初中数学反比例函数知识点及经典例题

反比例函数

一、基础知识

k k 1. 定义：一般地，形如y二一（k为常数，k=o）的函数称为反比例函数。y = —

x x 还可以写成y =kx二

2. 反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做

比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为1.

⑵比例系数k = 0

⑶自变量x的取值为一切非零实数。

⑷函数y的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像

⑴图像的画法：描点法

①列表（应以0为中心，沿0的两边分别取三对或以上互为相反的数）

②描点（有小到大的顺序）

③连线（从左到右光滑的曲线）

k

⑵反比例函数的图像是双曲线，（k为常数，k = 0）中自变量x=0，

x

函数值y=0，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐

靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是y二x或y=「x ）。

k k

⑷反比例函数y二- （k=0）中比例系数k的几何意义是：过双曲线y = -

x x （k = 0 ）上任意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为k。

4

5.反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的

坐标即可求出k）

6•“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数

k

但是反比例函数y=一中的两个变量必成反比例关系。

x

7.反比例函数的应用

、例题

2

【例1】如果函数y =kx 2k

的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值 是多

少？

k

【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数 y 二上，（k = 0）即y 二kx

x

（k=0）又在第二，四象限内，贝U k ： 0可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得： （-2 “ 1

』2k +k —2 = —1 解得』k=—1 或k=2 .kvO [ kcO k = -1 .k = -1时函数y = kx 2k

心为y =

x

1

【例2】在反比例函数y 的图像上有三点捲，%，X 2， y 2 ， X 3，月3 x

若x 1 x 2 0 • X 3则下列各式正确的是（ ）

A.

y 3 ■ y1

y 2 B . y 3

y 2

y 1 C .屮

y 2

y 3 D .屮 * y

【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。

x 1 x 2 0 X 3， • y y 1 y 所以选 A

1

解法二：用图像法，在直角坐标系中作出 y =「-的图像

x 描出三个点，满足X 1 X 2 0 X 3观察图像直接得到y 3.y 1.y 2选A

解法三：用特殊值法

【例3】如果一次函数y 二mx • n m = 0与反比例函数y 二©口的图像相交于点

x （丄,2 ），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）

2

【解析】

「*1

丁直线y =mx + n 与双曲线y = — x 相交于,2，'\2^

n _

2

解得』

2

x

I 2 丿〔3n -m =1

小一

1

f

解法一：由题意得

1 y

2 :

X 2

1 y 3:

X 3

x-! x 2 0 x 3,令％ = 2,X 2 =1,x 3 - -1 1

% = -尹2 二-1,y 3 =1, y 3 y 1 y ?

-直线为y =2x +1,双曲线为y =丄解方程组＜

X y = 2x +1 1 y =一L x

得」洛=一1 得丿

= -1 f 1

x2 = _ ] 2

J y2 - 2■另一个点为- 1,1

【例4】如图，在Rt AOB中，点A是直线y = x，m与双曲线y = m在第一象

x

解：因为直线y = x • m与双曲线y 过点A,设A点的坐标为X A』A• x 则有y A =X A m, y^ —.所以m = X A y A •

X A

又点A在第一象限,所以OB = x A = x A, AB = y A = y A•

1 11

所以S AOB OB ・AB x A y A m.而已知S -AOB = 2 .

2 2 2

所以m = 4.

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