上海市长宁区2021届高三一模数学试卷
………………8 分
18．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分）
解：设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ， （1） F 1, 0 ，得 n 1
…………2 分
直线 l 的方程 x my 1 代入 y2 4x 得， y2 4myx 4 0
所以 y1 y2 4m ， y1 y2 4
AB x1 x2 2 y1 y2 2
m2 1 y1 y2 2 4 y1y2
4m2 1 8
所以 m 1
（2）抛物线 y2 4x 的准线方程为 x 1
…………4 分
…………7 分 …………1 分
设 C 1,
y3 ，由 OA 的方程为
y
y1 x1
x，
得
y3
y1 x1
4 y1
数列.
2020 学年第一学期高三数学质量检测试卷 参考答案与评分标准
一．填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1—6 题每题 4 分，第 7---12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应
位置直接填写结果．
1． 1, 2
2．
3． 0
4． 3.0
5．15 9．1
6． 1 2
10． 3
7． 1 11． 1
、 al
k
l
，使得 an
ak2 al
，则称数列
an 为“Y 数列”．
（1）若数列an 为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列an 是否为“ X 数列”，并说明理由；
（2）若数列an 的前 n 项和 Sn 2n 1 n N* ，求证：数列an 为“Y 数列”；
（3）若数列 an 为各项均为正数的递增数列，且既为“ X 数列”，又为“ Y 数列”， 求证： a1 , a2 , a3 , a4 成等比
如图，已知圆锥的顶点为 P ，底面圆心为 O ，高为 2 3 ，底面半径为 2 ．
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）设 OA 、 OB 为该圆锥的底面半径，且 AOB 90 ， M 为线段 AB 的中点，求直线 PM 与直线 OB 所成的
角的正切值． P
O B
A
M
18．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分）
设抛物线 : y2 4x 的焦点为 F ，直线 l : x my n 0 经过 F 且与 交于 A 、 B 两点． （1）若 AB 8 ，求 m 的值； （2）设 O 为坐标原点，直线 AO 与 的准线交于点 C ，求证：直线 BC 平行于 x 轴．
19．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
4. 数组 2.7、3.1、2.5、4.8、2.9、3.6 的中位数为
.
5. 在 (x 1 )6 的二项展开式中， x2 项的系数为__________． x
6.
若函数
y
f
x 的反函数
f
1 x
loga
xa
0, a
1 图像经过点 (8, 3) ，则
2
f
(
1) 2
的值为
.
x 1 y 2
7. 若直线
解：（1） 当 a 0 时， f x x3 2x ， f x x3 2x
所以 f x f x ， y f x 为奇函数.
…………2 分
当 a 0 时， f 1 a 1， f 1 a 1,
因为 f 1 f 1 ，所以 f x既不是奇函数也不是偶函数. …………4 分
（2）原问题可化为
（2）数列an 的前 n 项和 Sn 2n 1 n N* ,所以 an 2n1 .
3
，Hale Waihona Puke DC40 33
sin
2 3
…………4 分
所需板材的长度=40+ 40 3
3
sin
3
+
40 3
3
sin
2 3
= 40 40 3 sin ，
3
答：当 ADC 时，所需板材最长为 40 40
2
3
…………6 分
3 ≈73（米）. …………8 分
20．（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）
20．（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）
设 f x x3 ax2 2x x R ，其中常数 a R .
（1）判断函数 y f x 的奇偶性，并说明理由；
（2）若不等式 f x 3 x3 在区间[1 ,1] 上有解，求实数 a 的取值范围；
某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域 ABCD 沿边界围成一个封闭的留观区. 经测 量，边界 AB 与 AD 的长度都是 20 米， BAD 60 ， BCD 120 . （1）若 ADC 105 ，求 BC 的长（结果精确到米）；
（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）.
的两个交点．若 PQ OF ，则 b
.
10. 在 ABC 中，AB 3 ，AC 2 ，点 D 在边 BC 上. 若 AB AD 1， AD AC 5 ，则 AB AC 的值为
.
3
11. 设 O 为坐标原点，从集合1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取两个不同的元素 x、y ，组成 A 、 B 两点的坐标 x, y 、
0 的法向量与直线 x y 1 0 的方向向量垂直，则实数 k
.
1k
8. 设集合 M x x2 1 ， N b ，若 M ∪ N M ，则实数 b 的取值范围为
.
9.
设F
为双曲线 : x2
y2 b2
1b 0 的右焦点， O 为坐标原点， P 、 Q 是以 OF
为直径的圆与双曲线 渐近线
因为 OB OA ， OB OP ，
所以 OB 平面 POA ， MN 平面 POA ， MN PN
………………4 分
在 Rt△PNM 中， PN
h2 (r )2 2
13 ， MN
1 OB 1 2
…………6 分
所以 PMN 的正切值为 13
即直线 PM 与直线 OB 所成的角正切值为 13
2020 学年第一学期高三数学教学质量检测试卷
考生注意：
1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．
2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．
3．本试卷共有 21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
A. 若 m n ， m ， n ，则 ； B. 若 m / /n ， m ， n / / ，则 ；
C. m n ， m / / ， n / / ，则 / / ； D．若 m / /n ， m ， n ，则 / / .
16. 设 f x x b1 kx b2 2x b3 ，其中常数 k 0 ， b1, b2 , b3 R .若函数 y f x 的图像如图所示，则
在
BCD 中，
sin
BC BDC
BD sin C
，
…………2 分 …………4 分
得 BC= 20 6 ≈16（米） 3
…………6 分
（2）设 ADC ， 则 BDC ， CBD 2 ，
3
3
在
BCD 中，
sin
CD CBD
BC sin BDC
BD sin C
，
所以 BC 40 3
3
sin
B. 必要非充分条件 ；
C. 充要条件；
D. 既非充分又非必要条件.
14. 对任意向量 a 、 b ，下列关系式中不恒成立的是（ ）.
2
2
A. a b a b ；
B.
ab
ab
2
a
2
b
；
C. a b a b ；
D． a b a b .
15. 设 m 、 n 为两条直线， 、 为两个平面，则下列命题中假命题是（ ）.
21．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）
若对于数列an 中的任意两项 ai 、a j
i
j ，在an 中都存在一项 am ，使得 am
ai2 aj
，则称数列an 为“ X
数列”；若对于数列an 中的任意一项 an
n
3
，在an 中都存在两项 ak
3 27 3
…………6 分
21．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）
解（1）数列an 的通项为 an n ， a2 2 ， a3 3 ，
…………2 分
因为 a32 a2
9 2
不是正整数，所以不是数列
an
的项，
所以数列an 不是“X 数列”.
由（1）知
y1 y2
4
，即
y2
4 y1
所以 y3 y2 ， BC 平行于 x 轴
…………4 分 …………6 分 …………7 分
19．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
解：（1）连接 BD ，由题意 ABD 是等边三角形，所以 BD 20
又因为 ADC 105 ，所以 DBC 45
数组 b1,b2 , b3 的一组值可以是（ ）.
A. 3, 1,1 ；
B. 1, 2, 1 ； C. 1, 2, 2 ；
D. 1, 3,1 .
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
2024届上海长宁区高三一模数学试题及答案
考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答2023学年第一学期高三数学教学质量调研试卷题纸的相应位置直接填写结果．1.已知集合(],4A =-∞，{}1,3,5,7B =，则A B = .2.复数z 满足11iz =-（i 为虚数单位），则z =.3.不等式11x>的解集为.4.设向量()1,2a =- ，()1,b m =- ，若//a b，则m =.5.将4个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则共有种不同排法.6.物体位移s 和时间t 满足函数关系()21005020s t t t =-<<，则当2t =时，物体的瞬时速度为.7．现利用随机数表法从编号为00，01，02，⋯，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为.9522600049840128661751683968292743772366270966239258095643890890064828345974145829778149646089258.在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值y （单位：dB ）定义为010lgIy I =.其中I 为声场中某点的声强度，其单位为2/W m ，12010I -=2/W m 为基准值.若210/I W m =，则其相应的声强级为dB .9.若向量()1,0,2a = ，()0,1,1b =- ，则a 在b方向上的投影向量为_______．10．若“存在0x >，使得210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围．11.若函数()sin cos f x x a x =+在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格单调函数，则实数a 的取值范围为.12.设()()2log 0f x x ax b a =++>，记函数()y f x =在区间[](),10t t t +>上的最大值为(),t M a b ，若对任意b ∈R ，都有(),1t M a b a ≥+，则实数t 的最大值为.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）.A.()2f x x =；B.()2f x x =；C.()ln f x x =；D.()x f x e =.14．“()()()P A B P A P B = ”是“事件A 与事件B 互相独立”（）.A ．充分不必要条件；B ．必要不充分条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件.15.设点P 是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置()01,0P 出发，沿单位圆按逆时针方向转动角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭后到达点1P ，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角4π到达2P .若点2P 的横坐标为35-，则点1P 的纵坐标（）.A ．210；B ．25；C ．325；D ．7210.16.豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐.将三角形豆腐ABC 悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T .若忽略三角形豆腐ABC 的厚度，设3AB =，4BC =,5AC =，点P 在△ABC 内部.假设对于任意点P ，满足1PQ ≤的点Q 都在T 内，且对于T 内任意一点Q ，都存在点P ，满足1PQ ≤，则T 的体积为（）.A.127π+；B.22π123+； C.147π+；D.22π143+.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差2d =.（1）若10100S =，求{}n a 的通项公式；（2）从集合{}123456,,,,,a a a a a a 中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件A ，求事件A 发生的概率()P A .18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.=，O为BD的中点．如图，在三棱锥A BCD-中，平面ABD⊥平面BCD，AB AD（1）求证：AO CD⊥；（2）若BD DC⊥，BD DC=，求异面直线BC与AD所成的角的大小．=，AO BO19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图1，某汽车四轮中心分别为A、B、C、D，向左转向，左前轮转向角为α，右前轮转向角为β，转向中心为O.设该汽车左右轮距AB为w米，前后轴距AD为l米.（1）试用w、l和α表示tanβ；（2）如图2，有一直角弯道，M为内直角顶点，EF为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A、D与路边FS相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：①转向过程中，左前轮转向角α的值始终为30︒；②设转向中心O到路边EF的距离为d，若w=， 2.680l=.<，则汽车可以通过，否则不能通过；③ 1.570OB d<且OM OD问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？图1图220．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.已知椭圆22142x y Γ+=：，1F 、2F 为Γ的左、右焦点，点A 在Γ上，直线l 与圆22:2C x y +=相切.（1）求△12AF F 的周长；（2）若直线l 经过Γ的右顶点，求直线l 的方程；（3）设点D 在直线2y =上，O 为原点，若OA OD ⊥，求证：直线AD 与圆C 相切.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.