最新初三上学期期中数学试题及答案
2023-2024学年北京东城区东直门中学初三(上)期中数学试题及答案
2023北京东直门中学初三（上）期中数 学考试时间：120分钟 总分100分一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 抛物线()213y x =−+的顶点坐标为( )A. ()1,3B. ()1,3−C. ()1,3−−D. ()3,1 3. 在△ABC 中，CA CB =，点O 为AB 中点．以点C 为圆心，CO 长为半径作⊙C ，则⊙C 与AB 的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C.相离D. 不确定 4. 如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，70B ∠=︒，则D ∠的度数是( )A. 110°B. 90°C. 70°D. 50°5. 若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（ ） A. 32π B. 3π C. 6π D. 9π6. 一元二次方程2630kx x −+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A. 3k <B. 3k <且0k ≠C. 3k ≤D. 3k ≤且0k ≠ 7. 如图，将ABC 绕着点C 顺时针旋转50︒后得到A B C '''．若40,110A B ∠=∠='︒︒，则BCA '∠的度数是（ ）A. 90︒B. 80︒C. 50︒D. 30︒8. 如图，线段AB ＝5，动点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿线段AB 运动至点B ，以点A 为圆心，线段AP 长为半径作圆．设点P 的运动时间为t ，点P ，B 之间的距离为y ，⊙A 的面积为S ，则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是（ ）A. 正比例函数关系，一次函数关系B. 一次函数关系，正比例函数关系C. 一次函数关系， 二次函数关系D. 正比例函数关系，二次函数关系二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣2，3），若点A 与点B 关于原点O 对称，则B 点的坐标为____．10. 请写出一个开口向上，且经过点(0,1)−的二次函数解析式：________．11. 参加足球联赛的每两个队都进行2场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？设参加比赛的有x 个队，根据题意，可列方程为________．12. 把抛物线2112y x =+向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为________． 13. 如图，在O 中AB 是直径，CD AB ⊥，30BAC ∠=︒，2OD =，那么DC 的长等于________．14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()31A −，，()11B −，，若抛物线()20y ax a =>与线段AB 有公共点，则a 的取值范围是___________．15. 如图所示的网格是正方形网格，线段AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O 相切，则α的值为_____．16. 某快递员负责为A ，B ，C ，D ，E 五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量下表．30件，最少取快递15件，写出一种满足条件的方案______（写出小区编号）；（2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案______（写出小区编号）．三、解答题（本题共68分，17题5分，18题每小题4分，第19—25题，每小题5分，26题6分，第27、28题，每小题7分）17. 计算：02cos30|(π+−−︒．18. 解一元二次方程：（1）解方程：250x x +=（2）解方程：261x x −=（配方法）19. 下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．已知：点A 在O 上．求作：直线P A 和O 相切． 作法：如图，①连接AO ；②以A 为圆心，AO 长为半径作弧，与O 的一个交点为B ； ③连接BO ；④以B 为圆心，BO 长为半径作圆；⑤作B 的直径OP ；⑥作直线P A ．所以直线P A 就是所求作的O 的切线．根据小亮设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：在O 中，连接BA ．∵OA OB =，AO AB =，∴OB AB =．∴点A 在B 上． ∵OP 是B 的直径，∴90OAP ∠=︒（______）（填推理的依据）．∴OA AP ⊥．又∵点A 在O 上， ∴P A 是O 的切线（______）（填推理的依据）．20. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O 为圆心的圆的一部分．如果M 是O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O 交O 于点E ，6CD =，9EM =，求O 的半径．21. 已知二次函数243y x x =−+．（1）二次函数243y x x =−+图象与x 轴的交点坐标是 ，y 轴的交点坐标是 ，顶点坐标是 ； （2）在平面直角坐标系xOy 中，画出二次函数243y x x =−+的图象；（3）当14x <<时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围 ．22. 如图，点A 的坐标为(3，2)，点B 的坐标为(3，0)，作如下操作：以点A 为旋转中心，将ABO 顺时针方向旋转90°，得到AB 1O 1．（1）在图中画出AB1O 1．（2）请接写出点B 1的坐标 ．（3）请直接写出点B 旋转到点B 1所经过的路径长 ．23. 已知关于x 的一元二次方程220x x m −+−=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，且该方程的根都是整数，求m 的值．24. 如图，AB 为O 的直径，BD CD ，过点A 作O 的切线，交DO 的延长线于点E ．（1）求证：AC DE ∥；（2）若2AC =，1tan 2=E ，求OE 的长． 25. 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，实心球从出手到陆的过程中，它的直高度y （单位：m ）与水距x （单位：m ）近似满足函数关系2()(0)y a x h k a =−+<．小明进行了两次掷实心球训练．（1）第一次训练时，实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：①实心球竖直高度的最大的值是________m ；②求出函数解析式________；（2）第二次训练时，实心球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系20.09(4) 3.6y x =−−+，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为1d ，第二次训练实心球的陆点的水平距离为2d ，则1d ________2d （填“>”，“=”或“<”）26. 已知关于x 的二次函数222y x tx =−+．（1）求该抛物线的对称轴（用含t 的式子表示）；（2）若点()3,M t m −，()5,N t n +在抛物线上，则m _________n ；（填“＞”，“＜”或“=”） （3）()11,P x y ，()22,Q x y 是抛物线上的任意两个点，若对于113x −≤<且23x =，都有12y y ≤，求t 的取值范围．27. 已知正方形ABCD 和一动点E ，连接CE ，将线段CE 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段CF ，连接BE ，DF ．（1）如图1，当点E 在正方形ABCD 内部时，①依题意补全图1；②求证：BE DF =；（2）如图2，当点E 在正方形ABCD 外部时，连接AF ，取AF 中点M ，连接AE ，DM ，用等式表示线段AE 与DM 的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，P 是O 外一点，给出如下的定义：若在O 上存在一点T ，使得点P 关于某条过点T 的直线对称后的点Q 在O 上，则称Q 为点P 关于O 的关联点． （1）当点P 在直线2y x =上时，①若点()1,2P ，在点122Q ⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭，()20,1Q ，()31,0Q 中，点P 关于O 的关联点是______； ②若P 关于O 的关联点Q 存在，求点P 的横坐标p 的取值范围；（2）已知点32,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，动点M 满足1AM ≤，若M 关于O 的关联点N 存在，直接写出MN 的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 【答案】B【分析】根据圆的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误．故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2. 【答案】A【分析】根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标．【详解】因为y=（x-1）2+3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，3）．故选A．【点睛】本题考查了二次函数的性质：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，此题考查了学生的应用能力．3. 【答案】B⊥，根据三角形切线的判定即可判断AB是C 【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得CO AB的切线，进而可得⊙C与AB的位置关系【详解】解：连接CO,=，点O为AB中点．CA CB∴⊥CO ABCO为⊙C的半径，∴是C的切线，AB∴⊙C与AB的位置关系是相切故选B【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键． 4. 【答案】A【分析】先根据圆内接四边形的对角互补得出180D B ∠+∠=︒，即可解答． 【详解】解：四边形ABCD 是O 的内接四边形，180D B ∴∠+∠=︒， 18070110D ∴∠=︒−︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键． 5. 【答案】D【分析】根据扇形公式S 扇形=2360n R π，代入数据运算即可得出答案． 【详解】解：由题意得，n=90°，R=6，S 扇形=229069360360n R πππ==， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式，另外要明白扇形公式中，每个字母所代表的含义．6. 【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可；【详解】解：由题意得：2(6)1200k k ⎧−−>⎨≠⎩ 解得：3k <且0k ≠故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，同时要满足该方程的二次项系数不为0；熟练运用根的判别式是解题关键．7. 【答案】B【分析】先利用旋转的性质得到50110ACA B B ''∠=︒==︒，∠∠，再利用三角形内角和计算出30ACB ∠=︒，然后计算BCA ACA '∠+∠即可．【详解】解： ABC 绕着点C 顺时针旋转50︒后得到A B C '''，50110ACA B B ''∴∠=︒==︒，∠∠，40A ∠=︒，18030ACB A B ∴∠=︒−︒−=∠∠，305080BCA BCA ACA ''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键：旋转图形对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 8. 【答案】C【分析】根据题意分别列出y 与t ，S 与t 的函数关系，进而进行判断即可．【详解】解：根据题意得AP t =，5PB AB AP t =−=−，即5y t =−()05t ≤≤，是一次函数；⊙A 的面积为S =22AP t ππ⨯=，即2S t π=()05t ≤≤，是二次函数故选C【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 【答案】（2，﹣3）【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的对应坐标符号相反可直接得到答案．【详解】解：∵点A 和点B 关于原点对称，点A 的坐标为（﹣2，3），∴点B 的坐标为（2，﹣3），故答案为：（2，﹣3）．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．10. 【答案】21y x =−【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的各种形式，利用特殊点代入求得答案即可．根据二次函数的性质，二次项系数大于0时，开口方向向下，再利用过点(0,1)−得出即可． 【详解】解：开口向上，且经过点(0,1)−的二次函数解析式，设顶点坐标为(0,1)−，故解析式为21y x =−．故答案为：21y x =−．11. 【答案】(1)90x x −=【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．利用比赛的总场数=参赛队伍数(⨯参赛队伍数1)−即可得到答案．【详解】解：由题意得(1)90x x −=，故答案为：(1)90x x −=．12. 【答案】21(2)12y x =−+ 【分析】本题主要考查二次函数图像的与几何变换，熟记“上加下减，左加右减”是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”解题即可．【详解】解：抛物线2112y x =+向右平移2个单位长度， 得21(2)12y x =−+， 故答案为：21(2)12y x =−+．13. 【答案】【分析】本题考查垂径定理、勾股定理和30︒所对的直角边等于斜边的一半，根据30BAC ∠=︒，得出DCA ∠，结合同弧所对的圆周角等于圆心角一半得到DOA ∠，推出30ODE ∠=︒，再结合30︒所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，即可求解．【详解】解：记CD AB ⊥于点E ，O 中AB 是直径，DE EC ∴=，90AED AEC ∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，60DCA ∴∠=︒，AD AD =，120DOA ∴∠=︒，60DOE ∴∠=︒，30ODE ∴∠=︒，12OE OD ∴=， 2OD =，1OE ∴=，DE ∴==DC ∴=．故答案为：14. 【答案】119a ≤≤##119a ≥≥【分析】分别把A 、B 点的坐标代入2y ax =得a 的值，根据二次函数的性质得到a 的取值范围．【详解】解：把()31A −，代入2y ax =得19a =； 把()11B −，代入2y ax =得1a =，∴a 的取值范围为119a ≤≤． 故答案为：119a ≤≤． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．15. 【答案】60°或120 °【分析】线段AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O 相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″，根据切线的性质得OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，利用直角三角形30度的判定或三角函数求出∠OAC′=30°，从而得到∠BAB′=60°，同理可得∠OAC″=30°，则∠BAB″=120°．【详解】线段AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O 相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″， 则OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，在Rt △OAC′中，∵OC′=1，OA=2∴∠OAC′=30°，∴∠BAB′=60°，同理可得∠OAC″=30°，∴∠BAB″=120°，综上所述，α的值为60°或120°．故答案为60°或120°．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了旋转的性质和直角三角形的性质．16. 【答案】 ①. A ，B ，C (答案不唯一) ②. A ，B ，E【分析】（1）根据三个小区需送快递总数量30≥，需取快递总数量15≥，求解即可；（2）先求出第个小区总收益，再比较，选择收益最多的，且又满足需送快递总数量30≥，需取快递总数量15≥的三个小区即可．【详解】解：（1）∵A 小区需送快递数量15，需取快递数量6，B 小区需送快递数量10，需取快递数量5，C 小区需送快递数量8，需取快递数量5，∴若前往A 、B 、C 小区，需取快递数量为151083330++=>，需取快递数量为6551615++=>，∴前往A ，B ，C 小区满足条件，故答案为：A ，B ，C (答案不唯一)；（2）前往A 小区收益为：1516228⨯+⨯=(元)，前往B 小区收益为：1015220⨯+⨯=(元)，前往C 小区收益为：815218⨯+⨯=(元)，前往D 小区收益为：417218⨯+⨯=(元)，前往E 小区收益为：1314221⨯+⨯=(元)，∵28212018>>>，15101330++>，65415++=，∴他的最优方案是前往A 、B 、E 小区收益最大，故答案为∶A ，B ，E ．【点睛】本题考查有理数混合运算，有理数比较大小，属基础题目，难度不大．三、解答题（本题共68分，17题5分，18题每小题4分，第19—25题，每小题5分，26题6分，第27、28题，每小题7分）17. 【答案】-1【分析】根据实数的计算，把各个部分的值求出来进行计算即可．【详解】解：原式=212⨯+−−1−=-1．【点睛】本题考查了实数的混合运算，准确记忆特殊角的锐角三角函数值、绝对值化简、零指数幂、二次根式的化简是解题的关键．18. 【答案】（1）10x =，25x =−（2）13x =+，23x =【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）根据因式分解法解一元二次方程即可；（2）根据配方法解一元二次方程即可；【小问1详解】解：250x x +=， (5)0x x +=，10x =，25x =−；【小问2详解】解：261x x −=，26919x x −+=+，2(3)10x −=，3x −=，13x =+，23x =．19. 【答案】（1）见解析 （2）直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理得到∠OAP ＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．【小问1详解】解：补全的图形如图所示；【小问2详解】证明：在O 中，连接BA ．∵OA OB =，AO AB =，∴OB AB =．∴点A 在B 上． ∵OP 是B 的直径，∴90OAP ∠=︒（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．∴OA AP ⊥．又∵点A 在O 上， ∴P A 是O 的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）． 故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【点睛】本题考查了作图，切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．20. 【答案】5【分析】本题主要考查了垂径定理，构造直角三角形是解题的关键．连接OC ，由垂径定理得出EM CD ⊥，则2CM DM ==，根据勾股定理求解即可．【详解】解：连接OC ，M 是O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O ，EM MD ∴⊥，CM MD ∴=，6CD =，3CM ∴=，设OC x =，则9OM x =−，在Rt COM △中，根据勾股定理可得，2223(9)x x +−=，解得5x =．故O 的半径为5．21. 【答案】（1）()1,0，()3,0；()0,3；(2,1)−（2）见解析 （3）13y −≤<【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象；（1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，分别令0,0x y ==求得与坐标轴的交点坐标； （2（3）结合二次函数图象，写出当14x <<时对应的y 的取值范围．【小问1详解】解：令0y =，则2430x x −+=，解得：121,3x x ==，∴二次函数243y x x =−+图象与x 轴的交点坐标是()1,0，()3,0，令0x =，解得：3y =，∴二次函数243y x x =−+图象与y 轴的交点坐标是()0,3； ∵2243(2)1y x x x =−+=−−，∴该二次函数图象顶点坐标为(2,1)−；故答案为：()1,0，()3,0；()0,3；(2,1)−．【小问2详解】解：列表：；【小问3详解】解：由图象可知，当14x <<时，13y −≤<．故答案为：13y −≤<．22. 【答案】（1）见解析，（2）（1，2），（3）π【分析】（1）利用网格和旋转的性质画出点B 、O 的对应点B 1、O 1，从而得到△AB 1O 1；（2）由（1）得到点B 1的坐标；（3）根据弧长公式求解即可．【详解】解：（1）如图，△AB 1O 1为所作；（2）点B 1的坐标为（1，2）；故答案为（1，2）；（3）点B 旋转到点B 1所经过的路线长＝902180π⋅⋅＝π 故答案为：π．【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换和弧长公式，解题关键是根据旋转的性质作出对应点．23. 【答案】（1）94m <（2）2m =【分析】本题主要考查根的判别式和解一元二次方程，熟练掌握根的判别式是解题的关键．（1）根据题意0∆>，代入求解即可；（2）求出1m =或2，代入方程求解即可．【小问1详解】解：依题意得224(1)41(2)0b ac m ∆=−=−−⨯⨯−> 94m ∴<； 【小问2详解】 解：m 为正整数，∴1m =或2，当1m =时，方程为210x x −−=的根12x =不是整数， 当2m =时，方程为20x x −=的根120,1x ==，都是整数，故2m =．24. 【答案】（1）见解析 （2）5【分析】（1）根据同圆中，等弧相等性质可得BAD CAD ∠=∠，再利用等边对等角及等量代换即可证得CAD D ∠=∠从而证得结论．（2）连接BC ，利用直径所对的圆周角是直角结合（1）中平行线的性质可求得B E ∠=∠，从而得到tan tan B E =，根据直角三角形的锐角三角函数的值结合勾股定理即可求得答案．【小问1详解】证明：BD CD =，∴BAD CAD ∠=∠，∵OA OD =，∴D BAD ∠=∠，∴CAD D ∠=∠，∴AC DE ∥．【小问2详解】如图，连接BC ，∵AB 为O 的直径，∴90C ∠=︒，∵AC DE ∥，∴∠=∠BAC AOE ，∵AE 是O 的切线，∴OA AE ⊥，∴90∠=∠=︒C OAE ，∴B E ∠=∠， ∴1tan tan 2==B E ， 在Rt OAE △中，1tan 2B =，2AC =， ∴21tan 2AC B BC BC ===，解得4BC =，AB ∴===，∴OA =∵在Rt OAE △中，1tan 2E =，∴1tan 2AO E AE AE ===，解得AE =，∴5OE ===．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质、切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数值及勾股定理解直角三角形的应用，熟练掌握圆周角定理及平行线的判定及锐角三角函数值及勾股定理解直角三角形的应用是解题的关键．25. 【答案】（1）①3.6；②20.1(4) 3.6y x =−−+（2）<【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，读懂题意是解题的关键．