初升高数学衔接课程——一元二次方程⑴
初高中衔接一元二次方程的常用解法
第一讲 一元二次方程的解法 一、一元二次方程的标准形式02=++c bx ax （a ，b ，c 为常数，x 为未知数，且a≠0）。
二、一元二次方程的根的个数的判别通过ac b 42-=∆的根的判别式可以判断一元二次方程有几个根1.当ac b 42-=∆<0时，x 无实数根2.当ac b 42-=∆=0时，x 有两个相同的实数根 即x 1=x 23.当ac b 42-=∆>0时，x 有两个不相同的实数根三、一元二次方程的解法1．配方法二次系数化为一，常数要往右边移，一次系数一半方，两边加上最相当 如：解方程： 06222=-+x x2．公式法当判断完成后，若方程有根则可根据公式：aac b b x 242-±-=来求得方程的根 思考：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式是如何得到的？如：解方程： 06222=-+x x3．因式分解法因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。
如：解方程：062)2(034)1(22=-+=+-x x x x思考：十字相乘法的本质是什么？巩固练习一．选择题1．下列方程中，一定是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．（k 2+1）x 2－4=0B ．x 2+3xy+2=0C ．21x +1x －3=0 D ．x 2+3x=x 2－2 2．方程x 2=4x 的解是（ ）A ．x=4B ．x=2C ．x=4或x=0D ．x=03.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x ²－12x ＋20＝0的一个实数根，则三角形的周长是( )A . 24B . 24或16C . 16D . 224．方程y 2－2my+4（m －1）=0的根的情况为（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个实数根D ．没有实数根5．若x=0是方程0823)2(22=-+++-m m x x m 的根，则m=（ ）A 、－4或2B 、4C 、－4D 、26*．若a ，b ，c 为△ABC 的三边，且关于x 的二次三项式)(3)(22ca bc ab x c b a x ++++++为完全平方式，则△ABC 是（ ）A 、直角三角形B 、等边三角形C 、等腰直角三角形D 、只有两边相等的等腰三角形 二，填空题1．一元二次方程（x+2）2－x=3（x 2+2）化为二次项系数大于零的一般形式是___ _，它的一次项是__ _，•常数项是__ _．2．若方程（m-1）x |m|+1-2x=4是一元二次方程，则m=________．3． 已知一元二次方程230x bx c ++=的两个根分别是2，—3则，b= ，c= ；4．关于x 的一元二次方程x 2－2x+m=0有两个实数根，则m 的取值范围是______．5．写出一个以6，和8为两根的一元二次方程6*．若m ，n 是方程0120092=-+x x 的两个实数根， 则mn n m mn -+22的值是_______.三．试说明，不论m 取何值，关于x 的方程x 2-3x+2-m 2=0总有两个不相等的实根．四．在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中5a =，若关于x 的方程()2260x b x b +++-=有两个相等的实数根．．．．．．．．．，求△ABC 的周长．五*．已知x 1，x 2是一元二次方程（k+1）x 2+2kx+k －3=0两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围．（2）在（1）条件下，当k 为最小整数时一元二次方程x 2－x+k=0与x 2+mx －m 2=0•只有一个相同的根，求m 值．。
一元二次方程-走进新高一初升高数学完美衔接课
初高中衔接教材一元二次方程1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般式：.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的.（1时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3时，一元二次方程没有实数根.5.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果一元二次方程的实数根分别为、，则，.一元二次方程的根的判别式都成立，主要应用有以下几个：（1）不需要解方程就可以判定方程根的情况；（2）根据系参数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题；（4）已知方程的一个根，不需要解方程求另一个根与参数系数；（5）已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；（6）已知方程两个根，求以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.例1：根的判别式的应用（1）（2）【解答】（1）两个不相等的实数根；（2）两个实数根.【解析】（1）在中，，，∴方程有两个不相等的实数根；（2）方程是一元二次方程，常数项为0，无论取任何实数，均为非负数，，故方程有两个实数根.例2：根的判别式的逆运用关于的一元二次方程.（1）k为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）k为何值时，方程有两个相等的实数根？（3）k为何值时，方程没有实数根？【解答】见解析.（1）∵方程有两个不相等的实数根，，即，解得；（2）∵方程有两个相等的实数根，，即，解得（3）∵方程没有实数根，，即，解得.例3：通过根的判别式推理论证求证：关于的方程没有实数根.