数的奇偶性一、知识梳理1.函数的奇偶性 例1（2014全国二）偶函数)(x f y =的图象关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则=-)1(f ___________．例2（2017全国二） 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时， 32()2f x x x =+，则(2)f =__________.例3（2012全国二）设函数1sin )1()(22+++=x xx x f 的最大值为M ，最小值为m ，则M +m =______.2. 函数的图象(1)平移变换：“上加下减，左加右减”例4（2010全国二）设偶函数)(x f 满足)0(42)(≥-=x x f x ，则=>-}0)2(|{x f x （ ）A.}42|{>-<x x x 或B.}40|{><x x x 或C.}22|{>-<x x x 或D.}42|{>-<x x x 或 (2)对称变换①)()(x f y x f y x -=−−−−→−=轴对称关于； ②)()(x f y x f y y -=−−−−→−=轴对称关于； ③)()(x f y x f y --=−−−−→−=关于原点对称； ④)10(log )10(≠>=−−−−→−≠>==a a x y a a a y a x y x 且且对称关于;⑤奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的额图象关于y 轴对称. (3)翻折变换★★①|)(|)(x f y x f y x x =−−−−−−−−−−−→−=轴下方图象翻折上去轴上方图象，将保留. 例5（2010全国二）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧+-≤<=621100|,lg |)(x x x x f , 若c b a ,,均不相等，且),()()(c f b f a f ==则c b a ⋅⋅的取值范围是( )A.)10,1(B.)6,5( C )12,10( D.)24,20(例6（2011全国二）已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那 么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有（ ） A ．10个 B ．9个 C ．8个D ．1个★★★②)||()()(x f y x f y y x f y y =−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→−=轴左侧的图象）在轴对称的图象（去掉原于轴右边图象，并作其关保留. 例7（2011全国二）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ） A. 3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+D ．||2x y -=例8（2010大纲）直线1=y 与曲线a x x y +-=||2有四个交点，则a 的取值范围是____________.(4)函数图象的几种对称关系★①R x x f ∈),(满足)()()(x f y x a f x a f =⇔-=+图象关于直线a x =为轴对称； 例9（2018全国二）已知)(x f 是定义域为),(+∞-∞的奇函数，满足)1()1(x f x f +=-，若)1(f =2，则=++++)50(...)3()2()1(f f f f （ ）A ．﹣50B ．0C ．2D ．50②)()()(x f x b f x a f ⇔-=+图象关于2ba x +=为轴对称； ③函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图象关于直线2ab x -=对称.如：)(x f y =和)1(x f y -=的图象，关于直线21=x 为轴对称.例10（2015全国二）已知函数），的图像过点（4,1-2)(3x ax x f -=则a =________.二、真题演练1.（2014全国一）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数2.（2015全国一）已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=-1),1(log 1,22)(21x x x x f x 错误！未找到引用源。
高一函数单调性奇偶性经典练习题
函数单调性奇偶性经典练习一、单调性题型高考中函数单调性在高中函数知识模块里面主要作为工具或条件使用，也有很多题会以判断单调性单独出题或有的题会要求先判断函数单调性才能进行下一步骤解答，另有部分以函数单调性质的运用为主. （一）函数单调性的判断 函数单调性判断常用方法：121212121212()()0()()()()0()()()()()()()()()()()()f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x g x f x f x g x f x g x g x g x f x ->>⇒⎧<⎨-<<⇒⎩+⇒⎧-⎧⎪⇒-⇒⎨⎨-⎩⎪-⇒⎩即单调增函数定义法（重点）：在其定义域内有任意，且即单调增函数复合函数快速判断：“同增异减”增为减函数基本初等函数加减（设为增函数，为减函数）：增为增函数减互为反.⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩函数的两个函数具有相同的单调性例1 证明函数23()4x f x x +=-在区间(4)+∞，上为减函数（定义法）解析：用定义法证明函数的单调性，按步骤“一假设、二作差、三判断（与零比较）”进行.解：设12(4)x x ∈+∞，，且12x x <，1221121212232311()()()44(4)(4)x x x x f x f x x x x x ++--=-=---- 214x x >>Q 210x x ∴->，1(4)0x ->，2(4)0x -> 12()()f x f x ∴> 故函数()f x 在区间(4)+∞，上为减函数. 练习1 证明函数21()3x f x x -=+在区间(3)-+∞，上为减函数（定义法）练习2证明函数2()f x x =2()3-∞，上为增函数（定义法、快速判断法）练习3 求函数3()2x f x x -=+定义域，并求函数的单调增区间(定义法)练习4求函数()f x x =定义域，并求函数的单调减区间（定义法）（复合函数，基本初等函数相加减问题，反函数问题在本章结束时再练习） （二） 函数单调性的应用⎧⎪⎨⎪⎩单独考查单调性：结合单调函数变量与其对应函数值的关系求参数定义域与单调性结合：结合定义域与变量函数值关系求参数值域与单调性结合：利用函数单调性求值域 例1 若函数()f x 是定义在R 上的增函数，且2(2)(3)f x x f a +>+恒成立，数a 的围。