（1）①根据表中的数据找出顶点坐标即可；②用待定系数法求函数解析式；（2）分别将0y =代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用表示出1d 和2d 进行比较即可．【小问1详解】解：①根据表格中的数据可得竖直高度的最大值是3.6m ，故答案为：3.6m ；②由①可知，顶点坐标为(4,3.6)，故函数关系为2(4) 3.6(0)y a x a =−+<，把(0,2.0)代入2(4) 3.6y a x =−+得，16 3.62a +=，0.1a ∴=−，故函数解析式为20.1(4) 3.6y x =−−+；【小问2详解】解：由（1）可知函数解析式为20.1(4) 3.6y x =−−+，当0y =时，10x =（负值舍去），110m d ∴=，在20.09(4) 3.6y x =−−+中，令0y =得20.09(4) 3.60x −−+=，解得4x =（负值舍去），24)m d ∴=+，102104<+，12d d ∴<．26. 【答案】（1）x =t （2）＜（3）t ≤1【分析】（1）根据对称轴的表达式直接求解即可；（2）利用抛物线的对称性和增减性进行判断即可；（3）根据二次函数的增减性进行判断解答即可． 【小问1详解】解：二次函数的对称轴为：222b t x t a −=−=−= 【小问2详解】解：∵a 10＞，∴x t ＜时y 随x 的增大而减小，x t ＞，y 随x 的增大而增大根据抛物线的对称性可知：M 点关于对称轴对称的点为：()3,t m +，∵35t t t ++＜＜∴m n ＜故答案为：<【小问3详解】解：若对于113x −≤<且23x =，都有12y y ≤，∴点P 在Q 点的左侧，且对称轴在P ，Q 中间∴对称轴一定在水平距离上距离2x 更远或相等 ∴122x x +≥t （距离相等时122x x t +=，x 2更远时122x x +>t ） ∴332+>t 且312−≥t ∴3>t 且1≥t∴t ≤1．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟记二次函数对称轴的表达式，以及二次函数的增减性是解题的关键．27.【答案】（1）①见解析；②见解析（2）2=AE DM ；理由见解析【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②证明()SAS BCE DCF ≌△△，根据全等三角形对应边相等得出结果即可；（2）连接BE 、DF ，延长DM ，使MN DM =，连接AN ，延长AD 交CF 于点G ，证明()SAS BCE DCF ≌△△，得出BE DF =，CBE CDF ∠=∠，证明()SAS AMN DMF ≌，得出AN DF =，MAN MFD ∠=∠，证明()SAS AND BEA ≌，得出AE DN =，即可证明结论．【小问1详解】解：①依题意补全图1，如图所示：②∵四边形ABCD 为正方形，∴BC CD =，90BCD ∠=︒，根据旋转可知，CE CF =，90ECF ∠=︒，∴90BCE ECD ECD DCF ∠+∠=∠+∠=︒，∴BCE DCF ∠=∠，∴()SAS BCE DCF ≌△△，∴BE DF =；【小问2详解】解：2=AE DM ；理由如下：连接BE 、DF ，延长DM ，使MN DM =，连接AN ，延长AD 交CF 于点G ，如图所示：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB BC CD AD ===，90BCD ABC ADC ∠=∠=∠=︒，根据旋转可知，CE CF =，90ECF ∠=︒，∴90BCE ECD ECD DCF ∠+∠=∠+∠=︒，∴BCE DCF ∠=∠，∴()SAS BCE DCF ≌△△，∴BE DF =，CBE CDF ∠=∠，∵90CBE ABC ABE ABE ∠=∠+∠=︒+∠，90CDF CDG FDG FDG ∠=∠+∠=︒+∠，∴FDG ABE ∠=∠，∵点M 为AF 的中点，∴AM MF =，∵DM MN =，AMN DMF ∠=∠，∴()SAS AMN DMF ≌，∴AN DF =，MAN MFD ∠=∠，∴AN DF ∥，∴FDG NAD ∠=∠，∵FDG ABE ∠=∠，∴NAD ABE ∠=∠，∵AN DF =，BE DF =，∴AN BE =，∵AD AB =，∴()SAS AND BEA ≌，∴AE DN =，∵2DN DM =，∴2AE DM =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，平行线的判定和性质，解题的 关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．28. 【答案】（1）①1Q ，2Q ；②55p −≤≤ （2）存在，14MN ≤≤【分析】（1）①根据新定义，画出图形，进而即可求解；②设2y x =与O 交于点M N ，，过点,N P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,A B ，根据勾股定理得出221x y +=，联立直线解析式，得出交点坐标，进而根据平行线分线段成比例得出p =p 的最小值为5−，即可求解； （2）依题意，关于O 的关联点在半径为3的圆内，进而根据点与圆的位置关系，求得MN 的最值，即可求解．【小问1详解】解：如图所示，1PQ 连线的中点在O 的内部， 2PQ 的中点的纵坐标为1，则点2,P Q 关于1y =对称点P 关于O 的关联点是1Q ，2Q ，故答案为：1Q ，2Q ．②如图所示，设2y x =与O 交于点M N ，，过点,N P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,A B ，∵设O 上的点的坐标为(),x y ，则221x y +=，联立2212x y y x⎧+=⎨=⎩解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 当P 点的对称点为M 时，点P 的横坐标最大，∵1,123ON OP ==+=,NA PB ∥， ∴N Px ON OP x =,∴5p =, 同理可得p的最小值为5−∴p ≤≤【小问2详解】 解：依题意，关于O 的关联点在半径为3的圆内，如图所示，∵1AM ≤，则M 在半径为1的A 上以及圆内，M 关于O 的关联点N∴MN 的最大值为314OM ON +=+=，如图所示，当M 在线段OA 上时，MN 取最小值，∵52OA == ∴511122MT OM OT OA AM OT =−=−−=−−= ∴21MN MT ==∴14MN ≤≤【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，平行线分线段成比例，解一元二次方程，点与圆的位置关系求最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．。
浙教版九年级上册数学期中考试试卷带答案
浙教版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列事件为必然事件的是（）A ．购买二张彩票，一定中奖B ．打开电视，正在播放极限挑战C ．抛掷一枚硬币，正面向上D ．一个盒子中只装有7个红球，从中摸出一个球是红球2．△ABC 的外心在三角形的内部，则△ABC 是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判断3．若将函数22y x =的图象向右平行移动1个单位,再向上平移5个单位,可得到的抛物线是A ．22(1)5y x =--B ．22(1)5y x =-+C ．22(1)5y x =+-D ．22(1)5y x =++4．抛物线y ＝a （x ＋1）（x －3）（a≠0）的对称轴是直线（）A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝－3D ．x ＝35．如图：点A ，B ，C 都在⊙O 上，且点C 在弦AB 所对的优弧上，若∠AOB ＝72°，则∠ACB 的度数是（）A ．18°B ．30°C ．36°D ．72°6．A （-2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线22(1)y x k =-++上三点，y 1，y 2，y 3的大小关系为（）A ．y 1＞y 3＞y 2B ．y 3＞y 1＞y 2C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 3＞y 2＞y 17．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于点E ，连接OB 、CB ，已知⊙O 的半径为2，AB=,则∠BCD 的大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．15°8．下列命题正确的是（）A．三点确定一个圆B．直径所对的圆周角为直角C．平分弦的直径必垂直于这条弦D．相等的弦所对的圆心角相等9．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．10．如图，AB是⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆(不包括A，B两点)移动时，点P()A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．平分 BD D．随点C的移动而移动11．如图，AC、BD为圆O的两条互相垂直的直径，动点P从圆心O出发，沿O→C→D→O 的路线作匀速运动，设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，那么表示y与t之间函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），且与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），此时抛物线与y轴交于点A′，则AA′的长度为（）A．214B．334C．D．D3二、填空题13．从﹣1、0、0．3、π、13这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的概率为_____．14．若将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝___________．15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD=______度．16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为_____．17．已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为______．18．如图，平面直角坐标系中，以点C （22为半径的圆与x 轴交于A ，B 两点．若二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象经过点A ，B ，试确定此二次函数的解析式为____________．19．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD ，则①∠DAC ＝∠DBA ；②AD 2﹣BC 2＝AC 2﹣BD 2；③AP ＝FP ；④DF ＝BF ，这些结论中正确的是______．（请写序号）20．如图，抛物线2144y x =-与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连接OQ ．则线段OQ 的最大值是______．三、解答题21．从男女学生共36人的班级中，选一名班长，任何人都有同样的当选机会，如果选得男生的概率为23．(1)求该班级男女生数各多少？(2)若该班转入女生6人，那么选得女生为班长的概率？22．如图，在7×7的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点．(1)在正方形网格中直接标出这条圆弧所在圆的圆心O ；(2)求弧AC 的长．23．某运动员在推铅球时，铅球经过的路线是抛物线的一部分（如图），落地点B 的坐标是（10，0），已知抛物线的函数解析式为y ＝﹣212123x x ++c ．(1)求c 的值；(2)计算铅球距离地面的最大高度．24．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点,E G 是弧AC 上一点，连接AD AG GD 、、．（1）求证ADC AGD ∠=∠；（2）若2,6BE CD ==，求O 的半径．25．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y （袋）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他费用80元．销售单价x（元） 3.5 5.5y（袋）280120销售量（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y ＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？判断此时△ABP的形状，并证明你的结论．(3)在（2）的前提下，有一动点Q在抛物线上运动（线段AB的下方），当Q点运动到什么位置时，△ABQ的面积等于△ABP的面积．参考答案1．D【解析】【分析】由题意根据必然事件、随机事件，不可能事件的意义结合具体的问题情境进行判断即可．【详解】解：A．购买二张彩票，不一定中奖，是随机事件，因此选项A不符合题意；B．打开电视，可能播放极限挑战，也可能播放其它节目，是随机事件，因此选项B不符合题意；C．抛掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上，是随机事件，因此选项C不符合题意；D．一个盒子中只装有7个红球，没有其它颜色的球，从中摸出一个球一定是红球，是必然事件，因此选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查随机事件，理解随机事件，必然事件，不可能事件的意义是正确判断的前提．2．A【解析】【详解】试题解析：△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是锐角三角形．故选A．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．3．B【解析】【分析】根据图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．【详解】原抛物线的顶点为（0，0），向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，那么新抛物线的顶点为（1，5）．可设新抛物线的解析式为y=2（x-h）2+k，代入可得：y=2（x-1）2+5．故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，图象右移减、左移加，上移加、下移减是解题关键．4．A【解析】【分析】已知抛物线解析式为交点式，通过解析式可求抛物线与x轴的两交点坐标；两交点的横坐标的平均数就是对称轴.【详解】∵-1，3是方程a（x+1）（x-3）=0的两根，∴抛物线y=a（x+1）（x-3）与x轴交点横坐标是-1，3.∵这两个点关于对称轴对称，∴对称轴是13x12-+==.故选A．5．C【解析】【分析】根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得结果．【详解】∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB均对着 AB∴11723622ACB AOB∠=∠=⨯︒=︒故选：C【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握此定理是解题的关键．6．C【解析】【详解】试题解析：∵抛物线y=-2（x+1）2+k（k为常数）的开口向下，对称轴为直线x=-1，而A（-2，y1）离直线x=-1的距离最近，C（2，y3）点离直线x=-1最远，∴y1＞y2＞y3．故选C．7．A【详解】解：∵直径CD 垂直弦AB 于点E ，AB=EB=12O 的半径为2，∴sin ∠EOB=EB OBEOB=60°，∴∠BCD=30°．故选A ．【点睛】本题考查了垂径定理及特殊角的三角函数值，解题的关键是利用垂径定理得到直角三角形．8．B 【解析】【分析】利用确定圆的条件、圆周角定理、垂径定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A.不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；B.直径所对的圆周角是直角，正确，符合题意；C.平分弦（不是直径）的直径必垂直于这条弦，故原命题错误，不符合题意；D.同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，故原命题错误，不符合题意，故选：B ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不大．9．B 【解析】【详解】由抛物线可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，∴一次函数y=ax+b 的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=cx的图象在第二、四象限，故选B ．10．B【详解】连OP，如图，∵CP平分∠OCD，∴∠1=∠2，而OC=OP，有∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OP∥CD，又∵弦CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴OP平分半圆APB，即点P是半圆的中点，即点P的位置不变，故选B．【点睛】本题主要考查了垂径定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．11．C【解析】【详解】当P与O重合时，∠APB的度数为90度；P向C运动过程中，∠APB的度数逐渐减小；当P运动到C时，利用圆周角定理得到∠APB的度数为45度；当P在弧CD上运动时，∠APB的度数不变，都为45度；当P从D运动到O时，∠APB的度数逐渐增大，作出函数y与t的大致图象，如图所示：故选C.12．B【解析】【分析】先运用待定系数法求出原抛物线的解析式，再根据平移不改变二次项系数，得出平移后的抛物线解析式，求出A′的坐标，进而得出AA′的长度．【详解】∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），∴y＝a（x+2）2+2，∵与y轴交于点A（0，3），∴3＝a（0+2）2+2，解得a＝1 4∴原抛物线的解析式为：y＝14（x+2）2+2，∵平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），∴平移后的抛物线为y＝14（x﹣1）2﹣1，∴当x＝0时，y＝3 4-，∴A′的坐标为（0，34-），∴AA′的长度为：3﹣（34-）＝334．故选：B．【点睛】本题考查了平移、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．13．1 3【解析】【详解】试题分析：由从﹣1、00.3、π、13这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．解：∵从﹣1、00.3、π、13这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的有2种情况，即：、π；∴抽取到无理数的概率为：21 63=．故答案为1 3．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．2(1)2y x=-+【解析】【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【详解】y＝x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2故本题答案为：y＝（x﹣1）2+2．【点睛】本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式，关键是配方法的运用．15．36【解析】【详解】∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB BC CD DE EA=====72°，∴∠ADB=12×72°=36°．故答案为36．考点：1．圆周角定理；2．正多边形和圆．16．10【分析】连接OC，根据垂径定理求出CP，根据勾股定理得出关于R的方程，求出方程的解即可．【详解】解：连接OC，∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8，∴CP＝DP＝4，设⊙O的半径为R，∵AP＝8，∴OP＝8﹣R，在Rt△COP中，由勾股定理得：CP2+OP2＝OC2，即（8﹣R）2+42＝R2，解得：R＝5，∴⊙O的直径为2×5＝10，故答案为：10．17．1或7【解析】根据题意画出符合的两种图形，先根据垂径定理求出CE和AF长，再根据勾股定理求出OE 和OF长，再求出EF即可．【详解】解：有两种情况：①如图1，圆心O在弦AB和弦CD之间，过O作OE⊥CD于E，直线OE交AB于F，连接OC、OA，∥，∵AB CD∴OF⊥AB，∵OE ⊥CD ，OE 过圆心O ，CD ＝6，∴CE ＝DE ＝3，同理AF ＝BF ＝4，由勾股定理得：OE 4=，OF 3==，∴EF ＝OE+OF ＝4+3＝7；②如图2所示，此时EF ＝OE ﹣OF ＝4﹣3＝1，即弦AB 与CD 的距离是1或7，故答案为：1或7．18．y=x 2-4x+3【解析】过点C 作CH ⊥AB 于点H ，然后利用垂径定理求出CH 、AH 和BH 的长度，进而得到点A 和点B 的坐标，再将A 、B 的坐标代入函数解析式求得b 与c ，最后求得二次函数的解析式．【详解】解：过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则AH=BH ，∵C （2），∴，∵半径为2，∴1，∵A（1，0），B（3，0），∴二次函数的解析式为y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，故答案为：y=x2-4x+3．【点睛】本题考查了圆的垂径定理、二次函数的解析式，解题的关键是过点C作CH⊥AB于点H，利用垂径定理求出点A和点B的坐标．19．①②③【解析】【分析】①正确．根据圆周角定理得出∠DAC＝∠CBD，以及∠CBD＝∠DBA得出答案即可；②正确．利用勾股定理证明即可；③正确．首先得出∠ADB＝90°，再根据∠DFA+∠DAC＝∠ADE+∠PDF＝90°，且∠ADB ＝90°，得出∠PDF＝∠PFD，从而得出PA＝PF；④错误．用反例说明问题即可．【详解】解：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA，∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD，∴∠DAC＝∠DBA，故①正确，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB＝90°，∴∠ADE+∠EDB＝∠ABD+∠EDB＝90°，∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP，∴PD＝PA，∵∠DFA+∠DAC ＝∠ADE+∠PDF ＝90°，且∠ADB ＝90°，∴∠PDF ＝∠PFD ，∴PD ＝PF ，∴PA ＝PF ，故③正确，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°，∴AD 2+BD 2＝AC 2+BC 2＝AB 2，∴AD 2﹣BC 2＝AC 2﹣BD 2，故②正确，如图1中，当△ABC 是等腰直角三角形时，显然DF≠BF ，故④错误．故答案为：①②③．【点睛】本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等，注意数形结合思想运用．20．3.5【解析】【分析】连接PB ，当B 、C 、P 三点共线，且点C 在PB 之间时，PB 最大，而OQ 是△ABP 的中位线，即可求解．【详解】令21404y x =-=，则x ＝±4，故点B （4，0），∴OB=4设圆的半径为r ，则r ＝2，连接PB ，如图，∵点Q、O分别为AP、AB的中点，∴OQ是△ABP的中位线，当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，∵C（0，3）∴OC=3在Rt△OBC中，由勾股定理得：5BC===则111()(52) 3.5 222OQ BP BC r+⨯+=＝＝=，故答案为3.5．【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识，连接PB并运用三角形中位线定理是本题的关键和难点．21．(1)该班级男女生数各有24人，12人；(2)选得女生为班长的概率为3 7【解析】【分析】（1）根据男生概率公式可求得男生人数，让学生总数减去男生人数即为女生人数；（2）根据概率公式即可得到答案．