若函数()y f x =与()y g x =满足：对任意12,R x x ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“约束函数”.已知函数()y f x =是函数()y g x =的“约束函数”.（1）若()2f x x =，判断函数()y g x =的奇偶性，并说明理由；（2）若()()30f x ax x a =+>，()sin g x x =，求实数a 的取值范围；（3）若()y g x =为严格减函数，()()01f f <，且函数()y f x =的图像是连续曲线，求证：()y f x =是()0,1上的严格增函数.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果参考答案和评分标准．1.{}1,3；2.2；3.()0,1；4.2；5.12；6.80；7．14；8.130；9.()0,1,1-；10．[)2,-+∞；11.3⎡-⎢⎣；12.13.11解：()cos sin f x x a x '=-，因为()0f π'<，所以()y f x =在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格减函数，当27,36x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos sin 0x a x -<恒成立，所以1tan 0a x ->在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，因为我tan x ⎛∈ ⎝是，所以3a -≤≤12解：设2log u x ax b =++，因为[],1x t t ∈+，所以()()22log log 11t at b u t a t b ++≤≤++++所以()()(){}22,max log ,log 11t M a b t at b t a t b=++++++()()()()()()()()2222log 11loglog 11log 2t a t b t at b t a t b t at b ++++++++++++-++=()()()()()2222log 11loglog 1log 2122t a t b t at b t t aa ++++-+++-+≥=≥+得103t <≤二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.A ；14.C ；15.D ；16.B16解：该几何体由一下几部分组成：一个底面与ABC 平行高为2的三棱柱；底面为半径为1的半圆，高分别3、4、5的三个圆柱；一个半径为1的球.所以该几何体的体积为()4226234512233πππ⨯++++=+三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差2d =.（1）若10100S =，求{}n a 的通项公式；（2）从集合{}123456,,,,,a a a a a a 中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件A ，求事件A 发生的概率()P A .解：（1）因为()1112n S na n n d =+-，所以1011090100S a =+=，……..2分得11a =，…….4分所以()1121n a a n d n =+-=-.…….6分（2）随机实验样本空间中样本点的个数为3620C =，……..3分事件A 所含样本点分两类，公差为d 的有4个，公差为2d 的有2个，……..6分所以事件A 发生的概率()632010P A ==.…….8分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）求证：AO CD ⊥；（2）若BD DC ⊥，BD DC =，AO BO =，求异面直线BC 与AD 所成的角的大小．（1）证明：因为AB AD =，O 为BD 的中点，所以AO DB ⊥，…….2分因为平面ABD ⊥平面BCD ，所以AO ⊥平面BCD ，…….4分因为CD ⊂平面BCD ，所以AH CD ⊥.…….6分（2）由（1）知AO ⊥平面BCD ，作//OE CD ，因为CD BD ⊥，所以OE BD ⊥，进而可以OE 、OD 、OA分别为x 轴、y 轴和z 轴正方向，建立坐标系，…..3分因为AO BO =，BD DC =，所以可设()0,0,A a ，()0,,0B a -，()0,,0D a ，()2,,0C a a ，…..6分因为()2,2,0BC a a = ，()0,,AD a a =-设异面直线BC 与AD 所成的角为θ，则12121cos 2n n n n θ⋅== ，所以60θ=︒……8分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图，某汽车四轮中心分别为A 、B 、C 、D ，向左转向，左前轮转向角为α，前右轮转向角为β，转向中心为O.设该汽车左右轮距AB 为w 米，前后轴距AD 为l 米.（1）试用w 、l 和α表示tan β；（2）如图2，有一直角弯道，M 为内直角顶点，EF 为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A 、D 与路边FS 相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：①转向过程中，左前轮转向角α的值始终为30︒；②设转向中心O 到路边EF 的距离为d ，若OB d <且OM OD <，则汽车可以通过，否则不能通过；③ 1.570w =， 2.680l =.问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？解：（1）由已知AOD α∠=，tan BOC β∠=，…….2分所以tan l OD α=，tan l OC w α=+，……..4分进而tan tan llw βα=+.……..6分（2）以EF 和FS 分别为x 轴和y 轴建立坐标系，则()3.5, 3.5M --. 4.642tan lOD α===，6.766OB ==，……..2分设(),O a b ()0,0a b <<，2 6.642a =-=-，d b =-，OM ==，……..4分由OM OD <，得()29.872 3.521.548b ++<，进而 6.9170.83b -<<-，由OB d <，得 6.766b <-，…….6分所以当 6.917 6.765b -<<时，OB d <且OM OD <，此时汽车可以通过弯道.答：选择恰当转向位置，汽车可以通过弯道.…….8分20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.已知椭圆22142x y Γ+=：，1F 、2F 为Γ的左、右焦点，点A 在Γ上，直线l 与圆22:2C x y +=相切.（1）求△12AF F 的周长；（2）若直线l 经过Γ的右顶点，求直线l 的方程；（3）设点D 在直线2y =上，O 为原点，若OA OD ⊥，求证：直线AD 与圆C 相切.解：（1）设椭圆Γ的聚焦为2c ，长轴长为2a ，短轴长为2b ，则24a =，22b =，所以22c =，……..2分所以1224AF AF a +==，122F F c ==得△12AF F 的周长为4+.……..4分（2）椭圆Γ的右顶点为()2,0，所以可设直线l 的方程为()2y k x =-，……..2分因为圆222x y +=与直线l 相切，=，……..4分解得k =，直线l 的方程为)2y x =-.…….6分（3）设()00,A x y ，(),2D m ，因为OA OD ⊥，所以0020mx y +=，…….2分当0m x =时，20020x y +=，由2200142x y +=，得01y =-，0x =直线AD 方程为x =，与圆22:2C x y +=相切，…….4分当0m x ≠时，直线AD 的方程为()0000002222y y x my y x m x x m x m x m---=-+=+---则原点O 到直线AD 的距离为d =，…….6分因为002y m x =-，2200142x y +=，所以221684442220204002020202020020=+++=++++=x x x x x x y y x x y x d ．此时直线AD 与圆22:2C x y +=相切．……8分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.若函数()y f x =与()y g x =满足：对任意12,R x x ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“约束函数”.已知函数()y f x =是函数()y g x =的“约束函数”.（1）若()2f x x =，判断函数()y g x =的奇偶性，并说明理由；（2）若()()30f x ax x a =+>，()sin g x x =，求实数a 的取值范围；（3）若()y g x =为严格减函数，()()01f f <，且函数()y f x =的图像是连续曲线，求证：()y f x =是()0,1上的严格增函数.证明：（1）函数()y g x =为偶函数.……2分因为对任意R x ∈，都有()()()()f x f x g x g x --≥--，所以()()()220g x g x x x --≤--=，得()()g x g x -=，所以()y g x =为偶函数.………4分（2）解：设12x x <因为()y f x =是R 上的严格增函数，所以()()12f x f x <，进而()()()()1221g x g x f x f x -≤-，所以()()()()1122f x g x f x g x +≤+，()()()()1122f x g x f x g x -≤-，设()()()u x f x g x =+，()()()v x f x g x =-，则()y u x =与()y v x =均为R 上的严格增函数，…….3分()23cos 0u x a x x '=++≥，()23cos 0v x a x x '=+-≥恒成立因为230x ≥，cos 1x -≥-，所以23cos 1a x x a +-≥-，得1a ≥，当1a ≥时，()23cos 0u x a x x '=++≥恒成立，所以1a ≥.………..6分（3）设12x x <，因为()y g x =是严格减函数，所以()()12g x g x >，而()()()()2112f x f x g x g x -≥-，所以()()120f x f x ->所以对任意12x x <，都有()()12f x f x ≠（*）……2分①首先证明，当01x <<时，()()()01f f x f <<，假设存在001x <<，且()()01f f x <，设()()()1h x f x f =-，则()00h <，()00h x >，所以存在()300,x x ∈，使得()30h x =，得()()31f x f =，与结论*矛盾，所以不存在001x <<，使得()()01f f x <同理也不存在001x <<，使得()()00f x f <，所以当01x <<时，()()()01f f x f <<.……5分②再证明，当1201x x <<<时，()()12f x f x <，假设存在1201x x <<<，使得()()12f x f x >，则()()()()2101f f x f x f <<<设()()()2h x f x f x =-，则()00h <，()10h x >，所以存在()300,x x ∈，使得()30h x =，得()()32f x f x =，与结论*矛盾，第11页共11页所以假设不成立，即对任意()12,0,1x x ∈，都有()()12f x f x <所以函数()y f x =是区间()0,1上的增函数……8分。
2024年上海市长宁区高考数学一模卷及解析
2024年上海市长宁区高考数学一模卷及解析一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、已知全集U = { x | -3 ≤x ≤5 }，A = { x | -1 < x < 2 }，B = { x | 0 ≤x ≤3 }，则A ∪(U的补集B) = （）A. ( - 3，2)B. [-3，-1]C. (-3，3]D. [-3，3]2、下列函数中，周期为π，并且在区间(0,π)上是减函数的是( )A.y=sin(2x)B.y=cos(2x)C.y=tan(2x)D.y=sin(x+4π)3、下列说法中正确的是( )A. 若f(x) = 0, 则f'(x) = 0B. 若g(x) = x^2, 则g'(x) = 2C. 若h(x) = sin^2x, 则h'(x) = 2cosxD. 若k(x) = e^(-x), 则k'(x) = -e^(-x)4、下列结论中正确的是( )A. 若y = x^2, 则dy = 2x dyB. 若y = (x + 1)^2, 则dy = 2x dy + 1 dyC. 若y = sin x, 则dy = cos x dyD. 若y = e^x, 则dy = e^x dy5、若a > b > c > 0，则下列结论中正确的是( )A. a^b > b^bB. a^c < b^cC. a^b < a^cD. log_a(b - c) > log_a(a - c)6、下列函数中，最小值为4的是( )A.y=x+x4B.y=x+4−xC.y=sinx+sinx4(0<x<π)D.y=ex+ex4(x=0)7、下列说法中正确的是（）A. 若a •b •c < 0，则(a •b) •c < 0B. 若a •b •c > 0，则(a •b) •c > 0C. 若a •b •c < 0，则(a •b) •c < 0 或(a •c) •b < 0D. 若a •b •c > 0，则(a •b) •c > 0 或(a •c) •b > 08、在平面直角坐标系xOy 中，直线l₁：kx - y + k - 1 = 0 与直线l₂：x + ky - k = 0 相交于点P，则当实数k 变化时，点P 的轨迹是( )A. 一条直线B. 一个圆C. 一个椭圆D. 双曲线的一支9、下列说法中正确的是( )A. "若a•b = 0,则a = 0 或b = 0" 的否命题是真命题B. "若x^2 + y^2 = 0,则xy = 0" 的逆命题是假命题C. "若x < y,则x^2 < y^2" 的逆命题是真命题D. "若p 则q" 为假命题，则p 为假命题10、若直线l₁：kx - y + k - 1 = 0 与直线l₂：x + ky - k = 0 的交点在椭圆C：(x²/9) + (y²/5)= 1 上，则实数k 的取值范围是_______．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）1、若f(x) 是定义在R 上周期为2 的函数，当x ∈(-1,1) 时，f(x) = { x^2 + ax; x +b; } ，且f(-1) = f(1),解析：2、对于选项A，A∪(U的补集B)=(−3,2)，这是因为集合B的补集是(−3,0]∪[3,5)，与集合A取并集后得到(−3,2)。
上海市2021届高三一模暨春考数学模拟试卷十 PDF版含答案
它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2018i
表示的复数在复平面中位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
16. 给出下列四个命题：（1）函数 y arccos x（ 1 x 1 ）的反函数为 y cos x（ x R ）；
证明(2) 用反证法证明 g(x) M .
假设 g(x) M ，则存在实数对 (a, k)(k 0) 使得 g(2a x) k g(x) 成立.
