九年级数学 3 月月考 试题
人教版2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题(附答案)
湖北省武汉市黄陂区木兰乡朝阳中学2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）一、选择题（共30分）1．在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母不是中心对称图形的是（）A．A B．B C．C D．D2．有两个事件，事件M：在汽步枪比赛中，某运动员打出10环；事件N：一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个小球（4个黑球，2个白球），从中随机摸出的3个球中有黑球．下列判断正确的是（）A．M，N都是随机事件B．M，N都是必然事件C．M是随机事件，N是必然事件D．M是必然事件，N是随机事件3．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣2x+1＝0B．x2﹣2x＝0C．x2﹣2x+2＝0D．x2+2＝04．在平面直角坐标系中，将抛物线C向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到抛物线y＝2x2，则抛物线C的解析式为（）A．y＝2（x+2）2+2B．y＝2（x+2）2﹣2C．y＝2（x﹣2）2+2D．y＝2（x﹣2）2﹣25．如图，两个同心圆的半径分别为3，5，直线l与大⊙O交于点A，B，若AB＝6，则直线l与小⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定6．从﹣1，﹣2，3三个数中随机取两个数求和作为a，则使抛物线y＝ax2的开口向下的概率是（）A．B．C．D．7．如图，P A，PB分别与⊙O相切于点A，B，，∠APB＝60°，则的长为（）A．B．C．D．8．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+m﹣2，当x＞1时，y随x的增大而增大，则其图象与x 轴的交点坐标不可能是（）A．B．（3，0）C．D．（﹣1，0）9．如图是某圆弧形桥洞，它的跨度AB＝10，点C在圆弧上，CD⊥AB于点D，AD＝6，，则该圆弧所在圆的半径为（）A．B．6C．D．10．已知m，n是方程x2﹣x+1＝0的两个根．记S1＝，S2＝，…，S t＝（t为正整数）．若S1+S2+…S t＝t2﹣56，则t的值为（）A．7B．8C．9D．10二、填空题（共18分）11．在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣1）与点B（b，1）关于原点对称，则a+b的值为．12．一个不透明的袋子里装有红球和白球共m个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计汇总数据如下表：摸球次数3006009001500摸到白球的频数123247365606摸到白球的频率0.4100.4120.4060.404已知袋子里白球有10个，根据表格信息，可估计m的值为．13．某商城今年9月份的营业额为440万元，11月份的营业额达到了633.6万元，则该商城9月份到11月份营业额的月平均增长率是（用百分数表示）．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE（点D与点B对应），连接BD．当点E落在直线AB上时，线段BD的长为．15．若抛物线y＝mx2﹣2mx+1（m＜0）经过点P（﹣2，t），则关于x的不等式m（x﹣1）2﹣2m（x﹣1）+1﹣t＜0的解集是．16．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，定长线段EF的端点E，F分别是边AC，BC上的动点，O是EF的中点，连接OB．设AE＝x，CF2＝y，y与x之间的函数关系的部分图象如图2所示（最高点为（b，4）），当x＝a时，∠OBC最大，则a的值为．三、解答题（共72分）17．已知3，t是方程2x2+2mx﹣3m＝0的两个实数根，求m及t的值．18．如图，将△ABC绕点A顺时旋转得到△ADE，点B的对应点D在BC上，且AD＝CD．若∠E＝26°，求∠CDE的度数．19．在一个不透明的纸盒里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球4个（除颜色外完全相同），其中白球2个，红球、黄球各1个．（1）从纸盒中随机摸出一个球，事件“摸到白球”的概率是；（2）若摸到红球得1分，摸到白球得2分，摸到黄球得3分．甲同学随机从纸盒中一次摸出两个球，请用画树状图法或列表法求甲同学至少得4分的概率．20．如图，在矩形ABCD中，G为AD的中点，△GBC的外接圆⊙O交CD于点F．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若DF＝1，CF＝3，求BC的长．21．如图，在平面直角坐标系网格中，A（1，6），B（5，2），C（8，5），仅用无刻度的直尺按下列步骤完成画图，并回答下列问题：（1）直接写出：AC的长为，△ABC的形状是；（2）△ABC的角平分线AD；（3）过点D作DE⊥AC，垂足为则E；（4）将线段AD绕点P顺时针旋转90°得到线段CH（点A与点C对应），直接写出点P的坐标，并画出线段CH．22．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且广场四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于12m，不大于24m．设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．（1）直接写出：①每一个出口的宽度为m，绿化区较短边长为m（用含x的式子表示）；②y与x的函数关系式是，x的取值范围是；（2）当出口的宽为多少时，活动区所占面积最大？最大面积是多少？（3）预计活动区造价为50元/m2.若该社区用于建造活动区的经费不超过60000元，当x 为整数时，共有几种建造方案？23．问题背景：（1）如图1，D是等边△ABC外的一点，且∠BDC＝60°，过点A作AE⊥BD于点E，作AF⊥CD于点F．求证：DA平分∠BDF；尝试应用：（2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，在其内部作∠ADB＝∠ADC＝135°，E是AB的中点，连接ED，设△ABD的面积为S．求证：S＝AD•DE；拓展创新：（3）如图3，∠POQ＝45°，点B，C分别在OP，OQ上，点A在∠POQ的内部，AE⊥OQ于点E．若△ABC是边长为a的等边三角形，AE＝4，OE＝3+7，则a的值为（直接写出结果）．24．如图，抛物线y＝﹣x2﹣（2t+1）x﹣t2﹣t+2与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）当时，直接写出：点B的坐标为，点C的坐标为；（2）在（1）的条件下，P是x轴下方抛物线上的一点，且∠PBA＝2∠OCB，求点P到y轴的距离；（3）当﹣2＜t＜1时，若△ABC的外心在x轴上，求代数式的值．参考答案一、选择题（共30分）1．解：选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B、C、D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：A．2．解：事件M：在汽步枪比赛中，某运动员打出10环，是随机事件，事件N：一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个小球（4个黑球，2个白球），从中随机摸出的3个球中有黑球，是必然事件．故选：C．3．解：A、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，不合题意；B、∵Δ＝22﹣4×1×0＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，符合题意；C、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，∴方程没有实数根，不合题意；D、∵Δ＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，∴方程没有实数根，不合题意．故选：B．4．解：∵将抛物线C向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到抛物线y ＝2x2，∴抛物线C的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2，故选：D．5．解：如图，连接OA，过O作OC⊥AB于C，∵OA＝5，AC＝AB＝3，∴OC＝＝4，∵小⊙O的半径为3＜4，∴直线l与小⊙O的位置关系是相离，6．解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中使抛物线y＝ax2的开口向下（a＜0）的结果有2种，∴使抛物线y＝ax2的开口向下的概率为＝，故选：C．7．解：如图，连接OA，OP，OB，∵P A、PB分别与相切⊙O于点A、B，∴P A＝PB，OA⊥AB，OB⊥PB，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∵P A＝，∴∠APO＝∠APB＝×60°＝30°，∴OA＝AP•tan30°＝×＝1．故⊙O的半径长为为1，则的长＝＝π．故选：B．8．解：二次函数y＝x2+（m﹣1）x+m﹣2的对称轴为直线x＝﹣，∴抛物线开口向上，∴当x＞﹣时，y随x的增大而增大，又∵当x＞1时，y随x的增大而增大，∴﹣≤1，解得m≥﹣1，令y＝0，则x2+（m﹣1）x+m﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣m+2，∵m≥﹣1，∴x2＝﹣m+2≤3，∵＞3，故选：A．9．解：如图，取圆心O，连接OA，OB，OC，BC，AC，∵∠ADC＝90°，AB＝10，AD＝6，CD＝2，∴BD＝10﹣6＝4，∴tan∠CAD＝＝＝，∴∠CAD＝30°，∴∠BOC＝2∠CAD＝60°，∴△BOC为等边三角形，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，CD2+BD2＝BC2，即（2）2+42＝BC2，解得BC＝2，∴该圆弧所在圆的半径为2．10．解：∵m，n是方程x2﹣x+1＝0的两个根，∴m+n＝，mn＝1，∴S1＝＝＝＝＝1，S2＝＝＝＝＝1，…，∴S t＝＝1，∴S1+S2+…S t＝t2﹣56，1+1+…+1＝t2﹣56，t＝t2﹣56，t2﹣t﹣56＝0，（t﹣8）（t+7）＝0，解得：t＝8或t＝﹣7（舍去）．故选：B．二、填空题（共18分）11．解：∵点A（a，﹣1）与点B（b，1）关于原点对称，∴a＝﹣b，∴a+b＝0．故答案为：0．12．解：根据表格信息，摸到白球的频率将会接近0.4，故摸到白球的概率为0.4，所以可估计袋子中球的个数m＝10÷0.4＝25；故答案为：25．13．解：设该商城9月份到11月份营业额的月平均增长率是x，根据题意得：440（1+x）2＝633.6，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），∴该商城9月份到11月份营业额的月平均增长率是20%．故答案为：20%．14．解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，由旋转得∠AED＝∠C＝90°，DE＝BC＝3，AE＝AC＝4，如图1，点E在边AB上，则∠DEB＝180°﹣∠＝90°，∵BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝1，∴BD＝＝＝；如图2，点E在边BA的延长线上，∵∠DEB＝90°，BE＝AB+AE＝5+4＝9，∴BD＝＝＝3，综上所述，线段BD的长为或3，故答案为：或3．15．解：∵抛物线y＝mx2﹣2mx+1（m＜0）的对称轴为：x＝1，∴y＝m（x﹣1）2﹣2m（x﹣1）+1的对称轴为x＝2，且过点（﹣1，t），∴y＝m（x﹣1）2﹣2m（x﹣1）+1还过点（5，t），∵m＜0，∴m（x﹣1）2﹣2m（x﹣1）+1﹣t＜0的解集为：x＜﹣1或x＞5，故答案为：x＜﹣1或x＞5．16．解：∵CF≤EF，当点E与点C重合时等号成立，且EF为定长，∴CF的最大值即为EF的长，根据图象可知，CF2的最大值为4，即CF的最大值为2，∴EF＝2，∵当x＝1时，CF2＝3，∠ACB＝90°，∴CE＝＝1，∴AC＝AE+CE＝1+1＝2，∴BC＝2AC＝4，如图所示，连接OC，∵O是EF的中点，∠C＝90°，∴OC＝EF＝1，∴点O是在半径为1的⊙C上，如图所示，∴当OB与⊙C相切时，∠OBC最大，此时OC⊥OB，过点O作OG⊥BC于点G，此时OB＝，则sin∠OBC＝，即，∴OG＝，∵OG⊥BC，∴∠OGF＝∠C＝90°，∴OG∥AC，∴，即，∴CE＝，∴AE＝AC﹣CE＝2﹣，即a＝2﹣，故答案为：2﹣．三、解答题（共72分）17．解：∵3，t是方程2x2+2mx﹣3m＝0的两个实数根，∴，∴m＝﹣6，t＝3．18．解：将△ABC绕点A顺时旋转得到△ADE，∴∠E＝∠C，∠ADE＝∠B，AD＝AB，由AD＝AB可得∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵∠E＝26°，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝52°，∴∠ADE＝52°，∴∠CDE＝180°﹣（∠ADE+∠ADB）＝180°﹣（52°+52°）＝76°．19．解：（1）球，事件“摸到白球”的概率是＝，故答案为：；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲同学至少得4分的结果有8种，∴甲同学至少得4分的概率为＝．20．（1）证明：连接GO并延长交BC于E，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，∵G为AD的中点，∴AG＝DG，∴Rt△ABD≌Rt△DCG（HL），∴BG＝CG，∴GE⊥BC，∵AD∥BC，∴OG⊥AD，∵OG是⊙O的半径，∴AD与⊙O相切；（2）解：连接GF，∵∠DFG+∠CFG＝∠CFG+∠CBG＝180°，∵∠DFG＝∠CBG，∵BG＝CG，∴∠GBC＝∠GCB，∵AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB，∴∠DGC＝∠DFG，∵∠D＝∠D，∴△GDF∽△CDG，∴＝，∴＝，∴DG＝2（负值舍去），∴BC＝AD＝2DG＝4．21．解：（1）∵AC＝，AB＝，BC＝，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，故答案为：5，直角三角形；（2）如图，AD为所作；（3）如图，DE为所作；（4）如图，CH为所作．22．解：（1）①由题意得：出口的宽度为：（50﹣2x）m，绿化区较短边长为[30﹣（50﹣2x）]÷2＝（x﹣10）m，故答案为：（50﹣2x），（x﹣10）；②根据题意得，y＝50×30﹣4x（x﹣10），即y与x的函数关系式及x的取值范围为：y＝﹣4x2+40x+1500（13≤x≤19）；故答案为：y＝﹣4x2+40x+1500，13≤x≤19；（2）y＝﹣4x2+40x+1500＝﹣4（x﹣5）2+1600，∵﹣4＜0，13≤x≤19，∴x＝13时，y取最大值，最大值为﹣4×（13﹣5）2+1600＝1344，∴50﹣2x＝50﹣2×13＝24，∴当出口的宽为24m时，活动区所占面积最大，最大面积是1344m2；（3）设费用为w元，由题意得，w＝50（﹣4x2+40x+1500）＝﹣200x2+2000x+75000，当w＝60000时，﹣200x2+2000x+75000＝60000，解得x＝15或x＝﹣5（舍去），由二次函数性质及13≤x≤19可得，x取15，16，17，18，19时，建造活动区的经费不超过60000元，∴一共有5种建造方案．23．（1）证明：如图1，AC与BD的交点记作点G，∴∠AGB＝∠CGD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，在△ABG中，∠ABG+∠AGB＝180°﹣∠BAC＝120°，∴∠ABG+∠CGD＝120°，在△CDG中，∠BDC＝60°，∴∠ACF+∠CGD＝180°﹣∠CDG＝120°，∴∠ABG＝∠ACF，∵AE⊥BD，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AE＝AF，∵AE⊥BD，AF⊥CD，∴DA是∠BDF的平分线；（2）证明：如图2，过点E作ET⊥ED交BD于点T连接CE交BD于点K．∵点E是AB的中点，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CE⊥AB，AE＝EC＝EB，∴∠BEC＝90°，∴∠EBK+∠BKE＝90°，∵∠CKD＝∠BKE，∴∠EBK+∠CKD＝90°，在△CDK中，∠CDK＝360°﹣∠ADC﹣∠ADB＝90°，∴∠DCE+∠CKD＝90°，∴∠DCE＝∠EBK，∵∠DET＝∠CEB＝90°，∴∠DEC＝∠TEB，∴△CED≌△BET（ASA），∴ED＝ET，∴∠EDT＝∠ETD＝45°，∵∠ADB＝135°，∴∠BDE＝360°﹣135°﹣90°﹣45°＝90°，延长DE至H，使EH＝ED，∴∠AEH＝∠BED，∵AE＝BE，∴△AEH≌△BED（SAS），∴S△AEH＝S△BED，∴S＝S△ABD＝S△ADE+S△BDE＝S△ADE+S△AEH＝S△ADH＝AD•DH＝AD•2DE＝AD•DE；（3）解：在CE的延长线上取一点H，连接AH，使∠AEH＝60°，∵AE⊥OQ，∴∠AEC＝∠AEH＝90°，在Rt△AEH中，AE＝4，∴EH＝4，AH＝8，设CE＝x，则CH＝CE+EH＝x+4，在CO上取一点M使CM＝AH＝8，则OM＝OE﹣CM﹣CE＝3+7﹣8﹣x＝3﹣1﹣x，在△ACH中，∠ACH+∠CAH＝180°﹣∠AHC＝120°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠BCM+∠ACH＝120°，∴∠BCM＝∠CAH，∴△BCM≌△CAH（SAS），∴BM＝CH＝x+4，∠BMC＝∠CHA＝60°，∴∠OMB＝120°＝∠AHN，在OE的延长线上取一点N，使EN＝AE＝4，∴HN＝EN﹣EH＝4﹣4＝4（﹣1），∠N＝45°＝∠POQ，∴△BOM∽△ANH，∴，∴，∴x＝2，在Rt△ACE中，CE＝2，根据勾股定理a＝AC＝＝2，故答案为：2．24．解：（1）∵，∴y＝﹣x2﹣2x+，当y＝0时，﹣x2﹣2x+＝0，解得x＝或x＝﹣，∴B（，0），令x＝0，则y＝，∴C（0，），故答案为：（，0），（0，）；（2）作O点关于BC的对称点G，连接CG交x轴于点E，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+，设G（m，n），∴n＝﹣m+，∵BO＝BG，∴＝，解得m＝，∴G（，），设直线CG的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝﹣x+，∴E（，0），∴tan∠OCE＝，∵∠COE＝2∠OCB，∠PBA＝2∠OCB，∴∠PBA＝∠COE，过点P作PH⊥x轴交于点H，设P（x，﹣x2﹣2x+），∴＝，解得x＝（舍）或x＝﹣，∴点P到y轴的距离为；（3）∵△ABC的外心在x轴上，∴∠ACB＝90°，当y＝0时，﹣x2﹣（2t+1）x﹣t2﹣t+2＝0，解得x＝﹣t﹣2或x＝﹣t+1，∵﹣2＜t＜1，∴A（﹣t﹣2，0），B（﹣t+1，0），当x＝0时，y＝﹣t2﹣t+2，∴C（0，﹣t2﹣t+2），∴OC2＝OA•OB，∴（﹣t2﹣t+2）2＝（t+2）•（﹣t+1），∴t2+t﹣1＝0，∴＝﹣1．。