(1)设有男生x人，∵男生的概率为23，即2363x=，解得x＝24（人）；∴女生36﹣24＝12（人），答：该班级男女生数各有24人，12人；(2)女生12+6＝18（人），全班36+6＝42（人），选得女生为班长的概率为183 427=．【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．22．(1)见解析；(2) AC【解析】【分析】（1）线段AB、线段BC的垂直平分线的交点即为圆心O；（2）根据勾股定理的逆定理得到∠AOC＝90°，然后根据弧长公式即可得到结论．(1)如图，连接AB，BC作线段AB、线段BC的垂直平分线，两线的交于点O，则点O即为所示；(2)连接AC，AO，OC，∵AC2＝62+22＝40，OA2=22+42=4+16=20，OC2=42+22=16+4=20，∴OA2+OC2＝42+22+42+22＝40，∴AC 2＝OA 2+OC 2，∴∠AOC ＝90°，在Rt △AOC 中，∵OA ＝OC ＝∴ AC =，【点睛】本题考查尺规作图作圆弧的圆心，线段的垂直平分线，勾股定理与勾股定理逆定理，扇形弧长，掌握尺规作图作圆弧的圆心，线段的垂直平分线，勾股定理与勾股定理逆定理，扇形弧长是解题关键．23．(1)53c =；(2)铅球距离地面的最大高度为3m【解析】【分析】（1）把（10，0）代入函数解析式212123y x x c =-++中，即可求得c 的值；（2）直接利用对称轴的值，代入函数关系式进而得出答案．(1)把（10，0）代入函数解析式212123y x x c =-++中得：12100100123c -⨯+⨯+=解得：53c =(2)当x ＝﹣42b a =时，y 最大＝12516431233-⨯+⨯+=所以铅球距离地面的最大高度为3m ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键，属于基础题．24．（1）见解析；（2）O 的半径为134．【解析】【分析】（1）由题意易得 AC AD=，进而问题可证；（2）连接OC ，设OC r =，则有3,2CE OE r ==-，然后根据勾股定理可求解．【详解】（1）证明：AB CD ⊥ ，AC AD∴=，ADC AGD ∴∠=∠；（2）解：连接OC ，设OC r =，如图所示：2,6BE CD == ，3,2CE OE r ∴==-，在Rt OEC ∆中，()22232r r +-=，解得134r =，O ∴ 的半径为134．【点睛】本题主要考查垂径定理及弧、弦、圆心角、圆周角的关系，熟练掌握垂径定理及弧、弦、圆心角、圆周角的关系是解题的关键．25．（1）y 与x 之间的函数关系式为y=﹣80x+560；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；（3）当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．【解析】【分析】（1）设y 与x 的函数关系式为y=kx+b ，将x=3.5，y=280；x=5.5，y=120分别代入求出k 、b 的值即可得；（2）根据利润=（售价-成本）×销售量-其他费用列出方程进行求解即可得；（3）根据利润=（售价-成本）×销售量-其他费用列出函数关系式，然后利用二次函数的性质进行解答即可得．【详解】解：（1）设y=kx+b ，将x=3.5，y=280；x=5.5，y=120代入，得3.52805.5120k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得80560k b =-⎧⎨=⎩，则y 与x 之间的函数关系式为y=﹣80x+560；（2）由题意，得（x ﹣3）（﹣80x+560）﹣80=160，整理，得x 2﹣10x+24=0，解得x 1=4，x 2=6，∵3.5≤x≤5.5，∴x=4，答：如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；（3）由题意得：w=（x ﹣3）（﹣80x+560）﹣80=﹣80x 2+800x ﹣1760=﹣80（x ﹣5）2+240，∵3.5≤x≤5.5，∴当x=5时，w 有最大值为240，故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元二次方程的应用等，读懂题意，找准数量关系列出函数关系式、找准等量关系列出方程是解题的关键．26．(1)234y x x =--+，C （1，0）；(2)△ABP的形状为直角三角形，见解析；(3)Q的坐标为（﹣2﹣，﹣2﹣）【解析】【分析】（1）先通过直线求得与坐标轴的交点，然后应用待定系数法即可求得抛物线的解析式，进而求得抛物线与x轴的交点．（2）设出D的坐标（t，0），根据已知表示点E、P的坐标，根据PD⊥x轴即可求得线段PE关于t的解析式，配方即可得最大值，再算出此时的△ABP的三边即可得知其形状．（3）过P作AB的平行线l，通过平移得到直线l关于线段AB对称的直线l'，再求得l'与抛物线交点即可得Q的坐标．(1)解：如图1，∵直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣4，0），B（0，4），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，∴16404b cc--+=⎧⎨=⎩，解得34bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4，令y＝0，则﹣x2﹣3x+4＝0，解得x＝﹣4或x＝1，∴C（1，0）；(2)解：如图2，设D（t，0），∴E（t，t+4），P（t，﹣t2﹣3t+4），∴PE＝﹣t2﹣3t+4﹣t﹣4＝﹣（t+2）2+4，∴当t＝﹣2时，线段PE有最大值是4，此时P（﹣2，6）；△ABP的形状为直角三角形，证明：∵AP2＝（﹣2+4）2+（6﹣0）2＝40，BA2＝（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝32，BP2＝（﹣2﹣0）2+（6﹣4）2＝8，∴BA2+BP2＝AP2，∴△ABP的形状为直角三角形；(3)解：如图，过P作AB的平行线l，设直线l的解析式为：y＝x+m，代入（﹣2，6），得：6＝﹣2+m，解得：m＝8，即直线l：y＝x+8，∵直线AB：y＝x+4，直线l：y＝x+8，∴将直线l向下平移8个单位即可得到直线l关于线段AB对称的直线l'，∴直线l'：y＝x，令y＝x＝﹣x2﹣3x+4，解得：x＝﹣或﹣2﹣，∴Q的坐标为（﹣）或（﹣2﹣2﹣．【点睛】此题是一次函数与二次函数的综合题，考查了求一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，勾股定理的逆定理，二次函数的最值，一次函数的平移规律，一次函数与二次函数交点坐标，此题综合性比较强，较基础，综合掌握各知识点并应用是解题的关键．。
江苏省南通市通州区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题答案
2024～2025学年(上)初三期中学业水平质量监测数学试卷一、 选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上. B 1.函数解析式y=x²+2x-1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是A.1,2,1B.1,2，-1C.0,2，-1D.0，-2，-1D 2.平面内，☉O 的半径为10,若点P 在☉O 内，则OP 的长可能为 A.14cmB.12cmC.10cmD.8cmC 3.如图，AB,AC 为☉O 的两条弦，连接OB, OC.若∠A=45°,则∠BOC 的度数为A.60°B.75°C.90°D.135°D 4.将抛物线y=3x²-x 向下平移k(k ＞0)个单位长度，关于平移前后的抛物线，下列说法正确的是 A.开口大小改变B.开口方向改变C.顶点位置不变D.对称轴不变A 5.掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是 A. 点数的和为6B.点数的和为1C. 点数的和大于12D.点数的和小于13C 6.若抛物线y=ax²+bx+c 如图所示，则关于x 的方程ax²+bx+c=0根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根D.只有一个实数根注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项：1. 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上 指定的位置。
3. 答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效。
A7.一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是A.23B.13C.59D.49B8.某校九年级学生参加社团活动，学习编制圆锥型工艺品。
人教版九年级上学期期中考试数学试卷及答案解析(共6套)
人教版九年级上学期期中考试数学试卷（一）一.选择题1、下列关于 X 的方程：①ax2+bx+c=0:②x'+ •!二6；③x—0；④x=3x2（5）（x+l ）（x・1） =XMX中，一元二次方程的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、下列标志既是轴对称图形乂是中心对称图形的是（）©c©D⅛⅛3、已知关于X的一元二次方程（a - 1） X2 - 2x÷l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A、a>2B、a<2C、a<2 且D、&V ・ 24、若（2, 5）、（4, 5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（）B、x=lC、x=2DX x=33、一个等腰三角形的两条边长分别是方程X2 - 7x÷10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A、12B、9C、13D、12 或 96、如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地ABCD ±修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分钟花草，要使每一块花草的面积都为78cm',那么通道宽应设计成多少m?设通道宽为xm,则由题意列得方程为（）B、(30 - 2x) (20 - 2x) =78C、(30∙2x) (20 ・ x) =6X78D、(30∙2x) (20 ・ 2x)二6X787、如图，∆ABC为OO的内接三角形，ZAOB=IOO o ,则ZACB的度数为(C、150°D、160°8、如图，在OO中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）A、 AB丄CDB、ZAOB=4 ZACDC、AD= BDD、 Po二PD9、已知抛物线y二∙x'+2x∙3,下列判断正确的是（）A、开口方向向上，y有最小值是・2B、抛物线与X轴有两个交点C、顶点坐标是（■ 1, -2）D、当x<l时，y随X增大而增大10、有下列四个命题中，其中正确的有（）①圆的对称轴是直径；②等弦所对的弧相等；③圆心角相等所对的弦相等；④半径相等的两个半圆是等弧.A、4个B、3个C、2个D、1个11、将抛物线y二3x：向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A、y=3 （x+2）2+3B、y二3 （X ・ 2）2+3C、y二3 （x+2）2- 3D、y二3 （x・2）2- 312、下列说法正确的是（）A、弦是直径B、平分弦的直径垂直弦C、长度相等的两条弧是等弧D、圆的对称轴有无数条，而对称中心只有一个13、已知抛物线y=a X=+bx+c的开口向下，顶点坐标为（2,・3）,那么该抛物线有（）A、最小值・3B、最大值・3C、最小值2D、最大值2二、填空题14、钟表的时针匀速旋转一周需要12小时，经过2小时，时针旋转了 _______ 度.15、___________________________________________ 一元二次方程x'・4x+6二O实数根的悄况是_____________________________ .16、如图，在RtΔABC 中，ZBAC二90° , ZB二60° , ΔAB, C,可以由 AABC 绕点A顺时针旋转90°得到（点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点）, 连接CC',则ZCC' B'的度数是____________ .17、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上.点A、18、已知二次函数y=aX=+bx+c的图象如图所示，有下列5个结论，Φabc<0;②2a+b=0:③b'∙4dc<0;④d+b+c>O;⑤a - b+c<O.其中正确的结论有20、某商店四月份的利润为6. 3万元，此后两个月进入淡季，利润均以相同的白分比下降，至六月份利润为5. 4万元.设下降的白分比为X,由题意列出方程21、__________________________________________________________ 已知In 是关于X的方程X2 - 2X- 3=0的一个根，则2m: - 4m= _______________ •22、下列图形中，①等腰三角形；②平行四边形；③等腰梯形；④圆；⑤正六边形；⑥菱形；⑦正五边形，是中心对称图形的有_______ (填序号)23、如图所示：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF. HMNo均为矩形，EF二b,NH=c,则b与C之间的大小关系是b ________ C (填＜、二、＞)三.解下列方程24、解下列方程(1)X2÷6X - 1=0(2)(2x+3) 2 - 25=0.四、解答题25、在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系，将AABO绕点0按顺时针方向旋转90° ,得ZU' B Z 0.(1)画岀旋转后的图形；(2)写出点A' , B,的坐标.26、如图，是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面宽8cm, 水的最大深度为2c∏b求该输水管的半径是多少？27、如图，在RtΔABC中，ZACB二90, AD平分ZBAC,过A, C, D三点的圆与斜边AB交于点E,连接DE.(2)若AC=6, CB=8,求Z∖ACD的外接圆的直径.28、如图，已知抛物线与X交于A ( - 1, 0)、E (3, 0)两点，与y轴交于点B(1)求抛物线的解析式：(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积.29、某体育用品丿占购进一批单件为40元的球服，如果按单价60元销售样，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套.设销售单价为X(X$60)元，销售量为y套.(1)求出y与X的函数关系式；(2)当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？(3)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？答案解析部分—、＜b ＞选择题〈/b＞1、【答案】B【考点】一元二次方程的定义【解析】【解答】解：①当沪O时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程；②X2+ ≥=6 是分式方程；③x'=()是一元二次方程；④x=3x'是一元二次方程⑤(x÷l) (x・1) =X Mx,整理后不含X的二次项，不是一元二次方程.故选：B.【分析】依据一元二次方程的定义求解即可.2、【答案】A【考点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形.故正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形.故错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误.故选：A.【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可.3、【答案】C【考点】根的判别式【解析】【解答】解：△二4 - 4 (a - 1)二8 ・ 4a>0得：a<2.又a・l≠0Λa<2 且 &H1.故选C.【分析】利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出&的取值范围. 4、【答案】D【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：因为点(2, 5)、(4, 5)在抛物线上，根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，所以，对称轴X=故选D.【分析】由已知，点(2, 5)、(4, 5)是该抛物线上关于对称轴对称的两点, 所以只需求两对称点横坐标的平均数.5、【答案】A【考点】解一元二次方程-因式分解法，三角形三边关系，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：X2- 7x÷10=0,(X ・ 2) (x ・ 5) =0,X ・ 2=0, X ・ 5=0,Xι~2, x：=o >①等腰三角形的三边是2, 2, 5V2+2<5,・・・不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2, 5, 5,此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是 2+5+5二12；即等腰三角形的周长是12.故选：A.【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可.6、【答案】C【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设道路的宽为xm,由题意得：(30 ・ 2x) (20 ・ x)二6X78,故选C.【分析】设道路的宽为xm,将6块草地平移为一个长方形，长为(30∙2x) m, 宽为(20・x) m.根据长方形面积公式即可列方程(30・2x) (20・x)二6X78. 7、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】解：在优弧AB上取点D,连接AD, BD,V ZAOB=IOO O ,Λ ZD= 4 ZAOB=50° ,・•・ZACB=I80° ・ ZD二130° .【分析】首先在优弧AB上取点D,连接AD, BD,然后由圆周角定理，求得ZD 的度数，乂山圆的内接四边形的性质，求得ZACB的度数.8、【答案】D【考点】垂径定理，圆心角、弧、弦的关系【解析】【解答】解：TP是弦AB的中点，CD是过点P的直径，・・・AB丄CD,兄沪云方，ZiAOB是等腰三角形，・•・ ZAoB二 2 ZAOP,Y ZAOP二 2 ZACD,・•・ ZAoB二 2 ZAOP二2 × 2 ZACD二4 ZACD.故选D.【分析】根据垂径定理及圆周角定理可直接解答.9、【答案】D【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：y- ■ x'+2x - 3= - (X-I) ^ - 2,a二・1,抛物线开口向下，对称轴为直线X二1,顶点坐标为(1, -2) , △二4・12二・8<0,抛物线与X轴没有交点，当x<l时，y随X的增大而增大. 故选：D. 【分析】根据二次函数解析式化为顶点式，判断抛物线的开口方向，计算出对称轴顶点坐标以及增减性判断得出答案即可.10、【答案】D【考点】命题与定理【解析】【解答】解：①圆的对称轴是圆的直径所在的直线，故本选项错误；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故本选项错误；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；④半径相等的两个半圆是等弧，故本选项正确；其中正确的有1个；故选D.【分析】根据轴对称图形的概念和弧、弦和圆心角之间的关系，分别对每一项进行分析即可得出答案.11、【答案】A【考点】二次函数图象与儿何变换【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y二3x'向上平移3 个单位所得抛物线的解析式为：y=3x2+3:IJI “左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=3 (x+2) 2+3.故选A.【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.12、【答案】D【考点】垂径定理【解析】【解答】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，选项错误；B、平分弦的直径垂直弦，被平分的弦不是直径，故选项错误；C、能重合的两个弧是等弧，选项错误；D、圆的对称轴有无数条，而对称中心只有一个，正确.故选D.【分析】根据弦的定义以及垂径定理、等弧的定义即可作出判断.13、【答案】B【考点】二次函数的最值【解析】【解答】解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（2,・3）,所以该抛物线有最大值・3.故选B.【分析】根据抛物线开口向下和其顶点坐标为（2,・3）,可直接做出判断.二、＜b ＞填空题＜∕b＞14、【答案】60【考点】生活中的旋转现象【解析】【解答】解：Y钟表上的时针匀速旋转一周的度数为360。
2024年最新人教版九年级数学(上册)期中考卷及答案(各版本)
2024年最新人教版九年级数学(上册)期中考卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 若一个数的立方根是±2，则这个数是（）A. 4B. 8C. 16D. 322. 下列各数中，不是有理数的是（）A. 2B. 0.5C. 3/4D. √23. 下列等式中，正确的是（）A. 3x + 4y = 7B. 2x 3y = 5C. 4x + 5y = 9D. 5x 6y = 84. 下列各式中，正确的是（）A. a^2 + b^2 = c^2B. a^2 b^2 = c^2C. a^2 + b^2 = c^2D. a^2 b^2 = c^25. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a b)^2 = a^2 2ab +b^2 C. (a + b)^2 = a^2 2ab + b^2 D. (a b)^2 = a^2 + 2ab +b^26. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bdB. (a b)(c d) =ac ad bc + bd C. (a + b)(c d) = ac + ad bc bd D. (ab)(c + d) = ac ad + bc bd7. 下列各式中，正确的是（）A. a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 ab + b^2)B. a^3 b^3 = (a b)(a^2 + ab + b^2)C. a^3 + b^3 = (a b)(a^2 ab + b^2)D.a^3 b^3 = (a + b)(a^2 + ab + b^2)8. 下列各式中，正确的是（）A. a^4 b^4 = (a + b)(a^2 ab + b^2)B. a^4 b^4 = (a b)(a^2 + ab + b^2)C. a^4 b^4 = (a + b)(a^2 + ab + b^2)D. a^4 b^4 = (a b)(a^2 ab + b^2)9. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3B. (a b)^3 =a^3 3a^2b + 3ab^2 b^3 C. (a + b)^3 = a^3 3a^2b + 3ab^2 + b^3 D. (a b)^3 = a^3 + 3a^2b 3ab^2 b^310. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4B. (a b)^4 = a^4 4a^3b + 6a^2b^2 4ab^3 + b^4C. (a + b)^4 = a^4 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4D. (a b)^4 = a^4 + 4a^3b6a^2b^2 4ab^3 + b^4二、填空题（每题4分，共40分）11. 若一个数的平方根是±3，则这个数是_________。
新人教版数学九年级上册期中考试试题(含答案)