又 g(x) 2x ，于是， 22ax k 2x ，即 22a k 22x . 一方面，此等式对 x R 都成立；另一方面，该等式左边是正的常数，右边是随 x 变
8(n 1) (2n 1)(2n 1)(2n 3)
，
知 A1 A2 ，且从第二项起，{An} 递增，即 A1 A2 A3 A4
而
Bn
1
1 (2n 1)2
递减，故实数
的范围为 A1, B1 ,即
2 3
,
10 9
.…………18
分
【注】求出 A1 给 3 分，求出 B1 给 2 分，结论 1 分
（）
A. 向右平移 个单位 4
C. 向右平移 个单位 12
B. 向左平移 个单位 4
D. 向左平移 个单位 12
15. 欧拉公式 eix cos x isin x （ i 为虚数单位， x R ， e 为自然底数）是由瑞士著名数
学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，
a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5 ，若 ai 与 a j 的夹角记为ij ，其中 i, j 1,2,3,4,5 ，且 i j ，则
上海市2021届高三一模暨春考数学模拟试卷十二答案
参考答案：一．填空题：1、4(,)+∞；2、22；3、()13,；4、4；5、712；6、0；7、；8、3[0,3；9、(],1-∞-；10、11[,]83；11、[6-+；12、(3-+；二．选择题：13、D；14、A；15、A；16、B；三．解答题：17、（1）,,,36T x k k k Z πππππ⎡⎤=∈-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）3π；18、（1）322arccos ；（2）42162米。
19、（1）35；（2）1[,)4a ∈+∞．20．（1）当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan 303b a == ，又焦距为4，则224a b +=，…………………3分解得a =1b =，则所求双曲线Γ的方程为2213x y -=.……………………………4分（2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由221340x y x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，得22(3)8130m y my -++=，则12283m y y m +=-，122133y y m =-，且2226452(3)12(13)0m m m ∆=--=+>，………………………………………………………………2分又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE ⋅< ，即12120x x y y +<，即1212(4)(4)0my my y y +++<，即212124()(1)160m y y m y y ++++<，则22221313816033m m m m +-+<--，……………………………4分即223503m m -<-，则153m <<-或153m <<，即实数m的取值范围1515()33- .…………………6分（3）线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -.设00(,)D x y，由（1）得点B ，又点P 是线段BD 的中点，则点003(,)22x y P +，……………2分直线BD，直线AD，又BD PQ ⊥，则直线PQ的方程为0000()22y x x y x y -+-=-，即200000322x x y y x y y --=++，又直线AD的方程为y x =+，联立方程200000322x x y y x y y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y化简整理，得2220003)22x y x x x --++=+，又220013x y =-，代入消去20y，得20002(3)1)(33x x x x x --+=-+，即02(3)1(33x x x +-+=，则0234x x =，即点Q的横坐标为024x +，……………5分则4p q x x -==.故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.……6分说明：看作是PQ 在OB 或(1,0)i = 方向上投影的绝对值，请相应评分.21、解：（1）(1)1f =，(2)2f =，猜想()f n n =；（2）98n a n =-，由21218899899999m m m m n n --<-<⇒+<<+112191,92,,9---∴=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅m m m n ，21199m m m t --∴=-，352211(91)(99)(99)(99)m m m S --∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-352121(9999)(1999)m m --=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+22129(19)(19)91091191980m m m m +---⋅+=-=--，2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立min 12()83λλ⇒≤==⇒≤m S S ；（3）1sin ,4b π=记1sin ,4n n b πθθ==，则1sin sin 2n n θθ+==*1()2n n n N πθ+⇒=∈，1tan,4c π=记1tan ,4n n c πϕϕ==，则1sec 1tan tan tan 2n n n n ϕϕϕϕ+-==*1()2n n n N πϕ+⇒=∈，11sin ,tan ,22n n n n b c ππ++∴==当(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<可知：1111sin ()tan ,2222n n n n n n b f c ππππ++++=<=<=。
2021年上海市长宁区高考数学一模试卷(含详细解析)
2021年上海市长宁区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．（4分）不等式201x x -<+解集为 ． 2．（4分）函数sin(2)6y x π=-的最小正周期为 ．3．（4分）计算：121lim 31n nn +→∞+=- ． 4．（4分）数组2.7、3.1、2.5、4.8、2.9、3.6的中位数为 ．5．（4分）在61()x x+的二项展开式中，2x 项的系数为 ．6．（4分）若函数()y f x =的反函数1()log (0,1)a f x x a a -=>≠图象经过点3(8,)2，则1()2f -的值为 ．7．（5分）若直线1201x y k-+=的法向量与直线10x y +-=的方向向量垂直，则实数k = ．8．（5分）设集合2{|1}M x x =，{}N b =，若MN M =，则实数b 的取值范围为 ．9．（5分）设F 为双曲线222:1(0)y x b bΓ-=>的右焦点，O 为坐标原点，P 、Q 是以OF 为直径的圆与双曲线Γ渐近线的两个交点．若||||PQ OF =，则b = ．10．（5分）在ABC ∆中，3AB =，2AC =，点D 在边BC 上．若1AB AD =，53AD AC =，则AB AC 的值为 ．11．（5分）设O 为坐标原点，从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取两个不同的元素x 、y ，组成A 、B 两点的坐标(,)x y 、(,)y x ，则12arctan 3AOB ∠=的概率为 ． 12．（5分）设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若数列{}n a 满足：存在三个不同的正整数r ，s ，t ，使得r a ，s a ，t a 成等比数列，2r a ，2s a ，2t a 也成等比数列，则1990nnS S a +的最小值为 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）设复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位），则“0a =”是“z 为纯虚数”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．（5分）对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．22()||a b a b +=+B ．22()()a b a b a b +-=-C ．||||||a b a b D ．||||||||a b a b --15．（5分）设m 、n 为两条直线，α、β为两个平面，则下列命题中假命题是( )A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥B ．若//m n ，m α⊥，//n β，则αβ⊥C ．若m n ⊥，//m α，//n β，则//αβD ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ16．（5分）设123()|||||2|f x x b kx b x b =-+---，其中常数0k >，1b ，2b ，3b R ∈，若函数()y f x =图象如图所示，则数组1(b ，2b ，3)b 的一组值可以是()A ．(3，1-，1)B ．(1，2-，1)-C ．(1-，2，2)D ．(1，3-，1)三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，高为32． （1）求该圆锥的侧面积；（2）设OA 、OB 为该圆锥的底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，求直线PM 与直线OB 所成的角的正切值，18．（14分）设抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，直线:0l x my n --=经过F 且与Γ交于A 、B 两点．（1）若||8AB =，求m 的值；（2）设O 为坐标原点，直线AO 与Γ的准线交于点C ，求证：直线BC 平行于x 轴． 19．（14分）某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD 沿边界围成一个封闭的留观区．经测量，边界AB 与AD 的长度都是20米，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒．（1）若105ADC ∠=︒，求BC 的长（结果精确到米）；（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）．20．（16分）设32()2()f x x ax x x R =+-∈，其中常数a R ∈．（1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； （2）若不等式33()2f x x >在区间1[2，1]上有解，求实数a 的取值范围； （3）已知：若对函数()y h x =定义域内的任意x ，都有()(2)2h x h m x n +-=，则函数()y x =的图象有对称中心(,)m n ．利用以上结论探究：对于任意的实数a ，函数()y f x =是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标（用a 表示）；若不是，证明你的结论．21．（18分）若对于数列{}n a 中的任意两项可i a ，()j a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使得2i m ja a a =，则称数列{}n a 为“X 数列”若对于数列{}n a 中的任意一项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项k a ，()l a k l >，使得2k n la a a =，则称数列{}n a 为“Y 数列”．（1）若数列{}n a 为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列{}n a 是否为“X 数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 的前n 项和21(*)n n S n N =-∈，求证：数列{}n a 为“Y 数列”； （3）若数列{}n a 为各项均为正数的递增数列，且既为“X 数列”，又为“Y 数列”，求证：1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列．2021年上海市长宁区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）不等式201x x -<+解集为 {|12}x x -<< ． 【解答】解：由不等式不等式201x x -<+，可得(2)(1)0x x -+<，解得12x -<<， 故答案为{|12}x x -<<． 2．（4分）函数sin(2)6y x π=-的最小正周期为 π ．【解答】解：函数sin(2)6y x π=-的最小正周期是：22ππ=． 故答案为：π．3．（4分）计算：121lim 31n nn +→∞+=- 0 ． 【解答】解：1212()2133lim lim 013113n n nnn n n+→∞→∞⨯++==--． 故答案为：0．4．（4分）数组2.7、3.1、2.5、4.8、2.9、3.6的中位数为 3.0 ． 【解答】解：该组数据按从小到大排列为：2.5，2.7，2.9，3.1，3.6，4.8； 所以这组数据的中位数为1(2.9 3.1) 3.02⨯+=． 故答案为：3.0．5．（4分）在61()x x+的二项展开式中，2x 项的系数为 15 ．【解答】解：根据二项式定理，61()x x +的通项为6621661()r r r r rr T C x C x x--+==，0r =，1，2，⋯，6，当622r -=时，即2r =时，可得2315T x =，即2x 项的系数为15， 故答案为：15．6．（4分）若函数()y f x =的反函数1()log (0,1)a f x x a a -=>≠图象经过点3(8,)2，则1()2f -的值为12． 【解答】解：由已知可得3log 82a =，即328a =，解得4a =，所以14()log f x x -=，再令41log 2x =-，即124x -=，解得12x =，由反函数的定义可得11()22f -=， 故答案为：12． 7．（5分）若直线1201x y k-+=的法向量与直线10x y +-=的方向向量垂直，则实数k =1- ．【解答】解：直线1201x y k-+=，即(1)1(2)0k x y ⨯--⨯+=，即20kx y k ---=， 直线1201x y k-+=的法向量与直线10x y +-=的方向向量垂直，∴这两条直线互相平行，故它们的斜率相等，即1k =-， 故答案为：1-．8．（5分）设集合2{|1}M x x =，{}N b =，若MN M =，则实数b 的取值范围为[1-，1] ．【解答】解：2{|1}{|11}M x x x x ==-，M N M =，N M ∴⊆，{}N b =，11b ∴-．故答案为：[1-，1]．9．（5分）设F为双曲线222:1(0)yx bbΓ-=>的右焦点，O为坐标原点，P、Q是以OF为直径的圆与双曲线Γ渐近线的两个交点．若||||PQ OF=，则b=1．【解答】解：如图，可得(2cP，)2c，又点P在渐进线by xa=上，∴22c b ca=，整理得：1ba=，又1a=，1b∴=，故答案为：110．（5分）在ABC∆中，3AB=，2AC =，点D在边BC上．若1AB AD=，53AD AC=，则AB AC 的值为3-．【解答】解：由已知设AD xAB y AC=+，且1x y+=，因为1AB AD=，53AD AC=，所以()15()3AB xAB y ACAC xAB y AC⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即91543x y AB ACy xAB AC⎧+⋅=⋯⋯⎪⎨+⋅=⋯⋯⎪⎩①②，结合1x y+=，消去AB AC，得195431x yxyx y-⎧=⎪⎪-⎨⎪+=⎪⎩，解得12,33x y==，代入①式，可得3AB AC=-．故答案为：3-．11．（5分）设O 为坐标原点，从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取两个不同的元素x 、y ，组成A 、B 两点的坐标(,)x y 、(,)y x ，则12arctan 3AOB ∠=的概率为19． 【解答】解：x ，{1y ∈，2，3，4，5，6，7，8，9}且y x ≠，∴数对(,)x y 共有9872⨯=个．12arctan 3AOB ∠=，2233tan 241()3AOB ∴∠==-，4cos 5AOB ∴∠=，又连接原点O 和(,)A x y ，(,)B y x 两点，得(,)OA x y ==，(,)OB y x =， 则2224cos 5||||OA OB xy AOB x y OA OB ∠===+，即(2)(2)0x y x y --=，即2y x =，或12y x =， ∴满足12arctan 3AOB ∠=的数对有：(1,2)，(2,4)，(3,6)，(4,8)，(2,1)，(4,2)，(6,3)， (8,4)，共8个，12arctan 3AOB ∴∠=的概率81729P ==．故答案为：19．12．（5分）设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若数列{}n a 满足：存在三个不同的正整数r ，s ，t ，使得r a ，s a ，t a 成等比数列，2r a ，2s a ，2t a 也成等比数列，则1990nnS S a +的最小值为 45 ． 