人教版2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题(附答案)
2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）一、选择题（共40分）1．下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．点P（2，﹣5）关于原点的对称点的坐标是（）A．（﹣2，﹣5）B．（2，5）C．（﹣2，5）D．（﹣5，2）3．已知⊙O的半径为3，点M在⊙O上，则OM的长可能是（）A．2B．3C．4D．54．如图所示，在⊙O中＝，∠A＝30°，则∠B＝（）A．150°B．75°C．60°D．15°5．平面上一点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，则⊙O的直径是（）A．6或10B．3或5C．6D．56．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是（）A．90°B．60°C．45°D．30°7．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB 上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（）A．34°B．36°C．38°D．40°8．下列说法：①弧长相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．其中不正确的有（）个．A．1B．2C．3D．49．某数学兴趣小组研究二次函数y＝x2+bx+c的图象时，得出如下四个结论：甲：图象与x轴的一个交点为（1，0）；乙：图象与x轴的一个交点为（3，0）；丙：图象与x轴的交点在原点两侧；丁：图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线；若这四个结论中只有一个是不正确的，则该结论是（）A．甲B．乙C．丙D．丁10．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2B．C．D．二、填空题（共24分）11．已知关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0的一个根是1，则m＝．12．如图，若∠BOD＝140°，则∠BCD＝．13．在半径为10cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为6cm，则弦AB的长是cm．14．如图，⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，⊙O的切线P A交OC延长线于点P，则PC的长为．15．在等边△ABC中，AB＝5，点D是AB上的定点，点P是BC上的动点，DP绕点D逆时针旋转60°恰好落在AC上，已知BD＝2，则此时DP＝．16．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD 边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P，若AB＝6，BC＝3，则下列结论：①F是CD的中点：②⊙O的半径是2；③AE＝CE，其中正确的是．（写序号）三、解答题（共86分）17．解方程：x2﹣2x﹣5＝0．18．小晗家客厅装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况．（1）若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是；（2）若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，且n+2m＝4，求n 的取值范围．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC．求作⊙O，使得点O在边AB 上，且⊙O经过B、D两点；并证明AC与⊙O相切．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，P是BC边上一点，将△ABP绕点A逆时针旋转50°，点P旋转后的对应点为P′．（1）画出旋转后的三角形；（2）连接PP′，若∠BAP＝20°，求∠PP′C的度数；22．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？23．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A作AD平分∠CAB，交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）依据题意，补全图形；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系并证明；（3）若AB＝10，BC＝8，求CE的长．24．如图，△ABC内接于⊙O，弦BD⊥AC，垂足为E，点D、点F关于AC对称，连结AF 并延长交⊙O于点G．（1）连结OB，求证：∠ABD＝∠OBC；（2）求证：点F、点G关于BC对称．25．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．（1）若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6）．①求抛物线的解析式；②若当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围；（2）若点P在第一象限，且P A＝PO，过点P作PD⊥x轴于D，将抛物线y＝x2+bx+c 平移，平移后的抛物线经过点A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形OABC的形状，并说明理由．参考答案一、选择题（共40分）1．解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，故选：C．2．解：因为点P（2，﹣5）关于原点的对称点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，所以对称点的坐标是（﹣2，5），故选：C．3．解：∵点M在⊙O上，⊙O的半径为3，∴OM＝3，故选：B．4．解：∵＝，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A＝30°，∴∠B＝∠C＝×（180°﹣30°）＝75°．故选：B．5．解：当点P在圆内时，因为点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，所以圆的直径为10，当点P在圆外时，因为点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，所以圆的直径为6．故选：A．6．解：当AP与⊙O相切时，∠OAP有最大值，连接OP，如图，则OP⊥AP，∵OB＝AB，∴OA＝2OP，∴∠P AO＝30°．故选：D．7．解：由题意得，∠AOD＝31°，∠BOC＝31°，又∠AOC＝100°，∴∠DOB＝100°﹣31°﹣31°＝38°．故选：C．8．解：①弧长相等的弧是等弧，故该说法不正确；②不在同一直线的三点可以确定一个圆，故该说法不正确；③在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该说法不正确；④经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该说法不正确；⑤三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等，故该说法正确．故选：D．9．解：若甲、乙成立，（1+3）÷2＝1，∴图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线，图象与x轴的交点在原点右侧，故丁结论正确；图象与x轴的交点在原点右侧，故丙结论不正确，符合题意．故选：C．10．解：如图，连接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥P A，∴∠ADO＝90°，∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，∵C为的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK＝＝，∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值为+1，故选：D．二、填空题（共24分）11．解：把x＝1代入方程可得：1﹣3﹣m＝0，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．12．解：由圆周角定理得，∠A＝∠BOD＝70°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°，故答案为：110°．13．解：连接OB．在Rt△ODB中，OD＝6cm，OB＝10cm．由勾股定理得BD＝＝＝8．∴AB＝2BD＝2×8＝16cm．14．解：连接OA，∵AP是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∵∠ABC＝30°，∴∠AOP＝2∠ABC＝60°，∴∠APO＝30°，∵OA＝OC＝1，∴OP＝2OA＝2，∴PC＝OP﹣OC＝1．故答案为：1．15．解：如图，连接PP'，过点D作DE⊥BC，∵DP绕点D逆时针旋转60°，∴DP＝DP'，∠PDP'＝60°，∴△DP'P是等边三角形，∴DP＝PP'，∠DPP'＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵∠BPP'＝∠C+∠PP'C＝∠BPD+∠DPP'，∴∠PP'C＝∠BPD，且DP＝PP'，∠B＝∠C，∴△BDP≌△CPP'（AAS）∴BD＝CP＝2，∴BP＝3，∵∠B＝60°，BD＝2，DE⊥BC，∴BE＝1，DE＝BE＝，∴PE＝2，∴DP＝＝＝，故答案为．16．解：①∵AF是AB翻折而来，∴AF＝AB＝6，∵矩形ABCD，则，∴，∴DF＝CF，∴F是CD中点；故①正确；②如图，连接OP，∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD，∵AD⊥DC，∴OP∥CD，∴△APO∽△ADF，∴，设OP＝OF＝x，则，解得：x＝2，故②正确；③∵Rt△ADF中，AF＝6，DF＝3，∴，∴∠DAF＝30°，∠AFD＝60°，∴∠EAF＝∠EAB＝30°，∴AE＝2EF；∵∠AFE＝∠B＝90°，∴∠EFC＝90°﹣∠AFD＝30°，∴EF＝2EC，∴AE＝4CE，故③错误；故答案为：①②．三、解答题（共86分）17．解：x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝6，（x﹣1）2＝6，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．18．解：（1）∵小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，∴小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：；（2）画树状图得：∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：＝．19．解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣m）＞0，解得m＞﹣1．∵n+2m＝4，∴m＝＞﹣1，解得n＜6，即n的取值范围为n＜6．20．解：如图，⊙O为所作．证明：连接OD，如图，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∴∠ODA＝∠ACB，又∠ACB＝90°，∴∠ODA＝90°，即OD⊥AC，∵点D是半径OD的外端点，∴AC与⊙O相切．21．解：（1）旋转后的三角形ACP'如图所示：（2）由旋转可得，∠P AP'＝∠BAC＝50°，AP＝AP'，△ABP≌△ACP'，∴∠APP'＝∠AP'P＝65°，∠AP'C＝∠APB，∵∠BAC＝50°，AB＝AC，∴∠B＝65°，又∵∠BAP＝20°，∴∠APB＝95°＝∠AP'C，∴∠PP'C＝∠AP'C﹣∠AP'P＝95°﹣65°＝30°．22．解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，将点（1，110）、（3，130）代入一次函数关系式得：，解得：，故函数的关系式为：y＝10x+100（0＜x＜20）；（2）由题意得：（10x+100）×（55﹣x﹣35）＝1760，整理，得x2﹣10x﹣24＝0．解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去）．所以55﹣x＝43．答：这种消毒液每桶实际售价43元．23．解：（1）如图1即为补全的图形．（2）直线DE是⊙O的切线．理由如下：证明：如图2，连接OD，交BC于F．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∴．∴OD⊥BC于F．∵DE∥BC，∴OD⊥DE于D．∴直线DE是⊙O的切线．（3）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵AB＝10，BC＝8，∴AC＝6．∵∠BFO＝∠ACB＝90°，∴OD∥AC．∵O是AB中点，∴OF＝＝3．∵OD＝＝5，∴DF＝2．∵DE∥BC，OD∥AC，∴四边形CFDE是平行四边形．∵∠ODE＝90°，∴平行四边形CFDE是矩形．∴CE＝DF＝2．答：CE的长为2．24．证明：（1）连接OC，∵BD⊥AC，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝90°，∵，∴∠BOC＝2∠BAC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°，∴2∠OBC+2∠BAC＝180°，∴∠OBC+∠BAC＝90°，∴∠OBC＝∠ABE，即∠OBC＝∠ABD，（2）连接BG，AD，GC，AG交BC于点H，∵点D，F关于AC对称，∴EF＝ED，∵BD⊥AC，∴∠AEF＝∠AED＝90°，又∵AE＝AE，∴△AEF≌△AED（SAS），∴∠EAF＝∠EAD，∠AFE＝∠ADE，即∠GAC＝∠DAC，∵，∴∠DAC＝∠DBC，∵，∴∠GAC＝∠GBC，∴∠DBC＝∠GBC，∵∴∠ADB＝∠BGA，∵∠AFD＝∠BFG，∴∠BFG＝∠AGB，∴△BHF≌△BHG（AAS），∴FH＝GH，∠BHF＝∠BHG＝90°，∴点F，点G关于BC对称．25．解：（1）①∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点P的横坐标为1，∴﹣＝1，解得：b＝﹣2．∴y＝x2﹣2x+c，∵抛物线y＝x2﹣2x+c经过点B（3，6），∴6＝32﹣2×3+c，解得：c＝3．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+3；②由y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2知，P（1，2）．∴点（3，6）关于对称轴x＝1的对称点B′的坐标为（﹣1，6），如图1，∵当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，∴﹣1≤m≤1；（2）如图2，由P A＝PO，OA＝c，可得PD＝．∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为P（﹣，），∴＝．∴b2＝2c．∴抛物线y＝x2+bx+b2，A（0，b2），P（﹣b，b2），D（﹣b，0）．可得直线OP的解析式为y＝﹣bx．∵点B是抛物线y＝x2+bx+b2与直线y＝﹣bx的图象的交点，令﹣bx＝x2+bx+b2．解得x1＝﹣b，x2＝﹣．可得点B的坐标为（﹣b，b2）．由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y＝x2+mx+b2．将点D（﹣b，0）的坐标代入y＝x2+mx+b2，得m＝b．则平移后的抛物线解析式为y＝x2+bx+b2．令y＝0，即x2+bx+b2＝0．解得x1＝﹣b，x2＝﹣b．依题意，点C的坐标为（﹣b，0）．则BC＝b2．则BC＝OA．又∵BC∥OA，∴四边形OABC是平行四边形．∵∠AOC＝90°，∴四边形OABC是矩形．。
2023年北京市顺义区仁和中学九年级下学期3月月考数学试卷(解析版)