新人教版数学九年级上册期中考试试题(含答案)一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．下面四个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．关于一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根3．用配方法解方程x2﹣2x﹣7＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣1）2＝8 D．（x﹣2）2＝8 4．把一元二次方程（x﹣3）2＝5化为一般形式，二次项系数；一次项系数；常数项分别为（）A．1，6，4 B．1，﹣6，4 C．1，﹣6，﹣4 D．1，﹣6，9 5．已知二次函数y＝2x2﹣12x+19，下列结果中正确的是（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3C．其最小值为1D．当x＜3时，y随x的增大而增大6．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+17．若方程x2﹣3x﹣2＝0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6 C．8 D．128．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣4，当y＜0时，x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1 9．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4 B．5 C．6 D．710．小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（）A．4cm2B．8cm2C．16cm2D．32cm2二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11．已知两个数的差为3，它们的平方和是65，设较小的数为x，则可列出方程，化成一般形式为．12．已知方程x2+2x﹣3＝0的两根为a和b，则ab＝．13．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：①它们的图象开口方向、大小相同；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们与坐标轴都有一个交点；其中正确的说法有．14．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣2，0），（6，0），则此抛物线的对称轴是．15．函数y＝x2﹣2x+2的图象顶点坐标是．16．点P（﹣2，3）关于x轴对称点的坐标是，关于原点对称点的坐标是，关于y轴的对称点的坐标是；三、解答题（本大题2小题，共18分）17．解方程：x2﹣6x+5＝0（配方法）18．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），点（3，0）；求抛物线函数解析式．19．参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛21场，共有多少个队参加足球联赛？20．为进一步提升企业产品竞争力，某企业加大了科研经费的投入，2016年该企业投入科研经费5000万元就，2018年投入科研经费7200万元，假设该企业这两年投入科研经费的年平均增长率相同．（1）求这两年该企业投入科研经费的年平均增长率；（2）若该企业科研经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2019年该企业投入科研经费多少万元．21．某同学练习推铅球，铅球推出后在空中飞行的轨迹是一条抛物线，铅球在离地面1米高的A处推出，达到最高点B时的高度是2.6米，推出的水平距离是4米，铅球在地面上点C处着地（1）根据如图所示的直角坐标系求抛物线的解析式；（2）这个同学推出的铅球有多远？22．已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣6＝0（1）证明：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为2，试求2k2+8k+2018的值．23．某店销售台灯，成本为每个30元，销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）未降价之前，该店每月台灯总盈利为元；（2）降价后，设该店每个台灯应降价x元，则每个台灯盈利元，平均每月可售出个；（用含x的代数式进行表示）（3）为迎接“双十一”，该店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．24．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：（1）当运动开始后1秒时，求△DPQ的面积；（2）当运动开始后秒时，试判断△DPQ的形状；（3）在运动过程中，存在这样的时刻，使△DPQ以PD为底的等腰三角形，求出运动时间．25．如图，抛物线y＝与x轴交于A、B两点，△ABC为等边三角形，∠COD＝60°，且OD＝OC．（1）A点坐标为，B点坐标为；（2）求证：点D在抛物线上；（3）点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，若以M、N、O、D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下面四个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．故选：B．2．关于一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】根据根的判别式，可得答案．【解答】解：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，故选：C．3．用配方法解方程x2﹣2x﹣7＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣1）2＝8 D．（x﹣2）2＝8 【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．【解答】解：方程变形得：x2﹣2x＝7，配方得：x2﹣2x+1＝8，即（x﹣1）2＝8，故选：C．4．把一元二次方程（x﹣3）2＝5化为一般形式，二次项系数；一次项系数；常数项分别为（）A．1，6，4 B．1，﹣6，4 C．1，﹣6，﹣4 D．1，﹣6，9 【分析】根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项可得答案．【解答】解：化简方程，得x2﹣6x+4＝0，二次项系数；一次项系数；常数项分别为1，﹣6，4，故选：B．5．已知二次函数y＝2x2﹣12x+19，下列结果中正确的是（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3C．其最小值为1D．当x＜3时，y随x的增大而增大【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣12x+19＝2（x﹣3）2+1，∴开口向上，顶点为（3，1），对称轴为直线x＝3，有最小值1，当x＞3时，y随x的增大而增大，当x＜3时，y随x的增大而减小；故C选项正确．故选：C．6．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．【解答】解：抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），所得抛物线为y＝3（x+2）2﹣1．故选：C．7．若方程x2﹣3x﹣2＝0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6 C．8 D．12【分析】根据（x1+2）（x2+2）＝x1x2+2x1+2x2+4＝x1x2+2（x1+x2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根．∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣2．又∵（x1+2）（x2+2）＝x1x2+2x1+2x2+4＝x1x2+2（x1+x2）+4．将x1+x2＝3、x1•x2＝﹣2代入，得（x1+2）（x2+2）＝x1x2+2x1+2x2+4＝x1x2+2（x1+x2）+4＝（﹣2）+2×3+4＝8．故选：C．8．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣4，当y＜0时，x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1 【分析】先求出方程（x﹣1）2﹣4＝0的解，得出函数与x轴的交点坐标，根据函数的性质得出答案即可．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的开口向上，当y＝0时，0＝（x﹣1）2﹣4，解得：x＝3或﹣1，∴当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，故选：C．9．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】设共有x个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．【解答】解：设共有x个班级参赛，根据题意得：＝15，解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去），则共有6个班级参赛．故选：C．10．小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（）A．4cm2B．8cm2C．16cm2D．32cm2【分析】本题考查二次函数最小（大）值的求法．【解答】解：设矩形的长为x，则宽为，矩形的面积＝（）x＝﹣x2+4x，S最大＝＝＝4，故矩形的最大面积是4cm2．故选：A．二．填空题（共6小题）11．已知两个数的差为3，它们的平方和是65，设较小的数为x，则可列出方程x2+（x+3）2＝65 ，化成一般形式为x2+3x﹣28＝0 ．【分析】首先表示出两个数字进而利用勾股定理列出方程再整理即可．【解答】解：设较小的数为x，则另一个数字为x+3，根据题意得出：x2+（x+3）2＝65，整理得出：x2+3x﹣28＝0．故答案为：x2+（x+3）2＝65，x2+3x﹣28＝0．12．已知方程x2+2x﹣3＝0的两根为a和b，则ab＝﹣3 ．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得ab＝﹣3．故答案为：﹣3．13．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：①它们的图象开口方向、大小相同；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们与坐标轴都有一个交点；其中正确的说法有①．【分析】根据a的值可以判定开口方向和开口大小，利用顶点式直接找出对称轴和顶点坐标，利用对称轴和开口方向确定y随着x的增大而增大对应x的取值范围．【解答】解：①因为a＝3＞0，它们的图象都是开口向上，大小是相同的，故此选项正确；②y＝3x2+1对称轴是y轴，顶点坐标是（0，1），y＝3（x﹣1）2的对称轴是x＝1，顶点坐标是（1，0），故此选项错误；③二次函数y＝3x2+1当x＞0时，y随着x的增大而增大；y＝3（x﹣1）2当x＞1时，y随着x的增大而增大，故此选项错误；④它们与x轴都有一个交点，故此选项错误；综上所知，正确的有①．故答案是：①．14．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣2，0），（6，0），则此抛物线的对称轴是x ＝2 ．【分析】因为点（﹣2，0），（6，0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x＝求解即可．【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣2，0），（6，0），∴两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x＝＝2，即x＝2．故答案是：x＝2．15．函数y＝x2﹣2x+2的图象顶点坐标是（1，1）．【分析】根据二次函数解析式，进行配方得出顶点式形式，即可得出顶点坐标．【解答】解：y＝x2﹣2x+2＝x2﹣2x+1+1＝（x﹣1）2+1，∵抛物线开口向上，当x＝1时，y最小＝1，∴顶点坐标是（1，1）．故答案为：（1，1）．16．点P（﹣2，3）关于x轴对称点的坐标是（﹣2，﹣3），关于原点对称点的坐标是（2，﹣3），关于y轴的对称点的坐标是（2，3）；【分析】利用关于原点对称点的坐标性质以及关于x轴、y轴对称的点的坐标性质分别得出答案．【解答】解：点P（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标为：（2，﹣3），关于x轴的对称点的坐标为（﹣2，﹣3），关于y轴的对称点的坐标为（2，3）．故答案为：（﹣2，﹣3）；（2，﹣3）；（2，3）．三．解答题（共9小题）17．解方程：x2﹣6x+5＝0（配方法）【分析】利用配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x2﹣6x＝﹣5，等式两边同时加上一次项系数一半的平方32．得x2﹣6x+32＝﹣5+32，即（x﹣3）2＝4，∴x＝3±2，∴原方程的解是：x1＝5，x2＝1．18．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），点（3，0）；求抛物线函数解析式．【分析】直接利用交点式写出抛物线的解析式．【解答】解：抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3．19．参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛21场，共有多少个队参加足球联赛？【分析】设共有x个队参加比赛，则每队要参加（x﹣1）场比赛，根据共要比赛28场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设共有x个队参加比赛，则每队要参加（x﹣1）场比赛，根据题意得：＝21，整理得：x2﹣x﹣42＝0，解得：x1＝7，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．答：共有7个队参加足球联赛．20．为进一步提升企业产品竞争力，某企业加大了科研经费的投入，2016年该企业投入科研经费5000万元就，2018年投入科研经费7200万元，假设该企业这两年投入科研经费的年平均增长率相同．（1）求这两年该企业投入科研经费的年平均增长率；（2）若该企业科研经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2019年该企业投入科研经费多少万元．【分析】（1）设这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为x，根据2016年及2018年投入科研经费，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2019年投入科研经费＝2018年投入科研经费×（1+增长率），即可求出结论．【解答】解：（1）设这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为x，根据题意得：5000（1+x）2＝7200，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2．答：这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为20%．（2）7200×（1+20%）＝8640（万元）．答：2019年该企业投入科研经费8640万元．21．某同学练习推铅球，铅球推出后在空中飞行的轨迹是一条抛物线，铅球在离地面1米高的A处推出，达到最高点B时的高度是2.6米，推出的水平距离是4米，铅球在地面上点C处着地（1）根据如图所示的直角坐标系求抛物线的解析式；（2）这个同学推出的铅球有多远？【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+2.6，由待定系数法求出其解即可；（2）当y＝0时代入（1）的解析式，求出其解即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+2.6，由题意，得1＝a（0﹣4）2+2.6，解得：a＝﹣0.1．故y＝﹣0.1（x﹣4）2+2.6．答：抛物线的解析式为：y＝﹣0.1（x﹣4）2+2.6；（2）由题意，得当y＝0时，﹣0.1（x﹣4）2+2.6＝0，解得：x1＝+4，x2＝﹣+4＜0（舍去），故x＝+4．答：这个同学推出的铅球有（+4）米远．22．已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣6＝0（1）证明：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为2，试求2k2+8k+2018的值．【分析】（1）计算判别式的中得到△＝24，然后根据判别式的意义得到结论；（2）把x＝2代入方程k2+4k＝2，再把2k2+8k+2018表示为2（k2+4k）+2018，然后利用整体代入的方法计算．【解答】（1）证明：△＝（2k）2﹣4（k2﹣6）＝24＞0，所以方程有两个不相等的实数根；（2）把x＝2代入方程得4+4k+k2﹣6＝0，所以k2+4k＝2，所以2k2+8k+2018＝2（k2+4k）+2018＝2×2+2018＝2022．23．某店销售台灯，成本为每个30元，销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）未降价之前，该店每月台灯总盈利为6000 元；（2）降价后，设该店每个台灯应降价x元，则每个台灯盈利（40﹣x）元，平均每月可售出[（40﹣x）×200+600] 个；（用含x的代数式进行表示）（3）为迎接“双十一”，该店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．【分析】（1）根据总盈利＝单件获利乘以销量列出代数式；（2）根据“当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个”列出代数式（3）设每个台灯的售价为x元．根据每个台灯的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答；【解答】解：（1）依题意得：未降价之前，该店每月台灯总盈利为600×（40﹣30）＝6000元．故答案是：6000．（2）降价后，设该店每个台灯应降价x元，则每个台灯盈利（x﹣30）元，平均每月可售出[（40﹣x）×200+600]个故答案为：（x﹣30），[（40﹣x）×200+600]．（2）设每个台灯的售价为x元．根据题意，得（x﹣30）[（40﹣x）×200+600]＝8400，解得x1＝36（舍），x2＝37．当x＝36时，（40﹣36）×200+600＝1400＞1210；当x＝37时，（40﹣37）×200+600＝1200＜1210；答：每个台灯的售价为37元．24．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：（1）当运动开始后1秒时，求△DPQ的面积；（2）当运动开始后秒时，试判断△DPQ的形状；（3）在运动过程中，存在这样的时刻，使△DPQ以PD为底的等腰三角形，求出运动时间．【分析】（1）根据运动时间求出PA，BQ，利用分割法求△DPQ的面积即可．（2）分别求出表示出DP2，PQ2，DQ2，进而得到PQ2+DQ2＝DP2，得出答案；（3）假设运动开始后第x秒时，满足条件，则有QP＝QD，表示出QP2，QD2，列出等式，构建方程方程，求出方程的解，根据时间大于0秒小于6秒，即可解答．【解答】解：（1）经过1秒时，AP＝1，BQ＝2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝6cm，BC＝AD＝12cm，∴PB＝6﹣1＝5（cm），CQ＝BC﹣BQ＝12﹣2＝10（cm），∴S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△PBQ﹣S△DCQ＝72﹣×1×12﹣×6×2﹣×6×10＝30（cm2）．（2）当t＝秒时，AP＝，BP＝6﹣＝，BQ＝×2＝3，CQ＝12﹣3＝9，∴在Rt△DAP中，DP2＝DA2+AP2＝122+（）2＝，在Rt△DCQ中，DQ2＝DC2+CQ2＝62+92＝117，在Rt△QBP中，QP2＝QB2+BP2＝32+（）2＝，∴DQ2+QP2＝117+＝，∴DQ2+QP2＝DP2，∴△DPQ为直角三角形；（3）假设运动开始后第x秒时，满足条件，则：QP＝QD，∵OP2＝PB2+BQ2＝（6﹣x）2+（2x）2，QD2＝QC2+CD2＝（12﹣2x）2+62，∴（12﹣2x）2+62＝（6﹣x）2+（2x）2，整理，得：x2+36x﹣144＝0，解得：x＝﹣18±6，∵0＜6﹣18＜6，∴运动开始后第6﹣18秒时，△DPQ是以PD为底的等腰三角形．25．如图，抛物线y＝与x轴交于A、B两点，△ABC为等边三角形，∠COD＝60°，且OD＝OC．（1）A点坐标为（2，0），B点坐标为（5，0）；（2）求证：点D在抛物线上；（3）点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，若以M、N、O、D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标．【分析】（1）y＝，令y＝0，解得：x＝2或5，即可求解；（2）证明△OAC≌△DBC（SAS），则BD＝OA＝2，∠OBD＝60°，即可求解；（3）分OD是平行四边形的边、OD是平行四边形的对角线两种情况，分别求解．【解答】解：（1）y＝，令y＝0，解得：x＝2或5，故答案为：（2，0）、（5，0）；（2）连接CD、BD，由（1）知：OA＝2，AB＝3，等边三角形ABC的边长为3，∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°＝∠CAB，∴∠CAO＝120°，∵∠COD＝60°，且OD＝OC，则△OCD为等边三角形，∴OD＝CD＝CO，则∠OCD＝60°＝∠OCA+∠ACD，而∠ACB＝60°＝∠ACD+∠DCB，∴∠OCA＝∠DCB，而CO＝CD，CA＝CB，∴△OAC≌△DBC（SAS），∴BD＝OA＝2，∠CBD＝∠CAO＝120°，而∠CBO＝60°，∴∠OBD＝60°，则y D＝﹣BD sin∠OBD＝﹣2×＝﹣，故点D的坐标为（4，﹣），当x＝4时，y＝＝﹣，故点D在抛物线上；（3）抛物线的对称轴为：x＝，设点M（，s），点N（m，n），n＝m2﹣m+5，①当OD是平行四边形的边时，当点N在对称轴右侧时，点O向右平移4个单位，向下平移个单位得到D，同样点M向右平移4个单位，向下平移个单位得到N，即：+4＝m，s﹣＝n，而n＝m2﹣m+5，解得：s＝则点M（，）；当点N在对称轴左侧时，同理可得：点M（，）；②当OD是平行四边形的对角线时，则4＝+m，﹣＝n+s，而n＝m2﹣m+5，解得：s＝，故点M的坐标为：（，）或（，）或（，）．新九年级上学期期中考试数学试题(含答案)一、选择题（每小题3分，共36分）1．下列说法错误的是（）A．直径是弦B．最长的弦是直径C．垂直弦的直径平分弦D．经过三点可以确定一个圆2．已知⊙O的半径为1，且圆心O到直线l的距离是2，则直线l与圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定3．抛物线y＝（x+2）2﹣3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接AB．∠APB＝60°，AB＝7，则PA的长是（）A．5 B．6 C．7 D．85．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB的长为24，则圆心O到AB的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．66．如图，⊙O中，OC⊥AB，∠BOC＝50°，则∠ADC的度数是（）A．24°B．25°C．29°D．30°7．在△ABC中，已知AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，D是BC的中点，以D为圆心作一个半径为3cm的圆，则下列说法正确的是（）A．点A在⊙D外B．点A在⊙D上C．点A在⊙D内D．无法确定8．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100°9．根据下列表格的对应值：判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解为x的取值范围是（）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.2610．阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（）A．（60°，4）B．（45°，4）C．（60°，2）D．（50°，2）11．