【解答】解：根据题意，数列{}n a 为等差数列，设n a pn q =+，若存在三个不同的正整数r ，s ，t ，使得r a ，s a ，t a 成等比数列，2r a ，2s a ，2t a 也成等比数列，则有22()()()(2)(2)(2)pr q pt q ps q pr q pt q ps q ⎧++=+⎨++=+⎩，即()()222222224444p rt pq t r p s pqs p rt pq t r p s pqs ⎧++=+⎪⎨++=+⎪⎩①② 联立①②，变形可得222p rt p s =，又由等差数列{}n a 的公差不为0，即0p ≠，则有2rt s =，代入①式可得()2pq r t pqs +=，又由r ，s ，t 互不相等且2rt s =，则2r t s +≠，必有0q =，则n a pn =，所以11S a p ==，1()(1)22n n a a n n n pS +⨯+==， 故1(1)9909909901222nnn n p S S n a pn n +++==++，设9901()22n f n n =++，则990199011()22222n f nn n =++⨯=， 当且仅当21880n =时等号成立，此时n 不是正整数，不符合题意， 而4344<<， 所以9904311936(43)432243f =++=，990441(44)454422f =++=， 所以(43)(44)f f >， 所以1990nnS S a +的最小值为45， 故答案为：45．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）设复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位），则“0a =”是“z 为纯虚数”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位），当0a =，且0b ≠时，z 为纯虚数，则“0a =”是“z 为纯虚数”必要非充分条件， 故选：B ．14．（5分）对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立的是()A ．22()||a b a b +=+B ．22()()a b a b a b +-=-C ．||||||a b a bD ．||||||||a b a b --【解答】解：因为22||a a =，所以22()||a b a b +=+正确，所以A 正确；22()()a b a b a b +-=-，满足向量的运算法则，所以B 正确； ||||||cos ,||||a b a b a b a b =<>，所以C 正确；如果两个向量是相反向量，||||||||a b a b --，不正确，所以D 不正确；故选：D ．15．（5分）设m 、n 为两条直线，α、β为两个平面，则下列命题中假命题是( )A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥B ．若//m n ，m α⊥，//n β，则αβ⊥C ．若m n ⊥，//m α，//n β，则//αβD ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ【解答】解：对于A ：由于m α⊥，n β⊥，所以直线m 和n 相当于平面α和β的法向量，由于m n ⊥，所以αβ⊥，故A 正确；对于B ：由于m α⊥，//n β，所以m 相当于α的法向量，由于//m n ，则αβ⊥，故B 正确；对于C ：由于m n ⊥，//m α，//n β，则αβ⊥，故C 正确； 对于D ：由于//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ，故D 正确． 故选：C ．16．（5分）设123()|||||2|f x x b kx b x b =-+---，其中常数0k >，1b ，2b ，3b R ∈，若函数()y f x =图象如图所示，则数组1(b ，2b ，3)b 的一组值可以是()A ．(3，1-，1)B ．(1，2-，1)-C ．(1-，2，2)D ．(1，3-，1)【解答】解：由图象可知，当x →+∞时，123123()2(1)()f x x b kx b x b k x b b b =-+--+=--+-恒为负值，所以1k =，1230b b b +->，即123b b b +>，观察选项可知，只有A 选项中123b b b +>， 故选：A ．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，高为23，底面半径为2． （1）求该圆锥的侧面积；（2）设OA 、OB 为该圆锥的底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，求直线PM 与直线OB 所成的角的正切值，【解答】解：（1）由题意知，23h =，2r =，∴圆锥的母线224l h r =+=，∴圆锥的侧面积112422822S l r πππ==⨯⨯⨯=．（2）取OA 的中点N ，连接MN ，PN ，M 为AB 的中点，//MN OB ∴，PMN ∴∠或其补角即为直线PM 与直线OB 所成的角， OB OA ⊥，OB OP ⊥，OA OP O =，OA 、OP ⊂平面POA ，OB ∴⊥平面POA ，MN ∴⊥平面POA ，MN PN ∴⊥，在Rt PMN ∆中，PN ==112MN OB ==，tan PNPMN MN∴∠== 故直线PM 与直线OB．18．（14分）设抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，直线:0l x my n --=经过F 且与Γ交于A 、B 两点．（1）若||8AB =，求m 的值；（2）设O 为坐标原点，直线AO 与Γ的准线交于点C ，求证：直线BC 平行于x 轴． 【解答】解：（1）根据题意，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，则(1,0)F ，直线:0l x my n --=经过点F ，则有100n --=，解可得1n =，直线l 的方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩可得：2440y my --=，则有124y y m +=，124y y =-，又由||8AB =，则2||4(1)8AB m =+=， 解可得1m =±，（2）根据题意，抛物线2:4y x Γ=的准线为1x =-，设3(1,)C y -，由直线OA 的方程11y y x x =， 则有13114y y x y =-=-， 又由124y y =-，则214y y =-，故2314y y y ==-，故直线BC平行于x 轴． 19．（14分）某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD 沿边界围成一个封闭的留观区．经测量，边界AB 与AD 的长度都是20米，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒．（1）若105ADC ∠=︒，求BC 的长（结果精确到米）；（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）．【解答】解：（1）连接BD ，在ABD ∆中，因为60BAD ∠=︒，AB AD =，所以ABD ∆为等边三角形，所以20BD =，因为105ADC ∠=︒，所以1056045BDC ∠=︒-︒=︒， 在BCD ∆中，由正弦定理可得sin120sin 45BC BC =︒︒，所以20616BC =≈千米，（2）连接BD ，2BD AD ==，且60ADB ∠=︒，可得2BD =， 在BCD∆中，由余弦定理可得222222232cos120()()()()24BC CD BD BC CD BC CD BC CD BC CD BC CD BC CD +=+-︒=+-+-=+，所以2241600()33BC CD BD +=，所以403()max BC CD +=，所以四边形ABCD 的周长为：403()202073max AB BC CD AD +++=++≈米．20．（16分）设32()2()f x x ax x x R =+-∈，其中常数a R ∈．（1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； （2）若不等式33()2f x x >在区间1[2，1]上有解，求实数a 的取值范围； （3）已知：若对函数()y h x =定义域内的任意x ，都有()(2)2h x h m x n +-=，则函数()y x =的图象有对称中心(,)m n ．利用以上结论探究：对于任意的实数a ，函数()y f x =是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标（用a 表示）；若不是，证明你的结论．【解答】解：（1）当0a =时，3()2f x x x =-，显然()()f x f x -=-，函数()f x 是奇函数， 当0a ≠，f （1）1a =-，(1)1f a -=+，(1)f f -≠±（1），故()f x 既不是奇函数也不是偶函数；（2）原问题转化为122a x x >+在区间1[2，1]上有解，函数122y x x =+在区间1[2，1]上单调递减，故52min y =，故a 的取值范围是5(2，)+∞；（3）假设存在对称中心(,)m n ，则32322(2)(2)2(2)2x ax x m x a m x m x n +-+-+---=恒成立，得2232(62)(124)8442m a x m a x m am m n +-+++-=恒成立，故23262012408442m a m am m am m n +=⎧⎪+=⎨⎪+-=⎩， 故3a m =-，322273a an =+， 故函数()y f x =的对称中心是(3a -，322)273a a+． 21．（18分）若对于数列{}n a 中的任意两项可i a ，()j a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使得2i m ja a a =，则称数列{}n a 为“X 数列”若对于数列{}n a 中的任意一项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项k a ，()l a k l >，使得2k n la a a =，则称数列{}n a 为“Y 数列”．（1）若数列{}n a 为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列{}n a 是否为“X 数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 的前n 项和21(*)n n S n N =-∈，求证：数列{}n a 为“Y 数列”； （3）若数列{}n a 为各项均为正数的递增数列，且既为“X 数列”，又为“Y 数列”，求证：1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列．【解答】解：（1）数列{}n a 的通项公式为：n a n =，22a =，33a =，23292a a =不是整数，故不是数列{}n a 的项， 故数列{}n a 不是“X 数列”；（2）数列{}n a 的前n 项和*21()n n S n N =-∈，故12n n a -=，当3n 时，取1K m =-，2l m =-，则221122k l n k n la a a ---===，故数列{}n a 是“Y 数列”， （3）证明：记21a q a =，而数列{}n a 为各项均为正数的递增数列， 故1q >且当k l >时，1k laa >，若k l >，2k kn k k l l la a a a a a a a ==⨯>>，则n k l >>①， 数列{}n a 为“X 数列”，故存在i j >，且23i ja a a =，由①知：31i j >>，故2i =，1j =，即222311a a a q a ==，即1a ，2a ，3a 成等比数列，数列{}n a 是“X 数列”，存在正整数k ，()l k l >，使得24k la a a =，由①得：4k l >>，故3k l >，从而22141k l k la a a q a --==，记*421n k l N =--∈，数列{}n a 是“Y 数列”，存在正整数m ，使得233312m a a q a a q a ==⨯=，由1q >，得3m a a >，若43411na a q a q =<，再由2314a a q a =<，得423n <<，与*4n N ∈矛盾，若341m a a q a >=，则34m a a a <<，与数列{}n a 递增矛盾， 故341a a q =，即1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列．。
2024届上海长宁区高三一模数学试卷和答案
2023-2024学年上海长宁区第一学期教学质量调研试卷高三数学考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知集合(],4A =-∞，{}1,3,5,7B =，则A B = .2.复数z 满足11iz =-（i 为虚数单位），则z =.3.不等式11x>的解集为.4.设向量()1,2a =- ，()1,b m =- ，若//a b，则m =.5.将4个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则共有种不同排法.6.物体位移s 和时间t 满足函数关系()21005020s t t t =-<<，则当2t =时，物体的瞬时速度为.7．现利用随机数表法从编号为00，01，02，⋯，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为.9522600049840128661751683968292743772366270966239258095643890890064828345974145829778149646089258.在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值y （单位：dB ）定义为010lgI y I =.其中I 为声场中某点的声强度，其单位为2/W m ，12010I -=2/W m 为基准值.若210/I W m =，则其相应的声强级为dB .9.若向量()1,0,2a = ，()0,1,1b =- ，则a 在b方向上的投影向量为_______．10．若“存在0x >，使得210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围．11.若函数()sin cos f x x a x =+在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格单调函数，则实数a 的取值范围为.12.设()()2log 0f x x ax b a =++>，记函数()y f x =在区间[](),10t t t +>上的最大值为(),t M a b ，若对任意b ∈R ，都有(),1t M a b a ≥+，则实数t 的最大值为.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）.A.()2f x x =；B.()2f x x =；C.()ln f x x =；D.()x f x e =.14．“()()()P A B P A P B = ”是“事件A 与事件B 互相独立”（）.A ．充分不必要条件；B ．必要不充分条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件.15.设点P 是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置()01,0P 出发，沿单位圆按逆时针方向转动角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭后到达点1P ，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角4π到达2P .若点2P 的横坐标为35-，则点1P 的纵坐标（）.A ；B ；CD 16.豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐.将三角形豆腐ABC 悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T .若忽略三角形豆腐ABC 的厚度，设3AB =，4BC =,5AC =，点P 在△ABC 内部.假设对于任意点P ，满足1PQ ≤的点Q 都在T 内，且对于T 内任意一点Q ，都存在点P ，满足1PQ ≤，则T 的体积为（）.A.127π+；B.22π123+； C.147π+；D.22π143+.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差2d =.（1）若10100S =，求{}n a 的通项公式；（2）从集合{}123456,,,,,a a a a a a 中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件A ，求事件A 发生的概率()P A .18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.=，O为BD的中点．如图，在三棱锥A BCD-中，平面ABD⊥平面BCD，AB AD（1）求证：AO CD⊥；（2）若BD DC=，求异面直线BC与AD所成的角的大小．=，AO BO⊥，BD DC19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图1，某汽车四轮中心分别为A、B、C、D，向左转向，左前轮转向角为α，右前轮转向角为β，转向中心为O.设该汽车左右轮距AB为w米，前后轴距AD为l米.（1）试用w、l和α表示tanβ；（2）如图2，有一直角弯道，M为内直角顶点，EF为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A、D与路边FS相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：①转向过程中，左前轮转向角α的值始终为30︒；②设转向中心O到路边EF的距离为d，若OB dl=.<且OM ODw=， 2.680<，则汽车可以通过，否则不能通过；③ 1.570问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？图1图220．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.已知椭圆22142x y Γ+=：，1F 、2F 为Γ的左、右焦点，点A 在Γ上，直线l 与圆22:2C x y +=相切.（1）求△12AF F 的周长；（2）若直线l 经过Γ的右顶点，求直线l 的方程；（3）设点D 在直线2y =上，O 为原点，若OA OD ⊥，求证：直线AD 与圆C 相切.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.若函数()y f x =与()y g x =满足：对任意12,R x x ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“约束函数”.已知函数()y f x =是函数()y g x =的“约束函数”.