【模型解题法】高中数学抛物线焦点弦模型
抛物线焦点弦
44A 、B 、C 、3D 、-3、亠、P 2解析：设弦的两个端点为 A( x i,y i )、B( x 2,y 2),x i x 2=, y 1 y 24P 2 ,.OA ? OB = x 1x 2 y 1y 2P 23p 23,故答案选B 。
4抛物线焦点弦的性质及应用平面内与一个定点 F 和一条定直线I 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
由于抛物线定义的特殊性, 使得它有许多其他圆锥曲线所没有的特征，特别是抛物线过焦点的弦的性质尤其突出，同时也高考中经常 要考查的内容。
p设抛物线的方程为 y 2=2px(P >0),过焦点F (2,0)作倾斜角为 的直线，交抛物线于 PQ 称抛物线的焦点弦，(如图1).抛物线的焦点弦具有以下性质：2性质 1:设 P(x i ,y i ),Q(x 2,y 2),则 y i y 2=-p 2. xm —4证明：①当=90时，PQ 方程为x=2代入y 2=2px 中有y 2=p 2,即 y i =p,y 2=-p, ... y i y 2=_p 2.②当丰90时，设直线PQ 斜率为k,则PQ 方程为y=k(x - p)与y 2=2px 联立，消x 后得到： ky 2-2py-kp 2=0, . y i y 2=-p 2. 因为 y ； 2px i , y |2px 2，所以 y ； ? y ； 4p 2X i X ?,224 2y i ?y 2 p p 4p 24p 2 4P 、Q 两点，则线段所以x i x 2例i 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点 P 、Q 通过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M 求证:直线MQ 平行与抛物线的对称轴.证明：为了方便比较，可将 P 点横坐标及Q 点纵坐标均用 P 点的纵坐标 ••• P(2p,y i ),Q(x 2,y 2),但 y i y 2=-p 2.y2=- y i ,PM方程是：y 書x,当x= - 时尸-土即为M点的纵坐标, 这样M 点与Q 点的纵坐标相同，故 MQ/ Ox.Ml 7i )J\ /F (L n) r■E 32［例2］设坐标原点为 O ,抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于 A 、B 两点,OA ? OB =y i 表性质4:以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切证法一：如图3，设PQ 中点为R,贝U R 即为PQ 为直线圆的圆心，过 R 作RS 丄MN 于 S,性质2:抛物线焦点弦的长度: ABp (X iX 2)= 2psin证明：如图所示，分别做AA 、BB i 垂直于准线I ，由抛物线定义有 ABAF 且有AFBF于是可得 BF AA BB iAF•••AB AF故命题成立.X iAF ? cosP ，1 cosBFBF ?cos ，BFX 1 x 2P .1 cosp —+ 1 cos 1 cos 1 cosP _~2sin例3已知圆M: x 2+y 2-4x=0及一条抛物线，抛物线顶点在 为 的直线l, l 与抛物线及圆由上而下顺次交于A 、BC 、D 四点，若解：如图，方程x 2+y 2-4x=0,表示的图的圆心为(2 , 0)即为抛物线的焦点，•••抛物线的方程是 y 2=8x(其中p=4),2p 8|AD|= ^7^=1=40,但圆的直径 |BC|=4 ,Olli I5• |AB|+|CD|=|AD|-|BC|=40-4=36.性质3:三角形OAB 的面积公式：S OAB2P 2 si n证法一：当直线倾斜角 为直角时, 公式显然成立。
抛物线焦点弦性质
抛物线焦点弦性质
抛物线焦点弦性质：焦点弦长就是两个焦半径长之和。
焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。
由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。
在抛物线y²=2px中，弦长公式为d=p+x1+x2。
若直线AB的倾斜角为α，则|AB|=2p/sin²α。
y²=2px或y²=-2px时，x1x2=p²/4,y1y2=-p²。