必修一函数的单调性1(含答案)
函数（一）单调性一、 基础知识1、 增函数：设函数()f x 的定义域为I,如果对于I 内某个区间D 的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数，区间D 叫做函数的增区间。
2、 减函数：设函数()f x 的定义域为I,如果对于I 内某个区间D 的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数，区间D 叫做函数的减区间。
3、 单调性：如果函数()f x 在区间D 上式增函数或者减函数，那么就是函数()f x 在这一区间上具有单调性，区间D 叫做函数的单调区间。
4、 单调区间：指的是函数具有单调性的最大取值区间。
5、证明单调性的步骤：做差→变形→判号→得结论。
6、单调函数的组合：某两个单调函数在同一区间内的加减后所得函数单调性增函数+ 增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数—减函数=增函数，减函数—增函数=减函数奇函数⨯奇函数=偶函数，偶函数⨯偶函数=偶函数奇函数⨯偶函数=奇函数二、习题精练1、（1）证明函数2()f x x x =+在)+∞上递增 （2）证明函数2()f x x x=-在()0,+∞上递增。
2、（1）找出函数223y x x =-++的增区间 （2）找出223y x x =-++的减区间3、（1）函数[)2()485,f x x kx =--+∞在区间上单调递增，求实数k 的取值范围。
（2）函数[)2()485,f x x kx =--+∞的增区间为，求实数k 的取值范围。
4、（1）已知函数{22,12,1()x ax x ax x f x -+<+≥=是R 上的增函数，求a 的范围 （2）已知函数{2(4),2416,2()x a x x ax x f x -<+-≥=是R 上的增函数，求a 的范围5、求函数21y x =-6、 已知函数()y f x =在区间(0,)+∞单调递减，请填空。
高一 函数的单调性及其最值知识点+例题+练习 含答案
1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得条件对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0) 结论f(x0)为最大值f(x0)为最小值判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个值x1，x2”改为“存在两个值x1，x 2”．( × )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D 且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( √ )(3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (4)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(5)所有的单调函数都有最值．( × )(6)对于函数y ＝f (x )，若f (1)<f (3)，则f (x )为增函数．( × )1．下列函数中，①y ＝1x －x ；②y ＝x 2－x ；③y ＝ln x －x ；④y ＝e x －x ，在区间(0，＋∞)内单调递减的是__________． 答案 ①解析 对于①，y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x －x 在(0，＋∞)内是减函数；②，③，④函数在(0，＋∞)上均不单调．2．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________． 答案 －6解析 由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2，＋∞)，令－a2＝3，∴a ＝－6.3．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2≤a <1，－1，a ≥1解析 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1.当－2≤a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减， 则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增， 则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2≤a <1，－1，a ≥1.4．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________． 答案 2 25解析 可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.5．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________________________________________________________________． 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．题型一 确定函数的单调性(区间)命题点1 给出具体解析式的函数的单调性例1 (1)下列函数中，①y ＝ln(x ＋2)；②y ＝－x ＋1；③y ＝(12)x ；④y ＝x ＋1x ，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________．(2)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是____________．(3)函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为_________________________． 答案 (1)① (2)(－∞，－2) (3)(－∞，－1]，[0,1] 解析 (1)y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)， ∴在区间(0，＋∞)上为增函数．(2)因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．(3)由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数. 