（1）若()2f x x =，判断函数()y g x =的奇偶性，并说明理由；（2）若()()30f x ax x a =+>，()sin g x x =，求实数a 的取值范围；（3）若()y g x =为严格减函数，()()01f f <，且函数()y f x =的图像是连续曲线，求证：()y f x =是()0,1上的严格增函数.参考答案和评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.{}1,3；2.；3.()0,1；4.2；5.12；6.80；7．14；8.130；9.()0,1,1-；10．[)2,-+∞；11.⎡⎢⎣；12.13.11解：()cos sin f x x a x '=-，因为()0f π'<，所以()y f x =在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格减函数，当27,36x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos sin 0x a x -<恒成立，所以1tan 0a x ->在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，因为我tan 3x ⎛∈ ⎝是，所以a ≤≤12解：设2log u x ax b =++，因为[],1x t t ∈+，所以()()22log log 11t at b u t a t b ++≤≤++++所以()()(){}22,max log ,log 11t M a b t at b t a t b=++++++()()()()()()()()2222log 11loglog 11log 2t a t b t at b t a t b t at b ++++++++++++-++=()()()()()2222log 11loglog 1log 212t a t b t at b t t aa ++++-+++-+≥=≥+得103t <≤二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.A ；14.C ；15.D ；16.B16解：该几何体由一下几部分组成：一个底面与ABC 平行高为2的三棱柱；底面为半径为1的半圆，高分别3、4、5的三个圆柱；一个半径为1的球.所以该几何体的体积为()4226234512233πππ⨯++++=+三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差2d =.（1）若10100S =，求{}n a 的通项公式；（2）从集合{}123456,,,,,a a a a a a 中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件A ，求事件A 发生的概率()P A .解：（1）因为()1112n S na n n d =+-，所以1011090100S a =+=，……..2分得11a =，…….4分所以()1121n a a n d n =+-=-.…….6分（2）随机实验样本空间中样本点的个数为3620C =，……..3分事件A 所含样本点分两类，公差为d 的有4个，公差为2d 的有2个，……..6分所以事件A 发生的概率()632010P A ==.…….8分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）求证：AO CD ⊥；（2）若BD DC ⊥，BD DC =，AO BO =，求异面直线BC 与AD 所成的角的大小．（1）证明：因为AB AD =，O 为BD 的中点，所以AO DB ⊥，…….2分因为平面ABD ⊥平面BCD ，所以AO ⊥平面BCD ，…….4分因为CD ⊂平面BCD ，所以AH CD ⊥.…….6分（2）由（1）知AO ⊥平面BCD ，作//OE CD ，因为CD BD ⊥，所以OE BD ⊥，进而可以OE 、OD 、OA分别为x 轴、y 轴和z 轴正方向，建立坐标系，…..3分因为AO BO =，BD DC =，所以可设()0,0,A a ，()0,,0B a -，()0,,0D a ，()2,,0C a a ，…..6分因为()2,2,0BC a a = ，()0,,AD a a =-设异面直线BC 与AD 所成的角为θ，则12121cos 2n n n n θ⋅== ，所以60θ=︒……8分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图，某汽车四轮中心分别为A 、B 、C 、D ，向左转向，左前轮转向角为α，前右轮转向角为β，转向中心为O.设该汽车左右轮距AB 为w 米，前后轴距AD 为l 米.（1）试用w 、l 和α表示tan β；（2）如图2，有一直角弯道，M 为内直角顶点，EF 为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A 、D 与路边FS 相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：①转向过程中，左前轮转向角α的值始终为30︒；②设转向中心O 到路边EF 的距离为d ，若OB d <且OM OD <，则汽车可以通过，否则不能通过；③ 1.570w =， 2.680l =.问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？解：（1）由已知AOD α∠=，tan BOC β∠=，…….2分所以tan l OD α=，tan lOC w α=+，……..4分进而tan tan llw βα=+.……..6分（2）以EF 和FS 分别为x 轴和y 轴建立坐标系，则()3.5, 3.5M --. 4.642tan lOD α===，6.766OB ==，……..2分设(),O a b ()0,0a b<<，2 6.642a =-=-，d b =-，OM ==，……..4分由OM OD <，得()29.872 3.521.548b ++<，进而 6.9170.83b -<<-，由OB d <，得 6.766b <-，…….6分所以当 6.917 6.765b -<<时，OB d <且OM OD <，此时汽车可以通过弯道.答：选择恰当转向位置，汽车可以通过弯道.…….8分20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.已知椭圆22142x y Γ+=：，1F 、2F 为Γ的左、右焦点，点A 在Γ上，直线l 与圆22:2C x y +=相切.（1）求△12AF F 的周长；（2）若直线l 经过Γ的右顶点，求直线l 的方程；（3）设点D 在直线2y =上，O 为原点，若OA OD ⊥，求证：直线AD 与圆C 相切.解：（1）设椭圆Γ的聚焦为2c ，长轴长为2a ，短轴长为2b ，则24a =，22b =，所以22c =，……..2分所以1224AF AF a +==，122F F c ==得△12AF F的周长为4+.……..4分（2）椭圆Γ的右顶点为()2,0，所以可设直线l 的方程为()2y k x =-，……..2分因为圆222x y +=与直线l 相切，=，……..4分解得22k =±，直线l 的方程为()222y x =±-.…….6分（3）设()00,A x y ，(),2D m ，因为OA OD ⊥，所以0020mx y +=，…….2分当0m x =时，20020x y +=，由2200142x y +=，得01y =-，0x =直线AD方程为x =，与圆22:2C x y +=相切，…….4分当0m x ≠时，直线AD 的方程为()0000002222y y x my y x m x x m x m x m---=-+=+---则原点O 到直线AD 的距离为d =，…….6分因为002y m x =-，2200142x y +=，所以2216844422202040020202020200200=+++=++++=x x x x x x y y x x y x d ．此时直线AD 与圆22:2C x y +=相切．……8分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.若函数()y f x =与()y g x =满足：对任意12,R x x ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“约束函数”.已知函数()y f x =是函数()y g x =的“约束函数”.（1）若()2f x x =，判断函数()y g x =的奇偶性，并说明理由；（2）若()()30f x ax x a =+>，()sin g x x =，求实数a 的取值范围；（3）若()y g x =为严格减函数，()()01f f <，且函数()y f x =的图像是连续曲线，求证：()y f x =是()0,1上的严格增函数.证明：（1）函数()y g x =为偶函数.……2分因为对任意R x ∈，都有()()()()f x f x g x g x --≥--，所以()()()220g x g x x x --≤--=，得()()g x g x -=，所以()y g x =为偶函数.………4分（2）解：设12x x <因为()y f x =是R 上的严格增函数，所以()()12f x f x <，进而()()()()1221g x g x f x f x -≤-，所以()()()()1122f x g x f x g x +≤+，()()()()1122f x g x f x g x -≤-，设()()()u x f x g x =+，()()()v x f x g x =-，则()y u x =与()y v x =均为R 上的严格增函数，…….3分()23cos 0u x a x x '=++≥，()23cos 0v x a x x '=+-≥恒成立因为230x ≥，cos 1x -≥-，所以23cos 1a x x a +-≥-，得1a ≥，当1a ≥时，()23cos 0u x a x x '=++≥恒成立，所以1a ≥.………..6分（3）设12x x <，因为()y g x =是严格减函数，所以()()12g x g x >，而()()()()2112f x f x g x g x -≥-，所以()()120f x f x ->所以对任意12x x <，都有()()12f x f x ≠（*）……2分①首先证明，当01x <<时，()()()01f f x f <<，假设存在001x <<，且()()01f f x <，设()()()1h x f x f =-，则()00h <，()00h x >，所以存在()300,x x ∈，使得()30h x =，得()()31f x f =，与结论*矛盾，所以不存在001x <<，使得()()01f f x <同理也不存在001x <<，使得()()00f x f <，所以当01x <<时，()()()01f f x f <<.……5分②再证明，当1201x x <<<时，()()12f x f x <，假设存在1201x x <<<，使得()()12f x f x >，则()()()()2101f f x f x f <<<设()()()2h x f x f x =-，则()00h <，()10h x >，所以存在()300,x x ∈，使得()30h x =，得()()32f x f x =，与结论*矛盾，所以假设不成立，即对任意()12,0,1x x ∈，都有()()12f x f x <所以函数()y f x =是区间()0,1上的增函数……8分。
2021年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷
精品"正版〞资料系列,由本公司独创 .旨在将"人教版〞、〞苏教版"、〞北师大版"、〞华师大版"等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月,是当前最|新版本的教材资源 .包含本课对应内容,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最|正确选择 .2021年上海市长宁区、嘉定区高|考数学一模试卷一.填空题(本大题共12题,1 -6每题4分,7 -12每题5分,共54分)1．(4分)集合A ={1 ,2 ,3 ,4} ,B ={2 ,4 ,5} ,那么A∩B =．2．(4分)不等式的解集为．3．(4分),那么=．4．(4分)=．5．(4分)球的外表积为16π ,那么该球的体积为．6．(4分)函数f (x ) =1 +log a x ,y =f﹣1 (x )是函数y =f (x )的反函数,假设y =f﹣1 (x )的图象过点(2 ,4 ) ,那么a的值为．7．(5分)假设数列{a n}为等比数列,且a5 =3 ,那么=．8．(5分)设△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a ,b ,c , (a+b+c ) (a﹣b+c ) =ac ,那么B =．9．(5分)假设的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256 ,那么该展开式中常数项的值为．10．(5分)函数f (x )是定义在R上且周期为4的偶函数,当x∈[2 ,4]时,,那么的值为．11．(5分)数列{a n}的前n项和为S n ,且a1 =1 ,2S n =a n•a n+1 (n∈N* )．假设b n = (﹣1 )n,那么数列{b n}的前n项和T n =．12．(5分)假设不等式x2﹣2y2≤cx (y﹣x )对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立,那么实数c的最|大值为．二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13．(5分)设角α的始边为x轴正半轴,那么"α的终边在第|一、二象限〞是"sinα＞0〞的()A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件14．(5分)假设直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,那么以下命题正确的选项是()A．l与l1 ,l2都不相交B．l与l1 ,l2都相交C．l至|多与l1 ,l2中的一条相交D．l至|少与l1 ,l2中的一条相交15．(5分)对任意两个非零的平面向量和,定义,其中θ为和的夹角,假设两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中,那么的值为()A．B．C．1 D．16．(5分)函数,且f1 (x ) =f (x ) ,f n (x ) =f (f n﹣1 (x ) ) ,n=1 ,2 ,3 ,…．那么满足方程f n (x ) =x的根的个数为()A．2n个B．2n2个C．2n个D．2 (2n﹣1 )个三.解答题(本大题共5题,共14 +14 +14 +16 +18 =76分)17．(14分)如图,设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB =BC =3 ,AA1 =4．(1 )求四棱锥A1﹣ABCD的体积；(2 )求异面直线A1B与B1C所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)18．(14分)复数z满足,z2的虚部为2．(1 )求复数z；(2 )设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C ,求△ABC的面积．19．(14分)一根长为L的铁棒AB欲通过如下图的直角走廊,走廊的宽AC =BD =2m．(1 )设∠BOD =θ ,试将L表示为θ的函数；(2 )求L的最|小值,并说明此最|小值的实际意义．20．(16分)函数f (x ) =2x +2﹣x．(1 )求证：函数f (x )是偶函数；(2 )设a∈R ,求关于x的函数y =22x +2﹣2x﹣2af (x )在x∈[0 , +∞)时的值域g (a )表达式；(3 )假设关于x的不等式mf (x )≤2﹣x +m﹣1在x∈(0 , +∞)时恒成立,求实数m的取值范围．21．(18分)数列{a n}满足：a1 =1 ,,n∈N*．(1 )求数列{a n}的通项公式；(2 )设数列{b n}的前n项和为S n ,且满足,试确定b1的值,使得数列{b n}为等差数列；(3 )将数列中的局部项按原来顺序构成新数列{c n} ,且c1 =5 ,求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{c n}．2021年上海市长宁区、嘉定区高|考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题(本大题共12题,1 -6每题4分,7 -12每题5分,共54分) 1．(4分)集合A ={1 ,2 ,3 ,4} ,B ={2 ,4 ,5} ,那么A∩B ={2 ,4} ．【解答】解：∵集合A ={1 ,2 ,3 ,4} ,B ={2 ,4 ,5} ,∴A∩B ={2 ,4}．故答案为：{2 ,4}．2．(4分)不等式的解集为(﹣1 ,0] ．【解答】解：∵,∴或,解得：﹣1＜x≤0 ,故答案为(﹣1 ,0]．3．(4分),那么=．【解答】解：∵sinα =,∴cos ( +α ) =﹣sinα =﹣．故答案为：﹣4．(4分)=．【解答】解：==,∴=,故答案为：．5．(4分)球的外表积为16π ,那么该球的体积为．【解答】解：一个球的外表积是16π ,所以球的半径为：2 ,所以这个球的体积为：=．故答案为：．6．(4分)函数f (x ) =1 +log a x ,y =f﹣1 (x )是函数y =f (x )的反函数,假设y =f﹣1 (x )的图象过点(2 ,4 ) ,那么a的值为4．【解答】解：∵y =f﹣1 (x )的图象过点(2 ,4 ) ,∴函数y =f (x )的图象过点(4 ,2 ) ,又f (x ) =1 +log a x ,∴2 =1 +log a4 ,即a =4．故答案为：4．7．(5分)假设数列{a n}为等比数列,且a5 =3 ,那么=18．【解答】解：根据题意,=a2•a8﹣a3• (﹣a7 ) =a2•a8 +a3•a7 ,又由数列{a n}为等比数列,且a5 =3 ,那么有a2•a8 =a3•a7 =9 ,那么=9 +9 =18；故答案为：18．8．(5分)设△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a ,b ,c , (a+b+c ) (a﹣b+c ) =ac ,那么B =．【解答】解：△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a ,b ,c ,∵(a +b +c ) (a﹣b +c ) =ac ,即a2 +c2﹣b2 =﹣ac ,又cosB ==﹣,∴B =,故答案为：．9．(5分)假设的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256 ,那么该展开式中常数项的值为1120．