【解答】见解析【解析】∵不论m取任何实数，，∴，巩固练习一．选择题1．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5B．﹣1，3C．﹣3，1D．﹣1，52．的实数根的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．若x为任意实数，且M＝（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x2），则M的最大值为（）A．10B．84C．100D．1214．已知x，y为实数，且满足x2﹣xy+4y2＝4，记u＝x2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（）A B．C D二．填空题5．若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是．6．若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝7．已知，则的值等于．8．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2＝0的两个根记为a n、b n，则＝．9．已知a是方程x2﹣2013x+1＝0一个根，求a2﹣2012a的值为．三．解答题10．当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．11．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．12．已知实数a，b，c满足：a2+b2+c2+2ab＝1，又α，β为方程（a+b）x2﹣（2a+c）x﹣（a+b）＝0的值．13．已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣x﹣1＝0（1）若此方程为一元一次方程，求k的值．（2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围．14．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在零售价基础上每箱降价3m%m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值．15．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．16．某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件，通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．（1）请你帮店主设计一种方案，使每天的利润为700元．（2）将售价定为多少元时，能使这天利润最大？最大利润是多少元？17．每年九月是开学季，大多数学生会购买若干笔记本满足日常学习需要，校外某文具店老板开学前某日去批发市场进货，购进甲乙丙三种不同款式的笔记本共950本，已知甲款笔记本的进价为2元/本，乙款笔记本的进价是4元/本，丙款笔记本的进价是6元/本．（1）本次进货共花费3300元，并且甲款的笔记本数量是乙款笔记本数量的2倍，请问本次购进丙款笔记本多少本？（2）经过调研发现，甲款笔记本、乙款笔记本和丙款笔记本的零售价分别定为4元/本、6元/本和10元/本时，每天可分别售出甲款笔记本30本，乙款笔记本50本和丙款笔记本20本．如果将乙款笔记本的零售元（a＞25），甲款笔记本和丙款笔记本的零售价均保持不变，那么乙款笔记本每天的销售量将下降a%，丙款笔记本每天的销售量将上升%，甲款笔记本每天的销量仍保持不变；若调价后每天销售三款笔记本共可获利260元，求a的值．18．某水果批发商场经营一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要尽量减少库存，那么每千克应涨价多少元？19．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？20．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润为120元，为了扩大销量，尽快减少库存，超市准备适当降价，据测算，若每箱降价2元，则每天可多售出4箱．（1）如果要使每天销售该饮料获利14000元，则每箱应降价多少元．（2）每天销售该饮料获利能达到14500元吗？若能，则每箱应降价多少？若不能，请说明理由．21．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，且所种桃树要少于原有桃树，那么应多种多少棵桃树？22．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个．因受库存影响，每批次进货个数不得超过180个．商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价多少元？。
初高中数学衔接课程教案08-一元二次方程的根与系数关系
初高中数学衔接课程教案08一元二次方程的根与系数关系一、 知识点梳理1、概念：形如()002≠=++a c bx ax 的方程成为一元二次方程；2、配方法对一元二次方程进行配方得到方程：222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 3、判别式∆从配方之后的方程可以看出：原方程有没有解，取决于代数式ac b 42-的正负；基于ac b 42-的重要性，令ac b 42-=∆称为该一元二次方程判别式，决定了一元二次方程解得个数问题；（1）若0>∆，原方程有两个不相等的实数根，这两个根是aacb b x 2422,1-±-=；（2）若0=∆，原方程有两个相等的实数根，ab x x 221-==； （3）若0<∆，原方程没有实根； 4、韦达定理当上述一元二次方程有实数解时，aacb b x 2422,1-±-=（两个相等实根的情形也可以写成这样的形式）现在考察21x x +，21x x ⋅；aca acb b a ac b b x x aba b a b x x =---⋅-+-=⋅-=∆--+∆+-=+242422222121二、典型例题例1、若关于x 的方程012=++x ax 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围？