2022-2023学年第二学期初三数学测试题一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019年9月25日正式通航，预计到2022年机场旅客吞吐量将达到45000000人次，将45000000用科学记数法表示为（ ）A.64510´ B.74.510´ C.84.510´ D.80.4510´【答案】B 【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法，进行表示即可．【详解】将数据45000000用科学记数法可表示为：74.510´．故选B ．【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法：()11100£´<n a a ，是解题的关键．2. 如图是某个几个几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 圆锥B. 圆柱C. 长方体D. 正三棱柱【答案】B 【解析】【分析】由主视图和俯视图确定是柱体，由左视图确定具体形状.【详解】解：从主视图和俯视图可以确定是柱体，然后由左视图可以确定此物体为一个横放着的圆柱.故答案为：B.【点睛】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．3. 正六边形的每个内角度数为（ ）A. 60° B. 120°C. 135°D. 150°【答案】B【解析】【分析】利用多边形的内角和为（n ﹣2）•180°求出正六边形的内角和，再结合其边数即可求解．【详解】解：根据多边形的内角和定理可得：正六边形的每个内角的度数＝（6﹣2）×180°÷6＝120°．故选：B ．【点睛】本题考查了多边形，解决本题的关键是利用多边形的内角和公式即可解决问题．4. 如图，点A 是数轴上一点，点A ，B 表示的数互为相反数，则点B 表示的数可能是（ ）A. 0B. 1C. 1.5D. 2.5【答案】C 【解析】【分析】点A 所表示的数在-2和-1之间，根据相反数的意义，可求出点B 所表示的数在1和2之间，据此即可判断．【详解】解：∵点A 所表示的数在-2和-1之间，∴点B 所表示的数在1和2之间，0、1、1.5、2.5四个数中，只有1.5符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查了互为相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数，在数轴上在原点的两侧，到原点距离相等的两个数互为相反数．5. 如图，直线//AB CD ，AB 平分EAD Ð，1100Ð=°，则2Ð的度数是（ ）A. 60°B.50°C. 40°D. 30°【答案】C 【解析】【分析】根据邻补角求出=80EAD а，由AB 平分EAD Ð可知=40EAB а，根据//AB CD 得到2=40EAB Ð=а．【详解】解：∵1180EAD Ð+Ð=°，1100Ð=°，∴=80EAD а，∵AB 平分EAD Ð，∴1=402EAB EAD ÐÐ=°，∵//AB CD ，∴2=40EAB Ð=а，故选：C ．【点睛】此题考查了邻补角和平行线的性质、角平分线的定义．解题关键是掌握相关定义和性质．6. 如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪开，能拼成下列四个图形，其中是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据拼成的四个图形是否存在中心对称点，即可判断图形是否为中心对称图形．【详解】解：依照中心对称图形的特征：若图形存在中心对称点，沿中心对称点旋转180°后可与原图形重合．选项A 图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意；选项B 图形有中心对称点，故是中心对称图形，符合题意；选项C 图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意；选项D 图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查中心对称图形的性质特征，熟练掌握相关知识是解题的关键．7. 某餐厅规定等位时间达到30分钟（包括30分钟）可享受优惠．现统计了某时段顾客的等位时间t （分钟），如图是根据数据绘制的统计图．下列说法正确的是（ ）A. 此时段有1桌顾客等位时间是40分钟B. 此时段平均等位时间小于20分钟C. 此时段等位时间的中位数可能是27D. 此时段有6桌顾客可享受优惠【答案】D 【解析】【分析】根据直方图，逐一进行判断即可．【详解】解：A 、由直方图可知：有1桌顾客等位时间在35至40分钟，不能说是40分钟，选项错误，不符合题意；B 、平均等位时间为：1101515202025253030353540261295124.235222222++++++æö´+´+´+´+´+´»ç÷èø（分钟），大于20分钟，选项错误，不符合题意；C 、因为样本容量是35，中位数落在2025t £<之间，选项错误，不符合题意；D 、30分钟以上的桌数为516+=，选项正确，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查频数分布直方图，求平均数，中位数．解题的关键是从统计图中有效的获取信息．8. 如图，一架梯子AB 靠墙而立，梯子顶端B 到地面的距离BC 为2m ，梯子中点处有一个标记，在梯子顶端B 竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y 与顶端下滑的距离x 满足的函数关系是（ ）A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C . 二次函数关系 D. 反比例函数关系【答案】B 【解析】【分析】过梯子中点O 作OD ^地面于点D ．由题意易证A OD A B C ¢¢¢V :V ，即得出A O OD AB BC ¢=¢¢¢．由O 为中点，2B C x ¢-，OD y =，即可推出122y x=-，即112y x =-+．即可选择．【详解】如图，过梯子中点O 作OD ^地面于点D ．∴90ODA B CA ¢¢¢Ð=Ð=°，又∵OA D B A C ¢¢¢Ð=Ð，∴A OD A B C ¢¢¢V :V ，∴A O OD A B B C¢=¢¢¢，根据题意O 为中点，2B C x ¢=-，OD y =．∴122y x =-，整理得：112y x =-+．故y 与x 的函数关系为一次函数关系．故选B ．【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质以及一次函数的实际应用．作出辅助线构成相似三角形是解答本题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 _____．【答案】12x ³【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．实数范围内有意义，∴210x -³，解得12x ³，故答案为12x ³．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件．10. 分解因式：2288x x ++=___________．【答案】22()2x +【解析】【分析】直接提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式得出答案．【详解】解：2288x x ++=2（x 2+4x+4）=22()2x +．故答案为：22()2x +．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．11. 方程1﹣12x +＝0的解为 _____．【答案】=1x -【解析】【分析】先把分式方程化为整检验即可得到答案．【详解】解：1102x -=+去分母得210x +-=，解得=1x -，经检验=1x -是原方程的解，∴原方程的解为=1x -．【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键．12. 已知点A (1，2)，B 在反比例函数()0k y x x =>的图象上，若OA=OB ，则点B 的坐标为_________．【答案】（2，1）【解析】【分析】根据点A ，B 关于y =x （y -x =0）的对称，求解即可【详解】解：∵点A (1，2)，B 在反比例函数()0k y x x =>的图象上，OA=OB ，∴点A ，B 关于直线y =x （y -x =0）的对称，设点（1，2）关于直线y =x （y -x =0）的对称点设为（a ，b ）由两点中点在直线y =x 上及过两点的直线垂直直线y =x （斜率之积为-1）可以得到：1222(2)(1)1a bb a ++ì=ïíï--=-î，解得：a =2，b =1，∴点B 的坐标为（2,1）故答案为：（2，1）【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用已知条件得出：点A ，B 关于直线y =x （y -x =0）的对称是解题的关键．13. 某校学生会在同学中招募志愿者作为校庆活动讲解员，并设置了“即兴演讲”“朗诵短文”“电影片段配音”三个测试项目，报名的同学通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一项进行测试．甲、乙两位同学报名参加测试，恰好都抽到“即兴演讲”项目的概率是______．【答案】19【解析】【分析】列表后，再根据概率公式计算概率即可.【详解】解：列表如下：故P（甲、乙都抽到“即兴演讲”项目）=19，故答案为：19【点睛】此题考查了概率的计算，正确列出表格是解答此题的关键.14. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝_____m．【答案】8．【解析】【分析】连结OA，先计算OD的长，由勾股定理解得AD的长，再根据垂径定理可得AB=2AD，据此解题．【详解】连结OA，Q 拱桥半径OC 为5cm ，5OA \=cm ，8CD =Q m ，853OD \=-=cm ，224AD OA OD \=-==m2248AB AD \==´=m，故答案为：8．【点睛】本题考查垂径定理及其推论、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15. 若关于x的方程22x x m ++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_____．【答案】1m <【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式的意义可以得到2240m D =->，然后解关于m的不等式即可．【详解】根据题意得2240m D =->，解得1m <．故答案为1m <．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式.一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的根与24b acD =-有如下关系：当0D >时，方程有两个不相等的实数根；当0D =时，方程有两个相等的实数根；当D<0时，方程无实数根．16. 某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1元，送乙类件每件收入2元．累计工作1小时，只送甲类件，最多可送30件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；…，理形成统计表如表：经整②180【答案】①. 160.【解析】【分析】（1）根据表格数据得出答案即可；（2）根据x+y＝8，x，y均为正整数，把所有收入可能都计算出，即可得出最大收入．【详解】解：(1)由统计表可知:如该快递员一天工作8小时只送甲类件，则他的收入是1×145=145(元)如果该快递员一天工作8小时只送乙类件，则他的收入是2 × 80= 160 (元)∴他一天的最大收入是160元;(2)依题意可知：x和y均正整数，且x+y= 8①当x=1时，则y=7∴该快递员一天的收入是1 ×30+2×70=30+ 140= 170 (元)；②当x=2时，则y=6∴该快递员-天的收入是1×55+2×60=55+120=175(元)；③当x=3时，则y=5∴该快递员一天的收入是1× 80+2×50= 80+ 100= 180 (元)；④当x=4时，则y=4∴该快递员一天的收入是1×100+2×40= 100+80 = 180 (元)；⑤当x=5时，则y=3∴该快递员一天的收入是1×115+2×30=115十60 = 175 (元)；⑥当x=6时，则y=2∴该快递员一天的收入是1 × 125+ 2× 20= 125+40 = 165 (元)；⑦当x=7时，则y=1∴该快递员一天的收入是1×135+2×10=135+20= 155 (元)综上讨论可知：他一天的最大收入为180元.故填： 160；180.【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，在给定的“x +y ＝8，x ，y 均为正整数”的条件下，分情况讨论出最大收入即可.三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：()113π2cos602-æö---+°+ç÷èø．2+【解析】【分析】直接利用绝对值的性质以及非零数的零次幂、特殊角三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简即可得到答案．【详解】解：()113π2cos602-æö--+°+ç÷èø11222-+´+112++2+．【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各式是解答此题的关键．18. 解不等式组3(2)22254x x x x -<-ìïí+<ïî．【答案】52＜x ＜4【解析】【分析】先分别求出各不等式的解析，然后各不等式解集的公共部分即为不等式组的解集．【详解】解：3(2)22254x x x x -<-ìïí+<ïî①②由①得x ＜4由②得x ＞52所以不等式组的解集为：52＜x ＜4【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解集确定不等式组的解集是解答本题的关键．19. 已知210x x +-=，求代数式()()212x x x +--的值【答案】9【解析】【分析】根据完全平方公式展开所求代数式，把已知式子代入求解即可；【详解】解：2(31)(2)x x x +--，229612x x x x =++-+，2881x x =++，210x x +-=Q ，21x x \+=，\原式()2818119x x =++=´+=．【点睛】本题主要考查了代数式求值，结合完全平方公式化简是解题的关键．20. 证明下面是三角形中位线定理添加辅助线的方法，请你完成证明．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．已知：如图，点D 、E 分别是ABC V 的边AB 、AC 的中点．求证：DE BC ∥ 且 12DE BC =．证明：如图，延长DE 到F ，使EF DE =，连接FC 、DC 、AF ．【答案】见解析【解析】【分析】证明AED CEF V V ≌，推出CF AD BD ==，CF AB ∥，得到四边形BDFC 为平行四边形，得到,DF BC DF BC =∥，即可得证．【详解】证明：如图，延长DE 到F ，使EF DE =，连接FC 、DC 、AF ，∵点D 、E 分别是ABC V 的边AB 、AC 的中点，∴,AD BD AE EC ==，又AED CEF Ð=Ð，∴()SAS AEDCEF △≌△，∴,CF AD BD EFC ADE ==Ð=Ð，∴CF AD ∥，∴四边形BDFC 为平行四边形，∴,DF BC DF BC =∥，∵12EF DE DF ==，∴DE BC ∥ 且 12DE BC =．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是证明四边形BDFC 为平行四边形．21. 如图，在▱ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，且AO ＝BO ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）∠ADB 的角平分线DE 交AB 于点E ，当AD ＝3，tan ∠CAB ＝34时，求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）32.【解析】【分析】(1)由平行四边形性质和已知条件得出AC ＝BD ，即可得出结论；(2)过点E 作EG ⊥BD 于点G ，由角平分线的性质得出EG ＝EA ．由三角函数定义得出AB ＝4，sin ∠CAB ＝sin ∠ABD ＝35ADBD=，设AE ＝EG ＝x ，则BE ＝4﹣x ，在Rt △BEG 中，由三角函数定义得出345x x =-，即可得出答案．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC ＝2AO ，BD ＝2BO ．∵AO ＝BO ，∴AC ＝BD ．∴平行四边形ABCD 为矩形．(2)过点E 作EG ⊥BD 于点G ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∴EA ⊥AD ，∵DE 为∠ADB 的角平分线，∴EG ＝EA ．∵AO ＝BO ，∴∠CAB ＝∠ABD ．∵AD ＝3，tan ∠CAB ＝34，∴tan ∠CAB ＝tan ∠ABD ＝34＝AD AB．∴AB ＝4．∴BD 5=，sin ∠CAB ＝sin ∠ABD ＝35AD BD =．设AE ＝EG ＝x ，则BE ＝4﹣x ，在△BEG 中，∠BGE ＝90°，∴sin ∠ABD ＝345x x =-．解得：x ＝32，∴AE ＝32．故答案为：32.【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键．22. 平面直角坐标系xOy 中，一次函数1y kx =-的图象经过点(2,3)．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当2x <时，对于x 的每一个值，函数y x a =+的值都大于一次函数1y kx =-的值，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）21y x =-；（2）1a ³【解析】【分析】（1）直接利用待定系（2）对于21y x =-，当2x =时，求出其y 的值，再由此坐标可求出a 的值．画出函数图象即可求出a 的取值范围．【详解】（1）解：∵一次函数1y kx =-的图象过点(23)，，∴321k =-，解得：2k =．∴这个一次函数的解析式是21y x =-．（2）当2x =时，代入21y x =-，得：3y =，∴当函数y x a =+经过点（2，3）时，1a =．画出两个函数图象如图：由图象可知，当1a ³，在2x <时，函数y x a =+的图象都在一次函数21y x =-的图象上方，即此时y x a =+的值都大于21y x =-的值，故a 的取值范围为1a ³．【点睛】本题考查求一次函数解析式和一次函数与不等式的关系，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，利用数形结合思想确定a 的取值范围．23. 某校在距离冬奥会开幕倒计时300天之际开展了一次冬奥知识答题竞赛，七、八年级各有200名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析，过程如下（数据不完整）．收集数据七年级 66 70 71 78 71 78 75 78 58 a 63 90 80 85 80 89 85 86 80 87 八年级 61 65 74 70 71 74 74 76 63 b 91 85 80 84 87 83 82 80 86 c 整理、描述数据格）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：请根据所给信息，解答下列问题：（1）=a ，m = ，n = ；（2）在此次竞赛中，小冬的成绩在七年级能排在前50%，在八年级只能排在后50%，那么估计小冬的成绩可能是 ；（3）估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为 ．【答案】（1）80，0.45,80 （2）79.5 （3）210【解析】【分析】（1）利用平均数即可求出a ；找出成绩在8089x ££之间的频数即可求出m ，利用中位数即可求出n ；（2）利用中位数的意义列不等式求解即可；（3）求出抽取的20名七年级学生成绩中的优秀率，再乘以200；求出20名八年级学生成绩中的优秀率，再乘以200；最后两者相加即可解答．