x²=2py或x²=-2py时，y1y2=p²/4,x1x2=-p²。
焦点弦是指椭圆、双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦，是指同一条圆锥曲线或同一个圆上两点连接而成的线段。
焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。
焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。
而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线之间的距离来表示。
抛物线焦点弦性质及推导过程
抛物线焦点弦性质及推导过程抛物线是一种二次函数图像，其标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。
抛物线具有很多特性，其中之一就是焦点弦性质。
现在来介绍抛物线焦点弦性质及其推导过程。
首先，我们需要明确焦点和焦点弦的概念。
焦点：抛物线上的所有点到定点F的距离与相应的焦准线上的所有点到定直线l的距离之比保持不变，这个定点F称为抛物线的焦点。
焦点弦：焦点的直角坐标系中的述焦线称为焦点弦。
接下来，我们通过几何推导来证明焦点弦性质。
假设抛物线的焦点为F，焦准线为l。
取抛物线上的任意一点P，并以焦点F为中心，做半径为FP的圆，交抛物线于点A，焦准线上一点为B。
根据焦点定义，有AP/PF=AB/BF。
根据圆的性质，AF是正切段，即∠FAP=90°。
考虑三角形ABP，根据直角三角形性质，我们有∠FAB=∠BAP。
将这个角度关系应用于三角形ABF，我们可以得出∠ABF=∠BFA。
因此，△ABF是一个等腰三角形。
由等腰三角形的性质，我们得到AB=AF。
而且，根据直角三角形性质，∠FBA=∠BAF。
因此，折线APB是一个等角三角形。
结合等腰三角形的性质，我们可以得出∠AFP=∠PFA=∠FAP。
根据角度对应定理，∠AFP=∠PFA=∠FAP=∠ABF。
而∠AFP+∠PFA+∠FAP+∠ABF=360°，因此∠AFP=360°/4=90°。
综上所述，我们可以得出结论：焦点弦AP是一个垂直于抛物线的直线。
因此，我们成功地证明了抛物线焦点弦性质的推导过程。
焦点弦性质的重要性在于我们可以利用该性质来确定一些几何问题中的未知量。
另外，在物理学和工程领域，焦点弦性质也有广泛的应用。
抛物线“焦点弦的性质”及解题策略
y x 1 由 2 , x2 6 x 1 0 A 1 y 4x x1 x2 6
抛物线定义可知： AF AA1 x1 1, BF BB1 x2 1
B1
y O F B
A
x
AB AF BF AA1 BB1 x1 x2 2 8
x1 x2 6 x1 x2 1
y
A F x
O
B
由弦长公式 AB 1 k 2 x1 x2
1 k
2
2 36 4 8 A
经典例习题做一做
例1 ．斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛 物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
思路2: 设A, B坐标分别为(x1 , y1 ),( x2 , y2 ).
经典例习题做一做
例1．斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛 物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
思路1：由题意,抛物线的焦点F (1,0)
y x 1 2 x 6x 1 0 由 2 y 4x
设A, B坐标分别为(x1 , y1 ),( x2 , y2 ).
提炼总结以为师 1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物 线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则： A(x1,y1) y p A1 (1) AF x1
2 p (2) BF x2 2 (3) AB x1 x2 p
O
F
x
B(x2,y2) l (4) AB x轴时， AB 2 p(抛物线的通径) p2 (5) x1 x2 4 2 (6) y1 y2 p (7)以AB为直径的圆与准线l相切. 以焦半径|PF|为直径的圆与y轴相切.