【解答】解：由题意可知,2n =256 ,解得n =8．∴=,其展开式的通项=,令8﹣2r =0 ,得r =4．∴该展开式中常数项的值为．故答案为：1120．10．(5分)函数f (x )是定义在R上且周期为4的偶函数,当x∈[2 ,4]时,,那么的值为．【解答】解：∵函数f (x )是定义在R上且周期为4的偶函数,∴,又当x∈[2 ,4]时,,∴f () =f () =．故答案为：．11．(5分)数列{a n}的前n项和为S n ,且a1 =1 ,2S n =a n•a n+1 (n∈N* )．假设b n = (﹣1 )n,那么数列{b n}的前n项和T n =﹣1 +．【解答】解：∵2S n =a n•a n +1 (n∈N* )．=a n﹣1•a n ,当n≥2时,2S n﹣1∴2a n =2S n﹣2S n﹣1 =a n (a n +1﹣a n﹣1 ) ,∵a1 =1 ,∴a n≠0﹣a n﹣1 =2 ,∴a n+1﹣a n ) + (a n﹣a n﹣1 ) =2 ,∴(a n+1∴a n﹣a n﹣1 =1 ,∴数列{a n}是以1为首|项,以1为公差的等差数列,∴a n =1 + (n﹣1 ) =n ,∴b n = (﹣1 )n= (﹣1 )n•= (﹣1 )n• ( +) ,数列{b n}的前n项和T n=﹣(1 +) +( +)﹣( +) +… +(﹣1 )n• ( +) ,当n为偶数时,T n =﹣1 +,当n为奇数时,T n =﹣1 +﹣( +) =﹣1﹣,综上所述T n =﹣1 +,故答案为：﹣1 +．12．(5分)假设不等式x2﹣2y2≤cx (y﹣x )对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立,那么实数c的最|大值为2﹣4．【解答】解：∵不等式x2﹣2y2≤cx (y﹣x )对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立,∴c≤=,令,∴=f (t ) ,f′ (t ) ==,当t时,f′ (t )＞0 ,函数f (t )单调递增；当1＜t＜时,f′ (t )＜0 ,函数f (t )单调递减．∴当t =2 +时,f (t )取得最|小值,=2﹣4．∴实数c的最|大值为2﹣4．故答案为：﹣4．二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13．(5分)设角α的始边为x轴正半轴,那么"α的终边在第|一、二象限〞是"sinα＞0〞的()A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵角α的始边为x轴正半轴,∴"α的终边在第|一、二象限〞⇒"sinα＞0〞,"sinα＞0〞⇒"α的终边在第|一、二象限或α的终边在x轴正半轴〞,∴"α的终边在第|一、二象限〞是"sinα＞0〞的充分非必要条件．应选：A．14．(5分)假设直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,那么以下命题正确的选项是()A．l与l1 ,l2都不相交B．l与l1 ,l2都相交C．l至|多与l1 ,l2中的一条相交D．l至|少与l1 ,l2中的一条相交【解答】解：A．l与l1 ,l2可以相交,如图：∴该选项错误；B．l可以和l1 ,l2中的一个平行,如上图,∴该选项错误；C．l可以和l1 ,l2都相交,如以下图：,∴该选项错误；D．"l至|少与l1 ,l2中的一条相交〞正确,假设l和l1 ,l2都不相交；∵l和l1 ,l2都共面；∴l和l1 ,l2都平行；∴l1∥l2 ,l1和l2共面,这样便不符合的l1和l2异面；∴该选项正确．应选D．15．(5分)对任意两个非零的平面向量和,定义,其中θ为和的夹角,假设两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中,那么的值为()A．B．C．1 D．【解答】解：∵=cosθ =,=cosθ =,m∈N ,由与的夹角θ∈(0 ,) ,知cos2θ =∈(,1 ) ,故mn =3 ,m ,n∈N ,∵,∴0＜=＜1 ,∴m =1 ,n =3 ,∴=,应选：B．16．(5分)函数,且f1 (x ) =f (x ) ,f n (x ) =f (f n﹣1 (x ) ) ,n=1 ,2 ,3 ,…．那么满足方程f n (x ) =x的根的个数为()A．2n个B．2n2个C．2n个D．2 (2n﹣1 )个【解答】解：当x∈[0 ,]时,f1 (x ) =f (x ) =2x =x ,解得x =0；当x∈(,1]时,f1 (x ) =f (x ) =2﹣2x =x ,解得x =,∴f的1阶根的个数是2．当x∈[0 ,]时,f1 (x ) =f (x ) =2x ,f2 (x ) =4x =x ,解得x =0；当x∈(,]时,f1 (x ) =f (x ) =2x ,f2 (x ) =2﹣4x =x ,解得x =；当x∈(,]时,f1 (x ) =2﹣2x ,f2 (x ) =﹣2 +4x =x ,解得x =；当x∈(,1]时,f1 (x ) =2﹣2x ,f2 (x ) =4﹣4x =x ,解得x =．∴f的2阶根的个数是22．依此类推∴f的n阶根的个数是2n．应选C．三.解答题(本大题共5题,共14 +14 +14 +16 +18 =76分)17．(14分)如图,设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB =BC =3 ,AA1 =4．(1 )求四棱锥A1﹣ABCD的体积；(2 )求异面直线A1B与B1C所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)【解答】解：(1 )∵A1到平面ABCD的距离d =AA1=4 ,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB =BC =3 ,=AB×BC =3×3 =9 ,∴S正方体ABCD∴四棱锥A1﹣ABCD的体积V ==．(2 )∵A1B∥D1C ,∴∠D1CB1是异面直线A1B与B1C所成角(或所成角的补角) ,∵B1D1 ==3,B1C =D1C ==5 ,∴cos∠D1CB1 ===,∴∠D1CB1 =arccos．∴异面直线A1B与B1C所成角为．18．(14分)复数z满足,z2的虚部为2．(1 )求复数z；(2 )设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C ,求△ABC的面积．【解答】解：(1 )设z =a +bi (a ,b∈R ) ,由可得：,即,解得或．∴z =1 +i或z =﹣1﹣i；(2 )当z =1 +i时,z2 =2i ,z﹣z2 =1﹣i ,∴A (1 ,1 ) ,B (0 ,2 ) ,C (1 ,﹣1 ) ,故△ABC的面积S =×2×1 =1；当z =﹣1﹣i时,z2 =2i ,z﹣z2 =﹣1﹣3i ,∴A (﹣1 ,﹣1 ) ,B (0 ,2 ) ,C (﹣1 ,﹣3 ) ,故△ABC的面积S =×2×1 =1．∴△ABC的面积为1．19．(14分)一根长为L的铁棒AB欲通过如下图的直角走廊,走廊的宽AC =BD =2m．(1 )设∠BOD =θ ,试将L表示为θ的函数；(2 )求L的最|小值,并说明此最|小值的实际意义．【解答】解：(1 )∵走廊的宽AC =BD =2m．∠BOD =∠BAC =θ ,∴；(2 )∵∴．∵θ∈(0 ,) ,L′＜0 ,L为减函数；θ∈(,) ,L′＞0 ,L为增函数；∴θ =时,L取最|小值4,该最|小值表示：超过那么无法通过．20．(16分)函数f (x ) =2x +2﹣x．(1 )求证：函数f (x )是偶函数；(2 )设a∈R ,求关于x的函数y =22x +2﹣2x﹣2af (x )在x∈[0 , +∞)时的值域g (a )表达式；(3 )假设关于x的不等式mf (x )≤2﹣x +m﹣1在x∈(0 , +∞)时恒成立,求实数m的取值范围．【解答】证明：(1 )∵函数f (x ) =2x +2﹣x的定义域关于原点对称,且f (﹣x ) =2﹣x +2x =2x +2﹣x =f (x ) ,故函数f (x )是偶函数；解：(2 )令t =f (x ) =2x +2﹣x．那么t≥2 ,22x +2﹣2x =t2﹣2y =22x +2﹣2x﹣2af (x ) =t2﹣2at﹣2 ,当a≤2时,当t =2时,函数取最|小值2﹣4a ,无最|大值；此时函数的值域为[2﹣4a , +∞) ,a＞2时,当t =a时,函数取最|小值﹣a2﹣2 ,无最|大值；此时值域为[﹣a2﹣2 , +∞)；(3 )假设关于x的不等式mf (x )≤2﹣x +m﹣1在x∈(0 , +∞)时恒成立即m (2x +2﹣x )≤2﹣x +m﹣1在x∈(0 , +∞)时恒成立即m≤=1﹣=1﹣在x∈(0 , +∞)时恒成立当x =1时,2﹣x =,此时(2﹣x )2﹣2﹣x +1取最|小值,故取最|大值,故1﹣取最|小值﹣故．21．(18分)数列{a n}满足：a1 =1 ,,n∈N*．(1 )求数列{a n}的通项公式；(2 )设数列{b n}的前n项和为S n ,且满足,试确定b1的值,使得数列{b n}为等差数列；(3 )将数列中的局部项按原来顺序构成新数列{c n} ,且c1 =5 ,求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{c n}．【解答】解：(1 ),那么﹣=4 ,n∈N*∴数列{}是以1为首|项,以4为公差的等差数列,那么=1 +4 (n﹣1 ) =4n﹣3 ,∴,∴数列{a n}的通项公式；(2 )由(1 )可得,= (4n +1 )S n +16n2﹣8n﹣3 ,∵,∴(4n﹣3 )S n+1∴﹣=1 ,∴数列{}是等差数列,首|项为S1 ,公差为1．∴=b1 +n﹣1 ,∴S n = (b1 +n﹣1 ) (4n﹣3 ) ,当n≥2时,b n =S n﹣S n﹣1 = (b1+n﹣1 ) (4n﹣3 )﹣(b1+n﹣2 ) (4n﹣7 ) ,化为b n =4b1 +8n﹣11 ,假设数列{b n}为等差数列,那么上式对于n =1时也成立,∴b1 =4b1﹣3 ,解得b1 =1．∴b n =8n﹣7为等差数列．∴b1 =1 ,数列{b n}为等差数列；(3 )证明：由(1 )可得=4n﹣3．解法1：令等比数列{c n}的公比q =4m (m∈N* ) ,那么c n =c1q n﹣1 =5×4m (n﹣1 ) ,设k =m (n﹣1 ) ,因为1 +4 +42 +… +4k﹣1 =,所以5×4m (n﹣1 ) =5×[3 (1 +4 +42 +… +4k﹣1 ) +1] , =3[5 (1 +4 +42 +… +4k﹣1 ) +2]﹣1 ,… (14分)因为5 (1 +4 +42 +… +4k﹣1 ) +2为正整数,所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列,因为公比q =4m (m∈N* )有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列,故无穷等比数列{c n}有无数个．… (16分)解法2：设c2 =4k2﹣3 (k2≥3 ) ,所以公比q =．因为等比数列{b n}的各项为整数,所以q为整数,取k2 =5m +2 (m∈N* ) ,那么q =4m +1 ,故c n=5• (4m +1 )n﹣1 ,由4k n﹣3 =5• (4m +1 )n﹣1得,k n =[5 (4m +1 )n﹣1 +3] (n∈N* ) ,而当n≥2时,k n﹣k n﹣1 =[ (4m +1 )n﹣1﹣(4m +1 )n﹣2] =5m (4m +1 )n﹣2 ,即k n =k n﹣1 +5m (4m +1 )n﹣2,… (14分)又因为k1 =2 ,5m (4m +1 )n﹣2都是正整数,所以k n也都是正整数,所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列,因为公比q =4m +1 (m∈N* )有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列,故无穷等比数列{c n}有无数个．… (16分)。
上海市2021年高三数学一模汇编——三角函数(含答案)
上海市2021年高三数学一模汇编：三角函数长宁19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD 沿边界围成一个封闭的留观区. 经测量，边界AB 与AD 的长度都是20米，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒.（1）若105ADC ∠=︒，求BC 的长（结果精确到米）；（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）.杨浦18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数k ∈R , 2()cos 3sin cos f x k x x x =+, x ∈R . （1）若()f x 是奇函数, 求实数k 的值;（2）设1k =, ABC △中, 内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,. 若()1f A =, 7a =, 3b =,求ABC △的面积S .19. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）进博会期间，有一个边长80m 的正方形展厅OABC ， 由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O 为圆心，60m 为半径的扇形ODE 作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF ，矩形有两条边分别落在边AB 和BC 上，设∠POA=α51212ππα⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭． （1）用α表示矩形PGBF 的面积，并求出当矩形PGBF 为正方形时的面积（精确到21m ）； （2）当α取何值时，矩形PGBF 的面积S PGBF 最大？并求出最大面积（精确到21m ）．松江18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知函数2()cos cos 1f x x x x =++．（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若对任意的x R ∈，2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，求实数k 的取值范围．19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：6AD =米，6AE =米，2AP =米，4MPN π∠=．记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米． （1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）求S 的最小值．普陀区17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设a 为常数，函数1)22cos(2sin )(+-+=x x a x f π（R ∈x ） （1）设3=a ，求函数)(x f y =的单调递增区间及频率f ；（2）若函数)(x f y =为偶函数，求此函数的值域.18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()sin()6f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π.（1）求ω与()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，若()12Af =，求sin sin B C +的取值范围.闵行18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数2()cos 222x x xf x =+ （1）求函数在区间[]0,π上的值域；（2）若方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解，求ω的取值范围．()f x14．（本题满分16分；第1小题7分，第2小题9分）如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔CD 和EF ．张明在只有量角器（可以测量从测量人出发的两条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达的两点之间的直线距离）的条件下，为了计算塔CD 的高度，他在点A 测得点D 的仰角为 30， 75=∠CAB ，又选择了相距100米的B 点，测得 60=∠ABC ． （1）请你根据张明的测量数据求出塔CD 高度；（2）在完成（1）的任务后，张明测得 90=∠BAE ，并且又选择性地测量了两个角的大小（设为α、β）．据此，他计算出了两塔顶之间的距离DF ． 请问：①张明又测量了哪两个角？（写出一种测量方案即可）②他是如何用α、β表示出DF 的？（写出过程和结论）金山17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)已知a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边，34=a ，6=b ，31cos -=A ． (1) 求c ；(2) 求B 2cos 的值．嘉定18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数)(cos )(x x f ω= （0>ω）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数)()4π(3)(x f x f x g --=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 的值域； （2）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ， 21)(-=A f ，ABC △的面积为33，2=-c b ，求a 的值．黄浦18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 在ABC ∆中，内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若A 为钝角，且2sin 0a B =.(1) 求角A 的大小；(2) 记B x =，求函数()cos cos()3f x x x π=++的值域.