【小问1详解】解：∵七年级成绩的平均数为6671868087=77.520+++++L ，∴80a =；∵七年级同学成绩在8089x ££之间的频数为9，∴9=0.4520m =；将八年级同学成绩从小到大排序，处在中间的两个数都是80，∴80n =．故答案为：80，0.45,80．【小问2详解】解：∵七年级成绩的中位数是79，八年级成绩的中位数是80，小冬的成绩在七年级能排在前50%，在八年级只能排在后50%，∴小冬成绩在79和80之间∴小冬的成绩可能是79.5．故答案为79.5．【小问3详解】解：∵七年级的成绩为优秀的人数为0.5200=100´人，八年级的成绩为优秀的人数为0.55200=110´人，∴七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为210人．【点睛】本题主要考查中位数、众数、平均数、频数分布表等知识点，理解中位数、众数、平均数的意义以及频数，频率和总数之间的关系是解题的关键．24. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AC上．过点B作直线交AC的延长线于点D，使得∠CBD=∠CAB．过点A作AE⊥BD于点E，交⊙O于点F．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AF=4，2sin3D=，求BE的长．【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）要证明BD是⊙O的切线，需要连接OB，通过角的等量代换，求证90CBD OBC°Ð+Ð=，即可．（2）连接CF交OB于点G，由直径所对的角为直角及平行线的判定及性质得出ACF DÐ=Ð，再根据等角的正弦值相等及勾股定理即可求出CF=，易证四边形BEFG是矩形，最后根据矩形的性质即可得出答案．【详解】（1）证明：如图，连接OB，∵AC是直径，∴ABC°90Ð=，90ABO OBC°\Ð+Ð=，Q，OA OB=\Ð=Ð，CAB ABO90CAB OBC°\Ð+Ð=，Q，CBD CABÐ=ÐCBD OBC°90\Ð+Ð=，\^，OB BD∴BD是☉O的切线．（2）解：如图，连接CF交OB于点G，∵AC 是直径，90AFC °\Ð=，AE BD ^Q ，90AED °\Ð=，AFC AED \Ð=Ð．//FC ED \，ACF D \Ð=Ð，2sin 3D Ð=Q ，2in sin 3s ACF D \Ð=Ð=，在Rt ACF D 中，sin AF ACF ACÐ=，23AF AC \=，4AF =Q ，6AC \=．根据勾股定理，得CF =．//,CF BD OB BD ^Q ，OB CF \^，12FG CF \==，90EFG FEB EBG °Ð=Ð=Ð=Q ，∴四边形BEFG 是矩形，∴BE FG ==．【点睛】本题考查圆的切线证明，三角形的勾股定理应用，锐角三角函数的计算以及矩形的性质等相关知识点，能根据题意进行准确的条件分析是解题关键．25. 某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d 米的地点，水柱距离湖面的高度为h 米，请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；（3）求所画图象对应的函数表达式；（4）从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．【答案】（1）见解析 （2）5（3）()()2135085h d d =--+££ （4）72米【解析】【分析】（1）在表格中建立坐标系，然后描点、连线即可；（2）观察图象即可；（3）由表中点（1.0，4.2），（5.0，4.2），可确定抛物线的对称轴及顶点坐标，则设抛物线解析式为顶点式即可，再找点（1.0，4.2）代入即可求得解析式；（4）在求得的解析式中令h =0，则可求得d 的值，即可确定所需护栏的长度．【小问1详解】坐标系及图象如图所示．【小问2详解】由图象知，水柱最高点距离湖面的高度为5米．【小问3详解】∵抛物线经过点（1.0，4.2），（5.0，4.2），∴抛物线的对称轴为3d =．∴抛物线的顶点坐标为（3.0，5.0）．设抛物线的函数表达式为()235h a d =-+． 把（1.0，4.2）代入，解得15a =-．∴所画图象对应的函数表达式为()()2135085h d d =--+££．【小问4详解】令0h =，解得12d =-（舍），28d =．∴每条水柱在湖面上的落点到立柱的水平距离为8米．∵这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，∴正方形护栏的边长至少为18米．则公园至少需要准备18×4=72（米）的护栏．【点睛】本题是二次函数的实际问题，考查了画二次函数图象，求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系等知识，二次函数的相关知识是解题的关键．26. 已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax ．（1）二次函数图象的对称轴是直线x ＝ ；（2）当0≤x ≤3时，y 的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a ＜0，对于二次函数图象上的两点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），当t ≤x 1≤t +1，x 2≥3时，均满足y 1≥y 2，请结合函数图象，直接写出t 的取值范围．【答案】（1）1；（2）y ＝x 2﹣2x y ＝﹣x 2+2x ；（3）﹣1≤t ≤2【解析】【分析】（1）由对称轴是直线x ＝2b a-，可求解；（2）分a ＞0或a ＜0两种情况讨论，求出y 的最大值和最小值，即可求解；（3）利用函数图象的性质可求解．【详解】解：（1）由题意可得：对称轴是直线x ＝22a a--＝1，故答案为：1；（2）当a ＞0时，∵对称轴为x ＝1，当x ＝1时，y 有最小值为﹣a ，当x ＝3时，y 有最大值为3a ，∴3a ﹣（﹣a ）＝4．∴a ＝1，∴二次函数的表达式为：y ＝x 2﹣2x ；当a ＜0时，同理可得y 有最大值为﹣a ； y 有最小值为3a ，∴﹣a ﹣3a ＝4，∴a ＝﹣1，∴二次函数的表达式为：y ＝﹣x 2+2x ；综上所述，二次函数的表达式为y ＝x 2﹣2x 或y ＝﹣x 2+2x ；（3）∵a ＜0，对称轴为x ＝1，∴x ≤1时，y 随x 的增大而增大，x ＞1时，y 随x 的增大而减小，x ＝﹣1和x ＝3时的函数值相等，∵t ≤x 1≤t +1，x 2≥3时，均满足y 1≥y 2，∴t ≥﹣1，t +1≤3，∴﹣1≤t ≤2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的综合应用，能利用分类思想解决问题是本题的关键．27. 已知等边ABC V ，D 为边BC 中点，M 为边AC 上一点（不与A ，C 重合），连接DM ．（1）如图1，点E 是边AC 的中点，当M 在线段AE 上（不与A ，E 重合）时，将DM 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DF ，连接BF ．①依题意补全图1；②此时EM 与BF 的数量关系为：DBF Ð= °．（2）如图2，若2DM MC =，在边AB 上有一点N ，使得120NDM Ð=°．直接用等式表示线段BN ，ND ，CD 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）①见解析；②EM BF =，120；（2）12CD BN ND =+，证明见解析【解析】【分析】（1）①根据提示画出图形即可；②连接DE ，证明△DME ≌△DFB 即可得到结论；（3）取线段AC 中点E ，连接ED ．由三角形中位线定理得12DE BA =，12CE CA =，12BD CD BC ==．根据ABC V 是等边三角形可证明DE BD CD CE ===，60CED EDC B Ð=Ð=Ð=°，再证明EDM BDN @△△得BN EM =，2ND MD MC ==，进一步可得结论．【详解】解：（1）①补全图形如图1．②线段EM 与BF 的数量关系为EM BF =；120DBF Ð=°．连接DE ，∵D 为BC 的中点，E 为AC 的中点，∴DE 为△ABC 的中䏠线，∴DE =12AB ，DE //AB∵ABC V 是等边三角形，∴AB BC AC ==，60Ð=Ð=Ð=°A B C ．∵D 为BC 的中点，∴12BD BC DE ==∵//DE AB∴60CDE ABC Ð=Ð=°，60CED A Ð=Ð=°∴120BDE BDM EDM Ð=°=Ð+Ð∵120BDM BDF Ð+Ð=° ，,DM DF =\ BDF EDM Ð=Ð∴△DME ≌△DFB∴EM BF =；DBF DEM Ð=Ð．∵60CED Ð=°∴120DEM Ð=°∴120DBF Ð=°．故答案为：EM BF =；120DBF Ð=°．（2）证明：取线段AC 中点E ，连接ED ．如图2 ．∵点D 是边BC 的中点，点E 是边AC 的中点，∴12DE BA =，12CE CA =，12BD CD BC ==．∵ABC V 是等边三角形，∴AB BC AC ==，60B C Ð=Ð=°．∴DE BD CD CE ===，60CED EDC B Ð=Ð=Ð=°．∴120Ð=°BDE ，∵120NDM Ð=°，∴EDM BDN Ð=Ð．∴EDM BDN @△△．∴BN EM =，2ND MD MC ==，∵EC EM MC =+，∴12CD BN ND =+．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及三角形中位线定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．28. 对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d （M ，N ），特殊地，当图形M 与图形N 有公共点时，规定d （M ，N ）＝0已知点()(2,00)2(30)0()2A B C D m -,，,,,,．（1）①求d （点O ，线段AB ）；②若d （线段CD ，直线AB ）＝1，直接写出m 的值；（2）⊙O 的半径为r ，若d （⊙O ，线段AB ）≤1，直接写出r 的取值范围；（3）若直线y b =+上存在点E ，使d （E ，ABC V ）＝1，直接写出b 的取值范围．【答案】（1）①②2m =-；（2）11r -££；（3）22b --££【解析】【分析】（1）①根据题意作图，由三角形的面积公式及“闭距离”的定义即可求解；②根据题意作图，根据含30°的直角三角形的性质即可求出D 点坐标，故可求解；（2）根据题意作图，由d （⊙O ，线段AB ）≤1，分情况讨论即可求解；（3）根据题意作图，找到d （⊙O ，线段AB ）=1的点，再根据解直角三角形、一次函数的解析式求解方法求出b 的值，故可求解．【详解】（1）①如图，作OH ⊥AB ，∵()020(A B -，,，∴AO =2，BO =，AB 4=根据三角形的面积公式可得1122AO BO AB OH ×=×∴OH=∴d （点O ，线段AB ）②∵AO=2，BO=23，AB4=∴AB=2AO，∴∠ABO=30°如图，作HD⊥AB，∵d（线段CD，直线AB）＝1，∴DH=1∴BD=2HD=2∴DO=BO-BD=-2∴D（-，0）2∴m=-；2（2）如图，OH⊥AB，交⊙O于M点，BI=1当d（⊙O，线段AB）≤1当HM≤1时，由（1）可得OH=3∴r³-当BI≤1时，此时IO=BI+OB=∴1故若d（⊙O，线段AB）≤1时， r的取值范围r11（3）∵ d （E ，ABC V ）＝1，如图，作CM ⊥直线3y x b =+于M 点，此时CM =1设直线y b =+与x 轴交于K 点，则∠CKM =60°∴CK =CM ÷cos60°=3∴K （2+3，0），代入y b =+得20b æ=+ççèø解得b =2-如图，作BG ⊥直线y b =+于G 点，此时BG =1设直线y b =+与y 轴交于N 点，则∠GNB =90°-60°=30°∴BN =2BG =2∴N （0，2+），代入y b =+得20b +=+解得b =2∵存在点E，使d（E，ABCV）＝1，∴b的取值范围是--££+．b2322【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是根据题意作图，由“闭距离”的定义及解直角三角形、圆的性质特点进行求解．。
甘肃省酒泉市肃州区酒泉市第二中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题(含答案解析)
甘肃省酒泉市肃州区酒泉市第二中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图案中，不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．据报道，2022年11月29日23时08分，神舟十五号载人飞船在甘肃酒泉发射升空，与天和核心舱在距离地面393000米的太空轨道进行交会对接，用科学记数法表示我国空间站运行的轨道高度393000米为（）A ．439.310⨯B ．53.9310⨯C ．3.93100000⨯D ．60.39310⨯3．下面四组线段中，四条线段不．成比例的是（）A ．a ＝3，b ＝6，c ＝2，d ＝4B ．a ＝1，bc，d C ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10D ．a ＝2，b c d ＝4．下列二次根式是最简二次根式的是（）AB C D 5．如图，矩形ABCD 的顶点A 、C 分别在直线a 、b 上，且a ∥b ，∠1=60°，则∠2的度数为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°6．若反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(2,3)-，则它的图象也一定经过的点是（）A ．(2,3)--B ．(3,2)--C ．(1,6)-D ．(6,1)7．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A ．1k <-B ．1k >C ．1k <且0k ≠D ．1k >-且0k ≠8．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，70B ∠=︒，则D ∠的度数是()A ．110°B ．90°C ．70°D ．50°9．不等式组10521x x ->⎧⎨-≥⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．10．（2013年四川广安3分）已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，对称轴是直线x =1．下列结论：①abc ＞0，②2a +b =0，③b 2﹣4ac ＜0，④4a +2b +c ＞0其中正确的是（）A ．①③B ．只有②C ．②④D ．③④二、填空题11．若23a b =，则a bb -=_____．12．一元二次方程21202x x -=的根是________13．因式分解2a b b -的正确结果是________14．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为_____．15．如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__________．16．从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是_______17．在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为______________m ．18．如图，双曲线m y x =与ny x=在第一象限内的图象依次是m 和,n 设点P 在图象m 上，PC 垂直于x 轴于点C ，交图象n 于点A ，PD 垂直于y 轴于D 点，交图象n 于点B ，则四边形PAOB 的面积为_______三、解答题19．计算：2|+（﹣1）﹣120．解方程：()()221221x x +=+21．先化简，再求值22(1)b aa b a b÷---，其中2a =，1b =-22．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°．(1)用尺规作图作AB 边上的垂直平分线DE ，交AC 于点D ，交AB 于点E ．(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)(2)连接BD ，求证：DE ＝CD ．23．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案．（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？（2）现将方格内空白的小正方形（A ，B ，C ，D ，E ，F ）中任取2个涂黑，得到新图案．请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率．24．某校为了解学生的安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次调查一共抽取了名学生，其中安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是；（2）请将条形统计图补充完整；（3）该校有1800名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，估计全校需要强化安全教育的学生约有名．25．如图，在平面直角坐标系xoy 中，函数()4y=x 0x>的图象与一次函数y=kx －k 的图象的交点为A （m ，2）.（1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数y=kx －k 的图象与y 轴交于点B ，若P 是x 轴上一点，且满足△PAB 的面积是4，直接写出点P 的坐标．26．美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A 、B 两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D 进行了测量，如图，测得45DAC ∠=︒，60DBC ∠=︒，若132AB =米，求观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为多少米？（结果可带根号）27．如图，矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F ．（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A （0，4），B （1，0），C （5，0），其对称轴与x 轴交于点M ．