命题点2 解析式含参函数的单调性例2 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增．综上，当a >0时，f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x )在(－1,1)上单调递增． 引申探究若本题中的函数变为f (x )＝axx 2－1 (a >0)，则f (x )在(－1,1)上的单调性如何？解 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1 ＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)， ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. 又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数在(－1,1)上为减函数．思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连结．已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．证明 方法一 任意取x 1>x 2>0，则 f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫a x 1－a x 2＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2.当a ≥x 1>x 2>0时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2<0，有f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上为减函数；当x 1>x 2≥a 时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2>0， 有f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在[a ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．方法二 f ′(x )＝1－a x 2，令f ′(x )>0，则1－ax2>0，解得x >a 或x <－a (舍)．令f ′(x )<0，则1－ax 2<0，解得－a <x <a .∵x >0，∴0<x <a .故f (x )在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．题型二 函数的最值例3 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，a ∈(－∞，1]．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝72.(2)f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数． 最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3>0，即a >－3，所以－3<a ≤0. ②当0<a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3. 所以a ＋3>0，a >－3，所以0<a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3,1]． 思维升华 求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．(2)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为[12，2]，则a ＝________. 答案 (1)2 (2)25解析 (1)当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.(2)由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2，即⎩⎨⎧1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25.题型三 函数单调性的应用命题点1 比较大小例4 已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则f (x 1)________0，f (x 2)________0.(判断大小关系) 答案 < >解析 ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0， 当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.命题点2 解不等式例5 已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是______________． 答案 (－1,0)∪(0,1)解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎨⎧|x |<1，x ≠0.∴－1<x <0或0<x <1.命题点3 求参数范围例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是__________．(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________． 答案 (1)⎣⎡⎦⎤－14，0 (2)[32，2) 解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综合上述得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2，∴a 的取值范围是[32，2)．思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(1)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是__________．(2)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是__________．答案 (1)(8,9] (2)(0,1]解析 (1)2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.