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝4cm，∠ABC＝30°，把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的点C′处，那么AC边扫过的图形图中阴影部分）的面积是（）A．20πcm2B．（20π+8）cm2C．16πcm2D．（16π+8）cm2 12．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y＝﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．150°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是cm．14．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为．15．点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y＝x2﹣2x+1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1y2（填“＞”、“＜”、“＝”）．16．一个直角三角形的两边长分别为3，4，则此三角形的外接圆半径是．17．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m ＝0的解为．18．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为．19．⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm．那么求得AB和CD之间的距离为．20．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，21--22每小题6分、23--26每小题6分，共40分）21．（6分）如图是破残的圆形轮片，求作此残片所在的圆．（不写作法，保留作图痕迹）22．（6分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（1，0）、B（5，0），抛物线的最小值为﹣4．求：（1）二次函数的解析式．（2）直接回答：当x取什么值时，y的值小于0．23．（7分）如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是上一点，且∠BPC＝60°．试判断△ABC的形状，并说明你的理由．24．（7分）如图所示，AB是⊙O的直径，C为的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点F，连接AC，求证：AF＝CF．25．（7分）如图，O是∠MAN的边AN上一点，以OA为半径作⊙O，交∠MAN的平分线于点D，DE⊥AM于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，若∠EDA＝30°，AE＝1，求OE的长．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．参考答案一、选择题1．下列说法错误的是（）A．直径是弦B．最长的弦是直径C．垂直弦的直径平分弦D．经过三点可以确定一个圆【分析】根据弦的定义，以及经过不在同一直线上的三点可以作一个圆可判断和垂径定理分别得出即可．【解答】解：A．直径是弦，根据弦的定义是连接圆上两点的线段，∴故此选项正确，但不符合题意，B．最长的弦是直径，根据直径是圆中最长的弦，∴故此选项正确，但不符合题意，C．垂直弦的直径平分弦，利用垂径定理即可得出，故此选项正确，但不符合题意，D．经过三点可以确定一个圆，利用经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故此选项错误，符合题意，故选：D．【点评】此题考查了弦的定义、确定圆的条件、垂径定理等知识点的应用，关键是能根据这些定理进行说理和判断．2．已知⊙O的半径为1，且圆心O到直线l的距离是2，则直线l与圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【分析】判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．【解答】解：∵⊙O的半径为1，圆心O到直线L的距离为2，∴r＝1，d＝2，∴d＞r，∴直线与圆相离，故选：C．【点评】本题考查直线由圆位置关系，记住．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r是解题的关键．3．抛物线y＝（x+2）2﹣3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：抛物线y＝x2向左平移2个单位可得到抛物线y＝（x+2）2，抛物线y＝（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y＝（x+2）2﹣3．故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选：B．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．4．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接AB．∠APB＝60°，AB＝7，则PA的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据切线长定理得到PA＝PB，则判断△PAB为等边三角形，从而得到PA＝AB＝7．【解答】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴PA＝PB，∵∠APB＝60°，∴△PAB为等边三角形，∴PA＝AB＝7．故选：C．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等边三角形的判定与性质．5．如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 的长为24，则圆心O 到AB 的距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】过O 作OC ⊥AB 于C ，连接OA ，根据垂径定理求出AC ，根据勾股定理求出OC 即可．【解答】解：过O 作OC ⊥AB 于C ，连接AC ，∴AC ＝BC ＝AB ＝12，在Rt △AOC 中，由勾股定理得：OC ＝＝＝5．故选：C ．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．6．如图，⊙O 中，OC ⊥AB ，∠BOC ＝50°，则∠ADC 的度数是（ ）A ．24°B ．25°C ．29°D ．30°【分析】由OC ⊥AB ，推出＝，可得∠ADC ＝∠COB ＝25°．【解答】解：∵OC ⊥AB ，∴＝，∴∠ADC ＝∠COB ＝25°，故选：B ．【点评】本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．在△ABC中，已知AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，D是BC的中点，以D为圆心作一个半径为3cm的圆，则下列说法正确的是（）A．点A在⊙D外B．点A在⊙D上C．点A在⊙D内D．无法确定【分析】连结AD，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，在Rt△ABD中，AB＝5cm，BD＝BC＝4cm，根据勾股定理可计算出AD＝3cm，然后根据点与圆的位置关系的判定方法可判断点A在⊙D上．【解答】解：连结AD，如图，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝BC＝4cm在Rt△ABD中，AB＝5cm，BD＝4cm，∴AD＝＝3cm，∵⊙D的半径为3cm，∴点A在⊙D上．故选：B．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．8．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100°【分析】利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出∠BAC的度数．【解答】解：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC＝80°，∴∠A＝40°，∠A′＝140°，故∠BAC的度数为：40°或140°．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，利用分类讨论得出是解题关键．9．根据下列表格的对应值：判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解为x的取值范围是（）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26【分析】根据函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c＝0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c＝0一个解的范围．【解答】解：函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c＝0的根，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y＝0在y＝﹣0.03与y＝0.09之间，对应的x的值在3.25与3.26之间，即3.25＜x＜3.26．故选：D．【点评】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，是中考的热点问题之一．掌握函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c＝0的根的关系是解决此题的关。
无锡市锡山区锡山高级中学实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
省锡中实验学校2023—2024学年度第一学期初三数学期中测试一、选择题（每题3分，共30分）1.sin60°的值等于（）A.12B.1C.32D.32.已知O 的半径为4，3OP =，则点P 与O 的位置关系是（）A.点P 在O 内B.点P 在O 上C.点P 在O 外D.不能确定3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，则cos A 的值是（）A.12B.5C.55D.2554.如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，如果35ACD ∠=︒，那么BAD ∠为（）A .35°B.55°C.65°D.75°5.在⊙O 中，弦AB 所对的圆心角的度数为80°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（）A.40B.160oC.80 或160oD.40 或1406.在下列命题中，正确的是（）A.任何三角形有且只有一个内切圆B.三点确定一个圆C.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等D.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线7.已知A ∠是锐角，且cosA =34，那么锐角A 的取值范围是（）A.030A ︒<∠<︒B.3045A ︒<∠<︒C.4560A ︒<∠<︒D.6090A ︒<∠<︒8.如图，AB 是半O 的直径，点C 是 AB 的中点，点D 为 BC 的中点，连接AD ，CE AD ⊥于点E ．若1DE =，则AE 的长为（）A.3B.22C.21+ D.322+9.如图，ABC 中660BC A =∠=︒，，点O 为ABC 的重心，连接AO BO CO 、、，若固定边BC ，使顶点A 在ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持BAC ∠的大小不变，则线段AO 的长度的取值范围为（）A.232OA <≤B.332OA ≤≤C.323OA ≤≤ D.223OA <≤10.如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，CE 平分ACB ∠，BD CE ⊥，垂足为点D ，连结AD ．下列结论：①若30ABC ∠=︒，则BD AD >；②若=45ABC ∠︒，则4ACE BDE S S = ；③若1sin 3ABC ∠=，则ABC ABD S S =△△；④若tan ABC m ∠=，则2CE m BD =⋅．正确的有（）A.①③B.②③C.②④D.③④二、填空题（每空3分，共24分）11.已知α是锐角，4tan 5α=，则cos α=____°12.一个人从山下沿30︒角的坡路登上山顶，共走了50m ，那么这山的高度是_____m ．13.圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：7，则∠D ＝_____°．14.已知圆锥的母线长为8cm ，底面圆的半径为3cm ，则圆锥的侧面展开图的面积是_____cm 2．15.如图，点O I 、分别是锐角ABC 的外心、内心，若648CAB OAC ∠=∠=︒，则BCI ∠=______°16.如图，边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的O 的圆心重合，E 、F 分别是AD BA 、的延长线与O 的交点，则图中阴影部分的面积是_____．17.将点()3,3A -绕x 轴上的点G 顺时针旋转90°后得到点'A ，当点'A 恰好落在以坐标原点O 为圆心，2为半径的圆上时，点G 的坐标为________．18.如图，在四边形ABCD 中，9086BAD BCD BC CD ∠+∠=︒==，，，1sin 4BCD ∠=，连接AC BD ，，当ABD △是以BD 为腰的等腰三角形时，则AC 的值为____．三、解答题（10小题，共96分）19.计算：（1）2033cos 30π-+（2）21tan 45|5|2-︒⎛⎫-+- ⎪⎝⎭20.在Rt ABC △中，90ACB A B C ∠=︒∠∠∠，、、的对边分别是a b c 、、，已知32b c =，斜边上的高3CD =（1）求tan A 的值；（2）求BD 的长．21.如图，在O 中，弦BC 垂直于半径OA ，垂足为E ，D 是优弧 BC上一点，连接BD ，AD ，OC ，30ADB ∠=︒．（1）求AOC ∠的度数；（2）若弦18cm BC =，求图中劣弧 BC 的长．（结果保留π）22.如图，在矩形ABCD 中，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，将CBH 沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ．（1）求AP 的长；（2）求tan DCP ∠的值．23.如图，在等边ABC 中，点M N 、分别在AB AC 、边上．（1）在BC 边上求作点P ，使60MPN ∠=︒；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．）（2）若95AB BM ==，，设CN a =，若要使得（1）中只能作出唯一的点P ，则=a ．24.如图，点C 在O 的直径AB 的延长线上，点D 是O 上一点，过C 作CE AC ⊥，交AD 的延长线于点E ，连接,CD DB ，且CD CE =．（1）求证：直线DC 与O 相切；（2）若15AB =，1tan 2BDC ∠=，求CE 的长．25.如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知 2.5BC =米，37MBC ∠=︒．从水平地面点D 处看点C ，仰角=45ADC ∠︒，从点E 处看点B ，仰角53AEB ∠=︒．且 4.5DE =米，求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈）26.如图，在矩形ABCD 中，6cm 12cm AB BC ==，，点P 从点A 出发沿AB 以1cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向点C 移动．各自到达终点后停止运动．设运动时间为t 秒．（1）在运动过程中，当2t =时，PQ =；（2）在运动过程中，当45DPQ ∠=︒时，求t 的值；（3）在运动过程中，当以Q 为圆心，QP 为半径的圆，与矩形ABCD 的边共有4个公共点时，请直接写出t 的取值范围．27.已知平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，5为半径的O 交y 轴的正半轴于点P ，小刚同学用手中的三角板（90308B ACB AB ∠=︒∠=︒=，，）进行了如下的实验操作：（1）如图1，将三角板的斜边放置于x 轴上，边AB 恰好与O 相切于点D ，则切线长AD =；（2）如图2，将三角板的顶点A 在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在x 轴的正半轴上，若BC 边与O 相切于点M ，求点B 的坐标；（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A 继续在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在O 上且在y 轴右侧，BC 边与y 轴的正半轴交于点G ，与O 的另一交点为H ，若1PG =，求GH 的长．28.在平面直角坐标系xOy 中，对已知的点A ，B ，给出如下定义：若点A 恰好在以BP 为直径的圆上，则称点P 为点A 关于点B 的“联络点”．（1）点A 的坐标为()2,1-，则在点()11,2P ，21,12P ⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，()32,1P -中，O 关于点A 的“联络点”是______（填字母）；（2）直线112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ，若点C 关于点D 的“联络点”P 满足1tan 2CPD ∠=，求点P 的坐标；（3）T e 的圆心在y ，点M 为y 轴上的动点，点N 的坐标为()4,0，在T e 上存在点M 关于点N 的“联络点”P ，且PMN 为等腰三角形，直接写出点T 的纵坐标t 的取值范围．省锡中实验学校2023—2024学年度第一学期初三数学期中测试一、选择题（每题3分，共30分）1.sin60°的值等于（）A.12B.1C.2D.【答案】C 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．【详解】根据特殊角的三角函数值可知：sin60°=32故选：C ．【点睛】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可解答．2.已知O 的半径为4，3OP =，则点P 与O 的位置关系是（）A.点P 在O 内B.点P 在O 上C.点P 在O 外D.不能确定【答案】A 【解析】【分析】本题考查了点与圆的位置关系，（r 为圆半径，d 为点到圆心距离），当r d >，点在圆内；当r d <，点在圆内；当r d =，点在圆上；据此作答即可．【详解】解：∵O 的半径为4，3OP =，∴43>∴点P 在O 内故选：A3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，则cos A 的值是（）A.12B.C.55D.255【答案】C 【解析】【分析】根据勾股定理求出斜边AB 的值，在利用余弦的定义直接计算即可．【详解】解：在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，∴222125AB AC BC =+=+=,∴15cos 55AC A AB ===，故选：C ．【点睛】本题主要考查直角三角形中余弦值的计算，准确应用余弦定义是解题的关键．4.如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，如果35ACD ∠=︒，那么BAD ∠为（）A.35°B.55°C.65°D.75°【答案】B 【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，连接BD ，先利用直径所对的圆周角是直角可得90ADB ∠=︒，再利用同弧所对的圆周角相等可得35ABD ∠=︒，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．【详解】解：连接BD AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，35ACD ∠=︒ ，35ACD ABD ∴∠=∠=︒，9055BAD ABD ∴∠=︒-∠=︒，故选：B ．5.在⊙O 中，弦AB 所对的圆心角的度数为80°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（）A .40B.160oC.80 或160oD.40 或140【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图形，分类讨论,根据圆周角定理计算即可．【详解】解：当点C在优弧AB上时，由圆周角定理得，∠ACB=12∠AOB=40°，当点C在劣弧AB上时，∵四边形ACBC′是⊙O的内接四边形，∴∠AC′B=180°-∠ACB=140°，∴弦AB所对的圆周角的度数为40°或140°，故选D．【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．6.在下列命题中，正确的是（）A.任何三角形有且只有一个内切圆B.三点确定一个圆C.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等D.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线【答案】A【解析】【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心，圆与切线的判定，熟练运用确定圆的条件的性质是本题的关键．【详解】A、任何三角形有且只有一个内切圆，则A正确；B、不共线的三点确定一个圆，则B错误；C、三角形内心到三边的距离相等，则C错误；D、过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线，则D错误．故选A7.已知A ∠是锐角，且cosA =34，那么锐角A 的取值范围是（）A.030A ︒<∠<︒B.3045A ︒<∠<︒C.4560A ︒<∠<︒D.6090A ︒<∠<︒【答案】B 【解析】【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出cos30︒，cos 45︒及cos60︒的近似值，然后得出结论即可．【详解】解：3cos300.92︒=≈ ，2cos 450.72︒=≈，1cos 600.52︒==，又∵解：3cos300.92︒=≈ ，2cos 450.72︒=≈，1cos 600.52︒==，又∵53c 4os 0.7A ∠==，余弦函数随角增大而减小，∴133242<<3045A ∴︒<∠<︒．故选：B ．8.如图，AB 是半O 的直径，点C 是 AB 的中点，点D 为 BC 的中点，连接AD ，CE AD ⊥于点E ．若1DE =，则AE 的长为（）A.3B.22C.21+ D.322+【答案】C 【解析】【分析】本题考查了圆周角定理及推论、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；连接AC ，BC ，CD ，在EA 上取一点T ，使得ET EC =，连接CT ，证明DCE △和ETC △是等腰直角三角形，求出2TA TC ==，可得结论．【详解】解：如图，连接AC ，BC 、CD ．∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∵ AC BC=，∴AC CB =．∴45CAB ABC ∠=∠=︒．∵ CDDB =，∴122.52CAD DAB BAC ∠=∠==︒∠．∵ AC AC =，∴45∠=∠=︒ADC ABC ．∵CE DE ⊥，∴90CED ∠=︒．∴45ECD EDC ∠=∠=︒．∴1EC DE ==，在EA 上取一点T ，使得1ET EC ==，连接CT ，∴2CT =．∵45ETC TAC ACT ∠=︒=∠+∠，∴22.5TAC TCA ∠=∠=︒．∴2AT TC ==，∴21AE AT TE =+=+．故选：C ．9.