解：当0=a 时，原方程显然只有一个实根1-=x ；当0≠a 时，该方程为关于x 一元二次方程．没有实数解，则0412>-=∆a ，则41<a 故：41<a 且0≠a 点评：很多学生看到有两个不等的实根，直接就利用判别式0>∆，却忽视了判别式是是针对于一元二次方程而言；关于x 的方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根等价于⎩⎨⎧>-≠0402ac b a例2、若21,x x 是一元二次方程03522=-+x x 的两根； 求：（1）21x x -（2）222111x x +（3）3231x x + 解：21,x x 是一元二次方程03522=-+x x 的两根，则23,252121-=-=+x x x x （1）()()2723425422122122121=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-x x x x x x x x（2）()()()9372112212122122122212221=-+=+=+x x x x x x x x x x x x （3）()()()()[]821532122121222121213231-=-++=+-+=+x x x x x xx x x x x x x x 点评：本题考查的是韦达定理的应用，当然本题的另外解法就是，求出方程的两根代入到代数式中求解，这样计算量比较大，不是最佳选择；当然在利用韦达定理解决问题的时候一定要熟练常见代数式之间的转化：设21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两根，ac x x a b x x =-=+2121, ()2122122212x x x x x x -+=+()()21221221214x x x x x x x x -+=-=-21212111x x x x x x +=+ 另外aa b a b x x ∆=∆---∆+-=-2221在高中阶段是一个很重要的量，引起注意！！！例3、已知两个数的和为4，两个数的积是12-，求这两个数； 解：设这两个数分别为n m ,，若⎩⎨⎧-==+124mn n m ，则n m ,是方程01242=--x x 的两根；解得6,221=-=x x点评：此题告诉两个数的和与积，通过建立辅助方程轻松的求得这两个数； 一般地： 设⎩⎨⎧==+bmn an m ，如果规定二次项系数为1，则n m ,是方程02=+-b ax x 的两根；例4、若关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，满足0<ac，则该方程一定有两个不等的实数根，并且两根一正一负数； 证明：ac b 42-=∆00<∴<ac ac，故042>-=∆∴ac b 原方程有两个不相等的实数根21,x x ，021<=acx x ，从而一正根一负根； 思考：如果0>ac，是否说明该一元二次方程一定有同号的实数根呢？？？ 点评：若关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，满足0<ac ，则方程一定有一正根一负根；反之，方程有两个反号的实根则0<ac； 但方程有两个同号的实数根，则满足⎪⎩⎪⎨⎧>≥∆00ac （这里需要强调一点两个相等的非零根固然是同号的）；例5、如果方程022=++m x x 有两个同号的实数根，则实数m 的取值范围是？解：由⎪⎩⎪⎨⎧>≥∆00ac ，得10≤<m ；例6、关于x 的方程02=++q px x 的两根同为负数则（）A 、0>p 且0<qB 、0>p 且0>qC 、0<p 且0<qD 、0<p 且0>q 解：选B点评：设21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两根若⎩⎨⎧<>0021x x ，则0<a c；若⎩⎨⎧>>0021x x ，则⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆0002121x x x x ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-≥-00042a c a b ac b ；若⎩⎨⎧<<0021x x ，则⎪⎩⎪⎨⎧><+≥∆0002121x x x x ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥-00042ac a b ac b三、巩固练习1、方程2230x k -+=的根的情况是； 解：两个相等的实数根2、若关于x 的方程()0122=+++m x m mx 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是； 解：41->m 且0≠m 3、若方程0132=--x x 的两根分别是21,x x ，则1211x x +＝； 解：3-4、方程()0022≠=-+m m x mx 的根的情况是； 解：两个不相等的实数根5、以3-和1为根的一元二次方程是；解：0322=-+x x6|1|0b -=，当k 取何值时，方程02=++b ax kx 有两个不相等的实数根？解：1,4=-=b a方程0142=+-x kx 有两个不相等的实数根；则⎩⎨⎧>-≠04160k k ，4<k 且0≠k ；7、已知方程0132=--x x 的两根为21,x x ，求()()3321--x x 的值． 