(2)由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数，∴由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0，故0<a ≤1.1．确定抽象函数单调性解函数不等式典例 (14分)函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.思维点拨 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f (x 2)－f (x 1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f ”运用单调性“去掉”是本题的切入点．要构造出f (M )<f (N )的形式． 规范解答(1)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∵当x >0时，f (x )>1， ∴f (x 2－x 1)>1.[2分] f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1] ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，[4分]∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0⇒f (x 1)<f (x 2)，∴f(x)在R上为增函数．[6分](2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，[8分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[11分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2)．[14分]解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1，构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，便找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式．解决此类问题的易错点：忽视了M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在单调区间的约束．[方法与技巧]1．利用定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断．2．确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性．3．求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法．[失误与防范]1．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．2．函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连结，不要用“∪”．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．下列函数f (x )中，①f (x )＝1x；②f (x )＝(x －1)2；③f (x )＝e x ；④f (x )＝ln(x ＋1)，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．(填序号)答案 ①解析 由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数．①中，f (x )＝1x满足要求； ②中，f (x )＝(x －1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；③中，f (x )＝e x 是增函数；④中，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上是增函数．2．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是__________． 答案 [1，＋∞)解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.3．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为______________．答案 b <a <c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (3)，即b <a <c .4．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在 [3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为________． 答案 －2解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，∴f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2.5．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是__________．答案 [0，34] 解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数，当a ≠0时，由⎩⎨⎧ a >0，－4(a －3)4a ≥3，得0<a ≤34， 综上a 的取值范围是0≤a ≤34. 6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12log ，x x ≥1，2x ，x <1的值域为________． 答案 (－∞，2)解析 当x ≥1时，f (x )＝log 12x 是单调递减的，此时，函数的值域为(－∞，0]；当x <1时，f (x )＝2x 是单调递增的，此时，函数的值域为(0,2)．综上，f (x )的值域是(－∞，2)．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案 (1,2]解析 由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.8．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案 3解析 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.9．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明 任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述，a 的取值范围是(0,1]．