（1）求此抛物线的解析式和对称轴；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．A【详解】试题分析：根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合．因此，A 、不是轴对称图形，故本选项正确；B 、是轴对称图形，故本选项错误；C 、是轴对称图形，故本选项错误；D 、是轴对称图形，故本选项错误．故选A ．考点：轴对称图形．2．B【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值是易错点，由于393000有6位，所以可以确定615n =-=．【详解】解：5393000 3.9310=⨯．故选：B ．【点睛】此题考查科学记数法表示绝对值较大的数的方法，准确确定a 与n 值是关键．3．C【分析】若a ，b ，c ，d 成比例，即有::a b c d =．只要代入验证即可．【详解】A.3:62:4=，则::a b c d =，故a ，b ，c ，d 成比例，不符合题意；B.=::a b c d =，故a ，b ，c ，d 成比例，不符合题意；C.四条线段中，任意两条的比都不相等，因而不成比例，符合题意；2=::a b c d =，故a ，b ，c ，d 成比例，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了成比例的定义，并且注意叙述线段成比例时，各个线段的顺序．4．C【详解】试题解析：A B ；D 因此这三个选项都不是最简二次根式，故选C ．点睛：根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．5．C【详解】试题分析：过点D 作DE ∥a ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a ∥b ，∴DE ∥a ∥b ，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C ．考点：1矩形；2平行线的性质.6．C【分析】先利用反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(2,3)-，求出k 的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．【详解】解：∵反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(2,3)-，∴k ＝2×（﹣3）＝﹣6，∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6，（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，1×（﹣6）＝﹣6，,6×1＝6≠﹣6，则它一定还经过（1，﹣6），故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数(0)ky k x=≠的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy ＝k ．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．7．D【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到∆>0，即4+4k>0，且0k ≠，计算可得答案．【详解】解：∵一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，∴∆>0，即4+4k >0，且0k ≠，解得1k >-且0k ≠，故选：D ．【点睛】此题考查了已知一元二次方程根的情况求参数，正确掌握一元二次方程根的三种情况是解题的关键．8．A【分析】先根据圆内接四边形的对角互补得出180D B ∠+∠=︒，即可解答．【详解】解： 四边形ABCD 是O 的内接四边形，180D B ∴∠+∠=︒，18070110D ∴∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．9．C【分析】根据解不等式组的方法，可得不等式组的解集，根据不等式组的解集在数轴上的表示方法，可得答案．【详解】解：10521x x ->⎧⎨-≥⎩①②，解①得，1x >，解②得，2x ≤，∴不等式组的解集为12x <≤，把解集表示在数轴上，故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法以及在数轴上表示不等式的解集，是基础知识比较简单．10．C【详解】∵抛物线的开口向上，∴a ＞0．∵b2a-＞0，∴b ＜0．∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0．∴abc ＜0，①错误．∵对称轴为直线x =1，∴b2a-=1，即2a +b =0，②正确．∵抛物线与x 轴有2个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，③错误．；∵对称轴为直线x =1，∴x =2与x =0时的函数值相等，而x =0时对应的函数值为正数．∴4a +2b +c ＞0，④正确．综上所述，其中正确的有②④．故选C ．11．13-【分析】根据23a b =，得到23a b =，代入式子计算即可．【详解】∵23a b =，∴23a b =，∴2133b ba b b b --==-，故答案为：13-．【点睛】此题考查代数式的求值，掌握等式的性质变形得到23a b =是解题的关键．12．10x =，24x =【分析】利用因式分解法求解．【详解】解：21202x x -=，∴()1402x x -=，∴0x =或40x -=，解得：10x =，24x =．故答案为：10x =，24x =．【点睛】本题考查的是解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法．13．()()11b a a +-【分析】先提公因式b ，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：2a b b -()21b a =-()()11b a a =+-故答案为；()()11b a a +-．【点睛】此题主要考查了分解因式，关键是掌握提公因式法和公式法的运用．14．13【分析】如图，作AD BC ⊥，垂足为D ，由图可知tan ADACB CD∠=，计算求解即可．【详解】解：如图，作AD BC ⊥，垂足为D由图可知21tan 63AD ACB CD ∠===故答案为：13．【点睛】本题考查了正切．解题的关键在构造直角三角形求正切值．15．12【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积解答．【详解】∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积=12×6×8=24，∵O 是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积=12×24=12．故答案是：12．【点睛】本题考查了中心对称，菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．16．12##0.5【分析】由从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，可能的结果为：2，4，6；2，4，7；2，6，7；4，6，7共4种，能构成三角形的是2，6，7；4，6，7；直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解： 从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，可能的结果为：2，4，6；2，4，7；2，6，7；4，6，7共4种，能构成三角形的是2，6，7；4，6，7；∴能构成三角形的概率是：2142=．故答案为：12．【点睛】此题考查了列举法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．15【详解】解：根据同时同地物高与影长成正比．设旗杆高度为x 米，由题意得，1.8325x=，解得x=15．故答案为15．18．m n -##n m-+【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义得到PCOD m S =矩形，12AOC BOD S n S ==△△，然后利用四边形PAOB 的面积AOC BOD PCOD S S S =--△△矩形进行计算．【详解】解：PC x ⊥ 轴，PD y ⊥轴，PCOD S m ∴=矩形，12AOC BOD S n S ==△△，∴四边形PAOB 的面积1122AOC BOD PCOD n S S S m n n m =--=--=-△△矩形．故答案为：m n -．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数ky x=图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值||k ．19．3.【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【详解】2|+（﹣1）﹣1＝221﹣（﹣2）=21＝3.【点睛】本题考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20．x 1=-12,x 2=12.【分析】利用因式分解方法解此方程，具体先移项，再提组间公因式，转化成两个一元一次方程即可解答.【详解】解：()()221221x x +=+()()22121-2=0x x ++,()2122)=0-1x x ++（,2x+1=0或2x-1=0,解得：x 1=-12,x 2=12【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题关键是能把一元二次方程转化成两个一元一次方程，题目比较好，难度适中．21．1a b+，1【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 、b 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：原式()()baa b a b a b a b a b -⎛⎫=÷-+---⎝⎭()()ba b a b a b b-=⨯+-1a b=+当2a =，1b =-时，原式1121==-【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．22．（1）作图见解析；（2）证明见解析.【详解】【分析】（1）分别以A 、B 为圆心，以大于12AB 的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交AC 于点D ，AB 于点E ，直线DE 就是所要作的AB 边上的中垂线；（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD ，再根据等边对等角的性质求出∠DBA=∠A=30°，然后求出∠DBC=30°，从而得到BD 平分∠ABC ，再根据角平分线的性质即可得．【详解】（1）如图，DE 为所作；（2）如图，∵DE 垂直平分AB ，∴DA=DB ，∴∠DBA=∠A=30°，∵∠ABC=90°﹣∠A=60°，∴∠CBD=30°，即BD 平分∠ABC ，而DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE=DC．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、角平分线的性质，熟练掌握作图方法以及相关性质是解题的关键.23．（1）13（2）13【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到新图案是轴对称图形的结果数，利用概率公式计算可得．【详解】解:（1）∵正方形网格被等分成9等份，其中阴影部分面积占其中的3份，∴米粒落在阴影部分的概率是31. 93=（2）列表如下：A B C D E FA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）（F，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）（F，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）（F，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）（F，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）（F，E）F（A，F）（B，F）（C，F）（D，F）（E，F）由表可知，共有30种等可能结果，其中是轴对称图形的有10种，故新图案是轴对称图形的概率为101. 303=【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．（1）120，30%；（2）作图见解析；（3）450．【分析】(1)用安全意识分“一般”的人数除以安全意识分“一般”的人数所占的百分比即可得这次调查一共抽取的学生人数；用安全意识分“很强”的人数除以这次调查一共抽取的学生人数即可得安全意识“很强”的学生占被调查学生总数的百分比；（2）用这次调查一共抽取的学生人数乘以安全意识分“较强”的人数所占的百分比即可得安全意识分“较强”的人数，在条形统计图上画出即可；（3）用总人数乘以安全意识为“淡薄”、“一般”的学生一共所占的百分比即可得全校需要强化安全教育的学生的人数.【详解】解：(1)18÷15%=120人；36÷120=30%；(2)120×45%=54人，补全统计图如下：(3)1800×1218120+=450人.考点：条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体.25．（1）y=2x －2；（2）（3，0），（－1，0）．【分析】（1）将A 点坐标代入()4y=x 0x>求出m 的值为2，再将（2，2）代入y=kx －k ，求出k 的值，即可得到一次函数的解析式：（2）将三角形以x 轴为分界线，分为两个三角形计算，再把它们相加．【详解】解：（1）将A （m ，2）代入()4y=x 0x>得，m=2，则A 点坐标为A （2，2）．将A （2，2）代入y=kx －k 得，2k －k=2，解得k=2．∴一次函数解析式为y=2x －2；（2）∵一次函数y=2x －2与x 轴的交点为C （1，0），与y 轴的交点为B （0，－2），∴112CP 2CP 422⋅⋅+⋅⋅=，解得CP=2．∴P 点坐标为（3，0），（－1，0）．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系．26．()198+米【分析】过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ，设BE x =，根据AE DE =，列出方程即可解决问题．【详解】解：过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ，设BE x =，在Rt DEB △中，tan DEDBE BE∠=，60DBC ∠=︒ ，tan 60DE x ∴=︒=．又45DAC ∠=︒ ，AE DE ∴=．132x ∴+=，∴解得66x =+，198DE ∴==（米）．∴观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为()198米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．27．（1）证明见解析；（2）3．【分析】（1）根据矩形ABCD 的性质，判定△BOE ≌△DOF （ASA ），进而得出结论；（2）在Rt △ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE ，由勾股定理求出BD ，得出OB ，再由勾股定理求出EO ，即可得出EF 的长.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB ∥DC ，OB=OD ，∴∠OBE=∠ODF ，在△BOE 和△DOF 中，OBE ODF OB ODBOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BOE ≌△DOF （ASA ），∴EO=FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ，设BE=x ，则DE=x ，AE=6-x ，在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2，∴x 2=42+（6-x ）2，解得：x=133，∵∴OB=12∵BD ⊥EF ，∴3，∴EF=2EO=3．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键28．（1）y=()2416355x --，抛物线的对称轴是x=3；（2）存在；P 点坐标为（3，85）．（3）在直线AC 下方的抛物线上存在点N ，使△NAC 面积最大．N （52，-3）【详解】(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)(x －5)．把点A (0，4)代入上式，解得a ＝45．∴y ＝45(x －1)(x －5)＝45x 2－245x ＋4＝45(x －3)2－165．∴抛物线的对称轴是直线x ＝3．(2)存在，P 点的坐标是(3，85)．如图1，连接AC 交对称轴于点P ，连接BP ，AB ．∵点B 与点C 关于对称轴对称，∴PB ＝PC ．∴AB ＋AP ＋PB ＝AB ＋AP ＋PC ＝AB ＋AC ．∴此时△PAB 的周长最小．设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ．把A (0，4)，C (5，0)代入y ＝kx ＋b ，得4,{50.b k b =+=解得4,{54.k b =-=∴y ＝－45x ＋4．∵点P 的横坐标为3，∴y ＝－45×3＋4＝85．∴P (3，85)．(3)在直线AC 下方的抛物线上存在点N ，使△NAC 的面积最大．如图2，设N 点的横坐标为tt ，此时点N (t ，45t 2－245t ＋4)(0＜t ＜5)．过点N 作y 轴的平行线，分别交x 轴，AC 于点F ，G ，过点A 作AD ⊥NG ，垂足为D ．由(2)可知直线AC的解析式为y＝－45x＋4．把x＝t代入y＝－45x＋4，得y＝－45t＋4．∴G(t，－45t＋4)．∴NG＝－45t＋4－(45t2－245t＋4)＝－45t2＋4t．∵AD＋CF＝OC＝5，∴S△NAC＝S△ANG＋S△CGN＝12NG·AD＋12NG·CF＝12NG·OC＝12×(－45t2＋4t)×5＝－2t2＋10t＝－2(t－52)2＋252．∵当t＝52时，△NAC面积的最大值为252．由t＝52，得y＝45×(52)2－245×52＋4＝－3．∴N(52，－3)．。
