分式方程解法课件
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分式方程ppt课件
36
36
根据题意，得 x ＝
＋2，
(1＋50%)x
解得 x＝6.
经检验，x＝6 是方程的解．
答：该施工队原计划每天改造 6 m.
知3－练
例 5 [情境题 校园文化]为了进一步丰富校园文体活动，
某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480 元
购买足球的数量和用390 元购买排球的数量相同，已
知足球的单价比排球的单价多15 元．
－
③ ＝x；④
＋3＝
；
－
－
其中是分式方程的是________(填序号).
③④
知识点 2 分式方程的解法
知2－讲
1. 解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程转化为整
式方程.
2. 解分式方程的一般步骤
知2－讲
3. 检验分式方程解的方法
(1)直接检验法：将整式方程的解代入原分式方程，这
车的速度.
知3－练
思路引导：
知3－练
解：设大型客车的速度为x km/h，
则小型客车的速度为1.2x km/h，12 min= h．
根据题意，得 －
= ，解得x
.
经检验，x = 6 0 是方程的解．
答：大型客车的速度是60 km/h.
= 6 0．
知3－练
3-1.[中考·广州] 随着城际交通的快速发展， 某次动车平
＝
；(3) ＝1；
－ ＋
(4)
＝
；(5) －2＝x(a为非零常数).
＋ －
解题秘方：利用判别分式方程的依据——分母中含有
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根据题意，得 x ＝
＋2，
(1＋50%)x
解得 x＝6.
经检验，x＝6 是方程的解．
答：该施工队原计划每天改造 6 m.
知3－练
例 5 [情境题 校园文化]为了进一步丰富校园文体活动，
某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480 元
购买足球的数量和用390 元购买排球的数量相同，已
知足球的单价比排球的单价多15 元．
－
③ ＝x；④
＋3＝
；
－
－
其中是分式方程的是________(填序号).
③④
知识点 2 分式方程的解法
知2－讲
1. 解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程转化为整
式方程.
2. 解分式方程的一般步骤
知2－讲
3. 检验分式方程解的方法
(1)直接检验法：将整式方程的解代入原分式方程，这
车的速度.
知3－练
思路引导：
知3－练
解：设大型客车的速度为x km/h，
则小型客车的速度为1.2x km/h，12 min= h．
根据题意，得 －
= ，解得x
.
经检验，x = 6 0 是方程的解．
答：大型客车的速度是60 km/h.
= 6 0．
知3－练
3-1.[中考·广州] 随着城际交通的快速发展， 某次动车平
＝
；(3) ＝1；
－ ＋
(4)
＝
；(5) －2＝x(a为非零常数).
＋ －
解题秘方：利用判别分式方程的依据——分母中含有
初中数学华东师大版八年级下册1第1课时分式方程及其解法课件
课堂总结
我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，那么如何将分式方程 化为我们熟悉的整式方程进行求解呢？
在分式方程两边乘最简公分母可化为整式方程.
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
90 60 30+x 30 x
解：方程两边乘以最简公分母(30+x)(30-x)，得
90(30 x) 60(30+x)
概念剖析
典型例题
ห้องสมุดไป่ตู้
（一）分式方程的概念
当堂检测
课堂总结
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺 流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等， 江水的流速为多少？
解：设江水的流速为x千米/时.
定义：
90 60 . 30+x 30 x
方程中含有分式，并且分母里含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
解：（2）（4）是分式方程.
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
1.下列方程中，不是分式方程的是（ B ）
A. x 2 1 x
C. x 2x 2 1
x 1
x
2
B.
x 1 1 2 x 1 2x 3
D. 2x x 1 x2 1 2
分析：B选项中 x 1 是无理数，不属于整式， x 1 不是分式，所 x 1
组成的方程不是分式方程.
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
例2.解方程: 2 3 . x3 x
提示：先找出最简公分母化为整式方程、再求解.