10．设函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x ，y ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )；②当x >1时，f (x )<0；③f (3)＝－1.(1)求f (1)，f (19)的值； (2)如果不等式f (x )＋f (2－x )<2成立，求x 的取值范围．解 (1)令x ＝y ＝1易得f (1)＝0.而f (9)＝f (3)＋f (3)＝－1－1＝－2，且f (9)＋f ⎝⎛⎭⎫19＝f (1)＝0，故f ⎝⎛⎭⎫19＝2. (2)设0<x 1<x 2，则x 2x 1>1，f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1<0， 由f (xy )＝f (x )＋f (y )得f (x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 1·x 2x 1＝f (x 1)＋f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1<f (x 1)， 所以f (x )是减函数．由条件①及(1)的结果得：f [x (2－x )]<f ⎝⎛⎭⎫19，其中0<x <2，由函数f (x )在R 上单调递减，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x (2－x )>19，0<x <2，由此解得x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1－223，1＋223. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案 1解析 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，0<x <2，－x ＋3，x ≥2.当0<x <2时，h (x )＝log 2x 是增函数；当x ≥2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.12．定义新运算：当a ≥b 时，ab ＝a ；当a <b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝(1x )x －(2x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．答案 6解析 由已知，得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.13．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为_________．答案 (－3，－1)∪(3，＋∞)解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．14．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0， 当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)， 当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立， 所以g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． 所以a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数， 所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a >2.。
(完整word版)函数单调性典型例题
函数的单一性及典型习题一、函数的单一性1、定义：（1）设函数y f (x) 的定义域为A，区间 M A ，假如取区间 M 中的随意两个值x1, x2 ,当改变量x 2 x1时，都有f ( x 2) f ( x1 ) 0，那么就称函数y f ( x) 在区间M上是增函数，如图（1）当改变量x2x10 时，都有 f ( x2 ) f (x1) 0，那么就称函数y f (x) 在区间M上是减函数，如图（2）注意：函数单一性定义中的x1,x2有三个特点,一是随意性，二是有大小，三是同属于一个单一区间．2、稳固观点：1、定义的另一种表示方法假如关于定义域I内某个区间 D 上的随意两个自变量x1,x2,若f ( x1)f (x2 )0 即x1x2y，则函数 y=f(x)是增函数，若f ( x1 ) f ( x2 )0 即y0 ，则函数y=f(x)为减函数。
x1x2x x 判断题：①已知 f (x)11) f(2) ，因此函数 f ( x) 是增函数．由于 f (x②若函数 f ( x) 知足 f (2) f (3)则函数 f ( x) 在区间2,3 上为增函数．③若函数 f ( x) 在区间 (1,2] 和 (2,3) 上均为增函数，则函数 f ( x) 在区间 (1,3) 上为增函数．④ 因为函数1在区间,0),(0,) 上都是减函数，所以 f ( x)1 f ( x)在x x( ,0)(0, ) 上是减函数.经过判断题，重申几点：①单一性是对定义域内某个区间而言的，走开了定义域和相应区间就谈不上单一性．②关于某个详细函数的单一区间，能够是整个定义域( 如一次函数 ) ，能够是定义域内某个区间 ( 如二次函数 ) ，也能够根本不但一 ( 如常函数 ) ．③单一性是对定义域的某个区间上的整体性质，不可以用特别值说明问题。
④函数在定义域内的两个区间A,B 上都是增（或减）函数，一般不可以以为函数在A B 上是增（或减）函数．熟记以下结论，可快速判断函数的单一性．1．函数 y ＝－ f （ x ）与函数 y ＝ f （ x ）的单一性相反．12．当 f （ x ）恒为正或恒为负时，函数y ＝ f ( x)与 y ＝ f （ x ）的单一性相反．3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等3．判断函数单一性的方法（ 1）定义法．（ 2）直接法．运用已知的结论，直接获得函数的单一性，如一次函数，二次函数的单调性均可直接说出．（ 3）图象法．例 1、证明函数 f ( x)1 ）是减函数．在（ 0， + x练习 1：证明函数f ( x) x 在 0,上是增函数．11 x例 2、设函数 f （x ）＝ x2 ＋ lg 1 x ,试判断 f （ x ）的单一性，并给出证明．例 3、求以下函数的增区间与减区间(1)y ＝ |x 2＋ 2x － 3| x 22x (2)y ＝1|1 |x(3)y ＝x 22x 3例 4、函数 f(x) ＝ ax 2－ (3a － 1)x ＋ a 2在 [－ 1，＋∞ ]上是增函数，务实数 a 的取值范围．