北京市第一七一中学2022-2023学年九年级下学期三月月考数学试卷(含答案解析)
北京市第一七一中学2022-2023学年九年级下学期三月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．中国首次火星探测任务天问一号探测器在2021年2月10日成功被火星捕获，成为中国第一颗人造火星卫星，并在距离火星约11000米处，拍摄了火星全景图像．将11000用科学记数法表示应为（）A ．31110⨯B ．51.110⨯C ．41.110⨯D ．50.1110⨯2．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A ．长方体B ．三棱柱C ．三棱锥D ．圆锥3．如图，//,100,50,AB CD A BCD ACB ∠=︒∠=︒∠的度数为（）A ．25︒B ．30︒C ．45︒D ．50︒4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．角B ．等腰三角形C ．平行四边形D ．正六边形5．实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b 满足0a b +>，则b 的值可以是（）A ．1-B ．0C ．1D ．26．如图，AB 是O 的直径，CD 是弦（点C 不与点A ，点B 重合，且点C 与点D 位于直径AB 两侧），若110AOD ∠=︒，则BCD ∠等于（）A ．25︒B ．35︒C ．55︒D ．70︒7．一个不透明的口袋中有四张卡片，上面分别写有数字1,2,3,4，除数字外四张卡片无其他区别．随机从这个口袋中同时取出两张卡片，卡片上的数字之和等于5的概率是（）A ．13B ．25C ．12D ．348．学习完函数的有关知识之后，强强对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出函数12y x =+的图象并对该函数的性质进行了探究．下面推断正确的是（）①该函数的定义域为2x ≠-；②该函数与x 轴没有交点；③该函数与y 轴交于点1(0,)2；④若1122(,),(,)x y x y 是该函数上两点，当12x x <时，一定有12y y >.A ．①②③④B ．①③C ．①②③D ．②③④二、填空题9x的取值范围是____________．10．分解因式：ax2﹣4ay2=__．11．写出一个比____．12．计算：211111x x x x ⎛⎫-⋅= ⎪--+⎝⎭_________．13．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面 1.5m AB =，同时量得m 2BC =，12m CD =，则旗杆高度DE =__________m ．14．在平面直角坐标系xOy 中，直线(0)y kx k =>与双曲线4y x=交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，则12x y ⋅的值为______．15．如图，小石同学在A ，B 两点分别测得某建筑物上条幅两端C ，D 两点的仰角均为60°，若点O ，A ，B 在同一直线上，A ，B 两点间距离为3米，则条幅的高CD 为______米．16．某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1元，送乙类件每件收入2元．累计工作1小时，只送甲类件，最多可送30件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；…，经整理形成统计表如表：累计工作时长最多件数（时）种类（件）12345678甲类件305580100115125135145乙类件1020304050607080（1）如果快递员一天工作8小时，且只送某一类件，那么他一天的最大收入为_____元；（2）如果快递员一天累计送x 小时甲类件，y 小时乙类件，且x +y ＝8，x ，y 均为正整数，那么他一天的最大收入为_____元．三、解答题17．计算：1012cos 45||(2021)4π-⎛⎫+︒-+- ⎪⎝⎭．18．解不等式组：1122(1)x xx x⎧-<⎪⎨⎪+>⎩．19．解方程：12122x x x +=++．20．关于x 的一元二次方程2(3)30x k x k ++=+．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根大于1，求k 的取值范围．21．下面是小景设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l 和l 外一点A ，求作：直线AE ，使得AE l ⊥于点E ．作法：①在直线l 上取一点B ，连接AB （如图2）；②作线段AB 的垂直平分线CD ，交AB 于点O ；③以O 为圆心，OB 长为半径作圆，交直线l 于点E ；④作直线AE ．所以直线AE 即为所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：CD 为线段AB 的垂直平分线，=OA ∴_______2AB OB ∴=．AB ∴是O 的直径，90AEB ∴∠=︒（_________）（填推理的依据）．AE l ∴⊥．22．在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，过点C 作CE ∥BD 交AD 的延长线于点E ．(1)求证：∠ACD ＝∠ECD ；(2)连接OE ，若AB ＝2，tan ∠ACD ＝2，求OE 的长．23．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：1y k x b =+过()0,3A -，()5,2B ，直线2l ：22y k x =+．(1)求直线1l 的表达式；(2)过动点()0,P t 且垂直于y 轴的直线与1l ，2l 的交点分别是C ，D ．当1t ≤时，点C 位于点D 右方，直接写出2k 的取值范围．24．如图，AB 为O ，C 为AB 的中点，D 为OC 延长上一点，DA 与O 相切，切点为A ，连接BO 并延长，交O 点E ，直线DA 于点F ．（1）求证：B D ∠=∠；（2）若13AF B ==，求O 的半径．25．新年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过1.6亿，总票房超过80亿元．以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息．a ．两部影片上映第一周单日票房统计图b ．两部影片分时段累计票房如下上映影片2月12日—18日累计票房（亿元）2月19日—21日累计票房（亿元）甲31.56乙37.222.95根据以上信息，回答下列问题：(1)2月12日—18日的一周时间内，影片甲单日票房的中位数为；(2)对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是；①甲的单日票房逐日增加；②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大．(3)截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日—21日三天内影片甲的累计票房应超过亿元．26．已知二次函数()2430y ax ax a =-+≠．(1)求此二次函数图象的对称轴；(2)设此二次函数的图象与x 轴交于不重合两点()1,0M x ()2,0N x （其中12x x <），且满足2132x x >-；①直接写出12x x +的值；②求a 的取值范围．27．如图，等边ABC 中，点D 在边BC 上，且BD CD <，点E 在边AB 上，且AE BD =，连接AD ，CE 交于点F ；(1)求DFC ∠的度数；(2)在线段FC 上截取FG FA =，连接BG 交AD 于点H ，根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段BH 与GH 之间的数量关系，并证明；(3)若等边ABC 是的边长是2，直接写出线段BH 的最小值．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于图形P ，图形P '和直线l 给出如下定义：图形P 关于直线l 的对称图形为P '．若图形P 与图形P '均存在点在图形Q 内部（包括边界），则称图形Q 为图形P 关于直线l 的“弱相关图形”．(1)如图，点()1,0A ，点()3,0B ．①已知图形1Q 是半径为2的O ，2Q 是半径为1的A ，3Q 是半径为B ，在1Q ，2Q ，3Q 中，线段AB 关于直线y x =的“弱相关图形”是：；②已知⊙O 的半径为5，若O 是线段OA 关于直线y x b =+的“弱相关图形”，求b 的取值范围；(2)在由第四象限、原点、x 轴正半轴以及y 轴负半轴组成的区域内，有一个半径为2的圆P ．若存在点()2,2C a a -+，使得对于任意过点C 的直线l ，有圆P ，满足半径r 的O 是圆P 关于l 的“弱相关图形”，直接写出r 的取值范围．参考答案：1．C【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：11000=1.1×104．故选择：C ．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2．B【分析】根据俯视图判定几何体可能是三棱柱或三棱锥，根据主视图判定为三棱柱．【详解】根据俯视图判定几何体可能是三棱柱或三棱锥，根据主视图判定为三棱柱．故选B ．【点睛】本题考查了根据三视图确定几何体，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．3．B【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，求得∠ACD =80°，根据∠BCD =50°，确定∠ACB 的度数即可【详解】∵//,100∠=︒AB CD A ，∴180A ACD ∠+∠=︒，∴80ACD ∠=︒，∵∠BCD =50°，∴∠ACB =8050∠-∠=︒-︒ACD BCD =30°，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，灵活运用性质是解题的关键．4．D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【详解】解：A 、角是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 错误；B 、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B 错误；C 、平行四边形是不轴对称图形，是中心对称图形，故C 错误；D 、正六边形是轴对称图形，是中心对称图形，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．5．D【分析】根据0a b +>确定出0b >且b a >，进而确定出b 的范围，判断即可．【详解】解：∵0a b +>，21a -<<-，∴0b >，而且1b a >>，∴1b a >->，符合条件是D ，b =2．故选：D ．【点睛】本题考查了有理数加法的运算法则和数轴上的点和有理数的对应关系．解决本题的关键是根据加法的符号规律确定b 的取值范围．6．B【分析】由平角定义解得BOD ∠的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一半解题．【详解】解：110AOD ∠=︒ 18011070BOD ∴∠=︒-︒=︒11703522BCD BOD ∴∠=∠=⨯︒=︒故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理，涉及同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一半，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．7．A【分析】画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出卡片上的数字之和等于5的情况数，然后根据概率公式求解即可．【详解】解：根据题意画图如下：所有等可能的情况有12种，其中卡片上的数字之和等于5的有4种，则卡片上的数字之和等于5的概率P 为：41123=．故选择：A ．【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8．C【分析】根据函数解析式的特点及函数图象即可判断．【详解】12y x =+中分母不为零，故2x ≠-，①正确；由图象可知该函数与x 轴没有交点，②正确；令x =0，y =12，∴该函数与y 轴交于点1(0,2，③正确；当1122(,),(,)x y x y 是该函数上两侧的两点时，12x x <，12y y <，故④错误；故选C ．【点睛】此题主要考查函数与图象判断，解题的关键根据分式及图象得到相关性质进行判断．9．3x ≥【详解】解：二次根式中被开方数30x -≥，所以3x ≥．故答案为：3x ≥．10．a （x+2y ）（x ﹣2y ）【分析】先提公因式a ，然后再利用平方差公式进行分解即可得.【详解】ax 2﹣4ay 2=a （x 2﹣4y 2）=a （x+2y ）（x ﹣2y ），故答案为a （x+2y ）（x ﹣2y ）.【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键.11．答案不唯一，如：1进行估值，在找出范围中的整数即可．【详解】解：∵∴-2<x <2,(x 为整数)故答案为：-1,0,1（答案不唯一）【点睛】本题考查算术平方根的估值．理解算术平方根的定义是关键．12．1【分析】由分式的加减乘除混合运算先计算括号内的运算，再计算乘法运算，即可求出答案．【详解】解：211111x x x x ⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭21111x x x -=⋅-+(1)(1)111x x x x +-=⋅-+=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则正确的进行计算．13．9【分析】先根据光的反射定律得出∠ACB=∠ECD ，再得出Rt △ACB ∽Rt △ECD ，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论.【详解】已知CD=12m ，AB=1.5m ，BC=2m ，根据光的反射定律，∠ACB=∠ECD,又∠ABC=∠EDC∴Rt △ACB ∽Rt △ECD∴AB BC DE CD =,即1.5212DE =,解得DE=9故答案为:9【点睛】本题考查的是相似三角形的实际应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键.14．4-【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出M 、N 两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可．【详解】()0y kx k => 图像关于()00，中心对称，0k > ，∴图像经过一、三象限，4=y x图像也关于()00，中心对称，40> ，∴图像经过一、三象限，又M 、N 为y kx =与4y x=交点，M ∴、N 也关于原点中心对称，且一个在第三象限，一个在第一象限，114,M x x ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，114,N x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，121144x y x x ∴⋅=⋅-=-，故答案为4-．【点睛】本题考查了反比例函数图像的对称性，准确掌握利用过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称是解答本题的关键．15．【分析】根据题意和锐角三角函数可以得到CD 的长，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，∠CAO ＝∠DBO ＝60°，∠COA ＝∠DOB ＝90°，∵tan∠CAO＝OCOA，tan∠DBO＝OD OC CDOB OA AB+=+，∴tan60°＝OCOA，tan60°＝3OC CDOA++，∴OCOA＋3）＝OC＋CD，OA＋3＋CD，解得CD＝故答案为：【点睛】本题考查解直角三角形的应用−仰角、俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16．160180【分析】（1）根据表格数据得出答案即可；（2）根据x+y＝8，x，y均为正整数，把所有收入可能都计算出，即可得出最大收入．【详解】解：(1)由统计表可知:如果该快递员一天工作8小时只送甲类件，则他的收入是1×145=145(元)如果该快递员一天工作8小时只送乙类件，则他的收入是2×80=160(元)∴他一天的最大收入是160元;(2)依题意可知：x和y均正整数，且x+y=8①当x=1时，则y=7∴该快递员一天的收入是1×30+2×70=30+140=170(元)；②当x=2时，则y=6∴该快递员-天的收入是1×55+2×60=55+120=175(元)；③当x=3时，则y=5∴该快递员一天的收入是1×80+2×50=80+100=180(元)；④当x=4时，则y=4∴该快递员一天的收入是1×100+2×40=100+80=180(元)；⑤当x=5时，则y=3∴该快递员一天的收入是1×115+2×30=115十60=175(元)；⑥当x=6时，则y=2∴该快递员一天的收入是1×125+2×20=125+40=165(元)；⑦当x=7时，则y=1∴该快递员一天的收入是1×135+2×10=135+20=155(元)综上讨论可知：他一天的最大收入为180元.故填：160；180.【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，在给定的“x +y ＝8，x ，y 均为正整数”的条件下，分情况讨论出最大收入即可.17．5【分析】代入45°角的余弦函数值，结合“负整数指数幂和零指数幂的意义及绝对值的意义”进行计算即可.【详解】解：原式421=++5=．【点睛】熟记“特殊角的三角函数值，理解负整数指数幂的意义、零指数幂的意义和绝对值的意义”是正确解答本题的关键.18．22x -<<【分析】分别求得每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集即可．【详解】解：原不等式组为11,22(1).x x x x ⎧-<⎪⎨⎪+>⎩①②解不等式①，得2x <．解不等式②，得2x >-．∴原不等式组的解集为22x -<<．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解一元一次不等式组的基本步骤是解题的关键．19．