课堂总结
解：去分母，方程两边乘以最简公分母x(x-3)，得
分式方程及其解法课件
高阶分式方程的解法实例
总结词
通过降阶、变量代换等方法，将高阶分式方 程转化为低阶或可直接求解的分式方程。
详细描述
高阶分式方程可以通过降阶、变量代换等方 法，将其转化为低阶或可直接求解的分式方
程。例如，对于形如 "a1x1+a2x2+...+anxn/b1x1+b2x2+...+b nxn=c" 的高阶分式方程，可以先将高阶项 进行降阶或变量代换，将其转化为可直接求
分式方程及其解法课件
目
CONTENCT
录
• 分式方程的基本概念 • 分式方程的解法 • 分式方程的解法技巧 • 分式方程的解法实例 • 分式方程的解法总结与反思
01
分式方程的基本概念
分式方程的定义
总结词
分式方程是数学中一类带有分式的等式，用于描述某些特定情况 下的数量关系。
详细描述
分式方程是数学中一类带有分式的等式，通常用来描述两个或多 个量之间的关系。分式方程中的分母不能为零，因为分母代表一 个量所占的比例或份额。
适用范围
分式方程的解法适用于解决涉及分数 、比例、百分数等实际问题的数学问 题，同时也可以用于解决一些代数和 几何问题。
不适用范围
对于一些过于复杂或抽象的分式方程 ，分式方程的解法可能无法解决，或 者解决起来非常困难。
解法的改进与展望
改进
在解分式方程时，可以尝试引入更多的数学工具和方法，例Байду номын сангаас使用分数运算规则、因式 分解、变量替换等技巧，以提高解题效率和准确性。
通过约分、通分、消去分母等方法，将 分式方程转化为整式方程进行求解。
VS
详细描述
一元分式方程通常可以通过约分、通分和 消去分母的方法，将方程转化为整式方程 ，然后利用整式方程的解法求解。例如， 对于形如 "ax+b/cx+d=e" 的分式方程， 可以先通分，然后移项、合并同类项，最 后求解整式方程。
华东师大版数学八年级下册16.分式方程及其解法课件(共22张)
视察这个方程与我们学过的一 元一次方程有什么不同？
新课推动
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和 逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的 速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.
分析 设轮船在静水中的速度为x千米/时，
根据题意，得
80 60 x3 x3
（*）
概 括 方程（*）中含有分式，并且分母中含 有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
概括
上述解分式方程的过程，实质上是将方 程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分 式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常 取方程中出现的各分式的最简公分母.
例1
解方程:
1 x1
2 x2 1
解:方程两边同乘以（x2-1）, 约去分母，得x+1=2. 解这个整式方程，得x=1.
思考：x=1是不是原分式方 程的解（或根）呢？
当x=1时，原分式方程左边和右边的分母 （x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的 两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式 方程的解，应当舍去.所以原分式方程无解.
概括 在解分式方程时，产生不合适原分式方
程的解（或根），这种根通常称为增根.因此， 在解分式方程时必须进行检验.
如何判定一个值是否为这个分式方程 的根呢？分式方程如何检验呢？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分式方程的检验
解分式方程进行检验的关键是看所求得 的整式方程的根是否使原分式方程中的分式 的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代 入所乘的整式（即最简公分母），看它的值 是否为零.如果为零，即为增根.
例2
解方程:
100 30 x x7
解:方程两边同乘以x(x-7),约
去分母，得 100(x-7)=30x.
新课推动
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和 逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的 速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.
分析 设轮船在静水中的速度为x千米/时，
根据题意，得
80 60 x3 x3
（*）
概 括 方程（*）中含有分式，并且分母中含 有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
概括
上述解分式方程的过程，实质上是将方 程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分 式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常 取方程中出现的各分式的最简公分母.
例1
解方程:
1 x1
2 x2 1
解:方程两边同乘以（x2-1）, 约去分母，得x+1=2. 解这个整式方程，得x=1.
思考：x=1是不是原分式方 程的解（或根）呢？
当x=1时，原分式方程左边和右边的分母 （x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的 两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式 方程的解，应当舍去.所以原分式方程无解.
概括 在解分式方程时，产生不合适原分式方
程的解（或根），这种根通常称为增根.因此， 在解分式方程时必须进行检验.
如何判定一个值是否为这个分式方程 的根呢？分式方程如何检验呢？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分式方程的检验
解分式方程进行检验的关键是看所求得 的整式方程的根是否使原分式方程中的分式 的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代 入所乘的整式（即最简公分母），看它的值 是否为零.如果为零，即为增根.
例2
解方程:
100 30 x x7
解:方程两边同乘以x(x-7),约
去分母，得 100(x-7)=30x.