例 5、已知二次函数 y ＝ f(x)(x ∈ R)的图像是一条张口向下且对称轴为 x ＝ 3 的抛物线，试比较大小：(1)f(6) 与 f(4)(2)f(2) 与 f( 15)例 6、 函数 f (x) ＝ | x | 和 g (x) ＝x (2 － x )的递加区间挨次是( )A. (, 0], ( , 1] B. ( , 0], [1, ) C. [0, ), ( , 1] D. [0, ), [1, )例 7、已知 a 、b 是常数且 a ≠ 0, f (x)ax 2 bx , 且 f ( 2) 0 , 并使方程 f ( x)x 有等根 .(1) 求 f (x ) 的分析式 ; (2) 能否存在实数 m 、 n (m n) , 使 f (x ) 的定义域和值域分别为[ m, n] 和 [ 2m, 2n] ?同步训练：一、选择题1．以下函数中，在区间（0，1）上为增函数的是2A ． y ＝ |x 2－ 1|B ． y ＝ xC ． y ＝ 2x 2－ x ＋ 1D ． y ＝ |x|＋ 12．假如奇函数 f （ x ）在区间［ 3， 7］上是增函数且最小值为5，那么 f （ x ）在区间［－ 7，－ 3］上是A. 增函数且最小值为－ 5 B ．增函数且最大值为－ 5 C ．减函数且最小值为－ 5D ．减函数且最大值为－53．若函数分析式为 y ＝ f （x ），则以下判断正确的选项是A 、若 f （ x ）在（－∞ ,0）和（ 0，＋∞）上均是增函数，则 f （ x ）在（－∞ ,0）∪（ 0,＋∞）上也是增函数B 、若 f （ x ）在（－∞ ,0）和（ 0，＋∞）上均是减函数，则f （ x ）在（－∞， 0）∪（ 0，＋∞）上也是减函数C 、若 f （x ）是偶函数，且在（ 0，＋∞）上是增函数，则 f （ x ）在（－∞， 0）上也是增函数D 、若 f （ x ）是奇函数，且在（ 0，＋∞）上是增函数，则 f （x ）在（－∞ ,0）上是增函数二、填空题4．已知函数 y ＝－ x 2＋ 2x ＋ 1 在区间 ［－ 3，a ］上是增函数， 则 a 的取值范围是 ______________ 5．设函数 y ＝ f （ x ）是定义在（－ 1，1）上的增函数，则函数 y ＝ f （ x 2－ 1）的单一递减区间是______________b6．若函数 y ＝ ax,y ＝－ x 在（ 0，＋∞）上都是减函数， 则函数（填单一性）．三、解答题 已知函数 f （ x ）的定义域为 R ，且知足 f （－ x ）＝c（ c 为常数）在［ a,b ］（a ＜ b ＝上是单一递减函数，判断并证明 性．f( x)＞ 0，又 g （ x ）＝ f （ x ）＋g （ x ）在［－ b,－ a ］上的增减课后稳固：1、利用函数单一性定义证明函数f(x) ＝－ x 3＋ 1 在 (－∞，＋∞ )上是减函数．2、.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数， 对 m 、 n R 恒有f (mn)f ( m) f (n) ，且当 x0 时，0 f ( x) 1。
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、（1）函数f(x)＝x－2，x∈{1，2，4}的最大值为3.在区间[1，5]上的最大值为9，最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)＝(2/x)在（-∞，0）上是减函数。
证明：对于x1<x2.由于x1和x2都小于0，所以有x1<x2<0，因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此，f(x)在（-∞，0）上是减函数.3、函数f(x)＝|x|＋1的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，0]和[0，∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线，单调区间为(-∞，+∞).5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x>3，f(x)是减函数，对于x<3，f(x)是增函数。
因此，f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x3，f(x)是增函数。
因此，f(2)>f(15).6、已知y＝f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，且f(1-a)<f(3a-2)，求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1，1)上是减函数，所以对于0f(3a-2)。
因此，实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间：1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线，单调区间为(-∞，-3]和[1，+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，1]和[1，+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线，单调区间为(-∞，-1]和[1，+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线，单调区间为(-∞，-4]和[-1，1]和[5，+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.因为f(x)在[1，+∞)上是增函数，所以对于x>1，有f(x)>f(1)。
与函数单调性有关的三道易错题
