第三章1 DFS--离散傅里叶级数
dfs离散傅里叶级数
dfs离散傅里叶级数DFS离散傅里叶级数什么是DFS？DFS（Depth First Search），深度优先搜索，是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
它从起点开始遍历，沿着一条路径直到无法继续为止，然后返回到前一个节点并继续搜索其它路径。
什么是傅里叶级数？傅里叶级数是将任意周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的和的方法。
它可以用于信号处理、图像处理、音频处理、物理学等领域。
什么是离散傅里叶级数？离散傅里叶级数（Discrete Fourier Series，简称DFT）是将离散序列表示为正弦和余弦函数的和的方法。
它可以用于数字信号处理、数字图像处理等领域。
DFS离散傅里叶级数的原理在进行离散傅里叶变换时，我们需要将序列转换为复数序列，并对其进行计算。
而在计算过程中，我们可以利用DFS来遍历所有可能出现的指数值，并进行计算。
具体来说，我们可以将序列看作一个树形结构，其中每个节点表示一个指数值。
根节点表示指数值为0，左子节点表示指数值减半，右子节点表示指数值加半。
在进行DFS遍历时，我们可以依次遍历每个节点，并计算其对应的复数值。
具体计算方式为将当前节点的父节点对应的复数值分别与正弦和余弦函数进行运算，并将结果分别赋值给左右子节点对应的复数值。
当遍历完所有叶子节点时，我们就可以得到整个序列的离散傅里叶级数了。
DFS离散傅里叶级数的实现在实现DFS离散傅里叶级数时，我们需要考虑以下几个方面：1. 序列长度必须为2的幂次方由于DFS离散傅里叶级数是基于树形结构进行计算的，因此序列长度必须为2的幂次方。
否则无法构建完整的树形结构。
2. 复杂度较高由于DFS需要遍历所有可能出现的指数值，并进行计算，因此其时间复杂度较高。
具体来说，其时间复杂度为O(nlogn)。
3. 可能存在精度误差由于计算过程中涉及到浮点运算，因此可能存在精度误差。
这一点需要在实际应用中进行注意。
代码实现下面是一个简单的Python代码示例，用于实现DFS离散傅里叶级数：```pythonimport mathdef dft(x):n = len(x)if n == 1:return xelse:xe = x[::2]xo = x[1::2]ye = dft(xe)yo = dft(xo)y = [0] * nfor k in range(n):w_k = complex(math.cos(2*math.pi*k/n), -math.sin(2*math.pi*k/n))y[k] = ye[k%(n//2)] + w_k * yo[k%(n//2)]return yx = [1, 2, 3, 4]y = dft(x)print(y)```在上述代码中，我们首先定义了一个dft函数，用于实现DFS离散傅里叶级数的计算。
第3章 离散傅里叶变换及其快速算法
计算中， 在DFT计算中，不论是乘法和加法，运算量均与 计算中 不论是乘法和加法， N2成正比。因此，N较大时，运算量十分可观。例 成正比。因此， 较大时 运算量十分可观。 较大时， 计算N=10点的 点的DFT，需要 次复数相乘， ，计算 点的 ，需要100次复数相乘，而 次复数相乘 N=1024点时，需要 点时， 点时 需要1048576（一百多万）次复数乘 （一百多万） 如果要求实时处理， 法，如果要求实时处理，则要求有很高的计算速 度才能完成上述计算量。 度才能完成上述计算量。 反变换IDFT与DFT的运算结构相同，只是多 与 的运算结构相同， 反变换 的运算结构相同 乘一个常数1/N，所以二者的计算量相同。 乘一个常数 ，所以二者的计算量相同。
nk X (k ) = ∑ { Re [ x( n)]Re WN − I m [ x(n)]I m [WNnk ] n =0 N −1
(
+ j Re [ x(n)]I m
(
[ ] [W ]+ I
nk N
)
nk [ x( n)]Re WN } m
[ ])
又每个复数相加包括2个实数相加，所以，每计算一个 X（ k） 要进行 次实数相乘和 次实数相乘和2N+2（ N-1） =2（ 2N-1） 次实 （ ） 要进行4N次实数相乘和 （ ） （ ） 数相加，因此，整个DFT运算需要 2实数相乘和 （2N-1） 运算需要4N 实数相乘和2N（ 数相加，因此，整个 运算需要 ） 次实数相加。 次实数相加。