3x =【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母，得122++=x x ．解得3x =．经检验，3x =是原方程的解．所以原方程的解是3x =．【点睛】本题考查解分式方程，掌握解方程的步骤正确计算是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验．20．（1）见详解；（2）k ＜-1【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△＝（k −3）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x 1＝-3，x 2＝-k ，根据方程有一根大于1，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．【详解】（1）证明：∵在方程2(3)30x k x k ++=+中，△＝（k ＋3）2−4×1×3k ＝k 2−6k ＋9＝（k −3）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵2(3)3(3)()0x k x k x x k ++=++=+，∴x 1＝-3，x 2＝-k ．∵方程有一根大于1，∴-k ＞1，解得：k ＜-1，∴k 的取值范围为k ＜-1．【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根大于1，找出关于k 的一元一次不等式．21．（1）作图见解析；（2）OB ，直径所对的圆周角是90°．【分析】（1）根据题述语句画出图形即可；（2）根据直径所对的圆周角是90°即可证明．【详解】（1）作图如下：（2）证明：CD 为线段AB 的垂直平分线，=OA ∴OB ，2AB OB ∴=．AB ∴是O 的直径，90AEB ∴∠=︒（____直径所对的圆周角是90°）（填推理的依据）．AE l ∴⊥．故答案为：OB ，直径所对的圆周角是90°．【点睛】本题考查圆周角定理，作垂直平分线．理解直径所对的圆周角是90°是解题关键．22．(1)证明见解析(2)=OE 【分析】（1）先证明四边形DBCE 为平行四边形，再证明ADC EDC ≅ 即可得到答案．（2）作OH 垂直于AD 于H ，通过矩形的性质结合已知条件求得OH 、HE 的长，进而由勾股定理可得到答案．【详解】（1）证明：∵AD ∥BC ，DE 为AD 的延长线∴DE ∥BC又∵CE ∥BD∴四边形DBCE 是平行四边形∴DE =BC在矩形中，BC =AD ，90ADC EDC ∠=∠=︒∴DE =AD又∵CD =CD∴ADC EDC≅∴ACD ECD∠=∠（2）解：如图，作OH 垂直于AD 于H ，即有OH ∥CD∵点O 为矩形对角线的交点，即点O 为AC 、BD 的中点∴CD =AB =2，OA=OD∴点H 为AD 中点，即12HD AD =，∴112OH CD ==∵tan 2AD ACD CD ∠==∴24AD CD ==∴36HE DH DE CD =+==在直角三角形OHE 中∴OE 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的证明、全等形证明、解直角三角形；熟练掌握相关知识是解题的关键．23．(1)3y x =-(2)201k <≤【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）分20k <和20k >，两种情况分类讨论，利用数形结合的思想进行求解即可．【详解】（1）解：∵直线1l ：1y k x b =+过()0,3A -，()5,2B ，∴1352b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：113k b =⎧⎨=-⎩，∴直线1l ：3y x =-；（2）解：∵22y k x =+，∴直线2l 必过点()0,2，∵过动点()0,P t 且垂直于y 轴的直线与1l ，2l 的交点分别是C ，D ，当1t ≤时，点C 位于点D 右方，①当20k <时，当1t ≤时，必然存在点D 位于点C 右方，不符合题意；②当20k >时，12,l l 平行时，满足题意，此时：21k =；12,l l 相交时，则交点的横坐标恒大于5，此时：201k <<；综上：2k 的取值范围为201k <≤．【点睛】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想的进行求解，是解题的关键．24．（1）见解析；（2）7【分析】（1）证明：如图，连接OA ．由DA 与O 相切，切点为A ，OA 为O 的半径，可得DA OA ⊥．9090OAD OAC CAD ∠=︒∠+∠=︒，．由OA OB =，C 为AB 的中点，OC AB OAC B ⊥∠=∠，．可得90D CAD ∠+∠=︒．OAC D ∠=∠即可；（2）如图，连接AE ．设O 的半径为r ．由O 为BE 的中点，C 为AB 的中点，可得1//=2AE OC OC AE ，，可证△AFE ∽△DFO ，可得FAAEFD OD =．3OD r AD ==，．23AE r =．AF =233r r=，解得7r =即可．【详解】（1）证明：如图，连接OA ．∵DA 与O 相切，切点为A ，OA 为O 的半径，∴DA OA ⊥．∴9090OAD OAC CAD ∠=︒∠+∠=︒，．∵OA OB =，C 为AB 的中点，∴OC AB OAC B ⊥∠=∠，．∴90D CAD ∠+∠=︒．∴OAC D ∠=∠．∴B D ∠=∠；（2）解：如图3，连接AE ．设O 的半径为r ．∵O 为BE 的中点，C 为AB 的中点，∴1//=2AE OC OC AE ，，∵FEA AOD ∠=∠，EAF D ∠=∠=90°，∴△AFE ∽△DFO ，∴FA AE FD OD=．∵1sin 3B D B ∠=∠=，，∴1sin sin sin 3D OAC B =∠==，在Rt OAD中．3sin OA OD r AD D====，．在Rt OAC △中，1sin 3OC OA OAC r =⋅∠=．∴223AE OC r ==．∵AF =233r r=，化简，得42429r =+，解得7r =．经检验，7r =是原方程的解．∴7r =．【点睛】本题考查圆的切线性质，直径所对圆周角性质，等腰三角形三线合一性质，三角形中位线性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，解方程，掌握圆的切线性质，直径所对圆周角性质，等腰三角形三线合一性质，三角形中位线性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，解方程是解题关键．25．(1)4.36(2)②③(3)8.61【分析】（1）影片乙单日票房从小到大排序，根据中位数定义求解即可；（2）①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，可判断①；②先求出甲、乙的平均数，再根据方差公式()()()2222121n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦求出甲、乙的方差，可判断②；③根据折线图，分别求出15日，16日，17日，18日甲与乙的差值，可判断③；（3）利用乙票房的收入减去甲票房前7天的收入即可得到最后三天的累计额即可．【详解】（1）解：影片乙单日票房从小到大排序为1.63，2.32，3.13，4.36，7.49，8.18，10.11一共7个数据，所以影片乙单日票房的中位数为：4.36，故答案为：4.36；（2）解：①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，∴甲的单日票房逐日增加说法不正确；②()1= 2.91+3.02+4.55+5.38+5.90+5.52+4.28 4.517x ⨯≈甲，()110.11+8.18+7.49+4.36+3.13+2.32+1.63 5.327x ⨯≈乙，()222222221S = 1.6+1.49+0.04+0.87+1.39+1.01+0.23 1.227≈甲，()222222221=4.79+2.86+2.17+0.96+2.19+3+3.699.957S ≈乙，∴甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差正确；③甲超过乙的差值从15日开始分别为，15日：5.38 4.36 1.02-=，16日：5.90 3.13 2.77-=，17日：5.52 2.32 3.2-=，18日：4.28 1.63 2.65-=，∴在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大正确．综上，说法中所有正确结论的序号是②③，故答案案为：②③；（3）解：乙票房截止到21日收入为：37.22 2.9540.17+=亿，甲票房前7天达到31.56亿，∴2月19日—21日三天内影片甲的累计票房至少为：40.1731.568.61-=亿．故答案为：8.61．【点睛】本题考查中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算，掌握中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算是解题关键．26．(1)2x =(2)124x x +=；34a >或0a <．【分析】（1）根据对称轴的公式2b x a=-代入计算即可；（2）分0a >，a<0两种情况讨论，利用二次函数图像上点的坐标特征可得到关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值范围．【详解】（1）解：二次函数图象的对称轴为：422a x a-=-=，∴二次函数图象的对称轴为：直线2x =；（2）解：①∵1244a x x a -+=-=，∴124x x +=；②∵2132x x >-，∴2123x x +>，∴2113x x x ++>∴143x +>，∴11x >-，∴25x <若0a >时，当=1x -时，430y a a =++>，即35a >-，2Δ16120a a =->，即34a >或0a <∴34a >若0a <时，当=1x -时，430y a a =++<，即35a <-，2Δ16120a a =->，即34a >或0a <∴0a <．综上所述：34a >或0a <．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，二次函数图像的性质和分类讨论的思想，熟记二次函数图像特征是解题的关键．27．(1)60︒(2)画图见解析，BH GH =，证明见解析1【分析】（1）根据ABC 是等边三角形得到60AB CA BAC ABC ===︒，∠∠，结合AE BD =即可得到AEC BDA ≌△△，得到ACE BAD ∠=∠，根据三角形外角关系即可得到答案；（2）如图所示，延长FD 到M ，使得FM FC =，连接BM CM ，，则FMC 是等边三角形，120AFC ∠=︒，先证明ACF BCM △≌△，得到120AF BM BMC AFC ===︒，∠∠，再证明BHM GHF △≌△，即可证明BH GH =；（3）如图所示，连接CH ，取AC 的中点N ，连接BN ，由全等三角形的性质得到FH MH =，即点H 为MF 的中点，则90ACH ∠=︒，推出点H 在以AC 为直径的圆上运动，故当B H N 、、三点共线时，BH有最小值，求出BN =1BH =最小．【详解】（1）解：∵ABC 是等边三角形，∴60AB CA BAC ABC ===︒，∠∠，在AEC △和BDA △中，AC BA CAE ABD AE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS AEC BDA ≌△△，∴ACE BAD ∠=∠，∵60BAC BAD CAD ∠︒=∠+∠=，∴60DFC CAD ACE =+=︒∠∠∠；（2）解：BH GH =，证明如下：如图所示，延长FD 到M ，使得FM FC =，连接BM CM ，，∵FM FC =，60MFC =︒∠，∴FMC 是等边三角形，180120AFC MFC =︒-=︒∠∠，∴60CM CF FCM FMC ===︒，∠∠，∵ABC 是等边三角形，∴60CA CB ACB =∠=︒，，∴ACF BCM =∠∠，∴()SAS ACF BCM △≌△，∴120AF BM BMC AFC ===︒，∠∠，∴60BMH BMC CMH =-=︒∠∠∠，∴BMH GFH =∠∠，∵AF GF =，∴BM GF =，又∵BHM GHF =∠∠，∴()AAS BHM GHF △≌△，∴BH GH =；（3）解：如图所示，连接CH ，取AC 的中点N ，连接BN ，∵BHM GHF △≌△，∴FH MH =，即点H 为MF 的中点，∵FMC 是等边三角形，∴CH MF ⊥，即90AHC ∠=︒，∴点H 在以AC 为直径的圆上运动，∴当B H N 、、三点共线时，BH 有最小值，∵ABC 是等边三角形，N 是AC 的中点，∴BN AC ⊥，112CN AC ==，∴BN ==∴1BH =最小．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，圆外一点到圆上一点的最值问题，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．28．(1)①3Q ；②3b ≤(2)2r ≥【分析】（1）①根据定义新图形的规律，分别求出对称点的坐标，直线的图形性质，图形结合即可求解；②分当0b >时和0b <两种情况，结合图形即可求解；（2）根据题意，只要找到r 的最小值即可求解．【详解】（1）解：①如图所示，点(1,0)A ，点(3,0)B ，AB 关于y x =的对称图形为A B ''，B 半径为∴根据轴对称性得：()0,1A '，()0,3B '，即点,A B ''在y 的正半轴上，∴A B ''在B 的内部，∴3Q 为线段AB 关于直线y x =的“弱相关图形”；故答案为：3Q ．②如图所示，若O 是线段OA 关于直线:l y x b =+的“弱相关图形”，∵y x b =+与y x =平行，∴y x b =+与坐标轴的夹角为45°，由点O 关于y x b =+对称，则OO l '⊥，则O '在直线y x =-上，当0b <时，点O 离对称轴直线:l y x b =+较远，如图，当O '在O 上时，设l 与x 轴交于点D ，依题意，5OO '=，DOO ' 是等腰直角三角形，∴5OD DO '=∴D 的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，代入y x b =+解得：b =，当0b >时，点A 离对称轴直线y x b =+较远，如图，当A '在O 上时，同理可得DA DA '=，连接OA '，在Rt DOA ' 中，设DO x =，则D O x '=，1A O AO ''==，∵222A O DO A D ''=+∴()22251x x =++解得：1234,x x ==-（舍去）∴3DO =∴()3,0D -,代入y x b=+解得：3b =，综上所述，32b -≤≤；（2）解：∵(2,2)C a a -+∴224a a +=-+即C 在直线4y x =+上，如图所示，过点O 作4OS y x ⊥=+于点S ，由4y x =+，令0x =，4y =，令0y =，4x =，∴OS ==，依题意，点C 在直线4y x =+上运动，过点C 的直线为对称轴，将Q 与P 对称，∵半径r 的O 是圆P 关于l 的“弱相关图形”，∴2r OP ≥+，∴当O 与坐标轴相切时，r 取得最小值，此时点()2,2P -,则OP =又∵点C 在直线4y x =+上运动，CO 不能与y x =平行，∴Q 点只能接近点S ，∴Q 的最外端一点与O 的距离小于2OP +，∴即r 的最小值为2OP +，即2r ≥．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中图形的轴对称，圆与直线的关系，掌握对称的性质，几何图形变换的规律，结合点坐标，线段长度关系是解题的关键．。
贵州省贵阳市云岩区第二实验中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题
贵州省贵阳市云岩区第二实验中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．．．．3．2022年北京冬奥会的全球转播观众超过2000000000人，成为有史以来数字化参与度最高的冬奥会，2000000000这个数用科学记数法表示为（）A ．100.210⨯．9210⨯8210⨯82010⨯4．若二次根式有意义，则实数x 的取值范围是（）A ．1x ≥．1x >0x ≥0x >5．已知22A ∠=︒，则下列四个角中A ∠的余角是（）A ．．．D ．A．刻舟求剑B．旭日东升C．夕阳西下D．瓜熟蒂落∠=∠的依据是8．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明CAD DAB（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS9．如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在一次函数()0=+的y kx b k=+<的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数y kx b图象上的点是（）A．点P B．点Q C．点M D．点N 10．费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：29，32，33，35，35，40，则这组数据的众数和中位数分别是（）A．35，35B．34，33C．34，35D．35，34 11．如图是长为a，宽为b的小长方形卡片，把六张这样的小长方形卡片不重叠地放在一个底面为长方形（长为8，宽为6）的盒子底部（如图2），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则两块阴影部分的周长之和为（）A．16B．24C．20D．28y=x+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结12．函数2<<时，2x+(b-1)x+c<0．其中正确的个论:①2b-4c>0②b+c=-1③3b+c+6=0④当1x3数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题三、解答题17．（1）如图，有理数比较大小：b c，a c+0．(1)若要表示手机部A机型这5个月销售量的变化趋势，该采用统计图；(2)该品牌5月份的销售额是万元，手机部5月份的销售额是万元；(3)小明和小红准备在A，B，E三款手机中选择一款手机购买，请问他们选择同一款手机的概率是多少？19．某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批(1)求证：BC EF ∥；(2)求证：EF 是O 的切线；(3)若10BF =，15OB =，求证：AE =24．如图，在平面直角坐标系中，直线物线214y x bx c =-++经过点A 、C ．(1)求抛物线解析式及顶点M 坐标；(2)P 为抛物线第一象限内一点，使得点P 的坐标；(3)当1m x m +≤≤时，（1）中二次函数有最大值为25．利用“平行+垂直”作延长线或借助问题的常用方法，(1)发现：如图1，AB CD ∥，CB 平分ACD ∠，求证：ABC 是等腰三角形．交BC 的延长线于点F ，交CD 于点M ，若7AD =，3CF =，tan 3EBF ∠=，求BD 的长．。