解：1,32121-==+x x x x()()()19333212121-=++-=--x x x x x x8、下列四个说法：①方程0722=-+x x 的两根之和为2-，两根之积为7-； ②方程0722=-+x x 的两根之和为2-，两根之积为7； ③方程0732=-x 的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程0232=+x x 的两根之和为2-，两根之积为0； 其中正确说法的个数是； 解：2个9、方程0142=-+x kx 的两根之和为2-，则=k ；解：2=k10、方程0422=--x x 的两根为βα,，则=+22βα；解：417 11、试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程()011222=++-x m x m 有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？ 解：当14m >-且0≠m 时方程有两个不等的实数根； 当14m =-时方程有两个相等的实数根；当14m <-时方程没有实数根．12、求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程0172=--x x 各根的相反数．解：设原方程的两根分别为21,x x ，新方程的两根分别为21,y y ；⎩⎨⎧-==⋅-=--=+1721212121x x y y x x y y 故这个一元二次方程可以为0172=-+x x。
新高一数学衔接课专题二 一元二次方程教案
专题二 一元二次方程教学目标:1.会根据判别式判别一元二次方程根的情况。
2.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系。
重点：根与系数关系的推导与应用难点：根与系数关系的推导与应用教学方法：讲授法、讨论法、启发法学法指导：分类讨论思想教具：多媒体教学过程：现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．1．一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)a x b x c a ++=≠，用配方法将其变形为： 2224()24b b ac x a a -+= ． 由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=-对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有[1]当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根： 242b b ac x a-±-= ；[2]当Δ= 0时，方程有两个相等的实数根： 1,22b x a=- ； [3]当Δ < 0时，方程没有实数根．2．一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 1212,b c x x x x a a +=-=说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0。
高一数学初高中衔接教学案：4一元二次方程
江苏省泰兴中学高一数学教学案(4)初高中衔接4：一元二次方程班级 姓名一、基础知识1．根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的情况可以由ac b 42-来判定，我们把ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示.对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，有 ⑴、当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根aac b b x 2422,1-±-=； ⑵、当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根a b x x 221-==； ⑶、当Δ＜0时，方程没有实数根.2．根与系数的关系（韦达定理）：如果)0(02≠=++a c bx ax 的两根分别是21,x x ，那么a b x x -=+21，a c x x =⋅21. 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程02=++q px x ，若21,x x 是其两根，由韦达定理可知p x x -=+21，q x x =⋅21，即2121),(x x q x x p ⋅=+-=，所以，方程02=++q px x 可化为0)(21212=⋅++-x x x x x x ，由于21,x x 是一元二次方程02=++q px x 的两根，所以，21,x x 也是一元二次方程0)(21212=⋅++-x x x x x x 的两根.以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是0)(21212=⋅++-x x x x x x . 二、例题精讲例1：判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），若方程有实数根，写出方程的实数根.（1）、x 2－ax －1＝0； （2）、x 2－ax ＋(a －1)＝0； （3）、x 2－2x ＋a ＝0；（4）、2(1)(1)0a a x x a a ++--=.例2：设21,x x 是方程07322=--x x 的两个根，求下列各式的值：⑴、2221x x + ⑵、)3)(3(21--x x ⑶、2111x x + ⑷、3312x x + ⑸、21x x -例3：（1）若方程组22110x y x y m m-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩有两组不相等的实数解，求m 的取值范围.（2）方程240x x k -+=和方程2230x x k -+=有一个根相同，求此根及k 的值.例4：（选讲）当a 取什么整数时，方程2202(2)x x x a x x x x -+++=--只有一个实根，并求此实根.