虽然频谱分析和DFT运算很重要 ， 但在很长 运算很重要， 虽然频谱分析和 运算很重要 一段时间里， 由于DFT运算复杂 ， 并没有得到 运算复杂， 一段时间里 ， 由于 运算复杂 真正的运用， 真正的运用 ， 而频谱分析仍大多采用模拟信号 滤波的方法解决， 直到1965年首次提出 年首次提出DFT运 滤波的方法解决 ， 直到 年首次提出 运 算的一种快速算法以后， 情况才发生了根本变 算的一种快速算法以后 ， 人们开始认识到DFT运算的一些内在规律 ， 运算的一些内在规律， 化 ， 人们开始认识到 运算的一些内在规律 从而很快地发展和完善了一套高速有效的运算 方法——快速付里变换（FFT）算法。FFT的出 快速付里变换（ 方法 快速付里变换 ）算法。 的出 现 ， 使 DFT 的 运 算 大 大 简 化 ， 运 算 时 间 缩 短 二个数量级， 一 ～ 二个数量级 ， 使 DFT的运算在实际中得到 的运算在实际中得到 广泛应用。 广泛应用。
第3章离散时间傅里叶变换
第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
[数学]数字信号处理3-离散傅里叶变换
![[数学]数字信号处理3-离散傅里叶变换](https://img.taocdn.com/s3/m/7234f45627284b73f242504d.png)
• 所以
5 sin k 10 k Xp sin k 10
4 argX p k k 10
湛江师范学院
(2)设
5 n 14
14 nk 10 2p n 5 p
X k x nW
(e
j 2 k 10 10
0.9 sin k 4 k tg 1 1 0.9 cos k 4
湛江师范学院
湛江师范学院
x(n) R4 (n)
频谱 抽样点N=8
抽样点N=16
湛江师范学院
3.3 离散傅里叶变换的性质
3.3.1 线性特性
yn ax1 n bx2 n
1 e
2 k 10
3.2 离散傅里叶变换(DFT)
周期序列虽然是无限长序列，但是它只含有 N个独立信 息。因此，周期序列与有限长序列有着本质的联系，这正 是由离散傅里叶级数向离散傅里叶变换过渡的关键所在。
x ( n)
0
N 1
n
x p (n)
…
N 0 N
…
湛江师范学院
有限长序列的长度为 N, 周期序列的周期为N,
N 1 k 0 p1 p2
nk N
N 1 1 N 1 N 1 mk rk nk x p1mW N x p 2 r W N W N r 0 N k 0 m 0
湛江师范学院
1 N 1 k n mr x p1m x p 2r W N m 0 r 0 k 0 N
p N N N
x p n m R N n W N
n 0
N 1
nk
dfs离散傅里叶级数
dfs离散傅里叶级数离散傅里叶级数（Discrete Fourier Series， DFS）是傅里叶级数的离散化形式，它将任意离散的n个时间序列数据，转换为对应的频域谱。
这个转换过程通常通过快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法实现，因为它具有高效、稳定、准确、可重复性等优点，广泛应用于各个领域，如图像处理、信号处理、音频处理、通讯、计算机图形学等，使得数据的分析和处理更快更方便。
离散傅里叶级数公式如下：设有N个信号x0, x1, ... , x(N-1) ，则其傅里叶变换X[m]可以表示为：$X[m]= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-\frac{2\pi{imn}}{N}}, m = 0, 1, ... , N-1.$这里，e是"欧拉数"，即自然对数的底数e=2.71828...，其中m表示频率，n表示样本点，N表示样本点数。
DFS的意义就是将一个周期函数分解成依次振幅和相位不断变化的正余弦函数。
在此基础上，对于连续信号进行采样之后，即可得到离散信号，DFS就是将离散信号转变到频域的一种方法。
通过DFS，可以将时间域的信号转化为频域的频谱，从而对不同频率的成分进行研究，帮助我们更好地理解信号的特性和行为。
在实际应用中，离散傅里叶级数可以用于音频处理、图像处理、信号识别等任务。
例如，在音频处理中，能够对声音的频率分布进行分析，进而对声音的音调、语音语速、音质等方面进行研究和处理；在图像处理中，能够通过对图像的傅里叶变换，得到图像的频率分布，从而进行图像去噪、增强、变换等操作；在信号识别中，能够对信号的频率分布进行分析，进而对信号的特征进行分类、识别等任务。