如图，ABC 中660BC A =∠=︒，，点O 为ABC 的重心，连接AO BO CO 、、，若固定边BC ，使顶点A 在ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持BAC ∠的大小不变，则线段AO 的长度的取值范围为（）A.232OA <≤B.32OA ≤≤C.323OA ≤≤D.223OA <≤【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形的重心，等边三角形的判定与性质，作ABC 的外接圆O '，延长AO 交BC 于D ，因此点A 在 BAC上运动，由三角形重心的性质得到D 是BC 的中点，当AD BC ⊥时，AD 长最大，求出3363322AD BC ==⨯=，推出333AD <≤，得到2233333AO ⨯<≤⨯，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，作ABC 的外接圆O '，延长AO 交BC 于D ，，BAC ∠ 的大小不变，∴点A 在 BAC 上运动（不与B C 、重合），O 是ABC 的重心，D ∴是BC 的中点，当AD BC ⊥时，AD 长最大，AD ∴垂直平分BC ，AB AC ∴=，60BAC ∠=︒ ，ABC ∴ 是等边三角形，3363322AD BC ∴===，A 不与BC 、重合，12BC AD ∴<，333AD ∴<≤O 是ABC 的重心，23AO AD ∴=，2233333AO ∴⨯<≤⨯，223AO ∴<≤，故选：D ．10.如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，CE 平分ACB ∠，BD CE ⊥，垂足为点D ，连结AD ．下列结论：①若30ABC ∠=︒，则BD AD >；②若=45ABC ∠︒，则4ACE BDE S S = ；③若1sin 3ABC ∠=，则ABC ABD S S =△△；④若tan ABC m ∠=，则2CE m BD =⋅．正确的有（）A.①③B.②③C.②④D.③④【答案】D【解析】【分析】①延长BD ，CA 交于点G ，证明BD DG =，根据直角三角形斜边中线的性质得AD BD =，可作判断；②如图2，过点E 作EF BC ⊥于F ，设AE x =，则,2BF EF x BE ===，2AB AC x x ==，证明△BDE ∽△CAE ，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可作判断；③根据1sin 3EF AC ABC BE BC ∠===，设,3,EF a BE a ==，则AE EF a ==，证明Rt Rt ACE FCE ≌，得2AC CF a ==，根据三角形面积公式进行计算可作判断；④延长,BD CA 交于点G ，证明AEC AGB ∽，列比例式，并结合三角函数可作判断．【详解】①如图1，延长BD ，CA 交于点G ，∵30,90ABC BAC ∠=︒∠=︒，∴60ACB ∠=︒，∵CE 平分ACB ∠，∴30ACD BCD ∠=∠=︒，在Rt BDC 中，90,30BDC BCD ︒︒∠=∠=，∴60DBC ∠=︒，∴ GBC 是等边三角形，∵CD BG ⊥，∴BD DG =，Rt BAG 中，12AD BG BD ==，故①错误；②如图2，过点E 作EF BC ⊥于F ，∵CE 平分ACB ∠，90BAC ∠=︒，∴AE EF =，∵90,45BAC ABC ∠=︒∠=︒，∴AB AC =，同理得BEF △是等腰直角三角形，∴BF EF =，设AE x =，则,2BF EF x BE x ===，2AB AC x ==，∴()22222422CE AE AC x x x x =+=+++，∵DEB AEC ∠=∠，90BDE EAC ∠=∠=︒，∴BDE CAE ∽△△，∴222(422)()222ACE BDES CE x S BE x ∆∆+⋅===+，∴(22)ACE BDE S S =+ ，故②错误；③如图3，过点E 作EF BC ⊥于F ，∵1sin 3EF AC ABC BE BC ∠===，设,3,EF a BE a ==，则AE EF a ==，∴.22BF a =，∵90,EAC CFE CE CE ∠=∠=︒=，AE EF =，∴Rt Rt (HL)ACE FCE ≌，∴AC CF =，∵222AB AC BC +=，∴()()22232a a AC a AC++=+∴2AC CF a ==．延长,BD CA 交于点G ，∵,GCD BCD CD BG ∠=∠⊥，∴CBD G ∠=∠，∴32,CG CB a BD DG ===，∴22AG a =，∴21112422222ABD ABG S S a a a =⋅=⨯⨯⨯= ，2124222ABC S a a a =⋅⋅= ，∴ABC ABD S S =△△．故③正确；④如图4，延长,BD CA 交于点G ，∵90,BDE CAE DEB AEC ∠=∠=︒∠=∠，∴ACE DBE ∠=∠，∵90EAC BAG ︒∠=∠=，∴AEC AGB ∽，∴CE AC BG AB=，由③知：2BG BD =，∵tan AC ABC m AB ∠==，∴2CE m BD=，∴2CE m BD =⋅．故④正确；本题正确的结论有：③④．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，三角函数，三角形相似的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确作辅助线．二、填空题（每空3分，共24分）11.已知α是锐角，4tan 5α=，则cos α=____°【答案】54141【解析】【分析】此题考查了求锐角的三角函数值．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．【详解】如图：由a 4tan 5b α==，设45a x x ==，b ，则c ==，故5b cos c x α===12.一个人从山下沿30︒角的坡路登上山顶，共走了50m ，那么这山的高度是_____m ．【答案】25【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题，根据含30︒角所对的直角边等于斜边的一半计算即可求解，掌握含30︒角的直角三角形的性质是解题的关键.【详解】解：根据题意可得，山的高度15025m 2=⨯=，故答案为：25．13.圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：7，则∠D ＝_____°．【答案】120【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补，求出∠A 与∠B ，∠C 的度数即可得出答案．【详解】解：设∠A 、∠B 、∠C 分别为2x 、3x 、7x ，根据圆内接四边形对角互补有2x+7x ＝180°，解得，x ＝20°，∴∠B ＝3x ＝60°，∴∠D ＝180°﹣∠B ＝120°，故答案为：120．【点睛】此题主要考查了圆内接四边形对角互补的性质，根据已知得出，∠A+∠C=3x+7x=180°是解题关键．14.已知圆锥的母线长为8cm ，底面圆的半径为3cm ，则圆锥的侧面展开图的面积是_____cm 2．【答案】24π【解析】【分析】先求出底面周长，再根据公式求解即可．【详解】解：底面半径为3cm ，则底面周长=6πcm ，∴侧面面积=12×6π×8=24πcm 2．故答案为：24π．【点睛】此题考查了扇形面积计算公式，圆的周长计算公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．15.如图，点O I 、分别是锐角ABC 的外心、内心，若648CAB OAC ∠=∠=︒，则BCI ∠=______°【答案】25【解析】【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角，也考查了三角形外心的性质和圆周角定理，连接OC ，先计算出8OAC ∠=︒，再根据三角形外心的性质得到OA OC =，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出164AOC ∠=︒，接着根据圆周角定理得到82ABC ∠=︒，则利用三角形内角和可计算出50∠=°ACB ，然后根据三角形内心的性质得到BCI ∠的度数．【详解】解：如图，连接OC ，，648CAB OAC ∠=∠=︒ ，8OAC ∴∠=︒，点O 是锐角ABC 的外心，OA OC ∴=，8OCA OAC ∴∠=∠=︒，180164AOC OCA OAC ∴∠=︒-∠-∠=︒，1822ABC AOC ∴∠=∠=︒，18050ACB CAB ABC ∴∠=︒-∠-∠=︒，点I 是锐角ABC 的内心，1252BCI ACB ∴∠=∠=︒，故答案为：25．16.如图，边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的O 的圆心重合，E 、F 分别是AD BA 、的延长线与O 的交点，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】3π-【解析】【分析】本题主要考查了圆面积的计算、正方形的性质、全等形的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等图形成为解题的关键．如图：延长DC CB ，交⊙O 于M ，N ，连接OF ，过点O 作OH AB ⊥于H ，再根据垂径定理、勾股定理、三角形的面积公式可得31DAF S =- ，然后再根据阴影部分的面积()14O ADF ABCD S S S -- 正方形即可解答．【详解】解：如图：延长DC CB ，交⊙O 于M ，N ，连接OF ，过点O 作OH AB ⊥于H ．在Rt OFH △中，2222213F O O H F H =--,∵112AH BH AB ===，∴31AF FH AH =-=-∴()112313122DAF S AD AF =⋅=⨯⨯-=- ，∴图中阴影部分的面积()()()21122231344O ADF ABCD S S S ππ=--=⋅-⨯--=- 正方形．故答案为3π-．17.将点()3,3A -绕x 轴上的点G 顺时针旋转90°后得到点'A ，当点'A 恰好落在以坐标原点O 为圆心，2为半径的圆上时，点G 的坐标为________．【答案】()32,0-+或()32,0--##()32,0--或()32,0-+【解析】【分析】设点G 的坐标为(,0)a ，过点A 作AM x ⊥轴交于点M ，过点A '作A N x '⊥轴交于点N ，由全等三角形求出点A '坐标，由点A '在2为半径的圆上，根据勾股定理即可求出点G 的坐标．【详解】设点G 的坐标为(,0)a ，过点A 作AM x ⊥轴交于点M ，过点A '作A N x '⊥轴交于点N ，如图所示：∵()3,3A -，∴3AM =，3GM a =+，∵点A 绕点G 顺时针旋转90°后得到点A '，∴AG A G '=，90AGA '∠=︒，∴90AGM NGA '∠+∠=︒，∵AM x ⊥轴，A N x '⊥轴，∴90AMG GNA '∠=∠=︒，∴90AGM MAG ∠+∠=︒，∴MAG NGA '∠=∠，在AMG 与GNA ' 中，AMG GNA MAG NGA AG GA ∠=∠⎧⎪∠=∠'='⎨'⎪⎩，∴()AMG GNA AAS '≅ ，∴3GN AM ==，3A M GM a '==+，∴3ON a =+，∴(3,3)A a a '++，在Rt ONA ' 中，由勾股定理得：222(3)(3)2a a +++=，解得：32a =-+或32a =--，∴()32,0M -+或()32,0M --．故答案为：()32,0-+，()32,0--．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识之间的应用是解题的关键．18.如图，在四边形ABCD 中，9086BAD BCD BC CD ∠+∠=︒==，，，1sin 4BCD ∠=，连接AC BD ，，当ABD △是以BD 为腰的等腰三角形时，则AC 的值为____．【答案】213或7373213【解析】【分析】分BD BA =和BD AD =两种情况进行解答；①当BD BA =时，如图1：过点B 作BH AD ⊥于H ，过点C 作CE CD ⊥，在CE 上截取142CE BC ==，连接BE ，先证BAD BCE ∽ 可得ABD CBE BDA BEC ∠=∠∠=∠，，进而证ABC 和DBE 全等，即AC DE =，然后在Rt DCE V 中，利用勾股定理求出DE 即可；②当BD AD =时，如图2：过点D 作DN AB ⊥于N ，过点C 作CM CD ⊥，在CM 上截取216CM BC ==，连接BM ，先证ABD CBM ∽ 可得ABD CBM ∠=∠，进而证ABC DBM ∽ 可得12BC DM AB BD ==：：：，则12BC DM =，然后在Rt DCM 中利用勾股定理求出DM 即可．【详解】解：∵ABD △是以BD 为腰的等腰三角形，∴有以下两种情况：①当BD BA =时，如图1：过点B 作BH AD ⊥于H ，过点C 作CE CD ⊥，在CE 上截取142CE BC ==，连接BE ，∵BD BA BH AD =⊥，，∴290BAD BDA AD AH BAD ABH ∠=∠=∠+∠=︒，，，∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴ABH BCD ∠=∠，∵1sin 4BCD ∠=，∴1sin 4AH ABH AB ∠==,∴42AB AH AD ==，∴12AD AB =：：，∵142CE BC ==，∴12BC CE =：：，∴AD AB BC CE =：：，∵CE CD ⊥，∴90BCE BCD ∠+∠=︒．∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴BAD BCE ∠=∠，又∵AD AB BC CE =：：，∴BAD BCE ∽ ，∴ABD CBE BDA BEC ∠=∠∠=∠，，∴BDA BEC BDA BCE ∠=∠=∠=∠，∴8BC BE ==，∵ABD CBE ∠=∠，∴ABD DBC CBE DBC ∠+∠=∠+∠，即ABC DBE ∠=∠，在ABC 和DBE 中，,,BD BA ABC DBE BC BE =∠=∠=,∴()SAS ABC DBE ≌，∴AC DE =，在Rt DCE V 中，64CD CE ==，，由勾股定理得：22213DE CD CE =+=；即213AC =②当BD AD =时，如图2：过点D 作DN AB ⊥于N ，过点C 作CM CD ⊥，在CM 上截取216CM BC ==，连接BM ，∵BD AD DN AB =⊥，，∴290DAB DBA AB AN ADN BAD ∠=∠=∠+∠=︒，，，又∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴ADN BCD ∠=∠，∵1sin 4BCD ∠=，∴1sin 4AN ADN AD ∠==,∴42AD AN AB ==，∴12AB AD =：：，∵216CM BC ==，∴12BC CM =：：，∴AB AD BC CM =：：，∵CM CD ⊥，∴90BCM BCD ∠+∠=︒，又∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴BAD BCM ∠=∠，又∵AB AD BC CM =：：，∴ABD CBM ∽ ，∴ABD CBM ∠=∠，∴ABD CBM DAB BCM ∠=∠=∠=∠，∴216BM CM BC ===，∵ABD CBM ∠=∠，∴ABD DBC CBM DBC ∠+∠=∠+∠，即ABC DBM ∠=∠，∵1212AB BD BC BM ==：：，：：，∴AB BD BC BM =：：，∴ABC DBM ∽ ，∴12BC DM AB BD ==：：：，∴12BC DM =在Rt DCM 中，616CD CM ==，，由勾股定理得：DM ==，∴12BC DM ==综上所述：AC 的长为故答案为或【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识点，正确地添加辅助线构造全等三角形和相似三角形以及分类讨论思想的应用是解题的关键和难点．三、解答题（10小题，共96分）19.计算：（1）20cos 30π-+（2）21tan 45|5|2-︒⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】（1）72（2）8【解析】【分析】本题考查实数的运算，掌握负整数指数幂、零指数幂的性质并牢记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．（1）将01π=，cos302= 代入原式，运算结果即可．（2）将tan 451︒=代入原式，运算结果即可．【小问1详解】解：20cos 30π-+312=-+72=【小问2详解】解：21tan 45|5|2-︒⎛⎫-+- ⎪⎝⎭415=-+8=20.在Rt ABC △中，90ACB A B C ∠=︒∠∠∠，、、的对边分别是a b c 、、，已知32b c =，斜边上的高CD =（1）求tan A 的值；（2）求BD 的长．【答案】（1）2（2）152【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知解直角三角形的方法是解题的关键．（1）先求出23b c =，进而利用勾股定理求出53BC c =，再根据正切的定义可得答案；（2）先解Rt ADC 得到2155AD =，再解Rt ABC △，得到2cos 3A =，则可解Rt ADC ，得到3155AC =，进而求出91510AB =，则152BD AB AD =-==．【小问1详解】解：在Rt ABC △中，9032ACB b c =︒=∠，，∴23b c =，∴2253BC AB AC c =-=，∴5tan 2BC A AC ==；【小问2详解】解：在Rt ADC 中，5tan 2CD A AD ==，∴2155AD =，在Rt ABC △中，2cos 3AC A AB ==，∴在Rt ADC 中，315cos 5AD AC A ==，∴3915210AB AC ==，∴915215151052BD AB AD =-=-=．21.如图，在O 中，弦BC 垂直于半径OA ，垂足为E ，D 是优弧 BC上一点，连接BD ，AD ，OC ，30ADB ∠=︒．（1）求AOC ∠的度数；（2）若弦18cm BC =，求图中劣弧 BC 的长．（结果保留π）【答案】（1）60︒（2）43πcm【解析】【分析】（1）连接OB ，结合垂径定理得到»»AB AC =，根据“同圆或等圆中，等弧所对的圆心角为圆周角的两倍”得到AOB ∠和AOC ∠之间的关系，进而求出AOC ∠的度数；（2）要求劣弧 BC的长，需要知道圆的半径以及弧所对圆心角的度数，由垂径定理得到BE 的长，进而在Rt BOE 中利用勾股定理求出OE 的长，利用弧长公式进行计算即可解决问题．【小问1详解】解：连接OB ，∵OA BC ⊥，∴»»AB AC =，∴AOC AOB ∠=∠，由圆周角定理得，260AOB ADB ∠=∠=︒，∴60AOC AOB ∠=∠=︒．【小问2详解】解：∵OA BC ⊥，∴192BE BC ==，在Rt BOE 中，60AOB ∠=︒，∴2OB OE =，∴2239BE OB OE OE =-==，∴33cm OE =，63cm OB =．∴劣弧 BC 的长()120π6343πcm 180⨯==．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识点，能熟记垂径定理是解此题的关键．22.如图，在矩形ABCD 中，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，将CBH 沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ．（1）求AP 的长；（2）求tan DCP ∠的值．【答案】（1）95（2）724【解析】【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．（1）连接PB ，由四边形ABCD 是矩形，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，得出52CH =，由折叠得点P 与点B 关于CH 对称，PH BH AH ==，CH 垂直平分PB ，HPB HBP ∠=∠，证明90APB ∠=︒得出AP CH ∥，PAB BHC ∠=∠，得出3cos cos 5AP PAB BHC AB=∠=∠=，即可得出答案；（2）作PE CD ⊥于点E ，交AB 于点F ，则2EF BC ==，90BFE ∠=︒，90AFP ∠=︒，求出3cos 5AF PAB AP =∠=，4sin sin 5PF PAB BHC AP =∠=∠=，得到2725AF =，3625PF =，从而得到1425PE =，即可得出答案．【小问1详解】解：如图，连接PB ，，四边形ABCD 是矩形，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，90ABC ∴∠=︒，1322AH BH AB ===，222235222CH BH BC ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭，由折叠得点P 与点B 关于CH 对称，PH BH AH ==，CH ∴垂直平分PB ，HPB HBP ∠=∠，1180902APB HPB HPA HBP HAP ∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，AP BP ⊥ ，CH BP ⊥，C AP H ∴∥，PAB BHC ∠=∠∴，332cos cos 552AP BH PAB BHC AB CH ∴=∠=∠===，3393555AP AB ∴==⨯=，AP ∴的长是95；【小问2详解】解：如图，作PE CD ⊥于点E ，交AB 于点F ，，90FEC ECB FBC ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形BCEF 是矩形，2EF BC ∴==，90BFE ∠=︒，90AFP ∴∠=︒，324cos sin sin 5552AF PF BC PAB PAB BHC AP AP CH ∴=∠==∠=∠===，，3392755525AF AP ∴==⨯=，4493655525PF AP ==⨯=，274832525CE BF AB AF ∴==-=-=，361422525PE EF PF =-=-=，14725tan 482425PE DCP CE ∴∠===，tan DCP ∴∠的值为724．23.如图，在等边ABC 中，点M N 、分别在AB AC 、边上．（1）在BC 边上求作点P ，使60MPN ∠=︒；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．）（2）若95AB BM ==，，设CN a =，若要使得（1）中只能作出唯一的点P ，则=a ．【答案】（1）见解析（2）8120【解析】【分析】本题考查了作图—复杂作图，等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确的作出图形．（1）以A 为圆心，AN 为半径画弧，交AB 于点D ，作DMN 的外接圆，交BC 于1P 、2P ，即可完成作图；（2）证明11BMP CP N ∽，可得11CP MB BP CN =，设1BP x =，则19CP x =-，可得59x x a -=，从而得到2950x x a +=-，由只能作出唯一的点P ，得到该方程有两个相等的实数根，由此进行计算即可得出答案．【小问1详解】解：以A 为圆心，AN 为半径画弧，交AB 于点D ，作DMN 的外接圆，交BC 于1P 、2P ，如图，1P 、2P 即为所求，，如图，连接DN ，1MP ，1NP ，2NP ，2MP ，，由作图可得：AD AN =，ABC 是等边三角形，=60B ∠︒，AB AC ∴=，AB AD AC AN ∴-=-，即BD CN =，B DNC ∴∥，60MDN B ∴∠=∠=︒，由圆周角定理可得：1260MP N MP N MDN ∠=∠=∠=︒；【小问2详解】解：如图，，160MP N ∠=︒ ，11120MPB CP N ∴∠+∠=︒，ABC 是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=︒，9BC AB ==，11120BMP MPB ∴∠+∠=︒，11BMP CP N ∴∠=∠，11BMP CP N ∴ ∽，11CPMB BP CN ∴=，设1BP x =，则19CP x =-，59xx a -∴=，259a x x ∴=-，2950x x a ∴-+=，只能作出唯一的点P ，∴该方程有两个相等的实数根，()2Δ94150a ∴=--⨯⨯=，8120a ∴=，故答案为：8120．24.如图，点C 在O 的直径AB 的延长线上，点D 是O 上一点，过C 作CE AC ⊥，交AD 的延长线于点E ，连接,CD DB ，且CD CE =．（1）求证：直线DC 与O 相切；（2）若15AB =，1tan 2BDC ∠=，求CE 的长．【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）连接OD ，先根据等腰三角形的性质可得ODA A ∠=∠，CDE E ∠=∠，再根据直角三角形的性质可得90A E ∠+∠=︒，从而可得OD DC ⊥，然后根据圆的切线的判定即可得证；（2）连接OD ，设()0CD CE x x ==>，先求出A BDC ∠=∠，根据正切的定义可得22AC CE x ==，再在Rt COD 中，利用勾股定理求解即可得．【小问1详解】证明：如图，连接OD ，OA OD = ，ODA A ∴∠=∠，CD CE = ，CDE E ∴∠=∠，⊥ CE AC ，90A E ∴∠+∠=︒，90ODA CDE ∴∠+∠=︒，()18090ODC ODA CDE ∴∠=︒-∠+∠=︒，即OD DC ⊥，又OD 是O 的半径，∴直线DC 与O 相切．