抛物线“焦点弦的性质”及解题策略
03
解题策略
利用焦点弦性质解题
焦点弦性质
对于抛物线上的任意一点P，其到焦 点F的距离等于到准线的距离。利用这 一性质，可以快速找到与焦点弦相关 的点P的坐标。
解题方法
利用焦点弦性质，可以求出点P的坐 标，进而求出与焦点弦相关的其他量， 如弦长、面积等。
在抛物线中，焦点弦的倾斜角可以通过轴线的倾斜角和该弦与轴线的夹角的补角之和（或差）来计算 。这个补角等于该弦与轴线的夹角的两倍。当焦点弦与轴线垂直时，其倾斜角等于轴线的倾斜角。
焦点弦的倾斜角
解题策略
根据题目给出的条件，选择适当的方法计算焦点弦的长 度、中点坐标或倾斜角。
熟悉抛物线的定义和性质，理解焦点弦的意义和特点。
02
焦点弦的性质
焦点弦的长度
总结词
焦点弦的长度等于通径的长度，等于焦准距的平方根。
详细描述
在抛物线中，焦点弦是指通过焦点的弦，其长度可以通过通径的长度来计算。 通径是过焦点的最短的弦，其长度等于焦准距的平方根。当焦点弦与抛物线的 轴线不垂直时，其长度还会受到其他因素的影响。
焦点弦的中点坐标
总结词
焦点弦的中点坐标等于焦点坐标加上弦中点与轴线的垂直距 离。
详细描述
在抛物线中，焦点弦的中点坐标可以通过焦点坐标和弦中点 与轴线的垂直距离之和来计算。这个垂直距离等于弦的长度 的一半乘以该弦与轴线的夹角的正切值。
焦点弦的倾斜角
总结词
焦点弦的倾斜角等于轴线的倾斜角加上或减去该弦与轴线的夹角的补角。
详细描述
解题方法
利用代数方法，可以建立方程组、不等式组等，进而求解与抛物线相关的问题。在解题过程中，需要注意方程组 的解法、不等式的性质等。
高中数学抛物线的一个重要模型模型解题法 2
DO yAF BClx【模型解题法】高中数学抛物线焦点弦模型【模型思考】过抛物线焦点的直线，交抛物线于A B 、两点，则称线段AB 为抛物线的焦点弦。
过抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的端点,A B 分别抛物线准线l 的垂线，交l 于D C 、，构成直角梯形ABCD （图1）.这个图形是抛物线 问题中极为重要的一个模型，围绕它可以生出许 多重要的问题，抓住并用好这个模型，可以帮助 我们学好抛物线的基本知识与基本方法，同时， 它又体现了解析几何的重要思想方法。
在图1中， 有哪些重要的几何量可以算出来？又可以获得哪 些重要结论呢?【模型示例】设直线AB 的倾角为θ，当=90AB x θ⊥轴（）时，称弦AB 为通径。
例1. 求通径长. 例2． 求焦点弦AB 长. 例3. 求AOB ∆的面积.例4. 连,(2)CF DF CF DF ⊥，求证图.例5. 设准线l 与x 轴交于点E ，求证：FE 是CE 与DE 的比例中项，即 2FE CE DE =⋅.例6. 如图3，直线AO 交准线于C ，求证：直线 x BC //轴. （多种课本中的题目）例7．设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点.点C 在抛物线的准线上，且x BC //轴. 证明直线AC 经过原点. 例8. 证明：梯形中位线MN 长为2sin pθ. 例9. 连,AN BN AN BN ⊥、图（5），证明：. 例10. 求证：以线段AB 为直径的圆与准线相切. 例11. 连NF ，证明：NF ⊥AB ，且2NF AF BF =⋅.例12. 已知抛物线y x 42=的焦点为F ，AB 是抛物线的焦点弦，过A 、B 两点图1分别作抛物线的切线，设其交点为M. （I ）证明：点M 在抛物线的准线上； （Ⅱ）求证：FM →·AB →为定值；【模型解析】设直线AB 的倾角为θ，当=90AB x θ⊥轴（）时，称弦AB 为通径。
抛物线“焦点弦的性质”及解题策略(原)
抛物线的性质及应用（1课时）——抛物线“焦点弦的性质”及解题策略高二年级数学组熊庆树【定义】平面内与一个定点F和一条定直线l（定点F∉定直线l）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
1、点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，求P的轨迹方程。
2、已知M为抛物线xy42=上一动点，F为抛物线的焦点，定点P(3,1),则MFMP+的最小值为（）(A)3 (B)4 (C)5 (D)63、已知M为抛物线xy42=上一动点，M到y轴的距离为d，定点P(2,4),则dMP+的最小值为（）练：(1)抛物线y=4x2上的一点M到焦点F的距离为1,则点M的纵坐标为( )(2) (2004全国)已知M为y2=4(x-1)上一动点，M到定点P(0,1)与M到y轴的距离之和的最小值是______.(3)以抛物线y2=2px( p>0) 的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系为( )A.相交B.相离C.相切D.不确定例、斜率为1的直线经过抛物线xy42=的焦点F，且交抛物线于A，B两点，求线段AB的长。