山东省菏泽市牡丹区长城学校2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题
山东省菏泽市牡丹区长城学校2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．B．．．A．65°B．70°A．这组数据的众数是90B．这组数据的中位数是90C．这10名演讲者的平均成绩为89D．这组数据的方差是157．在同一直角坐标系中，反比例函数A．．C．D．∥8．如图1，四边形ABCD中，AB CD---方向以m单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，沿折线B A D C面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图A．144B．134C．124二、填空题三、解答题(1)求居民楼AB的高度；(1)当BF＝13BC时，求点(2)连接EF，求∠EFC的正切值；(3)将△EFC沿EF折叠，得到△的值．22．如图，AC是⊙O的直径，∠PBA＝∠C．(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙23．如图1，菱形ABCD与菱形GECF ＝∠ECF＝60°，（1）问题发现AGBE的值为_______；（2）探究与证明：将菱形GECF绕点所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：菱形GECF在旋转过程中，当点图3所示连接CG并延长，交AD于点24．如图，二次函数23y ax bx =++交x 轴于点()1,0A 和点()3,0B ，交y 轴于点C ，过点C 作CD x ∥轴，交抛物线于另一点D ．(1)求该二次函数所对应的函数解析式；(2)如图1，点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点，PE x ∥轴，PF y ∥轴，求线段EF 的最大值；(3)如图2，点M 是线段CD 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点N ，当CBN △是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．。
江苏省苏州市苏州工业园区星海实验中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题
江苏省苏州市苏州工业园区星海实验中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．2022年4月16日神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．粮食是人类赖以生存的物质基础，2022年我国粮食总产量再创新高，达68653万吨，该数据可用科学记数法表示为（ ）A ．46.865310´吨B ．46865310´吨C ．76.865310´吨D ．86.865310´吨3．神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）A ．平移B ．旋转C ．轴对称D ．黄金分割4．从下列不等式中选择一个与x ＋1≥2组成不等式组，如果要使该不等式组的解集为x ≥1，那么可以选择的不等式是( )A ．x ＞－1B ．x ＞2．2B．二、填空题．若代数式：2x-有意义，则10．分解因式：34-=______x x11．一组数据3，2，x，2，25．如图是由小正方形组成的96V的三´网格，每个小正方形的顶点叫作格点．ABC个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．(1)在图1中，画一个与BACÐ相等的BDCÐ，且点D在格点上；(2)在图2中，画一个与ABCV面积相等，且以BC为边的平行四边形BCDE，D、E均在格点上；(3)在图3中，在AC边上找一点D，连接BD，使ABD△面积的4倍；△的面积是BCD(4)在图4中，D、E分别是边AB AC、与网格线的交点．先将点B绕点E旋转180°得到点F，画出点F，再在AC上画点G，使DG BC∥．26．定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖圆；平面图形的覆盖圆中半径最小的圆称为平面图形的最小覆盖圆．(1)已知线段AB、CD的长度为8cm．①如图1，线段AB的最小覆盖圆的半径为__________；②如图2，若线段CD与AB垂直，垂足为D，D与B重合，则该图形的最小覆盖圆的半径为__________；③如图3，若线段CD与AB垂直，垂足为D，D在线段AB的中点处，则该图形的最小覆盖圆的半径为_____；(2)如图4，有4个三角形，分别是：①锐角三角形、②直角三角形、③钝角三角形④V满足下列条件：线段AB的长度为8cm，点D在线段AB上，且长度为4cm的线ABC段CD与AB垂直；它们的最小覆盖圆正好是该三角形的外接圆的是__________(只填序号)；(3)在平面直角坐标系中，已知点(2,0)(3,0)、，点C是y轴上的一个动点，当A B-V的最小覆盖圆的半径以及点C的坐标．Ð=°时，求ABCBCA4527．在正方形ABCD中，点E是BC边上一动点，连接AE，沿AE将△ABE翻折得△AGE，连接DG，作△AGD的外接⊙O，⊙O交AE于点F，连接FG、FD．（1）求证∠AGD＝∠EFG；（2）求证△ADF∽△EGF；(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；(2)当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；△CEP(3)连接AC，过点P作直线l AC∥，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE FD=，若存在，请直接写出m的值；若不存在，说明理由．SAS FAE EAF ¢V V ≌（），得到EF EF =¢，结合ECF △的周长为4，利用线段间的代换即可求出结果．【详解】解：将DAF △绕点A 顺时针旋转90度到BAF ¢V 位置，则DAF BAF ¢V V ≌，∴DF BF DAF BAF =¢Ð=Т，，∵45EAF Ð=°∴904545EAF EAB BAF EAB DAF ¢Ð¢=Ð+Ð=Ð+Ð=°-°=°，在FAE EAF ¢V V 、中，AF AF FAE EAF AE AE =¢ìïÐ=Тíï=î，∴SAS FAE EAF ¢V V ≌（），∴EF EF =¢，∵ECF △的周长为4，∴4EF EC FC FC CE EF FC BC BF DF FC BC ++=++¢=++¢=++=，∴24BC =，∴2BC =．故选A ．【点睛】本题考查了正方形的辅助线、熟练掌握相关性质定．2x³【分析】根据二次根式有意义的【详解】解：由题意可得：解得：2x³，故答案为：2x³．【点睛】本题考查二次根式有意义的数）是解题关键．()\=-8cmOD x在Rt AODV中，222+=，OD AD OA()222x x\-+=，84解得：5x=，∴该图形的最小覆盖圆的半径为5cm，故答案为：5cm．（2）解：①锐角三角形最小覆盖圆即为三角形的外接圆，如图：②直角三角形最小覆盖圆即为三角形的外接圆，如图：③钝角三角形最小覆盖圆不是三角形的外接圆，如图：④线段AB的长度为8cm，点D在线段AB上，且长度为4cm的线段CD与AB垂直，最小覆盖圆即为三角形的外接圆，如图：综上所述，它们的最小覆盖圆正好是该三角形的外接圆的是①②④；故答案为：①②④．（3）当C在y轴正半轴时，过A作AG BC^于G，过G作KT∥y轴交x轴于T，过C作^于H，取AB中点N，过N作x轴的垂线交GH于M，^于K，过G作GH ACCK KT如图：Q，Ð=°45BCA\V是等腰直角三角形，ACGа，\=， =90CG AGAGCCGK AGT GAT\Ð=°-Ð=Ð，90Q，K ATGÐ=Ð()V V，\≌CGK GATAAS（3）解：存在；m的值为4或分两种情况，①当点F在y轴的，∵过点P作直线l AC∥，交y∴PF AC∥ ，∴ACO PFHÐ=Ð，∴tan tanACO PFHÐ=Ð，∴AO HPOC HF=，即24mHF=，同理可得，EG OF =，12EG m =∴21342OF OH HF m m =-=-++∴21114242m m m =--+，m的代数式表示出OF是解题的关键．。
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沿 AM 折叠，点 B 恰好落在 x 轴上的点 B′处，则直线 AM 的函数
解析式是（ ）
A. y＝﹣ 1 x+4 2
C. y＝﹣ 1 x+ 2
3 2
B. y＝﹣ 1 x+4 3
D. y＝﹣ 1 x+3 3
9、如图，点
B、C
分别在反比例函数
y=
5 x
和
y=
1 x
上，连接
OB，OC，BC
且
OB⊥OC，则
九年级下学期数学月考试题 2021.3
一、选择题（每题 4 分，共 48 分） 1、下列图形中，随机抽取一张是轴对称图形的概率是（ ）
1
A.
4
1
B.
2
3
C.
4
2、.右图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的俯视图是（
D. 1 ）
A.
B.
C.
D.
3、2020 年 6 月 23 日，中国第 55 颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支
25、（14 分）如图，抛物线 y ax2 bx 6 经过点 A（－2,0），
B（4,0）两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线上一个动点，设
点 D 的横坐标为 m(1 m 4) .连接 AC，BC，DB，DC.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）△BCD 的面积等于△AOC 的面积的 3 时，求 m 的值； 4
（1）求 A、B 两种型号汽车的进货单价； （2）销售过程中发现：A 型汽车的每周销售量 yA（台）与售价 xA（万元/台）满足函 数关系 yA＝﹣xA+18；B 型汽车的每周销售量 yB（台）与售价 xB（万元/台）满足函数关系 yB＝﹣xB+14．若 A 型汽车的售价比 B 型汽车的售价高 1 万元/台，且 B 型汽车的销售单价 不超过 11 万元，设每周销售这两种车的总利润为 w 万元．求当 B 型号的汽车销售单价为 多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？
③ FN 2NK ；④ SAFN : SADM 1: 4 .其中正确的结论
有
（写序号）
三、解答题（78 分）
19（8 分）、先化简（ 7 ﹣x﹣3）÷ 2x2 8x ，再从 0 x 4 中选一个适合的整数代入
x3
x3
求值．
20、（12 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A、D 的⊙O 分别交 AB、AC 于点 E、F．
③c＞﹣1；④关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0（a ≠0）有一个
根为 4+c，其中正确的结论个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题（每题 4 分，共 24 分）
13、若关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2＋4x＋1=0 有实数根，则 k 的取值范围是_____
14、如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，Rt△OAB 的直角顶点 B
y
的分式
7x 4 a
方程
y
a
2
2
2
y
2
有非负数解，则所有满足条件的整数
a
的值之和是（
）
A．3
B．1
C．0
D．﹣3
12、如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与 x 轴正半轴相交于 A、B 两点，与 y
轴相交于点 C，对称轴为直线 x＝2，且 OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；
（3）在（2）的条件下，若点 M 是 x 轴上的一个动点，点 N 是抛物线上一动点，试判断
是否存在这样的点 M,使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请 直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.
九年级数学第一次月考题 第 3页，共 3 页
（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生 800 人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数； （3）对视力“非常重视”的 4 人有 A1，A2 两名男生，B1，B2 两名女生，若从中随机抽取 两人向全校作视力保护交流，请利用树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
持北斗三号新信号的 22 纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用，22
纳米=0.000000022 米，将 0.000000022 用科学记数法表示为（ ）
A. 2.2×10-8
B. 22×108
C. 0.22×10-7
D. 22×10-9
4、.如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB= 2 3 ，BC=2，以 AB 的中点为圆心，OA 的
第 2页，共 3 页
22、（12 分）2020 年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学 生要面对电脑等电子产品上网课。某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机 在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将 结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
24、（12 分）
【问题探究】
（1）如图 1，△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点 B，D，
E 在同一直线上，连接 AD，BD．
①请探究 AD 与 BD 之间的位置关系：
；
②若 AC＝BC＝ 10 ，DC＝CE＝ 2 ，则线段 AD 的长为
；
【拓展延伸】
（2）如图 2，△ABC 和△DEC 均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝ 21 ，
则平移后的抛物线解析式为
16、如图，直线
y
1 2
x
1与
x
轴、y
轴分别相交于
A、B
两点，
P
是该直线上的任一点，过点
D（3，0）向以
P
为圆心，1 2
AB
为半径的⊙P 作两条切线，切点分别为 E、F．则四边形 PEDF 面积的最小值为
．
17、如图，在平面直角坐标系中直线 y=x-2 与 y 轴相交于点 A，与反
比例函数 y k 在第一象限内的图象相交于点 B（m，2）．在第一象 x
限内， k x 2 时，x 的取值范围 x
；将直线 y=x-2 向上平移
后与反比例函数图象在第一象限内交于点 C，且△ABC 的面积为 18，
求平移后的直线的函数关系式
九年级数学第一次月考题
18.如图，正方形 ABCD 的边长为 4，延长 CB 至 E 使 EB 2 ，以 EB 为边在上方作正方 形 EFGB ，延长 FG 交 DC 于 M ，连接 AM 、 AF ， H 为 AD 的中点，连接 FH 分别与 AB 、 AM 交于点 N 、 K .则 下 列 结 论 ： ① ANH GNF ； ② AFN HFG ；
OB OC
的值为（
）
A. 5
B. 1
C. 5
D. 5 5
10、在同一直角坐标系中，函数 y=mx＋m 和 y=－mx2+2x+2(m 是常数，且 m≠0)的图象可
能是（ ）
C. 3
D. 3 2
九年级数学第一次月考题 第 1页，共 3 页
11、若数
a
使关于
x
的不等式组
x
2
1
1 2
x
2
有且仅有四个整数解，且使关于
BC＝ 7 ，CD＝ 3 ，CE＝1．将△DCE 绕点 C 在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD 为α（0°≤α＜90°），作直线 BD，连接 AD，当点 B，D，E 在同一直线上时，画出图形， 并求线段 AD 的长．
23、（10 分）如图，在大楼 AB 正前方有一斜坡 CD，坡角∠DCE＝30°，楼高 AB＝60 m， 在斜坡下的点 C 处测得楼顶 B 的仰角为 60°，在斜坡上的点 D 处测得楼顶 B 的仰角为 45°， 其中点 A，C，E 在同一条直线上．求： (1) 斜坡下的点 C 处到大楼的距离； (2) 斜坡 CD 的长度
）
A.9
B. 6
6、如图,某旅游景点要在长、宽分别为 20 米、12 米的矩形水池的正中央建一个各边与矩
形的边互相平行的正方形观赏亭,观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等
的道路,已知道路的宽为正方形边长的 1 .若道路与观赏亭的面积 4
之和是矩形水池面积的 1 ,则道路的宽为（ ）米 6
（1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若 BE＝8，sinB 5 ，求⊙O 的半径；
13 （3）求证：AD2＝AB•AF．
21、（10 分）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经 销商购进 A、B 两种型号的低排量汽车，其中 A 型汽车的进货单价比 B 型汽车的进货单价 多 2 万元；花 50 万元购进 A 型汽车的数量与花 40 万元购进 B 型汽车的数量相同．
长为半径作半圆交 AC 于点 D，则图中阴影部分的面积为（
）
A. 5 3 42
B. 5 3 42
C. 2 3
D. 4 3 2
5、如图所示，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数
y k 在第一象限的图像经过点 B，与 OA 交于点 P， x
若 OA2－AB2=18,则点 P 的横坐标为（
A.1
B. 2
C.5
D.3
7、如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点 B 出发，沿表面爬
到 AC 的中点 D 处，则最短路线长为（ ）
A. 3 2