【小问2详解】解：如图，连接OD ，设()0CD CE x x ==>，15AB = ，11522OA OD AB ∴===，AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90CDE BDC BDE ∴∠+∠=∠=︒，又90A E ∠+∠=︒ ，CDE E ∠=∠，A BDC ∴∠=∠，1tan 2BDC ∠= ，1tan 2CE A AC∴==，22AC CE x ∴==，1522OC AC OA x ∴=-=-，由（1）已证：OD DC ⊥，∴在Rt COD 中，222OD CD OC +=，即2221515222x x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得10x =或0x =（不符合题意，舍去），所以CE 的长为10．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、正切、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．25.如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知 2.5BC =米，37MBC ∠=︒．从水平地面点D 处看点C ，仰角=45ADC ∠︒，从点E 处看点B ，仰角53AEB ∠=︒．且 4.5DE =米，求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈）【答案】4米【解析】【分析】通过作垂线构造直角三角形，在Rt △BCN 中，求出CN 、BN ，在Rt △ABE 中用AB 的代数式表示AE ，再根据∠ADC =45°得出CF =DF ，列方程求解即可．【详解】解：过点C 作CN ⊥AB ，CF ⊥AD ，垂足为N 、F ，如图所示：在Rt △BCN 中，CN =BC •sin ∠MBC =2.5×35=1.5（米），BN =BC ×cos 37°=2.5×45=2（米），∵CN ⊥AB ，CF ⊥AD ，MA ⊥AD ，∴四边形AFCN 为矩形，∴CN =AF =1.5，BN +AB =CF ，在Rt △ABE 中，∵∠AEB =53°，∴∠ABE =90°-53°=37°，AE =AB •tan ∠ABE =AB ×tan 37°=34AB ，∵∠ADC =45°，∴CF =DF ，∴BN +AB =AD -AF =AE +ED -AF ，即：2+AB =34AB +4.5-1.5，解得，AB =4（米）答：匾额悬挂的高度AB 的长约为4米．【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系，通过作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数表示边，再利用各条边之间的关系，列方程求解是解决问题的常用方法．26.如图，在矩形ABCD 中，6cm 12cm AB BC ==，，点P 从点A 出发沿AB 以1cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向点C 移动．各自到达终点后停止运动．设运动时间为t 秒．（1）在运动过程中，当2t =时，PQ =；（2）在运动过程中，当45DPQ ∠=︒时，求t 的值；（3）在运动过程中，当以Q 为圆心，QP 为半径的圆，与矩形ABCD 的边共有4个公共点时，请直接写出t 的取值范围．【答案】（1）42cm（2）1517-（3）12613185t <<【解析】【分析】（1）当2t =时，()2cm AP =，()4cm BQ =，()4cm BP =，再由勾股定理进行计算即可；（2）连接DP ，过Q 作QM DP ⊥于M ，过M 作MN AB ⊥于N ，过Q 作QK MN ⊥于K ，根据题意可得：cm AP t =，2cm BQ t =，()6cm BP t =-，由45DPQ ∠=︒，得出PQM 是等腰直角三角形，证明()AAS PMN MQK ≌得出PN MK =，MN QK =，设cm PN MK x ==，则()62t x t x -+=-，得出362t x -=，证明MPN DPA ∽得到1623622tt t =-+，求解即可；（3）当Q 与AD 相切于T 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，连接QT ，可得()()22626t t -+=，解得125t =，由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足125t >；当Q 经过点D 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，可得()()()2222621226t t t -+=-+，解得61318t =-，由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足61318t <-，即可得出答案．【小问1详解】解：当2t =时，()212cm AP =⨯=，()224cm BQ =⨯=，()624cm BP AB AP ∴=-=-=，()22224442cm PQ BP BQ ∴=+=+=，故答案为：42cm ；【小问2详解】解：如图，连接DP ，过Q 作QM DP ⊥于M ，过M 作MN AB ⊥于N ，过Q 作QK MN ⊥于K ，，根据题意可得：cm AP t =，2cm BQ t =，()6cm BP t ∴=-，由作图可知四边形BQKN 是矩形，BN QK ∴=，2cm BQ NK t ==，45DPQ ∠=︒ ，PQM ∴ 是等腰直角三角形，90PMQ ∴∠=︒，PM QM =，90PMN QMK KQM ∴∠=︒-∠=∠，90MNP QKM ∠=︒=∠ ，()AAS PMN MQK ∴ ≌，PN MK ∴=，MN QK =，设cm PN MK x ==，则()2cm MN NK MK t x QK =-=-=，BN QK = ，()62t x t x ∴-+=-，362t x -∴=，()36cm 2t PN -∴=，()3662cm 22t t MN t -+=-=，MPN DPA ∠=∠ ，90MNP A ∠=︒=∠，MPN DPA ∴ ∽，PN MN AP AD ∴=，即1623622t t t =-+，解得：15317t =+（舍去）或15317t =-，t ∴的值为15317-；【小问3详解】解：如图，当Q 与AD 相切于T 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，连接QT ，，90A B ATQ ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形ABQT 是矩形，6cm QT AB PQ ∴===，()()22626t t ∴-+=，解得：0=t （舍去）或125t =，由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足125t >；如图，当Q 经过点D 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，，此时PQ DQ =，()()()2222621226t t t ∴-+=-+，解得：61318t =-或61318t =--（舍去），由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足61318t <-，综上所述，当12613185t <<-时，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点．【点睛】本题考查了圆的综合应用，涉及勾股定理及应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．27.已知平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，5为半径的O 交y 轴的正半轴于点P ，小刚同学用手中的三角板（90308B ACB AB ∠=︒∠=︒=，，）进行了如下的实验操作：（1）如图1，将三角板的斜边放置于x 轴上，边AB 恰好与O 相切于点D ，则切线长AD =；（2）如图2，将三角板的顶点A 在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在x 轴的正半轴上，若BC 边与O 相切于点M ，求点B 的坐标；（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A 继续在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在O 上且在y 轴右侧，BC 边与y 轴的正半轴交于点G ，与O 的另一交点为H ，若1PG =，求GH 的长．【答案】（1）533（2）()41,0B （3）253-或3【解析】【分析】（1）连接OD ，得出30DOA ∠=︒，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得AD 的长；（2）连接OM ，设线段AB 交O 于点E ，过点O 作ON AB ⊥于N ，得出四边形ONBM 是矩形，根据垂径定理以及矩形的性质得出5,3OE NE ==，在Rt NEO 中，勾股定理求得ON ，Rt OMB 中，勾股定理求得OB ，即可求得点B 的坐标；（3）分类讨论，①当G 在P 点上方时，过点O 作OF BC ⊥于点F ，连接AH ，根据90度角所对的弦是直径，得出AH 是O 的直径，进而勾股定理求得HB ，垂径定理求得HF ，在Rt HOF 中，得出OF ，在Rt GFO 中求得FG ，继而根据GH FG HF =-即可求解；②当G 点在P 点下方时，过点O 作OX HB ⊥，同一法证明点,G X 重合，进而垂径定理即可求解．【小问1详解】如图，连接OD ，∵边AB 恰好与O 相切于点D ，∴OD AB ⊥，∵9030B ACB ∠=︒∠=︒，，∴∥OD BC ，∴30DOA ∠=︒，。
人教版九年级上册数学期中考试试题含答案
人教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．2．将方程23610x x -+=化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A ．3,6,1-B ．3,6,1C ．3,16-D ．3,1,63．抛物线()221y x =--的顶点坐标是（）A ．()2,1-B ．()2,1--C ．()2,1D ．()2,1-4．关于x 的方程2420x x m -++=有一个根为1,-则另一个根为（）A ．2B ．2-C ．5D ．5-5．将二次函数213y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为（）A ．()21133y x =-+B ．()21133y x =++C ．()21y x 133=--D ．()21133y x =+-6．“双十一”即指每年的11月11日，是指由电子商务代表的在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢日．2017年双十一淘宝销售额达到1682亿元．2019年双十一淘宝交易额达2684亿元，设2017年到2019年淘宝双十一销售额年平均增长率为,x 则下列方程正确的是A ．()168212684x +=B ．()1682122684x +=C ．()2168212684x +=D ．()()216821168212684x x +++=7．如图，ABC 中，90,40ACB ABC ︒︒∠=∠=．将ABC 绕点B 逆时针旋转得到A BC ''△，使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，则CAA '∠的度数是（）A ．50︒B ．70︒C ．110︒D ．120︒8．若无论x 取何值，代数式()()13x m x m +--的值恒为非负数，则m 的值为（）A ．0B ．12C ．13D ．19．已知二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是实数，且0a ≠）的图象的对称轴是直线2x =，点()11,A x y 和点2(),z B x y 为其图象上的两点，且12y y <（）A ．若120,x x -<则1240x x +-<B ．若120,x x -<则1240x x +->C ．若120,x x ->则()1240a x x +->D ．若120,x x ->则()1240a x x +-<10．关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是（）A ．116m <-B ．116m ≥-且0m ≠C ．116m =-D ．116m >-且0m ≠二、填空题11．点(1,4)M -关于原点对称的点的坐标是_______________________．12．若关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两个相等的实数根；则m 的值为__________．13．如图，四边形ABCE 是О 的内接四边形，D 是CB 延长线上的一点，40,ABD ∠=︒那么AOC ∠的度数为_______________________o14．如图，把小圆形场地的半径增加6m 得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为________________________.m 15．已知二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，0,0a c ≠>）上有五点()()1,01,(),p t n -、、()()2,3,0t 、；有下列结论：①0b >；②关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是1-和3；③20p t +<；④()(4m am b a c m +≤--为任意实数）．其中正确的结论_______________（填序号即可）．16．如图，四边形ABCD 的两条对角线,AC BD 所成的锐角为60,10AC BD += ，则四边形ABCD 的面积最大值为_______________________．三、解答题17．解方程：260x x +-=.18．10月11日，2020中国女超联赛在昆明海堙基地落幕，最终武汉车都江大队夺得冠军．本赛季共有x 支球队参加了第一阶段的比赛，每两队之间进行一场比赛，第一阶段共进行了45场比赛，求x 的值．19．如图，AD=CB ，求证：AB=CD ．20．如图，已知,,A B C 均在O 上，请用无刻度的直尺作图．（1）如图1，若点D 是AC 的中点，试画出B Ð的平分线；（2）若42A ∠= ，点D 在弦BC 上，在图2中画出一个含48 角的直角三角形．21．已知二次函数243y x x =-+-（1）若33x -≤≤，则y 的取值范围为_（直接写出结果）；（2）若83y -≤≤-，则x 的取值范围为（直接写出结果）；（3）若()()12,,1,A m y B m y +两点都在该函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小．22．某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第天的售价与销量的相关信息如下表：第x 天售价（元件）日销售量（件）130x ≤≤60x +30010x-已知该商品的进价为40元/件．设销售该商品的日销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大，最大日销售利润为多少元？（3）问在当月有多少天的日销售利润不低于5440元．请直接写出结果．23．如图，已知格点ABC 和点O ．（1）A B C '''V 和ABC 关于点O 成中心对称，请在方格纸中画出A B C '''V （2）试探究，以点A ，O ，C '，D 为顶点的四边形为平行四边形的D 点有__________个．24．（问题背景）（1）如图1，Р是正三角形ABC 外一点，30APB ∠= ，则222PA PB PC +=小明为了证明这个结论，将PAB ∆绕点A 逆时针旋转60,请帮助小明完成他的作图；（迁移应用）（2）如图2，在等腰Rt ABC ∆中，,90BA BC ABC =∠= ，点P 在ABC ∆外部，使得45BPC ∠= ，若 4.5PAC S = ，求PC ；（拓展创新）（3）如图3，在四边形ABCD 中，//,AD BC 点E 在四边形ABCD 内部．且,DE EC =90,DEC ∠= 135AEB ∠=︒，3,4,AD BC ==直接写出AB 的长．25．已知抛物线()2:0C y ax bx c a =++>，顶点为()0,0．（1）求,b c 的值；（2）如图1，若1,a P =为y 轴右侧抛物线C 上一动点，过P 作直线PN x ⊥轴交x 轴于点,N 交直线1:22l y x =+于点M ，设点P 的横坐标为m ，当2PM PN =时，求m 的值；（3）如图2，点()00,P x y 为y 轴正半轴上一定点，点,A B 均为y 轴右侧抛物线C 上两动点，若APO BPy ∠=∠，求证：直线AB 经过一个定点．参考答案1．B 【分析】根据中心对称图形的概念解答即可．【详解】解：A 、不是中心对称图形．故错误；B 、是中心对称图形．故正确；C 、不是中心对称图形．故错误；D 、不是中心对称图形．故错误．故选：B ．【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．A 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可；【详解】∵方程23610x x -+=，∴二次项系数为3，一次项系数为-6，常数项为1；故答案选A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，准确分析判断是解题的关键．3．D 【分析】根据抛物线的解析式即可得．【详解】抛物线()221y x =--的顶点坐标是()2,1-，故选：D ．【点睛】本题考查了求二次函数的顶点坐标，熟练掌握二次函数的顶点坐标的求法是解题关键．4．C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．【详解】解：设原方程的另一根为x ，则：4141x --+=-=，∴x=4+1=5，故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．5．A 【分析】根据函数图象的平移方法判断即可；【详解】二次函数213y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得：()21133y x =-+；故答案选A ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，准确分析判断是解题的关键．6．C 【分析】根据一元二次方程增长率问题模型()1na xb +=列式即可．【详解】由题意，增长前为1682a =，增长后2684b =，连续增长2年，代入得()2168212684x +=；故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，熟练掌握基本模型，理解公式，找准各数量是解决问题的关键．7．D 【分析】由余角的性质，求出∠CAB=50°，由旋转的性质，得到40ABA '∠=︒，AB A B '=，然后求出BAA '∠，即可得到答案．【详解】解：在ABC 中，90,40ACB ABC ︒︒∠=∠=，∴∠CAB=50°，由旋转的性质，则40ABA '∠=︒，AB A B '=，∴1(18040)702BAA '∠=⨯︒-︒=︒，∴''50+70=120CAA CAB BAA ∠=∠+∠=︒︒︒；故选：D ．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，以及余角的性质，解题的关键是掌握所学的性质，正确求出70BAA '∠=︒．8．B 【分析】先利用多项式乘多项式的法则展开，再根据代数式（x ＋1−3m ）（x−m ）的值为非负数时△≤0以及平方的非负性即可求解．【详解】解：（x ＋1−3m ）（x−m ）＝x 2＋（1−4m ）x ＋3m 2−m ，∵无论x 取何值，代数式（x ＋1−3m ）（x−m ）的值恒为非负数，∴△＝（1−4m ）2−4（3m 2−m ）＝（1−2m ）2≤0，又∵（1−2m ）2≥0，∴1−2m ＝0，∴m ＝12．故选：B ．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，二次函数与一元二次方程的关系，偶次方非负数的性质，根据题意得出（x ＋1−3m ）（x−m ）的值为非负数时△≤0是解题的关键．9．D 【分析】根据二次函数的性质和题目中的条件，可以判断选项中的式子是否正确；【详解】∵二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是实数，且0a ≠）的图象的对称轴是直线2x =，点()11,A x y 和点2(),z B x y 为其图象上的两点，且12y y <，∴若a ＞0，1x ＜2＜2x ，则可能出现124+-x x ＞0，故A 错误；若a ＜0，122x x <<，则1240x x +-<，故B 错误；若0a >，12x x >，则1240x x +-<，则()1240a x x +-<，故C 错误；若0a >，12x x >，则1240x x +-<，则()1240a x x +-<，若0a <，12x x >，则1240x x +->，则()1240a x x +-<，故D 正确；故答案选D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，准确分析计算是关键．10．B 【详解】试题分析：二次函数图象与x 轴有交点，则△=b 2-4ac≥0，且m≠0，列出不等式则可．由题意得2(81)8800m m m m ⎧+-⨯≥⎨≠⎩，解得116m ≥-且0m ≠，故选B.考点：该题考查函数图象与坐标轴的交点判断点评：当△=b 2-4ac ＞0时图象与x 轴有两个交点；当△=b 2-4ac=0时图象与x 轴有一个交点；当△=b 2-4ac ＜0时图象与x 轴没有交点．同时要密切注意11．()1,4-【分析】由关于原点对称的点的坐标特征可以得到解答．【详解】解：∵关于原点对称的点的坐标特征为：x x y y =-⎧⎨=-''⎩，由题意得：x=1，y=-4，∴14x y -''=⎧⎨=⎩，∴点M(1,−4)关于原点对称的点的坐标是（-1，4），故答案为（-1，4）．【点睛】本题考查图形变换的坐标表示，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题关键．12．13【分析】根据关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两个相等的实数根，得出关于m 的方程，求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两个相等的实数根，∴△=b 2-4ac=（-2）2-4×3m=0，解得m=13，故答案为：13．【点睛】本题考查了根的判别式，掌握知识点是解题关键．13．80【分析】先根据补角的性质求出∠ABC 的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠AEC 的度数，由圆周角定理即可得出∠AOC 的度数．【详解】解：∵∠ABD ＝40°，∴∠ABC ＝180°−∠ABD ＝180°−40°＝140°，∵四边形ABCE 为⊙O 的内接四边形，∴∠AEC ＝180°−∠ABC ＝180°−140°＝40°，∴∠AOC ＝2∠AEC ＝2×40°＝80°．故答案为：80．【点睛】本题考查的是圆周角定理及圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解答此题的关键．14．6【分析】根据等量关系“大圆的面积=2×小圆的面积”可列方程求解；【详解】设小圆的半径为xm ，则大圆的半径为()6x m +，根据题意得：()2262x x ππ+=，即2212362x x x ++=，解得：16x =+，26x =-（舍去）；故答案是：6．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析计算是解题的关键．15．①②④【分析】由抛物线的对称性可知对称轴为0212x +==，可得0p =，即1x =-，3x =是方程20ax bx c ++=的两个根，再根据题目当中给出的条件，代入解析式判断求解即可；【详解】当0x =和2x =时，y t =，∴对称轴为0212x +==，∴当1x =-，3x =时，y 的值相等，∴0p =，∴1x =-，3x =是方程20ax bx c ++=的两个根，故②正确；∵当0x =时，y t =，且c ＞0，∴t c =＞0，∴202p t t +=+＞0，故③错误；∵2x =，y t =＞0，3x =，0y =，∴在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小，∴a ＜0，∵12bx a =-=，∴2b a =-＞0，故①正确；∵当3x =时，0y =，∴930a b c ++=，∴30a c +=，∴3c a =-，∴443a c a a a --=-+=-，∵顶点坐标为()1,n ，a ＜0，∴2am bm c a b c ++≤++，∴2am bm a b +≤+，∴2am bm a +≤-，∴24am bm a c +≤--，故④正确；综上所述：结论正确的是①②④；故答案是：①②④．