江苏省泰兴中学高一数学作业(4)班级 姓名 得分1、若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝ 2、方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ．3、方程2x 2－x －4＝0的两根为α、β，则α2＋β2＝ ．4、已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．5、方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．6、已知方程0652=-+kx x 的一个根是2，它的另一个根是 ，k = .7、若方程24x x a -=只有3个不相等的实根，则实数a 的值是8、已知12,x x 是方程2310x x -+=的两个实根，则21211x x += ，3128x x += 9|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？10、试确定m 的值，使280x mx -+=（1）有两个不相等的实根；（2）一个根是另一个根的两倍.11、解方程221140x x x x +++-=12、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实根.（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.（2）求使12212x x x x +-的值为整数的整数k 的值.。
高中数学暑假初高衔接讲义 一元二次方程
练习主题 一元二次方程第一节：一元二次方程根的判别式 一、知识对接：初中阶段我们初步学习了：1、一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac.定理1：方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，△＞0， 方程有两个不相等的实数根. 定理2：方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，△=0， 方程有两个相等的实数根. 定理3：方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，△＜0，方程没有实数根.定理4：方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，方程有两个不相等的实数根， △＞0. 定理5：方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，方程有两个相等的实数根， △=0.定理6：方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，方程没有实数根， △＜0.例1、已知关于x 的方程x 2-4k 2+x+k=0有两个不相等的实数根，化简∣-k-2+4k 4-k 2+∣.对应练习：1、已知关于x 的一元二次方程（a+c ）x 2+2bx+（a-c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长. （1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.巩固练习：1、已知一直角三角形的三边长为a、b、c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x2-1）-2x+b（x2+1）=0的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定2、关于x的方程：k（k+1）（k-2）x2-2（k+1）（k+2）x+k+2=0只有一个实数解（两个相同的也只算一个），则实数k可取不同值的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 53、如果关于x的方程（m-2）x2-2x+1=0有实数根，那么m的取值范围是 .4、设下列三个一元二次方程：x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+1+a2=0，x2+2ax-2a+3=0，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是 .5、已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=∣m∣.（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根.6、若方程∣x2-5x∣=a，有且只有两个不相等的实数根，求a的取值范围.7、若方程∣x 2+ax ∣=4，有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根.8、a 、b 为实数，关于x 的方程∣x 2+ax+b ∣=2有3个不相等的实数根. （1）求证：a 2-4b-8=0；（2）若该方程的3个不等实根恰为一个三角形3个内角的度数，求证：该三角形必有一个内角为60°.第二节：一元二次方程根与系数的关系 初中知识回顾：若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个实数根，则x 1=a 2ac 4-b b -2+，x 2=a2ac4-b -b -21x +=2x a 2ac 4-b b -2++a 2ac 4-b -b -2=a b -， 1x ·=2x a 2ac 4-b b -2+·a 2ac 4-b -b -2=24a 4ac =ac定理：如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根为1x ，2x ，那么：1x +=2x a b -，1x ·=2x ac说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”．