分式方程的解法 (优质课)获奖课件
4．验根的方法： 解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根
是否使原分式方程中的分式的分母为零．有时为了简便起
见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分母)，看它的值 是否为零．如果为零，即为增根．
如例1中的x＝5，代入x2－25＝0，可知x＝5是原分式方
程的增根．
三、举例分析 2 3 例 2(教材例 1) 解方程 ＝x. x－3 解：方程两边乘 x(x－3)，得 2x＝3x－9. 解得 x＝9. 检验：当 x＝Байду номын сангаас 时，x(x－3)≠0. 所以，原分式方程的解为 x＝9.
如何计算？小组讨论，你从计算过程中发现了什么？ 由于(a＋b)(p＋q)和(ap＋aq＋bp＋bq)表示同一个量，
即有(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq.
二、探索新知 (一)探索法则
根据乘法分配律，我们也能得到下面等式：
在学生发言的基础上，教师总结多项式与多项式的乘法法 则并板书法则． 让学生体会法则的理论依据：乘法对加法的分配律． 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个 多项式的每一项，再把所得的积相加． (二)例题讲解与巩固练习 1．教材例6计算： (1)(3x＋1)(x＋2)； (2)(x－8y)(x－y)； (3)(x＋y)(x2－xy＋y2)．
15．3
分式方程(2课时)
分式方程的解法
第1课时
1．理解分式方程的意义． 2．理解解分式方程的基本思路和解法． 3．理解解分式方程时可能无解的原因 ，并掌握解分式 方程的验根方法．
重点 解分式方程的基本思路和解法．
难点
理解解分式方程时可能无解的原因．
一、复习引入 问题：一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以 最大航速沿江顺流航行 90 km 所用时间， 与以最大航速逆流 航行 60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？ 90 [分析]设江水的流速为 x 千米/时， 根据题意， 得 ＝ 30＋v 60 .① 30－v 方程①有何特点？ [概括]方程①中含有分式，并且分母中含有未知数，像 这样的方程叫做分式方程． 提问：你还能举出一个分式方程的例子吗？
分式方程的解法 优质课获奖课件
例
3( 教 材 例
2)
x 解 方 程 － 1 ＝ x－1
3 . （x－1）（x＋2） 解：方程两边乘(x－1)(x＋2)，得 x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3. 解得 ＝1. 检验：当 x＝1 时，(x－1)(x＋2)＝0，因此 x＝1 不是 原分式方程的解． 所以，原分式方程无解．
四、课堂小结
2．例 1
1 10 解方程： ＝ .② x－5 x2－25
解：方程两边同乘(x2－25)，约去分母，得 x＋5＝10. 解这个整式方程，得 x＝5.事实上，当 x＝5 时，原分式 方程左边和右边的分母(x－5)与(x2－25)都是 0， 方程中出现的 两个分式都没有意义，因此，x＝5 不是分式方程的根，应当 舍去，所以原分式方程无解．
通过几个这样的运算例子 ，让学生观察算式与结果间的结 构特征． 归纳：公式 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 语言叙述：两个数的和 ( 或差 ) 的平方 ，等于它们的平方和 ， 加上(或减去)它们积的2倍．这两个公式叫做(乘法的)完全平 方公式． 教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一 些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明产生这些特点 的原因． 还可以引导学生将(a－b)2的结果用(a＋b)2来解释： (a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2a(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2.
(2)有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式 方程呢？ [可先放手让学生自主探索，合作学习并进行总结] 方程①可以解答如下： 方程两边同乘以(30＋v)(30－v)，约去分母，得 90(30－ v)＝60(30＋v)． 解这个整式方程，得 v＝6. 所以江水的流度为 6 千米/时． [概括]上述解分式方程的过程， 实质上是将方程的两边乘 以同一个整式 ， 约去分母 ， 把分式方程转化为整式方程来 解．所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母．
分式方程的解法ppt课件
人类与自然环境
袁隆平和杂交水稻
• 袁隆平的新型杂交水稻为我们人类 社会带来了什么好处？
• 我们应该学习袁隆平在科学探索中 的什么精神？
生物学在人类生活中的应用
转基因技术
通过生物技术，将某个
基因从一种生物当中分离
出来，然后植入另一种生
物的体内。
世界人口危机
冀教版 八年级上
第12章 分式和分式方程
提分专项(三) 分式方程的解法
1 见习题 2 见习题 3 见习题 4 见习题 5 见习题
提示：点击 进入习题
答案显示
1．解分式方程： (1)x－1 2＝12－－xx－3；
解：去分母，得1＝x－1－3(x－2)， 解得x＝2. 经检验x＝2是原分式方程的增根，舍去， 故原分式方程无解．
3．若关于x的分式方程 xx－－23＝x－m 3＋2有解，求m 的取值范围．
解 ：xx－－23＝x－m 3＋2 ，去分母并整理，得x＋m－4＝0， 解得x＝4－m.