总之，离散傅里叶级数是一种十分重要的工具，它可以将我们平时处理的信号转换为频域的一种表示方式，从而方便我们进行信号分析、处理和应用。
第三章_DFS定义2016S
解法一：数值解
N 1
7
X%(k) x%(n)WNnk x%(n)W8nk
n0
n0
3
W8nk n0
j 2 k
j 2 2k
j 2 3k
1e 8 e 8 e 8
X%(0) 4 X%(1) 1 j 2 1 X%(2) 0 X%(3) 1 j 2 1
X%(4) 0 X%(5) 1 j 2 1 X%(6) 0 X%(7) 1 j 2 1
X%(k )
随 k 周期变化， 仅有 0，1，…，
N-1 个独立值
n0
所以
仅有 0，1，…，N-1 个独立值
X%(k ) 也仅有 0，1，…，N-1 个独立值,也是周期 为 N的序列
15
3.2.1 DFS 定义：正变换
j 2
WN e N
集合
{W
nk N
,
k
0,1, ...,
N
1}为一完备的离散正交系，即
N k0
变量m替换为n，得 IDFS：
x%(n)
1 N
N
1
X%(k
)e
j(
2
N
)
kn
k0
1 N
N 1
X%(k )WN kn
k0
18
3.2.1 DFS 变换对
DFS 变换对：时域周期序列与频域周期序列
间的关系
X%(k ) x%(n) 1
N
N 1
x%(n)W
kn N
n0
N 1
X%(k
)W
3. 取样间隔（映射）周期（ 2 ）
间隔
如果同时对频域和时域取样，其结果是时域和频 域的波形都变成离散、周期性的波形
dfs离散傅里叶级数
dfs离散傅里叶级数离散傅里叶级数（Discrete Fourier Series，DFS）是一种将离散信号表示为基频和谐波的和的方法。
它是傅里叶级数的离散形式，适用于离散时间系统中信号的频域分析和处理。
离散傅里叶级数在信号处理、通信、图像处理等领域中广泛应用。
离散傅里叶级数的数学定义如下：给定一个离散信号序列$x[n]$，其长度为N，离散傅里叶级数可以表示为：$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot e^{-j(2\pi/N)kn}$$其中，$X[k]$是信号在频域中的表示，表示频率为$k(0\leqk<N)$；$x[n]$是信号在时域中的表示，表示时间为$n(0\leqn<N)$；$e$是自然常数，$j$是虚数单位。
离散傅里叶级数的求解过程可分为两个步骤：离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）和离散傅里叶逆变换（Inverse Discrete Fourier Transform，IDFT）。
DFT是将信号$x[n]$从时域变换到频域的过程，其数学定义为：$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot W_N^{-kn}$$其中，$W_N = e^{-j(2\pi/N)}$是旋转因子。
这个公式实际上是将$x[n]$与旋转因子$W_N^{-kn}$进行了内积运算。
DFT的计算复杂度为O(N^2)。
IDFT是将信号$X[k]$从频域恢复到时域的过程，其数学定义为：$$x[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} X[k] \cdot W_N^{kn}$$其中，$W_N = e^{-j(2\pi/N)}$是旋转因子。
这个公式实际上是将$X[k]$与旋转因子$W_N^{kn}$进行了内积运算，然后再除以N。
IDFT的计算复杂度也为O(N^2)。
离散傅里叶级数的性质与傅里叶级数类似，包括线性性、循环性、频谱移位性、对称性、Parseval定理等。
离散傅里叶级数(DFS)
~x (n)W1n0k
4
j 2 nk
e 10
n0
n0
| ~x(k) |
5
…
…
－ 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
15
20
k
第3章 离散傅里叶变换
X%(k)跟X (z)的关系:
周期序列 X~ (k )可看成是对 ~x(n) 的第一个周期x(n)作Z变换，然
后将Z变换在Z平面单位圆上按等间隔角2π/N采样而得到的。令
非周期和连续
连续和周期
非周期和离散
离散和非周期
周期和连续
散和周期
周期和离散
一个域的离散对应另一个域的周期延拓， 一个域的连续 必定对应另一个域的非周期
第3章 离散傅里叶变换
3.1 引 言