上述定理成立的前提是△≥0．例1、已知方程5x 2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.例2、若x 1、x 2是方程x 2+2x-2012=0的两个根，试求下列各式的值. （1）2221x x +； （2）21x 1x 1+； （3）（x 1-5）（x 2-5）； （4）∣x 1-x 2∣例3、设m 是不小于-1的实数，关于x 的方程x 2+2（m-2）x+m 2-3m+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2. （1）若2221x x +=6，求m 的值；（2）求222121x -1mx x -1mx +的最大值.对应练习：1、关于x 的一元二次方程x 2+（a 2-2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ ）A. 2B. 0C. 1D. 2或02、若关于x 的一元二次方程x 2-3x+p=0（p ≠0）的两个不相等的实数根分别为a 和b ，且a 2-ab+b 2=18,则b a +ab的值是（ ）A. 3B. -3C. 5D. -53、若实数a ≠b ，且a 、b 满足a 2-8a+5=0,b 2-8b+5=0，则代数式1-a 1-b +1-b 1-a 的值为（ ） A. -20 B. 2 C. 2或-20 D. 2或204、若方程2x 2-（k+1）x+k+3=0的两根之差为1，则k 的值是 .5、设x 1、x 2是方程x 2+qx+p=0的两实根，x 1+1，x 2+1是关于x 的方程x 2+qx+p=0的两实根，则p=_____，q=_____．第三节：根的判别式及根与系数的关系的应用例1、（1）判断直线y=2x+1与抛物线y=x 2-3x+1的交点的个数；（2）若直线y=2x+b 与抛物线y=x 2有两个不同的交点，求b 的取值范围.例2、已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+41k 2+1=0，根据下列条件，分别求出k 的值． （1）方程两实根的积为5；（2）方程的两实根x 1、x 2满足∣x 1∣=x 2．对应练习：1、关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a 的值是（ ）A. 1B. -1C. 1或-1D. 22、已知m 、n 是关于x 的一元二次方程x 2-2tx+t 2-2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（ ）A. 7B. 11C. 12D. 163、已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于点O ，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程x 2+（2m-1)x+m 2+3=0 的根，则m 等于（ ）A. -3B. 5C. 5或-3D. -5或34、已知a 、b 是一元二次方程x 2-2x-1=0的两个实数根，则代数式（a-b ）（a+b-2）+ab 的值等于_____． 5、已知关于x 的方程x 2-2（k-1）x+k 2=0有两个实数根x 1、x 2. （1）求k 的取值范围；（2）若∣x 1+x 2∣=x 1x 2-1，求k 的值.6、若x 1、x 2是关于x 的方程x 2-（2k+1）x+k 2+1=0的两个实数根，且x 1、x 2都大于1． （1）求实数k 的取值范围； （2）若21x x 21 ，求k 的值．。
初高中数学衔接 一元二次方程(3课时)
一元二次方程一、初中相关知识整理1、方程（组）的有关概念⑴等式：表示相等关系的式子叫等式。
⑵方程：含有未知数的等式叫方程。
⑶方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
⑷整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式这样的方程叫做整式方程。
⑸分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
⑹一元一次方程：ax+b=0（a 、b 都是常数a≠0）。
⑺一元二次方程：ax 2+bx+c=0（a≠0）。
2、方程与方程组的解法一元一次方程：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸系数化为1。
一元二次方程：⑴直接开平方法；⑵配方法；⑶公式法；⑷因式分解法。
分式方程：通过去分母将分式方程转化为整式方程求解。
3、一元二次方程的求根公式已知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），判别式：△=b 2-4ac 。
⑴△＞0⇒方程有两个不相等的实数根x 1、2=aac b b 242-±-；反之也成立。
⑵△=0⇒方程有两个相等的实数根；反之也成立。
⑶△＜0⇒方程没有实数根。
反之也成立。
⑷判别式的应用：①不解方程判断根的情况；②根据方程根的情况，确定方程中字母系 数的取值范围。
⑸当△≥0时，由求根公式可得x 1+x 2=a b-，x 1·x 2=a c。
4、方程或方程组的应用列方程（组）解应用题的一般步骤： ⑴ 审题；⑵ 设未知数；⑶ 找出能够包含未知数 的等量关系（建立方程模型）；⑷ 列出方程（组）；⑸ 求出方程（组）的解；⑹ 检验 （是否有增根、是否有实际意义）；⑺作答。
二、目标要求1、会解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程（方 程中的分式不超过两个）；2、理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；3、能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效 的数学模型；4、能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理；5、会求一元二次方程的根，能由系数,,a b c 来判定和讨论方程根的情况；6、能在不求出根的情况下直接由系数,,a b c 来讨论方程的根。