解法1：()ABF所以直线为由已知得抛物线的焦点,0,1为1-=xy。
（1）(),212xy=代入将().412xx=-得.0162=+-xx化简得由弦长公式得.84-362||==AB解法2：,12,2,==pp由题意可知().1:,0,1-=xlF准线焦点()(),,,,2211yxByxA设.,,BAddlBA的距离分别为到准线由抛物线的定义可知.1||,1||21+==+==xdBFxdAFBA.2||||||21++=+=xxBFAFAB于是()ABF所以直线由已知得焦点为,0,1为1-=xy.,22xy=代入.0162=+-xx得621=+xx由韦达定理得，.82||21=++=xxAB于是结论1、经过抛物线xy42=的焦点F的直线交抛物线于()(),,,,2211yxByxA两点，(1)求弦AB的长的最小值。
抛物线中的焦点定值问题的四种模型
抛物线中的焦点定值问题的四种模型抛物线是数学中的一种曲线形状，在很多领域中都有广泛的应用。
其中一个重要的问题是抛物线中焦点定值问题，即给定一条抛物线，如何确定其焦点的位置。
本文将介绍四种模型来解决这个问题。
第一种模型：几何构造法基于几何构造法，我们可以通过以下步骤确定抛物线的焦点位置：1. 绘制抛物线，并标记出其中一个焦点（我们称之为A）和对称轴上的一点B。
2. 以点B为基准，作出与抛物线相切的直线。
3. 以A为焦点，过点B作出一条与该直线平行的直线。
4. 该条平行直线与抛物线的交点C即为其焦点位置。
这种方法简单直观，适用于已知抛物线形状，且能够精确绘制的情况。
第二种模型：焦点定位关系法基于焦点A与顶点O、焦距f之间的定位关系，我们可以通过以下公式来计算焦点的位置：1. 设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
2. 根据焦点与顶点的距离关系，有f = 1/(4a)。
3. 综合焦点的定位与顶点的坐标关系，可以得到焦点的坐标为(x, y)，其中x = -b/(2a)，y = c - b^2/(4a)。
这种方法适用于已知抛物线方程的情况，通过求解方程中的参数即可确定焦点的位置。
第三种模型：导数法基于导数法，我们可以通过求解抛物线函数的导数来确定焦点的位置：1. 设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c。
2. 求解方程的导数，即y' = 2ax + b。
3. 将导数的值置为0，解方程2ax + b = 0，得到x = -b/(2a)。
4. 将x的值代入原始方程，可得到焦点的坐标为(x, y)，其中y = ax^2 + bx + c。
这种方法适用于已知抛物线方程且方程可导的情况，通过求解导数的根即可确定焦点的位置。
第四种模型：离心率法基于离心率法，我们可以通过抛物线的离心率来确定焦点的位置：1. 设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c。
2. 计算离心率e，公式为e = √(1 + 1/4a^2)。
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上面的课本题与高考题共有三个条件与一个结论（对于抛物线 及图3）：
①弦 过焦点 ；②点 在准线上；
③ 轴；④ 过顶点 .
可组成以下四个命题：
①②③ ④（高考题）
①②④ ③（课本题）
是否正确？
例8证明：梯形中位线MN长为 .
留给读者做。
例9连 .
证明较难，留作习题。
例10证明：以线段 为直径的圆与准线相切。
解法一：直线 的方程为： ，即 .
（由⑥得）,
解法二：
（由④得）
（由⑥得）
例4连 .
证明：设 ，
则 ,
故 .
例5设准线 与 轴交于点 ，证明： 是 与 的比例中项，
即 .
容易证明，留给读者完成。
例6如图3，直线 交准线于 ，证明：直线 轴.（多种课本中的题目）பைடு நூலகம்
分析：只要证 两点纵坐标相同。
证明：设 ，则 .
上面十多条结果归纳起来有：
（1）焦点弦长（通径长）；
（2） 的面积；
（3）梯形中位线长；
（4） ；
（5） ；
（6）两组直角三角形： 以及相应的比例线段；
（7） 为直径的圆与准线相切；
（8）过抛物线上 两点的切线的交点 落在准线上，且
【模型解析】
设直线 的倾角为 ，当 时，称弦 为通径。
例1求通径长.