数字计算机只能计算有限长离散序列 序列的傅里叶变换和Z变换:其频谱连续且无限长 周期序列的离散傅里叶级数:其频谱离散但无限长(周期) 有限长序列的离散傅里叶变换:其频谱离散且有限长(一个周期) 离散傅里叶变存在有效的快速算法——快速离散傅里叶变换， 因而在各种数字信号处理的算法中起着核心作用。
1 N
N 1 X~ (k )WNnk
k 0
DFS［·］表示离散傅里叶级数正变换，IDFS［·］表示离散 傅里叶级数反变换。
只要知道周期序列一个周期的内容，其他的内容也都知道 了。 所以，这种无限长序列实际上只有一个周期中的N个序列 值有信息。 因而周期序列和有限长序列有着本质的联系。
第3章 离散傅里叶变换
复指数序列：ek
(n)
e
j
2
N
kn
ek rN
(n)
k, r为整数。
~x (n)
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( k ) 也仅有 0，Байду номын сангаас，…，N-1 个独立值,周期为 N。 X
13
DFS 定义：变换对
x(n) = xa(nT) (c) DTFT 0 T Tm
n
1/T
~ X ( )
-Ωs
-Ωm
1/T
Ωm
Ωs
~ x(n) ~ x(nT)
(d) DFS
n
~ ~ X (k) X (k1)
-N
1
第三章 DFT——离散傅立叶变换
• • • • •
DFS 和 DFT 的导出 DFS 和 DFT 的性质 Z 变换与 DFT 的关系 IDFT 频谱分析
3.1 问题的提出：离散信号的变换
离散信号在两种变换域中的表示方法
（1）离散时间傅里叶变换 DTFT -- 提供了绝对可加的 离散时间序列在频域（ω）中的表示方法。
解：上述序列的基本周期为 N=4，因而
W4 = e-j2π/4 = -j，
~ X (k )
3
n0
~ x ( n )W 4nk
n 0
3 3 ~ X ( 0) ~ x ( n )W4n0 ~ x (n) ~ x ( 0) ~ x (1) ~ x ( 2) ~ x (3) 6 n 0 3 3 ~ n X (1) ~ x ( n )W4 ~ x ( n )( j ) n 0 j 2 3 j ( 2 2 j ) n 0 n 0 3 3 ~ 2n ~ X ( 2) x ( n )W4 ~ x ( n )( j ) 2 n 2 n 0 n 0 3 3 ~ X (3) ~ x ( n )W43n ~ x ( n )( j ) 3n ( 2 2 j ) n 0 n 0
N
N 1 n0
-N
0
N
(k ) X 1 x (n ) N
( n )W x
kn N
其中
kn N
N 1 k0
( k )W X
WN e
j
2 N
14
例 ：求出下面周期序列的 DFS 表示式 ~ x ( n) {....,0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3......}
当 N=5、10、20、50 时，分别对其 Z 变换 在单位圆上取样，研究不同的 N 对时域的影响。
解：可得 x(n) 的 Z 变换为：
1 z X (z) , z 0.7 1 1 0.7 z z 0.7
可用 Matlab 来实现取样运算：
X (k ) X ( z ) |
ze
x(n) = xa(nT) (c) DTFT 0 T Tm
n
~ X ( )
-Ωs
-Ωm
1/T
Ωm
Ωs
~ x (n) ~ x (nT)
(d) DFS
n
~ ~ X (k ) X (k1 )
-N
0
N
-N
0
N
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （6）
四种傅里叶变换形式的归纳总结： 形 式 傅里叶变换 FT 傅里叶级数 FS 时间函数 连续 非周期 连续 周期(T0) 频率函数 非周期 连续 非周期 离散(Ω0=2π/T0) 周期(Ωs=2π/Ts) 连续 周期(Ωs=2π/Ts) 离散(Ω0=2π/T0)
n0 N 1 n0
N 1
2 k) N
( n)e x
kn x ( n)W N
令
WN e
j
2 N
11
DFS 定义：正变换
频域取样 X(ejω) 是连续变量 ω 的周期函数，周期为2π。 把ω 离散化，即在0～2π区间内等间隔取 N 个点，取 样间隔为 2π/N。
0
10
DFS 定义：正变换
X ( z ) | z e j X ( e
j
)
j
N 1 n0
x ( n ) e jn
X (e ) |
则
j
2 k N
X (e
jn (
2 k N