与函数单调性有关的三道易错题例1. 证明:函数x x f =)(在定义域上是增函数.错解:由题意可知函数x x f =)(的定义域为[)+∞,0.任取[)+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则()()02121<-=-x x x f x f ,∴()()21x f x f < ∴函数x x f =)(在[)+∞,0上为增函数.【错因分析】在证明021<-x x 时利用了函数x x f =)(的单调性.正解:由题意可知函数x x f =)(的定义域为[)+∞,0.任取[)+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则()()()()21212121212121x x x x x x x x x x x x x f x f +-=+-+=-=-.∵[)+∞∈,0,21x x ,且21x x <∴021<-x x ,021>+x x ∴()()021<-x f x f ,∴()()21x f x f <. ∴函数x x f =)(在[)+∞,0上为增函数.总结:（1）在证明问题（如证明函数的单调性）时,切忌用结论证明结论;（2）用定义法证明函数的单调性时,必须构造出含有()21x x -（或()12x x -）的式子.例2. 已知)(x f y =在定义域()1,1-上是增函数,且()()t f t f 211-<-,求实数t 的取值范围.错解:∵)(x f y =在定义域()1,1-上是增函数,且()()t f t f 211-<-∴t t 211-<-,解之得:32<t . ∴实数t 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-32,.【错因分析】本题忽视了函数)(x f y =的定义域,函数的单调区间是定义域的子集.正解:由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-tt t t 2111211111,解之得:320<<t .∴实数t 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛32,0.总结:（1）利用函数的单调性解与抽象函数有关的不等式时,一般方法是利用单调性将“f ”脱掉,使抽象不等式转化为具体的表达式求解,但要特别注意函数的定义域;（2）函数的单调区间是函数定义域的子集,故求函数的单调区间时,必须先求出函数的定义域.解决函数问题时,往往要遵循“定义域优先”的原则.例 3. 若函数()212)(2+-+=x a x x f 的单调递减区间是(]4,∞-,求实数a 的取值范围.错解:函数()212)(2+-+=x a x x f 的图象的对称轴为直线()a a x -=--=1212,开口向上.∵函数()212)(2+-+=x a x x f 的单调递减区间是(]4,∞- ∴a -1≥4,解之得:a ≤3-. ∴实数a 的取值范围是(]3,-∞-.【错因分析】函数的单调区间和函数在区间上单调是两个不同的概念:函数在某个区间上单调是函数相应单调区间的子集.正解:函数()212)(2+-+=x a x x f 的图象的对称轴为直线()a a x -=--=1212,开口向上.∵函数()212)(2+-+=x a x x f 的单调递减区间是(]4,∞- ∴41=-a ,解之得:3-=a . ∴实数a 的取值范围是{}3-.。
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函数的单调性一、选择题1.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是…………………………………( )A.y ＝3－xB.y ＝x 2＋1C.y ＝－x 2D.y ＝x 2－2x －32.若函数y ＝(a ＋1)x ＋b ，x ∈R 在其定义域上是增函数，则…………………( )A.a ＞－1B.a ＜－1C.b ＞0D.b ＜03.若函数y ＝kx ＋b 是R 上的减函数，那么…………………………………( )A.k<0B.k>0C.k ≠0D.无法确定4.函数f(x)＝⎩⎨⎧ 2x ＋6x ＋7x ∈［1，2］x ∈［－1，1］，则f(x)的最大值、最小值为……( )A.10,6B.10,8C.8,6D.以上都不对5.下列四个函数在()-0∞，上为增函数的有（ ）（1）y x = （2）x y x = （3）2x y x=- （4）x y x x =+A.(1)和(2)B.（2）和（3）C.（3）和（4）D.（1）和（4） 6.设()f x 是(),-∞+∞上的减函数，则（ ）.()(2)A f a f a > 2.()()B f a f a < 2.()()C f a a f a +< 2.(1)()D f a f a +<7.设函数()()21f x a x b =-+在R 上是严格单调减函数，则（ ）1.2A a ≥1.2B a ≤ 1.2C a > 1.2D a < 8.下列函数中，在区间（0,2）上为增函数的是（ ） .3A y x =- 2.1B y x =+ 2.C y x =- 2.23D y x x =-+9.已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） ()().,12,A -∞-+∞ ().1,2B - ().2,1C - ()().,21,D -∞-+∞10.已知()f x 为R 上的减函数，则满足()11f f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（ ）().,1A -∞ ().1,B +∞ ()().,00,1C -∞ ()().,01,D -∞+∞11．函数 的增区间是（ ）。
A ． B ．C ．D ．12． 在 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）。
A ．B ．C ．D ．13．当 时，函数 的值有正也有负，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．14、已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则（ ）A.-2B.2C.-98D.9815、设()f x 是连续的偶函数，且当x >0时()f x 是单调函数，则满足3()4x f x f x +⎛⎫=⎪+⎝⎭的所有x 之和为（ ） A ．3- B ．3 C ．8- D ．816、若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．217、设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( )（Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）21318、设函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线0x =及直线1x =对称，且[0,1]x ∈时，2()f x x =，则3()2f -=（ ） （A ）12 （B ）14 （C ）34 （D ）9419．已知函数f (x)在R 上是增函数，若a + b ＞0，则（ ） A ．f (a) + f (b)＞f (-a) + f(-b) B ．f (a) + f(b)＞f (-a) – f(-b) C ．f (a) + f (-a)＞f (b) + f (-b) D ．f (a) + f (-a)＞f (b) – f (-b)20．函数()223f x x mx =-+当[)2,x ∈-+∞时为增函数，当(],2x ∈-∞-是减函数，则()1f 等于（ ） A ．