虹口18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）已知函数)1()1()1()(22-+-++=a x a x a x f ，其中R a ∈． （1）当)(x f 是奇函数时，求实数a 的值；（2）当函数)(x f 在),2[+∞上单调递增时，求实数a 的取值范围．奉贤区19、在①3=ac ；②3sin =A c ；③三边成等比数列．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在ABC ∆，它的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且B A sin 3sin =，6π=C ，______________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．崇明18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）已知函数21()sin 22f x x x =．（1）求函数()y f x =的最小正周期；（2）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若锐角A 满足()f A =，6C π=， 2c =，求ABC △的面积．宝山1. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)（ω＞0，－π2＜φ＜π2）最小正周期为2π，且f (x )的图象过坐标原点．（1）求ω、φ的值；（2）在△ABC 中，若＋＝2 f (A )▪f (B )▪f (C )＋，且三边a 、b 、c 所对的角依次为A 、B 、C ．试求b ·f (B ＋C )c 的值．答案长宁区19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）连接BD ，由题意ABD ∆是等边三角形，所以20BD =又因为105ADC ∠=，所以45DBC ∠= …………2分 在BCD ∆中，sin sin BC BDBDC C=∠∠， …………4分 得BC=3620≈16（米） …………6分 （2）设θ=∠ADC ， 则3BDC πθ∠=-，23CBD πθ∠=-， 在BCD ∆中，sin sin sin CD BC BDCBD BDC C==∠∠∠，所以3BC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，23DC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭…………4分 所需板材的长度=40+⎪⎭⎫ ⎝⎛-3sin 3340πθ+⎪⎭⎫⎝⎛-θπ32sin 3340=θsin 334040+， …………6分 答：当2ADC π∠=时，所需板材最长为334040+≈73（米）. …………8分杨浦18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）(1) 解: 由题意()00==k f （2分）检验： ()cos =f x x x 对任意x ∈R 都有()()()cos =cos =()-=----f x x x x x f x （5分）∴()f x 是奇函数 ∴0k =.（6分）(2)解: 2()cos cos 1f A A A A ==, 整理得π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,（8分）A 是三角形的内角∴π3A =（10分） 由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=, 即219726c c+-=整理得2320c c -+=,解得1c =或2c =（12分）1sin 24==S bc A ,或2.（14分）徐汇19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】(1)S ＝（80-60cos α）（80-60sin α），51212ππα⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，-----------------3分当矩形PGBF 为正方形时，4πα=，此时S PGBF =(280-≈1412（2m ）-------6分(2)S ＝3600sin αcos α－4800(sin α＋cos α)＋6400＝1800sin2α－48002sin(α+4π)＋6400 ＝－1800cos(2α+2π)－48002sin(α+4π)＋6400＝3600 sin 2(α+4π)－48002sin(α+4π)＋4600，51212ππα⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭-----------10分记t ＝sin(α+4π)∈[2,1],则236004600S t =-+对称轴为t ＝322，∵1－322＜322∴t 即∴α＝12π或512π时， max 1421S ≈（2m ）------------------------------------------------------14分（注意：若令sin cos t αα=+，则相应给分）松江18.已知2()cos cos 1f x x x x =++（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若对任意的x R ∈，2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，求k 的取值范围．解：（1）2()cos cos 1f x x x x =++cos21133212cos2sin(2)2222262x x x x x π+=++=++=++ ………3分 ∴()f x 的为最小正周期22T ππ==， ………5分 值域为 15()[,]22f x ∈ ……………7分 （2）记()f x t = ，则15[,]22t ∈ ，…………………8分由2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，知220t kt --≤恒成立， 即22kt t ≥-恒成立，∵0t > ∴ 222t k t t t -≥=- ……………11分 ∵ 2()g t t t =- 在15[,]22t ∈时单调递增max 55417()()22510g t g ==-=∴k 的取值范围是1710k ≥……………14分青浦19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：（1）在∆PME 中，EPM θ∠=，PE =AE -AP =4米，4PEM π∠=，34PME πθ∠=-， 由正弦定理得sin sin PM PEPEM PME=∠∠，所以sin 43sin sin cos sin()4PE PEM PM PME πθθθ⨯∠===∠+-， 同理在∆PNE 中，由正弦定理得sin sin PN PEPEN PNE=∠∠，所以sin sin cos sin()2PE PEN PN PNE πθθ⨯∠===∠-， 当M 与E 重合时，0θ=；当N 与D 重合时，tan 3APD ∠=,即arctan3APD ∠=，π3ππtan 3tan 344arc arc θ=--=-，所以3π0tan 34arc θ≤≤-；（2）∆PMN 的面积S 1sin 2PM PN MPN =⨯⨯∠24cos sin cos θθθ=+ 41cos 21sin 222θθ=++88sin 2cos 2)4πθθθ==++1++1， 因为3π0tan 34arc θ≤≤-，所以当242ππθ+=即30,tan 384atc ππθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦时， S1)= 所以可视区域∆PMN面积的最小值为1)平方米．普陀17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【解】（1）当3=a 时，1)62sin(212cos 2sin 3)(++=++=πx x x x f ……2分由226222πππππ+≤+≤-k x k ，得63ππππ+≤≤-k x k ，所以此函数的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππk k ，Z k ∈. ……4分 频率f ππ122==.……6分 （2）定义域R =D ，因为函数)(x f y =为偶函数，所以对于任意的R ∈x ，均有)()(x f x f =-成立.……7分即=+-+-1)2cos()2sin(x x a 12cos 2sin ++x x a ……9分也即02sin 2=x a 对于任意实数x 均成立，只有0=a .……11分 此时12cos )(+=x x f ，因为12cos 1≤≤-x ，……12分 所以22cos 10≤+≤x ，故此函数的值域为]2,0[.……14分浦东18．解：（1） 2ω=()f x 的单调递增区间：222262k x k πππππ-≤+≤+即36k x k ππππ-≤≤+()f x 的单调递增区间,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k Z ∈（2）()sin(2)6f x x π=+，由()12A f =，sin()16A π+=，(0,)A π∈，3A π=由A B C π++=，23B C π+=，23B C π=-23sin sin sin()sin sin )326B C C C C C C ππ+=-+=+=+ 250,3666C C ππππ<<∴<+<，1sin()126C π<+≤ sin sin B C +的取值范围为⎝ 闵行18．[解]（1）()f x x x =+， ………………………2分所以()2sin()4f x x π=+， ………………………4分因为函数在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数， 所以当4x π=时，()f x 的最大值为2，当x π=时，()f x的最小值为．所以函数的值域为]2,2[-． ………………………6分 （2）()2sin()(0)4f x x πωωω=+>………………………8分由(f x ω得sin()=42x πω+ 所以2=2=2()4343x k x k k ππππωπωπ++++∈Z 或…………………10分 所以225==()1212k k x x k ππππωωωωω++∈Z 或．由于方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解， 所以只需[]5,0,1212πππωω∈， ………………………12分 解得512ω≥，所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． ………………………14分 静安14．解：（1）在ABC ∆中，45180=∠-∠-=∠CBA CAB ACB ，（1分）由正弦定理，有ACBABCBA AC ∠=∠sin sin ，（3分） ()f x所以，65045sin 60sin 100=⨯=AC 米．（2分） DAC AC CD ∠=tan25030tan 650=⋅= 米．（1分）（2）由（1）有2100=AD 米． 测得α=∠ABF ，β=∠DAF ．（2分） 由已知，有EF AB ⊥，AE AB ⊥， 所以，AEF AB 平面⊥，得AF AB ⊥．所以，ααtan 100tan ==AB AF ．（2分） 在ADF ∆中，由余弦定理，有=DF βcos 222AF AD AF AD ⋅-+（3分）βααcos tan 22tan 21002-+=米．（2分） 【另解1】测得α=∠ABF ，β=∠DBF ．解得，αsec 100=BF ，)13(50+=BC ，32650+=BD ．在BDF ∆中，由余弦定理，有DF βααcos sec 3264sec 4326502+-++=米．（同样给分） 【另解2】测得α=∠ABE ，β=∠EAF ．（2分） 由已知，有EF AB ⊥，AE AB ⊥， 所以，AEF AB 平面⊥，得AF AB ⊥． 所以，αtan 100=AE ．（2分） 在ACE ∆中，由余弦定理，有EC 15cos tan 61000015000tan 100002αα-+=米．（2分） βαtan tan 100=EF 米． （1分） 截取CDEG =，则，=DF 22EC FG +ααβαtan )326(6tan 4)2tan tan 2(5022+-++-=米． （2分） 【另解3】测得α=∠ABE ，β=∠EBF ．（2分）由已知，有EF AB ⊥，AE AB ⊥， 所以，AEF AB 平面⊥，得AF AB ⊥． 解得，αsec 100=BE ．（2分） 在ACE ∆中，由余弦定理，有EC 15cos tan 61000015000tan 100002αα-+=米． （2分） βαtan sec 100=EF 米． （1分）截取CDEG =，则，=DF 22EC FG +ααβαtan )326(6tan 4)2tan sec 2(5022+-++-=米． （2分）金山17．解：(1) 在ABC △中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=，………………………………2分即)31(6236482-⨯⨯⨯-+=c c ， ………………………………………………………………4分整理，得01242=-+c c ，…………………………………………………………………………6分解得2=c ； …………………………………………………………………………………………7分 (2)在ABC△中，由余弦定理得，acb c a B 2cos 222-+=，……………………………………9分得33cos =B ，……………………………………………………………………………………11分311cos 22cos 2-=-=B B . ……………………………………………………………………14分嘉定18、（1）因为函数)(cos )(x x f ω=的最小正周期为π，由 π||π2==ωT ，2||=ω， 又因为0>ω，所以2=ω． 此时x x f 2cos )(=，则得 x x x g 2cos 4π2cos 3)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=，即 x x x g 2cos 2sin 3)(-=，即)6π2sin(2)(-=x x g ．当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-65π,6π6π2x ，[]2,1)6π2sin(2-∈-x ， 所以所求函数的值域为[]2,1-．（2）由题意得 212cos -=A ． 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0A ，则得 ()π,02∈A ，所以 32π2=A ，解得 3π=A ． 因为ABC △的面积为33，则得 33sin 21=A bc ，即 333πsin 21=bc ， 即 12=bc ．又因为 2=-c b ，由余弦定理，得 bc c b A bc c b a -+=-+=2222cos 2bc c b +-=2)(41222=+=，所以 4=a ．黄浦18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解 (1)ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，2sin 0a B =，∴ 根据正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，2sin 0a B =可化为22sin sin 2sin 0(0,sin 0)R A B R B B B π⋅=<<≠．∴ sin A =A 为钝角，即2A ππ<<，34A π∴=. (2)B x =，A BC π++=，344C x x πππ∴=--=-，且04x π<<. ∴()cos cos()3f x x x π=++1cos cos 2x x x =+sin()3x π=-.又04x π<<，可得1263x πππ<-<.考察函数sin y x =的图像，可知sin sin()123x ππ<-<.3sin()1232x ππ<-<. 所以函数()f x的值域是3,)122π. (写成3)2也可以) 虹口19、（14分）解：（1）由条件，得505303PA PB ==, 15,9PA PB ==，……2分 则222159165cos 215927APB +-∠==⨯⨯ ,所以5arccos 27APB ∠=； (6)（2）由条件①，得505303PA PB ==，可设5,3PA t PB t ==，其中28t <<……8分22222(5)(3)1617128cos 25315t t t APB t t t +--∠==⨯⨯ , sin APB ∠=……10分 则=∆PAB S 11165322h t t ⨯⨯=⨯⨯=900)34(440961088162224+--=-+-t t t当t =,PA PB ==时，h 取得最大值15千米. …………13分 即当PA =千米，PB =.…………14分奉贤居民生活区 北崇明18.解：（1）1cos2)()sin 2sin(2)2232x f x x x π+=-=--...........................4分所以函数()y f x =的最小正周期2||T ππω==...........................6分（2）由()f A =1sin(2)=32A π- 因为(0,)2A π∈，所以22(,)333A πππ-∈-，所以2=36A ππ-，4A π=...........................3分所以22224cos 24b c a b A bc b +--===b =...........................6分所以1sin 12ABCSbc A ==...........................8分 宝山19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．解：（1）依题意，可得 2π ω＝2π，所以ω＝1，故f (x )=sin(x ＋φ)，因为f (x )的图象过坐标原点，所以f (0)＝0，即 sin φ=0，注意到－π2＜φ＜π2，因此，φ=0．（2） 由（1）得f (x )=sin x ，故由已知，可得2sin 2B ＋3sin 2C ＝2sin A ▪sin B ▪sin C ＋sin 2A ，利用正、余弦定理，并整理得sin A －cos A ＝b 2＋2c 22bc ，因为 b 2＋2c 22bc ≥2，所以 sin A －cos A ≥2，又sin A －cos A ＝≤2，所以sin A －cos A ＝2，且b =2c ，A ＝3π4， 故b ·f (B ＋C )c ＝2c ·sin(B ＋C )c＝2sin A ＝1．。
上海市长宁区2021届新高考数学仿真第一次备考试题含解析