(k ) ) X
N 1 n0 j 2 kn N
(k ) x ( n)e X
1 (n ) 和 x 2 (n ) ， 周 期 均 为 N , 则 周 期 卷 积 设：两 个 周 期 序 列 x
( n) x 1 ( n ) * x 2 ( n) y
N 1 m 0 1 2
(m) x (n m) x (m) x (n m) x
7
3.2 DFS 及其性质
由以上讨论可以清楚地看到，时域取样将引起频
域的周期延拓，频域取样也将引起时域的周期延 拓。
因此可以设想，如果同时对频域和时域取样，其
结果是时域和频域的波形都变成离散、周期性的 波形，从而我们可以利用付氏级数这一工具，得 到它们之间的离散付氏级数 DFS 关系。
8
DFS 定义：正变换
例 ：已知序列 x ( n ) R4 ( n ), 将 x ( n )以 N 8为周期 ( n )，求 x ( n )的 DFS。 进行周期延拓成 x
解法一：数值解
(k ) X
nk nk x ( n ) W x ( n ) W N 8 n 0 3 n 0 N 1 7
N=10
1.2020
1 0.5 0
20 n N=40
40
1.0000
20 n
40
从图中清楚地表明在时域中出现的混叠，尤其是当 N=5 与 N=10 时。对于大的 N 值，其 x(n) 的尾部足够小，实际上不会 导致明显的混迭。这对于变换前，有效截取无限序列，是非常有 效的。
DFS 的性质：线性
~ x (n) ~ x (nT)
(d) DFS
n
-N
1/T
~ ~ X (k ) X (k1 )
-N
N
0
N
问题：离散周期信号的傅里叶变换形式是否存在？ NO！
(n) x ( n N m ), m 为 整 数 x
(z) X
n
(n)z n x
思路2：计算X ( z )时, 截取x(n)的一个周期
证明：
ln ( n)] DFS[W N x
( l k )n x ( n)W N
nm (k) X (k m ) 则 有 ： 若：X x (n ) W 2 2 N x(n )
(k l ) X
22
DFS 的性质：周期卷积 （1）
周期卷积（时域）
n0
N 1
j(
2 )( k N ) n N
(n)e x
n0
N 1
j(
2 ) kn j 2 n N
e
所以
(n)e x
n0
N 1
j(
2 ) kn N
(k ) X
随 k 周期变化， 仅有 0，1，…， N-1 个独立值。
仅有 0，1，…，N-1 个独立值。
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
X (z)
n
x(n)z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
3
3.1 问题的提出：可计算性
问题：X(z)，X(ejw) 都是连续的，利用计算机 处理有困难，例如使用 Matlab，因此
N 1 m nk x ( n m ) W N n 0 N 1
令i n m
i m
( i )W x
k ( i m ) N
W
mk N
N 1 m
i m
ki ( i )W N x
W
mk N
N 1 m N 1 m 1 N 1 ki ki mk ki ki x ( i ) W x ( i ) W W x ( i ) W x ( i ) W N N N N N i N i 0 i m i m N 1 i 0
j
2 k N
e j 2 k / N j 2 k / N , k 0, 1, ..... e 0.7
用 IDFS 计算，确定相应的时域序列。
N=5 1.5 xtilde(n) xtilde(n) 1.5 1 1.0291 0.5 0 0 1.5 xtilde(n) 1 1.0008 0.5 0 0 20 n 40 xtilde(n) 20 n N=20 40 1.5 1 0.5 0 0 0
－－ a,b为任意常数
20
DFS 的性质：序列的周期移位
序列的周期移位（时域） ( n) 若x 是周期序列，其周期为N，移位后仍为周期序列，且：
mk ( n m )] W N DFS[ x X (k ) e j 2 mk N
(k ) X
证明：
( n m )] DFS[ x
m 0 2 1
N 1
若 则
IDFS (k ) X (k ) X (k ) ( n ) x1 ( n ) * x 2 ( n ) y Y 1 2
W8nk
n 0
1 e
(0) 4 X ( 4) 0 X
j
2 k 8
e
j
2 2k 8
e
j
2 3k 8
(5) 1 j X
(1) 1 j X