1 B ．9 C ．3- D ．13 二、填空题1. 若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_________.2、如果函数f (x )在R 上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f (x +2)=－f (x ),试比较f (31),f (32),f (1)的大小关系_________________________.3.若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = ．2．函数 ,当时,是增函数,当 时是减函数,则．4．已知 是常数),且,则的值为_______．5． 函数 在 上是减函数,则 的取值范围是_______．6．设，是增函数，和，是减函数，则是_______函数；是________函数； 是_______函数．7、函数y ＝x 2－2x 的单调减区间是 ，单调增区间是 .8.函数 []()2()230,3f x x x x =-++∈的最大值为 ，最小值为9.已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是10.已知()y f x =在定义域（-1,1）上是减函数，且2(1)(1)f a f a -<-，则a 的取值范围为11．（1）已知函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]3,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 ；（2）已知2)1(2)(2+-+=x a x x f 的单调递减区间是]3,(-∞，则实数a 的取值范围 是 .12、已知函数()f x 在区间[],a c 上单调递减，在区间[],c b 上单调递增，则()f x 在区间[],a b 上有最 值是 。
13、函数()2235y k k x =-+++是定义在R 上的减函数，则k 的取值范围是 ；若为增函数，则k 的取值范围是 。
14、已知函数122--=x ax y 在)1,(-∞上是减函数，则a 的取值范围是__________。
15、函数)(x f 是定义在)1,1(-上的增函数，且0)3()2(<---a f a f ，则a 的取值范围是________。
三、解答题1.已知函数f (x )＝4x 2－4ax ＋(a 2－2a ＋2)在闭区间[0,2]上有最小值3，求实数a 的值．2．设a∈R，当a取何值时，不等式x2＋2x－a＞1在区间[2,5]上恒成立？3．函数对于有意义，且满足条件，，是非减函数，（1）证明；（2）若成立，求的取值范围．4．已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，又当x2>x1>0时，f(x2)>f(x1)．(1)求f(1)、f(4)、f(8)的值；(2)若有f(x)＋f(x－2)≤3成立，求x的取值范围．6．已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3,5]．(1)判断函数f (x )的单调性，并证明； (2)求函数f (x )的最大值和最小值．7.已知()y f x =与()y g x =均为增函数，判断下列函数在公共定义域内的增减性. （1）2()y f x =- （2）()2()y f x g x =+8.证明函数3()f x x x =+在R 上单调递增.9.求函数2()3125f x x x =-+在定义域[0,3]上的最大值和最小值.1.证明函数f(x)＝x ＋1x在(0,1)上为减函数.【证明】 设0<x 1<x 2<1，则121212211212121211()()()1()(1)f x f x x x x x x xx x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=-+=--＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1)x 1x 2.已知0<x 1<x 2<1，则x 1x 2－1<0，x 1－x 2<0，x 1x 2＞0. ∴(x 1－x 2)(x 1x 2－1)x 1x 2＞0，即f(x 1)－f(x 2)>0，f(x 1)>f(x 2). ∴f(x)＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数.2、求函数y ＝2x －1在区间［2,6］上的最大值和最小值. 【解析】 设x 1、x 2是区间［2,6］上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则 f (x 1)－f (x 2) ＝2x 1－1－2x 2－1＝2x 2－1－2x 1－1x 1－1x 2－1＝2x 2－x 1x 1－1x 2－1.由2≤x 1＜x 2≤6，得x 2－x 1＞0，(x 1－1)(x 2－1)＞0，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)． 所以，函数y ＝2x －1是区间[2,6]上的减函数．如上图．因此，函数y ＝2x －1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x ＝2时取得最大值，最大值是2，在x ＝6时取得最小值，最小值是0.4.3．求证： 在 上不是单调函数．解：设，则①于是，当时，，则①式大于0；故 在 上不是单调函数4．函数，，求函数的单调区间．解：设，①当时，是增函数，这时与具有相同的增减性，由即得或当时，是增函数，为增函数；当时，是减函数，为减函数；②当时，是减函数，这时与具有相反的增减性，由即得当时，是减函数，为增函数；当时，是增函数，为减函数；综上所述的单调增区间是和，单调减区间是和5．设是定义在上的增函数，，且，求满足不等式的x的取值范围.解、依题意，得又，于是不等式化为由得.∴x的取值范围是.6、北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京晚报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(按30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚多少元.解、设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意，得y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)＝0.5x＋625，x∈［250,400］.∵函数y在［250,400］上单调递增，∴x＝400时，y max＝825(元)，。