上海市长宁区2021届新高考数学仿真第一次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2230A x x x =--≤{}2B x x =＜，则A B =I ( ) A ．()1,3 B ．(]1,3C ．[)1,2-D ．()1,2-【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得出集合A ，根据交集的定义写出A∩B ． 【详解】集合A ＝{x|x 2﹣2x ﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x ≤3}，={x x<2}B ，{|1<2}A B x x ∴⋂=≤﹣故选C ． 【点睛】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ） A ．2728倍 B ．4735倍 C ．4835倍 D ．75倍 【答案】B 【解析】 【分析】设贫困户总数为a ，利用表中数据可得脱贫率000000002409521090P =⨯⨯+⨯⨯，进而可求解. 【详解】设贫困户总数为a ，脱贫率0000000000240952109094a aP a⨯⨯+⨯⨯==， 所以000094477035=. 故2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的4735倍. 故选：B 【点睛】本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.3．已知α，β是两平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，则不正确命题是（ ） A ．若m ⊥α，n//α，则m ⊥n B ．若m//α，n//α，则m//n C ．若l ⊥α，l//β，则α⊥β D ．若α//β，l ⊄β，且l//α，则l//β【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行、线面垂直和空间角的知识，判断A 选项的正确性.由线面平行有关知识判断B 选项的正确性.根据面面垂直的判定定理，判断C 选项的正确性.根据面面平行的性质判断D 选项的正确性. 【详解】A ．若//n α，则在α中存在一条直线l ，使得//,,l n m l αα⊥⊂，则m l ⊥，又//l n ，那么m n ⊥，故正确； B ．若//,//m n αα，则//m n 或相交或异面，故不正确；C ．若l β//，则存在a β⊂，使//l α，又,l a αα⊥∴⊥，则αβ⊥，故正确．D ．若//αβ，且//l α，则l β⊂或l β//，又由,//l l ββ⊄∴，故正确． 故选：B 【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题. 4．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．32【答案】B 【解析】因为将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，可得()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合已知，即可求得答案.【详解】Q 将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象∴()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又Q ()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，∴由1242432k k ππωϕππππωωϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩()12,k k ∈Z ，得()123k k πωπ=-，()12,k k ∈Z ，即()123k k ω=-()12,k k ∈Z ， 又Q 06ω<<，∴3ω=.故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．32【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m =>，320x y +=可化为3y x =-32=，解得49m =. 故选：A 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.6．已知等差数列{}n a 的公差为2-，前n 项和为n S ，1a ，2a ，3a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则实数m =（ ）. A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C 【解析】 【分析】若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则m S 为n S 的最大值，所以由已知，只需求出n S 取得最大值时的n 即可. 【详解】由已知，1a >2a >30a >，又三角形有一个内角为120︒，所以22212323a a a a a =++，22211111(2)(4)(2)(4)a a a a a =-+-+--，解得17a =或12a =（舍），故2(1)7(2)82n n n S n n n -=+⨯-=-+，当4n =时，n S 取得最大值，所以4m =. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题. 7．已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则A B =I （ ）A ．{}2345，，， B ．{}234，， C ．{}1234，，， D ．{}01234，，，， 【答案】B 【解析】 【分析】解对数不等式可得集合A ，由交集运算即可求解. 【详解】集合2{|log (1)2},A x x =-<解得{}15,A x x =<<,B N =由集合交集运算可得{}152,3,4A B x x N ⋂=<<⋂=，【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题. 8．执行下面的程序框图，则输出S 的值为 （ ）A ．112-B ．2360C ．1120D ．4360【答案】D 【解析】 【分析】根据框图，模拟程序运行，即可求出答案. 【详解】 运行程序，11,25s i =-=，1211,3552s i =+--=，123111,455523s i =++---=，12341111,55555234s i =+++----=，12341111,55555234s i =+++----=，1234511111,6555552345s i =++++-----=，结束循环，故输出1111113743=(12345)135********s ⎛⎫++++-++++=-= ⎪⎝⎭， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.9．设m u r ，n r 为非零向量，则“存在正数λ，使得λ=u r r m n ”是“0m n ⋅>u r r”的（ ） A ．既不充分也不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．充分不必要条件【答案】D充分性中，由向量数乘的几何意义得,0m n ou r r =，再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得),0,90m n o ou r r ⎡∈⎣，不一定有正数λ，使得λ=u r r m n ，所以不成立，即可得答案.【详解】充分性：若存在正数λ，使得λ=u r r m n ，则,0m n o u r r =，cos00m n m n m n ou r r u r r u r r ⋅==>，得证； 必要性：若0m n ⋅>u r r ，则),0,90m n o ou r r ⎡∈⎣，不一定有正数λ，使得λ=u r r m n ，故不成立； 所以是充分不必要条件 故选：D 【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题. 10．已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】分别比较复数z 的实部、虚部与0的大小关系，可判断出z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】因为1a >时，所以10a -<，210a ->，所以复数z 在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 11．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（ ） A ．sin sin αβ> B ．sin sin αβ< C ．cos cos αβ> D ．cos cos αβ<【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-，利用导数分析出这两个函数在区间,ππ⎛⎫-上均为减函数，由sin sin 2αβαβ-=-得出sin sin 2ααββ-=-，分0α=、02πα-<<、02πα<<三种情况讨论，利用放缩法结合函数()y h x =的单调性推导出02παβ-<<<或02πβα<<<，再利用余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-， 则()cos 10h x x '=-<，()cos 20f x x '=-<，所以，函数()y f x =、()y h x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，当02x π-<<时，则()()00h x h >=，()()00f x f >=；当02x π<<时，()0h x <，()0f x <.由sin sin 2αβαβ-=-得sin sin 2ααββ-=-. ①若0α=，则sin 20ββ-=，即()00f ββ=⇒=，不合乎题意；②若02πα-<<，则02πβ-<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=->-=，此时，02παβ-<<<，由于函数cos y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，函数sin y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ<，cos cos αβ<；③若02πα<<，则02πβ<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=-<-=，此时02πβα<<<，由于函数cos y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数sin y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ>，cos cos αβ<.综上所述，cos cos αβ<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对α的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.12．已知复数z 满足：((1)11)i z i +-=-，则z 的共轭复数为（ ） A ．12i - B ．1i +C ．1i -+D ．12i +【答案】B【分析】转化()(1)11i z i +-=-，为111iz i--=+，利用复数的除法化简，即得解 【详解】复数z 满足：()(1)11i z i +-=-所以()211112i i z i i ---===-+1z i ⇒=-1z i ∴=+故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法和复数的基本概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021上海市长宁区高三数学一模答案
2021上海市长宁区⾼三数学⼀模答案2020学年第⼀学期⾼三数学质量检测试卷参考答案与评分标准⼀．填空题（本⼤题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考⽣应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．()1,2- 2．π 3．0 4．3.05．15 6．127．1- 8．[]1,1- 9．1 10．3- 11．19 12．45⼆．选择题(本⼤题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有⼀个正确选项．考⽣应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的⼩⽅格涂⿊．13. B 14. D 15. C 16 . A三、解答题（本⼤题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤．17．（本题满分14分，第1⼩题满分6分，第2⼩题满分8分）解：（1）OP ⊥底⾯OAB由题意⾼h =2r =，所以母线4l = ………………2分圆锥的侧⾯积=S lr 2142221=ππ8= ………………6分（2）取OA 的中点为N ，因为M 为AB 的中点所以//MN OB ，PMN ∠就是直线PM 与直线OB 所成的⾓ ………………2分因为OB OA ⊥，OB OP ⊥，所以OB ⊥平⾯POA ，MN ⊥平⾯POA ，MN PN ⊥ ………………4分在Rt △PNM 中，PN ==112MN OB == …………6分所以PMN ∠即直线PM 与直线OB ………………8分18．（本题满分14分，第1⼩题满分7分，第2⼩题满分7分）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，（1）()1,0F ，得1n = …………2分直线l 的⽅程1x my =+代⼊24y x =得，2440y myx --= 所以124y y m +=，124y y =- …………4分AB ==()2418m =+=所以1m =± …………7分（2）抛物线24y x =的准线⽅程为1x =- …………1分设()31,C y -，由OA 的⽅程为11y y x x =，得13114y y x y =-=- …………4分由（1）知124y y =-，即214y y =-…………6分所以32y y =，BC 平⾏于x 轴 …………7分19．（本题满分14分，第1⼩题满分6分，第2⼩题满分8分）解：（1）连接BD ，由题意ABD ?是等边三⾓形，所以20BD =⼜因为105ADC ∠=，所以45DBC ∠= …………2分在BCD ?中，sin sin BC BD BDC C=∠∠， …………4分得BC=3620≈16（⽶） …………6分（2）设θ=∠ADC ，则3BDC πθ∠=-，23CBD πθ∠=-，在BCD ?中，sin sin sin CD BC BD CBD BDC C ==∠∠∠，所以3BC πθ??=-，23DC πθ??=- …………4分所需板材的长度=40+??? ??-3sin 3340πθ+??? ??-θπ32sin 3340 =θsin 334040+， …………6分答：当2ADC π∠=时，所需板材最长为334040+≈73（⽶）. …………8分20．（本题满分16分，第1⼩题满分4分，第2⼩题满分6分，第3⼩题满分6分）解：（1）当0=a 时，()32f x x x =-，()32f x x x -=-+ 所以()()f x f x =--，()y f x =为奇函数. …………2分当0≠a 时，()11f a =-，()11f a -=+,因为()()11f f -≠±，所以()x f 既不是奇函数也不是偶函数. …………4分（2）原问题可化为122a x x >+在区间??1,21有解，…………1分函数122y x x =+在区间??1,21单调递减, …………3分所以min 52y =, …………4分所以a 的取值范围是5(,)2+∞ …………6分（3）假设存在对称中⼼(),m n ，则()()()3232222222x ax x m x a m x m x n +-+-+---=恒成⽴得()()2232621248442m a x m a x m am m n +-+++-=恒成⽴…………2分所以23262012408442m a m am m am m n +=??+=??+-=?…………4分得3a m =-，322273a a n =+ 所以函数()y f x =有对称中⼼322(,)3273a a a -+ …………6分21．（本题满分18分，第1⼩题满分4分，第2⼩题满分6分，第3⼩题满分8分）解（1）数列{}n a 的通项为n a n =，22a =，33a =， …………2分因为23292a a =不是正整数，所以不是数列{}n a 的项，所以数列{}n a 不是“X 数列”. …………4分（2）数列{}n a 的前n 项和()21n n S n =-∈*N ,所以12n n a -=. …………2分当3n ≥时，取1k m =-，2l m =-， …………4分则221122k l n k n la a a ---===，所以数列{}n a 是“Y 数列”. …………6分（3）证明：记21a q a =，因为数列{}n a 是各项均为正数的递增数列，所以1q >,且当k l >时, 1k la a >. …………1分若k l > ,2k k n k k l l la a a a a a a a ==?>>，则n k l >>.① ………2分因为数列{}n a 是“X 数列”，所以存在i j >,且23i ja a a =，由①知,31i j >>≥，所以2,1i j == 即222311a a a q a ==，即1a ，2a ，3a 成等⽐数列. …………4分因为数列{}n a 是“X 数列”，存在正整数k 、l ()k l >，使得24k l a a a =，由①得，4k l >>,所以3k l ≥>，进⽽22141k l k la a a q a --==，记421n k l =--∈*N . 因为数列{}n a 是“Y 数列”存在正整数m ，使得233312m a a q a a q a ==?=，由1q >，得3m a a >. …………6分若43411n a a q a q =<，再由2314a a q a =<，得423n <<，与4n ∈*N ⽭盾；若341m a a q a >=，则34m a a a <<，与数列{}n a 递增⽭盾，所以341a a q =,即1a ，2a ，3a ，4a 成等⽐数列. …………8分。