初升高数学课程内容(衔接班)
【知识要点】一、一元二次不等式：1、解法步骤：（1）分解成一次因式的积，并使每一个因式中一次项的系数为正；（2）根据不等号取解集：大于号取两边，小于号取中间。
一元高次不等式的解法：穿根法（穿针引线）：将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线（奇数个根穿过，偶数个根穿不过），再根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
2、一元二次不等式恒成立情况小结：20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔00a >⎧⎨∆<⎩．20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔0a <⎧⎨∆<⎩．二、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后转化成整式不等式求解集。
1.()0()f x g x >⇔()()0f x g x ⋅>；()0()f xg x <⇔()()0f xg x ⋅<2.()0()f x g x ≥⇔()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩；()0()f x g x ≤⇔()()0()0f xg x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩三、含绝对值的不等式的解法（大于取两边，小于取中间）：|()|f x a <，（0a >）⇔()a f x a -<<|()|f x a >，（0a >）⇔()()f x a f x a<->或【知识讲练】1、解下列不等式：(1)27120x x -+>(2)2230x x --+≥（3）2(1)(3)(2)0x x x --+≥解不等式（4）307x x -≤+（5）2317x x -<+（6）25023xx x -<--（7）|2x －1|≤3（8）223->-x x （9）|1|12+>-x x 2、已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式20cx bx a ++>的解集．3、对于任意实数x ，不等式23208kx kx +-<恒成立，则实数k 的取值范围是【巩固练习】1、不等式02<+-b x ax 的解集为{}12x x <<，则a b +=2、不等式32-+x x x ）（＜0的解集为3、不等式221x x +>+的解集是（）A.{}101|><<-x x x 或 B.{}101-|<<<x x x 或C.{}1001|<<<<-x x x 或 D.{}11-|><x x x 或（－∞，－1）∪（1，+∞）4、已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为（）A、11{|}32x x -<<B、11{|}32x x x <->或C、{|32}x x -<<D、{|32}x x x <->或5、（1）若函数34)(2++=kx kx x f 的定义域是R,则k 的取值范围是（2）已知函数1)(2--=mx mx x f ，对一切实数0)(,<x f x 恒成立，则m 的范围为【知识要点】1、集合定义：某些指定的对象集在一起成为集合。
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初升高数学衔接课程——一元二次方程⑴
一．基础知识巩固
1.一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0)的求根公式:_________________________________
2.一元二次方程的根的判别式.
____________________________________;
____________________________________;
____________________________________;
二．检测提高
1.判断下列方程根的情况,如有实数根,求出实根.
⑴x(x－10)+25=0; ⑵2x2－x－3 =0. ⑶x2－2x+2=0; ⑷x2－2x－2=0
2.已知方程x2－2x－m=0,根据下列条件,求m的范围.
⑴有两相异实根; ⑵无实根;
3.已知关于x的方程x2－(m+1)x+m=0(m是任意实数),求证:方程一定有实数根.
3.6一元二次方程⑴答案
一．基础知识巩固
对一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0),△=b2－4ac.
⑴当△>0时,方程有两个不相等的实数根;
⑵当△=0时,方程有两个相等的实数根;
⑶当△<0时,方程没有实数根.
二．检测提高
1.判断下列方程根的情况,如有实数根,求出实根.
⑴x(x－10)+25=0; ⑵2x2－x－3 =0. ⑶x2－2x+2=0; ⑷x2－2x－2=0
解:⑴方程化为x2－10x+25=0,∵△=102－4×25=0,∴方程有两个相等的实数根.
x2－10x+25=0,可化为(x－5)2=0,∴方程的根x1=x2=5.
⑶∵△=(－2)2－4×2<0,∴方程没有实数根.
⑴有两相异实根; ⑵无实根;
解: △=(－2)2－4×(－m)=4+4m.
⑴当△=4+4m >0,即k>－1时,方程有两相异实根;
⑵当△=4+4m <0,即k<－1时,方程无实根.
3.已知关于x的方程x2－(m+1)x+m=0(m是任意实数),求证:方程一定有实数根.
证明:∵△=(m+1)2－4m=(m－1)2≥0,∴方程一定有实数。