∵分式方程有解，∴x＝4－m不能为增根．
∴4－m≠3，解得m≠1.
∴当m≠1时，原分式方程有解．
4．解关于 x 的分式方程xx＋＋12－x－x 1＝（x－1k）x＋（2x＋2）时产生 了增根，请求出所有满足条件的 k 的值．
１、环境中直接影响生物生活的各种
因素叫做 生态因素。它可以分为
非生物因素
生物因素
和
两类
2。、生物生活环境中的生物因素是指
影响某种生物生活的其它生物。
多克 利隆
羊
第三节 我们身边的生物学
婴第 儿一
个 试 管
转 基 因 鲤 鱼
普通鲤鱼
Hale Waihona Puke 生物学：研究生命现象和生命活 动规律的科学
八年级数学下册教学课件《5.4.2 分式方程的解法》
解：x x 1 1
3
x2
x
. 2
3
,
x 2x 1
方程两边同时乘以最简公分母(x＋2)(x－1)，
得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.
去括号，得x2＋2x－x2－x＋2＝3.
解得x＝1.
经检验，x＝1不是原分式方程的根，
所以原分式方程无解．
新课讲解
练一练
解方程：(1)
3＝ x－1
4 x
；
(2)
检验不是原分式方程的解，此时原分式方程无解．
新课讲解
典例分析
例
已知关于x的方程
2ax ax
2 3
的根是x＝1，求a的值．
分析：根据方程的解使方程两边的值相等，可构造关于a
的分式方程，解所得分式方程即可得a的值．
2ax
解： 把x＝1代入方程 得 2a 2 ,
a
x
2, 3
a1 3
解得a＝ 1
2 经检验，a＝ ∴a的值为
解：(1)去分母并整理，得(a＋2)x＝3.
∵1是原方程的增根，∴(a＋2)×1＝3，a＝1.
(2)∵原分式方程有增根，∴x(x－1)＝0.∴x＝0或1.
又∵整式方程(a＝3.∴a＝1.
新课讲解
(3)去分母并整理得：(a＋2)x＝3. ①当a＋2＝0时，该整式方程无解，此时a＝－2. ②当a＋2≠0时，要使原分式方程无解， 则x(x－1)＝0，得x＝0或1. 把x＝0代入整式方程，a的值不存在； 把x＝1代入整式方程，a＝1. 综合①②得：a＝－2或1.
1
1
2 .
是分式方程
2a a1
2
2的解． 3
新课讲解
练一练
已知x＝3是分式方程
3
x2
x
. 2
3
,
x 2x 1
方程两边同时乘以最简公分母(x＋2)(x－1)，
得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.
去括号，得x2＋2x－x2－x＋2＝3.
解得x＝1.
经检验，x＝1不是原分式方程的根，
所以原分式方程无解．
新课讲解
练一练
解方程：(1)
3＝ x－1
4 x
；
(2)
检验不是原分式方程的解，此时原分式方程无解．
新课讲解
典例分析
例
已知关于x的方程
2ax ax
2 3
的根是x＝1，求a的值．
分析：根据方程的解使方程两边的值相等，可构造关于a
的分式方程，解所得分式方程即可得a的值．
2ax
解： 把x＝1代入方程 得 2a 2 ,
a
x
2, 3
a1 3
解得a＝ 1
2 经检验，a＝ ∴a的值为
解：(1)去分母并整理，得(a＋2)x＝3.
∵1是原方程的增根，∴(a＋2)×1＝3，a＝1.
(2)∵原分式方程有增根，∴x(x－1)＝0.∴x＝0或1.
又∵整式方程(a＝3.∴a＝1.
新课讲解
(3)去分母并整理得：(a＋2)x＝3. ①当a＋2＝0时，该整式方程无解，此时a＝－2. ②当a＋2≠0时，要使原分式方程无解， 则x(x－1)＝0，得x＝0或1. 把x＝0代入整式方程，a的值不存在； 把x＝1代入整式方程，a＝1. 综合①②得：a＝－2或1.