即 .
例6.如图3，直线 交准线于 ，求证：直线 轴.（多种课本中的题目）
例7．设抛物线 的焦点为 ，经过点 的直线交抛物线于 两点.点 在抛物线的准线上，且 轴.证明直线 经过原点.
例8.证明：梯形中位线MN长为 .
例9.连 .
例10.求证：以线段 为直径的圆与准线相切.
例11.连NF，证明：NF⊥AB，且 .
由例9，这个性质是显然成立的。
例11连NF，证明：NF⊥AB，且 .
证明：设 ，
又设直线 的方程为 ，则 ，
（由④得）
此即
在 为斜边上的高，故有
说明：在平面几何中，有下述定理： 斜边 上的高 是 的比例中项。
例12已知抛物线 的焦点为F， 是抛物线的焦点弦，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.
（I）证明：点 在抛物线的准线上；
（Ⅱ）求证：·为定值；
证明：（I）设 ，
则 由已知，
设直线 的方程为： ，则由
得
由 得 ，所以过 两点的切线方程分别为：
即
【注： 过点( 的切线方程为： 】
由上式可得
显然 故
因此， .
由于抛物线准线方程为 ，故点 在抛物线的准线上。
因此，·为定值，其值为0.
它与准线方程 联立,得
.
由 得 .
因此 两点纵坐标相同， 轴.
例7设抛物线 的焦点为 ，经过点 的直线交抛物线于 两点.点 在抛物线的准线上，且 轴.证明：直线 经过原点.
分析：只要证 .
证法1：如图3，设 ，
再设直线 的方程为 .
， ，
三点共线.
证法2：如图4，设 与 相交于 ，准线与 轴交于 .
轴 .
（即 ），
（即 ）.
又
即点 是 的中点，与抛物线的顶点 重合，所以直线经过原点 .
【专家点评】2001年试题评价报告（高考专家组）指出：理科（19）题（即上题）是课本习题八第8题（系指 ），第13题（系指（六））的转化，揭示了抛物线的一个本质属性：“若抛物线 的焦点为 ， 是抛物线上的两点.点 在它的准线上，且 轴.则 三点共线的充要条件是 共线。
【模型解题法】高中数学抛物线焦点弦模型
【模型思考】过抛物线焦点的直线，交抛物线于 两点，则称线段 为抛物线的焦点弦。
过抛物线 的焦点弦 的端点
分别抛物线准线 的垂线，交 于 ，
构成直角梯形 （图1）.这个图形是抛物线
问题中极为重要的一个模型，围绕它可以生出许
多重要的问题，抓住并用好这个模型，可以帮助
例12.已知抛物线 的焦点为F， 是抛物线的焦点弦，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.
（I）证明：点 在抛物线的准线上；
（Ⅱ）求证：·为定值；
【小结】由抛物线的焦点弦所构成的直角梯形中蕴涵着丰富多彩的内容，可以获得多达十多条的重要结论，它涉及抛物线的定义与基本性质，在解决各类问题时，又贯穿着解析几何的基本思想方法，其中尤以求抛物线弦长时的两种方法集中体现了解决抛物线问题的基本思路与常用方法，应予以牢固把握。
解：由于 ， ，
当 时，代入 中，得
.
例2求焦点弦 长.
解法一： 设 ，当
由 得 ，......①
. ......②
，准线方程 ，
.
由②知， ......③
当 ，由（一）知 .
说明：
因此，由③得
特别，当 是通径长。
解法二：设 .
.
由 得
......④
......⑤
（由④得）
......⑥
.
例3求 的面积.
我们学好抛物线的基本知识与基本方法，同时，
它又体现了解析几何的重要思想方法。在图1中，
有哪些重要的几何量可以算出来？又可以获得哪
些重要结论呢?
【模型示例】设直线 的倾角为 ，当 时，称弦 为通径。
例1.求通径长.
例2．求焦点弦 长.
例3.求 的面积.
例4.连
例5.设准线 与 轴交于点 ，求证： 是 与 的比例中项，