【点睛】本题主要考查了二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图像上点的特征是解题的关键．16．4【分析】根据四边形面积公式，S ＝12AC×BD×sin60°，根据sin60°＝2得出S ＝12x （10−x ）×2，再利用二次函数最值求出即可．【详解】解：∵AC 与BD 所成的锐角为60°，∴根据四边形面积公式，得四边形ABCD 的面积S ＝12AC×BD×sin60°，设AC ＝x ，则BD ＝10−x ，所以S ＝12x （10−x ）×32＝34-（x−5）2＋2534，所以当x ＝5，S 有最大值4．【点睛】此题主要考查了四边形面积公式以及二次函数最值，利用二次函数最值求出四边形的面积最大值是解决问题的关键．17．12x =，23x =-【分析】利用因式分解法解方程.【详解】解：()()230x x -+=∴20x -=或30x +=，∴12x =，23x =-.【点睛】本题考查一元二次方程的解法，选择合适的解法是关键.18．10【分析】因为每两队之间进行一场比赛，所以x 支球队之间共进行()112x x -场比赛，由此建立等式计算即可．【详解】()11452x x -=解得10x =或9-0,x > 10,x ∴=答：x 的值为10．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键在于读懂题意，得出总场数与球队数之间的关系．19．证明见解析.【详解】试题分析：由在同圆中，弦相等，则所对的弧相等和等量加等量还是等量求解．试题解析：∵AD =BC ，,AD BC= ,AD BDBC BD +=+∴ ,AD CD=∴AB =CD .20．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据题意连接OD 并延长交劣弧AC 于E 即可得解；（2）延长AD 交圆于M ，连接BO 并延长交圆于N ，即可得到；【详解】解：()1连接OD 并延长交劣弧AC 于E ，连接EB 即为所求：()2延长AD 交圆于,M 连接BO 并延长交圆于,N 连接；,,MN MB BMN ∆即为所求；．【点睛】本题主要考查了利用圆周角定理、垂径定理作图，准确分析判断是解题的关键．21．（1）241y -≤≤；（2）10x -≤≤或45x ≤≤；（3）32m >时21y y <，32m =时21y y =，32m <时21y y >【分析】（1）根据题意得出二次函数的对称轴，再利用已知的x 的取值范围计算即可；（2）分别令3y =-和8y =-，计算即可；（3）分别表示出1y 和2y ，分别令21y y -的取值计算即可；【详解】解：（1）∵243y x x =-+-，33x -≤≤，∴二次函数的对称轴22bx a =-=，∴最小值：当3x =-时，24y =-，最大值：当2x =时，1y =；故：241y -≤≤．（2）∵243y x x =-+-，83y -≤≤-，令3y =-，得0x =或4；令8y =-，得-1x =或5；∴10x -≤≤或45x ≤≤．()3A B 、两点都在该函数图象上，2143y m m ∴=-+-，()()22214132y m m m m =-+++-=-+，2132y y m -=-，令210y y ->，即21y y >，此时32m <，令210y y -=，即21y y =，此时32m =，令210y y -<，即21y y <，此时32m >，综上32m >时21y y <，32m =时21y y =，32m <时21y y >．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，准确分析计算是解题的关键．22．（1）y=2101006000x x -++；（2）第五天日销售利润最大，最大日销售利润为6250元；（3）14天【分析】（1）根据日销售利润等于单件利润乘以销售量即可得解；（2）化二次函数一般式为顶点式，即可判断求解；（3）根据题意列不等式求解即可；【详解】解：（1）()()604030010=+--y x x ，2101006000x x =-++；（2）当130x ≤≤时，2101006000=-++y x x ()21056250=--+x ，∵10a =-＜0，∴二次函数开口向下，由题可知：函数对称轴为5x =，∴当5x =时，最大值为6250；答：第五天日销售利润最大，最大日销售利润为6250元．（3）∵2101006000=-++y x x ()21056250=--+x ，当5400y ≥时，()210562505400--+≥x ，解得：414x -≤≤，∵130x ≤≤，∴共有14天．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，准确分析计算是解题的关键．23．（1）见解析；（2）3【分析】（1）根据中心对称的作法，找出对称点，即可画出图形；（2）根据平行四边形的判定，画出使以点A 、O 、C′、D 为顶点的四边形是平行四边形的点即可．【详解】解：（1）作射线AO，BO，CO，在射线上截取A′O=AO，B′O=BO，C′O=CO，顺次连接''''''，A B B C C A,,'''为所求，如图所示△A B C（2）平行四边形AOC′D1，平行四边形AOD2C′，平行四边形AD3OC′∴以点A，O，C'，D为顶点的四边形为平行四边形的D点有3个故答案为：3【点睛】此题考查了作图-旋转变换，用到的知识点是中心对称、平行四边形的判定，关键是掌握中心对称的作法，作平行四边形时注意画出所有符合要求的图形．24．（1）见解析；（2）3；（3）5【分析】（1）根据旋转的定义和性质解答；（2）由题意可以得到PBC MBA ∆≅∆，由此可得90AMP ∠= 和PC=AM ，最后由△PAC 的面积等于4.5可以求得PC 的值；（3）根据三角形的性质解答．【详解】（1）如图，作60PAP AP AP ∠=︒'='，，连结P C '，则P AC '△即为所求作的图形：（2）作线段BM 垂直于BP 交PC 延长线于点.M 连接,AM 45,90BPM PBM ∠=︒∠=BPM △为等腰直角三角形，,BP BM ∴=90ABM MBC ABC PBM PBC MBC∠+∠=∠==∠=∠+∠,PBC ABM ∴∠=∠在PBC ∆与MBA ∆中：PB BMPBC ABM BC BA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PBC MBA SAS ∴∆≅∆90AMP =∴∠21122PAC S PC AM PC ∆∴=⋅=3PC ∴=（3）5．证明如下：如图，将AED 顺时针旋转90︒至FEC ，则ADE FCE ∠=∠，AD FC =，//,90AD BC DEC ∠=︒ ，90ADE BCE ∴∠+∠=︒，即90FCE BCE FCB ∠+∠=∠=︒FCB ∴△为直角三角形，其中3FC AD ==，4BC =，由勾股定理得5BF =，又 旋转角为90︒，即90AEF ∠=︒，则360135BEF AEB AEF ∠=︒-∠-∠=︒，即AEB FEB ∠=∠，在AEB △与FEB 中，AE AFAEB FEB BE BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AEB FEB SAS △△≌5AB BF ∴==【点睛】本题考查三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、旋转的意义和性质、等腰三角形和直角三角形的性质是解题关键．25．（1）0,0b c ==；（2）1712m +=或43；（3）见解析【分析】（1）利用二次函数顶点式，代入顶点即可求解；（2）利用二次函数解析式和一次函数解析式，用m 去表示P 、M 点的纵坐标，再利用2PM PN =列出等量关系式即可求解m ；（3）作A 点关于二次函数对称轴的对称点M ，设()2,A p ap 则()2,M p ap -，由已知和中垂线定理可得MPO OPA BPy ∠=∠=∠，即可得M 、P 、B 再同一条直线上，设:PM y kx b =+，代入P 、M 坐标求PM 解析式，再联立抛物线解析式，可表示B 、M 坐标，同理的求直线AB 解析式，根据一次函数解析式可知AB 恒过()00,y ．【详解】()1解：设()2y a x h k=-+0,0h k == 代入上式2y ax ∴=0,0b c ∴==()2P Q 在抛物线上，M 在直线上()21,,,22P m m M m m ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭2,PM PN = 2211222m m m ∴+-=解得12m =或43或1-P 为y 轴右侧抛物线C 上一动点0,m ∴>综上1712m =或43()3取A 点关于y 轴的对称点M ，抛物线关于y 轴对称M ∴点在抛物线上．连,MP 设()2,A p ap ，则()2,M p ap -MPO OPA BPy∠=∠=∠ M P B ∴、、三点共线()00,P y 设:PM y kx b=+20ap pk by b⎧=-+⎨=⎩解得200y ap y x y p -=+联立直线BM 与抛物线C ，得：22000ap y ax x y p -+-=2B M ap yx x ap-∴+=-,M x p =- 0B y x ap∴=代入抛物线002,y y B ap ap ⎛⎫ ⎪⎝⎭同理可求200:y ap BA y x y p+=-恒经过定点()00,y -【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数综合、一次函数的图像性质、图形对称、等腰三角形三线合一等．本题综合性较强，对各涉及知识点掌握要求较高．特别注意两函数交点需满足各函数解析式．。
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最新初三（九年级）上学期期中数学试题及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知点A （a ，1）与点B （-4，b ）关于原点对称，则a+b 的值为（ ） A ．5 B ．-5 C ．3 D ．-3 3．一元二次方程x 2﹣x+2=0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根4．在同一直角坐标系中，一次函数 y ax b =- 和二次函数 2y ax b =-- 的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．5．关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根12,x x ，()1212122(2)2x x x x x x -+--+3=-，则k 的值（ ）6．在平面直角坐标系中，对于二次函数22()1y x =-+，下列说法中错误的是（ ） A ．y 的最小值为1B ．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线2x =C ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x ≥时，y 的值随x 值的增大而减小D ．它的图象可以由2y x 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到7．已知关于的方程222(1)10k x k x +-+=有两个实数根，则k 的取值范围是( ) A ．12k < B ．12k ≤ C ．12k <且0k ≠ D ．12k ≤且0k ≠ 8．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论①24b ac >，②0abc <，③20a b c +->，④0a b c ++<．其中正确的是（ ）A ．①④B ．②④C ．②③D ．①②③④ 9．如图，抛物线223y x x =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连结AC ，现有一宽度为1，且长与y 轴平行的矩形沿x 轴方向平移，交直线AC 于点D 和E ，△ODE 周长的最小值为（ ）A ．2B ．5C ．D ．3 10．己知菱形ABCD 的边长为1，∠DAB =60°，E 为AD 上的动点，F 在CD 上，且AE +CF =1，设ΔBEF 的面积为y ，AE =x ，当点E 运动时，能正确描述y 与x 关系的图像是：( )A ．B ．C ．D ．11．若方程2x x 0-=的两根为1x ，212x (x x )<，则21x x -=________．12．一副三角板如图放置，将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转(090)αα<<，使得三角板ADE 的一边所在的直线与BC 垂直，则α的度数为______.13．如图，一款落地灯的灯柱AB 垂直于水平地面MN ，高度为1.6米，支架部分的形为开口向下的抛物线，其顶点C 距灯柱AB 的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4 米，灯罩顶端D 距灯柱AB 的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D 距地面的高度为______米．14．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有_____人．15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=5cm ，BC=12cm ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE ，连接DC 交AB 于点F ，则△ACF 与△BDF 的周长之和为_______cm ．16．如图，已知在平面直角坐标系中，点A（0，3），点B为x轴上一动点，连接AB，线段AB绕着点B按顺时针方向旋转90°至线段CB，过点C作直线l∥y轴，在直线l上有一点D位于点C下方，满足CD＝BO，则当点B从（﹣3，0）平移到（3，0）的过程中，点D的运动路径长为_____．17．如图，一段抛物线：y=-x(x-2)（0≤x≤2）记为C1 ,它与x轴交于两点O，A；将C1绕点A旋转180°得到C2，交x轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到C3，交x 轴于点A2．．．．．．如此进行下去，直至得到C2018，若点P（4035，m）在第2018段抛物线上，则m的值为________．18．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D.(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；(2)如图2，若α=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.19．已知关于x 的一元二次方程22(31)220x k x k k -+++=．（1）求证：无论k 取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC 的一边长a ＝6，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？20．已知：抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 经过点B （﹣1，0）和点C （2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线沿y 轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．21．石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）设每件童装降价x 元时，每天可销售______ 件，每件盈利______ 元；（用x 的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．22．如图1，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BD ⊥DE ，AE ⊥DE ，垂足分别为D 、E ．（这几何模型具备“一线三直角”）如下图1：（1）①请你证明：△ACE ≌△CBD ；②若AE ＝3，BD ＝5，求DE 的长；（2）迁移：如图2：在等腰Rt △ABC 中，且∠C ＝90°，CD ＝2，BD ＝3，D 、E 分别是边BC ，AC 上的点，将DE 绕点D 顺时针旋转90°，点E 刚好落在边AB 上的点F 处，则CE ＝ ．（不要求写过程）23．如图，已知二次函数23y x ax =++的图象经过点()2,3P -.（1）求a 的值和图象的顶点坐标。
（2）点(),Q m n 在该二次函数图象上.①当2m =时，求n 的值；②若Q 到y 轴的距离小于2，请根据图象直接写出n 的取值范围.24．将一副三角尺按如图①方式拼接：含30°角的三角尺的长直角边与含45°角的三角尺的斜边恰好重合（在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°；在Rt △ACD 中，∠ADC＝90°∠DAC ＝45°）已知AB ＝P 是AC 上的一个动点．（1）当PD ＝BC 时，求∠PDA 的度数；（2）如图②，若E 是CD 的中点，求△DEP 周长的最小值；（3）如图③，当DP 平分∠ADC 时，在△ABC 内存在一点Q ，使得∠DQC ＝∠DPC ，且CQ ＝2，求PQ 的长． 25．已知：如图1，抛物线的顶点为M ，平行于x 轴的直线与该抛物线交于点A ，B(点A 在点B 左侧)，根据对称性△AMB 恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB 为直角三角形时，就称△AMB 为该抛物线的“完美三角形”．（1）①如图2,求出抛物线y=x2的“完美三角形”斜边AB的长；②请写出一个抛物线的解析式，使它的完美三角形与y=x2+1的“完美三角形”全等；（2）若抛物线y=ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；（3）若抛物线y=mx2+2x+n−5的“完美三角形”斜边长为n,且y=mx2+2x+n−5的最大值为−1，求m，n的值．参考答案1．B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．【点睛】此题主要考查轴对称图形与中心对称图形的识别，解题的关键是熟知轴对称图形与中心对称图形的定义.2．C【解析】【分析】根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案．【详解】由A（a，1）关于原点的对称点为B（﹣4，b），得a=4，b=﹣1，a+b=3，故选C．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律：关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数．3．C【解析】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了．【详解】解：∵△=b2-4ac=1-8=-7＜0，∴方程无实数根．故选C．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．4．C【解析】【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【详解】解：A.二次函数-b＞0，一次函数-b＜0，不符合题意，选项错误；B.二次函数-b＜0，一次函数中，-b＞0，不符合题意，选项错误；C.在一次函数和二次函数中，a＜0，b＞0，符合题意，选项正确；D.二次函数中，-a＜0，一次函数中，a＜0，不符合题意，选项错误；故答案为：C【点睛】本题考查了二次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．5．D【解析】【分析】将()1212122(2)2=3x x x x x x -+--+-化简可得，()21212124423x x x x x x +-+=-－， 利用韦达定理，()2142(2)3k k ----+=-，解得，k ＝±2，由题意可知△＞0， 可得k ＝2符合题意.【详解】解：由韦达定理，得： 12x x +＝k －1，122x x k +＝－,由()1212122(2)23x x x x x x -+--+=-，得：()21212423x x x x --+=-，即()21212124423x x x x x x +-+=-－，所以，()2142(2)3k k ----+=-,化简，得：24k =，解得：k ＝±2， 因为关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根， 所以，△＝()214(2)k k ---+＝227k k +-〉0，k ＝－2不符合，所以，k ＝2故选：D.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.6．C【解析】【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．【详解】解：二次函数22()1y x =-+，10a =>，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线2x =，顶点为(2,1)，当2x =时，y 有最小值1，当2x >时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x <时，y 的值随x 值的增大而减小； 故选项A 、B 的说法正确，C 的说法错误；根据平移的规律，2y x 的图象向右平移2个单位长度得到2(2)y x =-，再向上平移1个单位长度得到22()1y x =-+；故选项D 的说法正确，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7．D【解析】【分析】因为关于x 的一元二次方程222(1)10k x k x +-+=有两个实数根，所以必须满足下列条件：二次项系数不为零且判别式△=b 2-4ac≥0，列出不等式求解即可确定k 的取值范围．【详解】∵关于x 的一元二次方程222(1)10k x k x +-+=有两个实数根，∴△=[2(k−1)]2−4k 2⩾0且k 2≠0， 解得12k ≤且k≠0. 故选D.【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握其运算公式.8．A【解析】【分析】①抛物线与x 轴由两个交点，则240b ac ->，即24b ac >，所以①正确；②由二次函数图象可知，0a <，0b <，0c >，所以0abc >，故②错误；③对称轴：直线12b x a=-=-，2b a =，所以24a b c a c +-=-，240a b c a c +-=-<，④对称轴为直线1x =-，抛物线与x 轴一个交点132x -<<-，则抛物线与x 轴另一个交点201x <<，当1x =时，0y a b c =++<，故④正确．【详解】解：①∵抛物线与x 轴由两个交点，∴240b ac ->，即24b ac >，所以①正确；②由二次函数图象可知，0a <，0b <，0c >，∴0abc >，故②错误；③∵对称轴：直线12b x a=-=-， ∴2b a =，∴24a b c a c +-=-，∵0a <，40a <， 0c >，0a <，∴240a b c a c +-=-<，故③错误；④∵对称轴为直线1x =-，抛物线与x 轴一个交点132x -<<-，∴抛物线与x 轴另一个交点201x <<，当1x =时，0y a b c =++<，故④正确．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 9．A【分析】作正方形AOCM ，连接OM 、作MN ∥AC ，使得MN=DE ，连接ON 交AC 于E ，此时OD+OE 的值最小．【详解】解：如图，当223=0x x --+时，解之得x 1=-3,x 2=1,∴A （-3，0），B （1，0），∵OA=OC=3，作正方形AOCM ，连接OM 、作MN ∥AC ，使得MN=DE ，连接ON 交AC 于E ，此时OD+OE 的值最小．∵MN=DE ，MN ∥DE ，∴四边形MNED 是平行四边形，∴DM=EN ，∴△ODE 的周长=OD+DE+EO=DM+DE+OE=NE+OE+DE=ON+DE ，∵AC ⊥OM ，∴MN ⊥OM ，∴∠NMO=90°，∵，∴==∴△ODE 的周长的最小值为，故选A ．本题考查抛物线与x 轴的交点、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、正方形的性质、轴对称等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题．10．A【解析】过点E 作EM ⊥AB ，EN ⊥DC ，垂足为M 、N ，过点B 作BG ⊥DC ，垂足为G ．∵AE=DF=x ，∴DE=FC=a-x ．∵∠A=∠NDE=∠C=60°，∴x ，NE=1-x ），, ∵△EFB 的面积=菱形的面积-△AEB 的面积-△DFE 的面积-△FCB 的面积，∴y= )()1111111222x x x x -⨯-⨯--⨯-=2444x x -+ 当x=0或x=1时，S △EFB 有最大值；故选A 。