1
1
2 .
是分式方程
2a a1
2
2的解． 3
新课讲解
练一练
已知x＝3是分式方程
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- 1
重要结论：只要在方程两边同乘以 重要结论： 各分式的最简公分母， 各分式的最简公分母，有时就可以 把分式方程化为一元一次方程来解！ 把分式方程化为一元一次方程来解！ 我们是怎样确定最简公分母的? 我们是怎样确定最简公分母的
思考： 思考：
下列各分式方程，去分母时， 下列各分式方程，去分母时，要乘以 的最简公分母分别是什么？ 的最简公分母分别是什么？
练习： 练习： 下列方程中， 下列方程中，不是分式方程的是
2 3 ( A) = x x- 2 3 2x- 1 (B) = 5 x 7- 2x 1 = (C ) 3 5 3 4 (D ) = 5x + 1 x+ 5
（
C ）
讨论：怎样来解下面的这个分式方程？ 讨论：怎样来解下面的这个分式方程？ 2 4 x + 1 = 2 0 x
8.5 分式方程
灌 云 初 级 中 学： 黄 娟
问题1 问题 甲、乙两人加工同一种服装，乙每天 乙两人加工同一种服装， 比甲多加工1件 已知乙加工24件服 比甲多加工 件，已知乙加工 件服 装所用时间与甲加工20件服装所用时 装所用时间与甲加工 件服装所用时 间相同，甲每天加工多少件服装？ 间相同，甲每天加工多少件服装？
y + 2 1 -2 y = 3 4 y + 2 y - 1 = 2 5 5 6 x -2 = 4 x + 4
2 4 2 0 = x + 1 x 4 0 + x = 1 0 x + 4 1 5 1 5 = + x 3 x 7 4 4 0 6 0
象这样， 象这样，分母中含有未知数的方程 叫做分式方程 叫做分式方程
练习: 练习 课本53页 课本 页 练习 1、2、3 、 、
课堂小结: 课堂小结 1、什么叫做分式方程? 、什么叫做分式方程 2、怎样来解分式方程? 、怎样来解分式方程 它比解整式方程多一个什ຫໍສະໝຸດ 步骤? 它比解整式方程多一个什么步骤
设原两位数的十位数字是x，则可 设原两位数的十位数字是 ， 以列出方程
4 0 + 1 0 x + x 4 = 7 4
问题3 问题
某校学生到距离学校15km 的山坡上植树， 的山坡上植树， 某校学生到距离学校 一部分同学骑自行车出发40min后，另一部 一部分同学骑自行车出发 后 分学生乘汽车出发，结果全体学生同时到达， 分学生乘汽车出发，结果全体学生同时到达， 已知汽车的速度是自行车的3倍 已知汽车的速度是自行车的 倍，求自行车 的速度。 的速度。
3 2 x ( x − 2) = 0 x x- 2 40 x + x 7 4 (5 x + 2 ) = 10 x + 4 4 y+ 4 y - 1= y ( y − 1) 2 y - y 1- y
例１：解方程
3 x
2 = 0 x - 2
请你比较解分式方程和解整式 方程的异同！ 方程的异同！
y + 4 y 例2：解方程 y 2 - y - 1 = 1 - y
设自行车的速度为xkm/h，则可以列 出方程 1 5 1 5 4 0 = + x 3 x 6 0
思考: 什么叫做方程? 思考 1、 什么叫做方程 2、什么叫方程的解？ 、什么叫方程的解？ 3、怎样解下列方程 、怎样解下列方程?
x
去分母: 去分母
+ 3
1
=
x 2
两边都乘以分母的最小公倍数 6
比较下列方程,左右的有什么不同 比较下列方程 左右的有什么不同? 左右的有什么不同
设甲每天加工x 件服装，那么可以列 设甲每天加工 件服装， 出方程
2 4 x + 1 = 2 0 x
问题2 问题
一个两位数的个位数字是4， 一个两位数的个位数字是 ，如果把个位数 字与十位数字对调， 字与十位数字对调，那么所得的两位数与原 两位数的比值是4分之 分之7， 两位数的比值是 分之 ，原两位数的十位数 字是几？ 字是几？